2 Sucesiones de números reales

Transcripción

1 2 Sucesioes de úmeros reales 2.. Sucesioes E el siguiete capítulo itroduciremos la oció de límite de ua fució real de variable real utilizado para ello la oció de sucesió. El propósito del presete capítulo es itroducir al lector e el estudio de las propiedades más básicas e importates de las sucesioes de úmeros reales. Podemos iiciar este estudio utilizado ua defiició ituitiva de lo que es ua sucesió Defiició. Ua sucesió es ua lista ifiita de úmeros dispuestos e u orde determiado. Co esta defiició, la lista de los úmeros pares 2, 4, 6, 8, 0, 2, 4, 6,..., es ua sucesió. De igual maera, los úmeros a,a 2,a 3,a 4,a 5,a 6,a 7,a 8,..., dode a = ( ) para cada N, forma ua sucesió (ote que e este caso la lista tiee la siguiete forma,,,,,,,,...). U hecho importate que se debe teer presete es que ua sucesió o es simplemete u cojuto de úmeros. Recordemos que si e u cojuto cambiamos el orde e que so escritos sus elemetos obteemos el mismo cojuto (por ejemplo, los cojutos {, 2, 3} y {2, 3, } so iguales), por el cotrario, e ua sucesió, si uo cambia el orde de todos o de alguos de sus térmios etoces se obtiee ua ueva sucesió. Por ejemplo, la sucesió,,,,,,,,... es ua sucesió distita de la sucesió,,,,,,,,..., y la sucesió, 2, 3, 4, 5, 6,... es ua sucesió diferete a la sucesió 2,, 3, 4, 5, 6,...

2 46 2. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Como ya habrá otado el lector, para especificar o defiir a ua sucesió uo puede dar ua lista de los primeros térmios de la sucesió y usar después putos suspesivos para sugerir que la sucesió cotiúa geerádose de u modo ya claro. Por ejemplo, las siguietes listas de úmeros determia sucesioes:, 3, 5, 7, 9,, 3, 5, 7,..., 5, 0, 5, 20, 25, 30, 35, 40, 45,...,, 4, 9, 6, 25, 36, 49, 64, 8,..., U breve aálisis de las listas de úmeros permite cocluir que el úmero 9 es el décimo térmio de la sucesió plasmada e el primer regló, que la sucesió que ocupa el segudo regló tiee por décimo térmio al úmero real 50 y que la tercera sucesió tiee por décimo térmio al úmero real 00. E alguas ocasioes es posible establecer ua fórmula que proporcioe ua forma de calcular los valores de todos los térmios de ua sucesió. Así por ejemplo, la sucesió de los úmeros pares tiee por ua fórmula geeral a a = 2, dode recorre al cojuto de los úmeros aturales. De igual maera, la sucesió, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,..., tiee por fórmula geeral a a = dode N, y la sucesió 2, 4, 8, 6, 32, 64, 28,..., tiee por fórmula geeral a a = 2 ( ) para cada N. Notemos que para esta última sucesió es posible dar ua fórmula para los térmios pares y otra para los térmios impares, geerado de esta maera otra fórmula que permite calcular el valor de todos los térmios de esta sucesió (esto permite cocluir que ua sucesió o tiee ecesariamete ua úica fórmula geeral): 2 si es par, a = si es impar. 2 Notemos ahora que la expresió algebraica b = (+) 2 ( N) es ua fórmula geeral para la sucesió, + 2, , , ,... Por otra parte, la fórmula a =! dode N (por defiició 0! = =! y cuado 2 se defie a! = 2 3 ( ) ), permite describir a la sucesió! =, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 20, 6! = 720,...

3 2.. SUCESIONES 47 cuyo primer térmio es el úmero, cuyo segudo térmio es el úmero 2, cuyo tercer térmio es el úmero 6, cuyo cuarto térmio es el úmero 24, etcétera. Por otro lado, la fórmula geeral dode N, describe a la sucesió c = +! + 2! + 3! + +!, 2, 5 2, 6 6, 65 24,..., cuyo primer térmio es el úmero 2, cuyo segudo térmio es el úmero real 5, cuyo tercer térmio es 6 65, cuyo cuarto térmio es el úmero, etcétera. Es oportuo mecioar que aú cuado es deseable que cualquier sucesió se pudiera represetar mediate ua fórmula geeral expresable como regla algebraica, éste o es el caso para la sucesió cuyos térmios so los dígitos de la expasió decimal del real π: 3,, 4, 5, 9, 2, 6, 5, 3,..., i para la sucesió de úmeros primos ordeados por magitud 2, 3, 5, 7,, 3, 7, 9, 23,... Tambié sucede que e muchas ocasioes es muy difícil, de la simple observació de los térmios de ua sucesió, obteer ua fórmula geeral. Por ejemplo, la sucesió de Fiboacci,, 2, 3, 5, 8, 3, 2, 34,..., tiee por fórmula geeral a la ecuació a = ( + 5) ( 5) 2 5 ( N) E otras ocasioes escribir la fórmula geeral de ua sucesió es ua tarea egorrosa. Por ejemplo, la sucesió 2, 2 + 2, , ,..., tiee por fórmula geeral a a = ( radicales) N E los dos ejemplos ateriores es secillo percatarse de que cada térmio (a partir de cierto mometo ) se puede ir geerado de ua maera secilla a partir de los térmios ateriores. Por ejemplo, e la sucesió de

4 48 2. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Fiboacci, cada térmio es la suma de los dos ateriores, ua vez dados los dos primeros térmios:,, 2 = +, 3 = 2 +, 5 = 3 + 2, 8 = 5 + 3, 3 = 8 + 5,... Sucesioes que tiee ua característica semejate a la sucesió de Fiboacci tiee u ombre especial; éstas so llamadas sucesioes recurretes. (La idea fudametal para llamar de esta maera a este tipo de sucesioes es que para ir obteiedo cada térmio de ellas, uo recurre a los térmios ateriores al térmio que se desea coocer). Ua defiició más formal de sucesió recurrete es la siguiete Defiició. Ua sucesió es ua sucesió recurrete si está expresada por medio de ua fórmula de recurrecia. Para explicar co mayor detalle esta defiició regresemos a la sucesió de Fiboacci. Como ya hemos hecho observar, para determiar a cada térmio de la sucesió de Fiboacci, ua vez establecidos los dos primeros térmios de esa sucesió, es suficiete sumar los dos térmios ateriores al térmio que se desea determiar; otemos ahora que todo esto lo podemos resumir co la siguiete fórmula: a = térmio dado a = a 2 = térmio dado a = a + a 2 para 3 Fórmulas como la aterior so llamadas fórmulas de recurrecia, porque expresa cada térmio e fució del precedete, y lo que acabamos de hacer co la sucesió de Fiboacci es establecer ua fórmula de recurrecia que la defie. La fórmula de recurrecia de carácter más geeral tiee la forma siguiete: { a,a 2,...,a k térmios dados o coocidos; a = a = F(a k,a k,...,a 2,a ) para k + dode F(a k,a k,...,a 2,a ) es ua fució que depede de los valores que tega a k,a k,...,a 2,a, o dicho de otra maera: F(a k,a k,...,a 2,a ) es ua fórmula que expresa la maera e que puede ser calculados los valores de los térmios a, para k +, coociedo los valores de los térmios a k,a k,...,a 2,a. Por ejemplo, para la sucesió de Fiboacci se tiee que F(a,a 2 ) = a + a 2 para 3. Fialmete, estamos ya e posició de eteder la oció de sucesió recurrete: Ua sucesió es recurrete si puede ser establecida ua fórmula de recurrecia que la describa.

5 2.2. PROBLEMAS 49 Como u ejemplo de todo lo aterior, otemos que la fórmula { 2 cuado = a = 2 + a cuado 2 es ua fórmula de recurrecia para la sucesió 2, 2 + 2, , ,..., cuya fórmula geeral, recuerde, es a = ( radicales) N 2.2. Problemas () Escriba los 5 primeros térmios de cada ua de las siguietes sucesioes: (a) a = ( + ) (b) a = ( ) + (c) a = ( ) (d) a = 3, a = 3 + a ( 2) 0 (e) a = (f) a = + (g) a = (h) a = + (i) p =, p + = q p ( N) (j) a =, a k+ = 2 3 a k (k N). (2) Hallar fórmulas geerales que especifique a las siguietes sucesioes: (a),,2,4,8,6,32,... (b) 0.4,0.44,0.444,0.4444,... 2 (c), 2,3, 4,5, 6,... (d),2,9,64,625,7776,7649,... (e) 2, 2 3, 3 4, 4 5, 5 6, 6 7,... (f) 0, 2, 2 3, 3 4, 4 5, 5 6, 6 7,... (g) 0, 3, 2 4, 3 5, 4 6, 5 7,... (h) 4, 4 9, 9 6, 6 25, 25 36, 36 49,... (3) Dadas las siguietes sucesioes recurretes hallar fórmulas geerales que las represete. (a) a =, a = ( )a ( 2) (b) a = 2, a = 2 a ( 2) (c) a = 3 0, a + = a ( N) (d) a = 0, a = ( 2) 2 a (4) Escriba ua fórmula de recurrecia para cada ua de las siguietes sucesioes: (a) a = (b)a = +! + 2! + +! (c) a = ( radicales, N) (d) 0.4, 0.44, 0.444, , ,...

6 50 2. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES { a (5) Si ua sucesió tiee la fórmula de recurrecia, dode a = F(a ) F : R R es ua fució, (a) Demuestre que a 3 = F(F(a )) (b) Escriba la fórmula que da a 4 e térmios de a (c) Escriba la fórmula que da a 0 e térmios de a 8 (d) Escriba la fórmula que da a e térmios de a k, para k <. (6) U Baco ofrece a sus clietes ua tasa de iterés de r% aual. Ua persoa deposita cierta catidad de diero y la deja e el Baco durate varios años. Supoga que el total del diero que tiee acreditado a su cueta al cabo de años es a. Escriba ua fórmula de recurrecia para la sucesió a,a 2,a 3,a 4,a 5,a 6,a 7,a 8,... (7) Demuestre a = ( + 5) ( 5) 2 ( N), 5 satisface que a = = a 2 y que a = a + a 2 cuado 3. (Observe que a os proporcioa ua fórmula geeral para la sucesió de Fiboacci) Sucesioes crecietes, decrecietes y sucesioes acotadas E la secció aterior se itrodujo la oció de sucesió utilizado para ello ua defiició ituitiva: ua sucesió es ua lista ordeada e ifiita de úmeros reales. Iiciamos la presete secció itroduciedo ua defiició más rigurosa de lo que es ua sucesió Defiició. Ua sucesió de úmeros reales es ua fució f : N R, co domiio el cojuto de los úmeros aturales N y codomiio el cojuto R. Nótese que si visualizamos a ua sucesió como ua fució f : N R etoces podemos crear ua lista ordeada ifiita de úmeros reales que represeta a esta fució. E efecto, cosideremos simplemete como el primer térmio de esta lista ifiita al úmero real f(), como segudo térmio al real f(2), como tercero a f(3), y así sucesivamete: f(),f(2),f(3),...,f(),... Por otra parte, si partimos de ua lista ordeada ifiita de úmeros reales a,a 2,a 3,a 4,..., podemos etoces costruir ua fució f : N R que determia a esta lista de úmeros reales. E efecto, simplemete defiamos a f por medio de la regla f(m) = a m para cada m N. Observe que co todo lo aterior hemos establecido que es lo mismo cosiderar a ua sucesió como ua lista ordeada e ifiita de úmeros reales, que como ua fució co domiio N y codomiio R.

7 2.3. SUCESIONES CRECIENTES, DECRECIENTES Y SUCESIONES ACOTADAS5 Por otra parte, el poder hablar de ua sucesió como ua fució co domiio N y codomiio R os capacita para poder compreder la idea de que alguas sucesioes o ecesariamete iicia e =. Expliquemos esto co más detalle. Si N es u úmero atural, A = { N : > N} y f : N R es ua fució, etoces f determia ua sucesió de úmeros reales (y e este setido, podemos decir que f es ua sucesió de úmeros reales). E efecto, la fució f defie a la sucesió f(n + ),f(n + 2),f(N + 3),f(N + 4),..., o dicho de otra maera, utilizado a la fució f podemos defiir a la fució g : N R que tiee por regla de asociació a g(m) = f(n + m) co m N. Por ejemplo, la fució f : A R dada por f(k) = para cada k 5 k A = { N : > 5} es la sucesió cuyo primer térmio es el úmero real a = f(5 + ) = f(6) = =, 6 5 cuyo segudo térmio es el real a 2 = f(5 + 2) = f(7) = 7 5 = 2, cuyo tercer térmio es a 3 = f(5 + 3) = f(8) = 8 5 = 3, etcétera Notació. De ahora e adelate, cuado queramos hacer referecia a ua sucesió a,a 2,a 3,... escribiremos la sucesió (a ) N y diremos que a es el -ésimo térmio de la sucesió (a ) N. Por ejemplo, para referiros a la sucesió, 3, 5, 7,...,2,... escribiremos la sucesió (2 ) N. Estamos ahora iteresados e itroducir a las sucesioes moótoas. Co este propósito es que establecemos la siguiete defiició Defiició. Sea (a ) N ua sucesió de úmeros reales. () Diremos que (a ) N es moótoa creciete (o simplemete creciete) si: m, N : < m a a m. (2) Diremos que (a ) N es estrictamete creciete si ocurre que m, N : < m a < a m. (3) Por otro lado, se dice que (a ) N es ua sucesió moótoa decreciete (o simplemete decreciete) si: m, N : < m a a m,

8 52 2. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES (4) y fialmete, diremos que la sucesió (a ) N es ua sucesió estrictamete decreciete si sucede que m, N : < m a > a m. No es difícil demostrar que las siguietes proposicioes so formas equivaletes de percibir a las sucesioes crecietes, decrecietes, estrictamete crecietes y estrictamete decrecietes Observació. Las siguietes proposicioes so verdaderas para cualquier sucesió de úmeros reales (a ) N. () La sucesió (a ) N es creciete si y sólo si m N : a m a m+. (2) (a ) N es estrictamete creciete si y sólo si m N : a m < a m+. (3) La sucesió (a ) N es decreciete si y sólo si m N : a m a m+. (4) (a ) N es estrictamete decreciete si y sólo si m N : a m > a m Ejemplos. () Cosideremos a la sucesió (b ) N defiida por medio de la fórmula geeral b = ( N), esto es, cosideremos a la sucesió de los úmeros aturales, 2, 3, 4, 5,... Esta sucesió es ua sucesió estrictamete creciete (y por lo cual, ua sucesió moótoa creciete). E efecto, segú el iciso (2) de la aterior observació, para demostrar este hecho bastará verificar que m N : b m < b m+ Pero otemos que si m N etoces b m < b m+ puesto que b m = m, b m+ = m + y m < m +. De esta maera hemos verificado que (b ) N es estrictamete creciete. (2) Cosideremos ahora a la sucesió 0.3, 0.33, 0.333, ,..., }{{},... m-veces Obsérvese que ua fórmula geeral para esta sucesió es a m = m-veces {}}{ , dode m N. Nótese ahora que esta sucesió satisface que a m+ = a m + 3 para cada m N. Ahora, como 0 m+ 3 > 0 para cualquier m N, teemos que a 0 m+ m < a m+ para cada m, y de esta forma hemos establecido que la sucesió (a ) N es estrictamete creciete.

9 2.3. SUCESIONES CRECIENTES, DECRECIENTES Y SUCESIONES ACOTADAS53 (3) Para cada N, sea a =. Etoces N : < + + < a + < a Así que (a ) N es estrictamete decreciete. (4) Sea b R. Defiamos a m = b para cada m N. La sucesió (b ) N de esta forma defiida es ua sucesió creciete y decreciete a la vez (es usual llamar a la sucesió (a ) N sucesió costate de valor b). Efectivamete, como a m = b = a m+ para cada m N, se verifica que m N : a m a m+ y a m a m+. Etoces la sucesió (a ) N es ua sucesió creciete y decreciete. Obsérvese que esta sucesió o es i estrictamete creciete i estrictamete decreciete. (5) Cosideremos a la sucesió (a ) N = (2 + ( ) ) N. No es difícil covecerse que la siguiete lista proporcioa los primeros cico térmios de esta sucesió a =,a 2 = 5,a 3 = 5,a 4 = 9,a 5 = 9,... Afirmamos que la sucesió (a ) N es ua sucesió creciete (auque o estrictamete creciete). E efecto, observemos que para la sucesió (2 + ( ) ) N ocurre que par { a = 2 + a + = 2( + ) = = 2 + } a = a + impar { a = 2 a + = 2( + ) + = = } a < a + Como todo úmero atural es par ó impar, lo aterior argumeta que N : a a +. Por lo tato, (a ) N es moótoa creciete. Dado que a 2 = a 3, esta sucesió o es ua sucesió estrictamete creciete. (6) Cosideremos ahora a la sucesió recurrete: { c = 7 (c ) N = c = 2 + c si 2 La sucesió recurrete (c ) N es moótoa decreciete. E efecto, segú el pricipio de iducció matemática, para establecer que la proposició c c + para cada N es verdadera, basta establecer la veracidad de las siguietes dos proposicioes:

10 54 2. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES (i) c c 2 ; y (ii) c c + c + c +2 Los siguietes argumetos demuestra estas dos proposicioes. Demostració de que c c 2 : Como c 2 = 2 + c = = 9 = 3 < 7 = c, podemos cocluir que c c 2. Demostració de que c c + c + c +2 : c c c 2 + c c 2 + c + c + c +2 (7) Para cada N, defiimos α = La sucesió! 2!! (α ) N de esta forma defiida es ua sucesió estrictamete creciete. Efectivamete, otemos simplemete que para cada N sucede que α = +! + 2! + +! < ( +! + 2! + +! (8) Defiamos β = ) + (+)! = α +. ( + ) para cada N. Demostraremos que la sucesió (β ) N es ua sucesió estrictamete creciete demostrado los siguietes hechos. (a) Si m es u úmero atural cualquiera, etoces ( + m) m = +! + 2! + m! ( ) m ( m + 3! )( 2 m ( )( m 2 ) ( m) m m. ) + Demostració. Por el Teorema del Biomio de Newto, teemos que ( ) m m ( ) m ( + m = m j j. j m) j=0 Recordemos ahora que ( ) m j =! y que! = 2 ( ) ( j)! j! (recuerde tambié que por defiició 0! = ). Etoces

11 2.3. SUCESIONES CRECIENTES, DECRECIENTES Y SUCESIONES ACOTADAS55 ( ) m ( + m = m ) 0 m 0 m + ( ) m 0 m m + ( ) m 2 m 2 m + + ( ) m 2 m m m m m = m! (m 0)! 0! m 0 + m! (m )!! m + m! (m 2)! 2! + m! (m m)! m! m m = m! m! + m (m )! (m )!! m + m (m ) (m 2)! (m 2)! 2! m m (m ) ( m (m 2) = + + 2! m (m ) m 2 ) ( m (m ) (m m)! m! m m ) m (m ) ( ) + + m! m (m 2) ( = + + 2! m m (m ) m + + m! m m (m ) m = + + 2! ( m m m ) + + m! ( m m m m m )( m m 2 m ( m (m 2) m ) m (m ) ) ) ( ) m (m ) m ) ( m m m m ( ) ( )( ) ( ) = + + 2! m + + m! m 2 m m m (b) Si m N y k {, 2,...,m }, etoces k m < k m+. Demostració. Elijamos u úmero k {, 2,...,m }. Como 0 < m < m +, teemos que <. Etoces <. m+ m m m+ Multiplicado ambos lados por k obteemos que k < k. m m+ Fialmete sumamos a cada lado de la desigualdad para obteer k < k. m m+ (c) Si m N etoces ( (m+)! m+ )( 2 m+ ) ( ) m > 0. m+ Demostració. Sea k {, 2,...,m} arbitrario. Claramete 0 < k k k < m+. Etoces <. Por lo cual 0 <. Como k m+ m+ {, 2,...,m} fue elegido e forma arbitraria, podemos cocluir que 0 < tiee que (m+)! k m+ para cada k {, 2,...,m}. De esta maera se ( )( ) ( ) 2 m > 0. m+ m+ m+ Para fializar el aálisis de este ejemplo, probemos que β < β + para cada atural.

12 56 2. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Seleccioemos u atural. Aplicado los resultados de los icisos (a), (b) y (c) ateriores, obteemos que ( ) β = + ( ) ( )( ) = ! 2! 3! ( )( ) ( ) + 2! ( ) ( )( ) < ! 2! + 3! + + ( )( ) ( ) + 2 (+)! ( ) ( )( ) < ! 2! + 3! + + ( )( ) ( ) ()! ( )( ) ( ) + 2 (+)! ( + = + (+)) = β+ Por lo tato, podemos cocluir que β < β + para cada N Defiició. Sea (a ) N ua sucesió de úmeros reales. () Diremos que (a ) N es acotada superiormete si existe u úmero real K co la propiedad de que a K para cada úmero atural. (2) Diremos que la sucesió (a ) N es acotada iferiormete si existe u úmero real k tal que a k para cada úmero atural. (3) Fialmete, diremos que la sucesió (a ) N está acotada si es acotada tato superior como iferiormete Ejemplos. () La sucesió (b ) N defiida por medio de la fórmula geeral b = ( N) o es ua sucesió acotada superiormete, auque si está acotada iferiormete (el úmero real 0 os sirve para costatar esta última afirmació). Para comprobar que b o está acotada superiormete, verificaremos que: Para cada K R : existe N tal que K < b. Elijamos u úmero real K cualquiera. El lector seguramete recordará que el cojuto de los úmeros aturales N o está acotado superiormete (c.f. Proposició.8.3); esto sigifica, e particular, que igú úmero real puede ser ua cota superior para el cojuto N. E cosecuecia, el úmero real K o puede ser ua cota superior de N. Etoces, al o ser K cota superior de N, deberá existir u úmero atural m N tal que K < m. Para culmiar la prueba de uestra afirmació, sólo observemos que m = b m.

13 2.3. SUCESIONES CRECIENTES, DECRECIENTES Y SUCESIONES ACOTADAS57 El lector seguramete habrá otado que ua vez que hicimos evidete que el cojuto de los úmeros aturales N o está acotado superiormete, fue muy fácil demostrar que la sucesió (b ) N o está acotada superiormete. La razó de ello es que e realidad estos dos hechos so equivaletes. (2) Cosideremos a la sucesió (a ) N dada por 0.3, 0.33, 0.333, ,..., }{{},... -veces Sabemos ya que esta sucesió es ua sucesió estrictamete creciete. Ahora ote que esto implica que (a ) N está acotada iferiormete ( por qué?). Por otra parte, otemos que cualquiera que sea m N siempre sucede que = 0 m }{{}. Co este hecho a la mao, podemos m veces cocluir que para cualquier úmero atural m se tiee que: 0 < 0 < 0 m m veces {}}{ < 0 m m veces {}}{ m < m veces m veces {}}{ {}}{ < 3 (0. m veces {}}{ ) < m veces {}}{ < 3 a m < 3 Por lo tato, la sucesió (a ) N está acotada superiormete. (3) La sucesió a = es ua sucesió que está tato acotada superiormete como iferiormete. La razó de ello es porque 0 < para cualquier úmero atural. (4) Toda sucesió costate es ua sucesió acotada. E efecto, cosideremos la sucesió costate a = b (dode N y b R es fijo). Claramete, para esta sucesió se tiee que N : b a b Observe ahora que esto último costata que (a ) N está acotada tato superior como iferiormete.

14 58 2. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES (5) Cosideremos a la sucesió (2 + ( ) ) N. Recordemos que los primeros cico térmios de esta sucesió so los úmeros a =,a 2 = 5,a 3 = 5,a 4 = 9,a 5 = 9,... Esta sucesió es u ejemplo de ua sucesió que está acotada iferiormete, pero o superiormete. Es fácil demostrar que esta sucesió está acotada iferiormete (utilice el hecho de que esta sucesió es moótoa creciete); así que sólo verificaremos que a = 2 + ( ) o está acotada superiormete. Co este propósito e mete, cosideremos u úmero real cualquiera K. Seleccioemos u úmero atural m co las siguietes dos propiedades: (a) m es u úmero atural par, y además, (b) K 2 < m (Para covecerse de que existe al meos ua m co esta propiedad, recuerde que la sucesió de los úmeros aturales o está acotada superiormete. Por esa razó, el real K 2 o puede ser ua cota superior para N, de lo cual podemo garatizar la existecia de u atural tal que K 2 <. Si es par, defiimos m =, e caso cotrario defiimos a m como + ). Siedo m u atural par, se tiee que a m = 2m + ( ) m = 2m +. Como K < m, teemos que K < a 2 m. Por lo tato, hemos demostrado que para cualquier real K siempre existe u térmio de la sucesió más grade que él; esto sigifica que (a ) N o puede estar acotada superiormete. (6) La sucesió recurrete (c ) N = { c = 7 c = 2 + c si 2 es ua sucesió acotada tato superior como iferiormete. E efecto, recordemos que la sucesió (c ) N es ua sucesió decreciete. Por lo cual, se tiee que c m c = 7 para cada úmero atural m; esto último sigifica que (c ) N está acotada superiormete. Co el propósito de demostrar que (c ) N está acotada iferiormete, demostraremos, utilizado el método de iducció matemática, la veracidad de la siguiete proposició: N : c 2. Primer paso de iducció: Como 2 < 7 = c, la propiedad es cierta para =. Segudo paso de iducció: Supogamos que la propiedad es válida para = k (esto es, supogamos que 2 c k es verdadera), y verifiquemos que la propiedad es tambié verdadera para = k +. Note que la válidez del siguiete razoamieto y el hecho

15 2.3. SUCESIONES CRECIENTES, DECRECIENTES Y SUCESIONES ACOTADAS59 de que la propiedad sea verdadera para = k, implica que la propiedad es verdadera para = k + : 2 c k c k c k 2 c k+ Aplicado el método de iducció matemática, podemos cocluir que 2 c para cada N. (7) La sucesió α = ( N) es ua sucesió que! 2!! está acotada superiormete e iferiormete (dejamos al lector la tarea de verificar que esta sucesió está acotada iferiormete). Co la idea de comprobar que (α ) N está acotada superiormete, observemos que para cualquier atural se tiee que α = +! + 2! + 2! + 4! +! = ( ) < } 2 {{ 2} -veces 2 ) ( = ( ( 3 ) ) ( ) = + 2 = + 2 ( 2 ) 2 2 = + 2 = + 2 < ( (8) La sucesió β = + ) es ua sucesió acotada. ( Efectivamete, para comprobar que β = + ) está acotada superiormete (dejamos al lector la tarea de comprobar que β está acotada iferiormete) otemos primeramete que para cualquier úmero atural m y cualquier k {, 2,...,m }, se tiee que k m < (puesto que k > 0 para cualquier k {, 2,...,m }). Co m este resultado podemos cocluir que ( ) m β m = + m ( ) = +! + 2! ( m + m! m + 3! )( 2 m ( )( m 2 ) ( m) m m < +! + 2! + 3! + + m! = α m < 3 para todo úmero atural. ) +

16 60 2. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES 2.4. Problemas () Demuestre que las sucesioes siguietes so crecietes. Cuáles de ellas so estrictamete crecietes? (a) a = (b) a = (c) a = (d) a = + (e) a = 2 (f) a = (g) a = +! + +! (2) Demuestre que las sucesioes siguietes so decrecietes. Cuáles de ellas so estrictamete decrecietes? (a) a = 2 (b) a = + (c) a = 2 (d) a = (e) a = x dode 0 < x < (f) a = { 7 si = 2 + a si 2 (3) De las siguietes sucesioes, determie cuáles so acotadas, cuáles so moótoas crecietes o decrecietes, cuáles so estrictamete decrecietes y cuáles de ellas so estrictamete crecietes. (a) a = ( ) + (b) a = ( )+ (c) a = (d) a = + ( )+ (e) b = + ( ) 2 (g) d = 2 (h) c = (f) (i) α = 3 2 (j) c = (4) Demuestre que ua sucesió (a ) N está acotada si y sólo si existe u úmero real positivo K tal que a K, para cada N. (5) Demuestre que las siguietes sucesioes o está acotadas. (a) a = 2 (b) a = 2 (c) b = (d) a = 2 (e) a = 2 + (f) a = 3 2 (6) Cuáles de las siguietes sucesioes so moótoas (crecietes o decrecietes) y acotadas? (a) a = 2 (b) a = (c) b = + (d) a = + (e) a = (f) a =

17 2.4. PROBLEMAS 6 (7) Demuestre que ua sucesió (a ) N es creciete si y sólo si N : a a +. (8) Demuestre que la sucesió (a ) N defiida por { a = a + = 2 + a para N es ua sucesió creciete y acotada superiormete. (9) Demuestre que si (a ) N está dada por: a > 0 a + = (a + A ) para N 2 a dode A > 0, etoces (a) 2 : a A. (b) 2 : a + < a. (0) E este ejercicio se establece otra maera de demostrar que la sucesió (β ) N es estrictamete creciete. (a) Demuestre que si 0 a < b y N etoces b + a + < ( + )b. b a (Sugerecia: Utilice el hecho de que b + a + = (b a)(b + b a + b 2 a ba + a ).) (b) Demuestre que si 0 a < b y N etoces a + > b [( + )a b]. (Sugerecia: aplique el resultado del iciso aterior). (c) Defia a = + + y b = +. Demuestre que los úmeros a y b de esta maera defiidos satisface que 0 a < b. Aplique lo demostrado e el iciso aterior para cocluir que si N etoces β < β +. () E este ejercicio se demuestra uevamete que la sucesió (β ) N es creciete. Demuestre los siguietes hechos. (a) Demuestre la desigualdad de Beroulli, esto es, demuestre que x N : ( + x) + x. Sugerecia: Dado x, use iducció matemática para probar que N : ( + x) + x. (b) Use la desigualdad aterior para demostrar que ( 2 : β ). (c) Despeje β e la desigualdad del iciso aterior y cocluya que 2 : β β. ( (2) E este ejercicio se demuestra uevamete que la sucesió β = + ) está acotada superiormete. ( 2 (a) Demuestre que N : + 2) < 4. (Sugerecia: Aplique la desigualdad plasmada e el iciso (b) del Problema 0, a los úmeros a = y b = + ( + 2 para cocluir que 2) < 2; después eleve al cuadrado cada uo de los térmios de esta última desigualdad).

18 62 2. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES (b) Aplicado el resultado del iciso aterior ( y el resultado del Problema 0, cocluya que si N etoces + ) < 4 (ote que esto último permite cocluir que la sucesió (β ) N está acotada superiormete) Límites de sucesioes Supogamos que (a ) N es ua sucesió y que P es algua propiedad que cada térmio a puede teer o o. Por ejemplo, P puede ser la propiedad de ser u úmero mayor que 3, o bie puede ser la propiedad de ser u etero positivo. Nos pregutamos ahora si a tiee o o la propiedad P para cada úmero atural y reflexioado u poco otamos que se tiee los siguietes tres casos: Caso A. Todos los térmios a tiee la propiedad P, o e su defecto, sólo u úmero fiito de térmios a o tiee la propiedad P. E resume, a lo más u úmero fiito de térmios de la sucesió o posee la propiedad P. Caso B. Nigú térmio a tiee la propiedad P, o úicamete u úmero fiito de térmios a posee la propiedad P. E resume, a lo más u úmero fiito de térmios de la sucesió (a ) N tiee la propiedad P. Caso C. La tercera posibilidad es que o suceda i A i B, e cuyo caso se tiee que tato la catidad de térmios a que o posee la propiedad P como la catidad de térmios que sí la posee es ifiita. A cotiuació expoemos alguos ejemplos de sucesioes, y de alguas de propiedades P, co la idea de poder ejemplificar los tres ateriores casos Ejemplos. () Cosideremos como (a ) N a la sucesió a = ( N) y como P a la propiedad ser u úmero positivo. Para esta sucesió sucede que todos sus térmios posee la propiedad P. Por otra parte, si cosideramos como P a la propiedad ser u úmero mayor que, etoces úicamete u úmero fiito de térmios de la sucesió o posee esta propiedad (los térmios a, a 2,..., a 0 o so mayores que ). E estos dos ejemplos sucede el caso A. (2) Cosideremos ahora a la sucesió (b ) N dada por b = para cada N, y a la propiedad de ser u úmero mayor estricto que. No es difícil verificar que sólo u úmero fiito de térmios de 7 la sucesió (b ) N tiee la propiedad de ser estrictamete mayor que (a saber, los térmios a 7,a 2,a 3,a 4,a 5 y a 6 ). Es claro que e este ejemplo sucede el caso B.

19 2.5. LÍMITES DE SUCESIONES 63 (3) Fialmete, cosideremos de uevo a la sucesió () N de todos los úmeros aturales y sea P la propiedad de ser u úmero par. Es evidete que tato la catidad de térmios de la sucesió que posee la propiedad P, como la catidad de térmios que o la posee es ifiita. E este ejemplo, sucede el caso C. Supogamos ahora que (a ) N es ua sucesió arbitraria y que P es ua propiedad para la cual sucede el caso A; es decir, supogamos que a lo más ua catidad fiita de térmios de la sucesió (a ) N, digamos a,a 2,...,a N, o tiee la propiedad P. Co a k (para k N) deotamos al k-ésimo térmio que o tiee la propiedad P, y estamos supoiedo que solamete so N los térmios de la sucesió (a ) N que o tiee P (que o ecesariamete so los N primeros térmios de la sucesió). Es claro etoces que a tiee la propiedad P si > N. Por ejemplo, podemos pesar que (a ) N es la sucesió, 2,,,,, 8, 2,, 3,,,,,,,,,,...,,..., y que P es la propiedad ser igual a. Para esta sucesió, y para esta propiedad, sucede que los úicos térmios que o so iguales a so los térmios: a 2,a 7,a 8,a 0 y a ; que como se ve o so los cico primeros térmios de la sucesió, pero co la idea de ordearlos podríamos reombrarlos de la siguiete maera: a 2 = a es el primer térmio de la sucesió que o posee P, a 7 = a 2 es el segudo térmio de la sucesió que o posee P, a 8 = a 3 es el tercer térmio de la sucesió que o posee P, a 0 = a 4 es el cuarto térmio de la sucesió que o posee P, y fialmete a = a 5 es el quito térmio de la sucesió que o posee P. Note ahora que podemos decir que para > 5 = el térmio a ya posee la propiedad P. Co frecuecia se utiliza la frase: para sufietemete grade para hacer éfasis e que existe u úmero atural m a partir del cual todos los térmios de ua sucesió posee ua cierta propiedad (e uestro ejemplo teemos que todos los térmios de la sucesió (a ) N so iguales a para suficietemete grade). Todo lo aterior os permite cocluir que la frase La sucesió (a ) N tiee la propiedad P para suficietemete grade, sigifica que

20 64 2. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES existe u úmero atural m tal que a tiee la propiedad P para toda m. Cuado uo aaliza a los térmios de ua sucesió (a ) N es muy atural hacerlo e orde, comezado co a, siguiedo co a 2, luego co a 3, etcétera, es decir, supoiedo que toma sucesivamete los valores de, 2, 3,... Para idicar que tomará sucesivamete los valores de, 2, 3,... suele usarse la expresió tiede al ifiito y escribir. De esta maera, si (a ) N tiee la propiedad P para suficietemete grade y tiede al ifiito etoces e algú mometo el atural asumirá valores ta grades como para asegurar que a tiee ya la propiedad P. Por esa razó alguos autores toma a la frase a tiee la propiedad P cuado tiede a ifiito como sióimo de la frase a tiee la propiedad P para suficietemete grade Ejemplos. () La sucesió (a ) N = ( ) N tiee la propiedad de que a < para suficietemete grade. E efecto, segú lo ates dicho debemos verificar que existe u úmero atural m que tiee la siguiete cualidad: N, co m, se tiee que a < Pero otemos que a < < <. Así que si tomamos como m a u úmero atural mayor estricto que 0 500, digamos que m = , podemos garatizar que si N y m etoces a = < (2) Cosideremos a la sucesió (b ) N = ( +) N. Afirmamos que para suficietemete grade se tiee que b < 000 Para demostrar esta afirmació ecesitamos determiar ua m N que tega la siguiete propiedad: N, co m, se tiee que + < 000. Ahora bie, ótese que + = + para cada. Así que b < 000 < <.

21 2.5. LÍMITES DE SUCESIONES 65 De esta maera hemos descubierto que bastará cosiderar como m a u úmero atural mayor que 000 para poder garatizar la propiedad deseada. Por esa razó podemos decir que si m = 003 etoces se tiee que N y m implica que b <. 000 (3) Sea (c ) N la sucesió c = 7+5. Afirmamos que para suficietemete grade se tiee 5 que c 7 5 <. Itetemos descubrir ua m adecuada. Primeramete otemos que c 7 5 < < < 5 5 < < < <. Así que bastará cosiderar como m a u úmero atural mayor que (por ejemplo, podemos tomar m = 2). (4) a = + 2 (0.95,.05) cuado. E efecto, 0.95 < + 2 < < + 2 < < 2 < < < < 2 < < 2 20 < Por lo tato, podemos tomar m = 5 y cocluir que N : m implica a (0.95,.05). E el ejemplo 3 comprobamos que para suficietemete grade se tiee que <. Note que el papel que desempeñó el úmero 5 5

22 66 2. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES real e la demostració de este resultado fue irrelevate. Es claro que pudimos haber demostrado que la proposició < ε para suficietemete grade 5 5 es cierta para cualquier úmero real positivo ε. Esta última propiedad es u razgo característico del úmero 7, puesto 5 que, como veremos a cotiuació, este úmero es precisamete el límite de la sucesió Defiició. Sea (a ) N ua sucesió de úmeros reales y l u úmero real. Diremos que l es el límite de (a ) N cuado tiede a ifiito si ε > 0 existe N N tal que N se tiee que a l < ε. Lo primero que debemos hacer otar, ua vez establecida la oció de límite de ua sucesió, es que cuado ua sucesió tiee u límite este límite es úico Lema. Si ua sucesió de úmeros reales tiee límite este límite es úico. Demostració. (Por cotradicció) Supogamos que existe ua sucesió (a ) N de úmeros reales que tiee dos límites distitos l y s. Como l s, teemos que ε = l s > 0. Así que aplicado el hecho de que 2 l = lim a = s, podemos argumetar la existecia de u par de úmeros aturales N y N 2 que tiee las siguietes propiedades: N : a l < ε y N 2 : a s < ε. Elijamos ahora u úmero atural m tal que m N,N 2. Debido a que m N y a que m N, se tiee que a m l < ε y a m s < ε. Etoces l s = l a m + a m s l a m + a m s < ε + ε = 2ε = l s. Por lo tato l s < l s, lo cual es ua cotradicció Notació. Ua vez que sabemos que cuado ua sucesió tiee u límite éste es úico, podemos establecer ua otació adecuada para este hecho. A partir de este mometo escribiremos l = lim a, para deotar al hecho de que existe u úmero real l tal que ε > 0 existe N N tal que N se tiee que a l < ε Ejemplos.

23 2.5. LÍMITES DE SUCESIONES 67 () Cosideremos a la sucesió a = ( N). Afirmamos que esta sucesió tiee por límite al úmero real 0. E efecto, recordado la defiició de límite de ua sucesió, observamos que debemos probar que ε > 0 existe N N tal que N se tiee que 0 < ε. Cosideremos etoces ua ε > 0 arbitraria. Notemos primeramete que 0 < ε < ε ε <. Así que si tomamos u úmero atural N co la propiedad de que N > podemos etoces garatizar que > cada vez que ε ε N y N. Pero observe que > implica que 0 < ε. ε Así que si tomamos N co N podemos cocluir que 0 < ε. De esta maera hemos demostrado que N : N implica que 0 < ε. Y así hemos culmiado la prueba de que ε > 0 existe N N tal que N se tiee que 0 < ε. Por lo tato, lim = 0. (2) Sea b = ( ) ( N). Note que esta sucesió tiee todos sus térmios oscilado alrededor del úmero real 0 y que a medida que crece, estos térmios se va haciedo cada vez más pequeños. Se afirma que el límite de esta sucesió es uevamete el úmero real 0. Recordemos que para demostrar esta afirmació debemos demostrar que ε > 0 existe N N tal que N se tiee que ( ) 0 < ε. Cosideremos etoces ua ε > 0 arbitraria. Co la fialidad de descubrir cómo debemos de seleccioar a la N N para que cumpla las propiedades deseadas, aalicemos la desigualdad ( ) 0 < ε. No debe ser difícil que el lector se coveza de que ( ) 0 < ε < ε <. ε Así que, al igual que e el aterior ejemplo, bastará tomar a ua N N co la propiedad de que N > (recuerde que debido ε a que N o está acotado superiormete siempre es posible hallar, para cualquier úmero real x, u úmero atural tal que x < ). Etoces podemos cocluir N y N implica que ( ) 0 < ε.

24 68 2. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Esto último culmia la prueba de que ε > 0 existe N N tal que N se tiee que ( ) 0 < ε. ( ) Por lo tato, podemos cocluir que lim = 0. (3) Cosideremos a d = dode N. Primeramete observemos que d = = + = para cada. Ahora bie, ua vez que d está escrita de esta maera es fácil observar que a medida que crece, el sumado se hace cada vez más + pequeño, y por lo cual d se acerca cada vez más al úmero. Cojeturamos etoces que lim = 0. + Para demostrar esta afirmació, elijamos e forma arbitraria u úmero positivo ε. Notemos primero que < ε < ε < ε + < ε ε < + ε < Así que si elejimos ua N N co la propiedad de que N > ε, podemos garatizar que N : N implica que < ε. + Efectivamete, si N etoces >, por lo cual < ε. ε + Pero =, así que < ε (4) Sea c = 2 dode N. Viedo que = 2 = , 2 c = 2 otamos que cuado toma valores muy grades, el úmero c se parece a, por esta razó cojeturamos que lim 2 = Para probar que uestra cojetura es cierta, elijamos e forma arbitraria u úmero positivo ε. Ahora bie, reflexioado u poco podemos otar que itetar resolver la desigualdad < ε para (como lo hicimos e los ejemplos ateriores) puede ser ua tarea muy laboriosa, así que co el afa de evitar este trabajo podemos daros cueta de que la idea fudametal para poder

25 2.5. LÍMITES DE SUCESIONES 69 hallar ua N N que os sirva para comprobar la afirmació N : N implica que 2 < ε, 2 ++ está e el hecho de poder maipular adecuadamete la desigualdad 2 < ε 2 ++ para poder llevarla a ua forma que os permita deducir adecuadas las características que debe poseer la N N. Note el lector que e los ejemplos ateriores, esta maipulació cosistió e resolver, para, las desigualdades correspodietes. Como hemos mecioado, hacer esto último para la desigualdad 2 < ε 2 ++ puede ser ua tarea muy laboriosa, pero observemos que si lograramos mayorizar a la expresió 2 co otra expresió e la que aparezca la variable llamemos a esta ex presió P() etoces podríamos itetar detectar a partir de cuál sucede que P() < ε, para obteer como ua cosecuecia el poder saber cuado sucede que 2 < ε (al fi de 2 ++ cuetas, se supoe que 2 P()) E uestro caso particular, teemos que 2 = = 2 = y además para Así que para lograr saber cuado (esto es, a partir de qué ) sucede que < ε bastará saber cuado ocurre que 2 < ε 2 (teiedo presete que debe ser 2 para poder teer que ). Pero tratar de ver cuado sucede que 2 < ε es ua tarea 2 2 fácil de lograr puesto que podemos resolver esta desigualdad para : 2 < ε 2 < ε 2 <. 2 ε De esta forma si tomamos ua N N co la propiedad de que N > 2 y N 2 podemos garatizar que si N es elegido de ε tal forma que N etoces 2 < ε. Efectivamete, si 2 ++ N etoces > 2 2 y 2, por lo cual < ε y 2. Pero ε 2 etoces si N es tal que N teemos que < ε.

26 70 2. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Co todo lo aterior hemos demostrado que lim 2 = (5) Defiamos a = b para toda N (dode b R es fijo). Demostraremos que lim a = b. Para este propósito, elijamos ua ε > 0 y hagamos N =. Es fácil ahora verificar que si N y N etoces a b = b b = 0 < ε. Por lo tato, lim a = b. A cotiuació demostramos alguas propiedades de ciertas sucesioes particularmete Proposició. () Si p N etoces lim p = 0. (2) Si x < etoces lim x = 0. (3) Si p > 0 etoces lim p =. (4) lim =. Demostració. () Sea ε > 0 arbitrario. Sea N N tal que N > p. Afirmamos que ε N, co N, se tiee que p < ε. E efecto, sea N co N. Etoces >, y por lo cual < p ε ε p. Claramete esto último implica que < ε. Ahora sólo resta otar que p debido a que p > 0 se tiee que = < ε. p p (2) Dividiremos la prueba de esta afirmació e dos casos. Caso : x = 0. Si x = 0 etoces la sucesió (x ) N es la sucesió costate de valor 0. Y e este caso es fácilmete cocluir que lim x = 0. Caso 2: x 0. Si x 0 etoces teemos que 0 < x <. Cosecuetemete <. x Así que existe u úmero p > 0 tal que = + p (o equivaletemete, x x = ). +p Elijamos e forma arbitraria u úmero positivo ε. Notemos primeramete que como ua aplicació de la desigualdad de Beroulli se tiee que (+p) +p (véase iciso (a) del Problema de la secció 2.4). Además es claro que + p > p. Note ahora que si < ε etoces p x < ε puesto que x = x = ( ) +p = <. Pero (+p) +p p observe ahora que < ε es equivalete a que <. Así que si elegimos p pε N N co la propiedad de que N > podremos garatizar que pε Por lo tato, limx = 0. N : x < ε.

27 2.5. LÍMITES DE SUCESIONES 7 (3) Al igual que e el iciso aterior, dividiremos la prueba de esta afirmació e dos partes. Caso. Si p > etoces lim p =. Como p >, teemos que p > para toda. Defiamos θ = p > 0 para toda. Es claro que para cada N, sucede que p = (θ + ). Aplicado ahora el Teorema del Biomio de Newto, podemos cocluir que ( ) ( ) p = (θ + ) = θ j j = + θ + θ j j + θ, j j j=0 puesto que ( j=2 j) θ j j + θ 0 (recuerde que θ > 0). E cosecuecia, θ p. Notemos ahora que, dada ua ε > 0, el hecho de que p < ε implica que p < ε. (E efecto, simplemete observe que p = θ = θ p < ε). Por lo tato, dado u úmero real positivo ε > 0, bastará elegir u úmero atural N co la propiedad de que N > p para poder ε argumetar que j=2 N : N implica que p < ε. Esto último o es más que el hecho que lim p =. Caso 2. Si 0 < p < etoces lim p =. Aplicado el resultado del caso aterior podemos cocluir que = p lim (claramete 0 < p < implica que > ). Cosideremos ahora ua p ε > 0 arbitraria. Como lim =, existe ua N N tal que p p = < ε, para cada N. p Afirmació. Si N es tal que N, etoces p < ε. E efecto. Sea N tal que N. Etoces p = p = p ( p ) = p p < p < ε (puesto que p < para toda y p < ε si N). Esto demuestra uestra afirmació. Para cocluir, obsérvese que hemos probado que, para cada ε > 0, existe ua N N tal que N : N implica que p < ε. Esto último o es más que el hecho de que lim p =.

28 72 2. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES (4) Notemos que si 2 etoces >. De esta forma, el úmero α = es positivo para toda 2. Note ahora que para 2 sucede que = ( ) = ( + α ) = j=0 ( ) α j j ( ) α 2 2 (puesto que α > 0 para toda 2). Etoces podemos cocluir que para 2 se tiee que ( ) ( ) α 2 2 = α 2. 2 Por lo tato, α 2 cuado 2. Supogamos ahora que ε > 0 está dada y elijamos u úmero atural N co la propiedad de que N > 2 ε 2 +. Afirmació. < ε para toda N. Efectivamete, elijamos u úmero atural co N. Notemos primero que como N > 2 +, se tiee que > 2 + (ote tambié que ε 2 ε 2 esto implica que 2). Fialmete observe que = α = α 2 < ε, puesto que α > 0 y > 2 ε 2 +. De esta maera hemos demostrado que al cosiderar ua ε > 0 cualquiera basta elegir N N mayor que 2 ε 2 + para poder garatizar que < ε para toda N. Así que hemos demostrado que lim = Problemas () Supoga que ε > 0. Resuelva para cada ua de las siguietes desigualdades. (a) < ε (b) ε < 5 (d) ε < (c) ε < (e) 2+ < ε (f) 3 +2 < ε (2) E cada ua de las expresioes siguietes se da el límite cuado tiede a. Ecuetre e cada caso u úmero atural N tal que, para N, la distacia a l etre el valor de la expresió a y su límite l sea: (a) meor que 0 ; (b) meor que 000 ; (c) meor que (a) lim 5 = 0 (b) lim +2 + = 2 (c) lim = 3 (d) lim 2 + = 0 (e) lim 3+ 4 = 3 4 (f) lim + 2+ = 2

29 2.7. SUCESIONES CONVERGENTES 73 (3) Determie si las siguietes sucesioes tiee límite o o. E los casos e que se tega u límite, determie u úmero atural N tal que N implique que a l < ε (se está supoiedo que ε > 0 es cualquier úmero positivo), dode a esta dada por: (a) (b) (c) (d) ( 2 )( 3 )( 4 ) ( ) (e) (f) ( ) (4) Aplicado la defiició de límite, demuestre que (a) El límite de la sucesió 3 3, 5 6, 7 9, 9 2,..., es 2 3. (b) El límite de la sucesió 2, 7 3, 2 5, 7 7,..., es 5 2. (c) El límite de la sucesió 2 5, 2 9, 2 3, 2 7,..., es 0. (d) El límite de la sucesió 0.3,0.33,0.333,0.3333,..., es ( 3. (e) lim k + k) = 0, dode k N. ( (f) k 0, lim 2 + 2k ) = k. (5) ( )( (g) lim + + 2) = 2 (. (h) lim ) = ( 2. (i) lim ) ( = 0. (j) lim ) + 2 (+) + 2 (+2) (2) = 0 2 (a) Sea (a ) N ua sucesió. Defia a (x ) N y a (y ) N como las sucesioes dadas por x = a 2 y y = a 2 dode N, es decir, (x ) N y (y ) N so las sucesioes formadas por todos los térmios de la sucesió (a ) N cuyos ídices so úmeros pares y la formada por todos los térmios de la sucesió (a ) N cuyos ídices so úmeros impares. Demuestre que si lim x = l = lim y etoces lim a = l. (b) Use el resultado del iciso aterior para demostrar que la sucesió (a ) N dada por a 2 = y a 2 = 2 ( N), coverge a 0 (esto es, tiee por límite al real 0). (c) Use el resultado del iciso (a) para demostrar que la sucesió 3 2, 2 3, 5 4, 4 5, 7 6, 6 7, 9 8, 8 9, 0, 0,... (6) tiee por límite a - (a) Demuestre que si lim a = l etoces las sucesioes x = a 2 y y = a 2 tambié tiee a l como límite. (b) Use el resultado del iciso aterior para mostrar que la sucesió ( ) o tiee límite Sucesioes covergetes Es costumbre decir que ua sucesió (a ) N coverge a l (l es u úmero real) para idicar que l es el límite de (a ) N. Se acostumbra decir tambié que la sucesió (a ) N coverge (o que es covergete) cuado tiee límite, y que es divergete, e el caso cotrario (esto es, cuado o coverge).

30 74 2. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Observe el lector que e casi todos los ejemplos de sucesioes que teemos hasta este mometo ha sido secillo para osotros percataros de quie es el límite y verificar que e efecto este úmero satisface la Defiició Como o siempre es fácil darse cueta de si ua sucesió tiee límite o o, e esta secció demostraremos alguos resultados acerca de sucesioes que os será de gra utilidad para poder calcular los valores de los límites de varios tipos de sucesioes. Por ejemplo, e la siguiete proposició se establece ua codició ecesaria para que ua sucesió sea covergete, que como veremos posteriormete, co este resultado a la mao podremos establecer de maera idirecta la o covergecia de alguas sucesioes Proposició. Si (a ) N es ua sucesió covergete etoces (a ) N es ua sucesió acotada. Demostració. Supogamos que l = lim a. Tomemos ε = e la Defiició Etoces sucede que, para esta ε, existe ua N N tal que N : N implica que a l <. Como a l a l para cada N (véase el Problema de la secció.7), teemos que a < + l siempre que N. Para fializar, hagamos M = máx{ a, a 2, a 3,..., a N, + l }. Es fácil ahora verificar que Por lo tato, (a ) N está acotada. m N : a m M. Como ya hemos mecioado, el resultado de la aterior proposició es ua herramieta útil para demostrar que cierto tipo de sucesioes o so sucesioes covergetes (esto es, o tiee límite). E efecto, ote que como u corolario de la aterior proposició obteemos que toda sucesió o acotada o es ua sucesió covergete. Por esta razó, las sucesioes () a =, (2) a = 2, e forma más geeral, la sucesió a = p dode p N es fijo, (3) a =, (4) b = + k, dode k R es fijo. o coverge. Alguos otros ejemplos de sucesioes divergetes so los siguietes: () la sucesió a = ( ) (esta sucesió o es i acotada superiormete i acotada iferiormete por lo que o es acotada. E cosecuecia, o es covergete); (2) la sucesió b = 3 (esta sucesió o es acotada superiormete, razó por la cual o puede ser covergete).

31 2.7. SUCESIONES CONVERGENTES 75 Note que existe ua diferecia sustacial etre los dos últimos ejemplos de sucesioes divergetes: la sucesió b = 3 satisface que K R : existe m N co la propiedad de que K < b para cada m, esto es, dado cualquier úmero real K siempre existe ua m N a partir de la cual todos los térmios b, para m, rebasa al real K (observe que esta propiedad o la posee la sucesió ( ) puesto que todos sus térmios impares so egativos). Esa forma de o covergecia, como la de la sucesió ( 3 ) N, recibe u ombre especial Defiició. Sea (a ) N ua sucesió de úmeros reales. Diremos que la sucesió (a ) N diverge a +, lo cual deotaremos co los símbolos lim a = +, si sucede que K R : existe m N tal que K < a m. La oció dual a la oció de divergecia a + es la oció de divergecia a Defiició. Diremos que ua sucesió (a ) N diverge a, lo cual deotaremos co los símbolos lim a =, si sucede que k R : existe m N tal que a < k m. De esta maera, la sucesió b = 3 diverge a +, pero o así la sucesió a = ( ) (la cual simplemete diverge). Observe que la oció de covergecia de sucesioes os permite dividir al cojuto de todas las sucesioes e dos clases: la clase de las sucesioes covergete y la clase de las sucesioes divergetes. Además, la clase de las sucesioes divergetes (las o covergetes) puede ser dividida e tres clases ajeas: La clase de las sucesioes divergetes a + (e dode está, por ejemplo, la sucesió de los úmeros aturales () N y la sucesió b = 3 ); la clase de las sucesioes divergetes a (e dode está las sucesioes ( ) N y c = 2); la clase de las sucesioes o covergetes, cuya divergecia o es i a + i a (ote que dos elemetos de esta clase so las sucesioes a = ( ) y b = ( ) ). La siguiete proposició establece alguas propiedades de la divergecia a + y de su cotraparte, la divergecia a Proposició. Sea (a ) N y (b ) N sucesioes. () Si lim a = y a b para suficietemete grade, etoces lim b =.

32 76 2. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES (2) Si lim b = y a b para suficietemete grade, etoces lim a =. (3) Si (a ) N es creciete y o acotada superiormete, etoces lim a =. (4) Si (b ) N es decreciete y o acotada iferiormete, etoces lim b =. Demostració. () Sea K R u úmero arbitrario. Dado que (a ) N diverge a +, podemos elegir u úmero atural m tal que K < a para toda m. Ahora bie, como a b para suficietemete grade, existe u úmero atural m 0 tal que a b para cada m 0. Elijamos ahora u atural s m,m 0. Etoces K < a b para toda s. De esta forma hemos probado que la sucesió (b ) N diverge a +. (2) Sea k R arbitrario. Debido a que (b ) N diverge a, existe u úmero atural m tal que b < k para toda m. Por otra parte, como a b para suficietemete grade, existe u úmero atural m 0 tal que a b para cada m 0. Elijamos ahora u atural s m,m 0. Etoces teemos que a b < k para toda s. Por lo tato la sucesió (a ) N diverge a. (3) Sea K R cualquiera. Como (a ) N o está acotada superiormete, existe ua N N tal que K < a N. Debido a que (a ) N es ua sucesió creciete se tiee que si m N etoces a N a m. Por esta razó podemos cocluir que si m N etoces K < a m. Cosecuetemete, la sucesió (a ) N diverge a +. (4) Ejercicio para el lector Teorema. Si (a ) N es ua sucesió que es acotada superiormete, y para la cual existe u úmero atural m co la propiedad de que a a + para toda m, etoces (a ) N coverge. Más aú, la sucesió (a ) N coverge a l = sup{a : N}. Demostració. Primeramete cerciorémoos que el cojuto A = {a : N} tiee supremo. Para hacer esto basta argumetar que este cojuto es o vacío y que está acotado superiormete. Ahora bie, observe que A puesto que, por ejemplo, a A; además, el hecho de que (a ) N sea acotada superiormete implica imediatamete que A está acotado superiormete. Aplicado etoces el axioma del supremo, podemos garatizar la existecia de l = sup{a : N}. Cosideremos ahora ua ε > 0 arbitraria. Como l ε < l, el úmero l ε o puede ser cota superior del cojuto A = {a : N}. Etoces