Lecturas 5, 6 y 7. Conceptos básicos y equivalencia del dinero a través del tiempo.

Transcripción

1 Lecturas, y 7 Coceptos básicos y equivalecia del diero a través del tiempo. Coceptos básicos y represetació gráfica de los flujos de efectivo E cualquier tipo de etidad, ya sea física o moral, siempre se preseta el movimieto de diero. Ua persoa física ecoómicamete activa, percibirá diero por su trabajo y gastará todo o parte de ese diero comprado satisfactores que le permita vivir. E ua persoa moral, empresas o istitucioes, el movimieto del diero es más evidete, su actividad diaria implica el movimieto de diero, comprará materias primas o servicios, los trasformará y a su vez vederá esos productos o servicios a otras empresas o a persoas físicas. Cualquier de esas actividades implica el uso de diero, hacia adetro de la orgaizació, si es que percibe diero por la veta de sus productos o servicios, o hacia fuera de la orgaizació si está pagado cualquiera de los isumos que ha cosumido o va a ecesitar para la elaboració de productos o elaboració de servicios. El gra problema que siempre ha existido co el maejo del diero es que cambia su valor co el paso del tiempo, por cambio de valor se quiere decir cambio de poder adquisitivo. Es muy secillo comprobar esto. Tega a la mao $ 000 uidades de su moeda local, llámese pesos, australes, reales, dólares, euros, etc., y compre e u mercado cierta catidad de productos, por ejemplo, kg de care, litros de leche, etc. Deje pasar uos meses, regrese co las mismas $ 000 uidades moetarias y es seguro que podrá comprar ua catidad meor, respecto de aquellas catidades que compro de los mismos productos iicialmete. Cambió el poder adquisitivo del diero. Este cambio va a ser proporcioal a la llamada iflació que haya prevalecido e el periodo cosiderado e la ecoomía de aquel país. uque para muchas orgaizacioes la etrada o salida de diero, a la cual se le llamará flujo de efectivo, el cual será positivo si etra diero a la orgaizació, y egativo si es que sale de ella, como cuado paga por los isumos, se produce a diario, los admiistradores ecargados de la cotabilidad de las orgaizacioes, acostumbra ha realizar, a expresar y a declarar estos flujos de efectivo de forma mesual, y para efectos fiscales, e forma aual. Recordado el hecho de que el diero cambia su valor co el paso del tiempo, se requiere etoces el cotar co técicas, primero para represetar los flujos de efectivo e diferetes periodos de tiempo, y además, cotar co técicas para poder calcular el cambio del valor del diero a través del tiempo. Para hacer la presetació formal de los coceptos de la Igeiería Ecoómica, cosidérese el siguiete ejemplo. Ejemplo Supógase que ua persoa va a ua pequeña tieda que vede artículos para el hogar e la localidad dode vive, y que quiere comprar ua TV, cuyo costo de cotado es de $ 000. El comprador o tiee esa catidad dispoible, por lo que solicita al vededor que haga u pla de compra a crédito a seis meses. El vededor le cotesta que el pla que le puede ofrecer es el pago de seis mesualidades iguales, la primera se haría al fial del primer mes después de la compra, y que el iterés que se cobra e la tieda es de % mesual. El comprador pide al vededor que haga el cálculo del valor de cada pago mesual, co lo que el vededor muestra el siguiete cálculo: $ 000 x 0.0 x meses = $ 0 sólo de iterés Si la deuda iicial es de $ 000 $ 0 de iterés, el total es de $ 0 que dividido etre meses arroja ua mesualidad de $ 0. te estas cifras, el comprador dice o estar de acuerdo, ya que el cálculo supoe que cada mes él esta debiedo $ 000, ya que el iterés se carga seis veces sobre la misma deuda total, por tato, cosidera ijusta la forma de cálculo, ya que cosidera que co el pago de cada mesualidad, la deuda remaete dismiuye. E cotraposició, el comprador le propoe el siguiete cálculo al vededor: Deuda total $ 000 dividida etre seis meses, arroja u deuda mesual de $ 000, sobre la cual se debería cobrar el iterés de % mesual, co lo cual, el iterés mesual es de $ 000 x 0.0 = $0, y el pago mesual es de $ = $ 00. te este cálculo, ahora protesta el vededor y dice que está mal, ya que el procedimieto cosidera que desde el primero mes se debe sólo $ 000, lo cual es falso, ya que al fial del primer mes, ates de hacer el primer pago, el comprador debe $ 000, más el iterés acumulado que so $0, por tato, el cálculo le perjudica e su gaacia. Después de discutir u bue tiempo, decide que es imposible llegar a u cálculo válido para ambos, si o cueta co u criterio que satisfaga a los dos. aliza el hecho de que es ta ijusto cosiderar que se debe cada mes, todos los meses, $ 000, como ijusto es cosiderar que cada mes,

2 todos los meses, se debe solo $ 000. Discutiedo por más tiempo, llega a ua coclusió que satisface pleamete a ambos, a la cual le llama criterio de pago justo y la declara co las siguietes palabras: Sólo se debe pagar itereses sobre saldos isolutos, es decir, sobre la deuda o pagada o deuda pediete. Si embargo, su problema es ahora que o sabe como hacer el cálculo correcto, y meos puede comprobar si haciedo determiado cálculo, la cifra obteida para el pago mesual es la correcta. Coceptos básicos Ua de las pricipales vetajas que tiee la Igeiería Ecoómica es que puede comprobarse que el resultado obteido e cualquier problema es correcto (o icorrecto). Del ejemplo aterior, es evidete que ambos cálculos está mal. Ua forma de comprobar el error es tomado como base la declaració del criterio de pago justo, haciedo u cálculo, periodo a periodo, de cual es el saldo isoluto que va quedado luego de hacer el pago mesual correspodiete, y calcular el iterés sobre ese saldo isoluto: Periodo 0 Iterés 000(0.0) = (0.0)= (0.0)= (0.0)= 7..7(0.0) = (0.0) =. Saldo Total = 0 =0 00 =8 78. = 99.7 = 7.7 =.8 Pago Nuevo saldo 000 = = 7 90 = 88. =.7 = 8.7 = -9.8 Tabla.- Método de comprobació de resultado El saldo fial debería ser cero, si el cálculo fuera el correcto. E este caso, como se supuso que cada mes, e todos los meses siempre se debía $ 000, etoces el resultado es que se pagaría de más, e vez de pagar solo $.8 e el último mes, se estaría cobrado los $ 0 de la mesualidad acordada, e caso de aceptar el pla de pago del vededor. Obsérvese como el iterés siempre se carga sobre la catidad que va quedado e cada periodo como saldo isoluto, lo cual correspode al regló iferior. De esta misma forma, cuado se obtega la solució correcta, se podrá comprobar la validez del resultado y el saldo deberá ser cero. El estudiate podrá comprobar que el otro pla de pago tampoco coduce a la solució correcta. Desarrollo de la fórmula que rige a la Igeiería Ecoómica. Para resolver o solo este, sio casi cualquier tipo de problema plateado por la Igeiería Ecoómica, se requiere de ua fórmula que cosidere el cambio del valor del diero a través del tiempo. Se va a desarrollar esta fórmula co u ejemplo. Ejemplo.- Ua persoa deposita $00 e u Baco que paga u iterés de 0 % aual. No se retira diero. Cuáto se acumula e el Baco al fial de tres años? Solució: Llámese P a la catidad depositada e el presete ($00). Llámese i al iterés cobrado por periodo (0 % aual) Llámese F a la catidad acumulada e el futuro. Llámese al periodo de tiempo ecesario para gaar (o cobrar) u iterés, u año e el caso del ejemplo. Catidad acumulada al fial del periodo : F = 00 00(0.) = 0 Como o se retira diero, el periodo dos empieza co ua catidad acumulada de $0, sobre la cual se gaará el uevo iterés: F = 0 0(0.) = De la misma forma, el tercer año se iicia co $ y sobre esa catidad se va a gaar iterés: F = (0.) =. La respuesta al problema es etoces $. Para desarrollar la fórmula se resuelve el mismo problema, pero sólo co literales: F = P Pi = P(i) La catidad acumulada al fial del periodo es (P Pi) y sobre esa catidad se gaa u iterés: F = P Pi * i(p Pi) = P Pi Pi Pi = P( i i) = P( i)

3 El estudiate podrá comprobar este resultado si hace la operació: ( i)( i) = i i De maera similar para el tercer periodo se tiee: F = P Pi Pi Pi i(p Pi Pi Pi ) = P Pi Pi Pi Pi Pi Pi Pi = = P( i i i ) = P( i) El estudiate podrá comprobar el resultado multiplicado: ( i)( i)( i) = i i i De los resultados obteido se puede observar que el periodo coicide co el expoete, es decir, para el periodo, se obtuvo F = P( i), para el periodo, se obtuvo F = P( i) y para el periodo se obtuvo F = P( i). Lo primero que hay que comprobar es que utilizado la fórmula se obtiee los mismos resultados uméricos que ya se teía: F = 00( 0.) = 0 F = 00( 0.) = F = 00( 0.) =. Como los resultados so idéticos, esto permite hacer ua geeralizació de la fórmula como: F = P( i) F O su iversa P = ( i) Dode: F = catidad acumulada e el periodo P = catidad depositada e el presete i = iterés cobrado o gaado por periodo = periodo que debe trascurrir para gaar o cobrar u iterés o periodo de capitalizació del iterés. La fórmula recibe cualquiera de estos tres ombres: - Fórmula de iterés capitalizado.- Esto sigifica que el iterés se covierte e capital, por tato, para el siguiete periodo va a gaar u iterés. Esto se puede observar e los resultados. l fial del primer periodo, se acumula $0, dode $0 es el iterés gaado e el primer periodo. Para el segudo periodo, se acumula $, y el $, es el iterés gaado sobre el iterés del periodo previo, es decir $0(0.) = $. E el tercer periodo, desde luego, pasa lo mismo, pero aquí ya o es ta evidete a partir del resultado obteido. - Fórmula de equivalecia del valor del diero a través del tiempo.- Se puede decir que $00 e el presete, so equivaletes a $. detro de tres años, siempre que el iterés aual sea de 0 %: F = 00( 0.) =. Lo que sigifica equivalecia del diero es que si Ud. va a comprar u cojuto de biees e este mometo y tiee $00, aota la catidad comprada, por ejemplo, litros de leche y kg de care, si la tasa de iterés del mercado (o la iflació) fuera de 0 % e cada uo de los próximos años, y Ud. quisiera volver a comprar exactamete la misma catidad de litros de leche y catidad de care que hace años, ecesitaría teer $. para hacerlo. La equivalecia sigifica mismo poder adquisitivo e diferetes periodos de tiempo. De la misma forma, se puede decir que $. detro de años, so equivalete a $00 el día de hoy, siempre que la tasa de iterés sea de 0 % e cada uo de los años. Por tato, se debe declarar tambié, como u requisito idispesable para comparar flujos de diero que aparece e diferetes periodos de tiempo que: Para comparar correctamete flujos de efectivo (diero) que se ecuetra diferetes periodos, hay que hacer la comparació e el mismo periodo y al valor equivalete de esos flujos de efectivo, esto es, el diero se puede pasar a su valor equivalete hacia el futuro, multiplicado por ( i), o bie, se puede pasar del futuro hacia el presete a su valor equivalete dividiedo etre ( i). - Fórmula básica.- la fórmula. tambié se le llama fórmula básica de la Igeiería Ecoómica, pues co ella se puede resolver prácticamete todos los problemas plateados e Igeiería Ecoómica. De hecho e muchos ejemplos se demostrará esta aseveració. El diagrama de flujo de efectivo Para resolver el ejemplo plateado iicialmete, falta cotar co ua herramieta diagramática que ayude a visualizar como fluye el diero a través del tiempo. esta herramieta se le llama diagrama de flujo de efectivo, dode el tiempo o periodo de aálisis del problema se represeta como ua líea horizotal, el iicio se cosidera e el extremo izquierdo y el fial e el extremo derecho de la líea. El

4 diero se represeta co flechas hacia arriba y hacia abajo. Ua flecha hacia arriba siempre va a represetar gaacia, ahorro, beeficio, igreso, etc., e tato que ua flecha hacia abajo siempre va a represetar iversió, gasto, desembolso, pérdida, costo, etc. Hay que decir que e cualquier trasacció ecoómica siempre hay dos partes, u comprador y u vededor, u prestador y u prestatario, etc., y que los diagramas de flujo de efectivo de ambos participates so imágees de espejo. E la gráfica se puede observar el diagrama de flujo del vededor. La flecha hacia abajo e el periodo cero, idica que él ha hecho ua veta y que sus ivetarios ha bajado por $ 000. cambio de eso, el recibirá pagos iguales mesuales. La otació de la letra para represetar los pagos mesuales, obedece a ua razó histórica, ya que los estadouideses le asigaro esa letra para deotar u pago aual (del iglés auity), pero pasado el tiempo, o importa si el pago es mesual, semaal, etc., se le sigue asigado la letra, por tato, a partir de este mometo, la va a deotar u pago uiforme o igual a lo largo de periodos de tiempo. 0 P = 000 Gráfica.- Diagrama de flujo del vededor del ejemplo. Es secillo imagiar que el diagrama de flujo para el comprador del mismo ejemplo, es ua image de espejo de la gráfica., ya que el comprador llega a la tieda si diero y, ua vez hecha la compra sale de la tieda co ua artículo co valor de $ 000, lo cual se represetaría como ua flecha hacia arriba; a cambio de eso, va a teer que hacer pagos mesuales iguales, lo cual se represetaría co flechas hacia abajo. E estos problemas existe u periodo cero que deota el iicio del periodo de aálisis, ya que si al fial del primer mes se le llama mes, al mes aterior se le debe llamar mes cero o periodo cero. Solució del ejemplo. El ejemplo está aú si resolver, auque ahora ya se cueta co elemetos suficietes para hacerlo. Para resolver cualquier casi problema de Igeiería Ecoómica, se debe hacer uso de lo que se puede llamar el axioma o declaració básica de Igeiería Ecoómica, que dice lo siguiete: la catidad de diero que se debe, es igual a la catidad de diero que se va a pagar, siempre que ambas catidades, de deuda y pago, se compare a su valor equivalete e el mismo istate de tiempo. Supógase que e el mismo ejemplo la compra se hace de cotado. Obviamete la catidad de diero que debe pagarse es $ 000, ya que la catidad de deuda y la catidad de pago está el mismo istate de tiempo, y o hay ecesidad de obteer el valor equivalete de ua ellas e otro istate. hora supógase que se hace la misma compra, pero se acuerda pagar toda la deuda u mes después de haber hecho la compra. Si ecesidad de saber Igeiería Ecoómica, se puede calcular la respuesta, pues al fial del primer mes, se debería la catidad iicial, $ 000, más el iterés acumulado durate u mes que es 000 (0.0) = 0, por tato, la respuesta es $ 0. Si embargo, si se platea la solució formalmete se tiee:

5 0 P = 000 Gráfica.- Compra para pagar e u mes. Expresado el resultado co la úica fórmula que se tiee hasta este mometo: F = 000(.0) = 0 Obsérvese que lo que se hizo e realidad, fue pasar a su valor equivalete a u mes, el valor del periodo cero. Si se hace uso de la declaració fudametal, se diría: lo que se debe e el presete, es igual a lo que se va a pagar detro de u mes, siempre que ambas catidades se compare a su valor equivalete e el mismo istate de tiempo, si se toma como puto de comparació al periodo cero, etoces se tiee que pasar el pago que se hace al fial del primer mes, a su valor equivalete e el presete: F 000 = (.0) Como se observa, es exactamete la misma fórmula, si embargo, la forma de razoar y abordar el problema es distita. hora supógase que la compra se hace para liquidar la deuda e dos mesualidades iguales, que se pagaría al fial de los meses y. El diagrama de flujo es el siguiete: Gráfica - Pago de la deuda e dos mesualidades iguales Obsérvese que ahora la solució de este problema es muy secillo, si se platea desde el puto de vista de la declaració fudametal: la catidad que se debe es igual a la catidad que se va a pagar, siempre que ambas catidades se compre a su valor equivalete e el mismo istate de tiempo. Tambié obsérvese que ahora a las mesualidades ya se les deota como. Por tato, habrá que pasar, a su valor equivalete, las dos al presete: 000 = (.0) (.0) = Para resolver el ejemplo, el cual plateaba el pago de mesualidades iguales, se utiliza la gráfica y la solució es: 000 = (.0) (.0) (.0) (.0) (.0) (.0)

6 =.7000 Para verificar que este resultado es la solució correcta, ya se tiee el método de comprobació (Tabla. ), y además, ya se sabe que el saldo debe ser cero: 0 000(.0)= (.0)= (.0)= = = = (.0)= (.0)= (.0)= = 8.08 = = Tabla Hay que observar que e la declaració básica o dice que el istate de comparació del diero deba ser el presete o periodo cero. Para resolver el ejemplo se cosideró como puto de comparació al presete, pero el diero a su valor equivalete puede ser comparado e cualquier otro istate de tiempo. E las solucioes que se muestra, se tomaro diferetes periodos de referecia: t 000(.0) = (.0) (.0) (.0) (.0) (.0) t 000(.0) = (.0) (.0) (.0) (.0) (.0) t 000(.0) = (.0) ( 0) (.0) (.0) (.0) t 000(.0) = (.0) ( 0) (.0) (.0) (.0) Si se calcula la e cada ua de las solucioes ateriores, el resultado siempre será exactamete = Icluso las solucioes posibles o so sólo 7 sio, ya que la declaració básica o dice que el istate de referecia deba estar detro del diagrama de flujo que represeta al problema. Se recomieda al estudiate calcular la para los periodos y, pero además podrá hacer el cálculo para los istates de tiempo -0 y 0, o cualesquiera otros periodos que seleccioe. Los pagos uiformes y el presete. Existe ua fórmula muy secilla para resolver el ejemplo.: ( i) P = i( i) y su iversa i( i) = P ( i) la fórmula se le cooce como aquella que relacioa los pagos uiformes y el presete. uque se puede utilizar cualquiera de las formas de la fórmula. para resolver el problema, o es lo mismo, desde el puto de vista del efoque de solució. Si se quiere calcular directamete la etoces: = 0.0(.0) 000 = (.0).7000

7 Si embargo, auque el cálculo es directo, la fórmula por si misma o explica que sucede detrás de ella. Si se quiere utilizar la declaració básica utilizado la fórmula, etoces para iiciar la solució se dice: la catidad que se debe, que so $ 000, es igual a la catidad que se va a pagar que so seis pagos uiformes (mesualidades), siempre que las catidad se compare a su valor equivalete e el mismo istate: (.0) 000 = 0.0(.0) quí el istate e que se está haciedo la comparació es el presete Cómo se sabe esto? Porque la deuda de $ 000 está e el presete y o fue modificada o pasada a su valor equivalete a algú otro istate de tiempo, y esto se sabe porque o está multiplicada o dividida por algú factor. Obsérvese que cuado se calculó la tomado como referecia istates distitos al presete, la siempre fue multiplicada por u factor que eviaba los $ 000 a su valor equivalete al istate de referecia. Pero Cómo es que esta resuelve el ejemplo directamete? De la fórmula que es la solució del ejemplo, se hará ua maipulació algebraica a fi de simplificar el cálculo y ecotrar ua fórmula que permita resolver problemas para cualquier. Imagíese la eorme ecuació que se tedría que platear si e u problema = 0. la ec. multiplíquese ambos lados por i 000 = ( i) 7 ( i) ( i) ( i) ( i) ( i) ( i) Restar..: =... ( i) ( i) ( i) ( i) ( i) ( i) ( i) ( i) Simplificado la ec. aterior: 000 = ( i) 7 ( i) ( i) ( i) 7 Si se quiere comprobar que tato la resta de ecuacioes y su simplificació so correctas, basta cosiderar que i = %, hacer los cálculos, calcular, y e ambos casos se comprobará que: - 9. = y despejado =.7000 que es el resultado del ejemplo. Siguiedo co la maipulació algebraica, se sabe que: i i = = ( i ) ( i) i i Nuevamete si se quiere comprobar la veracidad de la igualdad aterior, sustituya i = % y compruébese el resultado. Fialmete, multiplíquese ambos lados de la ec. por (i): ( i) i P( i) = ( i) i ( i) 000 = i( i) alizado la ec. obteida, se observará que es la fórmula, de forma que se puede geeralizar el resultado para toda P y para toda, ya que la = obteida, es la del ejemplo., es decir, la es válida para resolver este tipo de problemas. La fórmula, a la que se le puede llamar fórmula codesada que relacioa al presete co pagos uiformes, se le puede utilizar de dos formas. Ua es la ya mostrada e el ejemplo, dode se calcularo los pagos uiformes que debería de hacerse si se cotrae ua deuda. La otra forma es: 7

8 Ejemplo : Se vede u aparato eléctrico a crédito bajo las siguietes codicioes: pagar mesualidades iguales de $.7000 cada ua, empezado a pagar u mes después de hacer la compra. El iterés que se cobra es % mesual Cuál es el precio de cotado? Solució: Utilizado la fórmula.: ( i) P = = i( i) (.0).7000 = 0.0(.0) 000 Obsérvese u puto muy importate e los ejemplos y, el primer pago siempre se hace al fial del primer periodo (fi del primer mes). Esto lleva a defiir las restriccioes de uso de la fórmula :.- La primera siempre está e el periodo..- La última siempre está e el periodo..- Los pagos (o depósitos) o se iterrumpe. hora obsérvese como se deberá utilizar la fórmula si o se cumple las restriccioes mecioadas. Ejemplo.- U aparato eléctrico que tiee u precio de cotado de $ 000, se compra a crédito bajo las siguietes codicioes: iterés mesual %, pago de mesualidades iguales, pagado la primera mesualidad al fial del quito mes después de hacer la compra, por lo que la última mesualidad se paga al fial del mes 0. Calcular el valor de cada ua de las mesualidades. Solució: E este problema se está violado las restriccioes y. El diagrama de flujo del ejemplo es: P Gráfica El ejemplo se puede resolver, al meos, de dos formas distitas. Si se utiliza la fórmula básica y la declaració: la catidad que se debe es igual a la catidad que se va a pagar, siempre que ambas catidades se compare a su valor equivalete e el mismo istate, y si se toma al tiempo presete como puto de comparació, etoces: 000 = (.0) (.0) (.0) 7 (.0) 8 (.0) 9 (.0) 0 Es la misma solució del ejemplo, pero cada ua de las hay que llevarlas a su valor equivalete uos pocos periodos más. El resultado es: = 9.9 Para comprobar que el resultado es correcto, utilice el mismo método de comprobació del resultado del ejemplo. Recuérdese que el saldo fial debe ser cero. Para resolver el ejemplo co la fórmula, debe quedar claro como fucioa esta fórmula. Si ( i) 000 = i( i) y 000 = (.0) (.0) (.0) (.0) (.0) (.0) 8

9 produce exactamete el mismo resultado umérico para, como ya ha sido demostrado, etoces lo que hace la fórmula: ( i) P = i( i) es sumar ua serie de catidades uiformes () a su valor equivalete y depositar la suma u periodo ates de la primera. Co este coocimieto se aborda la solució del ejemplo y se sabrá que aplicado dicha fórmula al pago de las mesualidades, las va a sumar a su valor equivalete y las va a depositar e el periodo, es decir, u periodo ates de la primera, pero recordado que u requisito básico para la solució de problemas es comparar el diero u mismo istate, se tiee dos solucioes: comparar el diero e el tiempo cero y comparar el diero e el tiempo : comparado el diero e t 0 comparado el diero e t (.0) 000 = 0.0(.0) (.0) (.0) 000(.0) = 0.0(.0) Por supuesto que es u simple despeje, pero la forma de razoamieto es distita, ya que cambia el puto de comparació e el tiempo. Se podrá comprobar que ambos plateamietos lleva a la misma solució de = 9.9. Es ecesario aclarar que e la fórmula codesada e este tipo de problemas, la es el úmero de pagos (cobros) y o es la de todo el horizote de aálisis, es decir, el horizote de aálisis es 0 años, pero sólo hay seis periodos dode existe flujos de efectivo e la forma de pagos, por lo que la de la fórmula es y o 0. Ua cuarta forma de solució, cosiste e cosiderar que se está pagado 0 mesualidades, de los meses a 0, y restar las mesualidades que o se paga, es decir, restar las mesualidades,, y. 0 0 (.0) (.0) (.0) 000 = 0 = 0 0.0(.0) 0.0(.0) 0.0(.0) (.0) (.0) (.0) (.0) E tato que la fórmula iversa: i( i) = P ( i) lo que hace es calcular ua serie uiforme de cobros (o pagos) a su valor equivalete, de los periodos a, coociedo la catidad que se debe o se va a cobrar, y que debe estar u periodo ates del primer pago (cobro). Esa catidad o ecesariamete debe estar e el presete. Ejemplo.- U aparato eléctrico que tiee u precio de cotado de $ 000, se compra a crédito bajo las siguietes codicioes: iterés mesual %, pago de mesualidades iguales, las primeras tres mesualidades se paga al fial de los meses, y, se suspede los pagos e los meses,, y 7, pagado las últimas tres mesualidades al fial de los meses 8, 9 y 0. Calcular el valor de cada ua de las mesualidades iguales. Solució: E este ejemplo se está violado las restriccioes y, ya que la primera está e el periodo. El diagrama de flujo es: 9

10 P Gráfica La primera solució es co la fórmula básica: 000 = (.0) (.0) (.0) (.0) 8 (.0) 9 (.0) 0 La seguda solució es co la fórmula codesada, pero ahora hay que observar que se tiee dos series uiformes de tres cada serie. Si se toma al tiempo cero como puto de comparació del diero, se tiee: (.0) (.0) 000 = 0.0(.0) 0.0(.0) (.0) Ua tercera solució es comparar el diero e el tiempo cero, cosiderar que se paga diez mesualidades y restar aquellas que o se paga: 7 0 (.0) (.0) 000 = 0 0.0(.0) 0.0(.0) (.0) 0 (.0) = 0 0.0(.0) (.0) (.0) (.0) (.0) 7 E todos los casos se comprobará que = Como siempre el estudiate tiee el método para comprobar que este resultado es correcto, tal y como se hizo e la Tabla El futuro y las series uiformes. Ejemplo.- Ua persoa deposita $ 000 cada mes de los meses a, e u baco que paga u iterés de % mesual a sus ahorradores. No retira diero Cuáto se acumula e el baco al mometo de hacer el sexto depósito? Solució: Datos: = 000; i = % mesual; = ; F =? El diagrama de flujo del ejemplo es: F=? Gráfica Obsérvese que o hay catidad e el periodo cero, puesto que el ejemplo declara que los depósitos se va a hacer del los periodos a. Se va a resolver el ejemplo si coceptos de Igeiería Ecoómica: 0

11 Periodo CFP Depósito (D) D CFP Iterés gaado i(d CFP) Catidad de fi de periodo (CFP) Tabla Se puede utilizar la misma declaració básica iicial, ahora cosiderado que so depósitos. La catidad que se deposita es igual a la catidad que se puede retirar, siempre que ambas catidades, de depósitos y de retiros, se compare a su valor equivalete e el mismo periodo de tiempo. hora se resuelve el ejemplo co la fórmula básica. El periodo de tiempo e que se compara el diero es el futuro, o el último periodo del horizote de aálisis del problema: F = 000(.0) 000(.0) 000(.0) 000(.0) 000(.0) 000 = 08. t t t t t t esta solució se le llamará fórmula. Hay que observar que el primer depósito del periodo, permaece sólo periodos depositado, gaado % mesual, por eso el primer térmio tiee u expoete de, e tato que el depósito del periodo o gaa iterés, porque el euciado del ejemplo preguta la catidad acumulada al mometo de realizar el sexto depósito. Debajo de cada térmio de la ecuació de solució, se aotó el periodo a que correspode cada uo de los térmios de la ecuació. Tambié aquí existe ua fórmula codesada que resuelve el problema directamete: ( i) i F = o su iversa = F 7 i ( i) Sustituyedo valores: F = (.0) 000 = La fórmula 7 se desarrolla mediate ua maipulació algebraica de la solució por fórmula básica, a la cual se le llamó fórmula. Obsérvese que: F = [ (.0) - (.0) - (.0) - (.0) - (.0) - (.0) - ] 8 Multiplíquese la ec. 8 por ( i): F (.0) = [(.0) (.0) (.0) (.0) (.0) (.0) ] Restar (8 7) y sustituir úmeros por literales: F( i ) = [(i) ] Simplificado y despejado F: ( i) F = i Se dejó deliberadamete la = para poder geeralizar la aplicació de la fórmula, es decir, si mediate la maipulació hecha, resultó que la tiee u valor de y la del ejemplo es, etoces se puede hacer ua geeralizació resultado la fórmula 7. Si embargo, el uso de esta fórmula tambié tiee restriccioes de uso y so:.- La primera está e el periodo..- La última está e el periodo..- Los depósitos (pagos) o se iterrumpe.

12 Como el ejemplo se elaboró para que se apegara exactamete a estas restriccioes, fue posible utilizar directamete la fórmula para resolver el problema. hora se preseta ejemplos dode los datos o se ajusta a las restriccioes, para observar como se resuelve el ejemplo co el uso de la fórmula 7. Ejemplo.- Se deposita $ 000 cada mes de los meses a, e u baco que paga u iterés de % mesual. No se retira diero Cuáto se acumula e el baco al fial del oveo mes? Solució: Obsérvese que el ejemplo es muy similar al ejemplo., excepto que se hace el sexto depósito al fial del sexto mes y el diero acumulado se deja depositado meses más. Esto viola la restricció, ya que la del ejemplo es 9, e tato que sólo se hace depósitos. El diagrama del ejemplo es: F =? Gráfica 7 La primera solució es co la fórmula básica. Obsérvese que el depósito del mes, permaece depositado 8 meses, gaado cada mes el % de iterés, y el último depósito correspodiete al mes, se queda depositado solo meses. F = 000(.0) 8 000(.0) 7 000(.0) 000(.0) 000(.0) 000(.0) = 9.87 Si se quiere utilizar la fórmula 7 e la solució se debe teer claro como actúa o qué hace la fórmula. Lo que hace es sumar ua serie uiforme a su valor equivalete y depositar la suma e el último periodo de la serie, haciedo éfasis que el último depósito (pago) de la serie o gaa iterés. E el ejemplo esto sigifica que la fórmula va a sumar los depósitos de $ 000 a su valor equivalete y los va a depositar al fial del periodo, es decir, e el último periodo de la serie de depósitos. Ua vez que se ha acumulado cierta catidad al fial del periodo, el diero se deja depositado tres meses más, gaado el % de iterés mesual. F = (.0) 000 (.0) 0.0 = 9.87 Hay que observar uevamete e este problema, que la de la fórmula o es la de todo el horizote de aálisis del problema que so 9 periodos, sio que la debe ser, por que es el úmero de depósitos que se realiza obedeciedo las restriccioes de uso de la fórmula codesada. Ua tercera solució implica cosiderar que se hace 9 depósitos y luego restar aquellos meses dode o se deposita. Recordado como trabaja la fórmula, se resta los últimos depósitos, de la forma idicada, porque la fórmula dice que e el periodo, que e este caso se supoe que es 9, hay u depósito que ya o gaa iterés. F = 9 (.0) (.0) 000(.0) 000(.0) 0 = 9.87 Ejemplo.7.- Ua persoa realiza depósitos de $ 000 cada uo e u baco que paga u iterés de % mesual. Hace depósitos al fial de los meses, y. Suspede los pagos e los meses, y, haciedo los últimos depósitos al fial de los meses 7, 8 y 9. No se retira diero Cuáto se acumula e el baco al mometo de hacer el último depósito al fial del oveo mes? Solució: El ejemplo es similar al, excepto que ahora se está violado la restricció de que los pagos (depósitos) o debe suspederse. El diagrama de flujo es el siguiete:

13 F =? Gráfica 8 La primera solució es co la fórmula básica: F = 000(.0) 8 000(.0) 7 000(.0) 000(.0) 000(.0) 000 = E la seguda solució, se cosidera que existe dos series uiformes, la primera está e los periodos, y, y la seguda serie está e los periodos 7, 8 y 9. Utilizado la fórmula 7 se tiee: F = (.0) 000 (.0) 0.0 (.0) 000 = La tercera forma de solució es supoiedo ua vez más que se hace 9 depósitos, y luego restar, a su valor equivalete, aquellos depósitos que o se hace: 9 (.0) (.0) F = (.0) o bie hacer la resta de las mesualidades ua a ua: = (.0) F = (.0) 000(.0) 000(.0) = La validez del resultado se puede comprobar utilizado ua tabla similar a la, tomado e cueta los periodos e que el diero se queda depositado gaado iterés, pero si depósitos adicioales e esos periodos. Ejemplo 8.- De los flujos de efectivo que aparece e la gráfica 8 calcular el valor de P, co u iterés de 0 % por periodo P =? Gráfica 9 Solució: El cálculo de P se hará de varias formas para demostrar la aplicació y flexibilidad que tiee las fórmulas mostradas hasta ahora. Por la fórmula básica: 0 P = (.) 0 (.) 0 (.) 0 (.) 0 (.) 0 (.) 0 (.) 7 0 (.) 8 0 (.) 9 0 (.) 0

14 Cosiderado dos series, ua serie de pagos uiformes de 0 cada uo, y otra serie de pagos uiformes de 0 cada uo: (.) (.) P = (.) 0.(.) (.) 0. Cosiderado que la serie es de 0 e cada térmio y sumar otra serie de 0, de los periodos a 0 (.) (.) P = (.) 0.(.) (.) Cosiderar ua serie de 0 térmios, co u valor de 0 cada térmio y restar ua serie de térmios de 0 de los primeros periodos: 0 (.) (.) P = (.) 0.(.) Todas las determiacioes ateriores se ha hecho cosiderado al tiempo cero como puto de comparació del diero. hora cosidérese a t como puto de comparació: P (.) (.) (.) = (.) hora cosidérese a t 0 como puto de comparació del diero P (.) 0 (.) = 0 (.) 0. (.) 0 0. Se ecotrará que e todas las formas propuestas de solució P = Series gradiete y el presete. E Igeiería Ecoómica se le llama serie gradiete a u diagrama de flujo que preseta la característica de que a partir del segudo periodo y por periodos sucesivos, hay u icremeto de ua catidad igual cada periodo, respecto de la catidad que aparece e el primero periodo. la catidad e que se icremeta cada periodo el flujo de efectivo se le llama gradiete y se deota por G. Ejemplo 9.- Ua persoa compró u automóvil; espera que los costos de mateimieto sea de $0 al fial del primer año y que e los subsecuetes aumete a razó de $0 auales. Si la tasa de iterés es de 8 % capitalizada cada año Cuál es el valor presete de esta serie de pagos durate u periodo de años? Solució: Los datos del ejemplo so: P =?; i = 8 %; primer pago = 0; G = 0. El diagrama de flujo es: P =? Gráfica 0

15 Como siempre, la primera opció de solució es por la fórmula básica: 0 P = (.08) 00 (.08) 0 (.08) 00 (.08) 0 (.08) 00 (.08) = 9.9 El diagrama de la gráfica 0 puede descompoerse e dos diagramas, los cuales al sumarse, de como resultado el diagrama origial: P' P'' Gráfica Gráfica Desde luego que P = P P Se observa que la suma de los dos diagramas produce el diagrama origial. El diagrama de la gráfica es ua serie uiforme, cuya solució da orige a P : 0 P ' = (.08) 0 (.08) 0 (.08) 0 (.08) 0 (.08) 0 (.08) (.08) = 0 = (.08) El diagrama de la gráfica que da orige a P, se puede resolver co la fórmula básica: P ' ' = =.0 (.08) (.08) (.08) (.08) (.08) (.08) o bie co la siguiete fórmula codesada: P = G i ( i) i ( i) 9 sustituyedo valores e 9: P ' ' = ( 0.08) 0.08 ( 0.08) =.897 como P = P P = = 9.9 La derivació de la fórmula.9 obedece tambié a ua maipulació y simplificació algebraica como sigue: De la solució umérica de P : P ' = 0 0 (.08) (.08) (.08) (.08) (.08) Para elimiar el aparete problema que represeta el que la serie detro de los corchetes empiece co el expoete, multiplíquese ambos lados de la ec. 0 por (i), es decir, por (.08): P ' (.08) = 0 (.08) (.08) (.08) (.08) (.08) Restar 0 :

16 P ' (0.08) = 0 0 (.08) (.08) (.08) (.08) (.08) (.08) Si se observa, la primera expresió etre corchetes es ua serie uiforme co = 0 y =, lo cual lleva directamete a la fórmula que ya había sido deducida, por tato: P ' = (.08) 0.08(.08) ((.08) multiplicado ambos lados de la ec. por (.08) y simplificado: 0 (.08) P ' = (.08) esta última ec. es la que llevó a la solució del ejemplo 9 y de ahí se puede geeralizar sustituyedo los úmeros por literales, para obteer la fórmula 9. Si embargo, hay que observar dos cosas importates e la fórmula 9:.- E ua serie gradiete, el valor del periodo es cero, a pesar de esto, la que se cosidera e la fórmula siempre es la de la serie uiforme del problema. Co referecia al ejemplo 9, la = ; cuado se descompoe la solució e dos partes, se observa de la solució de P, que la =, y que e la solució de P co la fórmula de gradiete, la vuelve a ser, a pesar de que el valor del periodo es cero, cuado se dibuja el diagrama de la serie gradiete, gráfica..- Lo que hace o la forma e que fucioa la fórmula 9 para resolver series gradietes, es que suma todos los gradietes a su valor equivalete y deposita la suma dos periodos ates del primer gradiete. Co referecia a la solució de P e el ejemplo 9 co la fórmula fudametal, esto se hace evidete, ya que el primer gradiete está e el periodo. 0 P ' ' = (.08) 0 (.08) 00 (.08) 0 (.08) 00 (.08) 0 (.08) = (.08) 0.08 (.08) Para mayor claridad, se preseta el diagrama co literales: 0 G G G G G 0 P'' Gráfica Se aalizó u ejemplo co gradiete positivo o creciete, es decir, que las catidades del gradiete se suma a la serie uiforme, ahora se preseta u ejemplo dode el gradiete se resta: Ejemplo 0.- Ua comercializadora vede computadoras persoales bajo las siguietes codicioes: se realiza u primer pago de $900 u mes después de la fecha de adquisició y ueve pagos adicioales mesuales, cada uo de los cuales dismiuye e $0 el pago del mes aterior, es decir, e el segudo mes se pagará $80, al fial del tercer mes se pagará $800, etc. Si el iterés que cobra la comercializadora es de % mesual Cuál será el valor a pagar de cotado por la compra de la computadora? Solució: Los datos so: = 900; G = 0; i = %; = 0. El diagrama de flujo es el que se represeta e la gráfica :

17 P =? Gráfica 900 P = (.0) 80 (.0) 800 (.0) 70 (.0) 700 (.0) 0 (.0) 00 (.0) 7 0 (.0) 8 00 (.0) 9 0 (.0) 0 P =.999 De forma simplificada el cálculo es: 0 (.0) P = (.0) (.0) (.0) 0 = Series gradiete y el futuro sí como e los ejemplos 9 y 0 se utilizaro el gradiete, positivo y egativo, para calcular u valor e el presete, tambié se puede calcular u valor e el futuro co series gradiete. Véase el siguiete ejemplo. Ejemplo.- Ua persoa depositó $00 e u baco al fial del primer mes, y los depósitos sucesivos se icremetaro e $0 cada uo, es decir, e el mes depositó $0, e el mes depositó $00, etc. Si el baco paga a sus ahorradores u iterés de % mesual Cuáto se va a acumular e el baco al mometo e que se haga el sexto depósito? Solució: Datos: = 00; G = 0: i = %; =. El diagrama de flujo del ejemplo es: F =? Gráfica Como e todos los casos, la primera solució es co la fórmula básica: F = 00(.0) 0(.0) 00(.0) 0(.0) 00(.0) 0(.0) 0 = 0.00 Si se divide el diagrama de la gráfica e dos, cuya sumatoria resulte e el diagrama origial, etoces tales diagramas so los umerados como las gráficas y 7. 7

18 F' =? Gráfica El diagrama de la gráfica es ua serie uiforme dode se calcula la catidad que se acumula e el futuro, a partir de haber hecho ua serie uiforme de depósitos (pagos), y la determiació se hace al mometo de realizar el pago (depósito), y este ejemplo se resuelve co la fórmula 7 F ' = (.0) 00 = Para la solució de F del diagrama de la gráfica 7 se utiliza los mismos pricipios que se argumetaro e la fórmula 9, excepto que ahora e vez de calcular ua catidad e el presete, se calcula ua catidad e el futuro: F'' =? Gráfica Obsérvese de la fórmula 9, como el último térmio etre corchetes es lo que hace que la catidad calculada sea eviada a su valor equivalete al presete: P = G i ( i) i ( i) 9 De forma que elimiado ese térmio, se tiee la fórmula para eviar ua serie gradiete al futuro. G ( i) F = i i Esta fórmula tiee los mismos pricipios que la fórmula 9, es decir, a pesar de que el gradiete e el periodo es cero, la que se aplica e la fórmula es la de la serie uiforme; lo que hace o la forma e que fucioa la fórmula, es que suma la serie gradiete a su valor equivalete y deposita la suma al mometo de hacer el último depósito (pago) del gradiete, es decir, e el periodo. Resolviedo F del ejemplo : F '' = ( 0.0) 0.0 = F = F F = = 0.7 Lo cual se puede cosiderar u resultado igual a aquel obteido por la fórmula básica, debiédose la diferecia al redodeo que hace las calculadoras. Evidetemete la fórmula de series gradiete para calcular ua catidad e el futuro, fucioa para gradietes positivos y egativos 8

19 (ascedetes y descedetes), tal y como fucioa cuado se calcula catidades e el presete a partir de gradietes. Ejemplo.- Calcule P del siguiete diagrama utilizado exclusivamete fórmulas de gradiete y para ua i = 0 % por periodo P =? Gráfica 8 Solució: La forma más secilla y segura de resolver este ejemplo es mediate la fórmula básica: 90 P = (.) 80 (.) 70 (.) 0 (.) 0 (.) 0 (.) 0 (.) 7 0 (.) 8 70 (.) 9 80 (.) 0 90 (.) = P = Resolviedo el problema de acuerdo al euciado, se puede teer tres plateamietos distitos: a).- el primero es tomar ua serie gradiete descedete de los periodos a, y el resto como ua serie ascedete y comparar el diero e t 0 ; b).- el segudo plateamieto es cosiderar ua serie gradiete descedete de los periodos a, y el resto cosiderarlo como ua serie ascedete, comparado el diero e t 0 ; c).- el tercer plateamieto es comparar el diero e t o t, e este caso se tomará como puto de comparació a t : a).- (.) P = 90 0.(.) b).- (.) P = 90 0.(.) 0 (.) (.) 0 0. (.) 0. (.) (.) 0 0.(.) (.) 0 0.(.) 0 (.) (.) 0 (.) (.) (.) (.) c).- P (.) (.) = (.) (.) (.) 0 0. (.) 0. (.) d).- P (.) (.) 0 (.) (.) 0 (.) = 90 (.) (.) Resolviedo, e todos los plateamietos se ecuetra el mismo resultado. Se podrá observar que existe al meos seis solucioes al problema, pues además de las cuatro mostradas, existe ua variate e las últimas dos solucioes, cosistete e tomar la primera serie de cico térmios (del los periodos a ), e vez de tomarla de seis térmios (de los periodos a ), como se hizo.. 9 Iterés omial e iterés efectivo. E el mudo de los egocios y de los impuestos, u año ha sido y es el periodo e que se da cifras totales. E los egocios se habla de declaracioes auales, utilidad aual, etc., auque las declaracioes fiacieras pueda calcularse e periodos meores de u año, la referecia siempre va a ser u periodo aual. Lo mismo sucede co los impuestos, auque haya declaracioes parciales, ya sea mesuales o trimestrales, al fial el pago, o la devolució de impuestos, siempre tedrá ua base aual. 9

20 Co el maejo cotidiao del diero es igual. Si se pide prestado o deposita diero e cualquier baco, o se compra a crédito cualquier artículo, la tasa que se cobra siempre tiee ua base aual, auque los pagos (cobros), ormalmete se realiza e itervalos más pequeños de tiempo, trimestres, meses e icluso semaas. Esta forma e que se maeja el diero, ha dado orige a los coceptos de iterés omial e iterés efectivo. Véase el siguiete ejemplo: Ejemplo.- Ua persoa pide u préstamo a u baco por $0 000 por el que se cobra u iterés de % aual. Las codicioes so que el capital deberá ser pagado al fial de u año. Determiar la catidad de diero que acumula e baco si: a).- El iterés se paga ua sola vez a fi de año. Solució: Iterés = 0 000(0.) = 00 Catidad acumulada a fi de año = = $ 00 b).- El iterés de % aual se paga e dos partes: la primera al fial del primer semestre por $ 00 y la seguda parte por la misma catidad al fial del año, lo cual es equivalete a pagar u iterés de % semestral. quí está el efoque que tiee u hombre de egocios y ua persoa ormal co ua deuda. Para la persoa que debe, probablemete sea idiferete pagar $ 00 a fi de año, que dos veces $ 00, si embargo, para el baco o para los hombres de egocios, o es igual. E todo caso, si se supoe que el baco recibe el primer pago y lo gurda e la caja fuerte, etoces para el baco tambié sería igual, pero es obvio que o es así. Cualquier diero que recibe el baco, de imediato lo vuelve a prestar, pues ese es su egocio, o e todo caso lo reivierte e otra opció, pero uca lo deja imóvil. El diagrama de flujo de esta operació es: F =? 0 semestre semestre Gráfica 9 E este caso, el pago que recibe el baco al fial del primer semestre lo vuelve a prestar a la misma tasa semestral de %, por lo que gaa el % sobre $ 00 que ha recibido. Los datos del problema o da más elemetos para supoer que el baco pudiera prestar la catidad de $ 00 que ha recibido al fial del primer semestre, a otra tasa de iterés. La suposició es que repite exactamete la misma operació co otro cliete. La catidad acumulada a fi de año es: F = 00 00(0.) = $ c).- El iterés de % aual se paga e cuatro partes iguales: se paga $00 al fial de los trimestres,, y, lo cual es equivalete a pagar u iterés de % trimestral. El diagrama de flujo es: Se hace la misma suposició que e el iciso b), es decir, que cada vez que el baco recibe u pago, lo vuelve a prestar a la misma tasa de % trimestral. La catidad acumulada a fi de año es: F = 00(.0) 00(.0) 00(.0) = $.79 El diagrama de flujo de este iciso es: 0

21 F =? 0 trim trim trim trim Gráfica 0 O bie utilizado la fórmula 7 que calcula ua catidad e el futuro a partir de ua serie uiforme de pagos: (.0) F = =.79 La catidad que queda como excedete de los $0 000 del préstamo a fi de año, de hecho es la tasa de gaacia aual. Por ejemplo, e el iciso a), el porcetaje de gaacia fue de %, e el iciso b), fue de. % y e el iciso c), fue de.79 %. Obsérvese como al reducir el periodo e el cual se cobra el iterés, se acumula más diero a fi de año, a pesar de que e todos los icisos se está cobrado u iterés aual de %. Esto lleva a decir que el % es la tasa de iterés omial aual, e tato que la gaacia eta aual, expresada como porcetaje de gaacia es el iterés efectivo aual, que e este caso fue de. % para el iciso b) y de.79 para el iciso c). Existe ua fórmula que hace el cálculo directo de la tasa de iterés efectiva aual: i i efectivaaual dode: i = iterés omial aual = periodos de capitalizació del iterés meores de u año. Obsérvese que la fórmula es la misma fórmula básica desarrollada e u pricipio, excepto que el iterés se divide por u úmero etero, que es el periodo de capitalizació, dado lugar a la tasa de iterés por periodo meor de u año. Co la fórmula. se va a recalcular los icisos a), b) y c) del ejemplo y se va a seguir dismiuyedo el periodo de capitalizació del iterés. Véase la siguiete tabla: Iterés omial aual Periodo de capitalizació meor de u año = Iterés por periodo meor de u año % ual % % Semestral % Trimestral % Mesual % Semaal % Diario Iterés efectivo aual 0. = = 0. = = 0. = = 0. = = 0. = = 0. =

22 % Cada hora x x = Tabla 0 Iterés cotíuo Se observa que el iterés efectivo aual se icremeta co cada dismiució del periodo de capitalizació. Se puede seguir dismiuyedo ese periodo, pero hay u límite. El límite que se está buscado es: lim i i = e De esta expresió se obtiee la fórmula de iterés cotiuo: i cotíuo = e i dode: e = base de logaritmos aturales = periodos de capitalizació meores de u año i = iterés omial aual. Calculado el iterés cotiuo para u iterés omial aual de % se tiee: i cotiuo = e 0.x = 0.79 Se observa que el resultado es ligeramete mayor que aquel obteido cuado se capitalizó el iterés cada hora. E el último cálculo la = debido a que para que el resultado pudiera ser comparable co los resultados de la tabla, es ecesario calcular el iterés efectivo aual, tal y como se hizo e la columa de la derecha de la tabla. Tiee algua utilidad práctica calcular iterés co capitalizació cotiua? Supógase que usted compra algú istrumeto de iversió como los Cetes que se vede e México), los cuales se adquiere e ua Casa de Bolsa y tiee vecimietos e múltiplos de 7 días, siedo el plazo más corto de 7 días. Usted adquiere u lote de Cetes a u plazo de 7 días, u lues y tedrá que esperar hasta el siguiete lues para haber gaado u iterés, y tedrá todo el día para poder cobrar el iterés que ha gaado. Lo mismo sucede co los demás istrumetos y plazos que se cotrata, lo cual sigifica que so periodos discretos. su vez, esto sigifica que debe haber ciertos istrumetos de iversió o ciertas formas de maejar el diero, dode el precio (costo) del diero, cambie muy frecuetemete. Tales istrumetos so las llamadas opcioes. E 97, los orteamericaos Black y Schöles, desarrollaro ua fórmula para calcular el precio de las opcioes e la Bolsa de Valores de Nueva York, y para ello utilizaro el iterés cotiuo. El resultado práctico de esto, es que el precio de tales opcioes, cambia de u mometo a otro y muchas veces durate ua sola jorada de la Bolsa, es decir, el precio al cual se compra las accioes, es mucho más real de lo que era e el pasado, pues su precio refleja casi al istate las codicioes del mercado. Todas las fórmulas hasta ahora presetadas, se puede expresar co capitalizació cotiua. Para obteerlas, basta sustituir ( i) por e i e cada ua de las fórmulas de iterés discreto, tal y como se muestra e la siguiete tabla: Capitalizació discreta F = P( i) ( i) P = i( i) Capitalizació cotiua F = Pe i i e P = i i e ( e Las opcioes perteece a los llamados istrumetos derivados, que so istrumetos utilizados para especular y para cubrir riesgos fiacieros e las empresas. Para mayor iformació puede cosultarse u texto de Igeiería Fiaciera.

23 ( i) F = i e F = e i i Tabla Iterés e periodos meores de u año. Es coveiete efatizar que e el adecuado maejo del iterés omial y el iterés efectivo, el cocepto importate es el periodo de capitalizació del iterés, el cual es el lapso de tiempo que debe trascurrir para gaar (pagar) u iterés. Lo que la tabla muestra es que el iterés efectivo aual es mayor coforme dismiuye el periodo de capitalizació, llegado a su límite co el iterés cotiuo. El efecto que se geera fue el mostrado e el ejemplo, es decir, para ua capitalizació semestral del iterés, hay que esperar u semestre para gaar u iterés, para u mes hay que esperar u mes para gaar el iterés, etc., pero cada vez que se gaa u iterés, el diero se vuelve a reivertir, y para el siguiete periodo se gaará iterés o solo sobre el capital iicial, sio tambié sobre el iterés o los itereses gaados e los periodos previos, es decir, sobre el iterés que ya se volvió capital o iterés capitalizado, por tato, a meor periodo de capitalizació, se va geerado más rápido itereses que se covierte e capital co la misma rapidez. Se puede costruir otra tabla que muestre como se puede calcular tasas de iterés efectivo e periodos meores de u año: Iterés omial aual Periodo de capitalizació Iterés por periodo Iterés efectivo aual Iterés efectivo semestral Iterés efectivo trimestral Iterés efectivo bimestral Iterés efectivo mesual Iterés efectivo semaal % ual 0. % N.C. N.C. N.C N.C N.C % Semestral 0. (.) 0. N.C N.C N.C N.C % Trimestral 0.0 (.0) (.0) 0.0 N.C. N.C. N.C. % Bimestral 0.0 (.0) (.0) N.C. 0.0 N.C. N.C. % Mesual 0.0 (.0) (.0) (.0) (.0) 0.0 N.C. % Semaal 0.00 (.00) (.00) (.00) (.00) 8 (.00) 0.00 N.C.- No calculable o icorrecto si se calcula. Tabla Hay dos aspectos importates que se debe resaltar de la tabla. La primera es la aotació NC o o calculable o icorrecto si se calcula. Esto sigifica que si se tiee ua tasa, por ejemplo, de % aual capitalizada semestralmete, teóricamete o tiee setido calcular u iterés efectivo e periodos meores a seis meses, ya que es ecesario esperar seis meses para gaar u iterés, y a esto se debe que cuado el periodo de capitalizació es ua semaa sea posible calcular tasas de iterés efectivas para cualquier periodo mayor a ua semaa. Tambié, obsérvese que todos los expoetes de cualquier cálculo que aparece e la tabla, so el úmero de veces que el periodo de capitalizació está coteido e el periodo mayor al cual se quiere calcular el iterés efectivo, por ejemplo, se quiere calcular la tasa de iterés efectiva semestral a partir de ua tasa cuyo periodo de capitalizació es mesual, el expoete es porque hay meses e u semestre, auque hay tambié semaas e u semestre, ya que el año tiee semaas. Ejemplo.- Ua persoa ahorra $ 000 cada año de los años a, e u Baco que paga u iterés de % aual. No se retira diero. Calcular la catidad que se acumula e el baco al mometo de hacer el depósito úmero, si: a).- El iterés se capitaliza aualmete: Solució: Este ejemplo es similar al ejemplo y solo se calcula para fies de comparació. El diagrama de flujo es: