Capacitores y Dieléctricos Teórico-Práctico Nº3 Clase Teórico Práctica del 7 / 4 / 2010 Lic. Francisco Rubén Soria

Transcripción

1 Cpcitores y Dieléctricos Teórico-Práctico Nº3 Clse Teórico Práctic el 7 / 4 / 21 Lic. Frncisco Rubén Sori Introucción Los cpcitores son ispositivos que permiten lmcenr crgs y energí eléctric. Son elementos simples que se pueen conectr pr formr un circuito eléctrico junto con resistores e inuctores, que se verán más elnte. Se los utiliz pr sintonizr frecuencis en receptores e rios, en filtros e fuentes e energí eléctric, pr eliminr chisps en sistems e encenio, en flshes electrónicos en cámrs fotográfics igitles. Un cpcitor está formo por os conuctores e form y tmño rbitrrios sepros por un mteril islnte que enominremos ieléctrico. Cuno está crgo, c conuctor posee un mism cnti e crg pero e signos opuestos. Y ebio l presenci e ls crgs se estblece un iferenci e potencil entre ellos. Tiene l propie e lmcenr crgs istintos potenciles pero l relción entre l crg lmcen y l iferenci e potencil que se estblece entre los conuctores es un constnte. A est propie se l enomin cpcitnci y se efine como l rzón entre l crg e culquier e los conuctores y l iferenci e potencil entre ellos: C= V (1) L cpcitnci epene e l form geométric el cpcitor y el mteril islnte entre los conuctores. L cpcitnci se mie en: [C ]= [] [ V ] =C Culombio =F ; 1 Frio=1 V Voltio (2) El Frio es un uni muy grne e cpcitnci, por lo que los rngos más usules se encuentrn entre los picofrios (pf = 1-12 F) y los microfrios (μf = 1-6 F). Cpcitor e plcs prlels Consieremos un cpcitor one los conuctores son os plcs prlels (curs, circulres u otr form rbitrri) e áres igules A y seprs un istnci y en el vcío. C un e ls plcs se conect los terminles e un fuente e tensión continu, por ejemplo: un bterí e 12V. Supongmos que l istnci se seprción entre ls plcs es pequeñ compr con el áre e ls misms. Poemos entonces clculr el cmpo eléctrico proucio por ls plcs usno l ley e Guss y tomno como moelo pr c plc un plno infinito crgo con ensi uniforme e crg superficil σ=/a. Pr simplificr el problem ibujmos ls plcs un l lo e l otr y fijmos un sistem e referenci en un e ells. El cmpo eléctrico proucio por c plc mbos los tiene un + A - Figur 1: Cpcitor e A Físic III - 1 e 7

2 vlor constnte: E=σ/2ε en c punto el espcio. En l Figur se muestrn ls línes e cmpo eléctrico e l plc positiv en color rojo y ls línes e cmpo eléctrico e l plc negtiv en color zul. L configurción e crgs ivie l espcio en tres regiones: I) l izquier e l plc positiv, x negtivs; II) el espcio entre plcs; y III) l erech e l plc negtiv. En ls regiones I y III el cmpo eléctrico resultnte es nulo, ebio que los cmpos eléctricos e ls plcs son opuestos en c punto el espcio, mientrs que en l región II, los cmpos eléctricos e mbs plcs se sumn y el cmpo eléctrico resultnte es: Cpcitores y Dieléctricos I σ + II σ - III x Figur 2: Cmpo eléctrico e un cpcitor e E= i (3) Pr clculr l cpcitnci el cpcitor e plcs prlels necesitmos conocer l iferenci e potencil entre sus plcs. Recurrimos entonces l relción generl que existe entre el cmpo eléctrico y el potencil eléctrico e culquier istribución e crgs: E= V (4) one el operor = x i y j k z tom l form = x i en nuestro sistem e coorens. Poemos clculr el potencil eléctrico en l región II usno l expresión: V x = E x= x= x (5) Un form e visulizr l istribución e cmpo eléctrico y potencil eléctrico en too el espcio representmos en gráficos l vrición e los mismos en función e ls coorens, en este cso, en función e x. E V σ/ε x x -σ/ε Figur 3: Cmpo eléctrico e un cpcitor e Figur 4: Potencil eléctrico e un cpcitor e ue como ejercicio, emostrr que el potencil eléctrico l izquier e l plc positiv Físic III - 2 e 7

3 es nulo y l erech e l plc negtiv tiene el vlor o en el Figur 4. Hbrá que tener en cuent que l gráfic el potencil eléctrico es un función continu, no ebe presentr sltos. En l ecución 5 se relizó un integrción inefini pr poer obtener el potencil eléctrico en función e l cooren x. Sin rnos cuent elegimos potencil eléctrico e referenci igul cero en x igul cero. Surge entonces l pregunt: Cómo cmbi l form e l función potencil eléctrico si elegimos potencil eléctrico e referenci cero en x igul? Finlmente l cpcitnci el cpcitor e plcs prlels es: C= V = = / / A = A (6) L cpcitnci result irectmente proporcionl l áre A e ls plcs; cuánto myor se el áre myor será l cpcitnci. Y result inversmente proporcionl l istnci e seprción entre ls plcs; cunto menor se l istnci myor será l cpcitnci. Hst quí l epenenci con l form geométric. Con respecto l meio, l mteril que llen el espcio entre plcs, en este cso el vcío, l cpcitnci es irectmente proporcionl l permitivi ieléctric. Aplicción: Un plicción irect el cpcitor e plcs prlels l encontrmos en ls tecls e un teclo e computor o e un teléfono celulr o e un control remoto e televisor o un equipo e uio. Cuno se oprime un tecl, l plc superior móvil bj comprimieno y eformno el mteril islnte blno entre ést plc y un plc inferior fij. El complejo circuito el teclo es cpz e registrr este cmbio e cpcitnci e ientificr l tecl puls. Cpcitor esférico + Un cpcitor esférico está formo por os conuctores esféricos concéntricos e rios y b con b>. Usno l ley e Guss clculmos el cmpo eléctrico en el espcio entre los conuctores esféricos: b - E= 1 4 r 2 con r b (7) Pr encontrr l cpcitnci e este cpcitr necesitmos clculr l iferenci e potencil entre los conuctores esféricos. Lo hcemos usno l ecución (4) prticulriz pr este cso: Figur 5: Cpcitor esférico. V = b 1 4 r r= b = b 4 b (8) L cpcitnci el cpcitor esférico result: C= V =4 b b (9) L cpcitnci ument cuno los conuctores esféricos están muy cerc, es ecir, cuno Físic III - 3 e 7

4 sus rios ifieren muy poco uno e otro. ué sucee si el conuctor externo tiene un rio muy grne compro con el rio el conuctor interno? Pr responer est pregunt recurrimos un herrmient el cálculo, el límite: C= lim b 4 b b = lim b 4 1 /b =4 (1) Est es l cpcitnci e un conuctor esférico e rio islo. L cpcitnci es irectmente proporcionl l rio el conuctor esférico y epene el meio que lo roe, en este cso el vcío. Cpcitor cilínrico + - Un cpcitor cilínrico se compone e os conuctores cilínricos concéntricos e rios y b con b>. Usno l ley e Guss clculmos el cmpo eléctrico en el espcio entre los os conuctores tomno como moelo un cilinro infinito crgo con ensi e crg linel λ. E= 2 r Pr encontrr l iferenci e potencil entre los conuctores usmos l ecución (4) prticulriz pr este cso: (11) Figur 6: Cpcitor cilínrico. V = b 1 4 L cpcitnci el cpcitor cilínrico result: C= V = 2 ln b = 2 l ln b = r r= 4 ln b (12) 2 l ln b (13) L cpcitnci es irectmente proporcionl l longitu e los cilinros. Aplicción: Un cpcitor cilínrico e uso corriente lo constituye el cble coxil utilizo en l televisión por cble. El cble trnsport señles eléctrics tnto en el conuctor centrl como en el exterior. L geometrí coxil permite proteger ls señles e influencis externs. Energí lmcen en un cpcitor Dijimos que un cpcitor es un ispositivo que lmcen crgs y energí. L energí que lmcen el cpcitor está en form e cmpo eléctrico. Ahor vmos clculr es energí y vmos eterminr e qué prámetros epene. Consieremos un cpcitor e plcs prlels que se conect un fuente e tensión continu. En un o instnte l crg el cpcitor es q y su iferenci e potencil es ΔV. El trbjo que se ebe relizr pr umentr l crg el cpcitor un cnti e crg q es: Físic III - 4 e 7

5 W = V q= q C q= 1 q q (14) C El trbjo requerio pr crgr el cpcitor ese hst será entonces: W = W = 1 C q q= 1 C q q= 1 2 C 2 =1 2 2 C (15) El trbjo relizo pr crgr el cpcitor se trnsfiere l mismo como energí potencil eléctric. Tenieno en cuent l efinición e cpci, poemos escribir ls siguientes expresiones pr l energí lmcen en un cpcitor: U = C ; U = 1 2 C V 2 ; U = 1 V (16) 2 En l primer expresión poemos observr que l cpcitnci es irectmente proporcionl l curo e l crg. En l segun expresión es irectmente proporcionl l curo e l iferenci e potencil. Y en l tercer es irectmente proporcionl l proucto e l crg por l iferenci e potencil. Ests expresiones eberán usrse convenientemente e cuero los tos el problem. Dijimos que l energí lmcen se encuentr en form e cmpo eléctrico. El mismo, en un cpcitor e plcs prlels, ocup el volumen comprenio entre ls plcs, es ecir: A. Por lo tnto l energí U ocup este lugr. Diviieno l tercer expresión (16) por el volumen obtenemos l expresión pr l ensi e energí: w= 1 2 V A = 1 2 A V =1 2 E =1 2 E E = 1 2 E 2 (17) Por lo tnto l ensi e energí es irectmente proporcionl l curo el cmpo eléctrico. Hy que tener en cuent que tos ests expresiones son inepenientes e l form el cpcitor. Hy un límite pr lmcenr energí? Si, porque el islnte tiene un límite, soport hst un vlor máximo e cmpo eléctrico, cuno se lo sobreps ej e ser islnte, se trnsform en un conuctor, en lenguje cotiino ecimos que se quem. Aplicciones: Poemos sitr os plicciones e público conocimiento. Desfibrilor: se lo utiliz pr eliminr l fibrilción críc (contrcciones letoris el corzón en tques crícos). L rápi escrg e energí puee evolverle su ptrón norml e contrcciones. Flshes: e cámrs igitles. L energí lmcen se enví un lámpr que ilumin por un breve instnte. Conexión e cpcitores Sin importr l geometrí el cpcitor, éste se represent con el símbolo y se pueen Físic III - 5 e 7

6 conectr e istints mners. Conexión en serie En un conexión en serie los cpcitores se conectn unos otros formno un cen y los extremos se conectn un fuente e tensión continu (o ltern, como veremos ms elnte). Consieremos os cpcitores conectnos en serie. Cuno cerrmos l llve L se estblece en los cbles un cmpo eléctrico que mueve los electrones e mner que ls plcs e los cpcitores se crgn. Cuno los cpcitores están crgos ces el movimiento e electrones. En este momento: V 1 V 2 = V C 1 C 2 Como V 1 = 1 y V C 2 = 2 entonces 2 = V 1 C 2 C 1 C 2 Pero 1 = 2 = puesto que l cnti e electrones que se esplzn por los cbles ebe ser l mism en too punto el circuito, e lo contrrio l crg no se conservrí. Entonces = V C 1 C 2 1 Diviieno por, el seguno miembro represent l cpcitnci equivlente el circuito conect l fuente. Entonces pr un conexión en serie l cpcitnci equivlente es: 1 C eq = 1 C 1 1 C 2 (18) L cpci equivlente es menor que ls cpcitncis iniviules. Conexión en prlelo En un conexión en prlelo los terminles e c cpcitor se conectn con los terminles e l fuente e tensión (continu o ltern). Consieremos os cpcitores conectos en L prlelo. Cuno se cierr l llve L se estblece en los cbles un cmpo eléctrico que mueve los electrones e mner que ls plcs e los cpcitores se crgn. Cuno los cpcitores están crgos ces elc 1 movimiento e electrones y ls tensiones en c cpcitor igul l e l fuente: V 1 = V 2 = V C 2 ΔV Como ls cpcitncis son istints c cpcitor quirirá crgs istints e mner que l crg totl Figur 8: Cpcitores conectos en prlelo. trnsport es = 1 2 Como 1 =C 1 V 1 y 2 =C 2 V 2 entonces =C 1 V 1 C 2 V 2 =C 1 V C 2 V Diviieno por V el primer miembro represent l cpcitnci equivlente el circuito conect l fuente. Entonces pr un conexión en prlelo l cpcitnci equivlente es: C=C 1 C 2 (19) L cpcitnci equivlente es myor que ls cpcitncis iniviules. L ΔV Figur 7: Cpcitores conectos en serie. Físic III - 6 e 7

7 Cpcitor con ieléctrico Consieremos un cpcitor e plcs prlels que contiene en el espcio entre plcs un mteril islnte, un ieléctrico, y compremos ls cpcitncis con y sin ieléctrico. A L cpcitnci sin ieléctrico es C = y con ieléctrico es C= A =K A =K C El ieléctrico ument K veces l cpcitnci. Consieremos hor que el cpcitor se conect un fuente e tensión continu V. El cpcitor sin ieléctrico quirirá un crg =C V y el cpcitor con ieléctrico quirirá un crg =C V =K C V =K. El ieléctrico ument K veces l crg lmcen. Consieremos hor que el cpcitor se crg sin ieléctrico con un fuente e tensión V y se esconect e l fuente y luego se introuce el ieléctrico. En este cso l crg permnece constnte y l tensión el cpcitor con ieléctrico es V = C = = V K C K El ieléctrico permite lmcenr l mism cnti e crg pero con un tensión 1/K veces menor. Tbl 1: Alguns constntes ieléctrics Vcío 1 Bquelit 4.9 Ppel 3.7 Porceln 6 Virio pirex 5.6 Agu 8 Bibliogrfí: Serwey Jewett. Físic tomo II. Sext Eición. Tipler. Físic tomo II. Tercer Eición. Físic III - 7 e 7