Aproximando la iluminación por módems

Transcripción

1 Aproimado la ilumiació por módems A.L. Bajuelos S. Caales, G. Herádez A. M. Martis Resume E este artículo obteemos solucioes aproimadas a ua geeralizació del problema clásico de ilumiació de polígoos. E lugar del foco de luz habitual, cosideramos u dispositivo ialámbrico cuya señal puede atravesar u determiado úmero úmero k de paredes. Estos dispositivos so desigados por k-módems. Presetamos u algoritmo para costruir la regió poligoal cubierta por u k-módem y aalizamos co técicas metaheurísticas el problema de miimizar el úmero de k-módems, situados e vértices, que so ecesarios para cubrir u polígoo de lados. Se obtiee resultados para k = 2 y k = 4 tato e polígoos geerales como ortogoales. 1 Itroducció La ilumiació y los problemas de visibilidad ha sido siempre áreas de estudio e Matemáticas e Iformática, especialmete e Geometría Computacioal. La defiició clásica de visibilidad asegura que dos putos e y de u cojuto D e R 2 so visibles si el segmeto y está completamete coteido e D (ver [7]). Si embargo, el desarrollo de iteret y de las redes ialámbricas ispira uevas ivestigacioes e este área de la Geometría Computacioal, como se muestra e [3, 4, 8]. Recietemete Aichholzer y otros defie e [5] el problema de ilumiació co módem para regioes poligoales. Eiste dos factores clave a la hora de coectar u ordeador a ua red ialámbrica: la distacia al módem ialámbrico y el úmero de paredes que separa uestro ordeador de dicho módem. Así, se dice que u puto e u polígoo P está cubierto o ilumiado por u k-módem w e P si el segmeto w cruza a lo sumo k paredes (aristas) de P, (ver figura 1). Etoces podemos platear el siguiete problema: Dado u polígoo P co vértices, cuál es el úmero míimo de k-módems (situados sobre putos de P ) a veces ecesarios y siempre suficietes para cubrir P? Es fácil observar que (i) para el caso e que k = 0 este problema se reduce al problema clásico de la Galería de Arte y que (ii) para k = bastaría u úico -módem situado e cualquier puto para cubrir P (solució trivial). E [5] se obtiee cotas combiatorias ajustadas de este problema para polígoos moótoos, quedado abierto el problema para polígoos geerales y ortogoales. Partiedo del presupuesto de que este problema es N P-duro (como muchas variates de los problemas de Galería de Arte) tiee setido abordarlo aplicado técicas de resolució aproimadas. Este trabajo esta orgaizado de la siguiete forma: e la secció 2 se preseta dos algoritmos que calcula la regió cubierta por u k-módem situado e u puto de u polígoo co lados. Uo para k fijo y otro que costruye todas las regioes de visibilidad (cubiertas) para todos los posibles valores de k (0 k ). E la secció 3 se discute las técicas metaheurísticas diseñadas para resolver de forma aproimada el problema de la miimizació del úmero de k-módems, basadas e u método Parcialmete subvecioado por los proyectos MEC MTM , Acció Itegrada HP , CEOC co Programa POCTI, FAC, cofiaciado por EC fodos FEDER y apoyado por la beca FCT SFRH/BD/19138/2004 Departamet of Mathematics & CEOC. Uiversity of Aveiro. leslie@ua.pt Escuela Técica Superior de Igeiería, ICAI. Uiversidad Potificia Comillas de Madrid. scaales@dmc.icai.upcomillas.es Facultad de Iformática. Uiversidad Politécica de Madrid. gregorio@fi.upm.es Departamet of Mathematics & CEOC. Uiversity of Aveiro. aa.martis@ua.pt

2 híbrido que utiliza tato algoritmos geéticos como simulated aealig. Presetamos a cotiuació e la secció 4 los resultados eperimetales obteidos para k = 2 y k = 4. Se realizó u estudio detallado del úmero míimo de k-módems que produce e media dichas técicas sobre cojutos de polígoos geerados aleatoriamete distiguiedo dos casos: polígoos simples arbitrarios ó geerales y polígoos ortogoales. Los resultados obteidos muestra que, aproimadamete y e media, el úmero de 2-módems ecesarios para cubrir u polígoo P co lados es 26.10, siedo si cosideramos 4-módems. Si los polígoos so ortogoales, los valores obteidos so y 57.47, respectivamete. Figura 1: Zoa cubierta por u 2-módem e u polígoo co 100 vértices 2 Regió de visibilidad de u k-módem Sea P u polígoo simple co vértices {v 0, v 1,..., v 1 }, y u puto de P dode se ha ubicado u k-módem. Costruiremos la regió ilumiada desde atravesado a lo sumo k paredes. Esta regió tedrá zoas del iterior de P y zoas del eterior. Por razoes de simplicidad cosideramos P coteido e ua caja rectagular R y costruiremos la regió visible e el iterior de la caja. 2.1 Regió visible para k fijo E primer lugar describimos u algoritmo que costruye la regió visible Q desde u k-módem situado e u puto, co k fijo. Supoemos que está e posició geeral y que los vértices de P está ordeados e setido positivo. Los pasos del algoritmo so: 1. Haz de semirrectas desde. Se traza las semirrectas co orige e y que pasa por los vértices críticos de P para. U vértice v es crítico para si los vértices aterior y posterior a v se ecuetra e el mismo semiplao respecto de v, (ver figura 3(a)). Se ordea agularmete desde estas semirrectas. 2. Trazado del borde de la regió visible Q (a) Primero detectamos u puto z e ese borde. Cosideramos la semirrecta horizotal (a la derecha de ) y detectamos el puto de corte z co P tras atravesar k paredes. E este puto z comezamos a trazar el borde de Q e el setido positivo de P. (Si se alcaza el rectágulo R si llegar a atravesar k paredes, se toma el puto de corte co R como puto z). (b) Si k es par se avaza por P (e setido positivo) hasta alcazar la siguiete semirrecta del haz. Si k es impar se retrocede por el borde de P hasta alcazar la siguiete semirrecta. (c) Si t es el puto de corte co dicha semirrecta, se distigue dos casos: (i) t está más cerca de que el vértice crítico, e cuyo caso se prosigue por el borde de P y (ii) t está más lejos de que el puto crítico. Etoces se avaza por la semirrecta, o bie hacia el puto crítico (casos 1 y 2), o bie e setido cotrario (casos 3 y 4) segú se idica e la figura 2. El siguiete vértice del polígoo de visibilidad Q es, o bie el puto crítico (casos 1 y 2), o bie el segudo puto posterior de corte de la semirrecta co P.

3 3. Se cotiua la costrucció del borde de Q siguiedo la ueva arista hasta alcazar la siguiete semirrecta. Y se repite el aálisis aterior. Se prosigue hasta cerrar Q, polígoo de visibilidad desde el k-módem. Complejidad del algoritmo. La complejidad de este algoritmo proviee del paso de ordeació de las semirrectas e tiempo O( log ). La costrucció posterior del polígoo Q se realiza e tiempo lieal, pues cada lado de P sólo iterviee O(1) veces. Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4 Figura 2: Casos posibles para k fijo 2.2 Regioes visibles para k variable Si se desea calcular la regió visible desde co varios k-módems y diferetes valores de k, el algoritmo aterior permite calcular cada uo e O( log ). Así si se quiere la regió k-visible para t valores diferetes de k, el coste sería O(t log ). Si embargo, se puede calcular todas las regioes de visibilidad desde para todos los posibles valores de k e tiempo O( 2 ) co el algoritmo cuyos pasos se describe a cotiuació: 1. Trazar todas las semirrectas co orige e, y que pasa por los vértices críticos (ver figura 3(a)). Determiar los putos de itersecció de las semirrectas co cada uo de los lados del polígoo P módem vértice crítico 0 Caja eterior (a) (b) Figura 3: (a) Semirrectas y uo de los vértices críticos de P ; (b) Etiquetado de segmetos y ruta para la costrucció de la regió cubierta por u 2-módem 2. Las semirrectas divide cada lado del polígoo e uo o varios segmetos. Etiquetamos cada segmeto co el úmero de paredes atravesadas por u rayo que partiedo de alcace el segmeto, (ver figura 3(b)). 3. La regió visible desde co u k-módem se costruye coectado los segmetos co etiqueta k, utilizado para ello las semirrectas icidetes e sus etremos. Si e uo de los sectores determiado por dos semirrectas cosecutivas o hay segmeto de etiqueta k, la coeió se efectúa por el borde de la caja que cotiee al polígoo y evidetemete si o hay igú

4 segmeto co etiqueta k toda la caja que cotiee al polígoo está ilumiada. E la figura 3(b) podemos ver los segmetos etiquetados y la coeió de los segmetos etiquetados co u 2, para costruir la regió cubierta por u 2-módem. Complejidad del algoritmo. Cada semirrecta que parte del módem puede cortar a todos los lados del polígoo, por lo que el úmero total de etiquetas de los segmetos es cuadrático. Por tato, la fase de etiquetado tiee complejidad O( 2 ). La costrucció del polígoo de visibilidad para cada valor de k fijo se puede hacer e tiempo lieal usado el algoritmo descrito e las secció 2.1, por lo que la costrucció de todos los polígoos de k-visibilidad se efectúa e tiempo cuadrático. 3 Técicas Metaheurísticas U cojuto recubridor de k-módems vértice G es u subcojuto de vértices de P tal que r G V is(r) = P, siedo V is(r) la regió de visibilidad del módem r. Desarrollamos ua técica metaheurística híbrida que cojuga los algoritmos geéticos y la heurística simulated aealig, para determiar el meor cojuto de k-módems vértice recubridores. Segú se muestra e [1], después de utilizar ua técica heurística sobre u problema de optimizació, (e ese caso el problema estudiado era el Miimum Verte Guard Set, para el cálculo del úmero míimo de luces que ilumia u polígoo), es preciso e alguas ocasioes aplicar u postproceso que permita afiar más la solució obteida. Basádoos e esta eperiecia desarrollamos para el problema ua técica híbrida, que fudametalmete recurre a u algoritmo geético pero dode además de los operadores clásicos de cruce y mutació, se añade u uevo operador basado e la heurística simulated aealig (SA). Básicamete el proceso cosiste e aplicar SA tras utilizar el operador de cruce, co el objetivo de refiar la solució que produce dicho operador. Tras esta operació se puede aplicar el operador de mutació correspodiete al algoritmo geético. Veamos a cotiuació la adaptació de simulated aealig a uestro problema y después eplicaremos la adaptació geeral del algoritmo geético. 3.1 Simulated Aealig La pricipal vetaja de la heurística simulated aealig (SA) co respecto a otros métodos de aproimació es su capacidad para evitar quedar atrapada e u máimo ó míimo local. El método emplea ua búsqueda aleatoria que o sólo acepta los cambios que mejora la fució objetivo, sio que tambié acepta cambios que la empeore. Estos últimos se acepta co u cierta probabilidad que depede de u parámetro de cotrol llamado temperatura T, que dismiuye e cada iteració segú u cojuto de reglas. Para resolver u problema de optimizació co la estrategia SA, es ecesario idetificar lo siguiete: (i) Parámetros Específicos: espacio de solucioes, fució objetivo, vecidad de cada solució y solució iicial; (ii) Parámetros Geerales: temperatura iicial (T 0 ), regla de dismiució de la temperatura, úmero úmero de iteracioes para cada valor de T, (N(T )) y codició de parada. Describimos a cotiuació la adaptació de estos parámetros a uestro problema Parámetros Específicos Espacio de solucioes. El espacio de solucioes S está formado por los subcojutos de vértices de P, dode se coloca los k-módems. Represetamos S como S = {S 1, S 2,..., S m }, dode S i = v0v i 1 i... v 1 i co i = 1,..., m. De esta maera cada cadidato S i está represetado por ua cadea de logitud, dode vj i co j {0,..., 1} represeta al vértice v j P y su valor es 0 ó 1. Si vj i = 1 etoces hay u k-módem e dicho vértice, siedo vj i = 0 e caso cotrario. Fució Objetivo. La fució objetivo f : S N asiga a cada elemeto de S el cardial del correspodiete cojuto de k-módems.

5 Vecidad de cada solució. Segú SA, para cada posible solució S i S, se obtiee u vecio S i+1 S, que será el elemeto a aalizar e la siguiete iteració. Aquí, dado S i = v0v i 1 i... v 1, i geeramos u úmero aleatorio atural t [0, 1] y procedemos de la siguiete maera: (a) si vt i = 1 poemos vt i+1 = 0, aceptado la ueva solució si es válida y rechazádola e caso cotrario; (b) si vt i = 0 poemos vt i+1 = 1, aceptado esta ueva solució co u cierta probabilidad, pues e este caso empeoramos la solució. Solució Iicial. U cojuto de k-módems situados e los vértices de P es uestra solució iicial S 0. Se ha tomado la solució obteida por el algoritmo geético tras aplicar el operador de cruce como se eplica e la secció Parámetros Geéricos Basádoos e los estudios realizados para u problema de ilumiació co características similares a las que tratamos e este artículo, hemos cosiderado los siguietes parámetros para uestro algoritmo: Temperatura Iicial (T 0 = 4 ). Valor depediete del úmero de vértices del polígoo. Regla de dismiució de la temperatura. Se cosidera la regla defiida por T k+1 = T 0 e k, (very fast simulated aealig (VFSA) decrease). Número de iteracioes para cada temperatura, N(T k ) = T k. Esta elecció del úmero de iteracioes garatiza que el úmero de iteracioes es mayor a temperaturas altas, que es solució se ecuetra más alejada del óptimo. Codició de termiació. E teoría, el proceso de búsqueda se debe deteer cuado se llegue a la cogelació, es decir, cuado T k = 0. No obstate, es posible deteer el proceso para ua temperatura T f mayor que 0, si que ello afecte a la calidad de la solució. Por ejemplo se puede parar la búsqueda cuado o se obtega ya igua mejora e la solució. Esta falta de mejora se puede defiir de varias maeras, pero ua solució útil es la siguiete: deteer el proceso cuado o se ecuetre igua mejora de la solució e la última serie cosecutiva de las temperaturas y además el porcetaje de aceptació de uevas solucioes se sitúa por debajo de u valor (pequeño) ε%. E este setido, la codició de termiació elegida e uestro algoritmo cosiste e deteer la búsqueda cuado T f 0, 005, ó cuado durate las últimas l = 3000 series cosecutivas de temperaturas o se ha obteido igua mejora e la solució y el porcetaje de aceptació de uevas solucioes se sitúa por debajo del ε = 2.0%. 3.2 Algoritmo Geético Los Algoritmos Geéticos (AG) so técicas que simula los procesos de evolució biológica e la aturaleza (véase por ejemplo [6]). Para resolver u problema de optimizació co AG es ecesario idetificar los siguietes parámetros: ua represetació de las posibles solucioes llamadas idividuos, para el problema (codificació); ua població iicial; ua fució objetivo adecuada; operadores geéticos (selecció, cruce y mutació) y diversos valores de los parámetros utilizados por el algoritmo geético (por ejemplo, el tamaño de la població, la probabilidad de los operadores geéticos, la evaluació de la població y la codició de fializació). La adaptació de todos estos parámetros a uestro problema se eplica detalladamete e [1]. U idividuo I está represetado por ua cadea I = g 0 g 1... g 1, dode cada g i represeta al vértice v i de P y su valor puede ser 0 ó 1. Si g i = 1, teemos situado u k-módems e v i, siedo g i = 0 e caso cotrario. El tamaño de la població que cosideramos es el úmero de vértices cócavos, (es decir co u águlo iterior superior a π) de P, y si R = {u 0, u 1,..., u r 1 } es dicho cojuto de vértices cócavos, para geerar la població iicial aplicamos el siguiete proceso: i {0,..., r 1}, si colocado u k-módem e cada vértice de R\{u i } cubrimos todo el polígoo, admitimos R\{u i } como idividuo de la població, tomado todos los vértices de R como idividuo e caso cotrario. La fució objetivo se defie por f(i) = 1 j=0 g j y para los operadores de selecció y cruce usamos el método de selecció por toreo y ua variate de cruce e u puto co probabilidad p c = 80%, respectivamete. Tras aplicar el operador de cruce

6 a dos idividuos aplicamos co ua probabilidad p sa = 10% la heurística SA al idividuo obteido para obteer u refiamieto de la solució. El proceso de mutació que se aplica e el algoritmo es el cambio co ua probabilidad p m = 5% de cada dígito biario de 0 a 1 ó viceversa. La evaluació de la població se obtiee tomado el meor de los valores obteidos por la fució objetivo f e cada uo de los idividuos, fializado el algoritmo cuado dicha fució o mejora e 500 geeracioes. 4 Resultados Eperimetales La implemetació de uestro algoritmo se hizo e C/C++ (usado MS Visual Studio 2005) co CGAL [2], realizado las pruebas e u PC Itel(R) Core (TM) 2 CPU 6400 a 2.66 Ghz. y 1 GB de RAM. Hemos realizado u sigificativo úmero de eperimetos utilizado para ello dos geeradores aleatorios de polígoos: para polígoos geerales se uso la fució de CGAL radom polygo 2 y para polígoos ortogoales el geerador desarrollado por Joseph O Rourke (comuicació persoal 2002). E las subseccioes 4.1 y 4.2 se da los resultados para k = 2 y k = 4 respectivamete, tato para polígoos geerales como para polígoos ortogoales. E cada caso se proporcioa el úmero míimo de k-módems obteido e fució del úmero de vértices de los polígoos, así como los tiempos de respuesta y el úmero de iteracioes realizado por el algoritmo. Además se proporcioa las fucioes lieales obteidas al realizar u ajuste por míimos cuadrados, relacioado el úmero de vértices de los polígoos co el resultado e k-módems proporcioado por el algoritmo. 4.1 Resultados para 2-módems E la siguietes tablas presetamos los datos obteidos al aplicar uestro algoritmo a cojutos de 40 polígoos co 30, 50, 70, 100, 110, 130, 150 y 200 vértices cada uo de ellos, tato para polígoos geerales (Tabla 1) como ortogoales (Tabla 2). Para cada cojuto de polígoos presetamos el úmero promedio de 2-módems que proporcioa como solució el algoritmo, así como el tiempo medio de respuesta y el úmero de iteracioes. Resultados para polígoos geerales Los resultados que se preseta a cotiuació se ha obteido aplicado u operador de selecció por toreo y cruce e u puto co probabilidad de cruce pc = 0.8, probabilidad de aplicar SA psa = 0.1 y probabilidad de ejecutar el operador de mutació pm = Vértices 2-módems Tiempo/Rutime(seg.) Iteracioes Tabla 1: Resultado para k = 2 e polígoos geerales Usado el método de míimos cuadrados, la fució que ajusta el úmero de 2-módems co relació al úmero de vértices del polígoo es f() = , co u factor de correlació de , (ver figura 4(a)) Resultados para polígoos ortogoales Co las mismas probabilidades que e el puto aterior la tabla de resultados para polígoos ortogoales co k = 2 es la Tabla 2 y la recta de ajuste correspodiete es f() = , co u factor de correlació de , (ver figura 4(b))

7 Vértices 2-módems Tiempo/Rutime(seg.) Iteracioes Tabla 2: Resultado para k = 2 e polígoos ortogoales (a) (b) Figura 4: Ajuste lieal k = 2: (a) polígoos geerales; (b) polígoos ortogoales Por tato podemos cocluir que, e media y de forma aproimada, el úmero de 2-módems vértice ecesarios para cubrir u polígoo geeral es y si el polígoo es ortogoal. 4.2 Resultados para 4-módems Si k = 4, los resultados eperimetales tato para polígoos geerales como ortogoales so los siguietes: Resultados para polígoos geerales Vértices 4-módems Tiempo/Rutime(seg.) Iteracioes Tabla 3: Resultado para k = 4 e polígoos geerales La recta de ajuste para los datos de la siguiete tabla es f() = , (ver figura 5(a)) Resultados para polígoos ortogoales Igualmete la recta de ajuste para los datos de la Tabla 4 es f() = , (ver figura 5(b)).

8 Vértices 4-módems Tiempo/Rutime(seg.) Iteracioes Tabla 4: Resultado para k = 4 e polígoos ortogoales (a) (b) Figura 5: Ajuste lieal k = 4: (a) polígoos geerales; (b) polígoos ortogoales Estos resultados permite asegurar que, de forma aproimada, el úmero de 4-módems ecesarios para cubrir u polígoo es e polígoos geerales y e polígoos ortogoales Referecias [1] A.L. Bajuelos, S. Caales, G. Herádez y A. M. Martis, Optimizig the Miimum Verte Guard Set o Simple Polygos via a Geetic Algorithm, WSEAS Trasactios i Iformatio Sciece ad Applicatios, Vol 5, Issue 11, pp , [2] CGAL, Computatioal Geometry Algorithms Library, [3] D. Christ, M. Hoffma, Y. Okamoto y T. Uo, Improved Bouds for Wireless Localizatio. Proc. 11th Scadiavia Workshop o Algorithm Theory, pp , [4] D. Eppstei, M.T. Goodrich y N. Sitchiava, Guard Placemet for Efficiet Poit-i-Polygo Proofs. Proc. 23rd Symposium o Computatioal Geometry, pp , [5] O. Aichholzer, R. Fabila-Moroy, D. Flores-Peñaloza, T. Hackl, C. Huemer, J. Urrutia y B. Vogtehuber, Modem Illumiatio of Mootoe Polygos. Proc.25th Europea Workshop o Computatioal Geometry, pp , Belgium, [6] Reeves, C.R: Geetic Algorithms. Hadbook of Metaheuristics, F. Glover e G.A. Kocheberger (eds). Kluwer, Bosto, 55 82, (2003) [7] J. Urrutia, Art Gallery ad Illumiatio Problems. I: J.R. Sack, J. Urrutia (eds.) Hadbook of Computatioal Geometry, pp , Elsevier Sciece Publishers B.V., [8] Y. Wag, C. Hu, Y. Tseg, Efficiet Placemet ad Dispatch of Sesors i a Wireless Sesor Network. IEEE Trasactios o Mobile Computig, 7: , 2008.