Combinando Optimización con. Programación de Restricciones. La Habana, Marzo del Carnegie Mellon University. J. N. Hooker

Transcripción

1 Combnando Opmzacón con Programacón de Resrccones J. N. Hooker Carnege Mellon Unvers La Habana Marzo del 2

2 Pares de ese rabajo se realzaron en conjuno con Ignaco Grossmann Carnege Mellon Unvers Hak-Jn Km Carnege Mellon Unvers María Aulo Osoro Unversdad Auónoma de Puebla Greger Oosson Uppsala Unverse Erlendur Þorsensson Carnege Mellon Unvers

3 Opmzacón Programacón de Resrccones Opmzacón es un anguo campo relaconado con maemácas e ngenería. Usa écncas como programacón lneal programacón enera programacón no lneal. Programacón de Resrccones es un campo relavamene nuevo que se desarrollo denro de las comundades de cencas de la compuacón e nelgenca arfcal. Usa búsqueda propagacón de resrccones para resolver problemas formulados en un lenguaje de programacón.

4 Opmzacón Los modelos en programacón lneal o programacón enera ma usan un vocabularo de modelaje resrngdo. Ecuacones desgualdades funcones numércas. Los modelos son declaravos. Los méodos de solucón eploan la esrucura de dferenes clases de problemas como: Problema de asgnacón de rabajos problema del agene vajero ec.

5 Programacón de Resrccones Perme mucha versaldad en el modelaje. Condcones lógcas resrccones de odos dferenes índces varables. Los modelos son escros en un lenguaje de programacón. Los méodos de solucón eploan la esrucura de resrccones parculares como: odos dferenes cumulavas (para problemas de asgnacón) elemeno (para índces varables) ec.

6 Un Ejemplo de Modelaje Problema del agene vajero: Sea c j dsanca de la cudad a la cudad j. Hallar la rua más cora que vsa eacamene una vez cada una de las n cudades.

7 Modelo de Programacón Enera Sea j s la cudad precede nmedaamene a la cudad j j de lo conraro. mnmzar sujeo a j j V j W j c j j j j para odo j para odo j {} para odo V W { n }dsunos Resrccones para elmnacón de subours

8 Modelo de Programacón de Resrccones Sea k a la k-ésma cudad vsada. El modelo se escrbrá en un lenguaje específco de programacón de resrccones pero esencalmene será de la sguene forma: Índces varables mnmzar sujeo a c k all- dfferen( k k k { n } n ) Resrccón global

9 Modelo de Programacón de Resrccones El problema del agene vajero ambén puede ser escro como: mn s a j j c j j crcu { n } { n } Donde j es la cudad que sgue a la cudad j. La resrccón de crcuo ege que n defnan un cclo Hamlonano.

10 Inegracón de opmzacón programacón de resrccones Opmzacón programacón de resrccones enen foralezas que se complemenen. Ese un gran nerés en combnarlas. OPL combna la programacón maemáca de CPLEX con la programacón de resrccones de ILOG Solver pero de una manera lmada. ECLPSe va a combnar la programacón maemáca de XPRESS MP con la programacón de resrccones de CHIP. Muchos problemas esán sendo aacados con méodos híbrdos.

11 Foralezas que se Complemenan Opmzacón es ecelene en problemas en los cuales las resrccones (o la funcón objevo) pueden conener muchas varables como en funcones de coso o ganaca. Técncas de relajacón son úles. Programacón de resrccones es más efecva en problemas en los cuales las resrccones conenen pocas varables. Reduccón del domno propagacón de resrccones son úles.

12 Foralezas que se Complemenan La écnca de Relajacón remueve algunas resrccones para hacer el problema más fácl. Por ejemplo una relajacón connua consse en remover las resrccones de negraldad en las varables para obener un problema de programacón lneal o no lneal. Resolvendo el problema relajado se obene una coa para el valor ópmo la cual es úl en una busqueda de branch-and-bound. La écnca de Relajacón es especalmene úl cuando las resrccones conenen muchas varables; por ejemplo en resrccones de cosos.

13 Foralezas que se Complemenan El domno de una varable es el conjuno de valores que puede omar. Reduccón de Domno deduce que una varable dada en una resrccón puede omar solo ceros valores para poder sasfacer la resrccón. Propagacón de resrccones pasa los domnos reducdos a oras resrccones en donde esos pueden ser reducdos aún más. La reduccón de domno la propagacón de resrccones son úles cuando las resrccones conenen solo pocas varables. Por ejemplo en resrccones bnaras que conenen solo dos varables.

14 Foralezas que se Complemenan Opmzacón se basa en un análss profundo de la esrucura maemáca de ceras clases específcas de problemas. Usa parcularmene análss de poledros de donde se obenen planos coranes fueres. Programacón de resrccones denfca subconjunos de resrccones del problema que poseen una esrucura especal. Las represena con resrccones globales (por ejemplo odos dferenes cumulavas) les aplca algormos de reduccón de domno especalzados.

15 Foralezas que se Complemenan Opmzacón puede ser mu rápda cuando el problema posee una esrucura especal. Programacón de Resrccones se hace más rápda a medda que se agregan más resrccones aunque esas no sean esrucuradas.

16 Un Esquema para Inegracón Usar Programacón de Resrccones relajacón durane una busqueda de branch-and-bound. Usar relajacones resrccones globales para eploar la esrucura del problema. Aplcar méodos de opmzacón especalzados para las relajacones. Asocar écncas de reduccón de domno relajacones especalzadas con resrccones globales.

17 Un Ejemplo Movador mn 5 sujeo a all- dfferen{ j { 4} } Tres formas dferenes de formularlo resolverlo: como problema de programacón de resrccones como problema de programacón enera con una esraega combnada

18 Resolver como un problema de programacón de resrccones all - dfferen{ { 4} j 3 3 z } Empece con z. Va a decrecer a medda que se encuenren solucones facbles.

19 Use reduccón de domno Propagacón de coas en: z 3 Por ejemplo mplca De modo que el domno de 2 es reducdo a {234}.

20 Use reduccón de domno Manenga la conssenca de hperarcos en: all - dfferen{ 2 3 } Suponga por ejemplo: Domno de Domno de 2 Domno de 3 Enonces uno puede reducr los domnos a:

21 Use reduccón de domno Crcule a ravés de reduccones de domno propagacón de coas hasa llegar a un puno fjo.

22 Domno de Domno de z Domno de 3 D 2 {23} D 2 {4} 2. z D 2 {2} D 2 {3} 3. z 4. z D {2} 4 2 Domno de 2 7. z z z 52 no facble 52 no facble 5 4 D {3} 3 4

23 Resuelva como un problema de programacón enera Sea j s j de lo conraro. mn 4 sujeo a 4 j 5 jk 3 2 j j j 23 {} 5 4 j para odo j k

24 Relajacón connua Use un algormo de programacón lneal para resolver la relajacón connua del problema en cada nodo del árbol de búsqueda para obener una coa más baja para el valor ópmo del problema en ese nodo. mn 4 sujeo a 4 j j j 5 j 2 2 j 5 4 j b 3 3 para odo j Relaje negraldad

25 Branch and bound La solucón ncumbene es la mejor solucón facble enconrada hasa el momeno. En cada nodo del árbol de bfurcacón: S Valor ópmo de la relajacón No ha necesdad de connuar bfurcando. Valor de la solucón ncumbene Nnguna solucón facble de esa rama puede ser mejor que la solucón ncumbene.

26 / 3 / z / 2 / z / / z 5 2 / 2 / z No fac / 2 /5 z No fac. No fac. No fac. No fac. No fac / / z z 5 z 54 No fac. No fac. No fac. z 52

27 Esraega combnada Use relajacón connua de la resrccón de knapsack (mochla) orgnal (no use los j ). Use propagacón de coas. Manenga la conssenca de hperarcos para odos dferenes. Bfurque en las varables no eneras cuando sea posble; de lo conraro bfurque dvdendo el domno.

28 2 3 4 (2 4 3) z (2.7 4 ) z (3 3.8 ) z 49.4 nfacble z (3 4 ) z 5

29 Cooperacón enre Opmzacón Programacón de Resrccones Eploando la esrucura del problema: Las resrccones globales proveen una forma prácca para aprovechar los algormos especalzados (opmzacón necesa eso). Tecnología de relajacón: Opmzacón puede proveer relajacones connuas propagacón haca arás para las resrccones globales (programacón de resrccones necesa eso). Tecnología de nferenca: Programacón de resrccones puede proveer méodos de nferenca para reducr la busqueda; p.ej. Reduccón de domno (planos coranes foralecen la relajacón).

31 Eploando la esrucura del problema Programacón de Resrccones generalmene procesa las resrccones localmene o una a la vez (los resulados son propagados a ravés de las demás resrccones más de ese ema adelane). Una resrccón global represene un conjuno especal de resrccones ( odos dferenes crcuo elemeno cumulava ec.). Al procesar una resrccón global uno eploa la esrucura global del conjuno de resrccones que represena. Toda resrccón global rae consgo un conjuno de procedmenos (una dea sugerda por la prácca de modelar en un lenguaje de programacón).

32 Eploando la esrucura del problema Uno puede asocar los méodos de relajacones propagacones haca arás con resrccones globales. (Más de eso adelane.) Eso provee un puno de arranque para mplemenar resulados de nvesgacón denro de códgos comercales. Los méodos de reduccón de domno normalmene son mplemenados de nmedao aunque como resulado de eso muchos son paenados. Los méodos de planos coranes enden a aparecer en la leraura abera pero muchos no son usados en códgos comercales (ellos esán dseñados para problemas especales en vez de para resrccones especales).

33 Eploando la esrucura del problema Uno puede asocar planos coranes especalzados ec. con resrccones globales que represenan los conjunos de resrccones para los cuales los planos coranes han sdo dseñados. Por ejemplo la resrccón global crcuo( n ) requere que n represenen un cclo hamlonano en un grafo en donde j vérce que sgue al vérce j. Se podría nvocar una relajacón connua que conene algunos planos coranes (separadores) para el TSP. Eso permría usar el gran conjuno de resulados en análss de poledros que son usados acualmene sólo en códgos especalzados.

34 Eploando la esrucura del problema Esa esraega crea un crecmeno en el vocabularo de resrccones globales. Eso puede salrse de las manos pero consderen lo sguene: El lenguaje de modelaje puede eploar los conocmenos del usuaro Un epero en domnos enende profundamene la esrucura del problema en el mundo real (en vez de la esrucura de su represenacón maemáca) las resrccones globales pueden capurar esa esrucura.

35 Eploando la esrucura del problema Ejemplo: cumulave(( n )(d d n )(r r n )L) empo de nco de rabajo d duracón r asa de consumo de recurso L líme en la asa oal de cosumo del recurso en odo empo. Use cumulave(( n )(d d n )( )m) para sequencacón de m máqunas.

36 Eploando la esrucura del problema El usuaro sólo necesa ener conocmeno a pror del vocabularo que se aplca al domno de su propa aplcacón. Una caracerísca poderosa del lenguaje ordnaro es que nosoros denfcamos concepos úles que abrevan grupos de concepos más elemenales. Eso requere aprender más palabras; pero eso es nevable en la area de aprender como resolver el problema en mano. Tal vez pasa lo msmo con el modelaje. La esraega aomzadora del modelaje en opmzacón desaprovecha esa oporundad.

38 Relajacones Es úl rabajar con un ejemplo: relajacón de la resrccón elemeno que es mporane porque mplemena índces varables. Los Índces varables son un mecansmo clave de modelaje para Programacón de Resrccones. Unos pocos modelos lusraran su uso.

39 Índces Varables El problems del Agene Vajero: mn s a c j j j all - dfferen j { n } { } n o... mn s a j j c j j crcu { n } { n }

40 Índces Varables Problema de Asgnacón Cuadráco mn s a j j v c j j all - dfferen { n } { } n so asgnado a la enda v j ráfco enre enda j c kl dsanca enre lugar k l

41 Índces Varables Problema de asgnacón con dos formulacones enrelazadas mn alguna funcon objevo s a resrccones en consrans on j j para j odo 's 's j empleado asgnado al espaco de empo j espaco de empo asgnado a empleado j

42 Índces Varables Enrelazar los dos modelos mejora la propagacón de resrccones. Aquí una varable ene un subíndce varable (en vez de consane).

43 Resrccón elemeno La resrccón c 5 puede ser mplemenada como: z 5 elemen( ( c c n ) z ) La resrccón 5 puede ser mplemenada como: z 5 elemen( ( ) n z ) (esa es una resrccón lgeramene dferene)

44 elemeno puede ser procesado con un algormo de reduccón de domno dscreo que manenga la conssenca de hperarcos. El caso más neresane es: de lo conraro } { s } { { j j j j z D j z z D j D D D D D j D D D D D Resrccón elemeno ) ) ( ( elemen z n

45 Ejemplo... elemen ( ( ) z ) Los domnos ncales son: Los domnos reducdos son: D D D D D D z {23689} {34} {5} {2} {4589} {457} D D D D D D z {89} {3} {5} {2} {89} {457}

46 Relajacón connua de Elemeno elemen ( ( c c ) z n La relajacón de Envolvene Convea es: ) es rval. { c } z ma { } mn c elemen ( ( ) z ) ene la sguene relajacón: n m m m D D m D D z z k sempre cuando m ( en donde k D ). k

47 S m para odo enonces la relajacón de Envolvene Convea de elemen ( ( ) z n ) es: ( k ) m z j D j j D j más coas en donde k D.

48 Ejemplo ) ) ( elemen( 2 2 z La relajacón de envolvene convea es: z S lo aneror sgue sendo váldo enemos que: z

49 Ejemplo de lo szng dscreo Manufacure mámo un produco cada día. Cuando la manufacura empeza puede connuar por varos días. (R empo mnmo de acvdad). Al cambar a oro produco se ncurre en un coso. Ha una cera demanda para cada produco cada día. Los producos son almacenados para suplr la demanda enre los momenos de acvdad. Mnmzar cosos de nvenaro cosos por cambo de producos.

50 Ejemplo de lo szng dscreo area A B A A A A B B A no se realza area

51 {} odo para odo para odo para odo para odo para odo para odo para odo para odo para odo para s a mn j r j j j j j j j j s z C R r z z z z s d s q s h δ δ δ δ δ Modelo IP (omado de L. Wolse)

52 El modelo nvenaro oal cosos por cambo de produco mn s a u v s u q v h s C d s s ( ) ( ) ( ) ( ) para odo ( ) para para odo odo nvel de nvenaro para para para odo odo odo R coso por cambo produccón dara balance de nvenaro

53 Relajacón mn s a u v s u q v h s C d s s ( ) ( ) ( ) ( ) para odo ( ) para all odo para para para odo odo odo coloque en la relajacón Genere desgualdades para colocar denro de la relajacón R Aplque propagacón de resrccones a odo

54 Para resolver el ejemplo En cada nodo del árbol de búsqueda: Aplque reduccón de domno propagacón de resrccones. Genere resuelva relajacones connuas para obener coas. Caraceríscas: La relajacón es un poco más débl que en IP porque las resrccones lógcas no esan odas relajadas. Pero los relajacones LP son mucho más pequeñas en amaño cuadraco en vez de cúbco. La reduccón de domno auda a podar el árbol.

55 Propagacón haca arás Una resrccón global puede ser asocada ambén con un esquema de propagacón haca arás que reduce el domno basado en la solucón de la relajacón. Un ejemplo smple es la fjacón de varables usando cosos reducdos que es ahora ulzado ano en opmzacón como en programacón de resrccones. Por ejemplo uno puede dar a crcuo( n ) una relajacón de asgnacón. El valor de la relajacón puede ser núl pero los cosos reducdos pueden permrle a uno eclur valores de. Las varables j en el problema de asgnacón no necesan ser defndas. Solo use una esrucura apropada de daos para resolver el problema.

56 Una mrada al ambene de modelaje para la negracón Suponga que oda resrccón ene la forma condconal: h ( ) S ( O que es reducble a un conjuno de condconales. ) h () - resrccón dfícl (perenecene a NP); conene varables ( m ). S () conjuno de resrccones fácles (perenecenes a NP co-np?) que enrarán en la relajacón; conenen varables ( n ). La funcón objevo ene la forma f() g().

57 Algormo básco de búsqueda Bfurque en el domno de las varables j. Use nferenca para deducr cuando sea posble s las varables j parcalmene especfcadas sasfacen las resrccones h (). Resuelva el problema relajado de mnmzar f() con respeco a sujeo a las resrccones S () que son requerdas por los h () que son verdaderos. Esa relajacón puede ser foralecda o aumenada medane oras relajacones s se desea. Propague haca arás usando la solucón a la relajacón. Busque el valor de conssene con esa solucón. Connue en ese proceso de bfurcar relajar.

59 Inferenca La nferenca acelera la búsqueda volvendo al conjuno de resrccones cas conssene--p.ej. hacendo las mplcacones eplcas. La esraega más popular es reducr los domnos (buscando conssenca en hperarcos)que reduce las bfurcacones. El proeco de nvesgacón de hallar algormos de reduccón de domno es análogo al descubrmeno de buenos planos coranes.

60 Inferenca El análss esrucural asocado con la eoría de planos coranes (p.ej. subgrafos especales ec.) puede sugerr resrccones que son buenas en el sendo de que ellas se acercan más a ser conssenes. Por ejemplo ruas alernanes en Machng corresponden a resrccones dervadas (que esrcamene domnan planos coranes que defnen caras mamales).

61 Inferenca 2 3 La descrpcón de la envolvene convea de ese problema de Machng es: El camno alernane corresponde a: Eso esrcamene domna las dos faceas (en el sendo -). Claramene domna. Tambén eclue () que sasface la prmera facea () que sasface la segunda facea.

62 Inferenca La reduccón de domno puede ser vsa como una generacón de resrccones (planos coranes). Reducr el domno de j es colocar una resrccón en el domno de j D j. Las resrccones de domno generadas son normalmene nerpreadas en forma de un almacén de resrccones que perme la comuncacón enre resrccones. Pero ambén pueden ser nerpreadas como una relajacón dscrea (p.ej. un problema de opmzacón que se solucona para obener una coa) Cada elemeno del domno perenece a alguna solucón facble pero smplemene omar un elemeno de cada domno puede no corresponder a una solucón.

63 Inferenca Uno puede resolver esa relajacón hasa enconrar el ópmo (usualmene rval) generar resrccones separadoras del domno. Solucones de la relajacón guían la reduccón de domno. Uno puede ambén permr una más ampla clase de resrccones fácles en el almacén de resrccones. Por ejemplo resrccones que ncluan un número lmado de nodos del grafo pueden ser resuelas usando programacón dnámca no-seral.