TEMA 3: DESCRIPCIÓN NUMÉRICA DE UNA VARIABLE ESTADÍSTICA: MEDIDAS DE LOCALIZACIÓN, DISPERSIÓN Y FORMA. MEDIDAS DE CONCENTRACIÓN.

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1 TEMA 3: DESCRIPCIÓN NUMÉRICA DE UNA VARIABLE ESTADÍSTICA: MEDIDAS DE LOCALIZACIÓN, DISPERSIÓN Y FORMA. MEDIDAS DE CONCENTRACIÓN. Medidas de localizació. Medidas de dispersió. Coeficiete de variació. Mometos de ua distribució de frecuecias. Estudio de asimetría y aputamieto. Diagrama de caja. OBJETIVOS: Calcular estadísticos para resumir el cetro, la dispersió y la forma de ua distribució. Estudiar las propiedades de estos estadísticos. Explorar la propiedad de robustez o resistecia e relació a estos estadísticos Eteder las limitacioes de las distitas medidas estudiadas y e qué situacioes estas medidas so apropiadas. Apreder a costruir e iterpretar los diagramas de cajas como gráfico que muestra visualmete iformació sobre la distribució.

2 Descripció umérica de ua variable estadística (umérica) Objetivo: Resumir distitos aspectos de las distribucioes de frecuecias Iterés de los resúmees uméricos: Uos pocos úmeros resume toda la distribució. Complemeto atural de la descripció gráfica. Facilita la comparació de muestras co modelos de referecia y la comparació etre muestras. Medidas de localizació: media, mediaa, moda, media geométrica, media armóica, media cuadrática, medias recortadas, medias wisorizadas, cuartiles, cuatiles. Medidas de dispersió: Rago, recorrido itercuartílico, variaza, desviació típica, desviació media, MEDA, coeficiete de variació, Medidas de forma: coeficiete de asimetría, coeficiete de aputamieto.

3 Qué es u estadístico? Cualquier fució co los datos de la muestra destiada a cuatificar algú aspecto de la distribució de frecuecias. Cuado la muestra es represetativa, los estadísticos muestrales so aproximacioes aturales de los parámetros poblacioales correspodietes defiidos de maera aáloga. EJEMPLOS m = xik. k i= Muestra: x, x,..., x m = ( xi x) k. k i= Muestra ordeada: x(), x(),..., x() x(): Míimo x() x()... x() x(): Máximo x(r): Estadístico de orde r, r =,...,. 3

4 Familias de estadísticos más importates -MOMENTOS MUESTRALES: Mometos respecto al orige: Mometo de orde k, k=,,...: m = xik. k i= Mometos respecto a la media: Mometo de orde k, k=, 3,...: -ESTADÍSTICOS DE ORDEN: M = ( xi x)k. k i= Muestra: x, x,..., x Muestra ordeada: x(), x(),..., x() x(): Míimo x(): Máximo x() x()... x() x(r): Estadístico de orde r, r =,...,. -CUANTILES: p, p Puto que parte la distribució de frecuecias e dos trozos, a la izquierda p% y a la derecha (-p)%. x p o etero. ( [ p ] + ) x p = + x x p etero. ( [ p ] + ) ( [ p ] )

5 Medidas de localizació (posició ó cetro) () Sea x, x,, x valores de ua variable cuatitativa, para que m sea u promedio de estos valores debe verificarse: Simetría: la medida o varía auque los valores sea cosiderados e orde diferete mi( x, x,..., x ) m max( x, x,..., x ) Homogeeidad: para cualquier úmero real a el promedio de ax, ax,..., ax es am 5

6 Medidas de localizació (posició ó cetro) () Media Mediaa Moda Otros promedios: Media cuadrática Media armóica Media geométrica Trimedia Media k - recortada ó α % recortada Percetiles 6

7 Media () Media (media aritmética ó media muestral) Muestra: x, x,..., x X = xi i= Es el cetro de gravedad de la distribució de frecuecias (x x) = i= i La media es el valor A que hace míima la suma de cuadrados de las desviacioes respecto a A mi ( x A) A i= i 7

8 Media () Muestra tabulada: k k k i -Variable discreta: X = i = i xi = i = xi = i = f i xi -Variable cotiua: (datos agrupados e k clases) X k i= i mi = k i= f i mi Ej. Ácido úrico (datos e tema ) datos X X X= k i= k i= i mi = [(3.5) + 5(.5) + 6(5.5) + (6.5) + (7.5) + (8.5)] = 5.6 f i mi =.(3.5) +.5(.5) +.3(5.5) +.(6.5) +.(7.5) +.5(8.5) = 5.6 x = ( ) = i i= Valor exacto de la media Error = media- valor aproximado = =.5 E geeral el error al calcular la media aproximada co los datos agrupados está acotado X X agru máximo{ A, A,..., Ak } 8

9 Media (3) Falta de robustez de la media Ejemplo : Media = [ () + () + () ] / 9 =.6667 Media = [ (3) + () + () +6() ] / 9 =.333 Xi (valores) i Xi (valores) i 3 6 Total = 9 Total = 9 Ejemplo : Datos:,, 3,, 7, 8, 9 =7 media =.858,, 3,, 7, 8, 5 =7 media =

10 Media () Si la muestra esta dividida e dos grupos, la media de la muestra es la media poderada de las medias. (x, x,..., x) = (x, x,..., xk) (xk+, xk+,..., x) X = x k k kx + ( k ) X X= x = i= i= i X = x k i= k + i i Ejemplo: ota media de u alumo co calificacioes e tres asigaturas A: 5, B:7, C: 9. Créditos de cada asigatura: A: 5, B: 7.5, C: 6 ota media = 5(5) + 7.5(7) (9) 8.5 = = E geeral co s grupos de tamaños,,..., s X= X + X s X s xi = i=

11 Media (5) Media poderada Media poderada de k valores (x, x,..., xk) co pesos (w, w,..., wk) : i = k w x + w x wk xk = = k w + w wk i= i = wi k wi xi wi k xi j = w j Si tomamos los pesos (p, p,..., pk) de forma que sume uo la media poderada se calcula k como i= pi xi Comprobamos como defiiedo pi = wi k j= wj ambas expresioes coicide Ejemplo: ota media de u alumo co calificacioes e tres asigaturas A: 5, B:7, C: 9. Créditos de cada asigatura: A: 5, B: 7.5, C: 6 5(5) + 7.5(7) (9) =

12 Media (6) PROPIEDADES DE LA MEDIA: La suma de las desviacioes de la media a las observacioes es cero (x x) = i= i Cambios de orige y escala e los datos yi = a + b xi, i =,,, colleva los mismos cambios e la media Y = a + bx La media de ua suma es la suma de las medias x, x,..., x X y, y,..., y Y x + y, x + y,..., x + y X + Y La media es el valor A que hace míima la suma de cuadrados de las desviacioes respecto a A i= ( xi A) i = ( xi mi x ℜ A) Si la muestra esta dividida e dos grupos, la media de la muestra es la media poderada (por los tamaños de los grupos) de las medias.

13 Otros promedios Muestra si tabular Media cuadrática M = x k i i= MQ = Q M = Media armóica M = G log( M G ) = MH MG X MQ i= Muestra tabulada (variable cotiua) k xi i MQ MH k i i = xi i= mi i i i = mi k i x x...x MH = x H i= Media geométrica Muestra tabulada (variable discreta) MG = x x...x kk MG m m...mkk log( xi ) i= 3

14 Mediaa () Me Puto que parte la distribució e dos mitades del 5% a cada lado Observació cetral e la muestra ordeada Si es impar Si es par Me = X((+)/) Me (X(/), X(/ + ) ) Me = (X(/) + X(/ + )) / Ejemplos: Datos :,, 3,, 6, 7, 8 =7 Me = media =. Datos :,, 3,, 5, 6, 7, 8 =8 Me =.5 media =.5 Datos 3:, 3,,, 7, 5, 8 =7 Me =,, 3,, 7, 8, 5 media = 353.6

15 Mediaa () Histograma de frecuecias Polígoo de frecuecias acumuladas.. frec..6 frec Cálculo de la mediaa para datos agrupados: L j L j Me L j + ( N j ) N j N j Me Nj / Nj- 5 Lj- Me Lj

16 Mediaa (3) Ejemplo cálculo de la mediaa para ua variable discreta a partir de la tabla de frecuecias Xi i Ni fi Fi Me = 3 6

17 Moda Mo = Puto dode se alcaza el máximo de la distribució de frecuecias. Hay distribucioes co varias modas locales (bimodales o multimodales) 5 frecuecia Moda absoluta Modas relativas Itervalo modal 7

18 Posició relativa de media, mediaa y moda 8

19 Posició relativa de media, mediaa y moda Distribució co asimetría positiva CA> Distribució co asimetría egativa CA< D is trib u c ió S im é tr ic a f(x ) Media Mediaa Moda Moda M oda M e d ia a M e d ia Mediaa Media 9

20 Comparació media - mediaa La elecció de ua medida de posició depede del criterio de comparació Media y mediaa represeta el cetro de la distribució segú criterios diferetes La Media es la solució del problema de míimos cuadrados: i= La Mediaa es la solució del problema de míimas distacias: ( xi X ) = i= mi i = ( xi x ℜ xi Me = x) mi x ℜ i= xi x Eficiecia: Para datos ormales, la media es más eficiete que la mediaa. La media utiliza todas las observacioes. La mediaa sólo las cetrales. Robustez: Isesibilidad frete a observacioes atípicas. - La media NO es robusta: ua sola observació erróea puede hacer tomar a la media cualquier valor arbitrario. - La mediaa es robusta: se ecesita casi el 5% de observacioes erróeas para llevar la mediaa arbitrariamete lejos.

21 Ejemplo comparació media mediaa () Datos:, 3,, 6 f (a ) = i= = xi a = a + a + 3 a + 6 a f (a ) = i= ( xi a ) = ( a ) + ( a ) + (3 a) + (6 a )

22 Ejemplo comparació media mediaa () Datos:,,, 6, 8 f (a) = 5 i= =5 xi a = a + a + a + 6 a + 8 a f (a) = 5 i= ( xi a ) = ( a) + ( a ) + ( a ) + (6 a ) + (8 a )

23 Cuatiles, Percetiles Percetil p % Puto que parte la distribució de frecuecias e dos trozos, a la izquierda p% y a la derecha (-p)%. Co p e (, ) se habla de p - cuatil Defiició: # {xi p-cuatil } p # {xi < p-cuatil } p p =.5, percetil 5 % -- primer cuartil = Q p =.5, percetil 5 % -- mediaa = Q p =.75, percetil 75 % -- tercer cuartil = Q3 Muestra: x, x,..., x x() x()... x(). Muestra ordeada: x(), x(),..., x(), xp = x ( [ p ] + ) x ( [ p ] ) + x( [ p] + ) p o etero. p etero. 3

24 Ejemplo cálculo de percetiles () Datos 7,, 68,, 5, 3,53,, 36, 57, 66 = X() X() X(3) X() X(5) X(6) X(7) X(8) X(9) X() X() = (.5) = (.5) =.75 Q= X(3) = 3 = (.5) = (.5) = 5.5 Q= Me =X(6) = 5 3 = (.75) = (.75) = 8.5 Percetil?? Q3= X(9) = 66 (.) = (.) =. Percetil = X() =

25 Ejemplo cálculo de percetiles () Datos, 68,, 5, 3,53,, 36, 57, 66 = X() X() X(3) X() X(5) X(6) X(7) X(8) X(9) X() = (.5) = (.5) =.5 Q= X(3) = 3 = (.5) = (.5) = 5 Q= Me = 3 = (.75) = (.75) = 7.5 Percetil?? X (5) + X ( 6) = + 5 = 5 Q3= X(8) = 57 (.) = (.) = Percetil = X () + X ( ) = + = 5

26 Cálculo de los percetiles para variables cotiuas para datos agrupados Sea xp el percetil p % Determiamos e qué clase se ecuetra utilizado las frecuecias relativas acumuladas Si xp está e [Lj-, Lj) recta que pasa por (Lj-, Nj-) y (Lj, Nj) y = N j + N j N j Lj Lj (x L j ) p = N j + N j N j L j L j (xp L j ) x p = (p N j ) Nj L j L j N j N j + L j p Nj- Lj- xp Lj 6

27 Ejemplo E la tabla siguiete se ecuetra datos correspodietes al curso académico publicados e la págia web del Miisterio de Educació y Cultura referetes a los cetros docetes y su oferta educativa e la eseñaza o uiversitaria. supoer que el míimo de alumos por cetro es 5 y el máximo. 7

28 Ejemplo cetros eduacativos e C y L Frecuecia Frecuecia Frecuecia Marcas relativa relativa fi acumulada mi % relativa Fi 8,9,89,89 5 6,, 5,7 3,5 9,6 7,8 6,6,,57,35,96,78,6 99.9,999,5,73,63,765,86,939,999,8 63 5,5 5,5,5 6,5 85,5 5,5 frecuecia acumulada Meos de 5 (5-5) Más de (-) total tamaño de los cetros eduactivos e CyL,6,, 8 6 Tamaño del cetro tamaño de los cetros eduactivos e CyL,, frecuecia,8,5,,9,6 8 Tamaño del cetro 6 8

29 Ejemplo cetros eduacativos e C y L 8 Marca mi ,5 5,5,5 6,5 85,5 5,5 Frecuecia relativa fi,89,6,,57,35,96,78,6 Total mi * fi,335,6 33, 39,385 5,675 57,68 66,339 9,3 35,365 Media = 35,365 = j= mj f j Mediaa etre y 3 Iterpolado teemos mediaa = 8, 87 3 Me = *.73=8 87*.63=69 tamaño de los cetros eduactivos e CyL, 63, frecuecia,8 69,5,,9,6? 3 8 Tamaño del cetro 6 9

30 Otras medidas de localizació () Media k - recortada X rec = k k x = i= k + x ( k + ) (i) + x x k (k+ ) ( k ) Media α % recortada equivale a [ α / ] - recortada Ejemplo: Media Datos:, 36, 5, 8, 5, 53, 6, 63, 8, X= i= xi = ( ) = 53. Media -recortada ó % recortada: X rec = i= 3 x( i ) = x(3) + x( ) x(8) = =

31 Otras medidas de localizació () Media k - wisorizada Ejemplo: (k + ) x( k + ) + x + ( k + ) x (i ) ( k + ) i= k + k Datos:, 36, 5, 8, 5, 53, 6, 63, 8, X= Media X wi = i= xi = ( ) = 53. Media -wisorizada: 3 x(3) + x( 3) + x( 3) + x( ) x(8) + x(8) + x(8) X wi = 3(5) + x(i ) + 3(63) = = i= = = 5. Trimedia = Q + Q + Q 3 3

32 Medidas de dispersió Rago Recorrido itercuartílico Variaza Desviació típica ó desviació estádar Otras: desviació media, desviació mediaa absoluta Medidas de dispersió relativa Coeficiete de variació Otras 3

33 Ejemplo Ejemplo de dos muestras co la misma media y distita dispersió, = 8 e ambas media (desviació tópica),(,65),(,979),(5,79)

34 Medidas de dispersió () Rago R = Máximo Míimo = x() x() Recorrido itercuartílico RI = Q3 - Q Q Q Muestra 5 Muestra Muestra Muestra Q3 9 Muestra Muestra 3 R RI Media Muestra Muestra Muestra

35 Medidas de dispersió () Variaza Promedio de las desviacioes cuadráticas e toro a la media. S = ( xi X ) i= Cuasivariaza ó variaza corregida Desviació típica S = S tiee las mismas uidades que la variable Expresió abreviada: S = i= x i X S= S = ( xi X ) i= ( xi X ) i= La variaza de x, x,..., x puede calcularse como i= j= (x i - x j ) 35

36 Medidas de dispersió (3) La variaza siempre es positiva S a+ bx = b S x S La variaza cero todos los valores iguales S a + bx = b S x Ejemplo Muestra Muestra Muestra Q Q Q3 Muestra Muestra tabulada: Muestra Muestra Muestra 3 Muestra Media R RI 3 S Muestra 3 k S = ( xi X ) f i. Variable discreta: Variable cotiua: i= k S ( mi X ) f i. = (datos agrupados, mi=marca de iclase) 36

37 Ejemplo RAND RAND 3 RAND3 Rad Rad Rad3 Variaza =,68 Variaza =,599 Variaza = 5,975 S = 3,83 S =,9589 S = 7,78 37

38 Dispersió Co los datos divididos e k grupos cada uo co i, xi, Si X + X s X s X= S = k i= ( ) i Xi X + Variació ENTRE grupos k i= i=,,, k i Si Variació DENTRO del grupo Ejemplo: U fabricate de pequeñas fotocopiadoras para oficia, le paga a sus vededores u pequeño salario base más ua comisió. U vededor afirma que la estructura salarial es discrimiatoria para las mujeres. Los salarios base actuales de ueve vededores: Meses como empleado Salarios (e miles de $) Sexo Hombres Hombres Hombres Hombres Hombres Mujeres Mujeres Mujeres Mujeres media variaza Desviació típica Hombres Media = 9,7778 Variaza = 3,569 S =,8893 Mujeres

39 Otras medidas de dispersió Desviació media absoluta xi X i= Desviació mediaa absoluta (MEDA): MEDA = Mediaa de ( x - Me, x - Me,..., x Me ) (p-cuatil, (-p)-cuatil) cotiee al (-p) % de las observacioes (-p)-cuatil - p-cuatil Por ejemplo P9 P P 75 P 5 Q3 -Q 39

40 Dispersió relativa: coeficiete de variació S CV = X Sólo para variables positivas. Relativiza la dispersió e fució de la magitud (escala) de las observacioes. No tiee uidades. Adimesioal. Facilita la comparació.

41 Dispersió relativa: otras medidas Medida de dispersió Razó itercuartil Q3 Q Me Coeficiete de variació mediaa Recorrido relativo Medida de cetro S Me X ( ) X () X Coeficiete de variació cuartílica Q3 Q Q3 + Q

42 Desigualdad de Chebychev () Relació media - desviació típica ( X ks, X + ks ) cotiee al meos el ( % k de las observacioes ) fr xi X ks, k > k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) fr X X S fr X X 3S fr X X S fr X X 5S fr X X 6S =.75, k = =.8888, k = 3 =.9375, k = =.96, k = 5 =.97, k = 6

43 Desigualdad de Chebychev (): Ejemplo E u laboratorio se hace ua prueba de impureza e 5 frascos de u determiado compuesto químico. Los resultados e % fuero:,,,7,9,,6,,7,,,,5,8,,5 Media =.66 S =,3 S =,58 La desigualdad de Chebychev os dice que: al meos el 75 % de los frascos (e este caso ) está e ( X - S, X + S ), o sea, e (,66 (,58),,66 (,58)) (,5,,8) Si cotamos e estos datos teemos de los 5 e este itervalo, lo cual represeta el 93 % (media - 3 S, media + 3 S ) (-,8,,3) cotiee al meos el 88,88 % de las observacioes (media - S, media + S ) (-,66,,398) cotiee al meos el 93,75 % de las 3 observacioes

44 Desigualdad de Chebychev (3) Ejercicio Si los paquetes de café lleados e u proceso tiee u peso medio de 5 gr co ua desviació de 3 gr Qué porcetaje de paquetes como míimo debe coteer etre 95 y 55 gr? = media ± 5 5 = k S= k 3 k = 5 / 3 E (media 5/3 S, media + 5/3 S) = (95, 55) está al meos el 6 % % = 6% 5 / 3 ( )

45 Típificació ó estadarizació x, x,..., x datos origiales (calculamos la media y la desviació típica) zi = xi X S i =,,... z, z,..., z datos tipificados o estadarizados Z = ; SZ = Características de ua muestra tipificada: Ua muestra tipificada tiee media y desviació típica. Ua variable tipificada o tiee uidades. La estadarizació facilita la comparació de la forma de las distribucioes (elimia los factores posició y dispersió). =.75, k = fr ( 3 Z 3) =.8888, k = 3 3 fr ( Z ) =.9375, k = fr ( Z ) 5

46 Ejemplo U estudiate obtuvo 8 de putos posibles e el exame fial de matemáticas, e el que la ota media fue 76 y S =. E el exame de Física obtuvo 9 de los putos posibles, siedo la media 8 y S =6. E qué exame sobresalió más? 8 76 =,8 9 8 =,5 6 Matemáticas Física 6

47 Estudio de la forma de ua distribució de frecuecias Simetría y asimetría Aputamieto Uimodalidad y multimodalidad 7

48 Estudio de la forma: simetría Medidas de forma: asimetría y curtosis Distribució simétrica. Distribució asimétrica positiva o a la derecha. Distribució asimétrica egativa o a la izquierda. 8

49 Estudio de la forma: gráfico de simetría Muestra: x, x,..., x x() x() x(3) x() Me... x(-3) x(-) x(-) x() Muestra ordeada: x(), x(),..., x() Putos del gráfico de simetría: Asimetría a la derecha simetría ( Me-X(), X()-Me ) ( Me-X(), X(-)-Me ) ( Me-X(3), X(-)-Me ) x(+-i) Me Asimetría a la izqierda Ecima de la mediaa ( Me-X(i), X(+-i) -Me ). ( Me-X(), X() -Me ) Me x(i) Debajo de la mediaa 9

50 Estudio de la forma: asimetría Coeficietes de asimetría x, x,..., x datos origiales CA = z, z,..., z datos tipificados Distribució simétrica: i= ( xi X ) 3 S3 CA = i= xi X = S i= 3 zi3 CA Distribució asimétrica positiva: CA> (cola derecha más pesada) Distribució asimétrica egativa: CA< (cola izquierda más pesada) Coeficiete de asimetría de Yule Coeficiete de asimetría de Kelly (adimesioal) K= B= (Q3 Me) ( Me Q ) Q3 Q ( P9 Me) ( Me P ) ( P9 P ) = Me 5

51 Estudio de la forma: aputamieto () 5

52 Estudio de la forma: aputamieto () Coeficietes de aputamieto o curtosis: Medida de la importacia de las colas de la distribució x, x,..., x datos origiales Cap = z, z,..., z datos tipificados i= ( xi X ) S x X = i S i= Cap = zi i= Distribució ormal Cap 3 Distribució más aputada Cap > 3 Distribució meos aputada Cap < 3 Nota: Alguos autores utiliza Cap 3 5

53 Diagrama de cajas Resume rápido de ua distribució de frecuecias de ua muestra utilizado cico estadísticos: Los cuartiles (Q, Me, Q3 )y las observacioes extremas: (máximo y míimo) Aporta iformació rápida sobre posició dispersió y forma de la distribució. Límite iferior: Límite superior: LI = Q-.5(Q3-Q) LS = Q3+.5(Q3-Q) Co datos ormales el itervalo (LI, LS) cotiee 99% Caja: Q, Me, Q3. (cotiee el 5% de datos) Patas: la observació más grade y la más pequeña e (LI, LS) Observacioes fuera de (LI, LS): Posibles datos aómalos (outliers), errores de medició, errores de tecleado, etc. Box-ad-Whisker Plot 3 5 RATE 6 Box-ad-Whisker Plot TRKS 6 53

54 Ejercicio Costruir el diagrama de caja para los dos cojutos de datos: Datos :, 6,, 3, 8, 3.5,,, 3,, Datos :, 8,, 3,., 7, 6,.3,, 5

55 Ejemplos () Cout = Histograma Cout = Histograma Average = -, Average = 9, Media = -,759 -, -, -,,9,9,9 variable_ Variace =,75669 Stadard deviatio =,866 freque cy frequecy Media = 9, Variace =,337 Stadard deviatio =,73 5 6, 8,,,, variable_ Miimum = -,858 Maximum =,8786 Rage = 3,6667 Box-ad-Whisker Plot -,9 -,9,, Box-ad-Whisker Plot Lower quartile = 8,778 Upper quartile =,87 Iterquartile rage =,588 Lower quartile = -,6875 Upper quartile =,77 Iterquartile rage =,563, variable_ 6,3 distace above media,6 Coeff. of variatio = -35,96%,,8,,,8, distace below media,6 7,3 8,3 9,3,3,3,3 Skewess = -,5575 Kurtosis =,9895 3,3 variable_ Symmetry Plot distace above media Skewess =,667 Kurtosis = -,36693 Symmetry Plot Miimum = 6,388 Maximum =,65 Rage = 5,76 Coeff. of variatio =,6685% 3 3 distace below media 55

56 Ejemplos () Cout = Histograma 3 Average =,859 3 Media =,7683 -,,9,9,9 3,9 variable_3 Average =, frequecy frequecy Cout = Histograma Media =, Variace =,566 Stadard deviatio =,56 3,, 5, 6, 7, variable_ Miimum =,836 Maximum =,35899 Rage =,7855 Box-ad-Whisker Plot Miimum = 3,8 Maximum = 6,83 Rage =,783 Box-ad-Whisker Plot Lower quartile =,373 Upper quartile = 5, Iterquartile rage =,89565 Lower quartile =,7769 Upper quartile =,687 Iterquartile rage =,596966,,8,,6, variable_3 dista ce above med ia Symmetry Plot 3, Coeff. of variatio = 59,3835%,6,,8, 3,7,,8,,6,7 5, 5,7 6, Skewess = -, Kurtosis = -,9679 variable_ Symmetry Plot,6 Coeff. of variatio =,533%,,8,, Skewess =,88779 Kurtosis =,55766 distace above media Variace =,353 Stadard deviatio =,5955,,8,,6 distace below media distace below media 56

57 Ejemplos (3) Cout = Histograma Average =, Average =,367 Media =,8989,3,6,9,,5 variable_5 Variace =,795 Stadard deviatio =,6663 frequecy frequecy Cout = Histograma 3 Media =,733 -,,6 5,6 7,6 9,6 Miimum =,57658 Maximum = 5,5775 Rage = 5,598 Box-ad-Whisker Plot Lower quartile =,7373 Upper quartile =,33 Iterquartile rage =,98757,3,6,9,,5 variable_5 Lower quartile =,33597 Upper quartile =,375 Iterquartile rage =,385 Skewess = -,8368 Kurtosis =, Skewess =,97 Kurtosis = 5,778 variable_6 distace above media Coeff. of variatio = 3,899%,6,5,,3,,,,,3, distace below media,5,6 distace above media Symmetry Plot Symmetry Plot Variace =,89893 Stadard deviatio =,97889 variable_6 Miimum =,3535 Maximum =,765 Rage =,6 Box-ad-Whisker Plot 3,6 5 Coeff. of variatio = 9,8793% distace below media 57

58 Ejercicio (A) Para cada ua de las variables de la tabla siguiete escribir la letra del histograma correpodiete 58

59 Ejercicio (B)

60 Ejercicio (B)

61 Ejercicio (C) Empareja cada uo de los histogramas co su diagrama de caja correspodiete y explica porqué haces tal asigació 6

62 Estudio de la cocetració Estudiamos la CONCENTRACIÓN para variables cuatitativas positivas e las cuales la suma de los valores idividuales tiee el setido de u todo del cual cada idividuo participa co ua parte. La idea es aalizar el grado de homogeeidad ó igualdad o falta de estas e el reparto del todo. Ejemplos: la riqueza de la població de u país Los salarios de los empleados de ua empresa o de u sector La població de los muicipios de ua provicia. No tiee setido co variables como la altura, el úmero de pie, etc La cocetració oscila etre ua situació e la cual u idividuo tiee el todo y el resto o tiee ada (máxima cocetració) y ua situació e la que todos los idividuos tiee exactamete la misma catidad (cocetració míima). Cotruiremos el ídice de Gii para medir las situacioes itermedias y la curva 6 de Lorez para visualizar el grado de cocetració.

63 Cocetració: Curva de Lorez Ejemplo: Ui catidades acumuladas por los idividuos Fi frecuecia acumulada de idividuos 63

64 Cocetració: Ídice de Gii () Se ordea los valores de la variable (ó las clases) de meor a mayor. Se compara catidades acumuladas por los idividuos (o clases) co frecuecias acumuladas de idividuos q i = x i i ui = qi k j= i x i i = k qj fi = i = j= x jj i k j= i Ui = Fi = i j= uj IG = i j= Ídice de Gii fj ( Fi U i ) i Fi i El ídice de Gii toma está etre y. El ídice de Gii toma el valor cuado hay igualdad, i.e. todos los idividuos dispoe de igual parte del todo (míima cocetració). El ídice de Gii toma el valor cuado hay máxima desigualdad, i.e. u idividuo dispoe del todo y el resto de idividuos o tiee igua parte (máxima cocetració). 6

65 Cocetració: Ídice de Gii () 3 ejemplos: Cliete Vetas i Fi qi Ui Fi - Ui A.5.88 B C D total Cliete Vetas i Fi qi Ui A.5.5 B.5 C.75 D total 6 IG = Fi - Ui.33 IG =.7.67 = Cliete Vetas i Fi qi Ui Fi - Ui A B C D total IG =.5 =.5 =.5 65

66 Ejemplo curva de Lorez () 66

67 Ejemplo cocetració Coclusió: Cocetració baja e las dos zoas. Meor cocetració e la zoa. 67

68 Más sobre cocetració Existe otros ídices, por ejemplo, Ídice de Theil: x, x,..., xk co frecuecias,,, k respectivamete T = log() + k i= i ci log(ci ) co ci = xi k j= x jj Cuado existe equidistribució T= y cuado u idividuo acapara todo T= log(). Otra defiició del ídice IT = T / log() 68

69 Ejemplo curva de Lorez: població CyL () DISTRIBUCIÓN DE LOS MUNICIPIOS POR EL NÚMERO DE HABITANTES DE DERECHO. AÑO 996. Ávila NÚMERO DE MUNICIPIOS EN CADA INTERVALO DE HABITANTES De De De De De De De De De Meos De De 5 Total. a. a 3. a 5. a. a. a 3. a 5. a. a de a 5 a Burgos Leó Palecia Salamaca Segovia Soria Valladolid Zamora Castilla y Leó España Más de

70 Ejemplo curva de Lorez: població CyL () Avila U U Castilla y Leo P P Burgos....6 P U U Zamora....6 P.8. 7