Series numéricas e integrales impropias

Transcripción

1 7 Series numérics e integrles impropis Sber definir los conceptos de serie e integrl impropi. Competencis Conocer l convergenci de ls series e integrles impropis rmónics y sber utilizrls en el nálisis de l convergenci pr funciones positivs. Sber los efectos que tiene sobre l convergenci de un serie l socición, disocición y reordención de sus términos, dndo rzón y ejemplos. Sber utilizr los criterios de Dirichlet y Abel pr nlizr convergenci condicionl y sumr lguns series. Sber usr Mxim pr clculr proximciones sums de serie e integrles impropis. Contenidos 7.. Definición y primers propieddes 7.2. Término generl o integrndo positivos 7.3. L propiedd socitiv en series 7.4. Convergenci bsolut y condicionl. Teorem de Riemnn 7.5. Productos de series 7.6. Criterios de convergenci de Dirichlet y Abel 7.7. Ejercicios

2 264 Series numérics e integrles impropis Este cpítulo está dedicdo ls series numérics y ls integrles impropis. En sentido estricto, son cuestiones diferentes. En el primer cso se trt de dr sentido un sum infinit de números, nlizndo ls propieddes que tles sums tienen en relción con ls propieddes de ls sums con un número finito de sumndos (socitiv, disocitiv y conmuttiv). En el segundo cso se trt de extender el concepto de integrl de Riemnn, que estb definido únicmente pr funciones cotds en intervlos cerrdos y cotdos, l cso de funciones que o bien no están definids en un intervlo cotdo o bien no son cotds, e incluso mbs coss. Hbitulmente ests cuestiones son trtds en los libros en cpítulos diferentes porque tienen distint nturlez. No obstnte hemos preferido hcer un trtmiento prlelo por un cuestión de economí de esfuerzos y pr resltr ls similitudes formles (y no tn formles) existentes entre ells. El formto utilizdo en este cpítulo en el que con frecuenci precen «textos prlelos» pr series numérics e integrles impropis contribuye fcilitr un lectur comprd de los conceptos y resultdos que se presentn. Ls técnics pr probr los teorems son en cmbio diferentes y por ello se presentn de form independiente y secuencil. Cundo un cuestión, como ocurre con l reordención de series, no tiene nálogo en su prlel se interrumpe temporlmente el formto de textos prlelos. 7.. Definición y primers propieddes Definición 7.. Un serie numéric en K es un pr de sucesiones ( n ) n N, (S n ) n N relcionds por l fórmuls n = + + n. Un serie de este tipo se represent brevidmente medinte n. n= A n se le llm término generl de l serie y S n sumn-ésim. L serie numéric (o simplemente serie) se dice convergente si existe lím n S n =:S K y en este csos recibe el nombre de sum de l serie. Definición 7..2 Se un función f : [, ) R tl que su restricción [,b] es integrble Riemnn pr cd<b< (un tl función se llm loclmente integrble). Se dice quef es integrble en sentido impropio en [, ) (o que l integrl impropi es convergente) si existe x lím f(t)dt R. x Dicho límite recibe el nombre de integrl impropi def en [, ) y se denot con f(t)dt.

3 7. Definición y primers propieddes 265 Anlizr el crácter de un serie o integrl impropi signific determinr si es o no convergente. Como es fácil sospechr es más fácil determinr el crácter que clculr el vlor de l sum de l serie o de l integrl impropi. Además de l integrl impropi considerd en l definición nterior, existen otrs situciones en ls que es nturl considerr un integrl impropi: cundo f está definid sobre (,] o cundof está definid en [,b) y es no cotd. Pr contemplr todos estos csos conviene definir l noción de función loclmente integrble en l form siguiente: sei un intervlo en R yf :I R, diremos que f es loclmente integrble en I si es integrble Riemnn en culquier intervlo cerrdo [, b] I. Pr definir un integrl impropi en culquier tipo de intervlo, supondremos siempre que l función es loclmente integrble en dicho intervlo. De form nálog l nterior, sif : (,] R es loclmente integrble, diremos que l integrl f(t)dt es convergente si existe lím f(t)dt =: f(t)dt. x x Otro tnto ocurre con f(t)dt supuesto quef : [,b) R es loclmente integrble, en cuyo cso definimos: x f(t)dt := lím f(t)dt x b siempre que este límite exist. Prf : (,b] R es loclmente integrble l definición es totlmente nálog. En el cso de quef : (,b) R se loclmente integrble, se dice quef es integrble en sentido impropio sif es integrble en sentido impropio en (,c] y en [c,b) con integrles impropis finits pr lgúnc (,b) (en cuyo cso lo es pr culquier c en ess condiciones) y se escribe f(t)dt = c f(t)dt + c f(t)dt. En lo sucesivo los teorems se estblecerán pr funciones definids en [, b), siendob +, pero el lector no tendrá dificultd pr enuncir y demostrr los resultdos correspondientes pr los demás csos.

4 266 Series numérics e integrles impropis Ejemplos 7..3 () L serie geométric r n n=0 con r < es un serie convergente con sum r. Sir l serie es divergente +. Esto es muy sencillo de comprobr recordndo el cálculo de l sum de los términos de un progresión geométric, relizdo en el ejemplo 8 de l sección (2) L serie r n n= no es convergente prr, como es fácil comprobr clculndo l sucesión (S n ) n. (4) L integrl impropi t αdt es convergente prα>ydivergente pr los otros vlores deαy que pr cdx> se tiene x x t = α t α dt = α (x α ) Y por tnto, prα> se tiene que t α = lím x + = α α (x α ) mientrs que prα es tαdt = +. (3) L serie n= n 2 (5) L función considerd en el ejemplo precedente d origen sobre el intervlo (0, ] un integrl impropi cuyo crácter l vrir α es diferente: es convergente y que l sucesión (S n ) n es monóton creciente y cotd. En efecto, como consecuenci de l siguiente desiguldd: tenemos: n n = n(n ) > n 2 0 t αdt es convergente prα<ydivergente prα, como es fácil comprobr clculndo x t αdt pr 0<x< y tomndo límites. N n=2 N n 2< n n = N n=2

5 7. Definición y primers propieddes 267 Mxim puede evlur integrles impropis medinte el comndo integrte y tmbién es cpz de relizr sums finits medinte el comndo sum. Series sbe sumr uns pocs que tiene gurdds en un suerte de «chulet». Como l convergenci se expres en términos de límites y estos se crcterizn en términos de l condición de Cuchy, se tienen los siguientes resultdos: Proposición 7..4 L serie numéric n n= es convergente si y sólo si pr cd ε>0 existen 0 N tl que se verific p + p+ + + q <ε, siempre que los nturles p, q cumpln n 0 p q. L integrl impropi f(t)dt, dondef : [,b) R es loclmente integrble yb +, es convergente si y sólo si pr cdε>0existec (,b) tl que sic y<z<b entonces z f(t)dt <ε. y Demostrción: Es muy sencillo drse cuent de que ls cotciones nteriores se obtienen plicndo l condición de Cuchy de existenci de límite l sucesión (S n ) n y l funciónf(x) = x f(t)dt, respectivmente. Como consecuenci de l proposición inmeditmente nterior se obtienen sendos corolrios muy útiles. En mbos csos l demostrción es trivil. Corolrio 7..5 Si l serie n= n converge entonces existe lím n n y vle 0. Si l integrl impropi f converge y existe lím x f(t), entonces dicho límite vle 0. Llmmos l tención sobre el hecho de que el recíproco no es cierto. Así, por ejemplo, pesr de que lím n /n = 0, l serie n= /n no es convergente como veremos en el corolrio Corolrio 7..6 L convergenci de un serie no se lter modificndo un número finito de términos de l mism. L integrl impropi f converge si, y sólo si, lo hce l integrl impropi b f pr lgún<b R. En lo sucesivo, y como consecuenci de este resultdo, breviremos l representción de l serie con n cundo solmente estemos interesdos en su crácter.

6 268 Series numérics e integrles impropis Proposición 7..7 Sen n= n y n= b n dos series convergentes. Entonces pr cdλ,µ K, l serie (λ n +µb n ) n= es convergente y se verific (λ n +µb n ) =λ n +µ b n. n= n= n= Senf,g : [,b) R, conb, tles que ls integrles impropis f y g son convergentes. Entonces pr cdλ,µ R, l integrl impropi (λf +µg) es convergente y se verific (λf +µg) =λ f +µ g. Demostrción: Es un consecuenci inmedit de ls definiciones de convergenci y de l conservción de sums y productos l tomr límites Criterio de convergenci de l integrl El prlelismo entre ls series numérics y ls integrles impropis v ms llá de l simple prienci forml, como se muestr en l proposición que estblecemos continución. En l demostrción del mismo prece clr, en este cso, l relción entre series e integrles impropis. De hecho, como los lumnos tendrán ocsión de estudir en otrs signturs de l licencitur, desde ciert perspectiv ls series numérics son sólo un tipo prticulr de integrles. Si considermos un serie n n tl que n 0 pr todon N, entonces l sucesión de ls sums prciless n = n k= k es, obvimente, monóton creciente. Por tnto pr l convergenci de este tipo de series es suficiente verificr que l sucesión (S n ) n está cotd superiormente. Algo nálogo puede decirse de ls integrles impropis. Si f : [, b) [0, + ) f(t)dt es monóton creciente, por tnto l convergenci de l integrl impropi es consecuenci de l cotción (superior) de est función. Ests dos sencills observciones son útiles en l siguiente proposición, sí como en el prtdo 7.2. es loclmente integrble, l funciónf(x) = x Proposición 7..8 (Criterio de l integrl) Sef : [, ) R + monóton decreciente y se n =f(n). Entonces l serie n converge si, y solo si, converge l integrl impropi f Demostrción: Podemos suponer por sencillez en el rzonmiento y sin pérdid de generlidd que =.

7 7. Definición y primers propieddes 269 g h f n n n + Figur 7.: El criterio de l integrl Consideremos ls funciones constntes trozos g y h definids (vése l figur 7.) por ls fórmuls Es evidente que se tienen ls relciones Por tnto g(x) :=f(n) prx [n,n + ) h(x) :=f(n) prx (n,n] h(x) f(x) g(x) x x g g = n n= y l convergenci de l integrl es consecuenci de l de l serie. Recíprocmente como N N N n = h f f n=2 l convergenci de f implic l convergenci de n=2 n y por tnto (plicndo el corolrio 7..6) l serie n= n tmbién es convergente. El criterio de l integrl reduce el estudio de l convergenci de un serie (con condiciones de monotoní y positividd) l estudio de l convergenci de un integrl impropi y vicevers. Obvimente es útil si l resolución del nuevo problem es más sencill que l del inicilmente plntedo. Es es l situción pr l serie rmónic /n q cuy convergenci se obtiene fácilmente con el criterio de l integrl y del prtdo (4) del ejemplo 7..3

8 270 Series numérics e integrles impropis Corolrio 7..9 L serie rmónic n q es convergente siq> y divergente siq. Cundo un serie es convergente es posible obtener vlores proximdos de l sum utilizndo un número finito de términos. Mxim puede yudr relizr ess sums finits medinte el comndo sum(función,vrible,vlorinicil,vlorfinl),numer; sum(/n 3, n,, 000),numer; es un ejemplo del uso del comndo. Desde luego es form de proceder no permite controlr l bondd de l proximción, que hbrá de relizrse por otros procedimientos. Cundo en un serie convergente su vlor proximdo se clcul trvés de un sum finit, l estimción del error cometido result en generl difícil. Pero si l convergenci puede ser obtenid plicndo el criterio de l integrl y l integrl impropi que prece puede clculrse de form direct, entonces es posible tener un control stisfctorio sobre el error cometido. Ejemplo 7..0 L serie n=r n= es convergente y pr cd enteror 2 n2 n = g(x)dx 2 r r (x ) 2dx siendogl función constnte trozos (esclond) definid porg(x) = /n 2 si x [n,n + ). De suerte que un cot de error pr l sum finit está dd por r r n= n 2 (x ) 2dx = r lo cul permite obtener proximciones del vlor de l sum con l precisión desed. Hciendo uso de Mxim pueden sumrse los primeros términos pr obtener un proximción del vlor de l sum n= n 2 = [según Máxim] n2 n= con un cot de error inferior 0 5. Clculdo por un procedimiento indirecto se sbe que el vlor excto de l sum de l serie viene ddo por n= n 2 =π2 6 [según Máxim]

9 7.2 Término generl o integrndo positivos Series con término generl no negtivo e integrles impropis con integrndo no negtivo A lo lrgo de est sección nos ocupremos del estudio de series n tles que n 0 o de integrles impropis con integrndo no negtivo. En este cso el crácter únicmente puede ser o convergente, con sum e integrl finits, o divergente, con sum e integrl infinits. En relidd los resultdos de est sección pueden ser tmbién plicdos ls series e integrles impropis con signo constntemente negtivo, y que ésts pueden reducirse quélls cmbindo el signo. Pero no son plicbles, por contr, situciones en ls que el signo no permnece constnte Criterios de convergenci por comprción A pesr de su simplicidd el criterio de myorción proporcion un herrmient útil pr el estudio de l convergenci de series e integrles con término generl o integrndo positivos. En todo lo que sigue es esencil recordr el crácter monótono de ls sums prciles e integrles considerds, y comentdo l inicio del prtdo nterior. Proposición 7.2. (Criterio de myorción) Sen n, b n series de términos no negtivos. Si existenn 0 N y un constntem> 0 tles que n Mb n pr todon 0 n N, entonces l convergenci de b n implic l convergenci de n. Senf,g : [,b) R + conb y supongmos que existenc [,b) y un constnte M > 0 tles que f(t) Mg(t) pr todot [c,b). Entonces l convergenci de g implic l convergenci de f. Demostrción: Como consecuenci de l hipótesis de myorción se tiene m n=n 0 n M m n=n 0 b n pr todom>n 0. Pero como l serie b n es convergente con sumb, ls sums prciles de n formn un sucesión monóton creciente y cotd superiormente por MB, por tnto dich sucesión es convergente. Pr el cso de l integrción el rzonmiento es similr y se dej l cuiddo del lector.

10 272 Series numérics e integrles impropis Corolrio Sen n, b n series de términos estrictmente positivos y supongmos que existel := lím n b n () Si 0<l< entonces ls dos series tienen el mismo crácter. (2) Sil = 0 entonces l convergenci de b n implic l convergenci de n. (3) Sil = entonces l convergenci de n implic l convergenci de b n. Sen f,g : [,b) R con f(x),g(x)>0yb. Supongmos f(x) que existel := lím x b g(x) () Si 0<l< entonces ls integrles impropis f y g tienen el mismo crácter. (2) Sil = 0 entonces l convergenci de g implic l convergenci de f. (3) Sil = entonces l convergenci de de g. f implic l convergenci Demostrción: Es un consecuenci direct de l proposición 7.2. y del concepto de límite. A modo de ejemplo probremos l vlidez de l últim de ls firmciones. = lím x b f(x) g(x) existec (,b) con f(x) g(x) sic<x<b y siendo f convergente se obtiene del criterio de myorción que tmbién es convergente l integrl impropi g. Observe que l myor prte de los nteriores criterios de convergenci sirven tmbién como «criterios de divergenci». L ide es siempre l mism: reduciendo l convergenci l cotción, en el cso de términos no negtivos o funciones no negtivs, se observ que si l myor de l series (o integrles) está cotd (luego converge) l menor tmbién lo está, mientrs que si l menor no está cotd, tmpoco lo estrá l myor. El corolrio simplemente muestr que l desiguldd que sirve de hipótesis en el criterio de myorción, puede ser obtenid medinte el cálculo de un límite, lgo menudo más fácil dds tods ls técnics de cálculo de límites conocids. Ejemplos () Análisis del crácter de ls siguientes series () 3 cos n (b) n + logn (n 2 + 4) 3 logn + 2 (c) ( e /n n ) (d) ( n e n2)

11 7.2 Término generl o integrndo positivos 273 En el cso de l primer serie, se tiene que lím n 3 cos n = 2 0 y por tnto l serie no es convergente, siendo su sum +. De cuerdo con el corolrio 7.2.2, pr el cso de series de términos positivos, es el «tmño» del término generl el que determin el crácter de l serie. Pr l serie (b) dicho tmño es puesto que, obvimente, n /2 logn (logn)2/3 = n 2 (logn) /3 n 3/2 lím n n+ logn (n 2 +4) 3 logn+2 =. n /2 logn n 2 (logn) /3 Así pues el crácter de l serie (b) es el mismo que el de l serie De hberse trtdo de l serie (logn) 2/3 n 3/2 = (logn) 2/3 n,5. nα, conα> l serie serí convergente según sbemos. Aunque no es es nuestr situción (debido l existenci de (logn) 2/3 ) podemos reducirnos stutmente ell utilizndo que En prticulr, existen 0 tl que lím n (logn) β n γ = 0 culquier que seγ> 0. y por tnto (logn) 2/3 n 0, < sin n 0 N (logn) 2/3 N (logn) 2/3 N = n=n 0 n,5 n=n 0 n 0, n,4 n=n 0 n,4< n=n 0 n,4 lo cul grntiz l convergenci de l serie (b), puesto que nos d un cot superior pr l sucesión de sums prciles S N = N (logn) 2/3 n= n,5

12 274 Series numérics e integrles impropis Utilizndo el desrrollo de Tylor sbemos que e /n n 2!n 2, o se que lím n e /n n 2!n 2 =. Por tnto el crácter de l serie (c) coincide con el de l serie que es convergente. 2 n 2 Procedimientos similres podrín ser utilizdos pr estudir el crácter de l serie (d), pero procederemos de otr form. L serie /n es divergente; en cmbio l serie /e n2 es convergente puesto que l geométric /e n lo es y los términos de quéll son menores. En consecuenci l serie (d) es divergente, puesto que si fuer convergente llegrímos que l serie /n tmbién serí convergente (lo cul es flso) l ser sum de dos convergentes y que ( ) n = + n e n2 e n2 (2) Análisis del crácter de l integrl impropi según los vlores del número relk. 0 t k logt dt Comencemos observndo que el integrndo es un función continu en (0, ) y, por tnto, loclmente integrble. Estudiemos el comportmiento en los extremos del intervlo. En principio mbos extremos se nos presentn como problemáticos y por ello dividimos el intervlo (0, ) en los subintervlos (0, /2] y [/2, ) fin estudir ls dos integrles impropis «simples» que se genern. Pr estudir l convergenci de l integrl impropi /2 t k logt dt t k observmos que lím t = k (usr L Hôspitl) y por tnto el integrndo logt dmite prolongción continu en el punto, trtándose por consiguiente de un integrl convergente, l ser l integrl de un función continu en un intervlo cerrdo y cotdo.

13 7.2 Término generl o integrndo positivos 275 Psmos hor l estudio de l integrl impropi /2 0 t k logt dt. L dificultd está en el 0, pues el logt tiende en dicho punto. Si pudiérmos prolongr el integrndo de form continu, como hemos hecho en el punto, l integrl serí convergente. Eso es posible cundok 0, puesto que en tl cso t k lím = 0 t 0 logt Únicmente nos qued nlizr el csok< 0. A tl fin, hciendok= s se tiene /2 t k /2 0 logt dt = t s /2 t s dt = 0 logt 0 t s logt dt L convergenci de est integrl es equivlente l convergenci de /2 0 t s logt. Si se hubier trtdo de /2 0 t p entonces l integrl serí convergente pr 0<p<ydivergente cundo p, según vimos en el prtdo (5) de los ejemplos Este modelo v permitir concluir el nálisis de l convergenci. Sis = se tiene t logt = log logt +K y por tnto l integrl impropi diverge. Sis>, l sert s t, se tiene t s logt t logt impropi es tmbién divergente. y por tnto l integrl Sis<hcemos l comprción del integrndo con /t p pr 0<s<p< y como t lím s logt t p t 0 = lím t 0 t t s logt = lím p t 0 tp s logt = 0 podemos plicr el corolrio 7.2. pr concluir que en este cso l integrl impropi converge. Resumiendo l integrl propuest converge pr <kydiverge en los demás csos.

14 276 Series numérics e integrles impropis En los ejemplos nteriores hemos estdo plicndo criterios de comprción, pero tles criterios requieren que ls sucesiones y funciones ls que se plicn sen positivs. Se h segurdo el lector de que se cumplen tles condiciones? Otr form de bordr el estudio de l convergenci de 0 t k logt dt es relizr un cmbio de vrible del tipo logt = x que l trnsform en un integrl impropi sobre el intervlo (0, + ). Utilice este cmbio de vrible y discut el crácter de l integrl impropi que se gener. Corolrio (Criterio de condensción) Se l serie n de términos no negtivos, con ( n ) n N monóton decreciente. Son equivlentes: () n converge, (2) 2 n 2 n converge. Demostrción: Ls siguientes desigulddes se obtienen plicndo tres ides: l sucesión ( n ) n es decreciente; ñdir los términos que conveng; grupr los términos de form stut n 2 n =2( n 2 n) 2( ( ) + + ( 2 n n)) =2( n) =2( + ( ) + ( ) n) 2( n 2 n) A prtir de ests desigulddes el resultdo es consecuenci inmedit del criterio de myorción. Trte de plicr el criterio de condensción pr crcterizr l convergenci de l serie rmónic, es decir, trte de dr un demostrción diferente nα del corolrio En el criterio de comprción (o en el corolrio 7.2.2) l ide es sustituir l sucesión ( n ) n N por un sucesión equivlente (b n ) n N pr l que se conozc el crácter de l serie b n y otro tnto ocurre con l sustitución def por un función g pr l que se conocid l convergenci de l correspondiente integrl impropi.

15 7.2 Término generl o integrndo positivos 277 Así, en cierto sentido, l convergenci depende de «recursos externos» l sucesión ( n ) n N. Los criterios de l ríz y del cociente que veremos continución son criterios de convergenci que dependen directmente de l sucesión ( n ) n N. Pero ntes hremos un inciso pr definir un generlizción de l noción de límite que result de utilidd en éste y otros contextos. Inciso: límites superior e inferior Pr sucesiones cotds el teorem de Bolzno-Weierstrss grntiz que existen subsucesiones convergentes determindos puntos que llmremos puntos de glomerción de l sucesión. El myor de dichos puntos de glomerción recibe el nombre de límite superior de l sucesión. Análogmente, el menor de los puntos de glomerción recibe el nombre de límite inferior de l sucesión. Evidentemente un sucesión tiene límite si y sólo si tiene un único punto de glomerción, es decir, si los límites superior e inferior coinciden. Ests considerciones pueden ser plicds sucesiones no cotds superiormente, en cuyo cso existirá un subsucesión con límite + y diremos que el límite superior de tl sucesión es +. Otro tnto puede hcerse pr sucesiones no cotds inferiormente pr ls que se define el límite inferior como y que existe un subsucesión con dicho límite. Ejemplo L sucesión n = ( ) n+ tiene límite inferior - y límite superior +. Y l sucesión cuyos primeros términos son, 2, 3, +/, 2+/2, 3+/3, +/4, 2+/5, 3+/6,... tiene límite inferior y límite superior 3. Otr definición que se utiliz pr ests nociones es l siguiente. Definición Se ( n ) n N un sucesión de números reles. () lím sup n := ínf{sup{ k ;k n};n N} (2) lím inf n := sup{ínf{ k ;k n};n N} Es inmedito que dich definición coincide con l indicd más rrib, en el cso del límite superior pr sucesiones no cotds superiormente y en el cso del límite inferior pr sucesiones no cotds inferiormente. Pr sucesiones cotds ls fórmuls nteriores tmbién se corresponden con ls nociones que hemos introducido nteriormente. Ello es consecuenci de l siguiente

16 278 Series numérics e integrles impropis Proposición Se ( n ) n N un sucesión cotd de números reles. () Seα = lím inf n := sup{ínf{ k ;k n};n N}. Entoncesαes el único número rel que cumple l siguiente propiedd: «Pr cdεel crdinl del conjunto{n N;α ε> n } es finito y el crdinl del conjunto{n N;α +ε> n } es infinito». (2) Seβ= lím sup n := ínf{sup{ k ;k n};n N}. Entoncesβ es el único número rel que cumple l siguiente propiedd: «Pr cdεel crdinl del conjunto{n N;β ε< n } es infinito y el crdinl del conjunto{n N;β +ε< n } es finito». Proposición (Criterio de l ríz) Se n un serie de términos no negtivos y seβ= lím sup n n. () Siβ< entonces l serie converge. (2) Siβ> entonces l serie diverge. Demostrción: Siβ< elegimosrtl queβ<r<. Aplicndo l proposición sbemos que l derech dersólo existe un número finito de términos de l sucesión ( n n ) n ; por tnto, existen 0 N tl que n n r, es decir, n r n prn n 0. L convergenci de l serie geométric r n y el criterio de comprción grntizn l convergenci de n Siβ >, plicndo de nuevo l proposición 7.2.7, sbemos que existe un conjunto infinito de vlores den N pr los que n y en consecuenci no es posible que lím n = 0, condición ést necesri pr l convergenci de l serie. Prβ= nd puede firmrse en generl l existir sucesiones ( n ) n N pr ls que l serie n es convergente y otrs pr ls que l serie es divergente (ver los ejemplos 7.2.). Ejemplos () L serie (logn) n es convergente puesto que en este cso existe n lím n (logn) = lím n n logn = 0< y por tnto el límite superior es 0.

17 7.2 Término generl o integrndo positivos 279 (2) Pr l serie n(n + )2 n tenemos n lím n(n + )2 n 2n = lím n n n 2 ( + /n) 2 n = lím n n n 2n + /n = < 2 2 luego l serie converge. Proposición (Criterio del cociente) Se n de términos no negtivos y se α = lím inf n+, β = lím sup n+ n n () Siβ< entonces l serie converge. (2) Siα> entonces l serie diverge. Demostrción: Se utilizn quí ides similres ls utilizds en l demostrción del criterio de l ríz. Siβ<r<existen 0 N tl que n+ n <r prn n 0. Así que de donde multiplicndo obtenemos n0 + <r n0 n0 +2 <r n n0 +k n0 +k <r n0 +k n0 <r k k N que puede escribirse como n0 +k< n0 r k. L convergenci de l serie geométric r k y el criterio de comprción grntizn l convergenci de l serie n0 +k y por tnto de l serie n. Siα>entonces, plicndo l proposición 7.2.7, sbemos que existen 0 N tl que n+ n > pr todon n 0 ; por tnto, no puede ser lím n = 0, luego l serie es divergente (recordemos que ls series de términos positivos sólo pueden ser convergentes o divergentes). Al igul que ocurre con el criterio de l ríz nd puede firmrse con crácter generl cundo α =.

18 280 Series numérics e integrles impropis Puede demostrrse que si existe lím n+ n tmbién existe lím n n y vlen lo mismo. Aunque el segundo límite puede existir sin que exist el primero, (vése, por ejemplo, el libro de Orteg [] pág. 269), por ello el criterio de l ríz es lgo más potente que el del cociente porque el primero puede resolver situciones pr ls que el segundo no proporcion solución. Ejemplos 7.2. () Consideremos ls series n y n 2. Pr mbs se cumple que lím n n+ n = = lím n n n. Pero l primer diverge y l segund converge, sí que nd se puede segurr respecto l convergenci si únicmente sbemos que los límites en cuestión vlen. (2) Pr estudir el crácter de l serie x n n! conx 0 podemos plicr el criterio del cociente lím n xn+ (n+)! x n n! = lím n x n+ n! x n (n + )! = lím n x n + = 0 y obtenemos l convergenci de l serie pr culquierx 0. (3) En el cso de l serie x n con 0 x plicndo el criterio del cociente n p tenemos xn+ (n+) lím p n n x = límx( n n n + )p =x. n p Así que si 0 x< l serie converge y six> diverge culquier que se el vlor dep. Prx=el criterio del cociente no permite determinr el crácter. Pero prx= l serie se convierte en que, como sbemos, converge sip> n p y diverge sip. (4) A l sucesión ( n ) n N cuyos primeros términos obedecen l siguiente regl: 2 2, 2, 2 4, 2 3, 2 6, 2 5,... se le puede plicr el criterio de l ríz pr determinr su convergenci, pero en cmbio el criterio del cociente no permite deducir l convergenci L propiedd socitiv en series Ls series son un especie de sums «infinits». Es nturl plnterse si propieddes de ls sums finits de números, como l socitividd, disocitividd y conmuttividd, son cierts pr ls series. En est sección y en l siguiente nos ocupremos de ess cuestiones.

19 7.3 L propiedd socitiv en series 28 Definición 7.3. Sen n y b n series de números reles. Se dice que b n se h obtenido de n introduciendo préntesis si existe un sucesiónn <n 2 <... de nturles tles queb = +... n,b 2 = n n2 y en generl b k = nk nk prk>. Tmbién se expres diciendo que n se h obtenido de b n suprimiendo préntesis. Proposición Sen n y b n series de números reles tles que b n se h obtenido de n introduciendo préntesis. () Si n converge entonces b n converge y mbs series tienen l mism sum. (2) Si b n converge, lím n = 0 y l diferencin k+ n k (longitud de los préntesis) se mntiene cotd porlpr todok N, entonces n converge y mbs series tienen l mism sum. Demostrción: Pr demostrr el primero de los prtdos, que corresponde un propiedd socitiv, bst observr que si ponemos B m :=b +b 2 + +b m A n := n entonces (B m ) m N es un subsucesión de (A n ) n N, por lo que es convergente siendo lím m B m = lím n A n. L propiedd disocitiv, que corresponde l segundo de los prtdos, no funcion en generl. Un ejemplo es l serie ( ) + ( ) +... que con préntesis es converte con sum 0, mientrs que si se quitn no lo es. Sin embrgo, vemos que sí se pueden quitr los préntesis cundo se dn ls circunstncis que se contempln en el prtdo segundo de l proposición. En efecto, cda n = n trs introducir los préntesis oportunos corresponde A n =b +b 2 + +b m + nm+ + nm n =B m + nm+ + nm n. Tomndo límites en l fórmul nterior cundon(y por tntom) tiende infinito, teniendo en considerción que el número de j que hy en el segundo miembro está cotdo porl N y que lím j j = 0, se obtiene que lím n A n = lím m B m + lím m ( nm+ + nm n ) = lím m B m, lo cul prueb el resultdo buscdo.

20 282 Series numérics e integrles impropis Ejemplo Vmos plicr los resultdos nteriores pr nlizr l convergenci de l serie n = log log log n logn + n +... Comencemos introduciendo préntesis pr socir los términos de dos en dos. L serie que se obtiene es bn = ( ( n log + )). n A diferenci de l serie originl, que tení términos positivos y negtivos, todos los términos de l nuev serie son positivos, y que por l fórmul de Tylor se verific que ( log + ) n n = n 2!( +θ) 2 n 2 n = 2!( +θ) 2 n2< 0. Podemos entonces plicrle los criterios de convergenci pr series de términos positivos. En prticulr, por el corolrio 7.2.2, sbemos que el crácter está determindo por el tmño del integrndo, es decir ( n log + ) n 2!n 2 y por tnto l serie b n es convergente y que /n 2 lo es. Mirndo ls coss l revés, result que l serie n se obtiene prtir de l serie convergente b n quitndo préntesis cuy longitud es 2; y como clrmente lím n n = 0, podemos plicr l proposición inmeditmente nterior pr concluir que n es convergente y tiene l mism sum que b n. Pr clculr l sum de b n observemos que denotndo conb n su sumn-ésim es B n = n logn =H n logn de donde lím n B n =γ (vése el ejercicio 5 del cpítulo 2 o l sección 7.7 en este mismo cpítulo). Observción Pr series de términos positivos l sucesión (S n ) n N de ls sums prciles es monóton creciente y por tnto l serie converge si, y sólo si, ls sums n-ésims están cotds superiormente (en otro cso converge + ). Es obvio entonces que pr ls series de términos positivos son cierts, sin ningun restricción, ls propieddes socitiv y disocitiv.

21 7.4 Convergenci bsolut y condicionl. Teorem de Riemnn Convergenci bsolut y condicionl. Teorem de Riemnn L propiedd conmuttiv tmbién es ciert pr ls series de términos no negtivos, pero el concepto requiere ser precisdo. Definición 7.4. Sen n y b n dos series. Diremos que l serie b n es un reordención de l serie n si existe un biyecciónφ:n N tl queb n = φ(n) Proposición Se n un serie convergente de términos positivos, entonces culquier reordend suy converge y mbs tienen l mism sum. Demostrción: Es consecuenci inmedit de que pr series de términos positivos l convergenci equivle l cotción superior de ls sums prciles. Como y señlmos en otro lugr, si el término generl de l serie es negtivo, scndo fctor común, l convergenci de l serie se reduce un de términos positivos. En el cso de que hy términos de mbos tipos el nálisis no es tn simple. Un tentción nturl es prescindir de los signos y estudir l convergenci de l nuev serie de términos positivos sí obtenid y nlizr si existe lgun relción con l convergenci de l serie inicil. Eso conduce l concepto de convergenci bsolut que tmbién puede formulrse pr integrles impropis. Definición L serie n con n R se dice bsolutmente convergente si l serie n es convergente. L integrl impropi f, dondeb, se dice bsolutmente convergente si l integrl impropi f es convergente. Proposición Si l serie n es bsolutmente convergente entonces es convergente. Si l integrl impropi f es bsolutmente convergente entonces tmbién es convergente. Demostrción: Bst plicr los correspondientes criterios de Cuchy pr l convergenci. Un consecuenci inmedit de este resultdo es que si un serie es bsolutmente convergente culquier reordend suy tmbién es convergente, pero tods ls reordenciones tienen l mism sum?. L respuest est cuestión es firmtiv como vmos ver. Introducimos pr ello los conceptos de «serie de términos positivos» y «serie de términos negtivos» socid l serie n.

22 284 Series numérics e integrles impropis Definición Dd l serie n se llm: () Serie de términos positivos socid est serie, l serie n donde n = n si n 0 y n = 0 si n< 0. (2) Serie de términos negtivos socid est serie, l serie n siendo n = n si n 0 y n = 0 si n > 0. Proposición Se l serie n y sen n y n sus series de términos positivos y negtivos. () L serie n es bsolutmente convergente si y sólo ls series n y n son convergentes. (2) Si l serie n es bsolutmente convergente y llmmosa ya ls sums de dichs de n y n, respectivmente, se verific que l sum de l serie n (y de tods sus reordends) esa A. Demostrción: Con ls notciones nteriores ls se cumplen ls dos igulddes siguientes. ( + + n) + ( + + n) = + + n ( + + n ) ( + + n ) = + + n Utilizndo l primer de ells y tomndo límites es inmedito que si n y n convergen tmbién converge n. Por otr prte es evidente utilizndo el criterio de myorción que si n converge tmbién convergen n y n. De l segund iguldd, tomndo límites, se obtiene inmeditmente que l sum de l serie n esa A. Si hcemos un reordención de n obtenemos un serie b n con sus correspondientes b n y b n siendo l sum de l serie reordendb B (l notción es utoexplictiv). Pero, evidentemente,b =A yb =A por trtrse de reordenciones en series de términos positivos. Así pues, demás de ls series convergentes de términos positivos, ls series bsolutmente convergentes tmbién verificn l propiedd conmuttiv. De hecho son ls únics que verificn est propiedd, que llmremos convergenci incondicionl. Definición Un serie n se dice incondicionlmente convergente cundo tods sus reordends son convergentes y tienen l mism sum. Teorem Un serie n es incondicionlmente convergente si, y sólo si, es bsolutmente convergente.

23 7.5 Productos de series 285 Demostrción: Si l serie es incondicionlmente convergente entonces firmmos que l serie de términos positivos socid n y l serie de términos negtivos socid n tienen el mismo crácter. En efecto, si un fuer divergente y l otr convergente, es inmedito que l serie n serí divergente + o. Ahor, si ls dos series n, n convergen tmbién converge n. Pr concluir l prueb bst con demostrr que si n = n = + entonces l serie n no serí incondicionlmente convergente y ello es consecuenci del siguiente teorem de Riemnn de más mplio lcnce. Teorem (Teorem de Riemnn de reordención de series) Sen n y n dos series divergentes de términos no negtivos tles que lím n = lím n = 0. Entonces pr cd R se pueden elegir sucesiones (k j ) j, (l j ) j de enteros positivos con k <k 2 <k 3 <..., l <l 2 <l 3 <... y tles que l serie + + k l + k k 2 l + l tiene por sum. Demostrción: Consideremos que R. Sek el menor entero tl que k >ysel el menor entero tl que k 2 l <. Se hork 2 >k tl que k 2 l + k k2 > y sí sucesivmente. Afirmmos que l serie sí obtenid tiene por sum. En efecto ddoε>0 existen 0 tl que sin n 0 se verificn n <εy n <ε. Tomndoj 0 tl que k j0 >n 0,l j0 >n 0 ls sums prciless n están comprendids entre ε y +ε siempre que n>k +l + +k j0 +l j0 +m. Cundo = + el proceso es nálogo: en primer lugr se tiene unk tl que k >. Luegok 2 >k pr tener k 2 l + k k2 <. Y se inici de nuevo el proceso de form recurrente cmbindo el vlor, por 2, 3, etc Productos de series Definición 7.5. Dds ls series n n, n b n se llm producto de mbs series l serie c k siendoc k = nk b mk yφ : N N N un biyección donde φ(k) = (n k,m k ).

24 286 Series numérics e integrles impropis En l definición nterior pr cd φ se obtiene un serie producto diferente. L ide de un producto de series es un form de concebir l sum de todos los posibles productos de l formp ij := i b j. Como losp ij pueden ser vistos como un mtriz infinit, se trt de numerr todos los elementos de dich mtriz (recuerde que N N es numerble) y construir un serie prtir de est form de numerr. Hy dos forms interesntes: por menores principles y por digonles. L ordención por menores principles viene esquemtizd en el siguiente digrm: p p 2 p 3 p 2 p 22 p 23 p 3 p 32 p Corresponde l ordención siguiente: c =p := b c 2 =p 2 := b 2 c 3 =p 22 := 2 b 2 c 4 =p 2 := 2 b c 5 =p 3 c 6 :=p 23 c 7 =p L ordención por digonles de l mtriz (no principles) corresponde l ordención c =p := b c 2 =p 2 := b 2 c 3 =p 2 := 2 b c 4 =p 3 c 5 =p 22 c 6 :=p 3... En culquier cso es clro que culquier producto de dos series es un reordención de otro producto, por lo que si, por ejemplo, tenemos l convergenci bsolut de un producto utomáticmente tenemos l de culquier otro. Proposición Si ls series n n, n b n son bsolutmente convergentes con sumsa,b entonces culquier producto es convergente y tiene por sumab. Demostrción: Sen α := n y β := b n n= n= Utilizndo l ordención de los menores principles es clro que ls sums prciles verificn n 2 c k = j b k = j b k αβ. j,k n j n k n Por tnto culquier producto es bsolutmente convergente y por ende incondicionlmente convergente.

25 7.5 Criterios de convergenci de Dirichlet y Abel 287 Pr clculr l sum tommos un orden de menores principles y tommos l subsucesión de ls sums prciles correspondientes menores principles completos, n 2 k= c k = ( n obteniendo que l sum de l serie esab. )( n ) k b k k= k= Si en l ordención por digonles procedemos sumr socindo términos, es decir, introducimos préntesis en un form decud, obtenemos un producto especil, denomindo producto de Cuchy. Denominmos producto de Cuchy de ls series n n y n b n l serie n d n donde n d n := k b n+ k k= Nturlmente, si ls dos series que se multiplicn son de términos no negtivos y el producto de Cuchy converge, entonces converge el producto socido l ordención por digonles y, por tnto, tmbién converge culquier otro producto. Si ls dos series son bsolutmente convergentes culquier producto es convergente, según el teorem nterior, y, por tnto, según l proposición 7.3.2, el producto de Cuchy de ls series n y b n tmbién converge. Puesto que n n k b n+ k k b n+ k k= k= se obtiene l convergenci bsolut del producto de Cuchy. Sin embrgo puede ocurrir que el producto de Cuchy converj sin que lo hgn los productos ordinrios. En prticulr existe un versión específic y más generl del resultdo nterior pr el producto de Cuchy, que enuncimos continución sin demostrción. Teorem (Mertens) El producto de Cuchy de un serie convergente por un bsolutmente convergente es convergente y tiene por sum el producto de ls sums. El teorem de Mertens no puede mejorrse como pone de relieve el ejemplo que sigue. Ejemplo El cudrdo de l serie convergente ( ) n+ n según el producto de Cuchy no es convergente porque el término generl no tiende cero.

26 288 Series numérics e integrles impropis 7.6. Criterios pr convergenci no bsolut: teorems de Dirichlet y Abel Pr estudir el crácter de un serie o un integrl impropi lo primero es considerr l serie o integrl de sus vlores bsolutos y trtr de probr l convergenci utilizndo ls técnics de l sección 7.2, y que si converge bsolutmente entonces converge. En est sección vmos estblecer nuevos criterios pr estudir el crácter en quellos csos en que no hy convergenci bsolut. Comenzremos con dos resultdos previos de crácter técnico pr est sección: l fórmul de Abel de sumción prcil (o sumción por prtes) y el segundo teorem de l medi del cálculo integrl. Fórmul de Abel de sumción prcil Proposición 7.6. (Fórmul de Abel de sumción) Si ( n ) n N y (b n ) n N son sucesiones en R ya n := n k=m k prmfijo, entonces prp>m se tiene q q n b n = A n (b n b n+ ) +A q b q A p b p n=p n=p Demostrción: Los siguientes cálculos q q n b n = (A n A n )b n n=p n=p = = q n=p q n=p A n b n +A q b q q n=p A n b n+ A p b p A n (b n b n+ ) +A q b q A p b p pruebn l fórmul. Segundo teorem de l medi del cálculo integrl Proposición (Segundo teorem de l medi) Senf,g : [,b] R R funciones integrbles Riemnn. Entonces: () Sig 0 y decreciente, existeξ [,b] tl que ξ f(x)g(x)dx =g() f(x)dx

27 7.6 Criterios de convergenci de Dirichlet y Abel 289 (2) Sig 0 y creciente, existeξ [,b] tl que f(x)g(x)dx =g(b) f(x)dx ξ (3) Siges monóton, existeξ [,b] tl que ξ f(x)g(x)dx =g() f(x)dx +g(b) f(x)dx ξ Los dos primeros se conocen con el nombre de teorem de Lgrnge del vlor medio pr el cálculo integrl. El último como teorem de Weierstrss del vlor medio pr el cálculo integrl. En relidd los tres son equivlentes. Demostrción: () Comenzremos probndo que sif(x) := x f(t)dx ym=f(α),m =F(β) son respectivmente el mínimo y el máximo de est función continu se verific que mg() f(t)g(t)d Mg() (*) Supondremos inicilmente que g se un función esclond decreciente que denotmos conh. Es decir un función que tom el vlorv k en el intervlo (x k,x k ] prk = 2,...n yv en el intervlo [x 0 =,x ] donde losx k constituyen un prtición de [,b] y queh() =g() siendo Pero h(t)f(t)dt = n k= xk n h(t)f(t)dt = v k (F k F k ) x k k= F k = xk f(t)dt n n n n v k (F k F k ) = v k F k v k F k = F k (v k v k+ ) +v n F n k= k= k= k= Comov k v k+ 0 ym F k M pr todok se obtiene que m ( n ) (v k v k+ ) +v n f(t)h(t)dt M ( n ) (v k v k+ ) +v n k= y efectundo operciones mh() k= f(t)h(t)dt Mh()

28 290 Series numérics e integrles impropis Así, l firmción ( ) está probd. Y suponiendo queg()>0, lo cul no es restrictivo, se tiene m f(t)g(t)dt M g() y por el teorem de Bolzno existeξ de modo que F(ξ) = ξ f(t))dt = f(t)g(t)dt g() De este resultdo se obtiene l primer prte pr el cso en quegse un función decreciente medinte pso l límite. En efecto, como g es monóton decreciente dividimos el intervlo imgen de g en n prtes igules de longitud g() g(b) medinte los puntosy n 0 =g(),y,...y n =g(b) y construimos l siguiente función esclond: h n (t) =y k sit {x :y k g(x)>y k } k =, 2,...n h n (t) =y n sit {x :y n g(x) y n } De este modo se tiene que 0 g(t) h n (t) g() g(b) n pr todot [,b] y por tnto, es decir, f(t)g(t)dt f(t)h n (t)dt g(t) h n (t) f(t) dt g() g(b) f(t) dt n pero como se verific que f(t)g(t)dt = lím n f(t)h n (t)dt mh n () f(t)h n (t)dt Mh n () l serh n () =g(), tomndo límites en est desiguldd cundon se obtiene l fórmul (*). L primer prte del teorem está probd. (2) se deduce de rzonndo con l función g(t) =g(b) g(t) y suponiendo, sin perder generlidd, que g() = 0. (3) En el cso de quegse creciente se rzon con g(t) =g(b) g(t) que es decreciente y se plic l primer prte. En el cso de quegse decreciente se rzon con g(t) =g() g(t) que es creciente y se plic l segund prte.

29 7.6 Criterios de convergenci de Dirichlet y Abel 29 L prueb del segundo teorem de l medi no es sencill. Pero cundof 0 puede hcerse otr que es mucho más fácil. Bst con definir H(x) :=g() x f(t)dt +g(b) x f(t)dt y plicr l propiedd de los vlores intermedios l funciónh, teniendo en cuent l monotoní de l función g. Escrib los detlles y convénzse de que, relmente, l demostrción en este cso es mucho más fácil. Figur 7.2: Johnn Peter Gustv Lejeune Dirichlet (Düren, 805 Göttingen, 859), izquierd, y Niels Henrik Abel (Norueg, 802 Norueg, 829). Dirichlet probó que en un progresión ritmétic cuyo primer término es coprimo con l diferenci hy infinitos números primos. Abel probó l imposibilidd de resolver lgebricmente l ecución de quinto grdo. Criterios de convergenci de Dirichlet y Abel Teorem (Criterio de Dirichlet) Sen ( n ) n N y (b n ) n N sucesiones en R tles que: () n k= k <M< pr todon N, (2) (b n ) n N es monóton decreciente con límite 0. Entonces, l serie n b n es convergente. Senf yg funciones definids en [,b) tles que: () x f(t)dt <M < pr todo x [,b), (2) g es monóton decreciente con límite 0. Entonces, l integrl impropi fg es convergente. Demostrción: Es suficiente probr, en mbos csos, que se verific l correspondiente condición de Cuchy (proposición 7..4). Pr el cso de l serie utilizremos l fórmul de sumción de Abel Así,

30 292 Series numérics e integrles impropis ddoε>0 existen 0 tl que sin n 0 se tieneb n < ε 2M. Sin 0 p<q se verific q q n b n = A n (b n b n+ ) +A q b q A p b p p n=p q M (b n b n+ ) +Mb q +Mb p n=p =M(b p b q +b q +b p ) =M2b p <ε. Pr el cso de l integrl impropi usremos el prtdo tercero del segundo teorem de l medi Como lím t b g(t) = 0, ddoε>0existet 0 tl que si t 0 t se tiene g(t) < ε 4M. Sit 0 p q se verific q f(x)g(x)dx ξ q = p g(p) f(x)dx +g(q) f(x)dx p ξ ξ q g(p) f(x)dx p + g(q) f(x)dx ξ Y que ξ p ξ f(x)dx = f(x)dx g(p) 2M + g(q) 2M < ε 4M 2M + ε 2M =ε. 4M p f(x)dx M +M = 2M. Así pues, en mbos csos se cumple l condición de Cuchy. Ejemplos Análisis de l convergenci de ls integrles 0 0 senx x dx 2 senx 2 dx 0 senx logx dx cosx 2 dx. Comencemos probndo que l integrl + senx 0 no es bsolutmente convergente. Pr ello, en primer lugr observemos que sólo es impropi en +, pues x l función senx se extiende l 0 como función continu. Consideremos entonces l x siguiente cotción inferior: nπ 0 sen x x dx = n iπ i= (i )π sen x x dx n i= iπ = iπ (i )π senx dx 2 π Por tnto, puesto que ls sums prciles de l serie rmónic divergen, tmbién lo hce l integrl. n i= i.

31 7.6 Criterios de convergenci de Dirichlet y Abel 293 Ahor, pr probr l convergenci de + 0 senx x bst utilizr el criterio de Dirichlet, considerndo g(x) := /x que es decreciente y convergente 0 en +, yf(x) := senx que verific: x f(t)dt = cos 0 cosx 2 0 pr todo x 0. Tmbién puede obtenerse l convergenci, sin necesidd de utilizr el criterio de Dirichlet, medinte integrción por prtes. L integrl + senx 2 no es bsolutmente convergente, y que logx x, por lo logx que el criterio de comprción y l no convergenci bsolut de l integrl nterior grntizn l firmción. Pr obtener l convergenci, de nuevo, bst utilizr el criterio de Dirichlet en l form evidente. Ls dos últims se denominn integrles de Fresnel. Comencemos relizndo el cmbio de vriblet =x 2, por el que ls integrles entre 0 yuse trnsformn en: I := 2 u 2 0 sent dt y I 2 := u 2 cost dt t 2 0 t En primer lugr observemos que mbs son convergentes, pr lo que bst utilizr el criterio de Dirichlet cong(t) =t /2 y tener en cuent que 0 t /2 cost es convergente. Probemos hor que no son bsolutmente convergentes. Pr ello, en primer lugr, demostremos que ls integrles de los vlores bsolutos tienen, en mbos csos, el mismo crácter. Pr ello observemos que r π sen(t) r π/2 sen(s + π/2) r π/2 cos s ds = ds = t π/2 (s +π/2) /2 π/2 (s +π/2) /2 y est últim integrl tiene el mismo crácter que s /2 coss, pues se verific (s +π/2) /2 lím = s + s /2 Un vez estblecido que ls dos integrles tienen el mismo crácter, se obtiene que mbs son divergentes, y que ( ) cost + sent t t y bst plicr el método de comprción. Ls funciones de Fresnel heredn su nombre del físico frncés Augustin-Jen Fresnel que ls utilizó en sus estudios de fenómenos de difrcción en óptic ( Mxim conoce el vlor de dichs integrles y puede dibujr l función integrl indefinid de form gráfic.

32 294 Series numérics e integrles impropis Teorem (Criterio de Abel) Sen ( n ) n N, (b n ) n N sucesiones en R tles que: () n es convergente, (2) (b n ) n N es monóton y cotd. Entonces, l serie n b n es convergente. Sen f, g funciones loclmente integrbles en [,b) tles que: () f es convergente, (2)g es monóton y cotd. Entonces, l integrl impropi fg es convergente. Demostrción: Es suficiente probr que se cumple l condición de Cuchy correspondiente (proposición 7..4). Pr el cso de l serie utilizremos l fórmul de sumción de Abel Supongmos que b n <M pr todon N. Como l serie n es convergente, ddoε>0existen 0 tl que sin 0 rse tiene r j=n0 j <ε/(4m). Tomndom=n 0 en l fórmul de Abel 7.6., sin 0 <p q se verific q q n b n = A n (b n b n+ ) +A q b q A p b p n=p n=p q n=p A n b n b n+ + A q b q + A p b p < ε q b n b n+ + b q + b p 4M n=p [(b n ) n monóton] = ε 4M ( b p b q + b q + b p ) ε 4M ( b p + b q + b q + b p )<ε Pr el cso de l integrl impropi usremos el prtdo tercero del segundo teorem de l medi Supongmos que g(x) <M pr todox [,b). Como l integrl impropi f es convergente se cumple l condición de Cuchy y, por tnto, ddoε>0existet 0 tl que sit 0 <p q se tiene q p f(t)dt <ε/(2m). Así, sit 0 <p q se verific q ξ q f(x)g(x)dx = g(p) f(x)dx +g(q) f(x)dx p p ξ ξ q g(p) f(x)dx p + g(q) f(x)dx ξ ε < g(p) 2M + g(q) ε ε (M +M) 2M 2M =ε. Resumiendo, se stisfce en cd cso l condición de Cuchy.

33 7.6 Criterios de convergenci de Dirichlet y Abel 295 Ejemplo Convergenci de ls integrles de Fresnel 0 senx 2 dx 0 cosx 2 dx. Teorem (Criterio de Leibniz pr series lternds) Se un sucesión ( n ) n N decreciente con límite 0. Entonces l serie lternd ( ) n+ n es convergente. Además denotndo con S l sum de l serie se tienen ls siguientes cotciones: S 2n S S 2n+, y S n S < n+. Demostrción: L convergenci es consecuenci del criterio de Dirichlet Como ( n ) n es decreciente tmbién lo es (S 2n ) n y que S 2n =S 2n 2 + 2n+ 2n+2 S 2n 2 ; pero como el límite de est sucesión debe sers, se tienes 2n S. Análogmente (S 2n+ ) n es monóton decreciente con límites, por lo ques S 2n+. Así pues y por tnto S 2n S S 2n+ y S 2n+2 S S 2n+ pr todon N S 2n S S 2n S 2n+ = n+ y S 2n+ S S 2n+2 S 2n+ = n+2. Ests dos estimciones se reducen S n S < n+, que es lo que queremos. Ejemplos () L serie n ( ) n+ n es convergente como consecuenci del criterio de Leibniz. L «velocidd de convergenci» de ls sums finits es bj puesto que S S n </(n+), lo que signific, por ejemplo, que pr grntizr un error menor que /0000 hy que sumr los 9999 primeros términos. El vlor excto de l sum de l serie, como veremos en l sección 7.7, es log 2. De este modo podemos dr un proximción deciml de log 2, si bien nd confortble. En el ejercicio 4 mostrmos otro procedimiento pr obtener un proximción deciml de log 2 que requiere menos cálculos. (2) El criterio de Leibniz tmbién es plicble l serie lternd ( ) n n( + ) n n

34 296 Series numérics e integrles impropis un vez que probemos que l sucesión n := n ( + ) n n es decreciente, y que, obvimente, ( lím + ) n = límn n n n n lím n ( + n) n = 0 El hecho de que l sucesión ( n ) n del último ejemplo es decreciente no es inmedito porque, unque (/n) n es un sucesión decreciente, en cmbio l sucesión (( + n )n ) n es creciente. El lector debe convencerse por sí mismo de que pr todon N se verific ( + ) n ( + ) n+. n n n + n + Est desiguldd puede demostrrse trnsformándol en otr equivlente que se evidente o bien formulándol en términos funcionles y hciendo uso del cálculo diferencil.