TEMA 5 CONTRASTE DE HIPÓTESIS

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1 ESQUEMA 5.1 ITRODUCCIO. 5..-COTRASTES SOBRE LA ESPERAZA MATEMATICA DE UA POBLACIO ORMAL EL PROBLEMA DE DOS MUESTRAS COTRASTES DE IGUALDAD DE ESPERAZAS E POBLACIOES ORMALES COTRASTE SOBRE LA VARIAZA DE UA POBLACIO ORMAL COTRASTE DE IGUALDAD DE VARIAZAS. 5.1 ITRODUCCIO. E los dos teas ateriores heos estudiado coo hacer iferecia acerca del valor de los paráetros poblacioales a partir de la iforació uestral a través de estiadores putuales e itervalos de cofiaza. Si ebargo e uchas ocasioes cuado aalizaos ua deteriada població es posible que tegaos algua creecia a priori acerca de los valores de los paráetros del feóeo estudiado. Esta creecia posibleete se ecuetre basada e uestra eperiecia previa co el feóeo e estudio. E tal caso os iteresará estiar valores uéricos para los paráetros poblacioes pero adeás es posible que os iterese aalizar si la iforació uestral es cosistete o corrobora uestra creecia a priori. Este aálisis cofigura lo que se deoia probleas de ua uestra. E otros casos dispodreos de dos uestras os puede iteresar aalizar si la iforació que proporcioa es cosistete co la posibilidad de que provega de la isa població frete a la posibilidad de que provega de poblacioes diferetes. Este tipo de aálisis cofigura lo que se deoia probleas de dos uestras. Los cotrastes de hipótesis especifica siepre ua posibilidad deoiada hipótesis ula deotada por H que es aquella e la que estaos dispuestos a creer a priori especificado tabié otra posibilidad deoiada hipótesis alterativa deotada por H 1 que es aquella que aceptareos si rechazaos la hipótesis ula. La idea previa al cotraste estadístico de hipótesis es que eiste razoes para creer que la hipótesis ula es cierta puesto que el suceso que la defie es aquel que parece ás posible a priori uestra creecia fudada ó ás coservadora. La hipótesis alterativa parece lógico que deba estar defiida por u suceso co probabilidad positiva e icopatible co el que defie la hipótesis ula. Los sucesos co probabilidad ula o debe estar icluidos e igua de las dos hipótesis. Para llevar a cabo el cotraste de las dos hipótesis debereos pregutaros si la iforació uestral proporcioa evidecia suficiete e cotra de la hipótesis ula coo para rechazarla. Coo la hipótesis ula refleja ua creecia a priori sólo la rechazareos si ecotraos evidecia suficiete e su cotra. Sólo deberá cotrastarse hipótesis ulas e las que estaos dispuestos a creer siedo esta creecia fudada. E los probleas de ua uestra la hipótesis ula asigará u valor ó valores uéricos al paráetro ó paráetros poblacioales frete a otro valor ó rago de valores que se iclue e la hipótesis alterativa. Para resolver el cotraste ecesitareos dispoer de iforació uestral sobre la que deteriareos el valor de u estadístico apropiado para estiar el paráetro acerca del cual se quiere efectuar el cotraste. El valor uérico obteido para el estadístico os dirá si es aceptable uestra hipótesis a priori acerca del valor del paráetro ó si por el cotrario debeos rechazarla. Todo cotraste de hipótesis se desarrolla e varias etapas: GARCÍA CÓRDOBA 1

2 a Plateaieto de las hipótesis ula alterativa b Elecció de u estadístico adecuado e relació co el paráetro acerca del cual quereos efectuar el cotraste. c Divisió del espacio uestral e dos regioes o solapadas: ua crítica otra de aceptació de la hipótesis ula. d Obteció de ua uestra de u deteriado taaño sobre la que edir la característica e estudio. e Deteriació del valor del estadístico sobre la uestra de que dispoeos. f Resolució del cotraste: Si el valor del estadístico cae e la regió crítica se rechaza la hipótesis ula a favor de la alterativa; Si el valor del estadístico cae e la regió de aceptació o se rechaza la hipótesis ula. Cotrastar ua hipótesis estadísticaete es juzgar si cierta propiedad supuesta para ua població es copatible co lo observado e ua uestra de ella. Por ejeplo si e u hospital la itad de los pacietes co SIDA so tratados co ua droga A probada co aterioridad la otra itad de los pacietes so tratados co ua ueva droga B se quiere decidir etre las siguietes hipótesis H H 1 La droga B o es ejor que la droga A. La droga B es ejor que la droga A. E u cotraste de hipótesis tabié deoiado test de hipótesis o Cotraste de sigificació se decide si cierta hipótesis H que deoiaos hipótesis ula puede ser rechazada o o a la vista de los datos suiistrados por ua uestra de la població. Para realizar el cotraste es ecesario establecer previaete ua hipótesis alterativa H 1 que será aditida cuado H sea rechazada. oralete H 1 es la egació de H auque esto o es ecesariaete así. Llaareos hipótesis estadística a ua suposició que deteria parcial o totalete la distribució de probabilidad de ua v.a.. Estas hipótesis puede clasificarse e dos grupos segú que: 1 Especifique u valor cocreto o u itervalo para los paráetros que iterviee e la fució de distribució de la v.a.. Deteria el tipo de distribució de probabilidad que ha geerado los datos. U ejeplo del prier grupo es la hipótesis de que la edia de ua v.a. es 7 del segudo que la distribució es oral. os cetrareos e las hipótesis del tipo 1. Sea ua v.a. que sigue ua distribució que depede de u paráetro θ. Defiició: Ua hipótesis siple es aquella que especifica u úico valor del paráetro θ. Ua hipótesis copuesta es aquella que especifica as de u valor para θ. U test de hipótesis es ua regla de la fora: Rechazar H si C dode C es u subcojuto de R úeros reales. Defiició: A C se le llaa regió crítica o regió de rechazo. Defiició: Cuado realizaos u cotraste de hipótesis dos errores so posibles: - Errores de tipo I: Rechazar la hipótesis H cuado es cierta. - Errores de tipo II: Aceptar H cuado es falsa. GARCÍA CÓRDOBA

3 Etoces defiir la regió crítica C o regió de rechazo ediate es fijar la probabilidad de coeter u error de tipo I: Prechazar H / H cierta A se le llaará ivel de sigificació. La probabilidad de error de tipo II será: βpaceptar H / H1 es cierta. Este valor β será úico cuado H1 sea siple es decir especifique u úico valor para el paráetro θ. Cuado H1 sea copuesta el valor de β será distito para cada valor del paráetro θ. Los errores de tipo I II o está relacioados ás que del siguiete odo: Cuado decrece β crece viceversa. Por tato o es posible ecotrar tests que haga ta pequeños coo queraos abos errores siultáeaete. De este odo es siepre ecesario privilegiar a ua de las hipótesis de aera que o será rechazada a eos que su falsedad se haga u evidete. E los cotrastes la hipótesis privilegiada es H que sólo será rechazada cuado la evidecia de su falsedad supere el ubral del 11-%. Defiició: Llaareos potecia de u cotraste a la catidad 1-β es decir: Potecia del cotraste 1-βPrechazar H / H1 es cierta. Obsérvese que cuato aor es la potecia del cotraste eor es β por tato eor será la probabilidad de aceptar H cuado H es falsa. De ahí el obre de potecia del cotraste. o rechazar H Rechazar H H es cierta Correcto Error tipo I Probabilidad 1- Probabilidad H es falsa Error de tipo II Correcto Probabilidad β Probabilidad 1-β E el oeto de elegir ua hipótesis privilegiada podeos e pricipio dudar etre si elegir ua dada o bie su cotraria. Criterios a teer e cueta e estos casos so los siguietes: a Siplicidad cietífica: A la hora de elegir etre dos hipótesis cietíficaete razoables toareos coo H aquella que sea ás siple. b Las cosecuecias de equivocaros: Por ejeplo al juzgar el efecto que puede causar cierto trataieto édico que está e fase de eperietació e pricipio se ha de toar coo hipótesis ula aquella cuas cosecuecias por o rechazarla siedo falsa so eos graves coo hipótesis alterativa aquella e la que el aceptarla siedo falsa trae peores cosecuecias. 5..-COTRASTES SOBRE LA ESPERAZA MATEMATICA DE UA POBLACIO ORMAL. El cotraste de hipótesis acerca de la esperaza ateática de ua població oral se realiza utilizado coo estadístico la edia uestral. GARCÍA CÓRDOBA 3

4 Si la hipótesis ula es siple establece que H : etoces si es cierta la població es la edia uestral tiee ua distribució /. Cosecueteete el estadísticosupoeos variaza poblacioal coocida: Z os perite llevar a cabo el cotraste: 1 a Si la hipótesis alterativa es copuesta del tipo: H 1 : etoces la regió crítica cosiste e o rechazar si la edia uestral está suficieteete próia a por eceso o por defecto Para ello escogeos u ivel de sigificació llaaos λ a u valor tal que: P λ P λ / P λ 1 Obsérvese que Prechazar H / H cierta que los sucesos rechazar H H so respectivaete λ codicioado rechazar H / H es el suceso por lo que el suceso Ejeplo Si 5 etoces buscaos λ tal que P. 5 o lo que es lo iso tal que: 5 P λ 1 P λ 5 P λ 196 se busca e la tabla de la distribució oral λ λ λ es decir si: aceptareos H : rechazareos e caso cotrario. Ejercicio 1: El gerete de ua epresa que realiza trabajos de ateiieto para otras epresas habitualete trata de establecer ua catidad fija a pagar a cada epleado e cocepto de auteció coidas los días que deba desplazarse a otras epresas. El gerete cree que esa catidad debe ser de.5 pesetas por día catidad que estia es el gasto edio e coida por epleado. De los datos cotables de años ateriores sabe que la desviació típica de las facturas idividuales presetadas por este cocepto por los trabajadores es de 8 pesetas. Para cotrastar su suposició toa ua uestra de 1 facturas de coida GARCÍA CÓRDOBA 4

5 presetadas por los epleados el últio es obteiedo ua edia de.38 pesetas por factura. Es cierta la suposició del gerete? Resolució: Lo que quereos cotrastar es la suposició del gerete hipótesis ula: Frete a la alterativa H 1 :.5 H :.5 Si la hipótesis ula es cierta etoces la població es.58 Etoces sabeos que:.5 Z Aditireos H si la edia uestral está suficieteete próia a.5 por eceso o por defecto. Lógicaete quereos que la probabilidad de rechazar H cuado es cierta sea u pequeña. Esta probabilidad es lo que heos llaado podeos fijarlo por ejeplo e 5 5. Fijado 5 debeos buscar λ tal que:.5.5 P λ 5 8 P λ O lo que es lo iso λ tal que:.5 P λ De dode λ 196 Tabla de la 1 por tato aceptareos la hipótesis ula si la edia uestral se ecuetra etre: La resolució de estas operacioes os proporcioa los valores pesetas respectivaete por lo que coo la edia uestral.38 pst está copredida etre los isos aceptareos que la edia del gasto diario es de.5 pesetas. b Si la hipótesis alterativa es copuesta del tipo: H 1 : > etoces ecotrareos evidecia e cotra de la hipótesis ula la rechazareos a favor de H 1 cuado la edia uestral sea suficieteete grade a que la hipótesis alterativah 1 afira que la esperaza ateática es aor que. Por tato rechazaos la hipótesis ula teiedo e cueta que uestra regió crítica es: Para deteriar λ utilizaos: P λ regió crítica GARCÍA CÓRDOBA 5

6 P λ o lo que es lo iso rechazareos H si P λ λ 1 Ejercicio : Co los isos datos del ejercicio 1 podríaos haber plateado coo hipótesis alterativa H 1 : >.5. E este caso rechazaríaos la hipótesis del gerete H :.5 si la edia uestral es suficieteete grade o lo que es lo iso la aceptareos co u 8 ivel de sigificació si.5 λ 1 Si por ejeplo fijaos 5 rechazareos la hipótesis ula observado si uestro estadístico edia uestral cae detro de la regió crítica: Deteriaos λ utilizado:.5 P λ P λ 5 8 P λ De la tabla de la distribució 1 deducios que λ 1645 por lo que: 8 P coo la edia uestral.38 <.631 aceptareos la hipótesis H :.5. c Si la hipótesis alterativa es copuesta del tipo: H 1 : < etoces ecotrareos evidecia e cotra de la hipótesis ulala rechazareos a favor de H 1 cuado la edia uestral sea suficieteete pequeña a que la hipótesis alterativah 1 afira que la esperaza ateática es eor que. Por tato rechazaos la hipótesis ula teiedo: P Para deteriar λ utilizaos: P λ P λ λ Regió Crítica P λ 1 ó lo que es lo iso rechazareos H si λ Co los datos del ejercicio 1 supogaos H 1 : <.5: Para Deteriar λ utilizaos: GARCÍA CÓRDOBA 6

7 .5 P λ 5 P 8.5 P λ 95 λ la regió crítica es:.5 λ P P P Coo uestra edia uestral.38 cae fuera de la regió crítica auque por poco aceptaos H :.5 o ha suficiete evidecia e cotra. ota: E estos cotrastes heos supuesto coocida la variaza poblacioal cuado o lo es cosideraos la cuasivariaza uestral utilizaos el estadístico: t t 1 S 5.3.-EL PROBLEMA DE DOS MUESTRAS. Deoiaos problea de dos uestras a aquellas situacioes e que se quiere cotrastar hipótesis acerca de los valores uéricos que toa los paráetros de dos poblacioes distitas. Frecueteete el problea que iteresa o sólo es el de estiar u paráetro poblacioal sio cotrastar que su valor uérico es el iso e dos uestras de las que se dispoe por ejeplo si la reta failiar es la isa e dos couidades autóoas. Para ello debereos hacer algua suposició acerca de la distribució que sigue la variable objeto de estudio reta salario estatura... por ejeplo para posteriorete cotrastar la igualdad de los paráetros e abas poblacioes: Si se está iteresado e la igualdad de las esperazas ateáticas se querrá cotrastar la hipótesis ula H : 1 frete a la hipótesis alterativa que puede ser del tipo H 1 : 1 < si ha razoes para pesar a priori que de o ser iguales ua de ellas será superior a la otra o sipleete H 1 : 1 si tal iforació o eiste. Si se quiere cotrastar la igualdad de variazas establecereos hipótesis ulas del tipo H : 1 frete a H 1 : 1. El étodo utilizado para llevar a cabo estos cotrastes etre paráetros de dos poblacioes es siilar al utilizado para paráetros de ua població: costruireos u itervalo de cofiaza e este caso para la diferecia de esperazas 1 - o para el cociete de variazas segú proceda coprobaos si el valor uestral del estadístico correspodiete cae detro del itervalo e cuo caso o rechazaos la hipótesis ula o fuera del iso e cuo caso rechazaos la hipótesis ula a los iveles de cofiaza sigificació que haaos utilizado para costruir el itervalo. GARCÍA CÓRDOBA 7

8 GARCÍA CÓRDOBA COTRASTES DE IGUALDAD DE ESPERAZAS E POBLACIOES ORMALES. A CO VARIAZAS COOCIDAS. Dadas dos poblacioes orales idepedietes: e De las que etraeos dos uestras aleatorias siples de taaños. Sabeos que las edias uestrales de abas poblacioes se distribue: e que la diferecia de edias uestrales se distribue: e cosecuecia: 1 Z el cotraste puede resolverse utilizado las tablas de la 1. Si por ejeplo la hipótesis a cotrastar es la de la igualdad de las esperazas ateáticas: H : el itervalo de cofiaza del 95% es: P Si el valor de la diferecia - bajo la hipótesis ula que es cero cae detro del itervalo o rechazaos H si cae fuera rechazaos H. B CO VARIAZAS DESCOOCIDAS. La hipótesis aterior o es la de aor relevacia práctica a que es difícil pesar que coocereos los valores uéricos de las variazas de las dos poblacioes descoociedo las esperazas ateáticas. Por ello supodreos ahora que las variazas poblacioales so descoocidas. Debereos distiguir dos casos: e P

9 B-1 Las variazas poblacioes so descoocidas pero iguales dos uestras distitas de la isa població: Dadas dos poblacioes orales idepedietes: e De las que etraeos dos uestras aleatorias siples de taaños. Sabeos que las edias uestrales de abas poblacioes se distribue: e Dado que la variaza ahora es descoocida o podeos utilizar el estadístico aterior utilizareos el hecho de que el estadístico: t s s Lo que puede utilizarse de odo aálogo a los casos ateriores. 1 P t / s s t / s s Si el valor de la diferecia - bajo la hipótesis ula que es cero cae detro del itervalo o rechazaos H si cae fuera rechazaos H. B- Las variazas poblacioes so descoocidas diferetes dos uestras distitas de distitas poblacioes: o lo tratareos por su coplejidad COTRASTE SOBRE LA VARIAZA DE UA POBLACIO ORMAL. Para cotrastar hipótesis acerca de la variaza de ua població oral utilizareos el hecho de que e poblacioes orales el estadístico: s se distribue de acuerdo co ua 1 Esta distribució de la variaza uestral adecuadaete oralizada o depede de que la esperaza ateática de la població oral sea coocida por lo que para llevar a cabo el cotraste o es preciso coocer. Si ebargo este cotraste o es ta siple coo los ateriores a que la distribució chi-cuadrado o es siétrica. Esto se traduce e que los ubrales o valores críticos que obteeos o es ecuetra sietricaete repartidos e toro al estadístico utilizado para el cotrastecoo ocurría e los casos ateriores.el procediieto que se sigue co la distribució chi-cuadrado es el iso que el utilizado para costruir itervalos de cofiaza: fijado u ivel de sigificació cosideraos los ubrales que deja ua probabilidad / a su derecha e izquierda respectivaete: χ GARCÍA CÓRDOBA 9

10 s χ 1 P s P χ 1 1 abos traos a izquierda derecha costitue la regió crítica del cotraste. Coo siepre para obteer la regió crítica utilizaos la distribució de probabilidad que se obtiee bajo la hipótesis ula. Podeos utilizar ua fora alterativa del estadístico: s 1 S Esta fora alterativa de uestro estadístico os perite establecer la lógica del cotraste: El estadístico es el cociete de la cuasivariaza uestral el valor de la variaza bajo la hipótesis ula. Si esta hipótesis ula es cierta dicho cociete o será u distito de 1a que la cuasivariaza uestral es u estiador isesgado de la variaza poblacioal. E el estadístico el cociete queda ultiplicado por el úero de grados de libertad: Si H es cierta el cociete citado tederá a ser ás próio a1 cuato aor sea el taaño uestral. Esta posible tedecia a o rechazar la hipótesis ula queda corregida ediate el producto por -1. Si H o es cierta etoces el cociete será o bie sigificativaete superior a 1si el verdadero valor de ecede de ó sigificativaete iferior a 1 e caso cotrario. Será positivo e cualquier caso coo lo es la distribució Chi-cuadrado a diferecia de las distribucioes oral o t-studet COTRASTE DE IGUALDAD DE VARIAZAS. E ocasioes os iteresará cotrastar que dos poblacioes tiee igual variabilidad co idepedecia de que sus esperazas ateáticas sea iguales o o es decir cotrastar la hipótesis H : 1 frete a H 1 : 1. Para ello cotareos co dos uestras aleatorias siples e idepedietes de taaños etraídas de dos poblacioes: e Supodreos que tato las esperazas coo las variazas so descoocidas. Sabeos que el estadístico cociete de las cuasivariazas uestrales sigue ua distribució F. Ello deteria u itervalo óptio de cofiaza del 11-% para el cociete de variazas / 1 : S S F 1 1 S S F F / / 1 1 S S Si el valor del cociete / 1 que bajo la hipótesis ula H : 1 es 1 cae detro del itervalo o rechazaos H si cae fuera rechazaos H. GARCÍA CÓRDOBA 1

11 BIBLIOGRAFÍA: **García Córdoba Palacios Sáchez Ruiz Marí: Probabilidad e Iferecia Estadística: Ua Itroducció. Ed. Horacio Escarabajal. Durá Peiró: "Fudaetos de Estadística" Ed: Ariel Escuder R. "Itroducció a la Teoría de la Probabilidad" Ed: tirat to blach ecooía. Evas J.R Olso D.L. Statistics Data aálisis ad decisió odelig Pretice Hall. Ferádez Abascal: "Cálculo de Probabilidades Estadística" Ed: Ariel. Gutiérrez Jaíez R. otros.: "Curso Básico de Probabilidad" Ed: Piráide. Llopis Perez J. "La estadística: ua orquesta hecha istrueto" Ed: Ariel Ciecia. Martí Pliego F.J. Motero Lorezo J.M. Riuz-Maa Pérez L. "Probleas de Probabilidad" Ed: AC. Martí Pliego Ruiz Maa: "Estadística: I Probabilidad. II Iferecia Estadística" Ed: AC. **ewbold P. "Estadística para los egocios la Ecooía" Ed: Pretice Hall **ovales A. Estadística Ecooetría Ed: Mc Graw Hill. Probleas: Murgui J.S. "Estadística para la Ecooía Adiistració de Epresas" Ed: Purchades. Ruiz Maa: "Probleas de Estadística" Ed:AC Sarabia Alegría J.M. : "Curso Práctico de Estadística" Ed: Cívitas. Serret Moreo-Gil J.: "Maual de Estadística Uiversitaria" Ed. ESIC. Tussel F. Garí A: "Probleas de Probabilidad e Iferecia Estadística" Ed:Tebar Flores. ** Palacios Gozález otros. Ejercicios resueltos de iferecia estadística. Delta ** Sierra Miguel Ágel. Ejercicios resueltos de estadística. Ed. Ceura Para saber ás o coprobar dudas: GARCÍA CÓRDOBA 11