UNIDAD 1 PROCESOS INFINITOS Y LA NOCIÓN DE LÍMITE

Transcripción

1 UNIDAD PROCESOS INFINITOS Y LA NOCIÓN DE LÍMITE Propósitos. Explorar diversos problemas que ivolucre procesos ifiitos a través de la maipulació tabular, gráfica y simbólica para propiciar u acercamieto al cocepto de límite. Apredizajes. Al fializar la uidad el alumo: Utiliza procedimietos aritméticos para resolver problemas que ivolucra procesos ifiitos. Recooce características de los procesos ifiitos utilizado diversas represetacioes: material cocreto, diagramas, gráficas, tablas o explicacioes verbales. Recooce u proceso como ua acció que produce u resultado, este proceso será ifiito cuado se pueda producir siempre u resultado más. Distigue u proceso ifiito de uo que o lo sea. Resuelve problemas de diversos cotextos que ivolucra e su solució, procesos ifiitos. Utiliza las represetacioes gráfica, tabular y algebraica de u proceso ifiito para aalizar su comportamieto e cuato a: cómo cambia la variable, qué comportamieto sigue, cuáles so los valores siguietes, qué ta parecidos so y a la larga, cómo so éstos. Itroducció. E esta primera uidad cetraremos uestra ateció e el cocepto de límite, para lo cual iiciaremos co el estudio de procesos ifiitos, su tedecia, estabilizació, recoocimieto de patroes, predicció de comportamietos y resultados, mediate el tratamieto tabular, gráfico y algebraico. Los ejemplos y situacioes que trataremos de procesos ifiitos os servirá para ir costruyedo el cocepto de límite, así como la compresió y maejo de su otació. Aalicemos la siguiete igualdad: = 0... expresió la podemos igualar co ua suma: La parte derecha de la 0...= Así pues, se puede expresar a la fracció como el resultado de u proceso que ivolucra realizar ifiidad de sumas, por lo que podemos hablar de que queda expresada como u proceso ifiito. Claro que tambié se tiee u proceso cuado teemos , lo cual obviamete es igual a. Este proceso tiee como diferecia co respecto al aterior, que cada ueva suma que se realiza o modifica el resultado. Si escribimos: 0 = + + +, o bie, 0 = + 9, podemos afirmar que se trata tambié de procesos, pero de igua maera de procesos ifiitos.

2 Así pues, u proceso es ua acció que produce u resultado, dicho proceso será u proceso ifiito cuado se pueda producir siempre u resultado más. Ahora, te ivitamos a realizar cuidadosamete cada ua de las siguietes Actividades. Te recomedamos que después de hacerlas, o bie mietras las efectúas, itercambies putos de vista co tus compañeros, y corrobore sus resultados. Actividad. U chapulí se ecuetra e el extremo de u camio de u metro de largo. De u salto llega a la mitad del camio, e el salto siguiete llega a la mitad de lo que le faltaba y así sucesivamete, cuáto camio recorre e cada salto? Si supoemos que siempre le es posible saltar, recorrerá todo el camio?. Traza u dibujo que represete lo que va ocurriedo.. Después del primer salto cuáto camio ha recorrido?. Cuáto recorrió e el segudo salto y cuáto lleva recorrido?. Para aotar lo que ecotraste, cotiuar co el proceso y aalizar lo que ocurre completa la tabla siguiete: Número de salto () Logitud de camio recorrido e ese salto (a ) + = = Logitud total del camio recorrido (S ) 5. Geeraliza y obté ua fórmula para a. 6. Ahora, co el fi de obteer la fórmula para S te sugerimos que compruebes y completes lo siguiete: 7 S =, S = + =, S = + + =, S =,, S = 8 Cuado obtegas el último resultado, verifica la fórmula para los valores de que ecotraste e la tabla.

3 7. Si fuera posible que el chapulí pudiera seguir saltado idefiidamete, llegaría a recorrer todo el camio? Como observaste, la logitud del camio recorrido e cada salto está dada por los úmeros:,, 8, 6,, e dode los deomiadores so potecias de, por lo que e el eésimo salto recorre la distacia. Los térmios: a =, a =, a = 8, a = 6,, forma ua sucesió ifiita, la cual se puede represetar como:, o bie, { a }. E geeral, ua a esta formada por los térmios a, a, a, Las sucesió ifiita { } sucesioes que ormalmete se utiliza e matemáticas so ifiitas, es decir, siempre que se tiee u térmio a existe el siguiete térmio a +, al térmio a se le llama térmio geeral. La logitud del camio total recorrido por el chapulí desde el primer paso hasta el eésimo, se puede expresar como: a+ a + a + a a = Las sumas de los térmios de ua sucesió so llamadas sumas parciales: S = a S = a + a. S = a + a + a + + a A la suma a + a + a + + a +, se le llama serie. Como puedes ver, se ha obteido ua ueva sucesió { S }, formada por las sumas parciales: S, S,, S. Así pues, teemos ua sucesió ifiita: a, a, a,, a,, cuyos térmios os represeta la distacia recorrida por el chapulí y otra sucesió ifiita: S, S,, S, co térmios que os represeta el camio total recorrido. Como respuesta al iciso hiciste u dibujo, el cual quizá se parezca al siguiete: 0 8 6

4 Ahora, observa e la tabla que completaste que teemos tres catidades que varía, es decir, tres variables: el úmero de pasos, la logitud del camio recorrido e cada salto a y la logitud del camio total recorrido S. Además del dibujo, podemos hacer ua represetació e u plao cartesiao colocado e el eje de las abscisas los valores de la variable y e el de las ordeadas los de a. 8. E la gráfica siguiete coloca todos los putos que te sea posible realizado las tabulacioes que te falte. 0.5 a , Tato e el registro tabular como e el gráfico se puede observar qué ocurre co coforme se hace cada vez más grade. Si se va haciedo cada vez más y más grade, se va acercado más y más a algú valor?, a qué valor? Si llamamos L a ese valor y tomamos valores de todavía mayores que los ateriores, la diferecia etre y L se hace cada vez meor?, o dicho de otra forma, L se va acercado cada vez más a cero? Siempre que hacemos lo aterior ocurre lo mismo?. Si tu respuesta a la última preguta fue afirmativa, podemos aseverar que cuado tiede a ifiito tiede a L, lo cual se puede simbolizar como: lim L, esto se lee: El límite, cuado tiede a ifiito, de es L. El símbolo es el que se le asiga e Matemáticas al ifiito.

5 Como ya vimos, decimos que lim a = L, si los térmios a de la sucesió se va acercado cada vez más a L, siempre que se hace cada vez más grade, o bie, si ocurre que L a se va acercado a cero cuado toma valores cada vez más grades. Si lim a = L, la sucesió {a} es covergete y si el límite o existe la sucesió es divergete. 0. Es el u valor umérico? De ser así, qué valor umérico tiee?.. Retoma los valores que ecotraste de S y calcula otros para graficar la mayor catidad de putos que puedas e el siguiete sistema de coordeadas: S , Tambié e este caso, tato e el registro tabular como e el gráfico se puede observar qué ocurre co S coforme se hace cada vez más grade. Si se va haciedo cada vez más y más grade S se va acercado más y más a algú valor? a qué valor? Si llamamos L a ese valor y tomamos valores de todavía mayores que los ateriores, la diferecia etre S y L se hace cada vez meor, o dicho de otra forma, S L se va acercado cada vez más a cero? Siempre que hacemos lo aterior ocurre lo mismo? Por todo ello, a qué es igual lim S? Hemos ecotrado el térmio geeral de la sucesió = S. No siempre es posible determiar la fórmula que expresa el térmio geeral de ua sucesió, pero cuado la teemos os podemos auxiliar de ella para aalizar 5

6 qué ocurre co la sucesió cuado tiede a ifiito. Verifica la forma e que trasformamos el térmio geeral, para luego aalizar qué ocurre co su límite: Por lo aterior, S = = S = lim lim Es claro que si tiede a ifiito, la variació de la expresió de la derecha es geerada por la variació de, pero como ya vimos lim = 0, por lo que podemos cocluir que S =. lim = lim Así pues, la covergecia de la serie a+ a + a + a a +..., es equivalete a la covergecia de la sucesió {S }. Esta situació siempre ocurre. Actividad. U cuadrado de lado cm. se divide e tres rectágulos iguales y se sombrea uo de ellos (paso uo). Uo de los rectágulos o sombreados se divide e otros tres rectágulos iguales y se sombrea uo de ellos (paso ). Este proceso se cotiúa idefiidamete. A cotiuació te presetamos los primeros seis pasos del proceso. Paso Paso Paso Paso Paso 5 Paso 6 6

7 . Al termiar el primer paso qué valor tiee el área del rectágulo sombreado?. E el segudo paso cuáta superficie se sombreó? E total cuáta está sombreada?. E el tercer paso cuáta superficie se sombreó? E total cuáta está sombreada?. El total del área de la regió sombreada se va a aproximado a u valor? De ser así, a qué valor?. 5. Completa la tabla siguiete: Número de paso: 5 6 Área de la regió e el paso: a. 9 7 Área total: A. = 0. + = = = = Geeraliza y obté ua fórmula para a. 7. Para obteer la fórmula del área de la superficie e geeral, te propoemos que compruebes y completes las siguietes sumas parciales: 0 + A = a =, A = a+ a = + =, A = a+ a + a = + + =, A =,... A = Es coveiete que después de obteer la fórmula del área total, la verifiques para los valores de que ecotraste e la tabla. El área e cada paso, está dada por los térmios de la sucesió ifiita { a } : a =, a =, a =, a = cuyo térmio geeral es: El área total e el proceso ifiito, se puede expresar por medio de la serie: a+ a + a + a a +... = , 7

8 Además de la sucesió { a } sumas parciales: { A }., existe otra, la que se establece a partir de las 8. Coloca e el eje de las abscisas los valores de la variable, el úmero de paso, y e el de las ordeadas los del área e ese paso: a. a , Tato e el registro tabular como e el gráfico se puede observar qué ocurre co coforme se hace cada vez más grade. Si se va haciedo cada vez más y más grade, se va acercado más y más a algú valor?, a qué valor? Si llamamos L a ese valor y tomamos valores de todavía mayores que los ateriores, la diferecia etre y L se hace cada vez meor? o dicho de otra forma, L se va acercado cada vez más a cero? Siempre que hacemos lo aterior ocurre lo mismo? 0. La sucesió {a } es coverge o divergete? E caso de que sea covergete a qué valor coverge?.. Pasemos a trazar ua represetació e u plao cartesiao colocado e el eje de las abscisas los valores de la variable, el úmero de paso y e el de las ordeadas los del área total sombreada hasta ese paso: A, 0.5 A

9 . Tambié e este caso, tato e el registro tabular como e el gráfico se puede observar qué ocurre co A coforme se hace cada vez más grade. Si se va haciedo cada vez más y más grade A se va acercado más y más a algú valor?, a qué valor? Si llamamos L a ese valor y tomamos valores de todavía mayores que los ateriores, la diferecia etre S y L se hace cada vez meor, o dicho de otra forma, A L se va acercado cada vez más a cero? Siempre que hacemos lo aterior ocurre lo mismo? Por todo ello, a qué es igual lim A?. Verifica que el térmio geeral de la sucesió { A } es = A. i. Comprueba que lim A = lim( ) = lim( ) i i y determia el resultado del límite. 5. La sucesió {A } es coverge o divergete? E caso de que sea covergete a qué valor coverge. Es claro que si tiede a ifiito, la variació de la expresió de la derecha esta geerada por la variació de, pero como lim = 0, podemos i i cocluir que lim = lim A = i 6. Si el área del cuadrado fuera K, cuál sería el valor del área sombreada al fial del proceso? Actividad. E los laboratorios de Biotecología de la UNAM se ha creado u bicho que muere cada horas pero deja u descediete por autoreproducció. El bicho iicial recorre u metro de distacia e su corta vida, pero su descediete recorre el doble y el siguiete tres veces lo del primero, el cuarto cuatro veces lo del primero, etc.. Si la descedecia uca cocluye, todos jutos recorrerá: 000, 0,000, 00,000 metros? Para cotestar las pregutas ateriores te pedimos completes la siguiete tabla y aalices el proceso que se está realizado. Número de bicho: Distacia que recorre cada bicho: d() += ++=6 +++= =5 Distacia total recorrida por todos los bichos: S() = 9

10 . Si se va haciedo cada vez más y más grade, la sucesió { S } se va acercado más y más a algú valor?, a qué valor? Si llamamos L a ese valor y tomamos valores de todavía mayores que los ateriores, la diferecia etre S y L se hace cada vez meor?, o dicho de otra forma, S L se va acercado cada vez más a cero? Siempre que hacemos lo aterior ocurre lo mismo? Por ello, a qué es igual lim S? La sucesió { S } es covergete o divergete? La serie + + +, es covergete o divergete?.. Si o has resuelto el problema aterior, primero comprueba que S + = ( ) y luego iteta resolverlo. Existe sucesioes y series covergetes y divergetes. Tato la sucesió como la serie de ésta última Actividad so divergetes y, e estos casos particulares, coforme aumeta, tato la sucesió como la serie aumeta, de tal forma que o existe u úmero L al cual se aproxime i la sucesió i la serie. Su comportamieto particular lo podemos escribir como: lim d = y lim S =, lo cual o quiere decir que sea su límite, sio que la sucesió y la serie se va haciedo cada vez más grades, si límite alguo, coforme se va haciedo más grade. Lo aterior te puede quedar más claro si recuerdas que o es u úmero, si lo fuera al aumetarle éste sería más grade. Actividad. El Cálculo tiee como uo de sus objetos de estudio el aalizar qué ocurre co la razó de cambio istatáea (o simplemete razó de cambio) de ua variable co respecto a otra, e uestro caso este estudio lo iiciaremos tomado como ejemplo y discutiedo el cocepto de velocidad. Como recordarás, la velocidad promedio de ua partícula se puede determiar dividiedo la distacia recorrida por el tiempo trascurrido, es decir, ecotrado la razó de cambio promedio de la distacia co respecto al tiempo. De esa maera para coocer la velocidad promedio a la que viaja de la escuela a su casa, bastará co calcular la distacia recorrida etre el tiempo trascurrido. Si bie es importate coocer la velocidad promedio que tiee u móvil, lo es aú más coocer su velocidad istatáea, es decir, la velocidad que tiee e u istate de tiempo determiado. Aalicemos lo que ocurre cuado se laza verticalmete ua pelota, desde el suelo, co ua velocidad iicial de 0 m/seg. Por lo que has estudiado e física sabrás que la trayectoria de la pelota está dada por: st () = vt 0 + at + s 0, 0

11 e dode s(t) es la distacia, que e este caso es la altura que alcaza la pelota sobre el suelo al tiempo t, v 0 es la velocidad iicial de la pelota, a su aceleració y s 0 la altura iicial. E uestro caso v 0 = 0 m/seg, a es la aceleració de la gravedad la cual está jalado a la pelota hacia abajo, por lo que esta fuerza tiee sigo egativo a = -9.8 m/seg y s 0 = 0. Así pues, la ecuació quedará como: st ( ) = 0t.9t. Para teer ua idea de la maera como viaja la pelota completa la siguiete tabla: t 0 5 s(t) 0. Cuáto tiempo tarda la pelota e llegar uevamete al suelo?. Co los datos de la tabla aumétale más putos, traza ua gráfica del tiempo cotra la altura. Cuátos putos más puedes tabular? s t Te habrás dado cueta, que ahora puedes tabular tatos putos como quieras, detro de cierto itervalo pues o tiee setido asigarle a t valores egativos i valores muy grades, como por ejemplo 5. A diferecia de los problemas presetados e las Actividades ateriores, ahora estamos trabajado co variables cotiuas, e lugar de variables discretas. La variable t puede tomar cualquier valor desde que parte la pelota hasta que choca co el suelo. E el caso del problema de los saltos del chapulí, la variable sólo podía tomar valores eteros, uca fraccioes o eteras.. Cuál es la velocidad promedio de la pelota durate sus primeros segudos recorridos? 5. Cuál es la velocidad promedio de la pelota durate sus primeros segudos recorridos? 6. Cuál es la velocidad promedio de la pelota del segudo al tercer segudo de recorrido? 7. Cuál es la velocidad promedio de la pelota del primero al tercer segudo de recorrido? 8. Cuál es la velocidad promedio de la pelota del segudo al quito segudo de recorrido? 9. E la gráfica aterior traza las rectas secates que pasa por los putos: (0,s(0)), (,s()); (0,s(0)), (,s()); (,s()), (,s()); (,s()) y (5,s(5)). Cuál

12 es la pediete de cada ua de esas rectas secates? Existe ua relació etre la velocidad promedio y las rectas secates?, cuál? 0. Si estamos iteresados e coocer, o la velocidad promedio, sio la velocidad istatáea cuado t =, podemos ayudaros co las siguietes tablas, las cuales te solicitamos completes. Observa que e ellas te pedimos calcules la velocidad promedio de.5 a segudos, de.7 a segudos,, de.9999 a segudos e la primera, y de.5 a segudos, de. a segudos,, de a segudos e la seguda tabla. Co base e ellas puedes teer idea de cuál es la velocidad istatáea de la pelota a los segudos? v v t s(t) st () s() = t t s(t) st () s() = t Isistimos e que o estamos pregutado aquí por la velocidad promedio durate los primeros segudos de vuelo de la pelota. Estamos haciedo ua preguta más compleja, ya que la catidad de tiempo que trascurre e u istate es cero y la distacia recorrida tambié es cero. Por lo que si substituimos e la fórmula de la velocidad promedio quedaría ua expresió que como sabes está idetermiada. Por esa razó te propusimos otro procedimieto para calcularla, el proceso ifiito represetado e las tablas. E particular, t podría tomar valores de la sucesió:.9,.99,.999,.9999,, o bie, de la sucesió:.,.0,.00,.000,, para calcular las velocidades promedio, las cuales a su vez formará otra sucesió.. Cuado t se va acercado cada vez más a, la velocidad promedio st () s() v = se va acercado más y más a algú valor?, A qué t valor? Si llamamos L a este valor y tomamos valores de t st () s() todavía más y más cercaos a, la diferecia etre y L se hace t st () s() cada vez meor?, o dicho de otra forma, L se va acercado t cada vez más a cero? Siempre que hacemos lo aterior ocurre lo mismo?. Si tu última respuesta es afirmativa, podemos aseverar que cuado t hay u valor al que tiede v( ), reiterado Cuál es este?. Expresa estas ideas usado la otació de límite. A cotiuació te presetamos la gráfica de t cotra cotiua debido a que la variable t es cotiua: s(t ). Esta gráfica es

13 Actividad 5 Se desea costruir ua caja si tapa a partir de u pedazo de cartó rectagular de por 8 cm. Para lograrlo, recortaremos de las esquias cuadrados del mismo tamaño y luego haremos los dobleces ecesarios para costruir la caja, como se muestra e la figura. Qué dimesioes deberá teer la caja para obteer su máxima capacidad (volume, V)? A la logitud del corte la llamaremos x. x Alto Acho 8 Largo Para resolver el problema, es coveiete que cotestes las pregutas siguietes:. Supote que se corta cuadrados de cm, determia el acho, el largo, la altura y el volume de la caja. Acho largo altura. Variará el volume de la caja si se varía la logitud del corte?. Cómo queda expresado el largo L e fució de x, L(x)? L(x) =. Cómo queda expresado el acho A e fució de x, A(x)? 5. Cómo queda expresado el volume V de la caja e fució de x, V(x)? 6. Qué valores puede tomar x?, qué valores de x podemos cortar?, o bie, cuál es el domiio de la fució V? Puede x tomar el valor de cero? 7. Qué valores puede tomar el volume? 8. Completa la tabla siguiete.

14 Altura (x) Acho (A) Largo (L) Volume (V) Cuátas y cuáles variables tiees e la ecuació de V(x)?, si la desarrollas y simplificas qué clase de expresió algebraica es? 0. Escribe ua desigualdad para expresar las restriccioes de x. Como puedes darte cueta, el volume de la caja está dado por la fórmula: V(x) = (8 x)( x)x. Para comprobar la desigualdad que escribiste e el iciso 0, te propoemos asiges diferetes valores a x y compruebes que siempre obtiees u valor positivo o cero del volume. A las restriccioes que ecotraste para la variable idepediete x se les llama restriccioes físicas, debido a que proviee de las posibilidades prácticas establecidas por el problema. E la Actividad y e la, puede tomar como valor:,,, E la Actividades puede ser igual a:,, 5,... E esos problemas es la variable idepediete y la sucesió respectiva la variable depediete. Como recordarás, el domiio de ua fució so todos los valores que puede tomar la variable idepediete. El domiio de la fució que os ocupa, se puede expresar como: 0 x 6.. Ya puedes establecer para qué valor de x se obtiee el volume máximo?. Completa las tablas siguietes e iteta respoder la preguta aterior. Altura (x) Acho (A) Largo (L) Volume (V)...5 Altura (x) Acho (A) Largo (L) Volume (V)

15 Altura (x) Acho (A) Largo (L) Volume (V) Ahora sí puedes establecer para qué valor de x se obtiee el volume máximo?. De los resultados que obtuviste pareciera que el valor máximo se obtiee cuado x está etre.5 y.55, puesto que V(.5) = Ahora o teemos ua parábola como e la gráfica de la fució v del problema aterior, e la cual, por la simetría que tiee, es posible determiar la altura máxima de maera secilla. Comprueba que V(.5) = Este será el valor de x para el cual se obtiee el volume máximo? 5. Dibuja ua gráfica, colocado e el eje de las abscisas los valores de x y e el de las ordeadas los valores de V. Este problema os muestra que existe ocasioes e las cuales la sucesió co la que trabajemos se va costruyedo coforme lo requiere la solució del 5

16 problema. Como pudiste observar, se costruyero dos sucesioes, ua para x y e cosecuecia otra para V. Coforme avacemos e uestro estudio del Cálculo, ecotraremos formas más secillas y precisas para resolver este problema. Actividad 6. Vamos a calcular el área de u círculo de radio a partir de iscribir polígoos regulares. Si observas deteidamete los dibujos ateriores, cocluirás que cada vez que el polígoo tiee mayor úmero de lados, hay meos diferecia etre el área del círculo y la del polígoo.. Cuátos polígoos podemos iscribir?. Iscribamos u polígoo de tres lados y calculemos su área, a la cual llamaremos a. Para hacerlo tracemos las líeas auxiliares CA, CB y CD, co C cetro del círculo y CD altura del triágulo ABC. Si ecuetras el valor del águlo ACD y utilizas trigoometría, puedes llegar a comprobar que el área del polígoo iscrito es: a = se60 0 cos60 0. C D B A. Ecuetra el área del polígoo iscrito de cuatro lados, a. Para hacerlo, al lado del cuadrado lo llamaremos b. Cuáto vale la diagoal del cuadrado e térmios de b? Determia el valor de b y el área del cuadrado. Tambié puedes calcular el área del cuadrado, trazado sus dos diagoales y ecotrado el área de cada uo de los triágulos rectágulos que se forma hazlo!. Ahora iscribamos e el círculo u petágoo y calculemos su área, a 5. Para ello trazamos líeas auxiliares y formamos el triágulo ABC que tiee altura CD. a) Qué tipo de triágulos se forma y cuátos? b) Cuáto mide cada uo de los lados del triágulo ABC? C B A D c) Cuáto mide el águlo ACD? 6

17 d) Determia el área del triágulo ABC utilizado trigoometría. e) Cuáto mide la apotema del petágoo? f) Determia el área del petágoo. g) Comprueba que el área del petágoo es igual a: a 5 =5se6 0 cos Pasemos a iscribir u hexágoo y a calcular su área. Procederemos de maera aáloga a como se hizo el cálculo co el petágoo. Iiciamos trazado líeas auxiliares para formar el triágulo ABC y su altura CD. a) Ecuetra el valor del águlo ACD. b) Determia el área del triágulo ABC. c) Comprueba que el área del hexágoo es igual a: a 6 =6se0 0 cos Determia el área de u polígoo iscrito de siete lados. 7. Qué relació existe etre el úmero de lados del polígoo y el águlo que llamamos ACD? C B D A 8. Ecuetra ua forma geeral para represetar el área de u polígoo regular de lados, a. 9. Usado los resultados que has obteido de la sucesió {a }, así como su térmio geeral a, completa la tabla siguiete. Número de lados del polígoo iscrito () Área del polígoo a

18 000 0,000 Verifica que la expresió geeral que ecotraste, a, coicide co los resultados que teemos para =,, 5 y Grafica, e el plao cartesiao de abajo, los valores del úmero de lados del polígoo cotra el área de cada uo de ellos. 6 5 a Si se va haciedo cada vez más y más grade, la sucesió { a } se va acercado más y más a algú valor?, a qué valor? Si llamamos L a ese valor y tomamos valores de todavía mayores que los ateriores, la diferecia etre a y L se hace cada vez meor?, o dicho de otra forma, a L se va acercado cada vez más a cero? Siempre que hacemos lo aterior ocurre lo mismo? A qué es igual lim a? La sucesió { a } es covergete? El térmio geeral de la sucesió, como bie sabes, es: a = se cos, por lo que el resultado de la preguta aterior se puede expresar como: lim a = lim se cos = L Ejercicios.. U cuadrado de lado se divide a la mitad y se pita de egro ua de las dos partes, posteriormete, la mitad o pitada se divide a la mitad y ua mitad se pita de egro. Si se repite este proceso idefiidamete: 8

19 a) Calcula el área de la zoa sombreada e el primer paso del proceso, a. b) Calcula el área total sombreada para varios de los siguietes pasos del proceso: a, a, a, c) Ecuetra el térmio geeral de la sucesió {a }. d) Traza ua gráfica e u plao cartesiao. e) Cuál será el área total pitada de egro? Escribe el resultado como u límite.. E el lago Loch Ness el agua es muy turbia (por eso se dice que o ha descubierto al mostruo de Loch Ness). Supogamos que por cada metro de profudidad del agua sólo alcaza a filtrarse la mitad de la luz. a) Si a es la catidad de luz que se filtra a metros de profudidad, determia los térmios: a, a, a,,a 0. b) Completa la tabla siguiete a c) Traza ua gráfica e el plao cartesiao. d) Ecuetra el térmio geeral a de la sucesió. e) Hasta qué profudidad llegará algo de luz?. U cuadrado de lado se divide e 9 cuadrados cogruetes. El cuadro cetral se pita de egro, como se muestra e la figura. Cada uo de los cuadrados restates se divide a la vez e otros ueve cuadrados cogruetes y se pita el cetral de egro. Si se repite este proceso idefiidamete cuál será el área total pitada de egro? A este cuadrado se le cooce como la carpeta de Sierpiski, matemático polaco. a) Calcula el área sombreada e el primer paso del proceso, a. 9

20 b) Calcula el área sombreada e el segudo paso del proceso, a. c) Calcula el área sombreada e el tercer paso del proceso, a. d) Cotiúa hasta que puedas ecotrar ua fórmula que te represete el área sombreada e el paso. e) Expresa lo aterior como ua sucesió: a, a, a,,a,, y como ua serie: S = a, S = a + a,, S = a + a + + a, f) Elabora ua tabla que tega como columas a, a y S. g) Traza dos gráficas, ua de cotra a y otra de cotra S. h) Coforme el úmero de pasos tiede a ifiito, a que tiede el área total sombreada? Exprésalo como u límite.. Los putos medios de los lados de u cuadrado de lado se ue para formar u uevo cuadrado. Este procedimieto se repite para cada uevo cuadrado, como se muestra e la figura. Supogamos que este proceso se repite idefiidamete. Calcula el área de la regió sombreada. Escribe este proceso como u límite. 5. Gottfried Wilhelm Leibiz, (66 76), matemático alemá del siglo XVII, creador del Cálculo al igual que Isaac Newto (6-77), costruyó la siguiete sucesió y su serie respectiva, que le permitió aproximar u famoso úmero: S =, S =, S = +, S = +, etc Cada elemeto de la sucesió se aproxima al límite L, por la izquierda o por la derecha. Cuado es par S se aproxima a L por la derecha y cuado es impar por la izquierda. Para ayudarte a ecotrar el límite, llea las tablas siguietes: S S a) Coloca la sucesió e ua recta umérica y observa su comportamieto. b) A qué valor se aproxima la serie? Si todavía o ecuetras igú resultado, calcula más elemetos y traza ua gráfica. c) Ecuetra ua expresió geeral para S. d) Escribe el resultado del proceso ifiito como u límite. 6. Cosidera a la sucesió a =, a =, a =, a =,..., a = ( ) +, a) Traza ua gráfica dode represetes a la sucesió. 0

21 b) Determia si { a } es divergete. es ua sucesió covergete, y cuál es su límite, o si 7. E u triágulo equilátero de área A se ue los putos medios de sus lados para formar triágulos equiláteros, de los cuales el del cetro se pita de egro. Luego co cada uo de los triágulos restates se hace lo mismo. Dicho proceso se repite idefiidamete. Ecuetra el área sombreada al fial de cada paso (A este triágulo se le cooce como el triágulo de Sierpiski, más famoso aú que su carpeta). a) Completa la tabla procurado escribir los resultados idicado las operacioes si efectuarlas y tambié efectuádolas. b) Ecuetra e el paso del proceso las expresioes geerales para calcular el área de los triágulos. c) Traza ua gráfica del úmero de paso cotra el área de todos los triágulos sombreados. d) Cuado se va haciedo más y más grade el área de los triágulos sombreados se va aproximado a algú resultado? e) Cuado, a qué tiede el área total sombreada? Justifica tu respuesta. Paso Área de cada triágulo a Número de Triágulos sombreado p Área de los uevos Triágulos sombreados T Área de todos los triágulos sombreados: S

22 8. Cosidera u triágulo equilátero de lado, cada lado se divide e tres partes iguales, e las partes itermedias de cada lado se añade dos lados de u triágulo equilátero cuyo lado es igual a la tercera parte del lado origial. A cotiuació te mostramos la figura origial y los dos primeros pasos del proceso: Siguiedo ese proceso de la figura de la derecha os muestra a lo que se puede llegar. Esa figura es u fractal, el cual es coocido como curva de Koch. a) Determia el perímetro que se va obteiedo e cada paso del proceso, es decir, la sucesió correspodiete: p, p, p, p, b) Grafica los resultado obteidos e u plao cartesiao y determia si la sucesió es covergete, y cuál es su límite, o si es divergete. 9. Como e el problema aterior, cosidera u triágulo equilátero de área A y ue los putos medios de sus lados para formar otro triágulo el cual se pita de egro. Luego cosidera sólo uo de los triágulos restates y hazle lo mismo. Dicho proceso se repite idefiidamete. Ecuetra el área total sombreada al fial de cada paso. a) Completa la tabla procurado escribir los resultados idicado las operacioes si efectuarlas y tambié efectuádolas. b) Ecuetra e el paso las expresioes geerales que represete el proceso. c) Traza ua gráfica del úmero de paso cotra el área de todos los triágulos sombreados. d) Cuado se va haciedo más y más grade el área de todos los triágulos sombreados se va aproximado a algú úmero? e) Cuado, a qué tiede el área total? Paso Área del triágulo sombreado: a Área de todos los triágulos sombreados S

23 Cosidera el siguiete proceso e el cual se muestra los primeros cuatro pasos: 5, 5 5, 5 5 5, ,... a) Completa la tabla siguiete procurado escribir e cada paso la expresió utilizado expoetes. b) Ecuetra e el paso la expresió geeral utilizado expoetes. c) Traza ua gráfica del úmero de paso cotra el resultado obteido e tu calculadora. d) Cuado, el resultado de la expresió a qué valor tiede? Paso Expresió a Expresió escrita co expoetes Resultado co ayuda de la calculadora Cosidera la fució f( x) = x.

24 a) Elabora ua tabla y observa que pasa cuado x se va acercado a cero a partir de u úmero positivo. b) Elabora ua tabla y observa que pasa cuado x se va acercado a cero a partir de u úmero egativo. c) A partir de las tablas ateriores cómo respoderías a la preguta: Cuádo x tiede a cero f(x) a qué tiede? d) Ahora elabora ua tabla y observa que pasa cuado x tiede a. e) Fialmete, elabora otra tabla y observa que pasa cuado x tiede a -. f) Costruye ua gráfica.. Tu maestro de matemáticas se hizo el propósito de ahorrar. Para lo cual pesó e u sistema mediate el cual se le hiciera cada vez más fácil hacerlo. El sistema es el siguiete: la primera quicea guardar mil pesos, e la seguda la mitad (quiietos pesos), e la tercera la tercera parte de mil, etcétera. a) Supoiedo que él o sus descedietes siguiera ahorrado tedrá mucho diero después de 500 semaas? b). Si el proceso fuera ifiito el moto que se puede ahorrar estará acotado? c) Completa la tabla procurado escribir e cada paso los resultados idicado las operacioes si efectuarlas y tambié efectuádolas. d) Ecuetra e el paso la expresió geeral que represete el proceso. e) Traza ua gráfica del úmero de paso cotra el ahorro total obteido. f) Cuado se va haciedo más y más grade el resultado del ahorro total va aproximado a algú valor? g) Cuado, el resultado del ahorro total a qué valor tiede? Justifica tu respuesta. Semaa Catidad ahorrada e esa semaa: a Catidad total ahorrada: S

25 . U cubo de u cetímetro de arista se dividirá e cubos más pequeños. Si es el úmero de partes iguales e los que se dividirá cada arista, c el úmero míimo de cortes cuado se divide el cubo e partes iguales, a el úmero total de cubos resultate y v el volume de cada cubo, completa la siguiete tabla: c a v 8 8 cm cm / cm a) Co base e la tabla, cuál es el volume de uo de los cubos cuado se ha divido la arista e 00 partes iguales? b) Si este proceso cotiua, para qué valor de el volume de uo de los cubos puede ser meor que ? c) Ecuetra qué pasa co: c, a y v cuado tiede a ifiito. Expresa lo aterior co la otació adecuada.. El puto C divide al segmeto AB = e dos partes iguales; el puto C divide al segmeto AC e dos partes tambié iguales: el puto C divide, a su vez, al segmeto C C e dos partes iguales; el puto C hace lo propio co el segmeto C C y así sucesivamete. A que tiede la logitud AC cuado tiede a ifiito? A cotiuació te mostramos gráficamete cómo se comporta la sucesió AC Primer paso A = 0 B = C Segudo paso A = 0 C C B = Tercer paso C C A = 0 C B = a) Completa la tabla siguiete: 5

26 Paso Logitud de AC b) Cuádo tiede a ifiito, a qué valor tiede la sucesió AC? 6