5.Distribución de la variable aleatoria media muestral. 6.Distribución de la variable aleatoria varianza muestral

Transcripción

1 TEMA INTRODUCCIÓN A LA INFERENCIA ESTADÍSTICA.Itroducció al muestreo.elemetos del muestreo 3.Tipos de muestreo 4.Distribucioes que iterviee e el muestreo 5.Distribució de la variable aleatoria media muestral 6.Distribució de la variable aleatoria variaza muestral 7.Distribucioes e el muestreo e ua població ormal 8.Distribució de la proporció muestral 9.Variables muestrales para estudios comparativos

2 . Itroducció al muestreo E este primer tema se va a defiir los elemetos del muestreo, se coocerá los diferetes tipos de muestreo, sus características, vetajas e icoveietes. Además, se itroducirá el cocepto de distribució de muestreo y se presetará las pricipales distribucioes muestrales. Cuado el ivestigador puede observar todos los elemetos de la població, etoces su tarea se reduce a describir las características y regularidades de la població. Pero si la observació o puede ser exaustiva, etoces aquellas características ay que estudiarlas a través de ua muestra represetativa. La iformació sumiistrada por la muestra puede servir para iducir o iferir, co mayor o meor exactitud, las características de la població. La fase de descripció es (o puede ser) comú a cualquier cojuto de observacioes, mietras que la de iferecia sólo tiee efectividad cuado se trabaja co muestras. El objetivo de la iferecia es poder llegar al coocimieto de ua població través del estudio de muestras. Se trata de u efoque iductivo que va de lo particular (la muestra) a lo geeral (la població de la que procede la muestra). Este coocimieto va acompañado de ua medida del error que se puede cometer. El propósito de u estudio estadístico suele ser extraer coclusioes acerca de la aturaleza de ua població. Al ser la població grade y o poder ser estudiada e su itegridad e la mayoría de los casos, las coclusioes obteidas debe basarse e el exame de solamete ua parte de ésta, lo que os lleva, e primer lugar a la justificació, ecesidad y defiició de las diferetes técicas de muestreo.

3 La técica del muestreo permite producir iformació sobre u domiio dado a partir de la observació de ua parte de dico domiio. El domiio estudiado se suele deomiar uiverso o població. Los primeros térmios obligados a los que debemos acer referecia, defiidos e el primer capítulo, será los de estadístico o estimador. Detro de este cotexto, será ecesario asumir u estadístico o estimador como ua variable aleatoria co ua determiada distribució, y que será la pieza clave e las dos formas de iferecia estadística: la estimació y el cotraste de ipótesis. Partiedo del eco cierto de que ua muestra, e geeral, o da ua iformació exacta de las características de la població que deseamos estudiar, puede procederse así: Utilizar la muestra para estimar dicas características. Este efoque origia la teoría de la estimació, mediate la cual se da solució a los problemas específicos que se platea. Emitir ua ipótesis sobre las características tomado como base la experiecia, otras iformacioes o icluso el presetimieto o la corazoada. Ua ipótesis así formulada tiee poco valor cietífico. Este valor se adquiere tomado ua muestra de la població y utilizádola para verificar o cotrastar la ipótesis. Este efoque da lugar a la teoría de la verificació o costrastació de ipótesis. El cocepto de estimador, como erramieta fudametal, lo caracterizamos mediate ua serie de propiedades que os servirá para elegir el mejor para ua determiada carac- 3

4 terística de ua població, así como alguos métodos para la obteció de ellos. La teoría de la estimació se desarrolla e dos direccioes estrecamete relacioadas:. Estimació por putos. La característica de la població se estima por medio de u solo úmero (u puto).. Estimació por itervalos. E este caso o se da u valor sigular como estimació de la característica descoocida de la població, sio dos úmeros que defie u itervalo, detro del cual se ecotrará la característica co ua probabilidad dada. 4

5 . Elemetos del muestreo Ua població, colectivo o uiverso está costituida por todos los elemetos que posee uas características e cuyo estudio estamos iteresados. El uiverso estudiado (fiito o ifiito) se debe defiir de maera precisa, tato respecto a las uidades elemetales que lo compoe como a sus límites. Las uidades estadísticas so los elemetos que compoe el uiverso. Població objetivo vs població ivestigada: Població objetivo: població iicial a ivestigar. Població ivestigada: població que realmete es objeto de estudio. Diferecia: egativas a colaborar, ausecias, iaccesibilidad a alguos elemetos. U marco muestral es ua lista completa y actualizada de las uidades del uiverso si omisioes i repeticioes, y dode cada uidad pueda idetificarse si ambigüedades. Lo ideal sería dispoer de u marco tal que la lista de uidades muestrales que lo compoe coicida co la població objetivo. Se deomia muestra a u subcojuto de uidades estadísticas extraído del uiverso del cual se quiere coocer ciertas características. A partir de los resultados observados sobre la muestra se va a extrapolar para producir estimacioes sobre dico uiverso. Es ua parte de los elemetos de la població, pero esta parte a de ser represetativa del total. Los coceptos de població y muestra está subordiados al uso que se piesa acer del cojuto de observacioes dispoible. Si lo úico que se pretede es describir las características de dico cojuto, etoces éste ciertamete costituye ua població, au cuado sea ua parte de u total más ge- 5

6 eral. Pero si se desea exteder la iformació obteida de él a otro cojuto mayor para iferir sus características, etoces, evidetemete, el cojuto de observacioes costituye ua muestra. La muestra a de reuir los requisitos suficietes para que el proceso de iferecia o iducció (paso de lo particular a lo geeral) pueda realizarse co ciertas garatías. E el caso de que la muestra de ivestigació se dirija a toda la població se dice que se realiza u ceso, mietras que la recogida de la iformació muestral recibe el ombre de ecuesta. A veces se suele emplear la expresió ecuesta exaustiva como sióimo de ceso. La operació de tomar ua muestra de ua població se deomia muestreo y los métodos de muestreo que se utilice debe garatizar la represetatividad para que pueda ablarse correctamete de ua muestra estadística. Razoes del muestreo:. Establecer cotacto co la totalidad de la població requeriría demasiado tiempo.. El coste de estudiar todos los elemetos e ua població puede resultar proibitivo. 3. La imposibilidad de verificar todos los elemetos de la població. 4. La aturaleza destructiva de alguas pruebas. 5. Los resultados de la muestra so adecuados. 6

7 Las características muestrales deomiadas estadísticos se emplea para acer iferecias co respecto a las características de la població, que recibe el ombre de parámetros. U parámetro es ua costate, pero u estadístico es ua variable aleatoria. Estadístico (estimador): es cualquier fució de las variables aleatorias (elemetos muestrales) que se observa e la muestra de maera que esta fució o cotiee catidades descoocidas. Las iformacioes de la muestra se resume e el estadístico. (,, ) Z Z, K Es ua fórmula matemática que permite calcular la estimació de ua magitud a partir de los datos observados e la muestra extraída. Para u procedimieto dado, el azar puede coducir a diferetes muestras, por tato a diferetes estimacioes (calculadas a partir del estimador). Parámetro: es ua caracterizació umérica de la distribució de la població de maera que describe, parcial o completamete, la fució de desidad de probabilidad de la característica de iterés. Los más comues so la media, la desviació típica y la proporció. Ua variable aleatoria es ua variable que puede tomar u cierto úmero de valores co ua probabilidad asociada a cada valor. La variable aleatoria sigue etoces ua cierta distribució. El estimador es ua variable aleatoria. Los elemetos que itegra la muestra so variables aleatorias, por lo que cualquier fució de estos elemetos tambié será ua variable aleatoria. 7

8 Para cualquier estadístico se espera ua variabilidad de muestra a muestra, dado que u estadístico es ua variable aleatoria. De eco, para cada estadístico existe lo que se cooce como su distribució de probabilidad de muestreo, la cual tiee e cueta la variabilidad ierete y proporcioa los medios ecesarios por medio de los cuales puede evaluarse el estadístico. De maera geeral, la distribució de muestreo de u estadístico o tiee la misma forma que la distribució de desidad de probabilidad e la distribució de la població. Uiverso Muestra N Z Estadístico Coviee distiguir etre dos clases de error. De ua parte existe los errores muestrales, que so aquellos que está latetes e toda muestra represetativa, pues au siédolo o proporcioa, salvo raras excepcioes, ua medida exacta de las características de la població. Por ello ay que cotar siempre co los errores muestrales o errores de muestreo. Es la diferecia etre u estadístico de la muestra y el parámetro de la població correspodiete. El valor del error de muestreo se basa e la selecció aleatoria de la muestra. Por tato, los errores de muestreo so aleatorios y ocurre por casualidad. 8

9 Por otra parte está los sesgos, bajo cuya deomiació se icluye alguos errores específicos de las muestras como los debidos a su falta de represetatividad, y otros que so comues a toda ivestigació estadística, tato si es exaustiva como si o lo es. A este último grupo perteece los errores de observació, cosiderados e su aspecto más amplio, es decir, los origiados por defiicioes defectuosas de los elemetos de la població, de las características a ivestigar; los debidos a respuestas o medidas mal efectuadas, a fórmulas iadecuadas, a cálculos equivocados, etc. Los sesgos debidos a falta de represetatividad de la muestra se elimia utilizado simplemete métodos de muestreo que asegure y garatice la represetatividad. Tales métodos a de basarse e el azar, es decir, el método de selecció de la muestra a de ser aleatorio. 9

10 Teemos ua variable (,, N ) y ua població fiita de tamaño N. Si se efectúa ua observació exaustiva, se obtiee las siguietes características: Media aritmética: Variaza: N i µ N i N ( µ ) i N i Características poblacioales Si se dispoe de ua muestra de observacioes: Media aritmética: Variaza: S Cuasivariaza: i S i ( ) i i i i ( ) Características muestrales respecti- y vamete. S va a usarse como estimadores de µ y 0

11 3. Tipos de muestreo Métodos de muestreo: cojuto de técicas estadísticas que estudia la forma de seleccioar ua muestra lo suficietemete represetativa de ua població cuya iformació permita iferir las propiedades o características de toda la població cometiedo u error medible y acotable. Los métodos de muestreo puede ser probabilísticos (aleatorios) y o probilísticos (o aleatorios). Probabilísticos: la selecció es idepediete del juicio u opiió de cualquier persoa. No Probabilísticos: esta codició o siempre se verifica. E ambos casos la selecció de la muestra se puede acer seleccioado elemetos de la població o seleccioado grupos de tales elemetos. Muestreo Probabilístico No Probabilístico m. a. simple m. a. sistemático m. a. estratificado m. a. por áreas y coglomerados m. a. por etapas La uidad muestral es el elemeto de la població La uidad muestral es u grupo de elemetos de la població

12 E el muestreo probabilístico todos los elemetos de la població tiee la oportuidad de ser escogidos para la muestra. Es decir, toda uidad estadística tiee ua probabilidad o ula y coocida de ser seleccioada e la muestra. E ua muestra aleatoria o de probabilidad coocemos las posibilidades de que u elemeto de la població se icluya o o e la muestra; es posible determiar objetivamete las estimacioes de las características de la població que resulta de ua muestra dada. Para la elecció de ua muestra se recurre al azar y se puede emplear ua formalizació matemática para estudiar las propiedades de esta muestra. Se puede utilizar la teoría de la probabilidad para medir el error de muestreo. E el muestreo o probabilístico o de juicio, se emplea el coocimieto y la opiió persoal para idetificar a los elemetos de la població que debe icluirse e la muestra. La razó por la cual existe varios métodos de muestreo se debe a dos fies pricipales: reducció de costes y reducció de errores.

13 Muestreo aleatorio simple El muestreo aleatorio simple seleccioa muestras mediate métodos que permite que cada posible muestra tega ua igual probabilidad de ser seleccioada y que cada elemeto de la població total tega ua oportuidad igual de ser icluido e la muestra. Es el más secillo teóricamete. Sirve de base para los restates métodos de muestreo aleatorios. Está basado e el puro azar. Cosiste e que cada elemeto de la població se ace represetar por ua bola o tarjeta particularizada mediate u úmero. Todas las bolas o tarjetas se itroduce e ua ura, dode se extrae tatas como requiera el tamaño de la muestra. Las extraccioes puede ser co reposició o si reposició. Muestreo co reposició: ua uidad seleccioada e ua extracció se repoe e la ura y participa e las siguietes extraccioes. Se puede extraer dica uidad dos o más veces. E la práctica es el que preferetemete se emplea. Muestreo si reposició: Ua vez extraída ua uidad, o se la vuelve a tomar e cueta para las siguietes extraccioes. La diferecia básica etre las dos técicas es la oció de idepedecia. E el muestreo co reposició (reemplazamieto), las observacioes,, K, costituye u cojuto de variables aleatorias idepedietes e idéticamete distribuidas dado que, e el proceso de reemplazamieto, igua observació se ve afectada por otra. E la técica de muestreo si reemplazamieto, a pesar de que las observa- 3

14 cioes,,, idepedietes. K posee la misma distribució, o so Coforme crece el tamaño de la població, el muestreo aleatorio si reemplazamieto es, a todos los efectos, igual al muestreo aleatorio co reemplazamieto. Cálculo de la muestra: Ura Tabla de úmeros aleatorios Algoritmo iformático de extracció Cálculo de la media muestral (muestra de tamaño de ua població co media y variaza ): i i Estimació de la media del estimador: E ( ) µ Estimació de la variaza del estimador: Cuado ay reposició: S Cuado o ay reposició: S N N La variaza del estimador será pequeña cuado: 4

15 sea pequeño. El tamaño de la muestra sea grade. Como N N es siempre iferior a, la variaza del estimador si reposició es meor que la del estimador co reposició para ua misma variable. No obstate, cuado N es grade, el coeficiete N N es cercao a y las dos variazas so etoces idéticas. La diferecia de precisió etre las extraccioes co y si reposició favorece la o reposició. E geeral, la vetaja es poca, excepto cuado la tasa de muestreo N es cercaa a. N e el caso si repo- Si bie la variaza es ula cuado sició, o sucede lo mismo para la extracció co reposició. 5

16 Muestreo aleatorio sistemático Es ecesario que los elemetos de la població esté dispuestos ordeadamete o existe ua lista o registro de ellos. Supogamos que el tamaño de la muestra es tal que ay que seleccioar u elemeto de cada p. Sabido esto, el muestreo sistemático empieza por elegir al azar u úmero que o sea superior a p; co esta úica solució se obtiee ua muestra si más que añadir a dico úmero seleccioado, que llamaremos k, el úmero p tatas veces como sea preciso para recorrer toda la població. Simbólicamete, la muestra sistemática está costituida por los siguietes elemetos: k k+p k+ p k+3 p El muestreo sistemático, además de la vetaja e la reducció de los costes, tiee la de asegurar que e la muestra aparecerá elemetos de la població de todas las clases. Puede decirse que el muestreo sistemático tiede a sumiistrar muestras más represetativas que el aleatorio simple y será equivalete si las uidades del marco muestral está distribuidas absolutamete al azar. Pero esto es cierto cuado e la disposició ordeada de los elemetos de la població o existe ua periodicidad coicidete co la de la muestra, porque etoces la muestra sistemática proporcioará estimacioes sesgadas. Cuado el orde físico se relacioa co la característica de la població, etoces o se debe utilizar el muestreo aleatorio sistemático, salvo que el orde tega u efecto que permita dar más represetatividad a la muestra extraída. 6

17 El muestreo sistemático difiere del muestreo aleatorio simple e que cada elemeto tiee igual oportuidad de ser seleccioado, pero cada muestra o tiee ua posibilidad igual de ser seleccioada. 7

18 Muestreo aleatorio estratificado Ua muestra, salvo raras excepcioes, o puede proporcioar ua iformació exacta de las características de la població. Estas raras excepcioes se preseta e las poblacioes totalmete uiformes co respecto al carácter sometido a estudio. E tal caso la variaza muestral de la media es igual a cero porque la variaza poblacioal tambié lo es. Esto equivale a decir que la precisió es máxima, es decir, o existe error de estimació. Si se sabe que ua població puede dividirse e partes (estratos), de forma que e cada ua de ellas los elemetos posea ua gra omogeeidad co respecto al carácter que se estudia, etoces se aumeta la precisió de las estimacioes tomado ua muestra de cada estrato, es decir, actuado separadamete e cada estrato. Este es el muestreo estratificado. N 3 N N 3 Detro de cada estrato se puede aplicar el muestreo aleatorio simple o el aleatorio sistemático. E ambos casos la selecció es aleatoria y se tiee el muestreo aleatorio estratificado. El muestreo es satisfactorio cuado puede aplicarse ua estratificació efectiva, es decir, cuado e la població existe 8

19 grupos difereciados. E caso cotrario, este método o aporta igua mejora sustacial co respecto a los otros. Pero si existe tales grupos difereciados, etoces el método puede aplicarse, bie para aumetar la precisió de las estimacioes o bie para reducir los costes, lo cual puede coseguirse dismiuyedo el tamaño de la muestra si es que o se quiere aumetar la precisió. La eficacia del muestreo estratificado o depede úicamete de que la població aparezca diversificada e grupos co cierta omogeeidad. Además, es preciso poseer iformació suficiete para defiir y separar los grupos o estratos correctamete y para decidir el tamaño de la muestra que se a de seleccioar e cada estrato. La estratificació puede teer como objetivo pricipal: Aumetar la precisió global. Obteer ua precisió suficiete e el iterior de cada estrato. Supuestos y otació: La extracció e el iterior de cada estrato es aleatorio simple y si reposició. k estratos:,,,k Para cada estrato, el efectivo total es N N k N Media muestral del estrato : i i Media muestral de la població: 9

20 N k N Es decir, la media de la població se estima a través de la media poderada de las medias muestrales obteidas e cada estrato. El peso es el del estrato e la població. Tamaño de cada muestra (afijació): La tasa variar de u estrato a otro. N puede Muestreo estratificado proporcioal o represetativo: Se utiliza la misma proporció que e la població (fracció de muestreo igual). N L N N El muestreo estratificado proporcioal siempre tiee u estimador de la variaza meor o igual a la del estimador del muestreo simple, y tato más pequeña cuato las medias de los estratos difiera de la media geeral. Muestreo estratificado o proporcioal: La fracció de muestreo o se aplica de maera costate a todos los estratos. Justificació del muestreo estratificado o proporcioal: Variazas diferetes: Cuado las variazas de los estratos difiere muco etre sí. Tamaño de la muestra de cada estrato: Si u estrato costa de muy pocos elemetos puede ser acosejable que la muestra correspodiete sea del 00%, es decir, que e dico estrato la observació sea exaustiva. N k k 0

21 Reparto represetativo o reparto de Neyma: Se utiliza ua tasa de muestreo proporcioal a la dispersió de la variable estudiada e cada estrato. N k N Cuato más eterogéeo sea u estrato co respecto a dica variable, mayor será e éste la tasa de muestreo. Este reparto es el que reduce al míimo la variaza total para ua estratificació dada. La aplicació de la fórmula para calcular el reparto de Neyma supoe que los valores se cooce a priori. E la práctica, se utiliza el reparto de Neyma cuado el feómeo estudiado tiee ua distribució muy asimétrica. Si el feómeo tiee ua distribució simétrica respecto de su media, u muestreo estratificado proporcioal proporcioa resultados de calidad suficiete. Búsqueda de precisió a ivel de cada estrato: Cuado se desea obteer iformació sigificativa para cada estrato, el problema es completamete distito. E este caso abrá que dar ua vetaja relativa a los estratos meos poblados, geeralmete e detrimeto de la precisió global. Si se desea la misma precisió a ivel de cada estrato y si se presume que los estratos preseta la misma eterogeeidad para el carácter estudiado, se deberá tomar tamaños de muestra similares e cada uo.

22 Si queremos que la variaza sea la misma e dos estratos (i,j): ( ) ( ) j j j j i i i i j i N N Var Var Despreciado las tasas de muestreo N para simplificar: j i j j i i +

23 Ejemplo: U país está dividido e dos regioes. Las regioes a su vez de divide e muicipios. Los datos aparece e la siguiete tabla; Estrato Nº Muicipios N Població Total La muestra es de 80 muicipios: 80 Reparto proporcioal: N N N N N N Reparto de Neyma: N k N N k N S

24 4 Precisió a ivel de cada estrato:

25 Muestreo por coglomerados y por áreas U coglomerado es u grupo de elemetos de la població. Por lo geeral, estos grupos o coglomerados tiee ua existecia real. El muestreo por coglomerados cosiste e seleccioar aleatoriamete cierto úmero de coglomerados y e ivestigar después todos los elemetos perteecietes a ellos. De esta forma el problema de la obteció de listas de toda la població se simplifica muco, porque aora sólo se ecesita la lista de los elemetos perteecietes a los coglomerados seleccioados. Co frecuecia los coglomerados so áreas geográficas; por ello, el deomiado muestreo por áreas o es más que u caso particular del muestreo por coglomerados. Para que este tipo de muestreo o produzca ua dismiució e la precisió de las estimacioes es ecesario, por ua parte, que e cada coglomerado exista elemetos de la població de todas las clases, y por otra, que los coglomerados sea lo más omogéeos posible. Los pricipios que debe presidir el muestreo por coglomerados so: Heterogeeidad de los elemetos de la població detro de cada coglomerado. Homogeeidad etre coglomerados. Los pricipios del muestreo por coglomerados so cotrarios a los del muestreo estratificado; e éste se busca ua gra eterogeeidad etre los estratos y ua gra omogeeidad detro de cada estrato. 5

26 Estratos eterogéeos etre sí pero omogéeos iteramete Coglomerados omogéeos etre sí pero eterogéeos iteramete La perdida de precisió que puede resultar e el muestreo por coglomerados, a cosecuecia de o cumplirse estos pricipios, puede recuperarse aumetado el tamaño de la muestra, lo cual puede ser posible porque este método de muestreo es muco meos costoso. 6

27 Muestreo por etapas El muestreo por etapas (polietápico) es ua geeralizació del muestreo por coglomerados mediate la cual se iteta reducir al míimo posible el coste que supoe la obteció de la lista de los elemetos de la població. El muestreo por etapas se basa e coglomerados. E la primera etapa se seleccioa coglomerados de ua clase; e la seguda etapa se seleccioa coglomerados más pequeños perteecietes a los ateriores y así sucesivamete asta llegar a los elemetos de la població. De esta forma sólo se ecesita la lista de los elemetos de la població sobre los cuales se a de aplicar la última etapa. El muestreo por etapas tiee varias vetajas: E cada etapa se puede aplicar el muestreo aleatorio que se cosidere más adecuado al tipo de coglomerado de que se trate. E ausecia de u marco muestral completo, basta co elaborar u marco parcial. Habrá aorro global de tiempo y gasto de desplazamieto. El precio a pagar por estas vetajas es que la precisió del muestreo e varias etapas es, e geeral, meor que la que tedríamos e u muestreo de ua sola etapa co el mismo tamaño muestral. Se icremeta los errores puesto que e cada etapa se obtiee ua muestra co su correspodiete error. 7

28 Muestreo o probabilístico (o aleatorio) y semialeatorio Justificació: a veces la isuficiecia de medios ecoómicos, la escasez de tiempo dispoible u otras razoes o meos importates impide la aplicació de métodos aleatorios o probabilísticos de muestreo. E tales casos se acostumbra recurrir a métodos o aleatorios. El muestreo o aleatorio es aquel e que los elemetos de la població que a de costituir la muestra o se seleccioa al azar. E su forma más simple, cosiste e seleccioar los elemetos que, e uestra opiió o e la del agete ecuestador, puede ser represetativos de la població: muestreo opiático o muestreo itecioal. Como la selecció o es aleatoria, o es posible obteer las distribucioes de las características muestrales y, por tato, o puede medirse la precisió de las estimacioes. La teoría de la probabilidad o puede ser empleada para medir el error de muestreo. El método es bueo e tato que la muestra sea represetativa de la població, pero esto o ay medio cietífico de medirlo. Por tato, el método da lugar a u sesgo latete. Las mejoras del método se orieta e el setido de estudiar previamete la estructura de la població para coseguir ua muestra de estructura aáloga. Se calcula ua cuota o úmero de persoas de cada clase que se a de etrevistar para coseguir la idetidad de estructura. Esta variate del método se deomia muestreo por cuotas. Ua mejora mayor puede coseguirse combiado el muestreo aleatorio co el o aleatorio. Esto puede acerse espe- 8

29 cialmete cuado se emplea el muestreo por etapas. Las primeras etapas de la selecció puede acerse aleatoriamete, y la última, esto es, la de seleccioar los elemetos de la població que a de ser observados, puede llevarse a cabo mediate u muestreo por cuotas co agetes bie istruidos. Este método se deomia muestreo semialeatorio. El muestreo o aleatorio o es u método cietífico de selecció y o es posible coocer la precisió de las estimacioes, i icluso cuado se combia co el aleatorio, porque au e este caso ay ua o varias etapas e que la selecció se deja e maos de los agetes ecuestadores. Cuado la ivestigació se refiere a cuestioes de respuesta laboriosa, difícil, molesta y delicada, el estadístico se efreta co dos clases de sesgos. De u lado está los debidos a los errores de observació cuado emplea ua muestra aleatoria, y de otro, los debidos al método de muestreo cuado o es aleatorio. El coocimieto de la població y de las reaccioes de sus elemetos le ayudará a decidirse por ua de las dos alterativas, teiedo e cueta, que su fialidad última es la de obteer estimacioes lo más exactas posible de las características de la població. 9

30 4. Distribucioes que iterviee e el muestreo Cuado el tamaño de la muestra es más pequeño que el tamaño de la població N, dos o más muestras puede ser extraídas de la misma població. U cierto estadístico puede ser calculado para cada ua de las muestras posibles extraídas de la població. La distribució del estadístico obteido de la muestra es llamada la distribució e el muestreo del estadístico. U estadístico o estimador es ua variable aleatoria co ua determiada distribució, y que será importate e dos categorías de la iferecia estadística: la estimació y el cotraste de ipótesis. E el muestreo iterviee tres distribucioes:. Distribució de la població.. Distribució de la muestra. 3. Distribució del estadístico e el muestreo. Distribució de la població Las características que deseamos observar e la població básica tiee ua determiada distribució de probabilidad F(). E ( ) µ ( ) Var 30

31 Distribució de la muestra La distribució de la muestra será -dimesioal, abrá ua distribució para cada elemeto,, K,. (,, ) F, K Distribució del estadístico e el muestreo Es la distribució de los valores que puede tomar el estadístico e todas las posibles muestras. Z ( ) será ua distribució uidimesioal. Su distribució depede de: La distribució de la població. La forma de la fució Z (estadístico). Tipo de muestreo. Tamaño de la muestra. Los estadísticos más abituales so los siguietes: Media muestral: 3 i i Variaza muestral: ( ) S i i Cuasivariaza muestral: ( ) Proporció muestral: P S i i

32 Características Poblacioales Características Muestrales Media µ Desviació S Proporció p P La distribució muestral sirve para saber si u resultado muestral es raro. El cocepto de distribució muestral permite determiar la probabilidad de que ua muestra particular (realizació muestral) o sea represetativa e u determiado grado. El razoamieto es el siguiete: se calcula la probabilidad de obteer, bajo uestros supuestos, u resultado muestral como el que se a ecotrado. Si esta probabilidad es muy pequeña, dudaremos de los supuestos de partida. 3

33 Ejemplo: Teemos la siguiete població: 3, µ 4, Supogamos que se toma muestras de tres elemetos (3) Distribució de probabilidad: i P ( ) i 3/ 3 3/ 4 / 5 3/ 0 / Distribució de probabilidad de la muestra: P ( ) (3/) 3,33 (3/) 3 M 6,66 (3/) (/) M 33

34 5. Distribució de la variable aleatoria media muestral Sea la media muestral de ua muestra aleatoria de observacioes de ua població que tiee ua media µ y ua variaza. E ese caso: i i. La distribució de e el muestreo tiee la media E ( ) µ La media de la distribució de las medias muestrales e el muestreo es la media poblacioal. Si se extrae repetida e idepedietemete muestras de observacioes aleatorias e idepedietes de ua població, etoces a medida que aumeta el úmero de muestras, la media de las medias muestrales se aproxima a la verdadera media poblacioal.. Si la població es muy grade e comparació co el tamaño de la muestra, las distribucioes de los miembros de muestras aleatorias so aproximadamete idepedietes etre sí. Etoces, la distribució de e el muestreo tiee la desviació típica que se llama error típico de. 34

35 La desviació típica de la distribució de e el muestreo dismiuye a medida que aumeta el tamaño muestral. Cuato mayor es el tamaño de la muestra, más cocetrada está la distribució e el muestreo. 3. Si el tamaño de muestra o es pequeño e comparació co el tamaño de la població N (N<50.000) y los miembros de la muestra o está distribuidos idepedietemete uos de otros (muestreo si reemplazamieto), el error típico de es siedo N N N N el deomiado multiplicador de població fiita o factor corrector de poblacioes fiitas. Cuado se muestrea ua pequeña fracció de la població etera (es decir, cuado el tamaño de la població N es muy grade e relació co el tamaño de la muestra ), el multiplicador de població fiita toma u valor cercao a. Se suele referirse a N como la fracció de muestreo, porque es la fracció de la població N coteida e la muestra. Cuado la fracció de muestreo es pequeña, el error estádar de la media para poblacioes fiitas es ta cercao a la media para poblacioes ifiitas que se puede utilizar la misma fórmula para ambas desviacioes. La regla geeralmete aceptada es: si la fracció de muestreo 35

36 es meor a 0,05 o es ecesario usar el multiplicador de població fiita. Para acer más pequeña sólo es ecesario agradar. E cosecuecia, resulta que el tamaño absoluto de la muestra (y o el de la fracció de la població muestreada) es el que determia la precisió del muestreo. Obteer ua muestra de más elemetos dismiuye el error estádar, el icremeto de la precisió puede o valer el coste ocasioado (utilidad decreciete). E la mayoría de las aplicacioes, la media y la variaza defie la distribució e el muestreo. Estos resultados de la media y la variaza de la distribució e el muestreo se aplica a cualquier distribució de probabilidad que defie la pauta de los valores existetes e la població. 4. Si la distribució de la població de la que procede la muestra es ormal y, por lo tato, la distribució de las medias muestrales e el muestreo es ormal, la variable aleatoria Z µ µ sigue ua distribució ormal estádar de media 0 y de variaza. 5. Si la distribució de la població o es ormal, pero es grade ( 30), etoces por el teorema cetral del 36

37 límite, la media sigue ua distribució aproximadamete ormal. ~ N µ, ~ N µ, µ, y 30 ~ N µ, Si ( ) Si ( ) ~ Las iferecias basadas e la media muestral so robustas co respecto al supuesto de la ormalidad. Resumiedo, si tomamos todas las muestras aleatorias posibles de ua població y para cada ua calculamos su media:. La media de las medias es exactamete igual a la media de la població.. La dispersió de la distribució muestral de medias es más estreca que la distribució de la població. 3. La distribució muestral de medias suele teer forma de campaa y se aproxima a la distribució de probabilidad ormal. 37

38 Ejemplo. Teemos ua població co ua distribució ormal de media igual a 00 y desviació típica igual a 5. Etoces ~ N 00, 5 Dibujamos para 5 y 00 38

39 6. Distribució de la variable aleatoria variaza muestral Sea,,, K ua muestra aleatoria de observacio- es procedetes de ua població que tiee variaza catidad S i ( ) i. La Se llama cuasivariaza muestral y su raíz cuadrada, S, se llama cuasidesviació típica muestral. Etoces. La distribució de S e el muestreo tiee ua media E ( S ). El valor esperado de la cuasivariaza muestral es la variaza poblacioal. Se cumple cuado el tamaño de la muestra es ua pequeña proporció del tamaño de muestra de la població N.. La variaza de la distribució de S e el muestreo depede de la distribució de la població subyacete. Si esta distribució es ormal, etoces Var ( S ) Si la distribució de la població es ormal, etoces ( ) S ( i ) i se distribuye como ua χ ( ).

40 Distribució χ de Pearso Sea variables aleatorias idepedietes distribuidas como N(0,). Se defie y se deomia Z,, K, + + L χ cetral, siedo el úmero de variables aleatorias que la itegra y el úmero de grados de libertad. La distribució se defie úicamete para valores positivos, ya que las variazas so todas ellas valores positivos. La fució de desidad de la ci-cuadrado es asimétrica y tiee ua larga cola positiva. La distribució χ está tabulada ( χ ) E Var( χ ) El cuartil χ α es el valor de la distribució tal que P ( χ > χ α ) α -a a 40

41 Propiedad aditiva o reproductiva. Sea y variables aleatorias idepedietes co distribucioes χ y χ. La variable aleatoria suma tiee distribució ci-cuadrada co + grados de libertad. Sea Z +, se distribuye como χ. + Covergecia a la distribució ormal. La distribució coverge a ua distribució N( ) es buea cuado 30. (, ) χ N χ,. La aproximació Si teemos ua muestra aleatoria procedete de ua població que sigue ua distribució ormal, podemos acer iferecia sobre la variaza muestral utilizado S y la distribució ci-cuadrado. Las iferecias basadas e variazas muestrales o so robustas respecto al supuesto de la ormalidad. Si sólo se dispoe de u úmero moderado de observacioes muestrales, la existecia de serias desviacioes co respecto a la ormalidad e la població de la que procede la muestra puede ivalidar gravemete las coclusioes del aálisis. 4

42 Gráfico co distribucioes χ co diferetes grados de libertad. 4

43 7. Distribucioes e el muestreo e ua població ormal Si la distribució poblacioal es ormal co variaza igual a, etoces la variable aleatoria ( ) S ( i ) i Se distribuye como ua χ. Esta distribució es útil para realizar costrastes sobre la variaza de ua població ormal. Si la distribució poblacioal es ormal co media igual a µ, etoces la variable aleatoria Se distribuye como ua t. µ S Esta distribució es útil para realizar estudios sobre la media e ua població ormal co variaza descoocida. Si e vez de utilizar las cuasivariazas muestrales utilizáramos las variazas muestrales: S ~ χ µ S ~ t 43

44 Distribució t de Studet co grados de libertad Sea,,,, K, ( + ) variables aleatorias idepedietes co distribució N(0,). Se defie la distribució t co grados de libertad como t + + L + o bie, es el cociete etre ua N(0,) y ua idepedietes. χ Varias t de Studet comparadas co ua N(0,): 44

45 La distribució t está tabulada E ( t ) Var 0 () t El cuartil α / t es el valor de la t de Studet tal que: ( t > t α ) / P / α a/ -a a/ La distribució t o depede de la variaza de las variables que la itegra. Covergecia a la distribució ormal: La distribució t coverge a ua distribució N(0,). La aproximació es buea cuado 30. t N( 0, ) 45

46 Teorema cetral del límite (teorema del límite cetral) El teorema cetral del límite establece que, para muestras aleatorias grades, la forma de la distribució muestral de medias se aproxima a ua distribució de probabilidad ormal. La aproximació es más precisa para muestras de gra tamaño que para muestras pequeñas. Se puede razoar acerca de la distribució muestral de medias si igua iformació sobre la forma de la distribució de la població de la que se toma la muestra. El teorema cetral del límite es verdadero para todas las distribucioes. Teorema cetral del límite: Si todas las muestras de u tamaño e particular se seleccioa de cualquier població, la distribució muestral de medias se aproxima a ua distribució ormal. Esta aproximació mejora co muestras más grades. Si la població sigue ua distribució de probabilidad ormal, etoces para cualquier tamaño de muestra la distribució muestral de medias tambié será ormal. Si la distribució de la població es simétrica (pero o ormal), surge la forma ormal de la distribució muestral de medias co muestras pequeñas (por ejemplo, 0). Si se empieza co ua distribució co sesgo, o que tiee colas o extremos gruesos, es posible que se requiera muestras de 30 o más para observar la característica de ormalidad. E geeral, ua muestra de 30 o más es lo suficietemete grade para utilizar el teorema cetral del límite. 46

47 La distribució de muestreo seguirá ua distribució ormal e dos codicioes:. Cuado las muestras se toma de poblacioes que se sabe sigue la distribució ormal. E este caso el tamaño de la muestra o es u factor.. Cuado o se cooce la forma de la distribució de població o se sabe que es aormal, pero la muestra cotiee por lo meos 30 observacioes. 47

48 8. Distribució de la proporció muestral Sea el úmero de éxitos e ua muestra biomial de variables cuyo parámetro es p. El parámetro es la proporció de miembros de la població que tiee ua característica de iterés (proporció de cosumidores, proporció de votates a u determiado partido político, ). Dado que b(, p) ~ : E ( ) p ( ) p ( p) Var La proporció muestral es P es la suma de u cojuto de variables aleatorias de Beroulli idepedietes, cada ua de las cuales tiee ua probabilidad de éxito p. Por lo tato, P es la media de u cojuto de variables aleatorias idepedietes. Puede utilizarse el teorema cetral del límite para sosteer que la distribució de probabilidad de P puede cosiderarse ua variable aleatoria que sigue ua distribució ormal. Sea P la proporció muestral de éxitos e ua muestra aleatoria extraída de ua població e la que la proporció de éxitos es p. E este caso. La distribució de P e el muestreo tiee media p. E ( P) p 48

49 . La distribució de P e el muestreo tiee ua desviació típica P p ( p) Si N es pequeña y es muestreo si reemplazamieto: P N N p ( p) 3. Si el tamaño de la muestra es grade, la variable aleatoria Z P está distribuida aproximadamete como ua ormal estádar. Esta aproximació es buea si p P p ( p) > 9 El error típico de la proporció muestral, P, dismiuye a medida que aumeta el tamaño de la muestra y la distribució está más cocetrada. Este resultado es de esperar, ya que la proporció muestral es ua media muestral. Cuado el tamaño de muestra es mayor, las iferecias sobre la proporció poblacioal mejora. 49

50 Ejemplo. Si P 0,80 y para 00 y

51 9. Variables muestrales para estudios comparativos. Diferecia de medidas. Cociete de variazas 3. Diferecia de proporcioes Diferecia de medias Esta distribució es útil para estudiar si dos poblacioes o grupos so diferetes e su comportamieto medio. Por ejemplo, para estudiar si existe diferecias sigificativas etre el gasto medio e u producto e dos regioes. Teemos dos muestras idepedietes: Població N( µ, ) Població Y N( µ, ) ~ muestra de tamaño ~ Y Y muestra de tamaño Y Si se trata de dos poblacioes ormales de variazas coocidas. Etoces: Y ( µ µ ) + Y Y Y ~ N ( 0, ) 5

52 Si se trata de dos poblacioes ormales de variazas descoocidas pero iguales. Y Etoces: + y Y ( µ Y ) ( ) S + ( ) µ + Y Y S Y ~ t + Y Cociete de variazas Esta distribució es útil para realizar estudios comparativos sobre la dispersió o eterogeeidad de dos poblacioes ormales. Teemos dos muestras idepedietes: Població N( µ, ) Població Y N( µ, ) Etoces: ~ muestra de tamaño ~ Y Y muestra de tamaño Y S S Y Y S Y ~ F, Y S Y 5

53 Diferecia de proporcioes Esta distribució es útil para estudiar si e dos poblacioes o grupos existe la misma proporció de ua característica. Por ejemplo, para estudiar si la proporció de cosumidores o de votates a u partido es la misma e dos regioes o e dos categorías de edad. Teemos dos muestras idepedietes: Població ~ (, p ) Població ~ (, p ) b muestra de tamaño Las proporcioes muestrales será: b muestra de tamaño P P Si > 30 y > 30, etoces: P P ~ N p p, p ( p ) p ( p ) + 53

54 Distribució F de Sedecor co y grados de libertad Sea ua variable aleatoria co distribució χ e Y ua va- χ. Si e Y so idepe- riable aleatoria co distribució dietes, la variable aleatoria Y Y tiee distribució F cetral co grados de libertad e el umerador y e el deomiador. Es el cociete etre distribucioes χ idepedietes divididas etre sus respectivos grados de libertad. La distribució F está tabulada E ( F ) cuado > ( ) ( + ) Var F cuado 4 4 > ( )( ) Si ~ F,, etoces ~ F, F t, 54

55 El cuartil F es el valor de la F de Sedecor tal que:,, α P ( F >,α ) α F, α α A cotiuació se preseta ua serie de distribucioes F de Sedecor co diferetes grados de libertad. 55