Vibraciones libres de un sistema de un grado de libertad.

Transcripción

1 Vibraioes libres de u sistea de u grado de libertad. Pédulo de Foault UANL-FIME-DIM-DSM,

2 II..- INTRODUCCIÓN. Ubiaió de las Vibraioes Libres Periódio Siusoidal Libre Forzado Si Aortiguaieto Aortiguado Si Aortiguaieto Aortiguado Segú el tio de oviieto del sistea Colejo Libre (ara uso de aálisis odales) Forzado (e Aálisis de Vibraioes ara Diagóstio de Fallas e Maquiaria) Trasitorio E vibraió forzada No Periódio Choque o Iato Aleatorio

3 II..- METODOLOGÍA DE ANÁLISIS. UANL-FIME-DIM-DSM, Modelaje Eleetos equivaletes Aliaió de Método de Aálisis ara obteer la Euaió difereial araterístia del sistea vibrate Newto Fuerzas Moetos Traslaió Euaió de la freueia atural Euaió de alitud Deslazaieto Veloidad Aeleraió Eergías Rotaió Métodos Nuérios

4 II.3.- MÉTODO DE ELEMENTOS EQUIVALENTES. Método de eleetos equivaletes.- Cosiste e obteer la asa, elastiidad y aortiguaietos equivaletes sustituyedo las atidades diretaete e las fórulas de alitudes totales o térios utilizados e el aortiguaieto. eq eq eq Figura.. Reresetaió de u sistea e eleetos equivaletes

5 Para vibraió libre si aortiguaieto. -Freueia atural. -Alitud total del deslazaieto. t -Alitud total de veloidad. -Alitud total de aeleraió. f 0Cost 0 Set ( t) 0Se t 0 Cost 0 ( t) 0Cos t Set

6 Para vibraió libre o aortiguaieto. -Freueia atural. f -Aortiguaieto rítio. C -Razó de aortiguaieto. C C C

7 -Freueia atural aortiguada. C d 4 -Alitud total del deslazaieto. t t t t e C e C e

8 II.4.- MÉTODO DE NEWTON. El objetivo es obteer las euaioes difereiales (odelos ateátios) y las euaioes de las freueias aturales de los sisteas vibratorios. Método de Newto.- El aálisis de los sisteas vibratorios de u grado de libertad uede realizarse oo ualquier sistea diáio e el que uo de los étodos de aálisis utilizado es el Método de Fuerzas de Newto (a través del Priiio de D Alebert) y el Aálisis de Moetos de sólidos rígidos. Figura.. Sir Isaa Newto Bor: 4 a 643 i Woolsthore, Liolshire, Eglad Died: 3 Marh 77 i Lodo, Eglad The MaTutor History of Matheatis arhive, htt://www-history.s.st-adrews.a.u/history/ide.htl Shool of Matheatis ad Statistis Uiversity of St AdrewsSotlad,

9 II.4.a.- MÉTODO DE FUERZAS. UANL-FIME-DIM-DSM, Ejelo 3.- Obteió del odelo ateátio y la euaió de la freueia atural de u sistea equivalete asa resorte de u grado de libertad si aortiguaieto. Resorte si deforar Deforaió Estátia Debida al eso Alitud de la Osilaió F R W K Sistea e Equilibrio Figura.3. Codiioes de equilibrio y oviieto del sistea asa resorte.

10 ANÁLISIS DINÁMICO DEL SISTEMA MASA RESORTE. Priiio de D Alebert F R W = Figura.4. Reresetaió Gráfia del Priiio de D Alebert or edio del Diagraa de Cuero Libre. + Aálisis de Fuerzas. Priiio de D Alebert W W F F EXT R 0 F oo W W I d dt 0 Euaió difereial araterístia de u sistea asaresorte de u grado de libertad si aortiguaieto.

11 Cotiuaió Soluió de la euaió difereial. d 0 dt os t set Soluió as geeral de la e. dif. r t rt e e Otra reresetaió usado aráetros de Euler. Si osideraos que el oviieto es uraete seoidal, teeos lo siguiete: d dt d dt set d dt ost set

12 Cotiuaió Sustituyedo la fuió y sus derivadas e la E. Dif. Origial, teeos: set set 0 0 rad/seg 0 Euaió de la freueia atural de u sistea asa resorte de u grado de libertad si aortiguaieto f Hertz 60 RPM

13 Ejelo 4.- Obteió del odelo ateátio y la euaió de la freueia atural de u édulo sile. T W t W W Θ W t = l W W Figura.5. El Pédulo Sile y su Diagraa de Cuero Libre. + W Wse gse gse F T g EXT l g l gse 0 0 F I NOTA: Para águlos eores de 5, se= Etoes, haeos la siguiete osideraió: se Euaió de la freueia atural ara u édulo sile. l

14 II.4.b.- MÉTODO DE MOMENTOS. Ejelo 5. Caso del Efeto de Posiió. UANL-FIME-DIM-DSM, a a) W Fr = l b) W t W Figura.7. Diagraa de Cuero Libre del Sistea Barra Resorte y sus Fuerzas Figura.6. (a) Sistea barra-resorte e equilibrio y (b) fuera de equilibrio.

15 + Cotiuaió oo M EXT l WT FRa l WT FRa F a a R M a 0 e la osiio de equilibrio : l WT a 0 l WT a or lo ta to : I l WT a l WT a a del aalisis estatio de oetos ; Euaió de la freueia atural del sistea. E la euaió aterior, odeos sustituir el valor de ara ua barra retagular. P CG l l 3 d l 4 Co lo ual, la freueia atural es igual a: 3a l

16 UANL-FIME-DIM-DSM, Ejelo 6. Caso del Efeto de osiió. Fr a l W t = W W (a) (b) Figura.8. (a) Sistea barra-resorte e equilibrio y (b) fuera de equilibrio. Figura.9. Diagraa de Cuero Libre del Sistea Barra Resorte y sus Fuerzas

17 Cotiuaió + W T M l EXT a F R a M I l gse a oo se y a a l g a l a g 0 l a g 0 l g Euaió de la freueia atural del sistea. Si sustituios el valor de, teeos lo siguiete: P CG l l 3 d l 4 Co lo ual, la freueia atural es igual a: l a g l 3

18 Ejelo 6. Caso 3 del Efeto de osiió. a l W t = W W Fr (a) (b) Figura.0. (a) Sistea barra-resorte e equilibrio y (b) fuera de equilibrio. Figura.. Diagraa de Cuero Libre del Sistea Barra Resorte y sus Fuerzas

19 Cotiuaió + W M T EXT l a F R a M I l gse a oo se y a a l g a l a g 0 l a g 0 l g Euaió de la freueia atural del sistea. Si sustituios el valor de, teeos lo siguiete: P CG l l 3 d l 4 Co lo ual, la freueia atural es igual a: l a g l 3

20 Ejelo 8. Obteió del odelo ateátio y la euaió de la freueia atural or el étodo de oetos. + M W d T EXT M I = gsed se d C.G. gd Figura.. Pédulo Couesto W t W W Figura.3 Diagraa de Cuero Libre del Pédulo Couesto gd gd 0 Euaió de la freueia atural del sistea.

21 Ejelo 9. Obteió del odelo ateátio y la euaió de la freueia atural or el étodo de oetos de u édulo sile. T W t W W Θ W t = l W W Figura.4. El Pédulo Sile y su Diagraa de Cuero Libre. + W M g Coo; l T l EXT W l, l, g 0 g l l M I l Euaió de la freueia atural ara u édulo sile.

22 II.5.- MÉTODO DE ENERGÍAS. UANL-FIME-DIM-DSM, El objetivo del aálisis es la obteió de las euaioes difereiales y las euaioes de las freueias aturales ara sisteas de u solo grado de libertad si aortiguaieto. Método de Eergías.- Es otro étodo de aálisis de sisteas vibratorios, e el que se osidera úiaete los sisteas que so oservativos. El étodo de aálisis se basa e la Ley de la Coservaió de la Eergía. Figura.5 oh Willia Strutt Lord Rayleigh Bor: Nov 84 ilagford Grove (ear Maldo), Esse, Eglad Died: 30 ue 99 i Terlig Plae, Witha, Esse, Eglad The MaTutor History of Matheatis arhive, htt://www-history.s.st-adrews.a.u/history/ide.htl Shool of Matheatis ad Statistis Uiversity of St AdrewsSotlad,

23 Pasos ara realizar el Aálisis de Eergías.. Idetifiar Eergías del Sistea.. Aliar las Eergías a la Euaió. Suatoria de todas las eergías = Cte. 3. Silifiar la euaió resultate. 4. Derivar la euaió silifiada o reseto al tieo. 5. Ordear la difereial resultate. 6. Aliar los térios de la euaió difereial a la euaió de la freueia atural.

24 Ejelo 0.- Deduió de la euaió de la freueia atural del sistea asa resorte. Resorte si deforar Deforaió estátia debida al eso E E E r II.5.a.- MÉTODO DE ENERGÍAS. g Sistea e Equilibrio Alitud de la Osilaió Figura.6. Codiioes de equilibrio y oviieto del sistea asa resorte. Eergías resetes e el sistea asa resorte E E te E g E r g g UANL-FIME-DIM-DSM, te te d dt 0 te d dt te te d dt d dt

25 Ejelo.- Obteió del odelo ateátio y la euaió de la freueia atural del ojuto diso e rotaió, resorte y asa e traslaió. b b Cabio de variables: Eresar las variables de la rotaió e fuió de las variables de traslaió. Eergías resetes e el sistea. a a M R se a a a a a a E E E M r a CG b Figura.7. Cojuto de diso e rotaió, resorte y asa e traslaió fuera de equilibrio.

26 Euaió de la freueia atural MR a b b MR a b MR a dt d te b MR a te b MR a te b MR a te te E b CG a Si a = b = R, al euaió quedaría así: M Cotiuaió UANL-FIME-DIM-DSM,

27 II.6.- VIBRACIONES LIBRES DE UN SISTEMA DE UN GRADO DE LIBERTAD CON AMORTIGUAMIENTO. Aortiguaieto.- Caaidad de disiar eergía de u sistea. Friió sea (Coulob) Tios de aortiguaieto Fluido Visoso Turbuleto Histéresis UANL-FIME-DIM-DSM,

28 Si la veloidad de aliaió de la arga es alta, el aortiguador reaioa o fuerza alta, y si es baja, reaioa o fuerza baja. F v Dóde: F = Fuerza de reaió del aortiguador. v = veloidad de aliaió de la arga. = ostate de aortiguaieto real. Figura.8. Aortiguadores de uso autootriz.

29 El esfuerzo de orte desarrollado e el uero deslizate esta deteriado or la Ley de la Visosidad de Newto: La Fuerza visosa que está atuado e el uero es: F Usado: A F v du dy v h A h v tedreos que: A h y Cuero de área A u y Fluido visoso Desidad () Visosidad SAE () vy h v d dt F, Fuerza de aortiguaieto Figura.9. Plaas aralelas o fluido visoso etre ellas. Iage ortesía de Pearso Eduatio, I., Pearso Pretie Hall, 004, Mehaial Vibratios, Sigiresu S. Rao, Fourth Editio.

30 Moviieto etre suerfiies aralelas. A eq h μ = visosidad SAE. A = área de la laa. Moviieto aial de u istó y u ilidro. Aortiguador torsioal. 3 3D l d eq 3 4d D D h D eq d 3h Aortiguaieto or friió sea. eq 4F ω = Freueia. F = Fuerza de friió. X = Alitud. Figura.0. Aortiguaietos equivaletes visosos. Iage ortesía de Pearso Eduatio, I., Pearso Pretie Hall, 004, Mehaial Vibratios, Sigiresu S. Rao, Fourth Editio.

31 II.7.- VIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADA. UANL-FIME-DIM-DSM, Figura.. Sistea Masa-Resorte- Aortiguador F R W F Figura.. Reresetaió Gráfia del Priiio de D Alebert or edio del Diagraa de Cuero Libre. + Aálisis de Fuerzas or el Método de Newto. W W F EXT F R W F F I 0 Euaió difereial araterístia de u sistea asa-resorte de u grado de libertad o aortiguaieto.

32 Cotiuaió SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL. d d 0 dt dt D D 0 la soluió as geeral dela s s 4 4 Ae 4 s t Dode: 4 Be 0 S t euaió es : Coefiiete de aortiguaie to rítio. La relaió etre el aortiguaieto real y el oefiiete de aortiguaieto rítio, se ooe oo razó de aortiguaieto y se rereseta oo sigue: Deediedo de los valores que toe y, odeos eotrar los siguietes asos: Si Si <, ζ<, el sistea es Sub-aortiguado. Si Si =, ζ=, el sistea es Crítio- aortiguado. Si Si >, ζ>, el sistea es Sobre- aortiguado.

33 Cotiuaió s s s s s s Si, sustituio s este valor e las raíes de la euaió Raíes de la euaió. Reordado la soluió as geeral de los sisteas aortiguados: st St Ae Be Si sustituios e ella los valores de las raíes, teeos lo siguiete: Ae t t Be Euaió ás geeral de la alitud del deslazaieto de vibraió libre aortiguada.

34 Sub-aortiguado. Tios de sisteas eáios segú el valor de o reseto a. Crítio aortiguado. Sobre-aortiguado. Iage ortesía de Pearso Eduatio, I., Pearso Pretie Hall, 004, Mehaial Vibratios, Sigiresu S. Rao, Fourth Editio.

35 SISTEMAS SOBRE-AMORTIGUADOS. Si >, ζ>, el sistea es Sobre- aortiguado. Ae t t Be Caraterístias de u sistea sobre-aortiguado. La alitud disiuye suave y letaete. No hay osilaioes. Si eiste freueia atural. Figura.3. Gráfia de resuesta e el tieo del sistea sobre-aortiguado. No eiste freueia atural aortiguada (ω d ). Iage ortesía de Pearso Eduatio, I., Pearso Pretie Hall, 004, Mehaial Vibratios, Sigiresu S. Rao, Fourth Editio.

36 SISTEMAS SUB-AMORTIGUADOS. Si <, ζ<, el sistea es Sub-aortiguado. Ae i t i t Be Caraterístias de u sistea sub-aortiguado. Cada ilo disiuye la osilaió e fora logarítia. Tiee osilaioes. Si eiste freueia atural y freueia atural aortiguada ω d. Figura.4. Gráfia de resuesta e el tieo del sistea sub-aortiguado. ω d y T d deede de y ζ. Iage ortesía de Pearso Eduatio, I., Pearso Pretie Hall, 004, Mehaial Vibratios, Sigiresu S. Rao, Fourth Editio.

37 Ae t os A = Costate alulada or las odiioes iiiales. = Relaió de aortiguaieto. Φ = Águlo de desfase. X = Alitud de vibraió aortiguada (resuesta del sistea). Figura.5. Gráfia de resuesta e el tieo del sistea sub-aortiguado or edio euaió e fora trigooétria. Iage ortesía de Pearso Eduatio, I., Pearso Pretie Hall, 004, Mehaial Vibratios, Sigiresu S. Rao, Fourth Editio.

38 SISTEMAS CRÍTICO-AMORTIGUADOS. Si =, ζ=, el sistea es Crítio- aortiguado. Ae t Be t A Bte t Caraterístias de u sistea Crítio-aortiguado. La alitud disiuye ráidaete. No Tiee osilaioes. Si eiste freueia atural. No eiste ω d. Figura.6. Gráfia de resuesta e el tieo del sistea rítio aortiguado. Iage ortesía de Pearso Eduatio, I., Pearso Pretie Hall, 004, Mehaial Vibratios, Sigiresu S. Rao, Fourth Editio.

39 Figura.7. Coaraió etre los distitos tios de sisteas aortiguados. Iage ortesía de Pearso Eduatio, I., Pearso Pretie Hall, 004, Mehaial Vibratios, Sigiresu S. Rao, Fourth Editio.

40 MÉTODO DEL DECREMENTO LOGARÍTMICO PARA EL CÁLCULO DEL AMORTIGUAMIENTO. El dereeto logarítio se obtiee o las alitudes de la señal aortiguada. l ; l D Dode: = Núero del ilo seleioado. y = Alitudes de ilos oseutivos. D = Alitud del rier ilo. = Alitud del ilo seleioado. El eriodo y la freueia de trabajo se obtiee tabié o la ayuda de la señal aortiguada. f T d d T d ; d d d T d Iage ortesía de Pearso Eduatio, I., Pearso Pretie Hall, 004, Mehaial Vibratios, Sigiresu S. Rao, Fourth Editio.

41 d d d T Utilizado el dereeto logarítio, se obtiee la razó de aortiguaieto. Cooiedo la freueia atural y ya habiedo obteido la razó de aortiguaieto, se uede alular la freueia atural aortiguada d. UANL-FIME-DIM-DSM,

42 Lugar de las raíes ara sisteas o aortiguaieto