Lógica y Matemática Discreta 11/1/2016

Transcripción

1 Apellios: Nombre: Iniciles 1 er pellio: ETSISI UPM Lógic y Mtemátic Discret 11/1/016 Tercer prcil Instrucciones: En c pregunt e test, un y sólo un e ls irmciones ), b) y c) es ciert. Cliicción el test: cierto = +1, llo = 0 5 y blnco = 0. Cliicción e ls einiciones: sobre un punto c un. Cliicción e los ejercicios: sobre puntos c un. Tiempo pr est prte el exmen: hors. No se permite el uso e clculors. Ls echs e publicción e nots y e revisión están en el tblón y en Moole. TEST En Z 16 l clse es l mism que ) 7. b) 1. c) 1. A Si G es un gro regulr e gro r con n vértices y q rists, un posible tern e vlores pr r, n y q es ) r =, n = 5, q = 0. b) r = 5, n =, q = 10. c) r =, n = 5, q = 10. C Se G un gro conexo con n vértices en el que tos ls rists son puentes. Entonces ) G tiene un ciclo. b) tiene n 1 rists. c) tiene n + 1 rists. B L relción binri R = { (, b), (b, ), (c, c)} eini sobre el conjunto A = {, b, c} es: ) simétric. b) ntisimétric. c) trnsitiv. A Cuál e los siguientes gros es semieulerino? ) Q. b) K,. c) K. B

2 En el conjunto e clves orms por os ígitos, A = {xy / x, y {0,..., 9}}, relción e oren: xy R x y x x e y y Se veriic que ) 17 y 71 no son comprbles. b) 17 R 71. c) 71 R 17. se eine l A DEFINICIONES 1. Deinir elemento mximl en un conjunto oreno (A, ). Se ice que m A es mximl si y solo si no hy otro elemento A tl que m con m.. Deinir gro biprtito. Aquel cuyo conjunto e vértices V se puee escomponer en os subconjuntos isjuntos V 1, V, es ecir, V = V 1 V y V 1 V =, e moo que to rist el gro tiene un extremo en V 1 y otro en V. EJERCICIOS Ejercicio 1. En N se consier l relción binri R eini como R b mc(, b) 1 ) Probr que R no es trnsitiv. b) Obtener el igrm sgitl e est relción sobre el conjunto A = {, 1, 10, 9, }. Solución: ) R no es trnsitiv porque 6, 15, 5 N veriicn que 6R15 y que mc(6, 15) = 1, 15R5 y que mc(15, 5) = 5 1, pero 6 R5 y que mc(6, 5) = 1. b) Como mc(, b) = mc(b, ), R es simétric, y mc(, ) = 1 pr too A. Aemás,, 1, 10 tienen como máximo ivisor común e c os, y y 9 tienen como máximo ivisor común Así el igrm sgitl que e est mner:

3 Ejercicio. Se consier l relción e ivisibili en el conjunto A = {, 5, 6} { n / n N} ) Dibujr el igrm e Hsse e (A, ). b) Clculr los elementos notbles. c) Añir A un elemento x N tl que el nuevo conjunto teng un único mximl. ) El igrm e Hsse tiene un cen ininit con ls potencis e : b) Mximles: 6 y 5 y que sólo se ivien sí mismos entro e A. Como hy más e un mximl, no hy máximo. Minimles: 1 y es mínimo y que toos los elementos e A son ivisibles por 1. c) Bst tomr un múltiplo común e los os mximles, por ejemplo x = 0. Así A {0} solo tiene 0 como mximl Ejercicio. Aplicr el lgoritmo e Kruskl pr hllr un árbol recubrior e peso mínimo el gro e l igur y r su peso. Inicr brevemente los psos seguios. (11) 5 (8) b (9) () 1 (7) () e 1 (1) 1 1 () (10) c (5) (6) g 1. Orenmos ls rists por peso en oren creciente.. Inicilizmos el gro e sli T como el bosque con solo los vértices el gro.. Añimos T, un un, ls rists e menor peso en l list que no ormen ciclo con ls y ñis hst tener n 1 = 7 1 = 6 rists. El peso el árbol recubrior e peso mínimo es w(t ) = = 11.

4 Ejercicio. Estuir si los siguientes gros son isomoros. b c e g j h i k K J I H A C D G B F E S T No lo son porque si lo uern, tmbién eberín serlo los subgros inucios por los vértices e gro en c gro: c j h i k K I H C D G B E S 1 = vértices e gro S T 1 = vértices e gro T Pero no lo son porque, en prticulr, en S 1 hy un vértice e gro 0 y en T 1 no.

5 Lógic y Mtemátic Discret Tercer prcil 11/1/016 Nots: EU Inormátic UPM Est prte el exmen vle el 0 % e l not totl. Tiempo pr est prte el exmen: hors. Justiicr tos ls respuests. Problem 1 (15 %) Se A el conjunto e ls plbrs con 6 crcteres en ls que el primero es un e ls letrs el conjunto {, b, c} y los 5 crcteres restntes son bits: A = {x 1 x x x x 5 x 6 / x 1 {, b, c}, x i {0, 1}, i 1} En A se eine l relción e equivlenci R: x 1 x x x x 5 x 6 R y 1 y y y y 5 y 6 x 1 = y 1 y x 5 x 6 = y 5 y 6 ) ( puntos) Probr l propie trnsitiv e est relción. Solución: Sen x, y, z A tles que xry e yrz se veriic que xrz? Tenremos que x = x 1 x x x x 5 x 6, y = y 1 y y y y 5 y 6 y z = z 1 z z z z 5 z 6. Como e x R y y R z x 1 = y 1 y x 5 x 6 = y 5 y 6 y 1 = z 1 y y 5 y 6 = z 5 z 6 = x 1 = z 1 x 5 x 6 = z 5 z 6 x R z Por lo tnto, que probo que R es trnsitiv. b) ( puntos) Describir l clse e b y hllr su crinl. Solución: L clse e b es: b = {x 1 x x x x 5 x 6 A / x 1 x x x x 5 x 6 R b 00000} = = {x 1 x x x x 5 x 6 A / x 1 = b, x 5 x 6 = 0} = = { b x x x 00 / x, x, x {0, 1} } { b x x x 11 / x, x, x {0, 1} } Entonces, el crinl e b se puee obtener, por el Principio e Aición, como l sum e los crinles e estos os conjuntos que son isjuntos. El crinl e mbos conjuntos coincie con V R(, ) = y, por tnto, b = + = =.

6 c) ( puntos) Dr un elemento el conjunto A que empiece por b y no esté en l clse e b Describir su clse. Solución: Por ejemplo, b R b00000 pues 1 0 = 1 0 = 0 0. b = {x 1 x x x x 5 x 6 A / x 1 x x x x 5 x 6 R b 00010} = = {x 1 x x x x 5 x 6 A / x 1 = b, x 5 x 6 = 1} = = { b x x x 10 / x, x, x {0, 1} } ) ( puntos) Anlizr cuánts clses ierentes hy, hllr el crinl e c clse y r el conjunto cociente. Solución: Es ácil ver que, b = V R(, ) = y toví empezno por b hy elementos que no están en ests os clses, toos los que cbn en 01, pues en este cso l ierenci es 1: b = {x 1 x x x x 5 x 6 A / x 1 x x x x 5 x 6 R b 00001} = y e nuevo b = V R(, ) =. Entonces, = {x 1 x x x x 5 x 6 A / x 1 = b, x 5 x 6 = 1} = = { b x x x 01 / x, x, x {0, 1} } b b b = + + = + + = = 5 < A = 5 Y están en lgun clse toos los que empiezn por b pues los únicos vlores posibles e x 5 x 6 son 0, 1 y 1 pero ltn por consierr ls clses e equivlenci e los elementos e A que comienzn por o bien por c. Se veriic que hy otrs tres clses empezno por y otrs tres empezno por c, nálogs ls nteriores. Y c un e ells tiene el mismo crinl que l corresponiente que empiez por b. Y hor sí c uno e los 5 = 96 elementos e A está en lgun clse escrit y, por tnto, el conjunto cociente es: A/R = einición = = {x 1 x x x x 5 x 6 / x 1 x x x x 5 x 6 A} = { x , x , x / x 1 {, b, c} } = { x / x 1 {, b, c} } { x / x 1 {, b, c} } { x / x 1 {, b, c} } Su crinl es A/R = 9.

7 Problem (5 %) Un empres h puesto l vent 8 rtículos, c uno en un págin istint e ciert tien web. En el gro e l igur los vértices representn ls págins e los rtículos y el peso e l rist que une rtículos, el número e clics que hcen lt pr cceer irectmente el uno l otro. b c e g h 5 b c 1 1 h 7 g 5 1 e b c e g h ) ( puntos) Los tos e l tbl representn el mínimo número e clics necesrios pr psr e un rtículo otro, psno solo por págins (rtículos) e l empres. Cuántos clics son necesrios pr psr el rtículo c uno e otros rtículos? Solución: Si l sum e los pesos e ls rists e un cmino que llev e un págin otr represent el número e clics pr psr e un otr siguieno ese cmino, lo que se pregunt es el mínimo número e clics necesrio pr ir ese el vértice los emás, es ecir, l istnci ese l resto. Ests istncis ese se hlln con el lgoritmo e Dijkstr: b c e g h h 5 b 5 9 g 9 5 c e 8 Luego b c e g h (, ) b) ( puntos) Cuál es el número máximo e clics entre os págins culesquier e l empres? En qué pr (o pres) e rtículos se lcnz? Solución: Yeno por el cmino más corto (con el menor número e clics) e un págin otr, lo que se pie es hllr l istnci máxim entre os vértices el gro. Es ecir, el myor e los rios e los vértices el gro. Pr hllrlo se puee usr l tbl e istncis completánol con los tos obtenios en el prto nterior. Se trt e hllr el vértice x tl que R(x) se máximo.

8 (, ) b c e g h R( ) b c e g h Luego l istnci máxim entre vértices es 8 y se lcnz entre los pres: y, b y e. c) ( puntos) En l págin e uno e los rtículos se quiere volcr, emás, l inormción ministrtiv e l empres e moo que ese ls otrs págins se pue cceer ell e l orm más rápi posible (mínimo número e clics). Elegir l págin más conveniente pr hcerlo. Solución: El lugr más conveniente será el vértice que minimice l istnci l más lejo. Así que en l tbl el prto nterior buscmos el vértice x tl que R(x) se mínimo. Tl vlor, el rio el gro, es 5 y se lcnz en los vértices c y g. Culquier e ellos stisce ls coniciones peis. ) ( puntos) Se quiere poner un págin e control pr ctulizr los rtículos lojos en e,, g y h. Dóne se eberí poner si ese ést hy que ir cceieno c un e ls otrs, e un en un y volvieno l e control ntes e cceer l siguiente? Solución: Si l págin e control se ubic en el vértice x, el recorrio hbitul pr ctulizr los rtículos lojos en vértices mencionos será, por supuesto siguieno un cmino mínimo ese x c uno e ellos y el totl e clics será ((x, e) + (x, ) + (x, g) + (x, h)) = S(x) Por tnto el mejor lugr pr ubicr l págin e control es el vértice que minimice l sum nterior, o lo que es lo mismo, que minimice su mit: S(x). Pr hllrlo usmos ls ils corresponientes los vértices e,, g y h en l tbl e istncis. (, ) b c e g h e g h S( ) Luego los vértices ieles pr ubicr l págin e control son y g. e) ( puntos) Puee un cliente consultr tos ls págins e l empres sin visitr os veces l mism y volver l págin e inicio? Solución: Sí, porque este gro es hmiltonino. Un ciclo hmiltonino que permite recorrer tos ls págins y volver l e inicio sin repetir ningun intermei es: b, b, c,, e,, g, h, c e h g