v f = L f k Sobre la matemática de la afinación musical

Transcripción

1 La matemática de la aiació musical Carlos S Chiea Sobre la matemática de la aiació musical Itroducció: Los pitagóricos estudiaro la aturaleza del soido musical, descubriedo que existía relació umérica etre toos que resultaba armoiosos, lo que permitiría deducir que las razoes de úmeros eteros podía utilizarse para la medició de los soidos musicales Descubriero que la producció de soidos por la vibració de ua cuerda podía relacioarse uméricamete co la producció de otros soidos obteidos co raccioes de la misma cuerda Esto ortalecería la idea pitagórica de que existía ua relació armoiosa etre la matemática y los eómeos perceptibles Ecotraro que los soidos producidos por la mitad, la cuarta parte, los dos tercios, etc, de ua cuerda resultaba armoiosos co el soido emitido por la vibració de la cuerda completa Se descubriría posteriormete que esto se debe a la estructura ísica de la misma vibració de la cuerda, pues la cuerda vibra e ua sola oda, e dos odas, e tres odas, e cuatro odas, etc, que correspode a mitades, tercios, cuartos, etc, produciedo secuecias de armóicos que so raccioes de la logitud total de la cuerda Itetaremos mostrar aquí como se puede udametar matemáticamete la aiació musical de u cojuto de soidos, la octava, tal como ue diseñada e la escuela pitagórica La octava: Deiició de la octava La recuecia de la ota de soido que emite la vibració de ua cuerda h de logitud L viee dada por v L dode es v la velocidad del soido emitido e la vibració La ota de soido emitida por ua racció de la cuerda h, de logitud L/, tiee ua recuecia mayor que la recuecia del soido correspodiete a la logitud total de la cuerda v v L / L Para distitas raccioes de la cuerda se va ecotrado soidos cuya recuecia es iversamete proporcioal a la logitud del trozo de cuerda usado para la vibració

2 La matemática de la aiació musical Carlos S Chiea Ua Octava es cualquier cojuto de soidos emitidos por la vibració de u cojuto de distitas raccioes de ua cuerda compredidas etre la logitud total L y la mitad de dicha logitud total, L/ Es decir, es cualquier cojuto de soidos cuyas recuecias está compredidas etre dos valores, y Si u soido tiee recuecia y otro tiee recuecia, diremos que el primero es ua octava más grave (mas bajo) que el segudo, o que éste es ua octava más agudo (más alto) que el primero La equivalecia etre octavas La octava, pues, es, matemáticamete, u cojuto iito de úmeros reales,,,,, compredidos e el itervalo semiabierto [, ): < < < < < que deie las recuecias de los soidos e relació co la recuecia de partida A su vez, el itervalo [, ) comprede los soidos de recuecias dadas por,,,, co relació a la recuecia, y así, sucesivamete, para las siguietes octavas Los soidos que diiere e ua o varias octavas so equivaletes y se acostumbra a deomiar del mismo modo Así, podemos cosiderar el cojuto de los úmeros reales positivos dividido e itervalos de ua octava: R + U[(/), )U[, )U[, )U[, 8)U U soido de recuecia e la octava [, ) tiee su equivalete e el soido de recuecia e la octava [, + ) Es decir, dos soidos so equivaletes si sus recuecias, y, está e la proporció de ua potecia atural de : Tal relació es, eectivamete de equivalecia, pues es simétrica, relexiva y trasitiva: ϕ N / El cojuto cociete, + R / ϕ, de R + por tal relació de equivalecia ϕ es u úico itervalo, [,), o bie, si se preiere, el itervalo [,), pues los valores depedería de, ecesitádose u soido patró por el que se multiplicaría los valores,, para obteer las recuecias de los soidos de la octava Para obteer las recuecias de los soidos o teemos más que elegir úmeros compredidos e el itervalo [, ) y multiplicarlos por la recuecia iicial tomada como patró Aiació: Aiar ua octava Aiar es el proceso de elecció de úmeros reales del itervalo [,) a i de deiir ua escala de otas detro de la octava

3 La matemática de la aiació musical Carlos S Chiea E realidad cosiste e deiir particioes de ua cuerda, de logitudes compredidas etre la logitud total L y su mitad L/, a i de que el actor de la recuecia del soido de la vibració esté compredida e el itervalo [,) Así, supogamos que se hace ua aiació de la octava obteiedo u total de otas cuyas recuecias e orde creciete so: {,,,,, } siedo la recuecia de la primera ota de la octava siguiete Aiar e progresió geométrica Los úmeros que deie las recuecias de las otas elegidas e el proceso de aiació de la octava depede del criterio utilizado para hacer la aiació Cuado se elige de orma que está e progresió geométrica, de la ota más grave a la más aguda, es muy secillo obteer la razó de la progresió Supogamos que aiamos la escala eligiedo otas e progresió geométrica de razó r, r,,, : {,,,,,, } {, r,, r,, r r }, Y la recuecia de ua determiada ota puede escribirse e ució de la h recuecia h de ua ota aterior mediate r h Puesto que cualquier ota de recuecia e la octava tiee ua recuecia doble, e la octava siguiete, y existiedo e total otas etre ambas, podemos escribir, e deiitiva, que r r r Por cosiguiete las recuecias de las otas de la aiació, e ució de la recuecia de la ota iicial,, sería: {,,, ( ),, ( ),( ) } siedo la última de estas otas, ( ) siguiete la primera de las otas de la octava Criterio de aiació pitagórico: Deiició del criterio pitagórico El primero de los criterios de aiació coocidos, de los pitagóricos, se basa e la idea siguiete: Los soidos aiados se obtiee por la divisió de ua cuerda e tres partes, y cada ua de estas partes e otras tres, y así sucesivamete, Se tiee, etoces, que si la logitud de ua cuerda se divide e,,,, partes, los soidos aiados que resulta al pulsar cada ua de las partes tedrá ua recuecia de,,,,, respectivamete

4 La matemática de la aiació musical Carlos S Chiea Del mismo modo, si la logitud de la cuerda se multiplicara por,,,,, los soidos aiados que resultaría al pulsar cada ua de las cuerdas así obteidas tedría recuecias de (/), (/ ),,(/ ), Se tiee, por tato, las sucesioes de recuecias tato para la divisió de la cuerda como para el caso de multiplicació sucesiva por potecias de : Frecuecias de los soidos que se obtiee al dividir la cuerda: { } Frecuecias de los soidos que se obtiee al multiplicar la cuerda: Para poder estudiar las otas que se obtega al dividir ua cuerda de esta orma, hemos de reducir estas sucesioes de modo que sus putos se ecuetre detro del itervalo [,) de estudio, lo que obteemos dividiedo cada ua de las potecias,,,,, por potecias adecuadas de de modo que cada cociete se ecuetre detro del itervalo [,), de la orma: 6,,,, 9 dode el expoete etero al que debe elevarse se obtiee impoiedo la codició de que el cociete quede compredido e el iterior del itervalo [,) : < por lo que: log( ) log log < log log( ) < > log( ) Esto quiere decir que etero es ecesariamete la parte etera de log ( ), por lo que los térmios de la sucesió de recuecias de los soidos aiados se, de la orma: ormalizaría e el itervalo [ ) [ log ( ) ] E dode hemos represetado por [ ( )] ( log ) E log a la parte etera del logaritmo Aálogamete, para ormalizar e dicho itervalo las recuecias obtedríamos la sucesió [ log ( ) ] E

5 La matemática de la aiació musical Carlos S Chiea El sistema básico de aiació pitagórica divide a la octava e siete otas udametales, que se deomia hoy co el ombre propuesto por el beedictio Guido D Arezzo (99-8), que e orde creciete de recuecias, uero do, re, mi, a, sol, la, si, DO, correspodiedo esta última al do de la octava siguiete Para obteer la relació matemática etre ellas puede usarse el secillo algoritmo que se describe a cotiuació Algoritmo para obteer la relació etre recuecias: Se coloca cuatro ilas co las ombres de las siete otas e cada ila y se marca a partir de la ota a, e saltos de cuatro otas: do re mi a sol la si do re mi a sol la si do re mi a sol la si do re mi a sol la si Para obteer el úmero raccioario que deie la proporció etre la recuecia de ua ota y la recuecia de la ota do, cotaremos el úmero de saltos de cuatro otas ecesario para alcazar la ota do marcada, ya sea hacia la izquierda o bie hacia la derecha Si so saltos a la izquierda, etoces la recuecia de la ota será, que, para llevarla al iterior de la escala habría que dividir por la potecia correspodiete de : [ ] E log Si so saltos a la derecha, etoces la recuecia de la ota será (/ ), que, para llevarla al iterior de la escala habría que dividir por la potecia correspodiete de : / + [ ] E log / Veamos como obteemos las otas de la escala aplicado este algoritmo: Nota re: Vemos que hemos de dar saltos a la izquierda para alcazar la ota do: re 9 [ ] E log 8 Nota mi: Se ha de dar saltos a la izquierda: mi 8 [ ] E log 6 6 Nota a: Se ha de dar u solo salto a la derecha: / / a + E log / / [ ] Nota sol: U solo salto a la izquierda: sol [ ] E log

6 La matemática de la aiació musical Carlos S Chiea Nota la: Se ha de eectuar saltos a la izquierda: la 7 [ ] E log 6 Nota si: Será saltos a la izquierda: si E log [ ] 7 8 Co el aiamieto pitagórico se obtiee, e deiitiva, los siguietes valores para las actores de las recuecias de las otas udametales de la octava, ordeados de meor a mayor: do: 9 re:, 8 8 mi:, a:, sol:, 7 la:, si:, Si se hace correspoder a la ota iicial, do, ua recuecia, las recuecias de las restates otas de la octava que se obtiee mediate el aiamieto pitagórico será: {,, 66,,, 687, 8987, } Frecuecias de las siete otas udametales obteidas mediate el algoritmo pitagórico: Nota Frecuecia do re mi 66 a sol la 687 si 8987 DO 6

7 La matemática de la aiació musical Carlos S Chiea Razoes etre las recuecias Toos y semitoos: Si llamamos too (T) a la proporció 9/8: y semitoo (S) a su raíz cuadrada: T 9 8 S 9 / observamos que las otas udametales de la aiació pitagórica puede expresarse como proporcioales e u too o e u semitoo: Frecuecia de do: Frecuecia de re: re T Frecuecia de mi: T T Frecuecia de a: Frecuecia de sol: Frecuecia de la: Frecuecia de si: Frecuecia de DO: mi a re S T S sol mi S T T la S T T si S T T DO sol la a S T S (primera ota de la siguiete octava) si Las otas udametales, e ució de toos y semitoos, se expresa etoces por: { _ T T S T T T S _ } do re mi a Es decir, la octava está compuesta de siete otas udametales separadas por toos y dos semitoos sol la si DO La itercalació de otas alteradas: Puesto que todas las otas udametales obteidas desde el algoritmo pitagórico o está separadas por proporcioes iguales, ya que hay dos pares de ellas, mi-a y si-do, que está solo e la proporció de u semitoo, se procura la iserció de otas itermedias etre los restates cico pares separados por u too a i de que e cojuto, resulte doce otas dode cada ua de ellas está separada de la siguiete por u semitoo Así, se itercala ua ota etre do y re, que se deomia do sosteido, o bie, re bemol Asimismo se itercala ua ota etre re y mi que se llamaría re sosteido o mi bemol, otra ota se itercalaría etre a y sol, que sería el a sosteido o bie sol bemol, asimismo, ua cuarta ota habría de itercalarse etre sol y la, que se llamaría sol sosteido o la bemol, y ialmete, ua quita ota se habría de itercalar etre la y si, que sería el la sosteido o bie el si bemol Se acostumbra a represetar co el símbolo # a los sosteidos y co b a los bemoles El total de las otas udametales y alteradas se puede resumir e el cuadro siguiete: 7

8 La matemática de la aiació musical Carlos S Chiea Notas Proporció co la ota aterior Proporció co la recuecia de do do - - do # (re b ) Sdo Sso re Sdo # S do re # (mi b ) Sre S do mi Sre # S do a Smi S do a # (sol b ) Sa S 6 do sol Sa # S 7 do sol # (la b ) Ssol S8do la Ssol # S 9 do la # (si b ) Sla S do si Sla # S do DO Ssi S dodo Y resulta: Nota Frecuecia do do# (re b ) 666 re Re# (mi b ) 9 mi 66 a a# (solb) sol sol# (lab) 999 la 687 la# (sib) si 8987 DO Criterio de aiació temperada: Diudido pricipalmete por Joha Sebastiá Bach (68-7) Cosiste e dividir la octava e doce putos (e doce otas musicales) cuyas recuecias se ecuetra e progresió geométrica, es decir, si so las doce otas { N, N, N, N, N, N, N, N, N, N, N, N N } , dode se ha icluido la ota treceava N como primera ota de la octava siguiete, cumpliédose que dada ota N está relacioada co otra ota N h aterior mediate la expresió r h h 8

9 La matemática de la aiació musical Carlos S Chiea como sabemos que la si recuecia de ua ota N cualquiera es etoces la ' ' recuecia de la misma ota e la octava siguiete N es el doble,, esto os permite determiar todas las recuecias de la octava cuado se cooce la recuecia de ua sola de ellas, ya que habiedo doce otas etre N y N, se veriica que ' r, co lo que r r r 96 El úmero irracioal r se le deomia u semitoo, y a su cuadrado se le llama u too Se acostumbra a decir que cada ua de las doce otas está separada de la aterior por u semitoo, y tambié es u semitoo lo que separa a la última ota de la primera ota de la siguiete octava De las doce otas de la divisió aterior, siete de ellas recibe los ombres clásicos de do, re, mi, a, sol, la, si, y las otras cico se deomia otas alteradas, do#,re#, a#,sol#,la#, de la siguiete maera: { do, do#, re, re#, mi, a, a#, sol, sol#, la, la#, si, DO} Por lo visto ateriormete, si ijamos la recuecia de ua de ellas podemos determiar la recuecia de cada ua de las restates otas Se tiee, icluyedo la ota DO, primera de la siguiete octava: { ,, ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( } ), ( ), ( ) es decir: {, 96,,89,99,8,,98,87,687, ( 787,8877, E deiitiva: } ' Nota Frecuecia do do# (re b ) 96 re Re# (mi b ) 89 mi 99 a 8 a# (solb) sol 98 sol# (lab) 87 la 687 la# (sib) 787 si 8877 DO dode observamos que las recuecias de todas las otas coicide co bastate aproximació co las recuecias obteidas mediate el algoritmo pitagórico 9

10 La matemática de la aiació musical Carlos S Chiea Criterio de aiació de Holder: Ideado por william Holder (66-698), que lo expuso e su obra Treatise o the Natural Grouds ad Priciples o Harmoy, e 69 Es tambié u criterio de aiació de progresió geométrica, dode la octava se divide e otas (llamadas comas de Holder), por lo que la razó de la progresió es ahora dada por r Co esta aiació se observa que cada too pitagórico cotiee 9 comas de Holder, puesto que 9 9 ( ) Asimismo, cada semitoo del sistema de Pitágoras comprede comas de Holder: ( ) 666 haciedo, pues coicidir ciertas comas de Holder co las otas del sistema pitagórico, se ecuetra el total de las otas o comas, ya que si la secuecia de toos y semitoos pitagórica es T-T-S-T-T-T-S esto se correspode co los úmeros de comas: La asigació de ua recuecia patró e Hertzios: 6 Ua recuecia patró e hertzios: E 99, ua coerecia iteracioal recomedó que la ota la del piao se aiara a Hz Este ue el patró tomado por la ISO (Orgaizació iteracioal de ormalizació) e 9 y reairmado e el año 976, sirviedo como la recuecia de soido de reerecia para la aiació de los istrumetos musicales de todo tipo 6 Las recuecias e hertzios de las doce otas e el criterio pitagórico: Puesto que la ota la depede de la recuecia de la ota do por la relació la 687 resulta de imediato el valor de y de las recuecias de las restates otas Hz y ya las recuecias de todas las otas de la octava so imediatas:

11 La matemática de la aiació musical Carlos S Chiea Nota Frecuecia Frecuecia e Hertzios do 677 Hz do # (re b ) Hz re 9 Hz Re # (mi b ) 9 69 Hz mi 66 Hz a 766 Hz a # (sol b ) Hz sol 9 Hz sol # (la b ) Hz la 687 Hz la # (si b ) Hz si Hz DO 88 Hz 6 Las recuecias e hertzios de las doce otas e la aiació temperada: Realizado el mismo cálculo que e el criterio pitagórico, resulta la 687 resultado el valor de y las recuecias de las restates otas Hz Nota Frecuecia Frecuecia e Hertzios do 66 Hz do# (re b ) Hz re 9667 Hz Re# (mi b ) 89 9 Hz mi Hz a Hz a# (sol b ) 79 Hz sol 98 9 Hz sol# (la b ) 87 7 Hz la 687 Hz la# (si b ) Hz si Hz DO 8 Hz 6 Bibliograía: Stewart, I, Matemáticas de la escala musical, Ivestigació y Ciecia, Barceloa, 996 Lier, V, Métodos uméricos de la música, Epsilo, Sevilla, 99 Wiipedia_la Eciclopedia libre, Aiació, Aiació pitagórica, La coma de Holder