Juegos Matemáticos La Torre de Hanói y los Qn Grafos

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1 Juegos Matemáticos La Torre de Haói y los Q Grafos Revista de Ivestigació ISSN de octubre de 0 Resume La Torre de Haói es uo de los hallazgos matemáticos más igeiosos de la matemática recreativa. Gracias a ua leyeda co tite orietal hoy se cooce de modo uiversal. Se describe e este artículo las relacioes etre las solucioes del rompecabezas y los ciclos hamiltoiaos e los grafos Q. Palabras Clave: Grafo, Juegos, Haói. La leyeda El matemático fracés Édouard Lucas d Amies co el pseudóimo de profesor N. Claus de Siam (aagrama de Lucas d'amies), madarí del Colegio de Li Sou-Stia (ua ueva permutació de letras, esta vez de las de las de las palabras Sait Louis), ideó y dio a coocer este problema e 883. Se comercializó como u juego co el ombre de La Torre de Haói. El material del rompecabezas lo forma tres pivotes sujetos e ua base horizotal y u cierto úmero de discos de distitos diámetros que se coloca e uo de los pivotes extremos. E la parte baja se coloca el de mayor diámetro y ecima los de diámetros meores e orde decreciete. El objetivo del juego cosiste e pasar los discos de u extremo al otro siguiedo uas precisas ormas que so: E cada movimieto solo puede moverse u disco. El úmero de movimietos debe ser el meor posible No se puede colocar uca u disco sobre otro de meor diámetro.

2 Juegos Matemáticos - La Torre de Haói y los Q grafos La Torre de Haói tuvo desde su comiezo u gra éxito y se dio a coocer co ua leyeda que perfeccioó el escritor Heri de Parville al año siguiete: E el gra templo de Bearés, debajo de la cúpula que marca el cetro del mudo, yace ua base de broce, e dode se ecuetra acomodadas 3 agujas de diamate, cada ua del grueso del cuerpo de ua abeja y de ua altura de 50 cm aproximadamete. E ua de estas agujas, Dios, e el mometo de la creació, colocó 64 discos de oro, el mayor sobre el plato de broce y el resto, de meor tamaño, coforme se llega a la cima. Día y oche, icesatemete, los sacerdotes del templo mueve los discos de ua aguja a otra de acuerdo co las leyes impuestas e imutables de Brahma, que requiere que los sacerdotes se ecuetre todo el tiempo laborado, o mueva más de u disco a la vez y que debe colocar el disco e algua de las agujas de modo que o cubra a u disco de radio meor. Cuado los 64 discos haya sido trasferidos de la aguja e la que Dios colocó los discos, e el mometo de la creació, a la otra aguja, el templo y los brahmaes se covertirá e polvo y juto co ellos el mudo desaparecerá. Texto origial de Heri de Parville (de 884) Este fial os ivita a averiguar el úmero de movimietos que ha de realizar los mojes de Bearés para cumplir co el madato de Brahma. Tal vez el fi del mudo esté próximo. Figura : Portada origial Fuete: Revista Pesamieto Matemático - Número - Oct' ISSN

3 Juegos Matemáticos - La Torre de Haói y los Q grafos. Pasará milloes de años Para resolver el problema de la torre de Haói co + discos, primero se traslada los discos de meor diámetro al poste cetral. Se ecesitará para ello x movimietos. A cotiuació se mueve el disco de mayor diámetro al tercer poste, y fialmete los discos meores ecima del mayor. E total será precisos x+ movimietos. Para u disco se ecesitará - movimietos. Para dos discos ( - ) + = - movimietos.... Para discos el úmero de movimietos será: ( - - ) + = - Luego, para = 64, el úmero de movimietos ecesario para resolver el puzzle es 64 - = Si los sacerdotes del templo de Bearés fuese capaces de mover u disco cada segudo, sería ecesario algo más de medio billó de años para trasladar la torre de Haói de u extremo a otro. 3. Los Q grafos Cosideremos el subcojuto V de R defiido por: V = {A = ( a, a,..., a ) R / ai = 0 ó i =,,, } Claramete # V = VR, = Diremos que A = ( a, a,..., a ) y B = ( b, b,..., b ) i= a b =. i i= i V so adyacetes si Llamaremos - cubo y lo represetaremos por Q al grafo (V, E) dóde V está formado por las -uplas arriba descritas y E = {AB / A, B V A y B so adyacetes} Todos los vértices tiee el mismo grado ya que hay formas distitas de variar ua posició e ua -upla. Se deduce etoces que Q es u grafo regular de orde. Ua simple operació os permite calcular el úmero de aristas: grado( v) = v V j= = Revista Pesamieto Matemático - Número - Oct' ISSN

4 Juegos Matemáticos - La Torre de Haói y los Q grafos Mª Milagros Latasa Asso # E = - E la Figura se puede apreciar ua represetació de Q, Q, Q3 y y Q4 Figura. Represetació de Q, Q, Q3 y Q4 4. Los Q grafos so hamiltoiaos ( ) Razoamos por iducció sobre : Para = es clara la existecia de u ciclo hamiltoiao dode: Sea los dos sub Q es hamiltoiao. Supogamos que Qk es hamiltoiao, veamos que lo es Qk+: bgrafos de Qk+ : ( V k E ) G y G ( V = +, k+ = k+, Ek+ ) Revista Pesamieto Matemático - Número - Oct' ISSN

5 Juegos Matemáticos - La Torre de Haói y los Q grafos V = {( a a,..., a )/ a = 0, a = 0 ó i, k} k+ V k+ = E, k + k+ i =,.., { AB eje de Q A B V } = /, k + k+ k+ E { AB eje de Q A B V } = /, k+ k+ k+ Demostraremos ahora que G y G so isomorfos a Qk = (Vk, Ek). Para ello defiimos las aplicacioes f: Vk V k+ g: Vk V k+ de modo que Si A = ( a, a,..., a ) k {( a a,..., a )/ a = 0, a = 0 ó i, k}, k + k + i =,.., Vk cualquiera f (A) = f (( a, a,..., a k )) = ( a, a,..., ak,0) g ( A) = g (( a, a,..., a k )) = ( a, a,..., ak,) Tato f como g so aplicacioes biyectivas: Desde luego f está bie defiida. f (( a, a,,ak)) = f (( b, b,,bk)) ( a, a,,ak, 0) =( b, b,,bk, 0) ai = bi i =,,, k ( a, a,,ak) = ( b, b,,bk) f iyectiva Por otra parte, dado (a, a,, ak, 0) f (( a, a,,ak)) =(a, a,,ak, 0) f sobre. V k+, (a, a,, ak) Vk / Veremos ahora que f es u isomorfismo de grafos. E efecto: ( a, a,,ak) y ( b, b,,bk) adyacetes e Qk a b = ( a + + a + 0) ( b + b b + 0) k i= a... = + k k i k ( a, a,,ak, 0) y ( b, b,,bk, 0) so adyacetes e G f (( a, a,,ak)) y f (( b, b,,bk)) so adyacetes e G. De forma aáloga se probaría que g es u isomorfismo de grafos. Q k es hamiltoiao σ permutació del cojuto,,, / A σ (), A σ (),, A σ ( k ) es ua ordeació de los vértices de Vk que defie u i= i Revista Pesamieto Matemático - Número - Oct' ISSN

6 Juegos Matemáticos - La Torre de Haói y los Q grafos Mª Milagros Latasa Asso ciclo hamiltoiao e Q k : A σ (), A σ (),, A σ ( k ), A σ () f isomorfism de grafos f(aσ()), f(aσ()),, f(aσ(k)), f(aσ()) ciclo hamiltoiao e V k+. g isomorfismo de grafos g(aσ()), g(aσ()),, g( (Aσ(k)), g(aσ()) ciclo hamiltoiao e V k+. Observemos que { f(a σ ()), f(a σ ()),, f(a σ ( k )), g(a σ ()), g(a σ ()),, g(a σ ( k ))} es el cojuto de vértices V k+ ya que V k+ = V V k+ Sea A σ (j) =,,, para cada j,,, j,,,, k+ f (A σ (j) ) =,,,,0 y g(a σ (j)) =,,,, adyacetes las parejas f(a σ () ), g(a σ () ) y f(a σ ( k ) ), g(a σ ( k ) ) so adyacetes ejes e Qk+ que ue los vértices f(a σ () ), g(a σ () ) así como g(a σ ( k ) ). f(a σ ( k ) ), El ciclo defiido por f(a σ ()), f(a σ ()),, f(a σ ( k )), g(a σ ( k )), g(a σ ()), g(a σ ()), g(a σ ()), f(a es hamiltoiao Q k+ es hamiltoiao. Luego Q es hamiltoiao N. A σ ()) Figura 3. Ejes e Qk+ que ue las parejas de vértices f(a σ ()), g(a σ ()) y f(a σ ( k ) ), g(a σ ( k ). Revista Pesamieto Matemático - Número - Oct' ISSN

7 Juegos Matemáticos - La Torre de Haói y los Q grafos Mª Milagros Latasa Asso 5. La solució de la Torre de Haói y los Q grafos Partimos de ua torre de Haói co discos que se umera,,, desde el más pequeño al de mayor tamaño. Cada estado e la resolució del juego se idetifica co ua -upla,,, dóde ai = 0, depediedo de la clase de Z/Z a la que perteezca el º de movimietos del disco iésimo. U movimieto del disco iésimo se idetifica co el paso de,,,0,, a,,,,, o viceversa. La sucesió de -uplas que aparece e la resolució del problema, defie u ciclo hamiltoiaoo e Q. Recíprocamete: existe u ciclo hamiltoiao e Q que os lleva a la solució del rompecabezas. Para = : V: 00 V :0 V3 : V4: 0 Para = 3 Figura 4. Solució del puzzle co dos discos y ciclo e Q V:000 V5: 0 V: 00 V3:0 V6: V7: 0 V4: 00 V8: 00 Figura 5. Solució de la Torre de Haói co tres discos Revista Pesamieto Matemático - Número - Oct' ISSN

8 Juegos Matemáticos - La Torre de Haói y los Q grafos Mª Milagros Latasa Asso La solució del puzzle descrita e la Figura 5 defie el siguiete ciclo hamiltoiao e Q3. Figura 6. Ciclo descrito e Q3 por la solució de la Torre de Haói. Se ivita al lector a buscar los ciclos hamiltoiaos e Q4 y Q5 que determia las solucioes del rompecabezas de la torre de Haói para cuatro y cico discos. Solució Q4 Solució Q5 Referecias [] CHARTRAND, Gary. Itroductory Graph Theory, pp 34, 35, 36, 37, Dover Publicatios, Mieola, New York 985 [] AZNAR ENRIQUE, R. Biografías de matemáticos. s/~eazar/lucas.htm [3] STOCKMEYER, Paul K. The Tower of Haoi [4] KOLAR, M. The shortest ad "mysterious" TH algorithm [5] BALBUENA CASTELLANO, Luis. Las Torres de Haói y el madato de Brahma, pp , Nº 8 revista SIGMA., Uiversidad del País Vasco, Mayo 006. Revista Pesamieto Matemático - Número - Oct' ISSN

9 Juegos Matemáticos - La Torre de Haói y los Q grafos Sobre la autora: Nombre: Correo Electróico: mlatasa@gmail.com Istitució: Grupo de Iovació Educativa Pesamieto Matemático. Istituto de Eseñaza Secudaria Virge de la Paz, Madrid, España. Revista Pesamieto Matemático - Número - Oct' ISSN