LA IMPORTANCIA DE LA VOLATILIDAD EN LA SELECCIÓN OPTIMA DE PORTAFOLIOS Alvaro José Cobo Quintero*

Transcripción

1 A IMPORACIA D A OAIIDAD A SCCIÓ OPIMA D PORAFOIOS Alvaro José Cobo Quero* alvaro_josecobo@yahoo.com ajcobo@davveda.com Bogoá, Colomba Prmera ersó: Ocubre 3 Borrador *Iegrae del Dearameo de Aálss de Resgo de la Fducara y Baco Davveda. as ooes y demás coedos e ese documeo so resosabldad exclusva del auor y o comromee a oros membros a las drecvas de la sucó.

2 A IMPORACIA D A OAIIDAD A SCCIÓ OPIMA D PORAFOIOS la década de los 5 s, Harry Markowz, remo obel de coomía (99), desarrolló la eoría de orafolos basada e el coceo que e la medda e que se añade acvos a ua carera de versó, el resgo meddo a ravés de la varaza ( ) o de la desvacó esádar ( ) dsmuye como cosecueca de la dversfcacó 3. ambé rouso el coceo de covaraza ( j ) y correlacó (ρ j ), es decr, e la medda que se ee acvos egavamee correlacoados, el resgo de mercado de u orafolo de acvos dsmuye. Geeralmee, se suoe que la varaza de ua sere facera, es cosae e el emo (homocedascdad). S embargo, e los mercados faceros es muy dfícl ecorar ese comorameo, or el coraro, e la seres faceras es muy frecuee el feómeo de heerocedascdad, es decr, la varaza de la sere ee cambos ssemácos e el emo, feómeo e el que se resea erodos de ala urbuleca segudos de erodos de relava calma o esabldad, or eso, ese comorameo habrá que eerlo e cuea al esmar los modelos. l roóso de esa oa es mosrar las mlcacoes que ee el uso de ua de las meddas esadíscas cláscas e el calculo del resgo de los acvos que comoe el orafolo de versó como es la volaldad (desvacó esádar), e momeos dode el mercado resea urbulecas que cremea el resgo de los acvos. Para eso, se rooe descomoer la marz de varazas y covarazas (Σ ) hacedo uso MARKOIZ,H.M. (95): Porfolo Seleco, Joural of Face,7,(), Juo co Mero Mller y llam Share. Cabe recordar que el rcal méro de Share ha sdo el de exeder el aálss de Markowz y ob de seleccó óma de orafolos a u modelo de equlbro del mercado de caales. o que hoy deomamos CAPM es e realdad ua síess de las corbucoes cas smulaeas de SHARP (964), RYOR(96) o ublcada, y la de IR(965) y las oserores de MOSSI(966), FAMA(968) y BACK(97), quees oma como uo de arda los rabajos de MARKOIZ(95,959) y OBI(958) 3 Para ua mayor rofudzacó ver, AS,J. y ARCHR,S.H. (968): Dversfcao ad he Reduco of Dserso: A mrcal Aalyss, Joural of Face,(3),5, y SAMA,M. (987): How May Socks Make a Dversfed Porfolo, Joural of Facal ad Quaave Aalsys,(),3,

3 de éccas mas avazadas e el calculo de la volaldad como los modelos MA y la famla de los GARCH 4. Para reflejar el cremeo de la volaldad de los acvos e la marz de varazas y covarazas (Σ ) es coveee searar el comoee de volaldad ( ) y la correlacó (ρ j ). fecvamee, la marz de varazas y covarazas (Σ ) se modfca ao or cambos e las volaldades de cada uo de los acvos que coforma el orafolo como or el cambo de las relacoes e los recos, exresadas e los coefcees de correlacó. se ejercco esa efocado úcamee e el cambo de las volaldades. Se defe la marz de varazas y covarazas (Σ ) como: M M Se rocede a la descomoscó de esa marz co el objevo de eer ua mejor o mas recsa medda de resgo e busca de ua seleccó oma acvos 5. Se defe ua marz (S ) que ee suadas e la dagoal rcal las volaldades codcoales de las reabldades de los acvos. l suerídce,g hace refereca al modelo de volaldad ulzado, sea u MA () o u GARCH (G). S, G, G, G 4 Mas adelae se descrbe esos dos modelos de volaldad codcoal. Para el caso de los GARCH, se revsa el GARCH(,). os modelos GARCH mas habuales, ere oros so: GARCH, A-GARCH, GJR-GARCH. 5 Se busca el cojuo de orafolos efcees e el sedo de meda varaza, es decr, aquellos orafolos que, dado u redmeo eserado ee meor volaldad y, dada ua deermada volaldad, ee el mayor redmeo eserado, o de ora forma, se busca u orafolo que dome e el sedo de meda varaza a oro osble.

4 eedo e cuea que el coefcee de correlacó ere las reabldades de los acvos y j vee dado or, () ρ j j j oces, defmos las marz de correlacoes como, Ω ρ ρ ρ ρ ρ ρ ese caso, la descomoscó erme rabajar sobre (Σ ) elgedo los valores alcazados or la volaldad codcoal o esocásca (MA,GARCH) y o los de la volaldad codcoal o deermsa( ) 6. Por lo ao, se uede exresar la marz de varazas y covarazas (Σ ) medae el roduco de las marces (S ) y (Ω ), () Σ S Ω S De esa forma, se laea el modelo de seleccó oma de orafolos eedo e cuea la descomoscó aeror. Sea ua carera co acvos y sea P, el vecor rasueso de la columa de recos -dmesoal al que, P [ ] as roorcoes verdas e los acvos se reresea medae el vecor rasueso de la columa de cadades -dmesoal al que 7, 6 Ua eresae exlcacó se ecuera e el rmer caulo del lbro Marke Models de Carol Alexader().Jho ley. 7 Solo se raa el caso de oscoes largas, es decr, o se cosdera veas e coro. 3

5 4 dode, Así, el valor del orafolo esa dado or, a reabldad se defe medae 8, l vecor rasueso de reabldad es, oces, el cambo e el valor del orafolo vedrá dado or, Ahora, se suoe que R se dsrbuye segú ua ormal mulvarae co µ y marz de covarazas (Σ ), es decr, R ~ (, Ω ). Por lo ao, la dsrbucó de es ormal mulvarae y esá dada or, eedo e cuea el resulado de la descomoscó de la marz de varazas y covarazas (ec()) eemos, y la volaldad codcoal del orafolo se defe como, 8 Suoedo que o exse reas dsrbudas e forma de dvdedos o ereses. w,...,, [ ] w w w w P r l + [ ] r r r R r w R ( ) ( ) R ( ) ( ) ar Σ G S S Ω, ( ) ( ) G S S ar Ω,

6 Adcoalmee, se esma la érdda máxma que uede regsrar ua deermada oscó o carera de versó, e el caso de researse u cambo e los facores de resgo, durae u horzoe de versó defdo y u vel de robabldad deermado. oces, la esmacó del ar 9 esa dada or, ar ( α ) k( α ) S Ω S, dode : k(α): facor que defe el vel de cofaza : valor del orafolo : vecor rasueso de los esos de las oscoes e el orafolo (x) S : marz dagoal de la volaldad codcoal Ω : marz de correlacoes : vecor de esos de las oscoes e el orafolo (x) : horzoe de emo e que se desea ajusar el ar A arr de ese resulado se omza, ya sea maxmzado la reabldad del orafolo o mmzado la varaza del msmo. De ese modo, ceramos la aecó al caso de mmzar la varaza del orafolo. a fucó objevo es, M Sujeo a la sguees resrccoes, w + j j# ww j j w R R 9 alue A Rsk. Ulzado la eoría modera de orafolos es osble medr el resgo de mercado de la versó. Para eso, es ecesaro cosderar los efecos de la dversfcacó co las correlacoes ere los redmeos de los acvos que coforma el orafolo, la meodología es coocda como marz de varaza-covaraza o dela-ormal. sa meodología fue dfudda or JP Morga e 994, la cual erme esmar la erdda máxma que odría regsrar el orafolo e u ervalo de emo y co u vel de cofaza defdo. Hay que desacar que al defcó es valda úcamee e codcoes ormales de mercado, ya que e momeos de crss y urbulecas ecoómcas la erdda eserada se defe or ruebas de sress, esa alerava la veremos mas adelae. os veles de cofaza más habuales so 95% (.644), 97.5% (.959) y 99% (.36). 5

7 dode, w,,..., w Por olícas de dversfcacó, or ejemlo, ara el caso de Fodos de Iversó se ee resrccoes adcoales. De esa forma, hay que eer e cuea las - resrccoes adcoales, como, dode,, w d D w,,..., y D uede ser u lme adcoal, or ejemlo la roorcó verda e el acvo () o uede suerar deermado orceaje. Por oro lado, reomado el ema del co dode se descomoe la marz de varazas y covarazas (Σ ), se ee que esa meodología es úl ara el dseño de ruebas de esó o sress esg. Dero de la aroxmacó desarrollada e ese documeo y co el objevo de someer al modelo a ruebas de esó, las volaldades se modfca e ua cuaía deermada or la marz,, Resolvedo ara el caso de la maxmzacó, eemos que la fucó objevo es el Rao de Share sa. w, y que w,, K,, e clur las resrccoes adcoales, s las hay. R R f Θ, 6

8 , G, G, G Por lo ao, la marz de varazas y covarazas (Σ ) del escearo de sress queda defda, así, Σ sress ( S + ) Ω( S + ) A arr del resulado aeror, se calcula el ar sress, ar sresss K α sresss ( ) Σ a marz es exógea y va a deermar el escearo de sress. S embargo, se uede deermar elgedo los valores máxmos alcazados or la volaldad codcoal e algú erodo del emo. Para ermar, se desarrolla esos dos modelos de varaza codcoal. Prmero, se revsa el caso de la volaldad dámca o co suavzameo exoecal (MA) 3 y or úlmo el modelo GARCH. l modelo MA cosse e asgarle u mayor eso a las observacoes mas recees, sedo cossee co la mayoría de seres faceras las cuales so de memora cora. Reresea ua veaja sobre la volaldad hsórca ya que esa o caura rádamee fueres varacoes e los recos de los acvos, de esa forma co esa clase de modelo es osble cosrur mejores y más recsas esmacoes e éocas dode se resea urbulecas e los mercados faceros. Se refere a la medcó del resgo ae sucesos exremos(como desasres faceros, desequlbros ecoómcos o crss rovocadas or roblemas olícos) ero robables. as éccas de sress esg comlemea las meddas habuales de resgo. 3 xoeally eghed Movg Average. Rsk Mercs esablece λ.94 ara daos daros y λ.97 ara daos mesuales. el caso de daos daros ulza los úlmos 74 daos de la sere facera. 7

9 l modelo defe la varaza codcoal e ara + medae dode, λ + ( λ) µ λ : varaza λ : arámero µ : reabldad Como se uede arecar el modelo deede de u arámero (lambda λ, ere y ) coocdo como facor de decameo (decay facor) del que es ecesaro deermar su valor medae el crero de omzacó. se facor deerma los esos que se le alca a las observacoes, meras mas equeño, mayor eso ee los daos mas recees. S λ, el modelo se covere e la volaldad hsórca co esos uformes a odas las observacoes. la exresó aeror, se observa que la varaza fuura es gual a lambda veces la volaldad del día aeror, más el cuadrado de la reabldad del día or uo meos lambda, es decr, s hoy la reabldad es ala, ésa duce a u cremeo e la volaldad esmada. Falmee, se cosdera el modelo GARCH(,) roueso or Bollerslev e se modelo es u caso arcular de los modelos de heerocedascdad codcoal auorregresva geeralzada GARCH. A couacó, se resea el modelo GARCH(,), γ + αµ + β Asgado ω γ, el modelo uede escrbrse así, ω + αµ + β 8

10 dode, γ es el eso asgado a, y es la varaza romedo de largo lazo, α es el eso asgado µ -, y β es el eso asgado a -. a suma de las oderacoes debe sumar. γ α β a varaza romedo de largo lazo se obee de, dode, ω > y α,β ω γ so arámeros que se esma medae el crero de omzacó y asegura que la varaza es osva. Para que el modelo sea esable requere que α + β < asegurado que los roóscos de volaldad ee reversó a la meda, es decr, que las esmacoes esará mas cercaos al romedo de la volaldad e el medao y largo lazo. óese, como el modelo MA es u caso arcular del GARCH(,), dode ω, α λ y β λ. Se uede observar como β e el modelo GARCH(,) es equvalee a λ (decay facor) y que α e el GARCH(,) es equvalee a λ e el modelo exoecal. l modelo GARCH(,) es smlar al modelo MA exceo que adcoal a asgarle esos que decla exoecalmee a los cuadrados de las reabldades asadas (µ -), ambe asga eso al romedo de la volaldad de largo lazo. Ua veaja morae e la alcacó del modelo GARCH(,) free al MA es la osbldad de rooscar la varaza fuura, así la varaza esmada ara el día +K es, K [ ] ( α+ β ) ( ) + K 4 er.bollerslev, Geeralzed Auoregressve Codoal Heeroscedascy, Joural of coomercs, 3(986), Cado or Jho C. Hull e Oos Fuures & Oher Devaves. 9

11 a exresó aeror ambé se uede escrbr de la sguee forma, dode, deoa el valor eserado. K [ ] + ( α+ β ) ( ) + K Cuado α + β <, el segudo ermo se hace rogresvamee más equeño cuado K aumea. Así, la varaza exhbe u roceso de reversó a la meda co u vel de reversó de y ua asa de reversó de α β. l roosco de la varaza fuura ede haca. so erme hacer éfass e la ecesdad de que la suma de los arámeros α y β sea meor que uo ara que el modelo GARCH(,) sea esable. S la suma de los arámeros α y β es mayor que uo (α + β > ) el modelo GARCH(,) o es esable y debe ser rechazado ara la ulzacó de u modelo MA. Desaforuadamee, e el MA, el valor eserado de la varaza fuura es gual a la varaza obeda el día aeror. COCUSIO a razó que jusfca la descomoscó de la marz de varazas y covarazas reseada e ese documeo, esá e ear caurar los movmeos más recees de los recos de los acvos faceros, a raves delas esmacoes de la volaldad o las covarazas medae la meodología ulzada or JP Morga dfudda e RskMercs echcal Docume, o co los modelos GARCH. s decr, se busca que el comorameo del mercado se vea reflejado e la medda de volaldad ulzada y que esa cae rádamee los cambos roducdos e los recos, y de esa forma se ueda esrucurar el orafolo de la maera mas coveee co los objevos de reabldad y resgo esablecdos, eso co el objevo de corregr la fravaloracó que se resea e la meddas habuales de ar cuado el mercado se ecuera e fases de relava esabldad y asa a fases de fueres urbulecas.

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