ESTADÍSTICA MATEMÁTICA

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1 ESTADÍSTICA MATEMÁTICA Volume II Ifereca Estadístca 1 ( ) 0 1 Rafael Cabrejas Herasaz foemato.com Aquí hay u vdeotutoral e el que explcamos los cotedos de este lbro.

2 Hacedo clc aquí se abrrá el Pael de Marcadores y podrás avegar por el lbro. INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA MATEMÁTICA Volume II: Ifereca Estadístca No está permtda la reproduccó total o parcal de este lbro, su tratameto formátco, la trasmsó de gua forma o por cualquer medo, ya sea electróco, mecáco, por fotocopa, por regstro u otros métodos, s permso prevo y por escrto de los ttulares del Copyrght. RAFAEL CABREJAS HERNANSANZ

3 Idce del Volume I Dstrbucoes de probabldad 1.01 Cojutos 1.0 Álgebra de Boole de las partes de u cojuto 1.03 Expermeto aleatoro 1.04 Espaco muestral, comportameto elemetal 1.05 Suceso 1.06 Operacoes co sucesos 1.07 Álgebra de sucesos 1.08 La probabldad e el dccoaro 1.09 La probabldad para Kolmogorov 1.10 Defcó frecuetsta de probabldad 1.11 La probabldad para Laplace 1.1 Probabldad codcoada 1.13 Idepedeca de sucesos 1.14 Teorema de la probabldad total 1.15 Teorema de Bayes 1.16 Combatora Latgullos Tema 1: La probabldad Tema : Varables udmesoales.01 Varable aleatora udmesoal.0 Varable aleatora dscreta.03 La palabra "desdad".04 Varable aleatora cotua.05 Varable aleatora degeerada.06 Esperaza matemátca. El verbo "poderar".07 Mometos de ua varable aleatora.08 Varable tpfcada.09 Teorema de Markov.10 Teorema de Tchebychef.11 Fucó geeratrz de mometos.1 Fucó característca.13 Cambos de varable.14 Varable trucada Latgullos

4 Tema 3: Varables multdmesoales 3.01 Varables multdmesoales 3.0 Fucó de dstrbucó 3.03 Varable bdmesoal dscreta 3.04 Varable bdmesoal cotua 3.05 Dstrbucoes margales 3.06 Dstrbucoes codcoadas 3.07 Varables depedetes 3.08 Esperaza matemátca 3.09 Mometos de ua varable bdmesoal 3.10 Regresó 3.11 Rectas de regresó mímo cuadrátca 3.1 Fucó geeratrz de mometos 3.13 Cambos de varable 3.14 Fucoes de varable bdmesoal Latgullos Tema 4: Varables dscretas famosas 4.01 Varable degeerada 4.0 Varable uforme dscreta 4.03 Varable de Beroull 4.04 Varable bomal 4.05 Varable de Posso 4.06 Varable geométrca 4.07 Varable bomal egatva 4.08 Varable hpergeométrca Latgullos Tema 5: Varables cotuas famosas 5.01 Varable uforme cotua 5.0 Varable ormal tpfcada 5.03 Varable ormal o tpfcada 5.04 Reproductvdad de la ormal 5.05 Varable logarítmco ormal 5.06 Varable gamma 5.07 Varable expoecal egatva 5.08 Varable beta 5.09 Varable j-dos 5.10 Varable t-studet 5.11 Varable F-Sedecor 5.1 Varable de Pareto Latgullos

5 Idce del Volume II Ifereca Estadístca Tema 1: Sucesoes de varables 1.01 Itroduccó 1.0 Sucesó de varables aleatoras 1.03 Covergeca de ua sucesó 1.04 Teorema de Beroull 1.05 Teorema Cetral del Límte 1.06 Teorema de Ldeberg-Levy 1.07 Teorema de Movre Tema : Dstrbucoes e el muestreo.01 Muestreo aleatoro smple.0 Estadístco.03 Estadístcos más famosos.04 La meda muestral.05 La varaza muestral.06 Muestreo de poblacó ormal Tema 3: Estmacó putual 3.01 Estmador putual 3.0 Isesgadez 3.03 Verosmltud de ua muestra 3.04 Cojutos de vel de u campo escalar 3.05 Sufceca 3.06 Efceca 3.07 Cossteca 3.08 Estmador de mometos 3.09 Estmador de máxma verosmltud Tema 4: Itervalos de cofaza 4.01 Itroduccó 4.0 Itervalo aleatoro 4.03 IC para la meda de ua ormal 4.04 IC para la varaza de ua ormal 4.05 IC para la dfereca de medas de ormales 4.06 IC para el cocete de varazas de ormales 4.07 IC para la meda medate Tchebychef 4.08 IC co muestras grades

6 Tema 5: Cotrastes paramétrcos 5.01 Hpótess. Tpos 5.0 Hpótess ula y alteratva 5.03 Test de hpótess. Regó crítca 5.04 Los dos tpos de error 5.05 Fucó de poteca de u test 5.06 Tamaño de u test 5.07 Test UMP 5.08 Cotraste de hpótess smples 5.09 Cotraste de smple frete a compuesta 5.10 Cotraste de hpótess compuestas 5.11 Test de la razó de verosmltudes 5.1 Test famosos para poblacoes ormales Tema 6: Cotrastes o paramétrcos 6.01 Cotraste de aleatoredad 6.0 El estadístco j-dos de Pearso 6.03 Cotrastes de bodad de ajuste 6.04 Cotraste de depedeca 6.05 Cotraste de homogeedad Observo que los temas de Ifereca carece de latgullos Cuado llegue la Ifereca o ecestarás que ade te los vaya explctado

7 1.01 Itroduccó 1.0 Sucesó de varables aleatoras 1.03 Covergeca de ua sucesó 1.04 Teorema de Beroull 1.05 Teorema Cetral del Límte 1.06 Teorema de Ldeberg-Levy 1.07 Teorema de Movre Lo más valoso de tu educacó cetífca es el desarrollo de la dscpla metal foemato.com E foemato.com tees los vídeos e los que explcamos los cotedos de este lbro. Tema 1: Sucesoes de varables aleatoras Rafael Cabrejas Herasaz

8 Tema 1: Sucesoes de varables aleatoras 1.1 INTRODUCCIÓN El verbo "ferr" Como e las próxmas 500 págas estudaremos la llamada Ifereca Estadístca, covee empezar leyedo lo que dce el dccoaro sobre el verbo ferr, pues lo que a osotros os teresa es la prmera acepcó. Iferr. (Del latí fere, llevar a): Sacar ua cosecueca o deducr ua cosa de otra coducr a u resultado Llevar cosgo, ocasoar, Tratádose de ofesas, agravos, herdas, etc., producrlos o causarlos. Ifereca paramétrca Como la vda es muy dura, co frecueca se está aalzado ua varable aleatora "X" asocada a ua certa poblacó (maga que "X" expresa la aleatora altura de los cudadaos) y se cooce "X" sólo de forma parcal, pues auque se sabe a qué "famla" perteece "X", se descooce alguos de los parámetros que detfca a "X". Por ejemplo: Se sabe que "X" es ormal de meda 7, pero se descooce la varaza. Se sabe que "X" es ormal de varaza 13, pero se descooce la meda. Se sabe que "X" es expoecal, pero se descooce el parámetro. Se sabe que "X" es ormal, pero se descooce la meda y la varaza. Descoocer algú parámetro de la dstrbucó de probabldad de "X" es ua gra putada, pues me mpde calcular probabldades de sucesos relacoados co "X"... voy a llamar al mago Merlí para que me dga el valor de Ate ta dramátca stuacó sólo teemos dos opcoes: 1) Sucdaros ) Buscaros la vda para "decr algo" sobre S o elges la prmera opcó, de medato te plateas la preguta del mlló: Rafael Cabrejas Herasaz Qué hago para "decr algo" sobre? foemato.com No te molestes e pregutar a ade, el valor de es mposble coocerlo, o lo sabe Dos

9 Detallada respuesta Lo que haría cualquera: observar el valor que toma "X" e "" dvduos de la "poblacó" (o sea, "muestrear" la poblacó) y sacar jugo a la formacó que sobre el parámetro cotee los "" valores observados de la varable "X". Así ace la estrella de la Ifereca Estadístca: la varable aleatora -dmesoal ( X 1 ;... ; X ) que expresa los resultados que puede presetarse al seleccoar ua muestra de tamaño ""; de ella dremos que es la varable muestral. El muestreo aleatoro smple cosdera que las varables X 1,..., X que forma la varable muestral ( X 1 ;... ; X ) so depedetes y tee la msma dstrbucó de probabldad que la varable "X". Por ejemplo, s X N( 170; ) expresa la aleatora altura de los cudadaos y para "decr algo" sobre tomamos ua muestra aleatora smple de tamaño 3, etoces, sedo X la varable que expresa la aleatora altura del -ésmo cudadao seleccoado ( 1,, 3 ), la estrella de la película será la varable muestral ( X1; X; X3 ) que expresa los resultados que puede presetarse, y admtremos que X1, X y X3 so depedetes y todas tee dstrbucó N( 170; ). A cotuacó cometamos grosso modo la que se os vee ecma. Tema 1: Sucesoes de varables aleatoras Como la estrella de la hstora es la varable muestral ( X 1 ;... ; X ) y "" puede ser todo lo grade que queramos, dedcaremos el Tema 1 a estudar los tríguls de ua sucesó X 1, X,..., X,... de ftas varables aleatoras (depedetes o o, co la msma dstrbucó de probabldad o o). Tema : Estadístcos Para "sacar jugo" a la "formacó" que sobre el descoocdo cotee los "" valores observados de la varable "X" utlzaremos estadístcos. Nada de asustarse, u "estadístco" es ua fucó de la varable muestral ( X 1 ;... ; X ), y por tato es ua varable aleatora udmesoal correte y molete. Los estadístcos más famosos so la meda muestral y la varaza muestral: T1 1. X aleatora meda muestral 1 T 1. X T ( 1) aleatora varaza muestral 1 Observa: a cada muestra le correspode u valor del estadístco. Por ejemplo, s la muestra seleccoada es la ( 4 ; 6; 11 ), e ella el estadístco T 1 se cocreta e el úmero 7, y el estadístco T se cocreta e el úmero 6/: 3 T1 ( )/ 3 7 T ( 4 7) ( 6 7) ( 11 7) / 3 6/ 3 c h Tema 1: Sucesoes de varables aleatoras Rafael Cabrejas Herasaz foemato.com

10 Tema 3: Estmacó putual Hacer ua estmacó putual del parámetro cosste e asgarle u valor cocreto. Para ello se elge u estadístco "T" y se asga a el valor que toma "T" e la muestra seleccoada. Por ejemplo, cosdera que la varable "X" tee dstrbucó de Posso de parámetro y que para hacer ua estmacó putual de se toma ua muestra de tamaño 4 y se obtee la ( 5; 6; 1; 6 ); así: S como "estmador putual" del parámetro elegmos el estadístco meda muestral T1 ( X1XX3X4)/ 4, como el valor que toma T 1 e la muestra ( 5; 6; 1; 6 ) es 4'5, dremos que la estmacó putual de que para esa muestra proporcoa el estadístco T 1 es 45 '. S como "estmador putual" del parámetro elegmos el estadístco "máxmo muestral" T3 máx.{ X1; X; X3; X4}, como el valor que toma T 3 e la muestra ( 5; 6; 1; 6 ) es 6, dremos que la estmacó putual de que para esa muestra proporcoa el estadístco T 3 es 6. S como "estmador putual" del parámetro elegmos el estadístco "mímo muestral" T4 mí.{ X1; X; X3; X4}, como el valor que toma T 4 e la muestra ( 5; 6; 1; 6 ) es 1, dremos que la estmacó putual de que para esa muestra proporcoa el estadístco T 4 es 1. Naturalmete, ua vez seleccoada la muestra, la "caldad" de la estmacó putual de depederá de qué estadístco usemos como "estmador putual"; por eso se hace ecesaro establecer característcas "deseables" (sesgadez, cossteca, efceca y sufceca) que os permta decdr s u certo estadístco "Pepe" es teresate para hacer ua "estmacó putual" del descoocdo valor de. La dea es seclla: cuado el estadístco "Pepe" os suplque por sus muertos que lo eljamos a él como "estmador putual" de, aalzaremos s "Pepe" posee esas característcas "deseables" de sesgadez, cossteca, efceca y sufceca. Porfa... elígeme a mí como cosorte foemato.com Lo tees joddo: o eres alt@, o eres guap@, o eres rc@, o eres telgete, o eres sesble, o eres dulce... y además te huele los pes Como o podemos pasaros la vda hacedo castg co la fdad de estadístcos que hay, se hará ecesaro vetar métodos de "costruccó" de estmadores (método de la máxma verosmltud y método de los mometos). Tema 1: Sucesoes de varables aleatoras Rafael Cabrejas Herasaz

11 Tema 4: Estmacó co tervalo de cofaza Abordaremos el problema de "decr algo" sobre el parámetro desde otro puto de vsta, pues e vez de utlzar u estadístco y los "" úmeros que forma la muestra seleccoada para hacer ua "estmacó putual" de, utlzaremos u estadístco y los "" úmeros de la muestra para determar u tervalo e el que co ua cofaza fjada de atemao está el descoocdo valor del parámetro. Tema 5: Cotraste de hpótess paramétrcas Por razoes de elemetal prudeca, ua vez se ha estmado (y por tato se ha establecdo ua hpótess sobre ), se platea el problema de cotrastar s la estmacó realzada tee mucho o poco que ver co la realdad. Y de medato se platea la preguta del mlló: Qué hago para "cotrastar" ua "hpótess" establecda sobre? Respuesta: Lo que haría cualquera: "observar" el valor que toma "X" e "k" dvduos de la "poblacó" y "sacar jugo" a la "formacó" que sobre el parámetro cotee los "k" valores observados de la varable "X"; e cocreto, utlzado u estadístco y los "k" úmeros que forma la muestra seleccoada, obtedremos u úmero mágco que os permtrá decdr s os creemos la hpótess establecda o o. Ifereca o paramétrca Sempre hay que lo tee más joddo: se está aalzado ua varable aleatora "X" asocada a ua certa "poblacó" y o se tee dea de la dstrbucó de probabldad de "X". Qué dstrbucó de probabldad tee el aleatoro beefco daro que obtees vededo calabazas? E tal stuacó, la úca alteratva al sucdo es emplear el olfato para establecer ua hpótess sobre el tpo de dstrbucó de "X" y "observar" el valor que toma "X" e "r" dvduos de la "poblacó", sacado jugo a la "formacó" que cotee los "r" valores observados de la varable "X"; e cocreto, utlzado u estadístco y los "r" úmeros que forma la muestra seleccoada, obtedremos u úmero mágco que os permtrá decdr s os creemos la hpótess establecda o o. Dedcaremos el Tema 6 a ta dvertdo asuto. Tema 1: Sucesoes de varables aleatoras Rafael Cabrejas Herasaz foemato.com N dea!... o sé s es ormal, expoecal, uforme...

12 1. SUCESIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS Ua sucesó de varables aleatoras es ua ley o crtero que a cada úmero atural le asoca ua varable aleatora. Deotado X a la varable aleatora que la ley e cuestó asoca al úmero atural "", para referros a la sucesó escrbremos { X }; es decr: { X} { X1, X, X3,..., X,...} 1 X X 3 X : : X : : Ley de Murphy: s algo puede r mal, rá mal. Sexto lema de Murphy: ada es ta fácl como parece. Quto teorema de Murphy: s dejamos que las cosas marche solas, rá de mal e peor. Tercer axoma de Murphy: cuado las cosas o puede ser peores, empeora. Ley de Murphy multdmesoal: s ua sere de evetos puede salr mal, lo hará e el peor orde posble. Cuarto teorema de Murphy: lo úco que o se olvda es lo que se aputa. Observacó de Murphy: para estmar el tempo que requere ua tarea, estímese el tempo que debería requerr, multplíquese por dos y elévese la medcó a la mayor udad subsguete. Así, asgamos dos días para ua tarea de ua hora. Segudo axoma de Murphy: todo herror que pueda deslzarse o dudará e acerlo. Cuarto postulado de Murphy: sólo se hace be lo que se ha practcado sufcetemete. Cometaro de Foemato: Murphy es muy optmsta. Tema 1: Sucesoes de varables aleatoras Rafael Cabrejas Herasaz 1 3 foemato.com

13 1.3 CONVERGENCIA DE UNA SUCESIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS Sea "U" ua varable aleatora co fucó de dstrbucó F( x) y geeratrz de mometos (t) : F(x) PU x ; (t) Eet.U Sea { X } ua sucesó de varables aleatoras defdas sobre el msmo espaco probablístco que "U", sedo F( x) y ( t) las respectvas fucoes de dstrbucó y geeratrz de mometos de la varable X : Tema 1: Sucesoes de varables aleatoras t.x F(x) PX x ; (t) Ee Covergeca e ley Dremos que la sucesó { X } coverge e ley a la varable "U", y escrbremos { X} L U, s se satsface cualquera de las sguetes codcoes, que so equvaletes: 1) lm. F (x) F(x), x tal que F(x) sea cotua e "x" Propedades ) lm. (t) (t), t 3 lm. P(a X b) P(a U b), (a;b] 1) S { X } U y "C" es ua costate, sucede que: L { X C} UC ; { C. X } C. U ) S { X } U y "g" es ua fucó cotua, sucede que: L L {( gx )} gu ( ) Covergeca e probabldad Dremos que la sucesó { X } coverge e probabldad a la varable "U", y escrbremos { X } U, s para todo valor postvo de sucede que: P lm. L c U h0 P X comple- o lo que es gual, pero dado el protagosmo al suceso X U metaro del suceso X U, sucede que: lm. Rafael Cabrejas Herasaz c U h1 P X L foemato.com

14 Iterpretacó bdmesoal E la dstrbucó bdmesoal de masa de probabldad correspodete a la varable bdmesoal ( X ; U), la probabldad del suceso X U es la lm. P X U e 1, e 0 masa que hay e el "tubo" sombreado e la fgura. El "eje" de ese "tubo" es la bsectrz del prmer cuadrate, formada x ue por los putos que tee guales sus U dos coordeadas; obvamete, el "tubo" es más "delgado" cuato más próxmo a 0 sea el valor elegdo para 0. Por tato, al afrmar que { X} P U se afrma que la sucesó { X } es tal que, sea cual sea el valor elegdo para 0 (o sea, co depedeca de la "delgadez" del "tubo" que eljamos), la masa que hay e el tubo, que es la probabldad del suceso X U x ue 13,,,..., se aproxma a 1 tato como se quera s más que elegr "" sufcetemete grade. Por ejemplo: S , la probabldad del suceso X U se aproxma a 1 tato como se quera s más que elegr "" sufcetemete grade; es decr, fjada ua probabldad ta próxma a 0 como se quera, hay u úmero atural 0 tal que s 0 ocurre que Pc X U h 1. S , la probabldad del suceso X U se aproxma a 1 tato como se quera s más que elegr "" lo bastate grade; es decr, fjada ua probabldad ta próxma a 0 como se quera, hay u atural 1 tal que s 1 ocurre que Pc X U h 1. Eres u Pues s el "tubo" pude ser lce! todo lo "delgado" que se quera, al afrmar que P { X} U se dce que, cuado, la dstrbucó bdmesoal de masa asocada a la varable (X ;U) tede a cocetrase e la bsectrz del prmer cuadrate foemato.com X Tema 1: Sucesoes de varables aleatoras Rafael Cabrejas Herasaz

15 Observa: s la varable "U" toma el valor q co probabldad 1 (o sea, "U" es degeerada), la udad de masa de probabldad correspodete a la varable aleatora bdmesoal ( X ; U) U está e la recta U ; por tato, la probabldad del suceso X U X es la masa que hay e el X segmeto de ampltud. que ue los putos "M" y "N" de la fgura. Así, al decr que {X P } q se afrma que la U 13,,,... sucesó { X } es tal que, sea cual sea el valor elegdo para 0 (o sea, co M depedeca de la ampltud del N segmeto MN que eljamos), la masa que hay e el segmeto MN, que es la probabldad del suceso X, se aproxma a 1 tato como se quera s más que elegr "" bastate grade. X O sea, la dstrbucó bdmesoal de masa asocada a la varable (X ;U) tede a cocetrase e el puto ( qq ; ) de la bsectrz del prmer cuadrate. Iterpretacó udmesoal c h 1 0 lm. P X, E la dstrbucó udmesoal de masa de probabldad asocada a la varable Z X U, la probabldad del suceso Z X U es la masa que hay Z X U 0 e el tervalo [ ; ], cuya ampltud. es más pequeña cuato más próxmo a 0 13,,,... sea el valor elegdo para 0. Por tato, al afrmar que {X P } U se afrma que la sucesó { X } es tal que, sea cual sea el valor elegdo para e 0 (o sea, co depedeca de la ampltud del tervalo [ ; ] que eljamos), la masa que e la dstrbucó de probabldad de Z X U hay e [ ee ; ], que es la probabldad del suceso Z, se aproxma a 1 tato como se quera s más que elegr "" sufcetemete grade. O sea, al afrmar que { X} P U vee a decrse que la dstrbucó udmesoal de masa asocada a la varable Z X U tede a cocetrase e el orge; es decr, Z tede a ser la varable degeerada que toma el valor 0 co probabldad 1 foemato.com Qué glpollez! Tema 1: Sucesoes de varables aleatoras Rafael Cabrejas Herasaz

16 Propedades 1) S { X } U{ X U} 0. E efecto: P Tema 1: Sucesoes de varables aleatoras S { X } U es lm. P X U, P lm. P X U0 0, 0 P c h 0 0; así: c h lo que demuestra que { X U} 0. S { X U} 0 es lm. P X U0 0, 0 P lm. P X U, lo que demuestra que { X } U. P c h ; así: c h 0 0 P ) S { X } U y "g" es ua fucó cotua, etoces { gx ( )} gu ( ) P 3) Estado defdas las sucesoes { X } y { T } sobre el msmo espaco probablístco, s { X } U y { T } T, etoces: P P P P { X T } U T ; { X. T } U. T S la sucesó { X/ T } tee setdo, etoces { X/ T} U/ T, sempre que P( T 0) 0. 4) S todas las varables que forma la sucesó { X } tee meda fta y lm. VX ( ) 0, etoces { X E( X)} 0, pues 0 sucede que P X E(X ) 0 P X E(X ) Tchebychef c h P P V(X ) VX ( ) Así: 0 lm. P X E( X) 0 lm. 0 lo que demuestra que { X E( X )} 0. 5) S todas las varables que forma la sucesó { X } tee la msma meda "m" fta y lm. VX ( ) 0, etoces { X} P m, pues 0 sucede que V(X ) P X m P X E(X ) E(X ) m Tchebychef VX ( ) Así: 0 lm. P X m lm. 0 P c h lo que demuestra que { X } m. Rafael Cabrejas Herasaz P foemato.com P

17 6) Sedo "C" ua costate, para que { X} C es sufcete (o ecesaro) que lm. EX ( ) C y lm. VX ( ) 0. E efecto, 0, es: E(X C) P X C P (X C) segú el teorema de Markov VENTANA E (X C) E (X E(X )) (E(X ) C) P V(X ) E(X ) C V(X ) E(X ) C 0 lm. P X C lm. 0 s lm. E(X ) C y lm. V(X ) 0 P {X } C Covergeca e meda cuadrátca Dremos que la sucesó { X } coverge e meda de orde "r" a la varable "U", y escrbremos { X } r r U, s lm. E X U Dremos que { X } coverge a "U" e meda cuadrátca e el caso r ; es decr, s lm. E(( X U) ) 0, y escrbremos { X } U. EX E(X ) E(X ) C.(X E(X )).(E(X ) C) o aleatoro o aleatoro E X E(X ) E(X ) C.E X E(X ).(E(X ) C) E X E(X ) V(X ) E X E(X ) E(X ) E E(X ) E(X ) E(X ) 0 e j 0. Ua merdeclla de masa muy alejada del puto "Pepe" produce mucha dspersó respecto a "Pepe": s e el orge hay ua masa 0' y la masa restate, 10 7, está e el puto , el mometo de orde de esta dstrbucó respecto al orge (que es ua medda de la dspersó de la dstrbucó respecto al orge) es brutal, ada meos que V(X ) E(X ) C foemato.com Tema 1: Sucesoes de varables aleatoras Rafael Cabrejas Herasaz

18 Sedo E(( X U) ) el mometo de orde dos de la varable X U respecto al orge, el valor de E(( X U) ) es ua medda de la dspersó de la dstrbucó de probabldad de X U respecto al orge. Por tato, al decr que { X} U se dce que la medda de la dspersó de X U respecto al orge tede a 0 s ; o sea, la mesa mayoría de la masa de la dstrbucó de X U está muy próxma al orge y o hay masas (auque sea rrelevates) muy alejadas de él. Relacó etre las covergecas S { X } U{ X } U. P L El recíproco o es certo, salvo s "U" es ua varable degeerada (toma u úco valor co probabldad 1). S { X } U{ X } U. E efecto: P E(X U) P X U P (X U) segú el teorema de Markov E(X U) 0 lm. P X U lm. 0 s lm. E (X U) 0 P {X } U foemato.com A los exámees, sea de Estadístca, de Físca, o de lo que sea, debes llegar co ua CESTA LLENA DE LATIGUILLOS, para sembrarlos por doquer etre los cálculos que hagas y así lograr que me qute el sombrero y se me caga los pataloes al corregr tu exame. Tema 1: Sucesoes de varables aleatoras Rafael Cabrejas Herasaz

19 FONEMATO Sea { X } ua sucesó de varables aleatoras depedetes, todas co dstrbucó uforme e el tervalo ( 0; a ). Utlzado la acotacó de Tchebychef, demuéstrese que { Z } a, sedo: Z SOLUCIÓN Tema 1: Sucesoes de varables aleatoras P. X X X.( Meda artmétca de X 1,,..., ) 1 Demostraremos que { Z } a s demostramos que 0 sucede que Es: P lm. P Z a e E(Z ) E. X. E(X ). a.. a a X U(0;a) E(X ) (0a)/ a/ c h c h P Z a P Z E( Z) VZ ( ) a 3.. Tchebychef VENTANA pues X 1, X,..., X so depedetes Así, es 0 lm. P Z a a e lm. 0, lo que demuestra que: 3.. e lm. P Z a e 0 y eso sgfca que la dstrbucó udmesoal de masa de probabldad asocada a la varable W Z a tede a cocetrase e el orge; es decr, W tede a ser la varable degeerada que toma el valor 0 co probabldad a 4 a a X U(0;a) V(X ) (a 0) /1 a /1 V(Z ) V. X. V(X ) Latgullo: párrafo corto o esquema que explca lo fudametal del asuto que llevamos etre maos. Rafael Cabrejas Herasaz foemato.com

20 FONEMATO ) Sea { X } ua sucesó de varables aleatoras depedetes, todas co las msma dstrbucó de probabldad, co meda y varaza, ambas ftas. Utlzado la acotacó de Tchebychef, demuéstrese que { Z } P, sedo Z la meda artmétca de X 1, X,..., X. ) Razóese s la ateror demostracó es certa s sólo exgmos que las varables de la sucesó { X } sea correladas, o ecesaramete gualmete dstrbudas, auque todas co la msma meda y la msma varaza ftas. SOLUCIÓN 1) Sea Z 1. X X X Meda artmétca de X 1,,...,. 1 Demostraremos que { Z } P s demostramos que 0 sucede que lm. Pc Z h0 Es: 1 E(Z ) E 1 1. X. E(X ) E(X ), 1,,..., c h c h P Z P Z E( Z) VZ ( ). Techebychef 1 V(Z ) V. X 1. V(X ) VENTANA V(X ), 1,,..., Por tato: 0 lm. P Z lm. c h 0. lo que demuestra que lm. Pc Z h0. ) S las varables de la sucesó { X } so correladas, auque o tega la msma dstrbucó de probabldad, s todas tee la msma meda y la msma varaza (ambas ftas), es: EZ ( ) ; V( Z) / pues X 1, X,..., X so correladas Por tato, sgue sedo válda la demostracó hecha e 1). Tema 1: Sucesoes de varables aleatoras Rafael Cabrejas Herasaz pues X 1, X,..., X so depedetes foemato.com

21 FONEMATO Sea { X } ua sucesó de varables aleatoras depedetes, todas desdad fx ( ) e( x ), x Demuéstrese que { Z } P, sedo Z mí.{ X 1, X,..., X}. SOLUCIÓN Demostraremos que { Z } P demostrado que 0 sucede que E efecto: lm. P Z 0 lm. P Z lm. P(Z ) P(Z ) P(Z ) 0, pues como X 1, X,..., X o toma valores ferores a, etoces Z mí.{x 1, X,..., X } o toma valores ferores a lm. P(Z ) como Z mí.{x, X,..., X }, será Z sólo s X, 1,,..., 1 1 lm. P X ; X ;... ; X pues X 1,X,...,X so depedetes y todas tee la msma dstrbucó de probabldad (x ) lm. P X lm. e.dx lm. e lm. e e lm. e 0 (x ). E exame o hay que desaprovechar gua ocasó para acredtar que o somos del motó! E exame o mporta lo que sabes, mporta lo que parece que sabes! foemato.com Tema 1: Sucesoes de varables aleatoras Rafael Cabrejas Herasaz

22 FONEMATO Sea { X } ua sucesó de varables aleatoras, tomado X valores 1 y 0 co probabldades respectvas 1/ y 1 (1/). Demuéstrese que { X } P 0. Qué ocurre co la covergeca de la fucoes de dstrbucó de las varables que forma la sucesó? SOLUCIÓN { X } P 0 s 0 sucede que lm. Pc X 0 h 0. Es: lm. Pc X 0 h lm. bpx ( ) PX ( ) g PX ( ) 0, pues X o toma valores egatvos s 1 lm. 1/ 0 lm. PX ( ) s 1 lm / 1/ VENTANA 1 X 0 1 S 1, la probabldad del suceso X es 1/ S 1, la probabldad del suceso X es 0 De otro modo: s "C" es ua costate, para que { X} P C es sufcete (o ecesaro) que lm. E(X ) C y lm. V(X ) 0. Tema 1: Sucesoes de varables aleatoras E uestro caso C 0, sedo: E(X ) 0.P(X 0) 1.P(X 1) 1/ lm. E(X ) lm. 1 0 ; lm. V(X 1 1 ) lm. 0 V(X ) E(X ) (E(X )) 0.P(X 0) 1.P(X 1) (1/) (1/) (1/) 0 s x 0 Fucó de dstrbucó de X : F( x) P( X x) 1 1/ s0x1 T 1 s x 1 R 0 x 0 U R0s x 0 Por tato: lm. F ( x) lm. S 11/ s0x1v S s x T s x W T 1s x 1 que es la fucó de dstrbucó de ua varable degeerada que cocetra toda la masa de probabldad e el puto x 0. Rafael Cabrejas Herasaz R S foemato.com

23 FONEMATO Sea { X } ua sucesó de varables aleatoras, tomado X valores "a" y a. b ( b 0 ) co probabldades respectvas 1 (1/) y 1/. 1) Demuéstrese que { X} P a. ) Estúdese s { X} a. SOLUCIÓN 1) Demostraremos que { X} P a s demostramos que 0 sucede que lm. Pc X a h0 Es: lm. P X a lm. P(X a ) P(X a ) P(X a ) 0, pues la varable X o toma valores meores que "a" lm. PX ( ) Observa: sabemos que s "a" es ua costate, para que { X} P a es sufcete que: lm. E(X ) a ; lm. V(X ) 0 La sucesó dada { X } demuestra que las aterores codcoes o so ecesaras, pues { X} P a y s embargo lm. EX ( ) a: lm. E(X ) lm. (a b) a b a s s. b. b 1 1/ 1/ lm. 1/ 0 lm b a a. b X S b., la probabldad del suceso X es 1/ S b., la probabldad del suceso X es 0 E( X ) a.p( X a) (a.b).p( X a.b) a.(1 1) (a.b). 1 a b foemato.com VENTANA Tema 1: Sucesoes de varables aleatoras Rafael Cabrejas Herasaz

24 c h. ) { X} a s lm. E ( X a) 0 Es: lm. E (X a) lm. E X.a.X a Tema 1: Sucesoes de varables aleatoras lm. E(X ).a.e(x ) a E(X ) a b E(X ) a.p(x a) (a.b).p(x a.b) 1 1 a.(1 ) (a.b). a.a.b.b lm. a.a.b.b.a.(a b) a lm..b Por tato, la sucesó { X } o coverge a "a" e meda cuadrátca. El asuto de la covergeca e probabldad y e meda cuadrátca tedrá protagosmo estelar cuado hablemos de la cossteca de los estadístcos Acostúmbrate a usar vetaas, pues faclta mucho la lectura de lo escrto, por lo que tu profe te lo agradecerá co su carño y smpatía Pedrusco "K" Pedrusco "T" VENTANA Razoametos o cálculos que permte pasar de u lado a otro del "" o de "" Pedrusco "K" Pedrusco "T" Rafael Cabrejas Herasaz foemato.com

25 FONEMATO Sedo Z U( 11 ; ), sea { X } ua sucesó de varables aleatoras tales que X R S T 1 s 1 Z 1/ 0 s 1/ Z 1/ 1 s 1/ Z 1 1) Calcúlese la fucó de dstrbucó de X. A partr de ella, demuestre que la sucesó dada coverge e ley a cualquer varable aleatora que tome los valores 1 y 1 de modo equprobable. s Z ) Sea "W" la varable aleatora tal que W RST s 0Z 1 Pruébese que { X} L W y que { X} W- SOLUCIÓN 1) Sedo Z U( 1; 1 ), su fucó de desdad es Por tato: fz ( ) 1 /, 1 z 1 PX ( 1) P( 1Z1/ ) fz ( ). dz... ( 1)/. 1/ 1 1/ 1/ PX ( 0) P( 1/ Z1/ ) fz ( ). dz... 1/ PX ( 1) P( 1/ Z1) fz ( ). dz... ( 1)/. z 1 1/ Así, la fucó de cuatía de la varable X es: z z x PX ( x) ( 1)/. 1/ ( 1)/. La fucó de dstrbucó de X es: Es: F ( x) P( X x) lm. F ( x) lm. R S T R S T 0 s x 1 ( 1)/. s 1x 0 ( 1)/. s 0x 1 1 s x 1 U W 0 s x 1 ( 1)/. s 1x 0 ( 1)/. s0x 1V 1 s x 1 R S T foemato.com 0 s x 1 1 / s 1x 0 1 / s 0x 1 1 s x 1 que es la fucó de dstrbucó de ua varable aleatora que toma los valores 1 y 1 de modo equprobable. Tema 1: Sucesoes de varables aleatoras Rafael Cabrejas Herasaz

26 L ) Para probar que { X} W basta probar que "W" es ua varable que toma los valores 1 y 1 de modo equprobable. Es: z0 z PW ( 1 ) P( 1 Z 0 ) fz ( ). dz... 1 / PW ( 1) P( 0Z1) fz ( ). dz... 1/ Probaremos que { X } W probado que lm. E ( X W) Es: 0 c h 1 1 c h b g b g c h 0. lm. E ( X W) lm. 0 VENTANA E ( X W) 1( 1). P X 1; W 1 W/ X "W" y X o so depedetes, pues ambas está determadas por el valor de "Z" 1 1.PX 1;W 1 0 ( 1).PX 0;W 1 01.PX 0;W 11 ( 1).PX 1;W 1 11.PX 1;W 1 4.PX 1; W 1PX 0; W 1 PX 0;W 14.PX 1;W 1 4.P 1 Z 1/ ; 0 Z 1 P 1/ Z 1/ ; 1 Z 0 P1/ Z 1/ ; 0 Z 14.P1/ Z1; 1Z0 el prmer sumaado es 0, pues los sucesos 1Z 1/ y 0 Z 1 so compatbles; el cuarto sumado es 0, pues los sucesos 1/ Z 1 y 1Z 0 so compatbles P1/ Z 1/ ; 1 Z 0 P1/ Z 1/ ; 0 Z 1 la terseccó de los sucesos 1/ Z 1/ y 1 Z 0 es el suceso 1/ Z 0; la terseccó de los sucesos 1/ Z 1/ y 0 Z 1 es el suceso 0 Z 1/ 0 1/.dz.dz... P 1/ Z 0 P 0 Z 1/ / 0 foemato.com Tema 1: Sucesoes de varables aleatoras Rafael Cabrejas Herasaz

27 FONEMATO Sea { X } ua sucesó de varables aleatoras, tomado X valores 0 y co probabldades respectvas 1 1/ y 1/. Demuéstrese que { X } P 0. SOLUCIÓN Demostraremos que { X } P 0 s demostramos que 0 sucede que lm. Pc X 0 h 0 Es: lm. P X 0 lm. P(X ) P(X ) P(X ) 0, pues X o toma valores egatvos lm. PX ( ) Observa: sabemos que s "C" es ua costate, para que { X} P C es sufcete que lm. E(X ) C y lm. V(X ) 0. La sucesó dada { X } demuestra que las aterores dos codcoes o so ecesaras, pues { X } P 0 y s embargo lm. E(X ) 0 : lm. E(X ) lm. 0 E(X ) 0.P( X 0).P(X ).(1/) s s 1 1/ 1/ lm. 1/ 0 lm. 0 0 VENTANA X 0 S, la probabldad del suceso X es 1/ S, la probabldad del suceso X es 0 foemato.com Tema 1: Sucesoes de varables aleatoras Rafael Cabrejas Herasaz

28 Tema 1: Sucesoes de varables aleatoras 1.4 TEOREMA DE BERNOUILLI La frecueca relatva de u suceso coverge e probabldad a la probabldad del suceso. E efecto, llamado éxto al suceso de que como resultado del expermeto ocurra el suceso "A", s P( A) p, la varable T que expresa el úmero de "éxtos" al repetr el expermeto "" veces tee dstrbucó B( ; p), y la varable Z T/ expresa la frecueca relatva del suceso "A" al repetr el expermeto "" veces. Así, sedo 0, es: T B(;p) E(T ).pe(z ) E(T /) E(T )/ p V(Z ) p.(1 p) P Z p P Z E(Z ). Tchebychef T B(; p) V(T ).p.(1 p) V(Z ) V(T /) V(T )/ p.(1 p)/ p.( 1 p) Por tato: 0 lm. Pc Z p h lm. 0. lo que demuestra que { Z} P p. Utldad del teorema de Beroull E u expermeto aleatoro, sedo "A" u suceso tal que P( A) p, queremos determar el úmero "" de veces que debe repetrse el expermeto para que o sea superor a la probabldad de que la frecueca relatva del suceso "A" se dferece de "p" e u catdad superor a ; es decr, buscamos "" tal que P Z p e a. Obvamete, como Pc Z p h p.( 1 p)/(. ), será Pc Z p h p.( 1 p)/(. ) sempre que p.( 1 p)/.. Por ejemplo, s p 0 ', 01 ' y 001 ', será P Z 0 ' 01 ' 001 ' 0'.( 1 0')/(' 0 01.' 0 1 ) c h sempre que S descoocemos el valor de "p", acotamos el producto p.( 1 p) co la meor de sus cotas superores, que es 1/ 4 ; por tato, será Pc Z p h sempre que 1/( 4.. ) p.( 1 p)/(. ). Por ejemplo, s 01 ' y 001 ', será Pc Z p 01 ' h 001 ' s 1/( '. ' ) p.( 1 p)/( '. ' ), es decr, s 500. S g(p) p.(1 p) g '( p) 1. p es ula s p 1 /, y como g ''( 1 / ) 0, el valor de g( p) p.( 1 p) es máxmo s p 1 /, sedo g( 1 / ) 14 /. Rafael Cabrejas Herasaz foemato.com

29 FONEMATO Determíese el úmero "" de veces que debe lazarse ua moeda para que o sea feror a 0'8 la probabldad de que la frecueca relatva del suceso "cara" esté compredda etre 0'45 y 0'55. Cuátas veces debe lazarse la moeda para que o sea feror a 0'9 la probabldad de que la frecueca relatva del suceso "cara" esté compredda etre 0'49 y 0'51? SOLUCIÓN Llamado "éxto" al suceso "obteer cara", s P( éxto) 0', 5 la varable X que expresa el úmero de "éxtos" (0 ó 1) e el -ésmo lazameto tee dstrbucó de Beroull de parámetro 0'5, y la varable T X1... X que expresa el úmero de "éxtos" e "" lazametos tee dstrbucó B ( ; 0' 5 ), supuesto que X 1,..., X so depedetes. Obvamete, la varable Z T/ expresa la frecueca relatva del suceso "cara" e "" lazametos de la moeda, y se os pde que determemos "" de modo que P( 045 ' Z 055 ' ) 08 ' ; es: P(0'45Z 0'55) P Z 0'5 0'05 T B(;0'5) E(T ) 0'5. E(Z ) E(T /) E(T )/ 0'5 V(Z ) 0'5 / P Z E(Z ) 0' '8 0'05 0'05 Tchebychef T B(;0'5) V(T ) 0'5. V(Z ) V(T /) V(T )/ 0'5 / 0'5/ 0' 0' '05 0'05.0' Determemos "" de modo que P( 049 ' Z 051 ' ) 09 ' : P( 049 ' Z 051 ' ) P Z 05 ' 001 ' VZ ( P Z E( Z ) 05 ' / c ) 001 ' h ' 001 ' 001 ' 05 ' / 01 ' 05 ' ' 001 '. 01 ' Auque es meos elegate, puedes aplcar la receta del teorema de Beroull: s Z expresa la frecueca relatva del suceso "éxto" e "" expermetos de Beroull depedetes y todos co probabldad "p" de "éxto" coocda, es Pc Z p h p.( 1 p)/.. Así, es Pc Z p h p.( 1 p)/. s p.( 1 p)/.. E uestro caso es p 05 ', 005 ' y 1 08 ' 0 '. c h foemato.com Tema 1: Sucesoes de varables aleatoras Rafael Cabrejas Herasaz

30 FONEMATO 1.4. La probabldad de trástos e u aeropuerto se descooce. Para estudar la retabldad de ua stalacó hotelera e el aeropuerto, se estma dcha probabldad medate la frecueca relatva de trástos respecto al total de vajeros del aeropuerto. Determíese el úmero "" de pasajeros que debe observarse s se quere que o sea mayor que 0'05 la probabldad de que la desvacó etre la frecueca relatva de trástos y la probabldad descoocda sea superor a 0'06. SOLUCIÓN Llamado "éxto" al suceso de que u pasajero esté e trásto, s P( éxto) p, la varable X que expresa el úmero de "éxtos" (0 ó 1) co el -ésmo pasajero tee dstrbucó de Beroull de parámetro "p", y la varable T X1... X que expresa el úmero de "éxtos" etre "" pasajeros tee dstrbucó B( ; p), supuesto que X 1,..., X so depedetes. Obvamete, la varable Z T/ expresa la frecueca relatva de pasajeros e trásto etre "" pasajeros, y se os pde que determemos "" de modo que Es: c h P Z p 006 ' 005 ' T B(;p) E(T ).pe(z ) E(T /) E(T )/ p V(Z ) P Z p 0'06P Z E(Z ) 0'06 0'06 Tchebychef T B(; p) V(T ).p.(1 p) V(Z ) V(T /) V(T )/ p.(1 p)/ p.(1 p)/ p.(1 p) 0'05 0'06 0'06.0'05 como descoocemos "p", o hay más remedo que acotar el producto p.(1 p) medate la meor de sus cotas superores, que es 1/4, pues p (0;1) es p.(1 p) 1/4 VENTANA 1/4 p.(1 p) p.(1 p) '06.0'05 0'06.0'05 0'06.0'05 Auque es meos elegate, puedes aplcar la receta del teorema de Beroull: s Z expresa la frecueca relatva del suceso "éxto" e "" expermetos de Beroull depedetes y todos co probabldad "p" de "éxto" descoocda, es Pc Z p h p.( 1 p)/.. Así, como p.( 1 p) 1/ 4, es: Pa Z p f p.( 1 p)/. 1/( 4.. ) s 1 /( 4.. ) E uestro caso es 006 ' y 005 '. Tema 1: Sucesoes de varables aleatoras Rafael Cabrejas Herasaz foemato.com

31 1.5 TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE Se dce que la sucesó de varables aleatoras { X } verfca el teorema Cetral del Límte s la correspodete sucesó de varables tpfcadas coverge e ley a la varable N( 0; 1 ), o lo que es gual, la sucesó { X } coverge e ley a la ormal co meda y varaza las de X. Hay que apreder a usar las vetaas Tema 1: Sucesoes de varables aleatoras Está loco! EL PROFESOR QUE CORRIGE EL EXAMEN Todos los profesores so de la msma opó: corregr exámees o gusta a ade, o es trabajo agradable efretarse por -ésma vez a la tarea de leer y putuar u motó de folos escrtos por prcpates que e la mayoría de los casos o tee Me quto el sombrero! dea y sólo escrbe barbardades y estupdeces sobre el asuto de sota, caballo y rey que por j-ésma vez cae e exame. Por eso, cuado u profe se seta a corregr exámees o suele estar de bue humor. Tu exame Así las cosas, lo que escrbamos o dbujemos e exame debe dferecaros postvamete de los demás, y para cosegur tal dferecacó y que al profe se le caga los pataloes, basta escrbr o dbujar pesado que o se lo sabe y por tato hay que llevarle de la mao, explcádole todos los aspectos más relevates de las coexoes euroales que establezcamos e cada caso. Rafael Cabrejas Herasaz foemato.com

32 1.6 TEOREMA DE LINDEBERG-LEVY Sea { X } ua sucesó de varables aleatoras depedetes, todas co la msma dstrbucó de probabldad, co la msma meda y la msma varaza (ambas ftas). Sea { S } la sucesó de varables aleatoras tales que S1 X1 ; S X1 X ;... ; S X1 X... X ;... Ldeberg-Levy demostraro que la sucesó { S } verfca el teorema Cetral del Límte; es decr: ( S E( S ))/ V( S ) L s N( 0; 1 ), o lo que es gual: S L l q N( E( S); V( S)) Esto sgfca que cuado "" es grade ( 30 ), la dstrbucó de probabldad de la varable S X1 X... X puede aproxmarse medate la ormal co meda y varaza las de S, que so: E(S ) E X. ; V(S ) V X. 1 1 E(X ), 1,,..., V(X ), 1,,..., Por tato, s "" es grade ( 30 ), la dstrbucó de probabldad de la varable S X1 X... X puede aproxmarse medate la N(. ;. ). També verfca el teorema Cetral del Límte la sucesó { X }, sedo o sea: X ( X1 X... X)/ Meda artmétca de X 1,..., X L X N(E(X ); V(X )) N( ; / ) E(X ) E. X ; V(X ) V. X E(X ), 1,,..., V(X ), 1,,..., El que así sea las cosas es estupedo, pues a partr de ahora será cotables las veces que trabajaremos co la suma o la meda artmétca de u elevado úmero de varables aleatoras depedetes, todas co gual dstrbucó de probabldad, la msma meda y la msma varaza. foemato.com Tema 1: Sucesoes de varables aleatoras Rafael Cabrejas Herasaz

33 FONEMATO El úmero de muertos cada muto a causa del hambre e ua regó alejada de uestro dílco prmer mudo tee dstrbucó de Posso de parámetro 40, co depedeca uos mutos de otros. Calcúlese la probabldad de que durate el día de Nochebuea muera de hambre o meos de 8800 persoas e esa regó. Qué cota de muertos se superará ese día co probabldad 0'95? SOLUCIÓN S X P( 40 ) expresa el úmero muertos durate el -ésmo muto del día de Nochebuea, la varable X X1... X1440 expresa el úmero de muertos e los 1440 mutos de ese día, y X X1... X1440 P( 57600), pues s las varables depedetes X 1,...,Xk tee dstrbucó de Posso de parámetros respectvos 1,..., k, la suma de ellas tee dstrbucó de Posso de parámetro k. La fucó de probabldad de X P( ) es: PX ( x) e x / x!, x0, 1,... Así, la probabldad de que el día de Nochebuea muera de hambre o meos de 8800 persoas e esa regó, es: x P(X 8800) 1P(X8799) 1 x0 Naturalmete, se os le hela la sagre al pesar e calcular ta espatosa suma, por ello estamos eormemete agradecdos a Ldeberg-Levy y rectamos co etusasmo su dulce latgullo: como "X" es suma de u elevado úmero de varables aleatoras depedetes, todas co la msma dstrbucó de probabldad, co la msma meda y la msma varaza, podemos aproxmar la dstrbucó de probabldad de "X" medate la ormal co meda y varaza las de "X", que so E( X) y V( X) (s X P( ) es E(X) V(X) ). Así: Tema 1: Sucesoes de varables aleatoras e x! P(X 8800) P N(57600; ) 8799'5... VENTANA CORRECCIÓN POR CONTINUIDAD Al aproxmar la dstrbucó dscreta X P(57600) medate la N(57600; ), cosderamos que la "masa putual" que tee X P(57600) e el puto 8800 se correspode co l a " masa cotua" que tee la N(57600; ) e el tervalo (8799'5;8800'5). Como la probabldad del suceso X 8800 debe sumarse, al trabajar co la ormal cosderamos la masa de probabldad que hay a la derecha del puto 8799'5. Hay que determar "c" de modo que P( X c) 095 ' : PX ( c) PN( 57600; 57600) c 0' 5 F d PN( ; ) c ' I ' c ' ' HG K J Rafael Cabrejas Herasaz foemato.com

34 FONEMATO 1.6. Co depedeca uos días de otros, la aleatora demada dara de vo (e ltros) e u bar tee dstrbucó uforme e el tervalo ( 0; 40 ). Calcúlese la probabldad de que e 18 días se veda más de 6370 ltros de vo. SOLUCIÓN S X U( 0; 40 ) expresa la aleatora demada de vo el -ésmo día, la varable X X1 X... X18 expresa la aleatora veta total durate 18 días. Se os pde la probabldad del suceso X 6370, lo que es bastate mposble s se descooce la dstrbucó de probabldad de "X"... y `por eso frmamos co gusto para que a Ldeberg-Levy les haga u moumeto precoso e su pueblo y colgamos e Facebook su ldo latgullo: como "X" es suma de u elevado úmero de varables aleatoras depedetes, todas co la msma dstrbucó de probabldad, co la msma meda ( EX ( ) ( 0 40)/ 30 ) y la msma varaza ( VX ( ) ( 40 0) / 1 100/ 3), podemos aproxmar la dstrbucó de probabldad de "X" medate la ormal co meda y varaza las de "X", que so: Así: 18 F EX ( ) E H G I X K J EX ( ) 18. EX ( ) VX ( ) V X VX ( ) 18. VX ( ) 1800/ 3 F H G I K J E exame hay que dejar escrto TODO lo relevate que pase por el cerebro! 1 P(X 6370) P N(5460; 1800/3) 6370 P N(0;1) /3 foemato.com Tema 1: Sucesoes de varables aleatoras Rafael Cabrejas Herasaz

35 FONEMATO Al lazar u dado 500 veces gaamos 100 $ por puto s sale cara par, y perdemos 100 $ por puto s sale cara mpar. Calcúlese la probabldad de gaar meos de 3000 $. SOLUCIÓN La fucó de probabldad o cuatía de la varable X que expresa el resultado del -ésmo lazameto del dado es: x PX ( x) 16 / 16 / 16 / 16 / 16 / 16 / S gaamos 100 $ por puto s sale cara par y perdemos 100 $ por puto s sale cara mpar, sedo Z la varable que expresa el aleatoro beefco obtedo e el -ésmo lazameto, es claro que X Z Tema 1: Sucesoes de varables aleatoras E E E E E E Por tato, la fucó de cuatía de la varable Z es: z PZ ( z) 16 / 16 / 16 / 16 / 16 / 16 / Obvamete, el beefco obtedo tras lazar el dado 500 veces está expresado por la varable Z Z1 Z... Z500. Se os pde la probabldad del suceso Z 3000, lo que es bastate mposble s calcular prevamete la dstrbucó de probabldad de la varable "Z". Por eso, como es de be acdos ser agradecdos, postulamos para que Ldeberg- Levy sea elevados a los altares por ser autores del más delcado latgullo: como "Z" es suma de u elevado úmero de varables aleatoras depedetes, todas co la msma dstrbucó de probabldad, co la msma meda y la msma varaza, podemos aproxmar la dstrbucó de probabldad de "Z" medate la ormal co meda y varaza las de "Z", que so: E(Z) E Z E(Z ) 500.E(Z ) E(Z ) V(Z) V Z V(Z ) 500.V(Z ) VENTANA V(Z ) E(Z ) (E(Z )) E(Z ) / Rafael Cabrejas Herasaz foemato.com

36 Por tato: P(Z 3000) P N(5000; ) 950 VENTANA CORRECCIÓN POR CONTINUIDAD Sedo 900 y 3100 los valores ateror y posteror a 3000 que puede tomar "Z", cosderamos que la "masa putual" que tee "Z" e el puto 3000 se correspode co la "masa cotua" que tee la N(5000; ) e el tervalo (950;3050). Por tato, como la probabldad del suceso Z 3000 o debe sumarse, al trabajar co la ormal sólo cosderamos la masa de probabldad que hay a la zquerda del puto 950 P N(0;1) A tu profe le pasa como a t: cuato más clarto le explcas las cosas, más coteto se poe. foemato.com Apuesto u brazo a que e este motó de exámees cas ade me lo explca todo clarto! Tema 1: Sucesoes de varables aleatoras Rafael Cabrejas Herasaz

37 FONEMATO Co depedeca uos de otros, el tempo de espera de u clete e la cola de u baco tee dstrbucó expoecal de parámetro 0' 05. Calcúlese la probabldad de que el tempo medo de espera de cletes sea superor a 1, y la probabldad de que el tempo medo de espera de 100 cletes sea superor a 1. SOLUCIÓN S X Exp.( 0' 05 ) expresa el aleatoro tempo de espera del -ésmo clete, el aleatoro tempo medo de espera de cletes está expresado por la varable W Z/, sedo Z X1 X. Es: P( W 1) P(Z/ 1) P(Z 4) Tema 1: Sucesoes de varables aleatoras 0'05.z 1.e -0'05.z.dz... 0' () Como X1 Exp.(0'05) G(1;0'05) y X Exp.(0'05) G(1;0'05) so depedetes, etoces Z X X G(1 1;0'05) G(;0'05); 1 así, la desdad de "Z" es f(z) 0'05.z 1.e -0'05.z, z 0 () El aleatoro tempo medo de espera de 100 cletes está expresado por la varable X T/ 100, sedo T X1... X100. Es: P(X 1) P(T/100 1) P(T 100) 100 0'05100.t 1001.e 0'05.t.dz fumable (100) T X... X G(100;0'05); así, la desdad de "T" es g(t) 0'05.t 1001.e 0'05.t, t 0 (100) Latgullo: como "X" es la meda artmétca de u elevado úmero de varables aleatoras depedetes, todas co la msma dstrbucó de probabldad, co la msma meda y la msma varaza, segú Ldeberg-Levy, podemos aproxmar la dstrbucó de probabldad de "X" medate la ormal co meda y varaza las de "X", que so: E(X) E 1. X 1. E( X 1 ) E(X ) 0 ; V(X ) V(X) V 1 1. X. V(X ) Por tato: PX ( 1) PN( 0; 4 ) 1 PN( 0; 1) 1 0 d e 0' 3085 j Rafael Cabrejas Herasaz foemato.com VENTANA

38 FONEMATO Co depedeca uos días de otros, el úmero de casos de corrupcó que se descubre cada día tee dstrbucó de Posso de parámetro 4. Calcúlese la probabldad de que el úmero medo de casos de corrupcó e dos días sea superor a 4'5, y la probabldad de que el úmero medo de casos de corrupcó e 100 días sea superor a 4'5, SOLUCIÓN S X P( 4 ) expresa el úmero de casos de corrupcó que se descubre el - ésmo día, el aleatoro úmero medo de casos e días está expresado por la varable W Z/, sedo Z X1 X. Es: P( W 4 '5) P(Z/ 4 '5) P(Z 9) 9 e 8.8z 1 P(Z 9) '834 z! z0 Como X1 P(4) y X P(4) so depedetes, etoces e 8.8z Z X1 X P(4 4) P(8); por tato: P(Z z), z 0,1,... z! El úmero medo de casos e 100 días está expresado por X T/ 100, sedo T X1... X100. Es: P(X 4 '5) P(T/100 4 '5) P(T 450) 450 e t 1P(T450) 1 fumable t! t0 e 400 t T X X100 P(400); así: P(T t), t 0,1,... t! Latgullo: como "X" es la meda artmétca de u elevado úmero de varables aleatoras depedetes, todas co la msma dstrbucó de probabldad, co la msma meda y la msma varaza, segú Ldeberg-Levy, podemos aproxmar la dstrbucó de probabldad de "X" medate la ormal co meda y varaza las de "X", que so: E(X) E 1. X 1. E( X 1 ) X P(4) E(X ) 4 y V(X ) foemato.com 1 V(X) V 1 1. X. V(X ) ' Por tato: PX ( 45 ' ) PN( 4; 004 ' ) 45 ' PN( 0; 1) 45 ' 4 d e... 0 ' j Tema 1: Sucesoes de varables aleatoras Rafael Cabrejas Herasaz

39 FONEMATO Ua máqua ecesta para su fucoameto ua determada válvula de la que hay e stock dos tpos A y B, e catdades respectvas 0 y 300. S embargo, s empezamos a utlzar u tpo de válvula, ya o se puede mezclar gua del otro a o ser que paremos la máqua. La duracó (e mutos) de cada válvula de tpo A es expoecal de meda 5, metras que la duracó de cada válvula del tpo B tee se dstrbuye (també mutos) de modo uforme e el tervalo ( 06 ; ). Además, se cosdera que la duracó de cada válvula es depedete de la duracó de las demás. Ua vez averada la válvula que hace fucoar la máqua, ésta es susttuda medatamete por otra del msmo tpo modo automátco. Cuál es la probabldad de que la máqua fucoe terrumpdamete al meos 14'5 horas s trabaja co válvulas de tpo A? Y s trabaja co válvulas tpo B? SOLUCIÓN S hay 0 válvulas del tpo A y X Exp.( 0' ) expresa la duracó de la - ésma, el tempo de fucoameto terrumpdo de la máqua está expresado por la varable X X1... X0, sedo: 0 0 E(X) E X. E( X ) X Exp.P(0') E(X ) 5 y V(X ) V(X) V X V(X ) S hay 300 válvulas del tpo B y Zk U( 0; 6 ) expresa la duracó de la k-ésma, el tempo de fucoameto terrumpdo de la máqua está expresado por la varable Z Z1... Z300, sedo: E(Z) E Zk E(Z k) k1 k1 Z U(0;6) E(Z ) (0 6)/ 3 y V(Z ) (6 0) /1 3 k k k V(Z) V Zk V(Z k) k1 k1 Latgullo: tato "X" como "Z" so suma de u elevado úmero de varables aleatoras depedetes, todas co la msma dstrbucó de probabldad, co la msma meda y la msma varaza; e cosecueca, segú Ldeberg-Levy, podemos aproxmar la dstrbucó de probabldad de "X" medate la ormal co meda y varaza las de "X", y la dstrbucó de probabldad de "Z" podemos aproxmarla medate la ormal co meda y varaza las de "Z". Así: d d PX ( 14' 5. 60) PN( 1100; 5500) 14' PZ ( 14' 5. 60) PN( 900; 900) 14' Tema 1: Sucesoes de varables aleatoras Rafael Cabrejas Herasaz foemato.com

40 FONEMATO El tempo (e horas) que tarda ua máqua e realzar u cclo de trabajo tee desdad f( x). x, 0 x 1. Calcúlese la probabldad de que la máqua tarde más de 40 horas e realzar 45 cclos. SOLUCIÓN S X expresa el tempo empleado e el -ésmo cclo, es: 1 1 E( X ) x.f(x).dx. x.dx V(X ) E(X ) (E(X )) E(X 3 ) 1 x.f(x).dx. x.dx 0 0 El tempo e realzar 45 cclos F está expresado por X X1... X45, sedo: EX ( ) E X. EX ( ). H G 45 I K J F VX ( ) V X VX ( ). H G 45 I K J supoedo que X 1,...,X 45 so depedetes Latgullo: como "X" es suma de u elevado úmero de varables aleatoras depedetes, todas co la msma dstrbucó de probabldad, co la msma meda y la msma varaza, segú Ldeberg-Levy, podemos aproxmar la dstrbucó de probabldad de "X" medate la ormal co meda y varaza las de "X". Por tato: PX ( 40) PN( 30; 5/ ) d foemato.com Al corregr u exame me ecata que se me caga los pataloes y verme mpeldo a qutarme el sombrero exame Tema 1: Sucesoes de varables aleatoras Rafael Cabrejas Herasaz

41 FONEMATO Determe el percetl 90 de la varable X 30 y compare el resultado co el obtedo medate la aproxmacó de Ldeberg-Levy. SOLUCIÓN La tabla de la fucó de dstrbucó de la varable 30 dca que el puto "c" tal que P( 30 c) 09 ' es c 40'. 3 S X 1 y X1,..., X30 so depedetes, sabemos que sedo X X... X E(X) 30 ; V(X) 60 y pues E( ) y V( ).. Segú Ldeberg-Levy, podemos aproxmar la dstrbucó de probabldad de X c 30 medate la ormal co meda y varaza las de "X". Por tato: 30 P( c) P N(30; 60 ) c 0'9 P N(0;1) c 30 0'9 60 c 30 1'8 c 39'91 60 foemato.com Para darte el aprobado, tu profe de Estadístca o te pedrá que hagas sombra a Ldeberg... le bastará que acredtes o chuparte el dedo e relacó a los asutos fudametales de la asgatura Tema 1: Sucesoes de varables aleatoras Rafael Cabrejas Herasaz

42 FONEMATO Sea X1,..., X100 varables depedetes, todas co la msma dstrbucó de probabldad, co meda 75 y varaza 5. 1) Utlícese la desgualdad de Tchebychef para acotar la probabldad de que su meda artmétca o dfera de 75 e más de 6. Compárese el resultado co el obtedo medate la aproxmacó de Ldeberg-Levy. ) Medate la desgualdad de Tchebychef, determíese la cota que co probabldad o feror a 0'75 o es superada por la desvacó de la meda artmétca respecto a 75. Compárese el resultado co el obtedo medate la aproxmacó de Ldeberg-Levy. SOLUCIÓN 1) Sedo X ( X1... X100 )/ 100, es: E(X) E 1. X 1. E(X 1 ) E(X ) 75 y V(X ) 5 Tema 1: Sucesoes de varables aleatoras V(X) V 1 1. X. V(X ) ' Segú Tchebychef: c h c h VX ( ) P X75 6 P XE( X) ' 0' Segú Ldeberg-Levy, podemos aproxmar la dstrbucó de probabldad de "X" medate la ormal co meda y varaza las de "X". Por tato: c h e j F HG c 75 h 0' 75. P X75 6 P N( 75; ' 5) 75 6 P N( 0; 1) ) Debemos determar "c" de modo que P X c 6 5 ' V(X) P X 75 c '5 P X E(X) c1 1 0'75c 3 c c Tchebychef Aproxmado la dstrbucó de probabldad de "X" medate la ormal co meda y varaza las de "X": F c h e j F P X75 c P N( 75; ' 5) 75 c P N c I PN c HG K J I ( 01 ; ) 075 ' ( 0; 1) HG K J 0875 ' 5 ' 5 ' c 115 ' c 175 ' 5 ' Rafael Cabrejas Herasaz foemato.com I K J 1