Introducción a la Regresión Lineal

Transcripción

1 Itroduccó a la Regresó Leal (SW Capítulo 4) Problema: Nº de alumos por clase y resultados escolares Polítca educatva: Qué efecto tee e dchos resultados reducr el º de alumos e estudate por clase? y e 8? Cúal es la medda correcta de los resultados escolares? Satsfaccó de los padres Desarrollo persoal del estudate Beestar futuro e la edad adulta Gaacas futuras e la edad adulta Resultados e varos tests estádar 4-

2 Qué os dce los datos sobre el º de alumos por clase y las putuacoes e los tests (Test Scores)? Datos de putuacoes e Calfora e 998 Escuelas prmaras e dsttos dstrtos ( = 40) Varables: Putuacoes e u test de 5º curso que comba lectura y matemátcas: ota meda e cada dstrto Rato estudate-profesor (STR: Studet-teacher rato): º de estudates e el dstrto dvddo por el º de profesores a tempo completo 4-

3 U prmer vstazo a los datos de otas e Calfora: 4-3

4 Los dstrtos co meor º de alumos por clase (STR más bajos) tee putuacoes más altas? 4-4

5 Preguta de terés (polcy questo) sobre la relacó etre el º de alumos por clase y las calfcacoes: Qué efecto tee sobre las calfcacoes reducr el rato STR e u estudate por clase? Objeto de terés: Notas STR Esto es la pedete de la recta que relacoa las otas co el rato estudate/profesor STR. 4-5

6 Esto sugere que os gustaría trazar ua recta sobre la ube de putos de Notas vs. STR,... pero cómo? 4-6

7 U poco de otacó y termología (Seccoes 4. y 4.) La recta de regresó poblacoal: Notas = β 0 + β STR β = pedete de la recta de regresó poblacoal = Notas STR = cambo e las otas ate u cambo utaro e STR Por qué so β 0 y β parámetros poblacoales? Nos gustaría coocer el valor poblacoal de β No coocemos β, debemos estmarlo utlzado datos 4-7

8 Cómo podemos estmar β 0 y β a partr de los datos? Recordemos: Y es el estmador de mímos cuadrados de µ Y : Y es la solucó del problema: m ( Y m) m = Aálogamete, os cetraremos e el estmador de mímos cuadrados (MCO: mímos cuadrados ordaros) de los parámetros descoocdos β 0 y β. Dcho estmador resuelve el sguete problema: m [ Y ( b + b X )] b0, b 0 = 4-8

9 El estmador MCO resuelve el problema: m [ Y ( b + b X )] b0, b 0 = El estmador MCO mmza el promedo del cuadrado de la dfereca etre los valores observados Y y la predccó (valor ajustado) basada e la recta estmada. Este problema de mmzacó puede resolverse utlzado el cálculo elemetal (ver Apédce 4.) El resultado de este problema es el estmador MCO de β 0 y β. 4-9

10 Por qué utlzar MCO e lugar de algú otro estmador? MCO es ua geeralzacó de la meda muestral: s la recta que buscamos es u valor costate (s varable X), el estmador MCO es smplemete la meda muestral de Y, Y (Y ). Al gual que Y, el estmador MCO tee alguas bueas propedades: bajo certas codcoes, es sesgado (esto ˆ es, E( β ) = β ), y su dstrbucó muestral tee meor varaza que la de otros posbles estmadores de β Y o meos mportate, este estmador es el que todo el mudo utlza, el leguaje comú de la regresó leal. 4-0

11 4-

12 Aplcacó a los datos de Calfora: Putuacoes Nº de alumos por clase Pedete estmada = ˆ β =.8 Térmo costate estmado = ˆ β 0 = Regresó leal estmada: Notas = STR 4-

13 Iterpretacó del térmo costate y la pedete estmados Notas = STR Los dstrtos co u estudate más por clase tee e meda putuacoes.8 putos más bajas. Notas =.8 Esto es: STR El térmo costate (tomado lteralmete) sgfca que, de acuerdo a la recta estmada, los dstrtos co 0 estudates por profesor tedría ua putuacó (estmada) de Esta terpretacó del térmo costate o tee setdo e esta aplcacó - extrapola la recta fuera del rago de los datos - o tee sgfcado ecoómco. 4-3

14 Valores ajustados (estmados) y resduos: Uo de los dstrtos e los datos es Atelope, CA, para el cual STR = 9.33 y Notas = valor estmado: Y ˆAtelope = = resduo: u ˆAtelope = =

15 Regresó MCO: STATA output regress testscr str, robust Regresso wth robust stadard errors Number of obs = 40 F(, 48) = 9.6 Prob > F = R-squared = 0.05 Root MSE = Robust testscr Coef. Std. Err. t P> t [95% Cof. Iterval] str _cos Notas = STR (dscutremos más e detalle estos resultados) 4-5

16 La recta de regresó MCO es ua estmacó calculada usado uestra muestra de datos; co otra muestra de datos habríamos obtedo u valor dferete de ˆ β. Cómo podemos: cuatfcar la varabldad muestral asocada a ˆ β? utlzar ˆ β para cotrastar hpótess como β = 0? costrur u tervalo de cofaza para β? Como e la estmacó de la meda, segumos 4 pasos:. El marco probablístco e la regresó leal. Estmacó 3. Cotrastes de hpótess 4. Itervalos de cofaza 4-6

17 . El marco probablístco e la regresó leal Poblacó poblacó de terés (ej: todos los dstrtos escolares) Varables aleatoras: Y, X Ej: (Notas, STR) Dstrbucó cojuta de (Y,X) El puto clave es que supoemos que exste e la poblacó ua relacó leal que relacoa X e Y; esta relacó leal es la regresó leal poblacoal 4-7

18 El modelo de Regresó Leal Poblacoal (Seccó 4.3) Y = β 0 + β X + u, =,, X es la varable depedete ó regresor Y es la varable depedete β 0 = térmo depedete β = pedete u = térmo de error El térmo de error cosste e factores omtdos o posbles errores de medda e Y. E geeral, estos factores omtdos so otros factores que afecta a Y, dsttos de la varable X. 4-8

19 Ej.: La recta de regresó poblacoal y el térmo de error Cuáles so alguos de los factores omtdos e este ejemplo? 4-9

20 Datos y muestreo: Los objetos poblacoales ( parámetros ) β 0 y β so descoocdos; por tato, para hacer fereca sobre estos parámetros debemos recoger datos relevates. Muestreo aleatoro smple: Elegr aleatoramete elemetos de la poblacó de terés y observar (regstrar) X e Y para cada ua de ellos. El muestreo aleatoro smple mplca que {(X, Y )}, =,, }, so depedetes e détcamete dstrbudos (..d.). (Nota: (X, Y ) se dstrbuye depedetemete de (X j, Y j ) para observacoes y j dferetes). 4-0

21 Nuestra tarea: caracterzar la dstrbucó muestral del estmador MCO. Para hacer esto, ecestamos tres hpótess: Las hpótess de Mímos Cuadrados A. La dstrbucó codcoal de u dado X tee meda 0, esto es, E(u X = x) = 0. A. (X,Y ), =,,, so..d. A3. X y u tee cuartos mometos, esto es: E(X 4 ) < y E(u 4 ) <. Dscutremos cada ua de estas hpótess. 4-

22 Mímos cuadrados: Hpótess A: E(u X = x) = 0. Para cualquer valor dado de X, la meda de u es cero 4-

23 Ejemplo: Hpótess A e el ejemplo del º de alumos Notas = β 0 + β STR + u, u = otros factores Otros factores: mplcacó de los padres otras oportudades de apredzaje (clases extra,..) ambete famlar que fomete la lectura reta famlar como proxy útl para muchos de estos factores Por tato, E(u X=x) = 0 mplca que E(Famly Icome STR) = costate (lo que mplca que la reta famlar y STR está correlados). Esta hpótess o es ocua!. Volveremos a ella a meudo. 4-3

24 Mímos cuadrados: Hpótess A: (X,Y ), =,, so..d. Esto ocurre automátcamete s el elemeto (dvduo, dstrto) provee de u muestreo aleatoro smple: el elemeto es seleccoado, y etoces X e Y so observados y regstrados. U caso e el que o ecotraremos muestras..d es cuado los datos so recogdos a lo largo del tempo ( seres temporales ); esto troduce complcacoes adcoales. 4-4

25 Mímos cuadrados: Hpótess A3: E(X 4 ) < y E(u 4 ) < Dado que Y = β 0 + β X + u, A3 puede escrbrse de forma equvalete como, E(X 4 ) < y E(Y 4 ) <. E geeral, A3 es ua hpótess plausble. U domo fto de los datos mplca cuartos mometos ftos. (Las putuacoes estadarzadas satsface esta hpótess; STR, reta famlar, etc. també). 4-5

26 . El marco probablístco e la regresó leal. Estmacó: la dstrbucó muestral de ˆ β (Seccó 4.4) 3. Cotrastes de hpótess 4. Itervalos de cofaza Como ocurre co Y, ˆ β tee ua dstrbucó muestral. Qué es E( ˆ β )? (es dode está cetrada) Qué es var( ˆ β )? (medda de la varabldad muestral) Qué es la dstrbucó muestral e muestras ftas? Qué es la dstrbucó muestral e muestras grades? 4-6

27 La dstrbucó muestral de ˆ β : u poco de álgebra: Y = β 0 + β X + u Y = β 0 + β X + u etoces: Y Y = β (X X ) + (u u ) Por tato: ( X X)( Y Y) ˆ = β = ( X X) = = = ( X X)[ β ( X X) + ( u u)] = ( X X) 4-7

28 ˆ β = por tato, ˆ = ( X X)[ β ( X X) + ( u u)] = ( X X) = β = + = ( X X) ( X X) = = = β β = ( X X)( X X) ( X X)( u u) ( X X)( u u) = ( X X) 4-8

29 Podemos smplfcar la fórmula teedo e cueta que: ( X X)( u u) = = Por tato: = = ( X X) u = ( X X) u. = ( X X) u ˆ = β β = ( X X ) = = v s = X ( X X) u dode v = (X X )u. 4-9

30 4-30 ˆ β β = X v s =, dode v = (X X )u Ahora calculamos la meda y la varaza de ˆ β : E( ˆ β β ) = X E v s = = X v E s = = X v E s =

31 Ahora E(v / s X ) = E[(X X )u / s X ] = 0 porque E(u X =x) = 0 (ver detalles e Apédce 4.3) Por tato, E( ˆ v β β ) = E = s = 0 X co lo que: E( ˆ β ) = β Es decr, ˆ β es u estmador sesgado de β. 4-3

32 Cálculo de la varaza de ˆ β : v ˆ = β β = s X Este cálculo se smplfca supoedo que es grade (por tato, s X puede reemplazarse por σ X ); el resultado es, var( ˆ var( v) β ) = σ X (Para más detalles, ver Apédce. 4.3.) 4-3

33 La dstrbucó muestral exacta es complcada, pero cuado el tamaño muestral es grade teemos bueas aproxmacoes, que además so bastate secllas: () Puesto que var( ˆ β ) / y E( ˆ β ) = β, ˆ β p β () Cuado es grade, la dstrbucó muestral de ˆ β se aproxma be por ua dstrbucó ormal (TCL: Teorema Cetral del Límte) 4-33

34 v ˆ = β β = sx Cuado es grade: v = (X X )u (X µ X )u, que es..d. ( por qué?) y tee dos mometos, esto es, var(v ) < ( por qué?). Por v tato, se dstrbuye N(0,var(v)/) cuado es = grade s X es aproxmadamete gual a σ X cuado es grade = cuado es grade Teedo todo esto e cueta: 4-34

35 Aproxmacó astótca ( grade) de la dstrbucó de ˆ β : v ˆ = β β = s X v = σ X σ v que se dstrbuye aproxmadamete N(0, ). ( σ X ) Puesto que v = (X X )u, podemos escrbr esto como:, ˆ var[( X µ x) u] β se dstrbuye aproxmadamete N(β, ) 4 σ X 4-35

36 Recordemos brevemete la dstrbucó muestral de Y : Para (Y,,Y )..d. co 0 < σ Y <, La dstrbucó exacta (muestras ftas) de Y tee meda µ Y ( Y es u estmador sesgado de µ Y ) y varaza σ Y / Excepto su meda y su varaza, la dstrbucó exacta de Y es complcada y depede de la dstrbucó de Y Y p µ Y (ley de los grades úmeros) Y E( Y) se dstrbuye aproxmadamete N(0,) (TCL) var( Y ) 4-36

37 Coclusoes paralelas para el estmador MCO de ˆ β : Bajo las tres hpótess de Mímos Cuadrados, La dstrbucó muestral exacta (muestras ftas) de ˆ β tee meda β ( ˆ β es u estmador sesgado de β ), y var( ˆ β ) es versamete proporcoal a. Excepto su meda y su varaza, la dstrbucó exacta de ˆ β es complcada y depede de la dstrbucó de (X,u) ˆ β p β (ley de los grades úmeros) ˆ β E( ˆ β) se dstrbuye aproxmadamete N(0,) (CLT) var( ˆ β ) 4-37

38 4-38

39 . El marco probablístco e la regresó leal. Estmacó 3. Cotrastes de hpótess (Seccó 4.5) 4. Itervalos de cofaza Supoga que algue escéptco sugere que reducr el úmero de estudates por clase o tee efecto e el apredzaje, o más específcamete, e las calfcacoes. Esta persoa escéptca, por tato, defede esta hpótess: H 0 : β = 0 Queremos cotrastar esta hpótess usado los datos, alcazar algú tpo de coclusó acerca de s es correcta o correcta. 4-39

40 Hpótess ula e hpótess alteratva de doble cola: H 0 : β = 0 vs. H : β 0 o, de forma más geeral: H 0 : β = β,0 vs. H : β β,0 dode β,0 es el valor del parámetro β bajo la hpótess ula. Hpótess ula y alteratva de ua sola cola: H 0 : β = β,0 vs. H : β < β,0 E ecoomía, cas sempre es posble ecotrar problemas e los que el efecto de ua varable podría r e cualquer dreccó, por lo que es habtual cetrarse e alteratvas blaterales. 4-40

41 Recordemos que el cotraste de la meda poblacoal basado e Y : t = Y s Y µ Y,0 / rechaza la hpótess ula s t >.96. dode el deomador es la raíz cuadrada de u estmador de la varaza del estmador. 4-4

42 S lo aplcamos a ua hpótess sobre β : es decr t = estmador - valor hpotétco error estádar del estmador t = ˆ β β SE( ˆ β ),0 e dode β,0 es el valor hpotétco de β bajo la hpótess ula (por ejemplo, s es cero, etoces, β,0 = 0.) Qué es SE( ˆ β )? SE( ˆ β ) = la raíz cuadrada de u estmador de la varaza de la dstrbucó muestral de ˆ β 4-4

43 Recordemos la expresó de la varaza de ˆ β ( grade): var( ˆ var[( X µ x) u] β ) = ( σ ) X = σ σ v 4 X dode v = (X µ x )u. El estmador de la varaza de ˆ β : σ = ˆβˆ = estmador de σ (estmador de σ ) v X ( X ˆ X) u = ( X X) =. 4-43

44 σ = ˆβˆ ( X ˆ X) u = ( X X) =. De acuerdo, esta fórmula es desagradable, pero: No es ecesaro memorzarla El ordeador la calcula automátcamete SE( ˆ β ) = σ ˆβˆ es ua salda típca del programa Es meos complcada de lo que parece. El umerador estma var(v), el deomador estma var(x). 4-44

45 Regresemos al cálculo del estadístco t: t = ˆ β β SE( ˆ β ),0 = ˆ β β,0 σ ˆβ ˆ Rechazo al 5% de sgfcacó s t >.96 El valor-p es p = Pr[ t > t calculado ] = probabldad e las colas de la ormal por ecma de t cal Las dos afrmacoes aterores so aproxmacoes para muestras grades; típcamete = 50 es lo sufcetemete grade como para que la aproxmacó sea excelete. 4-45

46 Ejemplo: Notas y STR, datos de Calfora Regresó Estmada: Notas = STR Saldas del programa: t que cotrasta β,0 = 0: SE( ˆ β 0 ) = 0.4 SE( ˆ β ) = 0.5 ˆ β β SE( ˆ β ),0 =.8 0 = Al vel del %, el valor crítco de dos colas es.58; por tato, rechazamos la ula al % de sgfcacó. Alteratvamete, podemos calcular el valor-p 4-46

47 4-47

48 El valor-p e la aproxmacó ormal de muestras grades al estadístco-t es (0 5 ). El marco probablístco e la regresó leal. Estmacó 3. Cotrastes de hpótess 4. Itervalos de cofaza (Seccó 4.6) E geeral, s la dstrbucó muestral del estmador es ormal para grade, etoces podemos costrur el tervalo de cofaza al 95% como: estmador ±.96 error estádar Es decr, el tervalo de cofaza al 95% para β es, { ˆ β ±.96 SE( ˆ β )} 4-48

49 Ejemplo: Putuacoes y STR, datos de Calfora Regresó estmada: Notas = STR SE( ˆ β 0 ) = 0.4 SE( ˆ β ) = 0.5 Itervalo de cofaza al 95% para β : { ˆ β ±.96 SE( ˆ β )} = {.8 ± } = ( 3.30,.6) Afrmacoes equvaletes: El IC al 95% o cluye al cero; La hpótess β = 0 se rechaza al 5% 4-49

50 Iformacó de la regresó estmada: Poemos el error estádar e parétess debajo de la estmacó Notas = STR (0.4) (0.5) Esta expresó sgfca que: La regresó estmada es Notas = STR El error estádar de ˆ β 0 es 0.4 El error estádar de ˆ β es

51 Regresó MCO: STATA output regress testscr str, robust Regresso wth robust stadard errors Number of obs = 40 F(, 48) = 9.6 Prob > F = R-squared = 0.05 Root MSE = Robust testscr Coef. Std. Err. t P> t [95% Cof. Iterval] str _cos Es decr: Notas = STR (0.4) (0.5) t (β = 0) = 4.38, valor-p = Itervalo de cofaza al 95% para β es ( 3.30,.6) 4-5

52 Regresó cuado X es bara (Seccó 4.7) Alguas veces u regresor es baro: X = s mujer, = 0 s hombre X = s e tratameto médco, = 0 s o X = s clase co pocos alumos, = 0 s o Hasta ahora, hemos deomado pedete a β, pero e este caso o tedría setdo. Cómo terpretamos la regresó co u regresor baro? 4-5

53 Y = β 0 + β X + u, dode X es bara (X = 0 ó ): Cuado X = 0: Cuado X = : Por tato: Y = β 0 + u Y = β 0 + β + u Cuado X = 0, la meda de Y es β 0 Cuado X =, la meda de Y es β 0 + β es decr: E(Y X =0) = β 0 E(Y X =) = β 0 + β cosecuetemete: β = E(Y X =) E(Y X =0) = dfereca e la meda poblacoal de ambos grupos 4-53

54 Ejemplo: Notas y STR, datos de Calfora Sea s STR 0 D = 0 s STR > 0 La estmacó por MCO de la regresó que relacoa Notas co D (co errores estádar e parétess) es: Notas = D (.3) (.8) Dfereca de medas etre grupos = 7.4; SE =.8 t = 7.4/.8 =

55 Comparamos los resultados de la regresó co los de las medas de grupos calculadas drectamete: Tamaño de clase Nota meda (Y ) Desv.Est.(s Y ) N Pequeño (STR < 0) Grade (STR 0) Estmacó: Ypequeño Ygrade Test =0: t = = 7.4 Yp Yg 7.4 = = SE( Y Y ).83 p g = 4.05 Itervalo al 95% = {7.4 ±.96.83} = (3.8,.0) El msmo resultado que e la regresó! Notas = D (.3) (.8) 4-55

56 Resume: regresó cuado X es bara (0/) Y = β 0 + β X + u β 0 = meda de Y dado X = 0 β 0 + β = meda de Y dado X = β = dfereca de medas, X = meos X = 0 SE( ˆ β ) tee la terpretacó usual t e IC costrudos de la forma habtual Ésta es otra forma de hacer aálss de dferecas de medas El aálss de regresó es especalmete útl cuado dspoemos de regresores adcoales 4-56

57 Otros Estadístcos de la Regresó (Seccó 4.8) Ua preguta atural es s la líea de regresó explca o se ajusta be a los datos. Hay dos estadístcos de la regresó que proporcoa meddas complemetaras sobre la caldad del ajuste: El R de la regresó mde la fraccó de la varaza de Y que es explcada por X; o posee udades de medda y su rago se ecuetra etre cero (s ajuste) y uo (ajuste perfecto) El error estádar de la regresó mde el ajuste el tamaño típco de u resduo de la regresó e udades de Y. 4-57

58 El R Escrbamos Y como la suma de la predccó MCO + resduo MCO: Y = Y ˆ + u ˆ El R es la fraccó de la varaza muestral de Y explcada por la regresó, esto es, por Y ˆ : SCE R = SCT dode SCE = ˆ ˆ ( Y Y) y SCT = = ( Y Y). = 4-58

59 El R : R = 0 sgfca que SCE = 0, es decr X o explca ada de la varacó de Y R = sgfca que SCE = SCT, o Y = Y ˆ, es decr X explca toda la varacó de Y 0 R E la regresó co u sólo regresor (el caso e el que estamos), R es el cuadrado del coefcete de correlacó etre X e Y 4-59

60 El Error Estádar de la Regresó (SER) El error estádar de la regresó es (cas) la desvacó estádar muestral de los resduos MCO: SER = ( uˆ ˆ u) = = uˆ = (la seguda gualdad vee de uˆ = 0). = 4-60

61 SER = El SER: uˆ = Se mde e udades de u, que so udades de Y Mde la dspersó de la dstrbucó of u Mde el tamaño medo del resduo MCO (el error medo cometdo por la regresó MCO) La raíz cuadrada del error cuadrátco medo (RMSE) está muy relacoada co el SER: RMSE = uˆ = Que mde lo msmo la úca dfereca es la dvsó por e lugar de por ( ). 4-6

62 Nota: por qué se dvde por ( ) y o por ( )? SER = uˆ = La dvsó por ( ) es ua correccó de grados de lbertad como lo es la dvsó por ( ) e s Y ; la dfereca es que, e el SER, se ha estmado dos parámetros (β 0 y β medate ˆ β 0 y ˆ β ), metras que e s Y sólo se ha sdo estmado uo (µ Y medate Y ). Cuado es grade, es dferete dvdr por, ( ), ó ( ) auque la fórmula covecoal utlza ( ) cuado hay u úco regresor. Detalles e Seccó

63 Ejemplo de R y SER Notas = STR, R = 0.05, SER = 8.6 (0.4) (0.5) El coefcete de la pedete es estadístcamete sgfcatvo y grade, au cuado STR explca sólo ua fraccó pequeña de la varacó e las otas. 4-63

64 Nota Práctca: Heteroscedastcdad, Homoscedastcdad, y Fórmula de los Errores Estádar de ˆ β 0 y ˆ β (Seccó 4.9) Qué sgfca estos dos térmos? Cosecuecas de la homoscedastcdad Cálculo de los errores estádar Qué sgfca estos dos térmos? S var(u X=x) es costate es decr, la varaza de la dstrbucó codcoal de u dado X o depede de X, etoces u es homoscedástca. E otro caso, u será heteroscedástca. 4-64

65 Homoscedastcdad e u gráfco: E(u X=x) = 0 (u satsface la Hpótess A de MCO) La varaza de u o camba co (depede de) x 4-65

66 Heteroscedastcdad e u gráfco: E(u X=x) = 0 (u satsface la Hpótess A de MCO) La varaza de u depede de x. 4-66

67 Ejemplo real de heteroscedastcdad e Ecoomía Laboral: gaacas medas por hora vs. años de educacó (fuete: Curret Populato Survey 999) Average Hourly Eargs Ftted values 60 Average hourly eargs Years of Educato Scatterplot ad OLS Regresso Le 4-67

68 So heteroscedástcos los datos del º de alumos por clase? Dfícl de decr so cas homoscedástcos, auque la dspersó parece meor para valores grades de STR. 4-68

69 Hasta ahora, hemos supuesto (s decrlo expresamete) que u es heteroscedástca: Recordemos las tres hpótess de MCO:. La dstrbucó codcoal de u dado X tee meda cero, esto es, E(u X = x) = 0.. (X,Y ), =,,, so..d. 3. X y u posee mometos ftos de cuarto orde. Heteroscedastcdad y homoscedastcdad hace refereca a var(u X=x). Puesto que o hemos supuesto explíctamete homoscedastcdad, permtmos mplíctamete heteroscedastcdad. 4-69

70 Y s los errores fuese de hecho homoscedástcos?: Podríamos probar alguos teoremas de MCO (e partcular, el teorema de Gauss-Markov, que dce que MCO es el estmador co meor varaza etre aquellos que so fucoes leales de (Y,,Y ); véase Seccó 5.5). Las fórmulas de la var( ˆ β ) y del error estádar se smplfca (Apédce. 4.4): S var(u X =x) = σ u, etoces var( ˆ var[( X µ x) u] σ u β ) = = = ( σ X ) σ X Nota: var( ˆ β ) es versamete proporcoal a var(x): mayor dspersó e X sgfca mayor formacó sobre ˆ β. 4-70

71 Fórmula geeral del error estádar de ˆ β : es la de ( X ˆ X) u = σ ˆβˆ =. ( X X) = Caso especal co homoscedastcdad: σ = ˆβˆ uˆ = ( X X ) =. A veces se dce que la fórmula de abajo es más smple. 4-7

72 La fórmula sólo válda co homoscedastcdad del error estádar de ˆ β y la que es robusta a la heteroscedastcdad (la fórmula que es válda co heteroscedastcdad) dfere e geeral: obteemos errores estádar dsttos co ambas fórmulas. La fórmula sólo co homoscedastcdad de los errores estádar es la que suele utlzar por defecto los paquetes formátcos a veces la úca (e.g. Excel). Para obteer la geeral, robusta a la heteroscedastcdad, debemos aular la prmera. S o lo hacemos y de hecho hay heteroscedastcdad, obtedremos errores estádar, así como t e IC, erróeos. 4-7

73 Putos crítcos: No hay problema co utlzar la fórmula de heteroscedastcdad cuado los errores so homoscedástcos. S utlzamos la fórmula de homoscedastcdad co errores heteroscedástcos, los errores estádar será correctos. Ambas fórmulas cocde (cuado es grade) e el caso especal de homoscedastcdad. Coclusó: deberíamos utlzar sempre la fórmula de heteroscedastcdad covecoalmete, Errores estádar robustos a la heteroscedastcdad. 4-73

74 SE robustos a la heteroscedastcdad e STATA regress testscr str, robust Regresso wth robust stadard errors Number of obs = 40 F(, 48) = 9.6 Prob > F = R-squared = 0.05 Root MSE = Robust testscr Coef. Std. Err. t P> t [95% Cof. Iterval] str _cos Utlza la opcó, robust!!! 4-74

75 Resume y Valoracó (Seccó 4.0) Cuestó cal de polítca educatva: Supoga que se cotrata uevos profesores co la tecó de dsmur el rato estudate-profesor e u estudate por clase. Qué efecto tedrá esta medda sobre las otas de los estudates? Da uestra regresó ua respuesta covcete? Realmete o Aquellos dstrtos co meor STR suele ser los que tee más recursos y reta famlar, proporcoádoles mayores oportudades de apredzaje fuera del colego lo que sugere que corr(u,str ) > 0, y por tato E(u X )

76 Dgresó sobre Causaldad La preguta orgal ( cuál es el efecto cuattatvo de ua tervecó que reduzca el º de alumos por clase?) es ua cuestó sobre u efecto causal: el efecto sobre Y que tee la aplcacó de ua udad de tratameto es β. Pero qué es, exactamete, u efecto causal? La defcó de setdo comú o es sufcetemete precsa para uestros propóstos. E este curso, lo defremos como el efecto que se mde e u expermeto aleatoro cotrolado deal. 4-76

77 Expermeto Aleatoro Cotrolado Ideal (EACI) Ideal: los sujetos sgue el protocolo del tratameto cumplmeto perfecto, formacó s error, etc.! Aleatoro: se asga los sujetos de la poblacó de terés aleatoramete al grupo de cotrol o tratameto (s factores de cofusó) Cotrolado: co u grupo de cotrol se puede medr el efecto dferecal del tratameto Expermeto: el tratameto es asgado como parte del expermeto: los sujetos o tee eleccó, co el f de evtar que se dé ua causaldad versa cuado los sujetos elge aquel tratameto que pesa que les fucoará mejor. 4-77

78 De vuelta co el º de alumos por clase: Cómo sería u EACI que mdese el efecto sobre las otas de ua reduccó de STR? E qué dfere el aálss de regresó basado e datos observados del deal? oel tratameto o está asgado aleatoramete oe USA co uestros datos observados los dstrtos de mayor reta suele ser aquellos co meor º de alumos por clase y mejores otas. ocomo resultado es posble que E(u X =x) 0. os es así, o se cumplría la hpótess A de MCO. ˆ β sesgado: la omsó de varables hace que, para explcar o las otas, el º de alumos por clase parezca parezca más mportate de lo que realmete es. 4-78