APLICACIÓN DE LAS MATEMATICAS COMO HERRAMIENTA PRIMORDIAL PARA EL ANALISIS DE SISTEMAS DE CONTROL

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL FRANCISCO DE MIRANDA COMPLEJO ACADÉMICO EL SABINO PROGRAMA DE INGENIERÍA QUÍMICA DEPARTAMENTO DE MECÁNICA Y TECNOLOGÍA DE LA PRODUCCIÓN UNIDAD CURRICULAR: DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS TEMA Nº APLICACIÓN DE LAS MATEMATICAS COMO HERRAMIENTA PRIMORDIAL PARA EL ANALISIS DE SISTEMAS DE CONTROL PROFESORES ES: Ig. Esp. CARLOS A. PÉREZ M.- Ig. Esp. JOSÉ CUAURO Ig. Esp. Eumar Leal PUNTO FIJO; Mayo de 011

2 INTRODUCCIÓN Pierre Simó Marquéz de Laplace ( ) matemático y astróomo fracés ta famoso e su tiempo que se le coocía como el Newto de Fracia. Sus pricipales campos de iterés fuero la Mecáica Celeste, o movimieto plaetario, la teoría de probabilidades, y el progreso persoal. Prueba de sus taletos so: 1. Mécaique Céleste moumetal tratado e sobre cuestioes de gravitació publicado e cico volúmees etre los aos de 1799 y 185. El pricipal legado de esta publicació reside e el desarrollo de la teoría de potecial, co implicacioes de largo alcace e ramas de la Física que va desde la gravitació, la mecáica de fluidos, el magetismo y la física atómica.. Théorie Aalytique des Probabilités que se cosidera la más grade cotribució a esa parte de las matemáticas. Como aécdota, el libro iicia co palabras que mas o meos dice "E el fodo, la teoría de probabilidades o es si o el setido comú reducido a cálculos", puede ser que si, pero las 700 págias que le sigue a esas palabras so u aálisis itricado, e el cual usa a discreció la trasformada de Laplace, las fucioes geeratrices, y muchas otras técicas o triviales. 3. Tras la Revolució Fracesa, el taleto político y la ambició de Laplace alcazaro su ceit; Laplace se adaptaba demasiado fácilmete cambiado sus pricipios; yedo y viiedo etre lo republicao y moárquico emergiedo siempre co ua mejor posició y u uevo título. 4. Uo de los defectos pricipales que se le ha atribuido e detrimeto de su reputació es la omisió de toda referecia a los descubrimietos de sus predecesores y cotemporáeos, dejado etrever que las ideas era suyas del todo. 5. La ayuda prestada a los jóvees taletos cietíficos fue u gra acierto; etre esos jóvees se ecuetra: el químico Gay-Lussac, el aturalista Humboldt, el físico Poisso, y al jove Cauchy, que estaría destiado a covertirse e uo de los artífices pricipales de las matemáticas del siglo XIX La Trasformada de Laplace es ua técica Matemática que forma parte de ciertas trasformadas itegrales como la trasformada de Fourier, la trasformada de Hilbert, y la trasformada de Melli etre otras. Estas trasformadas está defiidas por medio de ua itegral impropia y cambia ua fució e ua variable de etrada e otra fució e otra variable. La trasformada de Laplace puede ser usada para resolver Ecuacioes Difereciales Lieales y Ecuacioes Itegrales. Auque se puede resolver algú tipo de E.D. co coeficietes variables, e geeral se aplica a problemas co coeficietes costates. U requisito adicioal es el coocimieto de las codicioes iíciales a la misma E.D. Su mayor vetaja sale a relucir cuado la fució e la variable idepediete que aparece e la E.D. es ua fució seccioada.

3 Cuado se resuelve E.D. usado la técica de la trasformada, se cambia ua ecuació diferecial e u problema algebraico. La metodología cosiste e aplicar la trasformada a la E.D. y posteriormete usar las propiedades de la trasformada. El problema de ahora cosiste e ecotrar ua fució e la variable idepediete tega ua cierta expresió como trasformada. Se ha comprobado que las técicas de trasformada de Laplace y liealizació so particularmete útiles para el aálisis de la diámica de los procesos y diseño de sistemas de cotrol, debido a que proporcioa ua visi6 geeral del comportamieto de gra variedad de procesos e istrumetos. Por el cotrario; la t6cica de simulació por computadora permite realizar u aálisis preciso y detallado del comportamieto diámico de sistemas específicos, pero rara vez es posible geeralizar para otros procesos los resultados obteidos. (Corripio, Smith 1991).

4 TEMA Nº 1 APLICACIÓN DE LAS MATEMATICAS COMO HERRAMIENTA PRIMORDIAL PARA EL ANALISIS DE SISTEMAS DE CONTROL TRANSFORMADA DE LAPLACE - DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE: La Trasformada de Laplace de ua fució f( defiida (e matemáticas y, e particular, e aálisis fucioal) para todos los úmeros reales t _ 0 es la fució F(s), defiida por: Siempre y cuado la itegral esté defiida. Esta trasformada itegral tiee ua serie de propiedades que la hace útil e el aálisis de sistemas lieales. Ua de las vetajas más sigificativas radica e que la itegració y derivació se covierte e multiplicació y divisió. Esto trasforma las ecuacioes difereciales e itegrales e ecuacioes poliómicas, mucho más fáciles de resolver. Otra aplicació importate e los sistemas lieales es el cálculo de la señal de salida. Ésta se puede calcular mediate la covolució de la respuesta impulsiva del sistema co la señal de etrada. La realizació de este cálculo e el espacio de Laplace covierte la covolució e ua multiplicació, habitualmete más secilla. La trasformada de Laplace toma su ombre e hoor de Pierre-Simó Laplace. E la aplicació de la trasformada de Laplace al diseño de sistemas de cotrol, las fucioes del tiempo so las variables del sistema, iclusive la variable maipulada y la cotrolada, las señales del trasmisor, las perturbacioes, las posicioes de la válvula de cotrol, el flujo a través de las válvulas de cotrol y cualquier otra variable o señal itermedia. Por lo tato, es muy importate darse cueta que la trasformada de Laplace se aplica a las variables y señales, y o a los procesos o istrumetos.

5 - FUNCIONES DE PERTURBACIONES APLICADA A LOS PROCESOS INDUSTRIALES. a) Fució de escaló uitario Este es u cambio súbito de magitud uitaria e u tiempo igual a cero; dicha fució se ilustra gráficamete e la figura a, y se represeta algebraicamete mediate la expresió: Su trasformada de Laplace está dada por: b) Pulso de magitud H y duració T El pulso se muestra gráficamete e la figura b y su represetació algebraica es: Su trasformada de Laplace está dada por c) Fució de impulso uitario Esta es u pulso ideal de amplitud ifiita y duració cero, cuya área es la uidad, e otras palabras, u pulso de área uitaria co toda ella cocetrada es u tiempo igual a cero. Esta fució se esboza e la figura c. Geeralmete se usa el símbolo ϛ( para represetarla, y se le cooce como fució delta Dirac.

6 Éste es u resultado muy sigificativo, pues idica que la trasformada de Laplace del impulso uitario es la uidad. d) Oda seoidal de amplitud y frecuecia w La oda seoidal se muestra e la figura d, Su trasformada de Laplace está dada por - SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE EL USO DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Para ilustrar el uso de la trasformada de Laplace e la resolució de ecuacioes difereciales lieales ordiarias, cosidérese la siguiete ecuació diferecial de segudo orde: El problema de resolver esta ecuació se puede platear como sigue: Dados los coeficietes, a 0, a 1, a y b, las codicioes iiciales apropiadas y la fució x(, ecuétrese la fució y( que satisface la ecuació. La fució x( se cooce geeralmete como, fució de forzamieto o variable de etrada, y y( como la fució de salida o variable depediete; la variable t, tiempo, es la variable idepediete. Geeralmete, e el diseño de los sistemas de cotrol ua ecuació diferecial como la aterior represeta la forma e que se relacioa la señal de salida, y(, co la señal de etrada, x(, e u proceso particular. Procedimieto de solució por Ia trasformada de Laplace La solució de ua ecuació diferecial mediate el uso de la trasformada de Laplace implica básicamete tres pasos:

7 Paso 1. Trasformació de la ecuació diferecial e ua ecuació algebraica co la variable s de la trasformada de Laplace, lo cual se logra al obteer la trasformada de Laplace de cada miembro de la ecuació: Utilizado la trasformada de Laplace aplicadas a derivadas: L L L [ f '( = sf ( f (0)] [ f ''( = s f ( sf (0) f '(0)] 3 [ f '''( = s f ( s f (0) sf '(0) sf ''(0)] Posteriormete se substituye estos térmios e la ecuació y se reordea: Nótese que ésta es ua ecuació algebraica y que la variable s de la trasformada de Laplace se puede tratar como cualquier otra catidad algebraica. Paso. Se emplea la ecuació algebraica que se resuelve para la variable de salida Y(s), e térmios de la variable de etrada y de las codicioes iiciales: Paso 3. Iversió de la ecuació resultate para obteer la variable de salida e fució del tiempo y(: E este procedimieto los dos primeros pasos so relativamete fáciles y directos, todas las dificultades se cocetra e el tercer paso. La utilidad de la trasformada de Laplace e el diseño de sistemas de cotrol tiee como fudameto el hecho de que rara vez es ecesario el paso de iversió, debido a que todas las características de la respuesta e tiempo y( se puede recoocer e los térmios de Y(s); e otras palabras, el aálisis completo se puede hacer e el domiio de Laplace o e el domiio s, si ivertir la trasformada e el domiio del tiempo.

8 E codicioes iiciales cero: Es fácil demostrar que la ecuació de la trasformada de Laplace esta dada por: El caso de codicioes iiciales cero es el más comú e el diseño de sistemas de cotrol, ya que las señales se defie geeralmete como desviacioes respecto a u estado iicial estacioario. Cuado se hace esto, el valor iicial de la perturbació, por defiició, es cero; los valores iiciales de las derivadas del tiempo so tambié cero, pues se supoe que el sistema esta iicialmete e u estado estacioario; es decir, o cambia co el tiempo. FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA: Ua fució de trasferecia es u modelo matemático que a través de u cociete relacioa la respuesta de u sistema (modelada) a ua señal de etrada o excitació (tambié modelada). El cociete formado por los modelos de la señal de salida respecto de la señal de etrada, permite ecotrar los ceros y los polos, respectivamete. Y que represeta las raíces e las que cada uo de los modelos del cociete se iguala a cero. Es decir, represeta la regió frotera a la que o debe llegar ya sea la respuesta del sistema o la excitació al mismo; ya que de lo cotrario llegará ya sea a la regió ula o se irá al ifiito, respectivamete. Uo de los primeros matemáticos e describir estos modelos fue Laplace, a través de su trasformació matemática. Por defiició ua fució de trasferecia se puede determiar segú la expresió: Dode H(s) es la fució de trasferecia (tambié otada como G(s)); Y (s) es la trasformada de Laplace de la respuesta (salida) y U (s) es la trasformada de Laplace de la señal de etrada. Se puede defiir la fució de trasferecia como la relació de la trasformada de Laplace de la variable de salida sobre la trasferecia de Laplace de la variable de etrada. EIGENVALORES: Se dice que el deomiador de la fució de trasferecia del sistema es la ecuació característica de la ecuació diferecial y del sistema cuya respuesta diámica represeta. Sus raíces se cooce como eigevalores (del alemá

9 eigevalues, que sigifica valores característicos o propios ) de la ecuació diferecial, y cuyo sigificado es que so, por defiició, característicos de la ecuació diferecial e idepediete de la fució de forzamieto de etrada. DIAGRAMAS DE BLOQUES: U diagrama de bloques de u sistema es ua represetació gráfica de las fucioes que lleva a cabo cada compoete y el flujo de señales. Tal diagrama muestra las relacioes existetes etre los diversos compoetes. A diferecia de ua represetació matemática puramete abstracta, u diagrama de bloques tiee la vetaja de idicar e forma más realista el flujo de las señales del sistema real. E u diagrama de bloques se elaza ua co otra todas las variables del sistema, mediate bloques fucioales. El bloque fucioal o simplemete bloque es u símbolo para represetar la operació matemática que sobre la señal de etrada hace el bloque para producir la salida. Las fucioes de trasferecia de los compoetes por lo geeral se itroduce e los bloques correspodietes, que se coecta mediate flechas para idicar la direcció del flujo de señales. Observe que la señal sólo puede pasar e la direcció de las flechas. Por tato, u diagrama de bloques de u sistema de cotrol muestra explícitamete ua propiedad uilateral. Las vetajas de la represetació mediate diagramas de bloques de u sistema estriba e que es fácil formar el diagrama de bloques geeral de todo el sistema co sólo coectar los bloques de los compoetes de acuerdo co el flujo de señales y e que es posible evaluar la cotribució de cada compoete al desempeño geeral del sistema. E geeral, la operació fucioal del sistema se aprecia co más facilidad si se examia el diagrama de bloques que si se revisa el sistema físico mismo. U diagrama de bloques cotiee iformació relacioada co el comportamieto diámico, pero o icluye iformació de la costrucció física del sistema. E cosecuecia, muchos sistemas diferetes y o relacioados puede represetarse mediate el mismo diagrama de bloques. Debe señalarse que, e u diagrama de bloques, la pricipal fuete de eergía o se muestra explícitamete y que el diagrama de bloques de u sistema determiado o es úico. Es posible dibujar varios diagramas de bloques diferetes para u sistema, depediedo del puto de vista del aálisis. - ELEMENTOS DE UN DIAGRAMA DE BLOQUES: E geeral los diagramas de bloques costa de cuatro elemetos básicos: 1.- FLECHAS: Idica e geeral el flujo de iformació, cada puta de flecha ídica la direcció del flujo de iformació.

10 .- PUNTOS DE SUMA: El círculo co ua equis (x) es el símbolo utilizado para idicar ua operació de suma, el sigo positivo o egativo idica si la señal debe sumarse o restarse. 3.- PUNTOS DE BIFURCACIÓN: Es aquel a partir del cual la señal va de modo cocurrete a otros bloques o putos de suma. 4.- BLOQUES: Represeta la operació matemática, e forma de fució de trasferecia. LINEALIZACIÓN Y VARIABLES DE DESVIACIÓN: - LINEALIZACION DE FUNCIONES CON UNA O DOS VARIABLES. Ua gra parte de la teoría desarrollada para el diseño de sistemas de cotrol emplea modelos matemático lieales del proceso que se desea cotrolar a lazo cerrado. Si embargo, la imesa mayoría de sistemas e procesos químicos exhibe coducta o lieal. Ejemplo de sistema altamete o lieal lo costituye el campo de reactores químicos au para reaccioes muy simples. Etoces plateamos la siguiete preguta: Como podemos emplear teoría de cotrol lieal para el cotrol de sistemas o lieales? Ua forma simple de respoder a esta preguta es: empleado algua de forma de trasformar el sistema o lieal e uo lieal. De esta forma el modelo "liealizado" puede ser empleado para el diseño del sistema de cotrol del modelo o lieal origial. Ua posible ruta para el diseño del sistema de cotrol se muestra e la siguiete figura.

11 Al aalizar la respuesta diámica de los procesos idustriales, ua de las mayores dificultades es el hecho de que o es lieal, es decir, o se puede represetar mediate ecuacioes lieales. Para que ua ecuació sea lieal, cada uo de sus térmios o debe coteer más de ua variable o derivada y esta debe estar a la primera potecia. Desafortuadamete, co la trasformada de Laplace, poderosa herramieta que se estudió previamete, técicamete se puede aalizar sistemas lieales. Otra dificultad es que o existe ua técica coveiete para aalizar u sistema o lieal, de tal maera que se pueda geeralizar para ua amplia variedad de sistemas físicos. E esta secció se estudia la técica de liealizació, mediate la cual es posible aproximar las ecuacioes o lieales que represeta u proceso a ecuacioes lieales que se puede aalizar mediate trasformadas de Laplace. La suposició básica es que la respuesta de la aproximació lieal represeta la respuesta del proceso e la regió cercaa al puto de operació, alrededor del cual se realiza la liealizació. El maejo de las ecuacioes liealizadas se facilita e gra medida co la utilizació de las variables de desviació o perturbació, mismas que se defie a cotiuació: - VARIABLES DE DESVIACIÓN: - Se defie la variable de desviació, X (, como la diferecia etre el valor de la variable o señal x( y su valor e el puto de operació. Matemáticamete se defie: Dode X ( = x( x X(: variable de desviació. x(: variable absoluta correspodiete x : El valor de x e el puto de operació (valor base) Gráfico de las variables de desviació, variable absoluta y el puto de operació.

12 El valor base, es el valor de la variable e estado estable y geeralmete describe el valor iicial del sistema diámico y por lo tato es costate, implicado que: d x dt Por lo tato derivado veces la ecuació, obteemos: = 0 El puto de operació geeralmete está e estado estacioario, etoces: d X dt ( d x( =, = 1,,3... dt Por lo tato: x(0) = x X (0) = 0 d X dt ( 0) Y la trasformada de Laplace es, d X L dt ( = 0 = 1,,3... = s Así la ecuació liealizada e fució de las variables de desviació o icluye térmios costates. X ( s) - LINEALIZACIÓN DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE. Cosidérese la ecuació diferecial de primer orde: [ ( )] Dode f x t es ua fució o-lieal de x, y k es ua costate. Expadiedo la fució o-lieal f [ x( ] e series de Taylor alrededor del puto x, se obtiee: f Esta expasió se evalúa e el puto x. La aproximació lieal, cosiste e elimiar todas las derivadas de orde dos y mayores, etoces el valor aproximado de la fució será: dx dt ( t ) [ ( )] ( ) ( ) x t = f x + x ( t ) + 1 3! 3 d f dx df x dx = f [ x ( t )] + k 1 d f [ ] ( x ) x + [ x ( t ) x ] ( x ) 3 [ x ( t ) x ] f! df x dx dx [ ( )] ( ) ( ) x t f x + x( [ x]

13 El error itroducido e la aproximació es del mismo orde de la magitud del térmio: 1 d f ( x ) I = [ x ( t ) x ] dx Por lo tato la aproximació lieal, dada e la ecuació, es satisfactoria cuado x es muy cercao a, pues e ese caso el valor del termio x es muy pequeño. Geométricamete, la aproximació es ua líea recta que pasa por el puto de operació, geeralmete correspode al valor de estado estacioario, etoces: Por lo tato: d X dt ( 0) x(0) = x X (0) = 0 = 0 para = 1,,3... Por el puto ( x, f ( x) ), co pediete df ( x) / dx y es por defiició tagete a la curva e el puto de operació. Por lo tato, la aproximació es exacta solo e el puto de operació. La aproximació liealizada, correspodiete a la ecuació origial, resulta ser: dx( df ( ) ( x) = f x + X ( + k dt dx Si las codicioes iíciales so: ( 0) = x, dx( 0) / dt = 0, X ( 0) = 0, etoces : 0 = f ( x) k x + Fialmete, la ecuació iicial, se ha trasformado e: ( ) ( ) ( ) df t df x = X t dt dx Puede observarse de la ecuació aterior, que los térmios costates e la ecuació liealizada queda elimiados cuado el valor base es la codició iicial de estado estacioario. La aproximació lieal es tagete a la fució o lieal e el valor base,

14 f - LINEALIZACIÓN DE FUNCIONES DE DOS O MÁS VARIABLES Cosidérese la fució o-lieal de dos variables f [ x(, y( ]. Si x es el valor e estado estable de x( y y es el valor e estado estable de y(. La expresió lieal e serie de Taylor alrededor del puto ( x, y) esta dada por: f x, y x [ ( ) ( )] ( ) ( ) x t, y t = f x, y + x( t ) f +! y f [ ] ( x, y ) f [ ( ) ] ( x, y ) x + y t y + [ x( t ) x]! x ( x, y ) [ ] f ( x, y ) y ( t ) y + [ x( t ) x] [ y( t ) y ] +... x y y La aproximació lieal cosiste e elimiar los térmios de orde superior a partir del térmio de segudo orde. Etoces la expasió lieal de la fució o-lieal f [ x(. y( ], toma la forma: Dode: f f x, y x [ ( ) ( )] ( ) ( ) x t, y t = f x, y + x( f [ ] ( x, y) x + [ y( y] y f ( x, y ) f ( x, y ) y se evalua e el puto ( x, y ) x y

15 GUIA DE EJERCICIOS Nº 1 1- Utilizado la tabla de trasformadas de Laplace y Defiició de la trasformada, ecuetre F(s) de las siguietes fucioes: a) F(= 1 + t + 3t b) F(= e -t (1 + t + 3t ) c) F(= 1 + e -t e -t d) F(= 1 e -t + t.e -t - Ecotrar la solució y( de las siguietes ecuacioes difereciales, utilizado el método de trasformada de Laplace y la expasió e fraccioes parciales. Las codicioes iiciales de y( y sus derivadas so cero, la fució de forzamieto o etrada es la fució escaló uitario. dy( a) + y( = 5X ( dt d y( dy( b) y( = X ( dt dt d y( dy( c) y( = X ( dt dt d y( dy( d) y( = x( dt dt X( = u( 3- Repita el ejercicio usado como fució de forzamieto: X( = e -3t 4.- Ecotrar la solució y( de las siguietes ecuacioes difereciales, utilizado el método de trasformada de Laplace y la expasió e fraccioes parciales A.- y" ( y(0) = -0 y (0) = 0. t + 4 y' ( + 4 y( = 4e Las codicioes iíciales so B.- y " ( = t 3 4 y' ( + 4 y( Las codicioes iíciales so y(0) = 0 y (0) = 0.

16 C.- y" ( 5t + 10 y' ( + 5 y( = 10 e Las codicioes iíciales so y(0) = 0 y (0) = 0. D.- y" ( 4 y' ( + 4 y( = 4 cos t y(0) = 0 y (0) = 0. Las codicioes iíciales so 4- Liealizar las siguietes fucioes respecto a la variable que se idica, el resultado debe estar e térmios de variable de desviació. a) [ A B /( T + C) ] p( T ) = e ; dode A,B y C so costates b) α y( x) = 1+ ( α 1) x ; dode α, volatilidad relativa, es costate c) pv f ( pv ) = Cv ; C v y G so costates G d) Q(T) = ε.σ.a.t 4 ; dode ε,σ y A so costates p ( T ) e) y ( x, T, p ) =. x ; dode p p ( T ) = e [ A B /( T + C) ] f) K(T) = K o.e -(E/RT) ; dode k o, E y R so costates g) A(h,w) = h.w M. P h) ρ ( P, T ) = RT. ; dode M y R so costates i) f ( x, y) = y x + x + l y j) 3 x f ( x, y) = + se( xy) y k) f (x,y) = y x