LEONARDO DAVID DONADO GARZON

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1 8 CAPITULO HIDRAULICA DE POZO LEONARDO DAVID DONADO GARZON TABLA DE CONTENIDO Pág. INTRODUCCION CONCEPTO BAICO 3 MOVIMIENTO NO PERMANENTE 3 3. POZO DE PEUEÑO DIÁMETRO 4 3. POZO DE GRAN DIÁMETRO 4 MOVIMIENTO PERMANENTE 3 4. ACUÍFERO CONFINADO 3 4. ACUÍFERO EMICONFINADO ACUÍFERO LIBRE 3 5 PRINCIPIO DE UPERPOICION CAO DE DO POZO MÉTODO DE LA IMÁGENE 35 6 APLICACIONE UO DE LA ECUACIÓN DE THEI UO DE LA ECUACIÓN DE JACOB UO DE LA ECUACIÓN DE CHEN UO DE LA ECUACIÓN DE PAPADOPULO & COOPER UO DE LA ECUACIÓN DE THIEM UO DE LA ECUACIÓN DE DE GLEE - JACOB UO DE LA ECUACIÓN DE DUPUIT - FORCHHEIMER 4 7 REFERENCIA 4

2 CAPÍTULO 8 HIDRÁULICA DE POZO IINTRODUCCIION Una vez deteminada la poibilidade de poducción de agua ubteánea en una deteminada zona, el iguiente poceo e detemina u adecuada explotación. Paa una adecuada poducción de lo pozo de explotación de lo acuífeo fuente, e neceaio detemina el uo y aí caacteiza de manea económica el beneficio de la explotación del ecuo. A continuación, e peentan lo difeente método de análii de pozo en lo difeente tipo de acuífeo exitente. La intención e mota el deaollo matemático de toda la ecuacione que gobienan el movimiento del agua ubteánea en explotación, ya ea bombeo o ecaga de acuífeo. La pincipal aplicación planteada en ete capítulo e la de detemina lo adio de influencia de lo pozo paa aí e neceita detemina que intefeencia pueden tene ente ello. Ademá con lo concepto explicado, e tendá la capacidad de detemina el abatimiento del nivel feático del acuífeo en cualquie punto cuando e eta extayendo agua. CONCEPTO BAIICO La Figua iluta un pozo en una fomación acuífea. En ella e detallan cada uno de lo concepto definido a continuación: Nivel Etático E el nivel de agua peente en la fomación acuífea ante de comenza el bombeo. Ete nivel e ve afectado po efecto meteoológico (pecipitación, infiltación) etacionale o po caga adicionale (edificacione), o po la decaga poducida po pozo cecano. Nivel Dinámico También llamada nivel de bombeo, po que e poducido cuando comienza la decaga de l acuífeo po el pozo. Ete nivel depende del caudal de bombeo, del tiempo de bombeo y de la caacteítica hidogeológica del acuífeo. También e debe tene en cuenta la técnica deaollada en el dieño de pozo. Abatimiento Bajo condicione de extacción o inyección de un pozo, la caga hidáulica inicial en cualquie punto del acuífeo cambia. En condicione de extacción de un pozo, la ditancia vetical ente la caga hidáulica inicial en un punto en el acuífeo y la poición baja de la caga hidáulica paa el mimo punto e llamado abatimiento. Paa un acuífeo libe el nivel del agua en el nivel feático etá deteminado po la ditancia (x,y,z,t), la cual e el abatimiento. Paa el cao del acuífeo confinado, el abatimiento e definido con epecto a la upeficie piezomética. Ete deceno de nivele, define la cuva de abatimiento, po lo tanto e clao que el abatimiento peente u meno valo en lejanía del pozo y el mayo valo en el pozo. La dimenión del abatimiento e la longitud [L]. El abatimiento e genealmente expeado en meto de agua

3 CAPÍTULO 8 HIDRÁULICA DE POZO 3 upeficie del teeno b Abatimiento Acuífeo libe Capa filtante confinate Acuífeo confinado Lecho impemeable z Pozo upeficie piezomética ante del bombeo upeficie piezomética al tiempo t upeficie piezomética al tiempo t + t Figua Equema epeentativo del bombeo de un pozo. () (+ ) h Datum h(,t) Cono de depeión Al poducie el deceno del nivel etático del pozo, e etablece un gadiente hidáulico ente cualquie punto de la fomación y el pozo, oiginándoe un movimiento adial dede toda la dieccione hacia el pozo en una foma imética y de tal manea que el caudal que e extae del pozo e igual al caudal que paa po cualquie ección del acuífeo. A medida que la velocidad aumenta mayo eá el gadiente hidáulico ya que aumenta la ficción exitente ente el fluido y la patícula ólida en contacto; e po eo que lo que e foma alededo del pozo e le conoce como cono de depeión que obe un plano vetical peenta una cuva conocida con el nombe de cuva de abatimiento. La foma, alcance y pofundidad de ete cono de depeión dependeá de la condicione hidogeológica (tanmiividad y coeficiente de almacenamiento del acuífeo), del caudal y el tiempo de bombeo o inyección. En el acuífeo confinado el cono de depeión e la epeentación de la vaiación de lo nivele piezomético en tanto que en el acuífeo libe e ademá la foma eal de la upeficie piezomética. Capacidad Epecífica E la elación que exite ente el caudal que e obtiene de un pozo y el abatimiento poducido y e expea en unidade de caudal po longitud, [L 3 /T/L]. Ete valo e contante paa acuífeo confinado y vaiable paa lo acuífeo libe; e un témino que epeenta el gado de eficiencia de un pozo ya que de do pozo pefoado en una mima fomación acuífea, el de meno capacidad epecífica tendá meno eficiencia. El gado de eficiencia de un pozo lo deteminaemo con bae en la tanmiividad y el coeficiente de almacenamiento de la fomación acuífea, (con la cual podemo calcula un valo de la capacidad epecífica teóica) el valo de la capacidad epecífica eal medida en el pozo. 3 MOVIIMIIENTO NO PERMANENTE En 935 Thei planteó el modelo matemático paa decibi el movimiento de agua ubteánea en acuífeo homogéneo e iotópico. Ete modelo decibe el flujo taniente en acuífeo bajo condicione contante de extacción de un pozo en acuífeo. A pea de u limitacione tiene mucha aplicacione en la hidáulica de pozo. Tata el pozo como una línea oigen y no toma en conideación el agua obtenida del almacenamiento dento del pozo. Papadopulo y Coope genealizaon la ecuación de Thei conideando lo efecto de almacenamiento.

4 4 CAPÍTULO 8 HIDRÁULICA DE POZO 3. POZO DE PEUEÑO DIÁMETRO 3.. Acuífeo confinado 3... Conideacione Báica Paa el cumplimiento del Modelo de Thei hay que tene en cuenta la iguiente conideacione equematizada en la Figua. Acuífeo homogéneo e iotópico Acuífeo hoizontal y de epeo contante, b Decaga contante, No hay goteo Acuífeo de extenión infinita El diámeto del pozo e infiniteimalmente pequeño, e deci que no exite almacenamiento en el pozo El pozo peneta todo el acuífeo Ante del bombeo la caga piezomética en el acuífeo en la mima en cada punto del acuífeo La decaga del pozo e obtenida excluivamente del almacenamiento del acuífeo El agua e inmediatamente libeada del almacenamiento del acuífeo al declina la caga hidáulica El almacenamiento en el acuífeo e popocional a la caga hidáulica upeficie del teeno z Pozo upeficie piezomética ante del bombeo upeficie piezomética al tiempo t upeficie piezomética al tiempo t + t Capa confinate h h(,t) Acuífeo confinado b () (+ ) Lecho impemeable Datum Figua. Flujo inetable en un pozo que peneta totalmente en un acuífeo confinado. ección tanveal vetical Ecuación de Movimiento Utilizando la Ecuación de Movimiento que gobiena en flujo en acuífeo iotópico: h x h h + + y z T h t [3.] Donde T e la tanmiividad, el coeficiente de almacenamiento y e la conductividad hidáulica.

5 CAPÍTULO 8 HIDRÁULICA DE POZO 5 abiendo que ecuación: T b y b, analizando el poblema bidimenional, e obtiene la iguiente h h + x y T h t [3.] Utilizando coodenada polae, donde caudal e definida po v v (, z, t) adial. + x y y conideando la ley de Dacy, que en témino de ( t) h, z,, donde e la conductividad hidáulica en diección La taa total del flujo a una ditancia del pozo e: h () A v ( π b) q π T [3.3] La caga piezomética una ditancia e h(,t); luego de un tiempo t, la caga piezomética e eá h(,t+ t) y la diminución de la caga piezomética e: ( t + t) - h(, t) Uando la figua 3., y aplicando la ecuación de continuidad: h h, [3.4] [ () ( + ) ] t h π [3.5] y como y t h π t [3.6] Reemplazando la ecuación 3.3 en la ecuación 3.6, e obtiene: i el abatimiento etá definido po: h h h + h h + T T T t h t h t [3.7] [3.8] ue e la ecuación de movimiento en flujo tanitoio adial Condicione de Fontea egún la upoicione de Thei, la condicione on la iguiente:

6 6 CAPÍTULO 8 HIDRÁULICA DE POZO Paa el Abatimiento Cuando no e etá extayendo agua en cualquie punto del acuífeo el abatimiento e nulo; e deci:, en t, (,t) (,) En condicione de extacción de agua, e upone que en la ditancia má lejana del pozo, el abatimiento e nulo; e deci: t>, en un adio, (,t) (, ). Decaga i e tiene que en cuenta que ólo e poduce abatimiento cuando e extae agua, e concluye que: Cuando t <, Cuando t, contante Ahoa, como la taa de bombeo e contante en el pozo, de la ecuación 3.6, e tiene que paa t : lim [3.9] π T olución de la Ecuación de Movimiento Paa enconta la olución e aplica el método de epaación de vaiable (Pikunov, 977); e deci e buca la olución paticula de la ecuación 3.8 en foma de un poducto de do funcione: (, t) f( ) g( t) Remplazando etá función en la ecuación 3.8 e obtiene: [3.] f g + f g fg T f f g + f f T g [3.] Al demota que on epaable, etá funcione on iguale a una contante, que e llamaá λ. Entonce igualando λ al lado izquiedo de la ecuación 3.: f f + λ f f f + f fλ f + f fλ Al oluciona po opeado cuadático: D + D λ

7 CAPÍTULO 8 HIDRÁULICA DE POZO 7 D [ ± + 4λ ] Peo dependiendo del valo que tome el diciminante, e obtendán la difeente aíce, aí: +, exiten aíce eale difeente: D [ ± + 4λ ] i) i 4λ >. + + λ 4 + 4λ e Entonce la olución paticula e: f () C e + C ii) í + 4λ, exiten aíce eale iguale: D f Entonce la olución paticula e: () C e + C e. +, exiten aíce imaginaia difeente: D ± i ( + 4λ ) [ ] iii) i 4λ < Entonce la olución paticula e: () f e ( + λ ) + ( + λ ) C co 4 C en 4. Igualando ahoa al lado izquiedo de la ecuación 3. a λ: λ g λ T g, g λ Integando: T g, y luego depejando g(t) e llega a: ln g λt + T g λ () t P e Tt ( ) M, donde P e M contante Po lo tanto, como de f e obtienen te olucione, la olución de la ecuación 3.8 puede tene te foma:, t C λ e + + 4λ + C λ e + 4λ e i) ( ) ( ) ( ) ii) (, t) C( λ) e + C( λ) λtt ( ) iii) (, t) e C λ co λ ( e ) e Tt ( ) ( + 4λ ) + C ( λ) en ( + 4λ ) Paa cada valo de λ, la contante abitaia C, C y P tienen valoe deteminado; po eo C y C ; on funcione de λ y aboben el valo de P. También e aclaa que la uma de la te foma de olución on olucione de la ecuación 3.8, debido a u linealidad.. λtt

8 8 CAPÍTULO 8 HIDRÁULICA DE POZO olución de Thei Paa enconta la olución y el valo de la contante, Thei eemplazó la condicione iniciale y de fontea en la anteioe combinacione, y aí encontó la función de abatimiento po analogía de tanfeencia de calo en ólido: A u (,t) e t [3.] Donde A e una contante y u. Paa t>, el volumen total V, de agua tomado del acuífeo e: 4tT V π d [3.3] Reemplazando 3. en 3.3: V V π π A t A t e e u 4tT d [3.4] d Al oluciona eta integal e tiene que: V π A t e 4tT d π A t Tt e 4tT [3.5] De donde: V A 4 π T A V 4 π T [3.6] Reemplazando 3.6 en 3. e tiene que: 4Tt V (, t) e [3.7] 4 π T t El Volumen de agua V, del acuífeo e emovido duante el peíodo de tiempo dt. Aí que V t. y dv dt, y entonce:

9 CAPÍTULO 8 HIDRÁULICA DE POZO 9 4Tt dv d (, t) e [3.8] 4 π T t i el agua e bombeada a una taa de po unidad de tiempo de t a tt en el oigen po integación e obtiene: d (, t) (, t) dt 4Tt e [3.9] 4 π T t t dt 4Tt e [3.] 4 π T t Reemplazando: u, entonce: 4Tt -u e (, t) h - h(, t) du 4 π T [3.] u u Donde: u u e u du Ei ( u) W( u) [3.] La integal exponencial e conoce como la función de pozo de Thei, y u olución etá dada po una eie de potencia: 3 4 u u u W() u.577 ln() u + u + +.! 3.3! 4.4! n n u W() u.577 ln() u ( ) n.n! n [3.3] Ahoa e puede defini el abatimiento en témino de la cuva de Thei: [3.4] 4 π T (, t) W() u La Figua 3 mueta la cuva típica de Thei, útil paa detemina la paámeto hidogeológico de acuífeo confinado uando dato de pueba de bombeo. También e pueden taza iolínea de tiempo gaficando el abatimiento en función del adio e iolínea de adio, gaficando el abatimiento en función del tiempo.

10 CAPÍTULO 8 HIDRÁULICA DE POZO Figua 3 Cuva de Thei. (Batu, 998) La ecuación e aplicable a acuífeo libe i el abatimiento e pequeño compaado con el epeo b de la fomación. (Batu, 998) c La ecuación e cumple paa la iguiente condición: t > 5, donde c e el adio del pozo, po no tene en T cuenta el almacenamiento en el pozo. i lo paámeto, b, y on conocido, e puede detemina el abatimiento de la caga hidáulica en el acuífeo confinado a cualquie ditancia del pozo, en cualquie tiempo. Lo único neceaio e detemina el valo del paámeto u y aí enconta el valo de la función del pozo de Thei, W(u). Figua 4 Iolínea de tiempo y de adio en función del abatimiento. (Batu, 998)

11 CAPÍTULO 8 HIDRÁULICA DE POZO Ecuación de Jacob Coope & Jacob, 946, tomaon en cuenta que cuando u,u <., la uma de lo témino má allá de ln (u), en la ecuación 3.3, no e ignificativa. Lo valoe de u dececen cuando el tiempo e incementa y cuando la ditancia adial decece. Bajo ea condicione: [3.5] 4πT (, t) [.577 ln() u ] (.564) (, t) [ ln(.564) ln( u) ] π π ln 4 T 4 T [3.6] u Reemplazando, u 4Tt (, t) ln 4πT.5 Tt π ln [3.7] 4 T 4Tt (.564) La ecuación 3.7 e conocida como la ecuación de Jacob. ue expeada en témino del logaitmo en bae e igual a:.3.5 Tt (, t) π log 4 T [3.8] Como pimea aplicación de la ecuación de Jacob e puede ua paa obtene el adio e influencia, cuando el abatimiento e nulo. Entonce depejando el Radio e obtiene.5 Tt ln 4πT R.5 Tt ln R Tt R.5 [3.9] La ecuación de Jacob tiene la ventaja, epecto a la ecuación de Thei, de no equei la conulta o tabla de la función de pozo de Thei Capacidad Epecífica y Etimación de Tanmiividad La capacidad epecífica, CE de un pozo e definida como la elación de u decaga con u abatimiento total [CE/]; en ota palaba e el caudal po unidad de abatimiento. e puede deaolla una muy imple ecuación paa etima la tanmiividad a pati de la capacidad epecífica, uando la ecuación de Jacob. Eta deivación etá baada en un diámeto medio del pozo en un peíodo pomedio de bombeo, y valoe típico del coeficiente de almacenamiento y poducción epecífica.

12 CAPÍTULO 8 HIDRÁULICA DE POZO Paa acuífeo confinado, Dicoll en 986 (Batu, 998) aumió lo iguiente valoe típico: Tabla Valoe típico paa acuífeo confinado egún Dicoll. (Batu, 998) Paámeto Valo Unidade Tiempo, t Día Radio del pozo,.5 m Poducción,. Adimenional Tanmiividad, T 373 m /día utituyendo eto valoe en la ecuación de Jacob, e obtiene: 3 [ m ] [ ] [ m T ] CE m día [ m] día.385 T [ m ].385 CE [ m ] día día [3.3] [3.3] Paa un acuífeo libe, con poducción epecífica y.75, como valo típico, y el eto de valoe motado en la tabla, e poduce la iguiente elación: 3 [ m ] [ ] [ m T ] CE m día [ m] día.4 T [ m ].4 CE [ m ] día i e tienen múltiple pozo, la infomación obtenida de la anteioe ecuacione puede uae paa etima la conductividad hidáulica pomedio ( med [m/d]) del acuífeo, mediante la iguiente elación: día [3.3] [3.3] nln med [3.3] L Donde e la conductividad de cada pozo, n e el númeo del pozo y L e la longitud del filto Ecuación de Chen En 984, Chen extendió la ecuación de Thei, paa acuífeo de extenión lateal finita, como ila o meando. Deteminó que la ditancia en la cual el abatimiento e nulo, en condicione de bombeo, e conocida, y la llama R. E deci: (R,t), donde R e la e la ditancia adial donde la enegía e ceo. La olución encontada e conoce como la Ecuación de Chen (Batú, 998): n Donde: (,t) [ W( u) W( U) + I] 4 π T [3.33] R U 4Tt

13 CAPÍTULO 8 HIDRÁULICA DE POZO 3 u J χn U I ( ) e n χn J χn χ n R βn Donde: J, J : función de Beel de oden ceo y uno. β n : e la enéima aíz que atiface J (R χ n ). ( x ) U χn x 4U 4 π T La Figua 5 mueta la gáfica u conta, que e la uada paa efecto páctico. e nota que cuando R U 4, la olución e igual a la de Thei. En ota palaba, ólo cuando t, e jutifica ua ete 6T modelo. dx x olución de Thei 3.. Acuífeo emiconfinado Figua 5 Cuva de Chen. (Batu, 998) Hantuh y Jacob en 955 (Batu, 998), deaollaon el modelo aplicable a acuífeo emiconfinado, iotópico y homogéneo, ilutado en la Figua 6. Eto do invetigadoe tuvieon en cuenta la iguiente upoicione:

14 4 CAPÍTULO 8 HIDRÁULICA DE POZO upeficie piezomética ante del bombeo upeficie del teeno z upeficie piezomética duante el bombeo (cono de depeión) Nivel Etático v upeficie piezomética al tiempo t + t Capa confinante b Acuífeo confinado h H Lecho impemeable Figua 6. Acuífeo emiconfinado Acuífeo homogéneo e iotópico Acuífeo hoizontal y de epeo contante, b, y u capa confinante poee un epeo contante b y una conductividad hidáulica vetical. Decaga contante, Acuífeo de extenión infinita El diámeto del pozo e infiniteimalmente pequeño, e deci que no exite almacenamiento en el pozo El pozo peneta todo el acuífeo La capa confinante no almacena agua El flujo en el acuífeo e hoizontal y el goteo e vetical Inicialmente, la tabla de agua poee la mima altua de la caga hidáulica del acuífeo y e igual a h. La ecuación difeencial pacial paa flujo adial, fue obtenido po Jacob en 946, e la ecuación que gobiena el movimiento en ete tipo de acuífeo. Aplicando el pincipio de continuidad, pa el anillo dado, e tiene: [ () ( + ) ] t + v t ( π) h [3.34] ( π b) v v v A v [3.35] h h Uando la Ley de Dacy: v v ' [3.36] b'

15 CAPÍTULO 8 HIDRÁULICA DE POZO 5 Y combinado la anteioe ecuacione, e concluye que: h h [3.37] b' [ () ( + ) ] t + ( π ) ' t ( π) h Como y, tienden a ceo y aplicando la definición de la deivada, e llaga a: + h h b' ( π) ' ( π) h t [3.38] Y abiendo que el abatimiento e el la difeencia de nivele, h -h y que el caudal en el acuífeo etá dado po: h () π T [3.39] La ecuación e igual a: + ' Tb' T t [3.4] Y í e eemplaza: B Tb' ', la ecuación toma la foma: + B T t [3.4] La condicione iniciale y de fontea planteada, paa la cabeza y el abatimiento on: h, h, paa todo ( ) (,), paa todo h, t h, paa todo t ( ) (, t), paa todo t La condicione de decaga on:, cuando t contante, cuando t h lim πt, paa t h lim πt, paa t Al igual que Thei, Hantuh y Jacob encontaon la olución a la ecuación de movimiento, la cual e: (, t) Wu, [3.4] 4πT B

16 6 CAPÍTULO 8 HIDRÁULICA DE POZO Wu, Donde B e la función de pozo paa acuífeo emiconfinado de Hantuh y Jacob. Etá función decibe una eie, cuya expeión e: u, B u u e B u u du [3.43] Ademá, u. La Figua 7 tabula lo valoe de la función de pozo, que también etán en tabla en libo 4Tt de matemática avanzada e hidáulica de pozo. Figua 7. Cuva de Hantuh y Jacob. (Batu, 998) 3..3 Acuífeo Libe En 97, Neuman, apovechando deaollo ealizado po Boulton (954), (Batu, 998) implifico la ecuación de movimiento en acuífeo libe, ilutado en la Figua 8. La conideacione que él tuvo en cuenta on:

17 CAPÍTULO 8 HIDRÁULICA DE POZO 7 upeficie del teeno z Nivel Etático upeficie piezomética ante del bombeo upeficie piezomética duante el bombeo (cono de depeión) A upeficie piezomética al tiempo t + t z F b Acuífeo libe ξ H A Datum Lecho impemeable Figua 3.7 Flujo a un pozo en un acuífeo libe infinito La taa de bombeo e contante, El diámeto del pozo e infinitamente pequeño El pozo peneta completamente en el acuífeo En la zona atuada del acuífeo, la ley de Dacy e cumple iempe El acuífeo tiene extenión lateal infinita El mateial del acuífeo e homogéneo peo aniotópico, y u pincipal conductividad hidáulica etá oientada paalela a lo eje coodenado El agua e bombeada po compactación del acuífeo, expanión del aguay dena po gavedad de la upeficie libe El pozo puede e tatado como una línea hundida El abatimiento de la tabla de agua e pequeño compaado con el epeo de la zona atuada Lo efecto de capilaidad on depeciable La ecuación de movimiento fue plantada en el capítulo 7 y e: + +, < z < ξ z [3.44] z T t La poición de la upeficie libe de lo acuífeo libe cambia en el epacio bajo condicione de flujo taniente, po ete motivo, la upeficie libe e tatada como una fontea en movimiento. Bajo eta concepción, la fontea de la egión de flujo, conite de te pate complementaia, motada en la Figua 8: La fontea de caga pecita, A, la fontea de flujo pecito, A y fontea de la upeficie libe, F. La ota fontea tienden al infinito. La paed del pozo e incluye en A. La condicione iniciale paa abatimiento, (,z,t) y epeo atuado ξ(,t), epectivamente on:

18 8 CAPÍTULO 8 HIDRÁULICA DE POZO (,z,) ξ(,) b La condición de fontea del abatimiento en el infinito e ( ) t, z, y en la fontea A e ( ) z t,,. La condición de taa de bombeo contante en el pozo etá dada po la iguiente expeión: dz lim π [3.45] Neuman, implificó la ecuación de movimiento, llegando a la iguiente expeión: b z, t z D < < α + + [3.46] Donde: y z y z D,, α α [3.47] ( ) ( ) t t,b, z t,b, y α [3.48] La olución encontada po Neuman, paa el abatimiento e: ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) dx x x x 4xJ T 4 t, z, n n D ω + ω π [3.49] Donde J e la función de Beel de pimea clae de oden ceo y ( ) ( ) [ ] { } ( ) ( ) ( ) ( ) D D D D D b coh b x x b z coh x t exp x β σ + β + σ β β β ω ( ) ( ) [ ] { } ( ) ( ) ( ) ( ) D n D n n D D n n D b coh b x x b z coh x t exp x β σ + β + σ β β β ω y D D y y, b z z, b b, Tt t, Tt t σ La Figua 9 y muetan la función de pozo de Neuman, en función del abatimiento elativo y el tiempo elativo.

19 CAPÍTULO 8 HIDRÁULICA DE POZO 9 Cuva de Thei Figua 9 Función de Pozo de Neuman. (Batu, 998) Cuva de Thei Figua Función de Pozo de Neuman. (Batu, 998)

20 CAPÍTULO 8 HIDRÁULICA DE POZO 3. POZO DE GRAN DIÁMETRO Lo pozo de pequeño diámeto genealmente vaían ente.5 m y.5 m. Como e motó anteiomente, eo on epeentado po una línea en lo modelo matemático. Eta apoximación e válida paa lo pozo en ete ango de diámeto, peo inapopiada paa pozo con un diámeto mayo. En paticula, lo adio de b upeficie del teeno Nivel Etático Capa confinante Acuífeo confinado Lecho impemeable Figua Equema epeentativa de un pozo de gan diámeto. mencionada del flujo en pozo de gan diámeto. z c upeficie piezomética ante del bombeo upeficie piezomética duante el bombeo (cono de depeión) upeficie piezomética al tiempo t + t pozo excavado pueden e de.5 m a m o má. La teoía de Thei aume que el pozo e una línea en el oigen. Eta upoición no tiene en cuenta lo efecto ignificativo de almacenamiento. Lo efecto de ete almacenamiento en el pozo, llegan a e impotante cuando la tanmiividad y el coeficiente de almacenamiento del acuífeo on pequeño o cuando diámeto del pozo de bombeo e gande. Papadopulo y Coope (967) deaollaon olucione analítica en y alededo de pozo de gan diámeto en acuífeo confinado homogéneo e iotópico, tomando en cuenta lo efecto del almacenamiento dento del pozo. Depué, Moench (985) peentó modelo matemático que combinaon lo acuífeo emiconfinado de Hantuh (985) con la teoía ante 3.. Conideacione Báica La Figua mueta la ección tanveal de un pozo de gan diámeto que peneta totalmente un acuífeo confinado. Papadopulo y Coope (967) deaollaon una olución analítica bajo condicione de explotación con la iguiente upoicione: El acuífeo e un homogéneo e iotópico El acuífeo e hoizontal y tiene un epeo contante (b) La taa de decaga () del pozo e contante El acuífeo no tiene goteo y e hoizontalmente infinito El pozo peneta totalmente el acuífeo La pédida en el pozo on depeciable Ante del bombeo, la caga hidáulica en el acuífeo e la mima en todo lo punto del acuífeo La decaga de lo pozo e deivada excluivamente del volumen almacenado en el acuífeo El agua e inmediatamente tomada en el bombeo, lo que hace decae la caga hidáulica El almacenamiento en el acuífeo e popocional a la caga hidáulica

21 CAPÍTULO 8 HIDRÁULICA DE POZO La Ecuación de Movimiento e la mima ecuación 3.8, con la condición de que el adio, + T t. [3.34] Donde e el abatimiento en el acuífeo a una ditancia en un tiempo t; e la ditancia adial dede el cento del pozo; e el coeficiente de almacenamiento del acuífeo; T e la tanmiividad y e el adio efectivo de la paed del pozo. La condicione iniciale en el acuífeo y el pozo, epectivamente, on:, cuando (,), () La condicione de fontea on: (,t) (t) (,t) Almacenamiento dento del pozo: (,t) () t π T π c t t t Donde (t) e el abatimiento en el pozo a un tiempo t y c el adio del pozo en el intevalo obe el cual el nivel de agua decae. La condicione iniciale muetan que en un comienzo el abatimiento en el acuífeo y en el pozo e ceo. La pimea condición de fontea indica que el abatimiento en el acuífeo, en una caa del pozo e igual al abatimiento en el pozo. La egunda eñala que el abatimiento en el acuífeo en el infinito e ceo. Finalmente, e expea el efecto que tiene la taa de decaga del pozo, que e iguala la uma de la taa de flujo de agua del pozo y la taa de deceno en el volumen de agua dento del pozo. 3.. Ecuación de Papadopulo & Coope El poblema planteado fue euelto po Papadopulo & Coope, mediante la tanfomada de Laplace (Batu, 998). (, t) F( u, α, ρ) [3.35] 4πT Donde F ( u, α, ρ) 8α π D C() β () β β ρ β C () 4u β e [ J ( βρ)() A β Y ( βρ)() B β ] dβ [3.36] [3.37] A βy β α β [3.38] () β () Y () () β βj () β αj () β () β [ A() β ] + [ B() β ] B [3.39] D u, α, ρ [3.4] 4Tt c J y Y on la funcione de Beel de oden ceo y pimea clae. Y e la función de Beel de pime oden y de egunda clae. [3.4]

22 CAPÍTULO 8 HIDRÁULICA DE POZO Abatimiento dento del Pozo El abatimiento dento del pozo e obtenido cuando y puede e expeado como: Donde: Lo valoe de ( u, α,ρ) (, t) F( u, α) [3.4] 4πT ( u, ) F( u,,) F α α [3.43] u [3.44] 4Tt F on tabulado po integación numéica de la ecuación En la Figua, lo valoe on epeentado como una familia de cinco cuva de conta /u ; una cuva paa cada uno 4πT de lo cinco valoe del paámeto α. La cuva de Thei, e también motada en la Figua, de la que e F u, α,ρ : obtienen impotante caacteítica de ( ) El abatimiento pedicho po la ecuación de Thei, e apoxima al abatimiento en el pozo de diámeto finito ólo paa valoe de tiempo elativamente gande. Papadopulo (967) compaó u apoximación con la Thei, aí: 3 c αρ 4 F( u, α, ρ) W( u) paa t >.5, > [3.45] T u F ( u, ) W( ) α paa u T α u c t >.5, > 3 [3.46] La apoximacione en la ecuacione 3.38 y 3.39, on válida paa amba condicione: Paa pozo que tienen un pequeño diámeto o acuífeo de tanmiividad elativamente alta, el peíodo definido en la anteioe ecuacione e muy pequeño. Aí pue, paa pozo de gan diámeto y acuífeo de baja tanmiividad, ete peíodo e conideablemente lago. í /u llega a e uficientemente pequeño, la cuva e apoximan a línea ecta que atifacen la ecuación: t Volumen de agua decagada α [3.47] π 4 T u c Áea del pozo π o α F( u, α ) u [3.48]

23 CAPÍTULO 8 HIDRÁULICA DE POZO 3 Cuva de Thei Figua. Cuva de Papadopulo y Coope (Batu, 998) En lo pimeo peíodo, la línea ecta epeentan la condicione bajo la cual todo el agua bombeada e obtenida del almacenamiento dento del pozo. Como eultado, lo dato que etán dento del tamo de línea ecta, de la cuva tipo, no dan infomación aceca de la caacteítica hidogeológica del acuífeo. 4 MOVIIMIIENTO PERMANENTE Depué de lago peíodo de bombeo o ecaga de un pozo, el flujo de agua ubteánea alededo de un pozo e apoxima al etado etable. Eto ignifica que la caga hidáulica del pozo en cualquie punto del acuífeo no cambia con el tiempo. El peíodo equeido paa alcanza el etado etable depende de la caacteítica hidáulica del acuífeo. Paa lo acuífeo meno pemeable el peíodo e má lago que paa lo altamente pemeable. La olucione de etado etable juegan un papel muy impotante en el análii de dato de abatimiento paa la deteminación de la caacteítica hidáulica del acuífeo y hace el avalúo de la zona de influencia de un pozo o una bateía de pozo. 4. ACUÍFERO CONFINADO 4.. Conideacione Báica Thiem (96) fue el pimeo en deiva una olución paa el flujo hacia un pozo en condicione etable paa acuífeo confinado con bae en la iguiente upoicione:

24 4 CAPÍTULO 8 HIDRÁULICA DE POZO Acuífeo hoizontal y con epeo contante Acuífeo homogéneo e iotópico y de extenión lateal infinita La caga hidáulica tiene una upeficie hoizontal ante del bombeo La ley de Dacy e válida en el acuífeo El agua e intantáneamente emovida del almacenamiento popocionalmente con el decaimiento de la caga hidáulica La taa del bombeo del pozo e contante El flujo e imético con epecto al eje del pozo La ecuación de movimiento (3.8), en flujo etable e educe a: upeficie del teeno z upeficie piezomética ante del bombeo upeficie piezomética duante el bombeo (cono de depeión) Nivel Etático upeficie piezomética al tiempo t + t Capa confinante b Acuífeo confinado h H Lecho impemeable Figua 3 Equema epeentativa de un pozo en un acuífeo confinado h h + T h t T b [4.] Paa condicione de flujo etable, el témino de la deecha tiende a ceo, entonce: h h + [4.]

25 CAPÍTULO 8 HIDRÁULICA DE POZO 5 E neceaio conoce la condicione de fontea de Diichlet (pime tipo), con efeencia en la Figua 3: h h Caga piezomética conocida en la fontea del pozo Radio del pozo h H Nivel de la caga piezomética ante del bombeo R Radio de influencia del pozo en el cual el abatimiento e ceo 4.. Ecuación de Thiem Utilizando la ecuación de continuidad, a cualquie anillo concéntico al pozo y teniendo en cuenta que e analiza el poceo de bombeo, el caudal e negativo (i el pozo fuea de inyección el caudal eía poitivo), e tiene que: AV πb v [4.3] Donde v e la velocidad adial dada po la Ley de Dacy: Entonce: Reolviendo po vaiable epaable: Paa evalua C, e aplican la condicione de fontea: v ( ) ( z, t) h, v (, z, t) - [4.4] h πb [4.5] h [4.6] πb () ln h () + C [4.7] π T i h h, entonce ; po lo tanto: ( ) ln h + C π T ln( ) C h π T Reemplazando la ecuación 4.5, e obtiene la Ecuación de Thiem ln ln h() + h π T π T h h ln ln π T h() h ln π T () ( ) () [ () ( )] [4.8] Analizando la Ecuación de Thiem e puede conclui que:

26 6 CAPÍTULO 8 HIDRÁULICA DE POZO La caga piezomética h e incementa aintóticamente con el incemento de la ditancia adial La upeficie piezomética no puede acende obe h(). E válida ólo en la poximidad de un pozo donde el flujo etable ha ido definido. Con la Ecuación de Thiem, e puede pedeci el Radio de Influencia de un pozo, en témino del abatimiento en el mimo cuando h H, R, R R h( R) h ln H h ln π T π T h R R ( ) h( ) ln π T Eta foma de la ecuación de Thiem, poee la iguiente caacteítica: La ditancia R, paa la cual el abatimiento e ceo, e el adio de influencia del pozo. El paámeto R tiene que e etimado ante de la pedicción de lo abatimiento. 4. ACUÍFERO EMICONFINADO La Figua 4 mueta un pozo que peneta totalmente un acuífeo emiconfinado, a tavé del cual la filtación poviene de un acuitado upeio. La olución popueta independientemente po De Glee & Jacob, e baa en la iguiente upoicione: El acuífeo e limitado abajo po un lecho impemeable, y aiba po una capa emiconfinate. obe la capa emiconfinante, exite un acuífeo libe que tiene una tabla de agua hoizontal, cuya caga hidáulica e contante (h ). El uminito de agua al acuífeo libe e uficiente paa mantene h contante. El flujo en la capa emiconfinante e vetical La mima upoicione del acuífeo confinado Aplicando la ecuación de continuidad a cualquie anillo de adio, motado en la Figua 4 e tiene que: ( ) ( ) + ( π ) v [4.9] + [4.] v Donde v v e la velocidad de goteo dede la capa emiconfinate. i e divide po y como tiende a ceo, e llega a: lim ( + ) ( ) + ( π) v v + π v v [4.] La Ley de Dacy po el acuífeo emiconfinado, conduce a:

27 CAPÍTULO 8 HIDRÁULICA DE POZO 7 upeficie del teeno z upeficie piezomética ante del bombeo upeficie piezomética duante el bombeo (cono de depeión) Nivel Etático vv upeficie piezomética al tiempo t + t b Capa emiconfinante b Acuífeo emiconfinado h H Datum Lecho impemeable Figua 4. Equema epeentativa de un pozo en un acuífeo emiconfinado. ( + ) ( ) ( ) v v + π h () ( π b) h () π T [4.] La Ley de Dacy también contola la velocidad de goteo: v v h h ' [4.3] b'

28 8 CAPÍTULO 8 HIDRÁULICA DE POZO Donde y b on la conductividad hidáulica y el epeo de la capa confinante (acuitado). Reemplazando 4. y 4.3 en 4., e obtiene: h πt h h + π' b' h h h h h h + + B B [4.4] b b' Donde B, e llamado facto de filtación. En la mima ecuación b'/' e conocida como la ' eitencia hidáulica. La ecuación puede e ecita como una Ecuación de Movimiento odinaia poque h ólo depende del adio. Reemplazando h - h,, en la ecuación: d d dh h h + d B i /Bx, entonce B x, y d B dx, d d d d + B d d + d d B d d + [4.5] d d B d d d d Bx + x + x x [4.6] B dx Bdx B dx dx ( ) Bx B x 4... Ecuación de De Glee - Jacob La ecuación 4.6 e un a ecuación difeencial no lineal no homogénea que e puede oluciona po el método de Cauchy Eule. Ete método conite en aplica la egla de la cadena luego de hace el iguiente eemplazo: u ln( x). Entonce: e u u x e x Ahoa e encontaán la deivada: d dx d dx d dx x d dx x Reemplazando en la ecuación 4.6, e llega a: d du d du du dx x d du du dx x d du d d + x du x du d d + x du x du du dx d du

29 CAPÍTULO 8 HIDRÁULICA DE POZO 9 d du d d e u + x [4.7] du du Ahoa e oluciona eta ecuación po medio del opeado cuadático, explicado en el numeal 3...4, obteniendo la aíce D ± x. Entonce, la olución e igual a: C x x e + Ce B Ce + Ce B ue al eemplaza el valo de x, e obtiene:. Paa enconta el valo de la B contante, e abe que cuando el adio tiende al infinito, el abatimiento e nulo, y que cuando el adio e igual al, peo eto e indeteminado, lo cual no pemite conclui el valo de C. E deci que la olución planteada no e compatible con la condicione de fontea dada. ólo e abe que la olucione on linealmente independiente, po lo que uando la función de Beel e pueda enconta la olución compatible. adio del pozo, el caudal e contante. Entonce: i () ( ), entonce C ( ) C I + CI [4.8] B B Donde: I : e el modificado de la función de Beel de oden, de pimea clae. B I : e el modificado de la función de Beel de oden, de egunda clae, aí que la B B olución queda definida como: C I + C [4.9] B B Lo valoe de lo modificadoe de Beel etán ya tabulado, y e pueden enconta en libo de Cálculo Avanzado. Con la condicione de fontea ante mencionada, e concluye que: ( ), ( ) igual a ceo. I, aí que C e Ahoa cuando : πb d i () C entonce, C C, donde, e el opeado de B B B B B la función de Beel de pime oden de egunda clae.

30 3 CAPÍTULO 8 HIDRÁULICA DE POZO π B C B T π B B T C Y eemplazando el valo de la contante, e tiene que: π B B B T [4.] La ecuación 4. epeenta la Ecuación de DeGlee Jacob, paa acuífeo emiconfinado. Etá ecuación puede implificae paa uo páctico; i. B <, e puede apoxima el facto: B B, y entonce la ecuación 4.8 e puede ecibi como: π B T [4.] egún Hantuh (Batu, 998), i.5 B la ecuación de De Glee - Jacob e puede ecibi como: () π. B log T.33 [4.] 4.3 ACUÍFERO LIBRE Dupuit y Fochheime deivaon la expeión in econoce quien la hizo pimeo, po eta azón lleva ambo nombe. Eta ecuación e la imple ecuación paa acuífeo libe Conideacione Báica La Figua 5 mueta un pozo que peneta completamente el acuífeo libe. Dupuit y Fochheime encontaon independientemente la olución paa la caga piezomética con bae en la iguiente upoicione: El acuífeo e homogéneo e iotópico y de extenión infinita La tabla de agua e hoizontal ante del bombeo La ley de Dacy e valida paa el flujo en el acuífeo El agua e intantáneamente emovida del almacenamiento, como la caga piezomética decae. La taa de bombeo del pozo e contante La condicione de Dupuit on valida. El flujo e imético, epecto al eje del pozo. La filtación de la paede del pozo e depeciable y el acuífeo ecibe una taa contante de ecaga. e depecian la pédida en el pozo, H H

31 CAPÍTULO 8 HIDRÁULICA DE POZO 3 Dupuit en 863 (Batu, 998) indicó que la pendiente de la tabla de agua, de un acuífeo libe bajo condicione de no extacción a lo lago de una ección tanveal vetical e muy pequeña. El ango de valoe típico va de / a /. Alededo de un pozo de extacción en un acuífeo libe la pendiente e muy alta, con el deceno de la ditancia adial del pozo dependiendo de la conductividade hidáulica veticale y hoizontale del acuífeo. La condición de una pendiente geomética pequeña ignifica que el flujo e eencialmente hoizontal y la caga hidáulica (h) e igual a la elevación de la tabla de agua. upeficie del teeno z Nivel Etático upeficie piezomética ante del bombeo upeficie piezomética duante el bombeo (cono de depeión) upeficie piezomética al tiempo t + t Acuífeo libe Ho H H Datum Lecho impemeable Figua 5 Flujo a un pozo en un acuífeo libe infinito con filtación Realizando el análii de continuidad, en un anillo de adio, e tiene que:. + + π I [4.3] ( ) ( ) ( ) Donde I [L/T] epeenta el volumen de agua entando en una unidad de áea hoizontal del acuífeo po unidad de tiempo, debido a la ecaga po infiltación. Lo valoe poitivo y negativo de I, epeentan la ecaga y la evapoación epectivamente. Al dividi po, y haciendo tende ete a ceo: + π I [4.4]

32 3 CAPÍTULO 8 HIDRÁULICA DE POZO La velocidad adial de Dacy etá dada po: Entonce: v ( ) ( h) q ( πh) h π () ( ) ( h ) h π [4.5] Y eemplazando 4.5 en 4.4: ( h ) + I [4.6] La condicione de pime tipo o de Diichlet on: Cuando h H, entonce. Caga piezomética en la caa del pozo Cuando h H, entonce R. Caga piezomética del acuífeo ante del bombeo. R e el adio de influencia en el cual el abatimiento e ceo. ( h ) ( h ) I La ecuación 4.6 puede e ecita de la foma: +, y e olucionada po el método de Cauchy Eule, ya que e una ecuación no homogénea. Realizando la iguiente cambio de vaiable, e tiene que: Y la deivada on: u ln e e u u x ( x) x ( h ) ( h ) ( h ) ( h ) ( h y ) u emplazando eta en la ecuación 4.6, e llega a que: u u Integando do vece: Reemplazando u po ln (): ( h ) ( h ) I u I u e + C I h + u () e + C u C e I h () ( ) + C ln() + C [4.7] Reemplazando la condicione de fontea e obtienen C y C.

33 CAPÍTULO 8 HIDRÁULICA DE POZO 33 I I () H + ( R ) H -H + ( R ) h ln R ln R [4.8] La decaga del pozo puede e deteminada po continuidad y la ley de Dacy: h d( h ) -π hq πh π, [4.9] d Deivando 4.8 y eemplazando en 4.9: I I ( R ) π π H - H + [4.3] ln R Teniendo en cuenta que: Iπ : e la ecaga en el pozo mimo y e depeciablemente pequeño compaado con lo demá témino: H I + ( R ) ln R π - H [4.3] Reemplazando 4.3 en 4.9: h H + I ( R ) + ln π R [4.3] En el cao paticula, en el que I : h H + π ln R [4.33] La ecuacione 4.3 y 4.33 epeentan la ditibución de la caga piezomética con ecaga y in ecaga epectivamente. Paa la condición decita en la condicione de fontea, la taa de decaga, puede e epeentada como: π( H H ) R ln [4.34] La ecuación 4.34 e la llamada ecuación de decaga de Dupuit - Fochheime. Eta ecuación e obtenida con bae en la condicione de Dupuit. Eta upoicione no toman en cuenta la foma cuvilínea del flujo en un plano adial. Lo componente del flujo vetical on depeciado. La ecuación da un eultado con azonable apoximación, i la ditancia adial e uficientemente gande y lo efecto cuvilíneo on depeciable. Luego, la aplicación de método numéico (Boulton, 95 (Batu, 998)) e invetigacione expeimentale ((Babbit y Cantell, 948) (Peteon et al, 95) Batu, 998) muetan que la ecuación epeenta la upeficie libe paa valoe de.5h, iempe y cuando el nivel de agua del pozo (H o ) ea ceo en la Figua 4.3.

34 34 CAPÍTULO 8 HIDRÁULICA DE POZO Adicionalmente ocue que paa valoe pequeño de, H e incementa. Eta invetigacione también muetan que la upeficie libe cecana y a la mima ditancia alededo del pozo no e coectamente modelada po la ecuación 4.34 y que la upeficie libe cuza la paed del pozo a alguna ditancia obe el nivel del agua en el pozo. Hantuh (96) (Batu, 998) analizó la validez de la ecuación 4.34, tomando en cuenta el nivel de agua en el pozo (H o ) y el nivel del agua en la paed del pozo (H ) y obtuvo la mima ecuación 4.3 con la excepción de que H H. Eto ignifica que al toma en cuenta la natualeza cuvilínea del flujo, a lo lago de la pendiente de filtación, vitualmente e obtiene la mima ecuación. 5 PRIINCIIPIIO DE UPERPOIICIION Ete pincipio (uinteo, 994) e encaga de analiza la intefeencia ente una bateía de pozo en una fomación acuífea, y el efecto que peenta ete en la poducción de lo mimo. Como en la ealidad, e encuentan lo acuífeo con limitacione hidogeológica definida, que etingen la aplicabilidad de lo método analítico, que uponen la extenión infinita de lo acuífeo, como lo mueta la Figua 6, 7 y 8. El método de la imágene e utiliza pa eolve teóicamente eto cao, apoximando una extenión finita de lo acuífeo, con un pozo eal y oto imagen. Baado en la linealidad de la Ecuación de Laplace (Paa acuífeo libe, e mantiene i í la vaiable de etado e h y no h), uponiendo el tabajo de cada pozo y luego upeponelo, paa aí obtene la eultante de todo lo pozo tabajando en conjunto. 5. CAO DE DO POZO uponiendo que en un acuífeo confinado e tienen do pozo, epaado a una ditancia a, como lo mueta la Figua 9. Lo pozo etán dieñado en igual foma, y etán localizado en foma tal que a una ditancia adial el potencial pemanece contante. El caudal que e extae de ambo, e el mimo,. De acuedo al pincipio de upepoición el abatimiento total poducido en un punto P(x,y) eá la uma de lo abatimiento que poduce cada pozo en u opeación individual, po lo tanto: R log T T R.366 log T R log [5.] Po lo tanto el abatimiento total en cada pozo eá: R p.366 log [5.] T p a El caudal que poduce cada uno eá T R.366log p a p [5.3] Como lo mueta la ecuación 5.3, el caudal diminuye a medida que diminuye la ditancia a, ente pozo.

35 CAPÍTULO 8 HIDRÁULICA DE POZO MÉTODO DE LA IMÁGENE 5.. Pozo ceca de una zona de ecaga Ete e el compotamiento típico de un pozo ituado en cecanía de un ío y pefoando un acuífeo que etá en contacto diecto con el ío el cual e extiende linealmente en una gan ditancia. La Figua 9, epeenta la zona de ecaga como una línea que e extiende a lo lago del eje Y y a una ditancia a e encuenta un pozo del cual e bombea un caudal deteminado,. La zona de ecaga e puede imula con do pozo epaado a una ditancia a, y en foma tal que uno de ello, el pozo imagen, e un pozo de ecaga. Eto do pozo poducen a lo lago del eje y, la condición. La olución etá dada po la ecuación: ln [5.4] πt i a y p, e tiene que el caudal, e igual a: encuenta el abatimiento. πtp. Aplicando el teoema del coeno, e a ln p Po lo tanto, eemplazando en 5.4, e obtiene: + 4a 4a + 4a 4a coβ co β + 4a 4a co β ln [5.5] πt Paa lo punto paalelo a la línea de ecaga, e deci cuando β9º, el co (9), y la ecuación 5.5 e implifica: + 4a ln [5.6] πt Paa lo punto ituado obe la línea pependicula a la zona de ecaga, cuando β o 8ª, el co (β) e igual a ±, y la expeión e implifica:

36 36 CAPÍTULO 8 HIDRÁULICA DE POZO upeficie del Teeno Nivel Feático Baea Impemeable Acuífeo Mateial Impemeable Figua 6. Acuífeo limitado po una baea impemeable. uinteo, 994 Acuífeo Nivel Feático Mateial Impemeable Figua 7. Acuífeo limitado po do baea impemeable. uinteo, 994 Nivel Feático Coiente Acuífeo Mateial Impemeable Figua 8. Acuífeo limitado po una zona de ecaga. uinteo, 994

37 CAPÍTULO 8 HIDRÁULICA DE POZO 37 4a 4a ln + ± πt ln πt ln + πt ( a) ( a) ln T π ( a) ( + a) ln T π, β, β 8º [5.7] De eta ecuacione e puede conclui que la pendiente de la cuva de abatimiento de la pate que queda hacia el ío e má fuete que la que va tiea adento. 5.. Pozo contuido en un acuífeo que etá limitado po una baea impemeable y P (x,y) Pozo a x Pozo Figua 9. Equema de la ubicación de do pozo. uinteo, 994 En la Figua 9, e epeenta un pozo contuido en un acuífeo que etá limitado po una baea impemeable y la cual no puede contibui al bombeo, po lo tanto cuando el cono de abatimiento alcanza la baea impemeable y ante la impoibilidad de extendee má allá de ete límite e poduce una caída má aceleada de la cuva de abatimiento. Como e etudió en anteio numeal, el efecto que poducen lo pozo epaado una ditancia ª, obe la línea que lo divide, e que el abatimiento no vaía con la ditancia, y po lo tanto la línea divioia e compota como impemeable. Aí también e puede deci que el itema analizado, e equivalente a do pozo de decaga, funcionando en un acuífeo infinito. La olución etá dada po: R ln [5.8] πt En donde e la ditancia dede el pozo imagen al punto, conideando la ditancia del punto conideado al pozo de bombeo 5..3 Ley de lo tiempo Cuando e tiene un piezómeto de monitoéo a una ditancia del pozo de bombeo y obe la línea pependicula a la baea impemeable. Como en lo do cao anteioe, el itema e equivalente al motado en la Figua 9. El tiempo a pati del comienzo del bombeo paa el cual e iente algún abatimiento en el piezómeto de monitoéo e cuando:

38 38 CAPÍTULO 8 HIDRÁULICA DE POZO.5Tt t. [5.9].5 T El tiempo que e neceita paa que el pozo imagen tenga alguna influencia en el de monitoéo e cuando.5tt ti. [5.].5 T i Igualando la do expeione, e tiene que: t t [5.] i i ue e conoce como la ley de lo tiempo de Ingeoll (uinteo, 994) en donde: t : : t : Tiempo tancuido dede el comienzo del bombeo hata que comienza a entie el abatimiento en el pozo de monitoéo. Ditancia dede el pozo de monitoéo la pozo de bombeo. Tiempo a pati del cual exite una influencia del pozo imagen (o ea de la beea impemeable) Ditancia dede el pozo imagen al pozo de obevación. i el itema etá compueto de vaio pozo ituado en una cieta ditancia de la zona de ecaga, el poblema e euelve como en lo cao anteioe utilizando el método de la imágene y el pincipio de upepoición. 6 APLIICACIIONE La pincipal aplicación de la hidáulica de pozo etá en detemina la caacteítica hidogeológica del acuífeo, mediante el análii de pueba de bombeo, tema que dicutiá en el póximo capítulo. e ilutaá aquí la aplicación páctica de ña divea ecuacione deaollada mediante lo iguiente ejemplo. 6. UO DE LA ECUACIÓN DE THEI En una fomación acuífea que tiene un epeo pomedio de m, una tanmiividad de 8.64 m/d y un coeficiente de almacenamiento de.. El caudal de poducción e de 4 L/. e neceita conoce el abatimiento a una ditancia de 5 m, 8 hoa depué de comenza la extacción de agua. El pime pao e detemina el paámeto u: ( 5m) (.) -3 u 4.5 x [Adimenional] 4Tt 4( 8.64 d)( )( ) m 8 h d 4 h A continuación e detemina la función del pozo de Thei W(u), mediante la cuva de Thei (Figua ) o en tabla, la cual en ete punto poee un valo de Ahoa con eto valoe ólo eta aplica la ecuación de Thei, paa enconta el abatimiento.

39 CAPÍTULO 8 HIDRÁULICA DE POZO 39 4 π T (, t) W( u) ( 5 m, 8 h) 4 π, T b.4 ( )( )( ) ( ) 8.64 m m m d d m UO DE LA ECUACIÓN DE JACOB A manea de compaación e puede eolve el mimo ejemplo que fue euelto con la ecuación de Thei, en el numeal anteio..5 Tt ln 4πT (, t) (.6 m)( 4.8).8m ln ( m )( m) 4 L d (, t) 4π( 8.64 m d)( m) El Radio de Influencia e igual a: 8 4 ( 5 m) (.) día R Tt.5.5 ( 8.64 m d)( m) (.) 8 4 día 79 m 6.3 UO DE LA ECUACIÓN DE CHEN En el acuífeo decito en el ejemplo anteio e tiene una fontea exteio a apoximadamente 8 m de ditancia. Detemina el peíodo duante el cual el acuífeo puede e analizado como un acuífeo infinito. R t 6T 6 ( 8 m) (.) ( 8.64 m )( m) d 38.5 x 3 día 5.56 min Fíicamente, eto ignifica que el acuífeo puede e analizado como un acuífeo infinito duante apoximadamente cinco minuto y medio, dede que comienza el bombeo. 6.4 UO DE LA ECUACIÓN DE PAPADOPULO & COOPER En un acuífeo e excava un pozo de. m de adio, en toda u pofundidad, ( c ). e petende obtene un caudal de 43 m 3 /día. La fomación acuífea tiene una tanmiividad de 86.4 m /día y una capacidad de almacenamiento de.. Detemina el abatimiento depué de hoa depué de comenza el bombeo, a una ditancia de m. Uando la ecuación de Papadopulo y Coope, e tiene que:

40 4 CAPÍTULO 8 HIDRÁULICA DE POZO 4πT (, t) F( u, α, ρ) ( m,6 min) 43 4π ( m) (.) 4 u.7 4Tt 4( 86.4 m )( d) 4.4 día 4 (. m). c (. m) α m ρ. m m ( ) ( ) día F.7,, (.) m.397m (.) m m día 6.5 UO DE LA ECUACIÓN DE THIEM A manea de ejemplo, e puede upone un acuífeo con un epeo de 6 m y una conductividad hidáulica de - 4 m/, enconta el abatimiento a una ditancia de m del pozo, i el adio del pozo e de. m y la decaga e de 5 L/. h π () h( ) 9.6 m.5 ln T π m ( 6 m)(. m ) 6.6 UO DE LA ECUACIÓN DE DE GLEE - JACOB 3 m ln.m Tomando el ejemplo de un acuífeo confinado con epeo de m, conductividad de. m/, y con una capa emiconfinante de epeo 4 m y una conductividad hidáulica de x -8 m/; e pìde detemina el abatimiento en condicione etable a 4 meto de ditancia de un pozo de. m de diámeto con una decaga de 5 L/, y en la paed del mimo. Paa ua la ecuación implificada de De Glee - Jacob, e neceita conoce el facto B: B 8 b b' ' ( m)( 4 m)(. m ) x Ahoa i e eemplaza en la ecuación de De Glee - Jacob, y e llega a:.5 4 m.39 m π(. m )( m) m m m ( )(.7397).9 m m 3 El valo de la función de Beel e encuenta en tabla, en libo de Cálculo

41 CAPÍTULO 8 HIDRÁULICA DE POZO 4 Y en la paed del pozo e de:.5. m π(. m )( m) m (.39m)(.33) 3.6 m m UO DE LA ECUACIÓN DE DUPUIT - FORCHHEIMER Paa un acuífeo libe con H m, adio del pozo. m y.3 m/, detemina la taa máxima de bombeo paa cea un abatimiento de m. Aplicando la ecuación de decaga de Dupuit Fochheime, e llega a: ( ) (.3 m )( m) ( 8 m) π.76 3 m. Donde R e el adio de influencia del pozo. R ln( R[ m] ) ln. m 7 REFERENCIIA BATU, Vedat. AUIFER HYDRAULIC. John Wiley & on, Inc. UA PIUNOV, N. CÁLCULO INTEGRAL Y DIFERENCIAL. Editoial Mi. Mocú, Ruia UINTERO AGRE, Joge. HIDRÁULICA DE POZO. Cuo intenacional de manejo y potección de acuífeo. Univeidad Nacional de Colombia. antafé de Bogotá. Agoto de994.