Polinomio de Villarreal

Transcripción

1 Polnomo de Vllarreal Davd Martín Carbajal Ordnola Resumen La búsqueda de una fórmula para calcular los térmnos del desarrollo de la potenca m ésma de un polnomo P x fue resuelta por el egrego matemátco peruano Federco Vllarreal Vllarreal, a través del estudo de seres nntas, mostrando el resultado nclusve para una potenca compleja. Este novedoso método no es una generalzacón del bnomo de Newton, pues este últmo ya se encuentra generalzado, además ambos métodos se desarrollan en crcunstancas y tempos dstantes. Índce 1. Generaldades 1 2. Bnomo de Newton Teorema del bnomo de Newton Polnomo de Vllarreal Formulacón del Polnomo de Vllarreal Polnomo nto de Vllarreal Conclusones Generaldades En matemátca es frecuente utlzar expresones que combnan números y letras o solamente letras para representar alguna stuacón problemátca, debdo a ello es común hallar expresones de la forma: x + 2y 3z Las expresones que resultan de combnar números y letras, relaconándolos con las operacones usuales, en general, se llaman expresones algebracas. Estas expresones algebracas pueden clascarse según el tpo de exponentes de la sguenta manera: Fgura 1: Clascacón de expresones algebracas según sus exponentes. 1

2 Dentro de las expresones raconales enteras, nuevamente tenemos una clascacón según el número de varables que posea: Fgura 2: Clascacón de expresones algebracas según el número de varables. Dencón 1. Un polnomo en la varable x es una expresón de la forma: a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 donde n un entero no negatvo y a 0, a 1,..., a n R. S a n 0, entonces n es el grado del polnomo denotado por degpx = n y a n es llamado coecente prncpal. Denotaremos a los polnomos en la varable x de la sguente manera: P x = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 Dencón 2. Sea P x un polnomo de grado n y a R. Llamamos valor numérco de P x cuando x = a, denotado por P a, al número real dendo por: P a = a n a n + a n 1 a n a 1 a + a 0 S a = 0, P 0 = a 0 es llamado térmno ndependente del polnomo P x. Algunas de las propedades de los números reales, así como sus operacones báscas, se extenden a los polnomos, de esta manera tenemos adcón, multplcacón y potencacón de polnomos. En lo que resta de este trabajo, nos centraremos en estas operacones entre polnomos así como tambén en la obtencón de una generalzacón de la potencacón desarrollada por Federco Vllarreal, usando herramentas matemátcas lgeramente sostcadas. Para multplcar expresones algebracas en partcular polnomos usamos la propedad dstrbutva, o ben es el caso, uno de los productos notables ya conocdos, es decr, un resultado que forma parte de una lsta ya calculada de potencas de expresones algebracas especícas, por ejemplo el desarrollo de un bnomo al cuadrado, o un trnomo al cubo, etc. Ejemplo. Obtener el desarrollo de la sguente expresón: 2x Solucón. Conocendo el desarrollo del sguente producto notable: a + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 bnomo al cuadrado 2

3 Es sencllo resolver nuestro ejemplo, solo resta reemplazar a = 2x 2 y b = 3, respetando las propedades de la multplcacón de polnomos y la teoría de exponentes, tenemos: Fnalmente, reemplazando: a 2 = 4x 4 2ab = 12x 2 b 2 = 9 2x = 4x x Ejemplo. Obtener el desarrollo de la sguente expresón: 2x Solucón. Aunque el polnomo contnua sendo el msmo, el desarrollo de esta potenca ya no se encuentra dentro de las lstas de productos notables conocdas, por ello debemos reescrbr nuestra expresón de la sguente manera: Usando el ejemplo anteror: Así: 2x = [ 2x ] 2 2x = 4x x x = 4x x Conocemos el desarrollo del producto notable: a + b + c 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc trnomo al cuadrado Reemplazando a = 4x 4, b = 12x 2 y c = 9, tenemos: a 2 = 16x 8 b 2 = 144x 4 c 2 = 81 2ab = 96x 6 2ac = 72x 4 2bc = 216x 2 Ordenando los elementos por su grado, y reemplazando obtenemos: 2x = 16x x x x x Operatvzando 72x x 4 = 216x 4 : 2x = 16x x x x Como podemos observar, la lsta de productos notables en partcular, bnomo y trnomo al cuadrado nos ayudó a la resolucón de la potenca pedda. En realdad fue gracas a la reescrtura de la potenca 4 y del ejemplo anteror que pudmos desarrollar la potenca smplemente reemplazando los térmnos. Esta es la prncpal desventaja de la lsta de producto notables: la lsta es muy pequeña. Ejemplo. Obtener el desarrollo de la sguente expresón: 2x Solucón. A pesar que podemos reescrbr nuestra potenca: 2x = [ 2x ] 2 Tenemos nuestra prmera dcultad: el polnomo 2x tene 5 térmnos, y no conocemos el producto notable: a + b + c + d + e 2 3

4 Una forma de resolucón es agrupar los térmnos del polnomo 2x de tal manera que podamos aplcar un cambo de varables, para poder expresar dcho polnomo como una suma de bnomos o trnomos, por ejemplo: 2x = 16x x x x }{{}}{{} P x Qx Es decr, nuestra reasgnacón será: P x = 16x x x 4 Qx = 216x x = P x + Qx Sn embargo, cuando ntentemos desarrollar la potenca pedda: 2x = [ 2x ] 2 = [P x + Qx] 2 = P 2 x + 2P xqx + Q 2 x Obtendremos un "desorden de potencas", esto es, dentro de P 2 x y Q 2 x exsten térmnos de grado 4 que aún no han sdo operatvzados, de gual manera dentro de P xqx y P 2 x tenemos térmnos de grado 8 que tampoco han sdo operatvzados. Esto mplca que luego de realzar la laborosa tarea de elevar esos dos polnomos trnomo y bnomo al cuadrado y de multplcarlos entre sí, aún después, necestaremos sumar los térmnos semejantes y reordenar las potencas, por tal motvo esta metodología es poco ecente para obtener la potenca pedda. De esta observacón surge el cuestonamento: ¾Será que podríamos expresar el desarrollo de cualquer potenca de un polnomo de una manera ordenada y reducda? 2. Bnomo de Newton La respuesta a los cuestonamentos anterores es parcalmente armatva, y provene del teorema del bnomo de Newton. Este teorema nos dá una fórmula que proporcona el desarrollo de la potenca n ésma sendo n entero postvo de un bnomo, es decr nos da una manera de conocer el desarrollo de la potenca a + b n como suma de térmnos de la forma ka m b p, donde los exponentes m y p son enteros postvos tales que m + p = n, y el coecente k de cada térmno es un número que depende de n, m y p. El teorema del bnomo fue descuberto en el año 1665, y fue notcado por prmera vez en dos cartas que fueron envadas por el funconaro y secretaro de la Royal Socety, Henry Oldenburg en el año La prmera carta fue fechada el 13 de juno de 1676, en respuesta a un peddo del lósofo, jursta y matemátco alemán Gottfred Wlhelm von Lebnz, quen quería tener conocmento de las labores e nvestgacones de matemátcos brtáncos sobre seres nntas. Por lo cual Newton envía el enuncado de su teorema y un ejemplo lustratvo. Lebnz responde, en una carta fechada el 17 de agosto de 1676, que se encuentra ante una técnca general que le permte obtener dstntos resultados sobre seres. Newton responde tambén con una carta en la que detalla cómo ha descuberto la sere de bnomos. A partr de este hallazo Newton ntuyó que era posble operar con seres nntas del msmo modo que con expresones polnómcas ntas. Newton no se encargó jamás de publcar el teorema del bnomo, quen lo hzo fue el matemátco brtánco John Walls, en el año 1685, atrbuyendo a Newton este gran hallazgo. 4

5 2.1. Teorema del bnomo de Newton Para conocer más respecto al teorema del bnomo de Newton tenemos que entender las operacones nmersas en la potencacón, así como tambén usar algunas nuevas herramentas para facltar la demostracón. Es así que por ejemplo en los enteros la multplcacón de térmnos guales potencacón, es en general denda por medo de una nduccón: Dado n entero no negatvo y a 0, denmos la potenca n ésma de a, denotada por a n de la sguente forma: { a n 1 s n = 0 = a a n 1 s n > 0 Otra operacón en los enteros no negatvos que tambén es frecuentemente de- nda por nduccón, es la operacón factoral. Para cada entero no negatvo n denmos el factoral de n, denotado por n! de la sguente forma: { 1 s n = 0 n! = n n 1! s n > 0 Dencón 3. Sean m, n enteros no nulos tales que n m. Denmos el m coecente bnomal de m sobre n, denotado, por: n m = n m! n!m n! Observacón. Sea m 0, de la dencón tenemos: m = m! 0 0!m! = m! m! = 1 Proposcón 1. Sean m, n enteros no nulos tales que n m. Entonces: m m m = n 1 n n Demostracón. Por dencón: m m m! + = n 1 n n 1!m n + 1! + m! n!m n! m m m! + = n 1 n n 1!m n!m n m! n 1!m n!n m m m![n + m n + 1] + = n 1 n n 1!m n!m n + 1n m m m!m = n 1 n nn 1!m n + 1m n! = m! n!m + 1 n! m m m = n 1 n n Proposcón 2. Sean m, n enteros no nulos tales que n m. Entonces: m m = n m n Demostracón. En efecto: m m! = n n!m n! = m! m n!m m n! m m = n m n 5

6 Teorema 1. Bnomo de Newton Dados a, b R y sea n N. Entonces: a + b n = n a n b Demostracón. Demostraremos este teorema usando nduccón sobre n. Sea el conjunto: { } n X = n N : a + b n = a n b N En efecto: a + b 1 = a + b = 1a 1 0 b 0 + 1a 1 1 b 1 = 1 a 1 0 b a 1 1 b 1 1 luego, 1 X y por tanto X. Suponga ahora que h X, vamos a probar que h + 1 X. Expresando la potenca n + 1 ésma de a + b de la sguente forma: a + b h+1 = a + ba + b h = aa + b h + ba + b h Por hpótess nductva, h X, es decr: a + b h+1 = aa + b h + ba + b h = a a + b h+1 = h a h+1 b + Reescrbendo la prmera sumatora: h h a h+1 b = a h+1 + Reescrbendo la segunda sumatora: h a h b +1 = b h+1 + h 1 Obtenemos: h a + b h+1 = a h+1 b + h a + b h+1 = a h+1 + =1 a + b h+1 = a h+1 + b h+1 + h a h b +1 =1 a h b + b h a h+1 b h a h b +1 = b h+1 + h a h+1 b [ h =1 h + 1 a + b h+1 = a h+1 + b h+1 + =1 h+1 h + 1 a + b h+1 = a h+1 b + Entonces h + 1 X, por lo tanto X = N y: n a + b n = a n b a h b +1 + b h+1 + =1 =1 ] h a h+1 b 1 a h+1 b n N h a h b h a h+1 b 1 h a h+1 b 1 6

7 Entre las propedades mportantes del Bnomo de Newton tenemos: El desarrollo de la potenca n ésma del bnomo a + b está ordenado en forma decrecente para a y ascendente para b. Los coecentes bnomales de los térmnos equdstantes de los extremos son guales. El prmer y el ultmo coecente bnomal es 1. S los térmnos del bnomo tenen sgnos contraros, los térmnos del desarrollo serán alternadamente postvos y negatvos. S los térmnos del bnomo son ambos negatvos, todos los térmnos del desarrollo serán postvos o negatvos, según sea el exponente par o mpar. Ejemplo. Obtener el desarrollo de la sguente expresón: 2x Solucón. Usando el Bnomo de Newton para a = 2x 2, b = 3, n = 8, y reemplazando obtendremos nuestro desarrollo buscado, pero antes debemos hallar los valores de los coecentes bnomales: = 1 = 8 = = 56 = 70 = 56 De esta manera: 3 = x = Realzando las multplcacones: 4 8 = = x x = 256x x x x x x x x Ahora analzaremos la generalzacón del Bnomo de Newton esto es, estudaremos el bnomo a+b n donde n ya no solo es un entero, sno que adopta valores reales. Newton ya conocía este resultado aunque no lo demostró, pero aparece en su lbro De analys per aequatones numero termnorun nntas, escrto en 1669 y publcado en Aunque él lo dedujo usando otras herramentas, aquí daremos una demostracón usando herramentas del cálculo nntesmal. Entre las herramentas que ntroducremos se encuentra el concepto de dervada de una funcón, este concepto es el más mportante del cálculo nntesmal puesto que, la dervada de una funcón es un concepto que tene varadas aplcacones en dferentes áreas centícas. La dervada de una funcón mde la rapdez con que se produce un cambo de una magntud bajo alguna crcunstanca o stuacón. Por ejemplo, cuando se reere a la gráca de dos dmensones de una funcón f, se consdera la dervada de la funcón f, como la pendente de la recta tangente del gráco en algún punto x, cuyo valor es representado por f x. Algunas funcones no tenen dervada en todos sus puntos o carecen de esta en alguno de ellos, por eso dremos que una funcón es dferencable s lo es en cada uno de los puntos donde esta denda. Debdo a que abordar el concepto de dervacón resulta muy amplo para nuestro trabajo, solamente presentaremos aquellos resultados que serán puntualmente útles para la demostracón del próxmo teorema. 7

8 Proposcón 3. Sea a R jo y consdere la funcón de varable real fx = a x. Entonces fx es dferencable y f x = xa x 1. Proposcón 4. Sean f, g funcones dferencables y r R, entonces f + g y rf tambén son dferencables y f + g x = f x + g x, rf x = rf x. Proposcón 5. Sean f, g funcones dferencables tales que g f está ben denda. Entonces g f es dferencable y g f x = g fxf x. Corolaro 6. Sean a 0, a 1,..., a n R y consderemos px = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n = un polnomo en la varable real x. Entonces: a x El polnomo px es dferencable y la dervada de px es otro polnomo dendo por: p x = a 1 + 2a 2 x + 3a 3 x na n x n 1 = a x 1 El polnomo p x es dferencable y la dervada de p x es: p x = 2a 2 + 6a 3 x + 12a 4 x nn 1a n x n 2 = =1 1a x 2 Observacón. De gual forma, p x es dferencable con dervada p x, y así en adelante, cada nueva dervada de px es dferencable, por tanto dremos que px es nntamente dferencable. Denotaremos la n ésma dervada de px por p n x. Teorema 2. Bnomo de Newton generalzado Dados a, b, n R. Entonces: a + b n = c k a n k b k donde c 0 = 1 y c k = Demostracón. Consdere a 0, luego: =2 nn 1n 2n 3 n k 1, k 1. k! a + b n = an a n a + bn = a n 1 + b n a Denotaremos x = b, resultando a + bn = a n 1 + x n. Bastará entonces a estudar el desarrollo del bnomo 1 + x n para n R. Sean fx = 1 + x, gx = 1 + x n, por las proposcones anterores sabemos que tanto f, g son dferencables así: gx = [fx] n dervando respecto a x g x = n [fx] n 1 f x multplcando ambos membros por fx fxg x = n[fx] n f x dado que f x = 1 y [fx] n = gx Por lo tanto: fxg x = ngx 1 Supongamos ahora que gx tene la forma de una sere nnta, esto es gx = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 8

9 Claramente, c 0 = g0 = [f0] n = 1 n = 1. En vrtud de que esta sere es convergente, podemos dervar y obtener: g x = c 1 + 2c 2 x + 3c 3 x 2 + Reemplazando ambos membros de la ecuacón 1 obtenemos: 1 + xc 1 + 2c 2x + 3c 3x 2 + 4c 4x 3 = n1 + c 1x + c 2x 2 + c 3x 3 + c 1 + c 1 + 2c 2x + 2c 2 + 3c 3x 2 + 3c 3 + 4c 4x 3 + = n + nc 1x + nc 2x 2 + nc 3x 3 + Comparando térmno a térmno tenemos: c 0 = 1 c 1 = n = n 1! c 1 + 2c 2 = nc 1 2c 2 = n 1c 1 c 2 = n 1c 1 2 = nn 1 2 = nn 1 2! 2c 2 + 3c 3 = nc 2 3c 3 = n 2c 2 c 3 = c 2n 2 nn 1n 2 nn 1n 2 = = 3 6 3! 3c 3 + 4c 4 = nc 3 4c 4 = n 3c 3 c 4 = c 3n 3 nn 1n 2n 3 = 4 4!. k 1c k 1 + kc k = nc k 1 kc k = n k 1c k 1 c k = c k 1n k 1 nn 1n 2 n k 1 = k k! Entonces:. 1 + x n = c k x k nn 1n 2 n k 1 donde c 0 = 1 y c k = k 1 k! Reemplazando en a + b n : k b b a + b n = a n 1 + x n = a n c k = c k a a n k = c k a n k b k Por tanto: con c 0 = 1 y c k = a + b n = c k a n k b k a k nn 1n 2 n k 1, k 1. k! Observacón. Ahora mostraremos que el Bnomo de Newton es en realdad una consecuenca del Bnomo de Newton generalzado, justcando así su nombre. 9

10 Corolaro 7. Dados a, b R y n N. Entonces: n a + b n = a n k b k k Demostracón. Sabemos por el Teorema 1: S 0 k n c k = c k = c k = S k > n: c k = c k = Por lo tanto: a + b n = c k a n k b k nn 1n 2 n k 1 k! nn 1n 2 n k + 1n kn k k!n kn k n! n k!n k! = k nn 1n 2 n n 1n n n k 1 k! nn 1n n k 1 k! a + b n = n a n k b k k = 0 Ejemplo. El Teorema del Bnomo de Newton para n R tene una gran mportanca para la estmacón de números reales de la forma m p. Determne 2 con una aproxmacón a centésmas. Solucón. Consderaremos la potenca 1 2 del bnomo 1 + x. Según el teorema: donde S x = 1: c 0 = 1 c k = 1 + x 1 2 = c k x k k 1 k! 1 2 = = c k k 1 Calcularemos c 0, c 1,..., c 12 y hallaremos entre que valores se encuentra 2: c 0 = 1 2 = 1 c 1 = 1 2 = 0,5 2 = 1,5 c 2 = 1 8 = 0,125 2 = 1,375 c 3 = 1 16 = 0, = 1,4375 c 4 = = 0, = 1, c 5 = = 0, = 1,

11 c 6 = = 0, = 1, c 7 = = 0, = 1, c 8 = = 0, = 1, c 9 = = 0, = 1, c 10 = = 0, = 1, c 11 = = 0, = 1, c 12 = De esta manera: = 0, = 1, ,4109 < 2 < 1, ,41 Sn embargo, este método tene su lmtacón en el tpo de polnomo bnomo que se usa como base. Esto nos sugere que podemos encontrar aproxmacones más rápdas en cuanto al número de teracones s usamos polnomos con más térmnos o con mayor grado. 3. Polnomo de Vllarreal Como señalamos, el teorema del bnomo de Newton solo responde de manera parcal la búsqueda de potencas n ésmas de polnomos, pues para un número mayor de térmnos algebracos debemos reagruparlos hasta obtener un bnomo, y aplcar una y otra vez hasta desenvolver todos los térmnos. Tambén es certo que con el teorema del bnomo de Newton generalzado obtuvmos potencas de bnomos elevados a cualquer número real, aún así, este método sgue tenendo una lmtacón para el cálculo de polnomos con más de dos térmnos como base y lo mostraremos a contnuacón. Exemplo 1. Obtener el desarrollo de la sguente expresón: 2x 2 + 2x Solucón. S queremos aplcar el teorema del bnomo de Newton, necestamos expresar nuestro polnomo como un bnomo, esto es: Luego: 2x 2 + 2x + 1 = 2x 2 + x + x + 1 }{{}}{{} P x Qx 2x 2 + 2x + 1 = P x + Qx 2x 2 + 2x = P x + Qx 4 Usando el teorema del bnomo de Newton: 4 4 2x 2 + 2x = P 4 xq x 2x 2 + 2x = P 4 x + 4P 3 xqx + 6P 2 xq 2 x + 4P xq 3 x + Q 4 x Ahora necestamos calcular todos esos polnomos nmersos en el desarrollo de 2x 2 + 2x : 1. P 4 x: P 4 x = 2x 2 + x 4 = [x2x + 1] 4 = x 4 2x = x 4 4 P 4 x P 4 x = x [ 4 2x x x x + 1 ] = x 4 16x x x 2 + 8x + 1 P 4 x = 16x x x 6 + 8x 5 + x 4 4 2x 4 11

12 2. 4P 3 xqx: P 3 x = 2x 2 + x 3 = [x2x + 1] 3 = x 3 2x = x 3 3 P 3 x P 3 x = x [ 3 2x x x + 1 ] = x 3 8x x 2 + 6x + 1 P 3 x = 8x x 5 + 6x 4 + x 3 3 2x 3 4P 3 xqx = 4 8x x 5 + 6x 4 + x 3 x + 1 4P 3 xqx = 4 8x x 6 + 8x 6 + 6x x 5 + x 4 + 6x 4 + x 3 4P 3 xqx = 4 8x x x 5 + 7x 4 + x 3 4P 3 xqx = 32x x x x 4 + 4x 3 Como se observa, dentro de cada producto tenemos que operatvzar térmnos semejantes y cuando juntemos nuevamente cada desarrollo, tendremos que volver a operatvzar los térmnos semejantes, esto muestra que el método es poco práctco para polnomos mayores que un bnomo. Note que hemos escogdo esta agrupacón en dos bnomos P x y Qx por ser más fácl al momento de calcular las potencas, puesto que P x es factorzable y Qx tene térmno ndependente 1, no obstante puede elegrse cualquer agrupacón posble de tal manera que se obtengan bnomos. Ante esta problemátca, surge la necesdad de un método que permta calcular el desarrollo reducdo de potencas n ésmas de cualquer polnomo. Esta necesdad fue abordada por el matemátco tucumano Federco Vllarreal Vllarreal a sus 23 años. Federco Vllarreal Vllarreal ngresa en 1877 a la Facultad de Cencas en la Unversdad Naconal Mayor de San Marcos. Él fue el prmer doctor en matemátca egresado de dcha unversdad, su tess destaca en gran medda por su orgnaldad y sus conclusones, lo cual tambén le merecó a Vllarreal la medalla de oro, otorgada por la Facultad de Cencas al prmer doctor de su época, quen a la vez, se consttuyó como el prmer matemátco profesonal del sglo XIX en Perú. Antes de este logro, el 21 de octubre de 1879, Federco Vllarreal Vllarreal presenta su tess ttulada Las fórmulas y métodos que deben complementarse en matemátca pura, para optar el grado de Bachller en Matemátcas, la cual estaba conformada de 4 temas: 1. Elevacón de Polnomos: En esta seccón, él propone un método para poder elevar un polnomo o una sere a un exponente real o complejo, el cual es en esenca sencllo de aplcar y consttuye una muestra de su genaldad en el área. 2. Transformacón de Imagnaras: En esta seccón, él propone demostrar de forma adecuada que una expresón magnara se reduce al símbolo a+b, medante técncas de Álgebra Elemental. 3. Volumen de Cuerpos Regulares: En esta seccón, medante técncas geometría elemental se propone hallar el volumen en funcón de las arstas para los trece cuerpos semrregulares cuya exstenca demuestra apartr de los cnco cuerpos regulares, esto para poder ser usado en crstalografía, en el reconocmento, clascacón y densdad de los mnerales, todo ello tan solo mdendo las arstas. 4. Integracón por Partes: En esta seccón hace notar la lbertad que hay para tomar como factor dferencal x en una ntegracón. Instaura su célebre método de los traspasos. 12

13 3.1. Formulacón del Polnomo de Vllarreal Descrbremos el método de Vllarreal de la prmera seccón de la manera como fue planteada en dcha téss, aunque restrcto a números reales, y daremos una demostracón usando el cálculo dferencal de manera smlar al descrto en el Bnomo de Newton generalzado. Dado un polnomo P x 0, podemos suponer que a 0 0, caso contraro podemos factorzar P x de la forma P x = x P 1 x donde P 1 x = a + a +1 x + + a n x n y donde a es el prmer coecente no nulo de P x, y efectuar el procedmento del teorema en el polnomo no nulo P 1 x. Aunque desconocemos el desarrollo completo de la potenca del polnomo P x, sabemos que el térmno con menor grado del desarrollo, denotado por b 0, es a m 0, por tanto esa consecuenca es más clara en el teorema. Los demás coecentes b k con k 1 serán más dfícles de obtener debdo a que habra varas reordenacones y agrupacones de ndces, mas dejamos en evdenca que sólo se trata de arreglos ntos de subíndces. El teorema arma que la potenca P m x es una sere nnta, a grosso modo podemos consderar P m x como un polnomo con nntos térmnos o un polnomo muy largo. Notemos que P x está sendo consderado tambén como una sere, al tomar a j = 0 para j > n, esto es: P x = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n + 0x n+1 + 0x n x j + Así, s m es un entero no negatvo, el resultado será un polnomo de grado mn, el cual puede ser tambén descrto como una sere nnta con coecentes 0, salvo un número nto de ellos. Teorema 3. Polnomo de Vllarreal Sea n N, a 0, a 1,..., a n R con a 0 0 y m R. Consdere el polnomo en la varable x: P x = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n Entonces: con b k = [P x] m = a m 0 + j=1 j k b k x k k=1 Dj b k j C j k 1 k 1 donde C j = a j a 0, D j = jm + 1, j = 1,..., n. Demostracón. Sea Qx = [P x] m, sabemos que tanto P x como Qx son dferencables, así: Qx Q x P xq x = [P x] m = m[p x] m 1 P x = m[p x] m P x Tenemos: P xq x = mqxp x 13

14 Consderando: P x = a 0 + a 1 x + + a n x n = a x P x = a 1 + 2a 2 x + + na n x n 1 = Qx = [P x] m = Q x = kb k x k 1 k=1 b k x k b 0 = a m 0 Reemplazando en la ecuacón anteror: a x 1 P xq x = mqxp x n n a x kb k x k 1 = m b k x k a x 1 =1 k=1 Reagrupando según las potencas de x: k+1 k a k+1 b x k = m k + 1 a k+1 b k + 1a k b +1 x k = =1 =1 k mk + 1 a k+1 b Pasando a restar a uno de los membros: [ k 0 = mk + 1 a k+1 b ] k + 1a k b +1 Por tanto los coecentes de esta ultma sere deben ser todos nulos, es decr: 0 = 0 = k + 1a 0b k+1 = k mk + 1 a k+1 b k k =1 k + 1a 0b k+1 = mk + 1a k+1 b 0 + k + 1a 0b k+1 = mk + 1a k+1 b 0 + k + 1a 0b k+1 = b k+1 = b k = k + 1a k b +1 k 1 mk + 1 a k+1 b + 1a k b +1 k + 1a 0b k+1 k 1 mk + 1 a k+1 b + 1a k b +1 k mk + 1 a k+1 b =1 x k x k x k k a k +1 b =1 k [mk + 1 ] a k +1 b =1 k [mk + 1 m + 1] a k +1 b k [ ] mk + 1 m + 1 ak +1 b k + 1 a 0 k 1 [ ] ak mk m + 1 b a 0 k Luego: Qx = b k x k 14

15 donde b 0 = a m 0, para k 1: k 1 [ ] ak mk m + 1 b k = b a 0 k Dado que a j = 0 para j > n, exsten sumandos nulos en sguente la sumatora: k 1 [ ] ak mk m + 1 b k = b a 0 k En realdad, solo los últmos n sumandos son no nulos, por lo tanto elmnando aquellos térmnos nulos podemos reescrbr esta sumatora de la sguente forma: b k = k 1 =k n b ak a 0 [ ] mk m + 1 Hacendo la susttucón j = k, podemos reescrbr la sumatora: b k = j=1 j k b k j aj a 0 k [ ] jm + 1 k Denendo C j = a j a 0, D j = jm + 1, j = 1,..., n, se tene que: [P x] m = a m 0 + k b k x k k=1 donde: b k = j=1 j k Dj b k j C j k 1 k 1 Ejemplo. Determne 2 con una aproxmacón a centésmas. Solucón. Consdere el polnomo P x = 1 + x 2 + x2 2 y sea m = 1 2. Según el Polnomo de Vllarreal: x2 x2 + 2 = 1 + b k x k k=1 donde C 1 = C 2 = 1 2, D j = j = 3j 2 : b k = j=1 j k b k j 2 3j 2k 1 k 1 S x = 1: 2 = = 1 + b k x k 2 k=1 15

16 Calcularemos b 1, b 2,..., b 7 y hallaremos entre que valores se encuentra 2: b 1 = 1 4 b 2 = 7 32 b 3 = b 4 = b 5 = b 6 = b 7 = = 1,25 2 = 1, = 1, = 1, = 1, = 1, = 1, De esta manera, en menos teracones y de forma más senclla, tenemos: 1,4124 < 2 < 1, , Polnomo nto de Vllarreal Ejemplo. Obtener el desarrollo de la sguente expresón: Solucón. Según el teorema: 1 + 2x + 3x x + 3x 2 3 = b k x k donde: a 0 = 1, a 1 = 2, a 2 = 3, C 1 = 2, C 2 = 3, D j = j3 + 1 = 4j, b 0 = 1 3 = 1: 2 4j b k = b k j C j k 1 k 1 Calculando b k para k 1: j=1 j k b 1 = b 0 C 1 3 = 6 b 2 = b 1 C 1 + b 0 C 2 3 = 21 b 3 = b 2 C b1 C = 44 b 4 = b 3 C b 2 C 2 1 = 63 b 5 = b 4 C b3 C = 54 b 6 = b 5 C b4 C = 27 b 7 = b 6 C b5 C = 0 b 8 = b 7 C b6 C 2 0 = 0 Dado que b 9 depende de b 7 y b 8, entonces b 9 = 0, en general para k 7: b k = 0. Entonces: 1 + 2x + 3x 2 3 = 1 + 6x + 21x x x x x 6 + 0x 7 + 0x x + 3x 2 3 = 1 + 6x + 21x x x x x 6 Observacón. Esto evdenca como menconamos antes de la demostracón del Polnomo de Vllarreal, que s m N, el desarrollo de la potenca m ésma del polnomo px de grado n es otro polnomo de grado mn, es decr a partr del coecente b mn los demás coecentes de la sere del desarrollo de la potenca m ésma deberan ser todos nulos. Concluremos este trabajo mostrando esta armacón. 16

17 Proposcón 8. Sea P x un polnomo en la varable x de grado n. Entonces deg [P x] m = mn, para todo m N. { } Demostracón. Sea el conjunto X = s N : deg [P x] s = sn N. Dado que deg [P x] 1 = degp x = n = 1 n, 1 X. Consdere s X, vamos a probar que s + 1 X. Dado que: deg [P x] s+1 = deg P x [P x] s = deg P x + deg [P x] s = n + sn deg [P x] s+1 = s + 1n Luego, s + 1 X, y por tanto X = N, es decr: deg [P x] m = mn m N Corolaro 9. Polnomo de Vllarreal. Sea n N y sea P x = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n un polnomo de grado n en la varable x. Entonces: mn [P x] m = a m 0 + b k x k k=1 tal que para k 1: b k = j=1 j k Dj b k j C j k 1 donde C j = a j a 0, D j = jm + 1, j = 1,..., n. Demostracón. Por el método del polnomo de Vllarreal se tene que: [P x] m = a m 0 + b k x k k=1 Suponga que para p > mn se tene que b p 0, entonces deg [P x] m p > mn Lo cual contradce la proposcón anteror, por tanto para p > mn se tene que b p = 0 y se comprueba el resultado. 4. Conclusones Hallar el desarrollo reducdo de la potenca m ésma m un número real de un polnomo de grado n con coecentes reales, por el método del bnomo de Newton generalzado es poco práctco, ncluso s m N. Esto se debe a que el polnomo base puede necestar muchas reagrupacones para tornarse un bnomo y luego de ello serían necesaras muchas reduccones de térmnos semejantes. Federco Vllarreal Vllarreal logró desarrollar un método, más sencllo, para la obtencón de la potenca m ésma m un número real de un polnomo de grado n con coecentes reales, basándose en el estudo de seres nntas. Su tess para la obtencón del grado de bachller en la Facultad de Cencas de la Unversdad Naconal Mayor de San Marcos cuenta no sólo con tal método en realdad el método fue dado potencas complejas sno tambén cuenta con otras mportantes conclusones matemátcas que muestran su talento y genaldad. 17

18 El método desarrollado por Federco Vllarreal no es una generalzacón del método del bnomo de Newton generalzado, puesto que se trata de un estudo más amplo que el método dado para bnomos, es en realdad un método para el estudo de seres nntas. El método del bnomo de Newton generalzado permte aproxmar números de la forma m p, sn embargo para tener aproxmacones sgncatvas se necestan muchas teracones. Claramente el método del Polnomo de Federco Vllarreal permte aproxmar este tpo de números pero de una manera más ecente que el método del Bnomo de Newton, en relacón a la cantdad de coecentes necesaros para la aproxmacón. Referencas [1] elevacon-polnomos.shtml [2] Vllarreal.pdf [3] FM_2014 [4] Vctor M. Islas Meja, Expresones Algebracas. Unversdad Autónoma del Estado de Hdalgo, julo [5] Mosés S. Toledo Julan, Hstora de la Matemátca en Perú - Recuento a la Matemátca Peruana, Revsta Escolar de la Olmpada Iberoamercana de Matemátca N 35, España. 18