CAPITULO 1 DEFINICIONES GENERALES

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1 CAPITULO DEFINICIONES GENERALES Se ha defdo la Estadístca como la rama de las matemátcas que trata de los datos: su complacó, aálss e terpretacó. Ua defcó más modera, declara que la Estadístca es la ceca de la toma de decsoes frete al azar e certdumbre cuado la formacó es mperfecta y o be comportada. La estadístca es ua ceca que srve para la recoplacó orgazacó, y aálss de datos; puede decrse además que es la rama de las matemátcas que se ecarga de eseñar las reglas para colectar, presetar y aalzar los datos al repetr varas veces u expermeto. E la actualdad, la estadístca ha llegado a ser u strumeto de uso cotdao para todos los profesostas que está e cotacto co feómeos de aturaleza aleatora, y que a partr del coocmeto de certos datos cuattatvos del feómeo y que debe tomar decsoes sobre su comportameto geeral. Etre otras de las aplcacoes que se tee de la estadístca, se puede ctar las sguetes: Presetar e forma ordeada y resumda la formacó regstrada e ua ecuesta, etrevsta, cuestoaro, etc. Proostcar el comportameto futuro del mercado de la madera aserrada e Méxco. Establecmeto de los sstemas de cotrol de caldad, e cualquera de los regloes de la ecoomía acoal. Proostcar el cosumo de la eergía eléctrca para el año 050, tomado como base el crecmeto poblacoal.

2 Establecer relacoes de comportameto del recurso forestal maderable de ua regó específca y a partr de ésta formacó, geerar polítcas de explotacó, e fucó de uso de recurso. Para su estudo, la Estadístca se dvde e:.. ESTADISTICA DESCRIPTIVA Y ESTADISTICA INFERENCIAL. La Estadístca Descrptva se ecarga de la recoplacó, orgazacó, resume y presetacó de los datos umércos obtedos de la observacó de u feómeo, o trata de sacar coclusoes a partr de los datos obtedos del feómeo o de la poblacó e estudo (es ua fotografía del expermeto bajo las codcoes y tempo que se da e le mometo del aálss). La Estadístca Iferecal tee por objeto, obteer coclusoes probables sobre el comportameto geeral del feómeo, a partr de alguas observacoes partculares del msmo; mplca además el aálss pleo de los datos para poder ferr sobre los msmos, así como dar respuesta al qué pasa s?. Elemetos Báscos e u Problema Estadístco El objetvo de la Estadístca es hacer ferecas (predccoes, decsoes) a cerca de ua poblacó, sobre la base de formacó coteda e la muestra. PUNTOS BÁSICOS DE UN PROBLEMA ESTADÍSTICO. Defcó clara del objetvo del expermeto y de la poblacó a aalzar.. El dseño del expermeto o procedmeto de muestreo. 3. La recoleccó y aálss de datos

3 4. Procedmeto (s) para hacer referecas acerca de la poblacó, basado e la formacó muestral. 5. La Provsó de ua medda de bodad (cofabldad) para la fereca. Es muy mportate e u estudo estadístco segur la secueca presetada, esto garatza la realzacó de u aálss efcete y efcaz. Icalmete será tratada la Estadístca Descrptva e éste apartado, dejado para trabajos posterores el caso de la Estadístca Iferecal. Para car u estudo de Estadístca Descrptva, es ecesaro el coocmeto de los coceptos báscos ctados a cotuacó: Recoplacó: es u proceso que mplca la captacó de datos de u expermeto estadístco que permte explcar el comportameto de u feómeo determado. Expermeto: se le deoma expermeto, a cualquer proceso de observacó, cuado éste se realza varas veces y es posble obteer u grupo de resultados llamados datos u observacoes. Así msmo es expresado como todo proceso capaz de geerar formacó. Poblacó (N): está dada como u cojuto de objetos llamados comúmete elemetos, que tee e comú ua o varas característcas partculares que se desea estudar esta puede ser fta o fta. Muestra (): es defda como u subcojuto de la poblacó. S la msma es seleccoada y obteda adecuadamete se tee que el subcojuto de elemetos de la poblacó (o muestra) represeta todas las característcas de los objetos más que a los objetos msmos. De lo ateror se tee que ua poblacó podrá defrse como el cojuto 3

4 de árboles que se ecuetra e la Regó de la Meseta Tarasca, la totaldad de vehículos que crcula e la Cudad de Morela, Mch., la totaldad de torres de dstrbucó de eergía eléctrca staladas e el Mucpo de Morela, la totaldad de poblacó que habta e la Cudad de Uruapa; la totaldad de empresas del Estado de Mchoacá, por ejemplo, para el prmer caso ctado, la característca específca del estudo podría ser la determacó de las característcas tecológcas de las especes forestales maderables exstetes e la regó, para su uso como elemetos estructurales e la costruccó; para el caso ua muestra estaría dada como u pequeño úmero de árboles seleccoados al azar, a los que se les hace dferetes pruebas, para coocer sus característcas tecológcas. La seleccó de la muestra es ua etapa muy mportate detro del estudo estadístco, debdo a que la formacó que preseta la muestra es la base para hacer suposcoes o ferecas sobre lo que ocurre e la poblacó. S e el caso de la poblacó de los árboles, ctado aterormete, se hubera seleccoado 5 árboles co edades pequeñas co respecto al estádar de la poblacó, posblemete los resultados obtedos e o referete a ressteca mecáca a la flexó sea bajos y la recomedacó sería o utlzar éstas especes como elemetos estructurales, cuado e realdad lo que sucede es que la muestra tomada o es represetatva de la poblacó e estudo, y tal vez lo más seguro es que la recomedacó fal sería aplcar las especes de la regó Meseta Tarasca como elemetos estructurales. Lo ateror mplca que el muestreo que se sguó o fue el adecuado y, e cosecueca, la muestra o sería represetatva de la poblacó, así como ua recomedacó fal o adecuada. Para que ua muestra sea represetatva de la poblacó, se debe establecer u proceso de muestreo e el que todos los elemetos de la poblacó tega la msma posbldad de ser seleccoados y, cuado sea posble, que la seleccó de cada elemeto sea depedete de las demás. Lo ateror sgfca que al elegr los elemetos de ua muestra o debe de haber prefereca por alguo de ellos, debe seleccoarse e fucó de lo 4

5 que se observe e los aterores. Para obteer ua muestra represetatva, exste dferetes téccas, etre las cuales se ecuetra las sguetes:.. TIPOS DE MUESTREO Muestreo Aleatoro: este tpo de muestreo cosste e formar ua lsta de todos los elemetos de la poblacó, eumerarlos y hacer la seleccó medate la geeracó de úmeros aleatoros co ua dstrbucó uforme. Para geerar úmeros aleatoros co dstrbucó uforme se puede usar ua tabla de dígtos aleatoros, o medate la aplcacó de ecuacoes de recurreca, dseñadas para tal f. Los obtedos de ésta últma forma se deoma úmeros pseudoaleatoros, debdo a que co el msmo valor cal, se obtee la msma secueca de úmeros. El muestreo aleatoro es recomedable cuado la poblacó es umerable. Muestreo Sstemátco: e éste tpo de muestreo també se elabora ua lsta co los elemetos de la poblacó, pero e lugar de seleccoarlos de forma aleatora, se recorre la lsta y se va seleccoado cada k-ésmo elemeto, cado aleatoramete co uo de los prmeros k. El muestreo sstemátco es más secllo de aplcar que el ateror. S embargo tee la lmtacó de o poderse aplcar a poblacoes demasado grades, tampoco cuado los datos preseta perodcdad, puesto que ésta puede cocdr co el período de seleccó k. Muestreo Estratfcado: e ésta técca, la poblacó se dvde e clases o estratos para hacer posterormete ua seleccó, que puede ser aleatora o sstemátca detro de cada estrato. La defcó de cada clase debe ser sufcetemete clara para evtar que uo de los elemetos se pueda ubcar e dos clases dferetes. 5

6 El úmero de elemetos que se seleccoa de cada clase puede ser proporcoal al tamaño del estrato cuado la dfereca etre ellos es muy grade, o puede ser guales cuado el tamaño de los estratos es semejate. Muestreo por coglomerados: Es semejate al muestreo estratfcado, e el setdo de defr grupos de elemetos, s embargo, esta técca se aplca cuado la poblacó es homogéea y exste grupos ya defdos. Debdo a la homogeedad de la poblacó, o se requere seleccoar elemetos de todos los coglomerados y, e ocasoes, es sufcete co seleccoar uo de los coglomerados co todos sus elemetos. Para realzar la seleccó por coglomerados, se puede utlzar el muestreo aleatoro, cosderado grupos e lugar de elemetos dvduales. 6

7 CAPITULO DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS DE UNA MUESTRA.. TABULACION DE DATOS. E la etapa cal se lleva a cabo la captacó de formacó, es comú que los datos obtedos e la muestra se ecuetra desordeados por lo que es dfícl obteer formacó que proporcoe a pror el comportameto de la poblacó drectamete, a través de ellos. Ua forma atural de ordearlos es de maera ascedete o descedete, sobre todo cuado la msma es pequeña. S embargo, cuado se trata de ua muestra grade, el procedmeto ateror se hace muy laboroso s embargo ua vez ordeada la muestra resulta más fácl su maejo. Del cojuto de datos, alguos úmeros sólo se preseta ua vez y otros se repte varas veces. S se eumera los resultados e el orde e que ocurre, se dce que sgue la forma de datos o agrupados, lo cual permte estudar la secueca de los valores, esto es, los valores altos o bajos, y a partr de ahí, descubrr alguas de las causas de varacó, por ejemplo regstro de veta de juguetes educatvos, útles escolares, veta de árboles de Navdad, se observará que su comportameto es cíclco. Así msmo, como vehículo de explcacó de la tabulacó de datos, se cosdera los resultados obtedos de la medcó de 80 pezas de madera que fuero seleccoadas de ua bodega, para realzar aálss de comportameto de las característcas de vetaro de la msma, referete a las meddas que más se maeja e la empresa. El regstro de la formacó es mostrado tal como se fuero realzado las medcoes, cado por el prmer valor de la prmera columa co la secueca ( 50., 50.6, 50.7, 5.,..., 5.3). 7

8 TABLA.0: Medcó de 80 tablas de Pus Spp. logtud (cm) AGRUPAMIENTO DE FRECUENCIAS. Para el caso cuado el úmero de datos maejados e el expermeto es muy grade y se preseta la ocurreca de u msmo dato umérco más de ua vez, a los msmos se les preseta e ua tabla a la que se le llama tabla de frecuecas (Dstrbucó de frecuecas) de datos agrupados. Al úmero de veces co que se repte u resultado e u lote de datos se le deoma frecueca (f). Como ejemplo lustratvo se preseta los resultados de u expermeto realzado e toro a la obtecó del dámetro e (cm.) de 8 árboles del Vvero Lázaro Cárdeas de Morela, Mch., (zoa reforestada). Después de hacer el ordeameto de datos, se observa que certas meddas de dámetros se repte más de ua vez como se muestra e la sguete tabla. TABLA.: Medcó de dámetro de 8 árboles (cm.) MEDICION ( X ) FRECUENCIA ( f )

9 La medcó expresada e forma gráfca es dada como: f x FIG.: DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS La secueca básca para hacer la clasfcacó ateror es la sguete: Elaboracó de la tabla de datos de observacoes de u expermeto. Ordeameto de los datos e fucó de la frecueca de ocurreca de cada resultado, e el que se observa la repetcó co que ocurre u resultado del expermeto (dato) y se preseta la forma tabular, como se muestra e la tabla.. Cuado so maejadas más de 40 observacoes, es útl emplear ua represetacó más compacta, ordeádolos e clases o categorías y determado el úmero de dvduos que perteece a cada clase, los tervalos de clase comúmete so de la msma ampltud y el úmero de elemetos cludos e cada clase recbe el ombre de frecueca de clase. 9

10 Co el procedmeto de ordeameto e clases, geeralmete se perde parte del detalle orgal de los datos, pero tee la partculardad de presetarlos todos e u cuadro secllo que faclta el hallazgo de las relacoes que puede haber etre ellas; suele ser coveete usar de 5 a 5 tervalos de clase. S se utlza demasados tervalos de clase, las frecuecas de clase so bajas y el ahorro de cálculos es pequeño. Por el cotraro co muy pocos tervalos de clase se puede ocultar el verdadero carácter de la dstrbucó y perder la formacó. E este tpo de aálss se seleccoa tervalos tomado e cosderacó que gú resultado caga e el límte (o frotera) de clase. Los coceptos báscos de clasfcacó de tervalos de clase so los sguetes:...- RANGO DE LA MUESTRA (R): Se defe como la dfereca exstete etre el mayor y el meor valor del cojuto de elemetos (muestra) e estudo....- FRECUENCIA (f): Se expresa como el úmero de veces que aparece u valor determado detro de u cojuto de datos INTERVALOS DE CLASE (I c ): Cuado se dspoe de u gra úmero de datos ordeados, será útl dstrburlos e grupos a los que se les llama clases. Para ordear el cojuto de datos de la muestra, se clasfca e varos tervalos, deomados tervalos de clase. 0

11 La fjacó de los tervalos de clase depede del crtero del aalsta, auque se recomeda tomar e cueta lo sguete: " El úmero de tervalos que se puede establecer depede de la catdad de datos que cotee la muestra (tamaño de la muestra) y de la dspersó o varacó de los msmos." Para aálss estadístco es recomedable establecer etre 5 y 5 tervalos de clase, tratado que o quede tervalos vacíos detro del rago de valores. Se debe teer cudado e la fjacó de los límtes de cada tervalo para evtar, por u lado, la posbldad de que u msmo elemeto perteezca a dos tervalos dferetes y, por otro, que la magtud de los tervalos sea dfícl de maejar. Por ejemplo s ua dstrbucó de datos tee u rago de 30 y se seleccoa para hacer el aálss 6 clases; es decr, se va a dvdr el grupo de datos e 6 subgrupos. "El tervalo de clase está dado como el rago o recorrdo de ua clase"; al dstrbur ua poblacó e clases, se busca que todos los tervalos de clase sea guales: e fucó del caso ctado aterormete el tervalo de clase será 5. La determacó del úmero de clases (k): puede ser establecdo, de acuerdo co la expereca del aalsta o be depededo del objetvo que se pretede e el estudo, s embargo u crtero coservador empleado para su defcó es hacer uso de la regla de Sturges, la cuál es represetada como se muestra a cotuacó: K Log.() Dode K represeta el úmero de tervalos de clase y () es el úmero de valores del expermeto, cojuto de datos, el tamaño de la muestra o poblacó. La respuesta que se obtega aplcado la regla de Sturges o debe

12 cosderarse como fal, so solo como ua guía. El úmero de tervalos de clase especfcado por la regla debe aumetarse o dsmurse segú covega y e beefco de ua presetacó clara de la formacó e aálss. Otro aspecto mportate de decdr el tervalo de clase, este se refere a la ampltud o varacó de la clase. Auque a veces es mposble defrlo adecuadamete, por lo geeral, los tervalos de clase debe de ser de ampltudes guales. Esta ampltud puede determarse, dvdedo el recorrdo de la clase (rago) (R) etre (K), la determacó del úmero de tervalos de clase se expresa como: Dode: I c Ic Itervalo de clase (varacó de clase) R Rago K Número de clases Para mostrar el caso, se usará como vehículo de explcacó el ejemplo ctado aterormete de la medcó de 80 tablas de madera, para ello la tabla de dstrbucó de frecuecas, estará dada como se muestra: TABLA.: Ordeameto y clasfcacó de datos por clases R K INTERVALOS DE CLASE LIMITES DEL INTERVALO MARCAS DE CLASE ( MC ) FRECUENCIA f FRECUENCIA RELATIVA FRECUENCIA RELATIVA ACUM. F f

13 Refrédoos a la tabla., u tervalo de clase está dado por ejemplo ( ), los úmeros extremos so 49.0 y 49.9 y se les cooce como límtes de clase (49.0: límte feror de clase y 49.9: límte superor de clase). Otro tpo de tervalo de clase maejado e muchos casos se le cooce como tervalo de clase aberto; está defdo como aquel tervalo que o tee límte superor o feror, por ejemplo: Las persoas mayores de 65 años e el mudo. Las tablas mayores de mts. de largo de la produccó del de Vlla Madero, Mch. aserradero Los vehículos de Méxco que crcula a más de 40 km/hr. Empresas co veles de utldad eta mayores de 9 mlloes auales. Los estudates co calfcacó mayor de 6 e el mudo LIMITES REALES DE CLASE Para ua explcacó de este cocepto, se tomará como base los resultados arrojados de la medcó de velocdad e el Km. 8 de la carretera Morela Patzcuaro de los vehículos que pasa e la prmera semaa del mes de Septembre de 005. TABLA.3: Velocdad Regstrada km./hr. Clases (K) Iterválos de Clase Frecueca (f )

14 Total 00 S la velocdad se regstra co ua aproxmacó de km/hr. (tabla.3); el tervalo de clase (60-6) teórcamete cluye todas las medcoes, desde 59.5 hasta 6.5; estos úmeros so coocdos como límtes reales de clase o límtes verdaderos de clase, (59.5 límte real feror; 6.5 límte real superor). Para la obtecó de los límtes reales de clase es recomedable tomar e cueta las sguetes reglas practcas: Cuado se trate de úmeros eteros, réstese 0.5 al límte feror de clase y súmese 0.5 al límte superor de clase. Cuado se trata de úmeros fraccoaros tómese e cueta; s la catdad de dígtos decmales sgfcatvos es, tómese 0.05, lo cuál garatza que o caga u posble (valor resultado del expermeto) e el msmo límte de clase..3.- TAMAÑO O ANCHURA DE UN INTERVALO DE CLASE El tamaño o achura de u tervalo de clase es la dfereca etre los límtes reales de clase que lo forma y se cooce como achura de clase, tamaño de clase o logtud de clase, Matemátcamete está dado como: Dode: IC Itervalo de clase LSC Límte superor de clase LIC Límte feror de clase IC LSC - LIC 4

15 .4.- MARCA DE CLASE Es el puto medo del tervalo de clase y se obtee sumado el límte feror co el superor de la clase y dvdédolo etre. Se cooce també como puto medo de la clase. Matemátcamete está dada como: MC LSC + LIC Dode: MC Marca de clase LSC Límte superor de clase LIC Límte feror de clase Para aálss matemátcos posterores se debe teer presete, que s los datos compreddos e u tervalo se dstrbuye de ua forma uforme, se cosdera que el puto medo del tervalo, puede represetar a todos los valores de la muestra que se ecuetra e él. A dcho puto se le deoma marca de clase, e la tabla. se cta como (MC ). Al úmero de elemetos de la muestra que perteece a u tervalo de clase () se le llama frecueca del tervalo, y se represeta como (f ) La suma de las frecuecas deberá ser gual al úmero total de elemetos de la muestra de tamaño ; matemátcamete está dada como: m f Dode: f frecueca de ocurreca de u elemeto para la clase ;,, 3,...,m. Tamaño de la muestra. 5

16 m Número de tervalos de clase..5.- FRECUENCIA RELATIVA Al cocete de la frecueca etre el úmero total de datos muestrales se le llama frecueca relatva y se represeta como (f' ) es expresada como : f f N a Dode: f ' frecueca relatva e. f frecueca de ocurreca del eveto. tamaño de la muestra N a Número de veces que se repte el eveto (a). Represeta la clase,,..., m. La frecueca relatva de u tervalo de clase se puede terpretar como la proporcó de datos que se ecuetra e el tervalo correspodete..6.- FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA Se defe como la suma de las frecuecas relatvas hasta el -ésmo tervalo, co lo cual se cumple que: F j f j Dode: j,, 3,...,,, 3,..., 6

17 A la frecueca relatva acumulada, cuado es presetada de ua forma gráfca comúmete se le llama ojva; dcha frecueca está dada como la frecueca total de todos los valores meores que el límte real superor de clase e u tervalo de clase dado y a su vez, se le cooce como frecueca acumulada hasta ese tervalo de clase clusve. Gráfcamete el ejemplo ctado e la tabla.., es expresado como: Frecueca acumulada Itervalos de clase FIG.: FRECUENCIA ACUMULADA.7. DISTRIBUCIONES EMPIRICAS Para la determacó de la fucó de dstrbucó de probabldad de ua varable aleatora que represeta el comportameto de u feómeo (expermeto) o el modelo probablístco teórco más aproxmado a ella, es útl costrur la gráfca de las frecuecas, frecuecas relatvas o frecuecas relatvas acumuladas. 7

18 Para represetar la frecueca o las frecuecas relatvas se usa geeralmete el hstograma y el polígoo de frecuecas. E el hstograma; la frecueca se cosdera costate e todos los putos de cada tervalo de clase, por lo que se represeta como ua sucesó de rectágulos del msmo acho y cuyas alturas correspode a las frecuecas o a las frecuecas relatvas acumuladas de los tervalos correspodetes. Polígoo de Frecuecas: es u gráfco de líea trazado sobre las marcas de clase, puede obteerse a través de los putos medos de los techos de los rectágulos e el hstograma, esta presetacó es otro tpo de gráfco que muestra la dstrbucó de frecuecas. Para su costruccó se marca sobre el msmo sstema de ejes del hstograma ua sucesó de putos, cuyas abscsas so las marcas de clase y las ordeadas so las frecuecas o las frecuecas relatvas correspodetes. Posterormete se ue medate rectas todos los putos cosecutvos. Para cerrar el polígoo de frecuecas e los extremos, se cosdera otros tervalos co frecueca cero, es decr e la prmera clase se cosdera el límte feror de esta como puto de co y e el cerre fal él lmte superor de la últma clase. Por la ley de los grades úmeros, la frecueca relatva de cada tervalo de clase se puede cosderar como ua aproxmacó de la probabldad de que la varable aleatora tome u valor detro del tervalo de clase y, por cosguete, el polígoo de frecuecas se puede cosderar como ua aproxmacó de la fucó de desdad de probabldad. A vel de resume del capítulo, ua forma de ejemplfcar las dferetes gráfcas ctadas y el proceso de solucó de u problema hasta esta etapa está dado por el ejemplo sguete: 8

19 Ejemplo: E u bosque del Estado de Mchoacá de Pus leophylla para su aálss slvícola y de aprovechameto se ha tomado ua muestra de 80 árboles a los cuales medate las téccas de Pressler se determó la edad de los sujetos y que a cotuacó se elsta. Se desea establecer ua polítca de aprovechameto dustral co la faldad de que la empresa maderera W determe las posbldades reales de utldad de acuerdo co los volúmees susceptbles de explotar e cada rago damétrco, las meddas de los árboles está e cetímetros. Tabla de Datos METODOLOGIA DEL ANALISIS Se determa el úmero de clases factbles de obteer co la muestra que se ha tomado de 80 árboles, esto puede hacerse a través de expereca, o be para saber cuátos úmeros de clases se tee se tomará como base la regla de Sturges, dada como: k log() 9

20 Dode: k Número de clases Tamaño de muestra usada. k log(80) 7.8 Para el caso será tomada ua k 7.0, debdo a que o es posble tomar fraccoes de clase. Se determa la ampltud del rago; magtud del tervalo, para hacer posbles las 7 categorías; este cocepto es coocdo també como ampltud de clase, puede ser obtedo como: R V s - V Dode: R Rago de clase (ampltud de clase) V s Valor mayor de la muestra. V Valor meor de la muestra. R El tervalo de clase, está dada como: Dode: Ic Itervalo de clase R Rago R I c k 0

21 k Número de clases I c De lo ateror se tee que se puede establecer 7 clases co ua ampltud de ellas de 0 udades de edad. Determacó de frecuecas. Estas está dadas como: TABLA.4: Dstrbucó de frecuecas K INTERVALOS DE CLASE FRECUENCIA VAL.MED. DE CLASE FRECUENCIA RELATIVA % DE MUESTRA TOTALES E el aálss se usa los límtes reales de clase. La frecueca más alta se obtuvo e la clase 5 de la tabla, por lo cual es el rago más recomedable de explotacó e la prmera etapa, debdo a que es el tpo de recurso más abudate. Represetacó gráfca de la formacó a través de u hstograma; éste es dado como se muestra:

22 Fg. 3: Hstograma Represetacó gráfca a través de u polígoo de frecuecas del problema ctado. Este se costruye hacedo uso de las marcas de clase. Frecueca (f) Marca de clase FIG.4: POLÍGONO DE FRECUENCIAS

23 De la gráfca ateror se observa que los volúmees más abudates de recurso a explotar está cocetrados e los ragos damétrcos de cm, lo que e la practca abre cualquer posbldad para hacer aálss faceros y evaluar su vabldad técco ecoómca y decdr s se realza dcha explotacó forestal y poder procesar dustralmete ese recurso, debdo a que este rago damétrco es la base para obteer cualquer medda comercal de madera aserrada, así como elemetos estructurales etre otros por ctar alguos. 3

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25 CAPITULO 3 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL La parte fudametal para que sea tratadas las meddas de tedeca cetral es el coocmeto de la otacó matemátca empleada e su represetacó, ésta es expresada geeralmete como: 3.. NOTACION SUMATORIA. El símbolo j X se utlza para expresar la suma de las X j dode, (j) toma j valores dados como, j,,...,, de forma geeralzada se expresa como. j X X + X + X X j 3 ( ), deota la operacó de sumar matemátcamete. Por ejemplo: X Y X Y + X Y + X Y X 3 3 Y Dode:,, 3,..., 5

26 Ejemplo: AY AY + AY + AY AY A(Y + Y A Y + Y Y ) Dode: A es ua costate. Regla para el caso de ua costate: Dode: N C costate N úmero de veces que se repte C. C NC Expresado lteralmete; esto quere decr que la sumatora de ua costate, será gual a la costate multplcada por el úmero de térmos expresado e la sumatora. La tedeca cetral es ua medda basada e cálculo de promedos, que srve para descrbr el puto sobre el cual se agrupa o cae los dversos valores observados. 6

27 3.. PROMEDIOS. Los promedos se suele emplear e la vda dara para proporcoar ua represetacó típca de u grupo e su totaldad, posblemete como base para la comparacó co otros, los valores promedos obtedos será tomados como valores estádar para hacer cualquer estudo de Bechmarkg e el aálss empresaral de que se trate. Los promedos so coocdos també como meddas de tedeca cetral, las más represetatvas está dadas como: Meda Artmétca Meda Geométrca Meda Armóca Medaa Moda Co estas meddas se busca u valor que pueda represetar a toda la muestra, por ecotrarse e el cetro de ella, por lo que será u valor estádar para hacer cualquer aálss de comparacó MEDIA ARITMETICA La meda es el tpo de promedo más comú, está dado como u valor tal que la suma de las desvacoes o dferecas etre cada ua de las observacoes y dcho valor es cero; por lo que la Meda Artmétca de u cojuto de () observacoes (X, X, X 3,..., X ) para el caso de aálss putual, es gual a la suma de las observacoes dvdda etre (). 7

28 Matemátcamete es expresada como: X X X X X + X + X X X Para el caso X es el -ésmo elemeto de la muestra. Dode: X Observacó o valor del resultado del expermeto. (,, 3,, ) Número total de observacoes X Meda de la muestra La ecuacó ateror puede ser expresada de la sguete forma: (X X) 0 La otacó más comúmete empleada para expresar la meda e fucó de s se trata de ua poblacó o ua muestra está dada como se observa a cotuacó. Ua medda descrptva calculada a partr de los datos de ua muestra 8

29 recbe el ombre de estadístco para el caso de la meda está expresada como X. Ua medda descrptva calculada a partr de los datos de ua poblacó recbe el ombre de parámetro, para el caso de la meda está expresada como (μ). Para el cálculo de la meda artmétca se empleara los resultados obtedos e la realzacó de pruebas físco-mecácas a probetas de madera de po, msma que pretede medr su potecal, para aplcacó de la msma como elemeto estructural e la costruccó, como se muestra e el ejemplo sguete: Ejemplo: E 0 probetas de Pus Douglasaa, se mdó la ressteca perpedcular a la fbra, dado los sguetes resultados: 30, 350, 40, 500, 600, 90.5, 50.5, 30.3, 70.4, 300 (kg./cm ), se desea calcular su valor medo de ressteca perpedcular a la fbra. Solucó: Para el caso se tee u tamaño de muestra dado por 0.. Dode: X 30 X X 350 X X 3 40 X X X X X

30 0 X 06.7 X Por lo que su valor medo es dado como: 06.7 Kg X 06.7 cm 3... MEDIA ARITMETICA PONDERADA Expresa otra forma de calcular la meda artmétca, éste es el caso cuado se le asoca a cada uo de los valores de la muestra o poblacó certo peso, poderacó o mportaca, expresada ésta como u úmero, esto depede del grado de mportaca que el aalsta (especalsta) le otorgue a cada elemeto. Matemátcamete está expresada como: X W X W W X + W X W + W + W X W X W W 3 Dode: X Valor de cada observacó. W Nvel de poderacó asgado a las observacoes. X Meda poderada. 30

31 Como elemeto de explcacó del cocepto se empleará el ejemplo ctado a cotuacó. Ejemplo: S el profesor que mparte la cátedra de Cotabldad I, valora el exame fal del curso e fucó de complejdad como 3 veces el valor de los exámees parcales y u estudate tee ua calfcacó de exame fal de 85 y calfcacoes de exámees parcales de 70 y 80, su calfcacó fal estará dada como: Solucó: X 70 W.0 X 80 W.0 X 3 85 W La asgacó de poderacoes se hace cosderado el vel de complejdad de los exámees W 3 es la más alta ya que su grado de dfcultad es mayor puesto que mplca el coocmeto ateror para resolver el tercer exame. Para el caso, aplcado: X 70( ) + 80( ) + 85( ) W X W 8 La calfcacó fal asgada por el profesor será de 8.0, e escala 0 será 8.. 3

32 3

33 3..3. MEDIA ARITMETICA CALCULADA A PARTIR DE DATOS AGRUPADOS. El cálculo de este dcador está dado para el caso que los úmeros X, X, X 3,..., X ; se preseta co f, f, f 3,..., f veces respectvamete (Es decr, se preseta co frecuecas f, f, f 3,..., f ). La meda artmétca estará dada como sgue: X f X fx f + f f + X f f f X Dode: X Meda Artmétca para datos agrupados f Frecueca de la clase.,,, 3,..., X Marca de clase,,, 3,..., Para su aplcacó se tomara como refereca el ejemplo ctado e la tabla.4. del capítulo, dode los datos so expresados a través de la tabla sguete: 33

34 Para el caso de Pus leyophlla Itervalos de f Marca de Clase Clase(X ) f X TOTALES La solucó del problema está dada e los sguetes térmos: X f X f Lo que represeta que el valor promedo del dámetro de los árboles del bosque e estudo es cm MEDIA GEOMETRICA La meda geométrca dada por (G) de u cojuto de datos X, X, X,..., ; está dada como se muestra a cotuacó: 3 X 34

35 G X,X,X 3,...,X La aplcacó de ésta ecuacó es para el caso: Cuado se trabaja co observacoes e las que cada ua guarda ua razó aproxmada respecto a la ateror, crece o decrece proporcoalmete e tervalos clusve. Para el caso de datos agrupados, la forma de cálculo es como sgue Dode: G Meda Geométrca π Producto f G ( X ) Para el caso de aálss putual se usa cada uo de los resultados del expermeto (x ), y cuado se trata co datos agrupados se susttuye por la marca de clase (x' ). Ejemplo: Dadas las observacoes X de u expermeto, las cuales se repte co la frecueca f mostrada e la tabla sguete: f X f La meda geométrca estaría dada como: 35

36 G (5) *(6) *(7) *(8) 5 G MEDIA ARMONICA La meda armóca es represetada comúmete por H. Para ua sere de datos, producto de u expermeto se calcula de la forma: H X X Dode: H Meda armóca. X Resultados del expermeto,,, 3,..., Tamaño de la muestra Para explcacó de este crtero se toma el ejemplo: u agete vajero recorre e su vehículo 3 km. cosecutvos, e el prmer km., lleva ua velocdad de X 35 km. por hora, e el segudo km., lleva ua velocdad de X 48 km. por hora y e el tercer km., su velocdad fue de X 3 40 km. por hora. Se desea ecotrar la velocdad promedo del vehículo e km. por hora. Solucó: Para el caso se aplcara la meda geométrca como: Tomado; T D/V, etoces: 36

37 T km./35 km. por hr. /35 hr. T km/48 km. por hr. /48 hr. T 3 km/40 km. por hr. /40 hr. De dode se tee que el tempo total es dado: T t /35 + /48 + / El promedo de velocdad es calculado a través de la sguete ecuacó: V promedo 3 km./ hrs km./hr. (vel. promedo del vehículo) RAIZ CUADRATICA MEDIA (RMS) La raíz cuadrátca meda de ua sere de datos (X, X, X 3,..., X ); se defe como: RMS X Dóde: X Resultados del expermeto Tamaño de la muestra 3.3. MEDIANA La medaa de u cojuto de resultados de u expermeto está dada como la observacó cetral cuado so ordeadas segú su magtud (ordeacó de datos de decrecete a crecete), o be, este cocepto comúmete també es 37

38 expresado como el valor que correspode a la mtad de los datos ordeados de ua muestra. De otra forma ésta puede ser presetada como la observacó cetral de u cojuto de observacoes cuado aquellas se ordea o jerarquza segú su magtud. El térmo observacó cetral se refere a la dstaca desde los extremos y o a los valores umércos. La obtecó de la medaa para caso de datos pares formados respecto al úmero; por ejemplo para u cojuto de datos como los mostrados (,, 3, 34, 3,, 7, 6); la prmera fase de la obtecó de la medaa de éste cojuto de datos es la de ordearlos de maera ascedete como se muestra: (7,,,, 6, 3, 3, 34), de dode se tee que los valores cetrales so (, 6), de esto se observa que la medaa está dada como el valor medo de éstos valores, como ( + 6)/, por lo que ésta es dada por 4. Para el caso de datos mpares, s es maejado el cojuto de datos (7,,,, 6, 3, 3); se tee que la medaa es defda como. Las reglas presetadas aterormete para obteer la medaa so usadas para el caso cuado se maeja muestras pequeñas. Cuado la muestra aalzada es grade y sus elemetos se ecuetra agrupados, la medaa puede obteerse determado prmero el tervalo que cotee a la medaa, el cual se dstgue porque es el que tee la frecueca relatva acumulada mayor y /o gual a 0.5 y posterormete, medate ua terpolacó leal se ecuetra el valor de (M e ) que correspode a la frecueca relatva acumulada de 0.5. Co el polígoo de frecuecas relatvas acumuladas se puede aproxmar el valor de la medaa, trazado ua líea horzotal que parta de F' 0.5, hasta cruzar el polígoo y, posterormete, co otra recta vertcal que parte del 38

39 puto de la terseccó, se ecuetra e el eje de las abscsas, el valor de la medaa. La fgura sguete muestra la localzacó de la medaa (Me) sobre u polígoo de frecuecas relatvas acumuladas. f F' h 0.5 f k f k- T T T 3 L Me x Fg.5: Localzacó de la medaa. Para la realzacó de la terpolacó leal, es usada la ecuacó de la líea recta dada como: E fucó de la fgura 5, se tee que: Y 0.5 Y Yo + m (X - Xo) 39

40 Y 0 F k m f h k y X M e X o L Dode: k subídce que correspode al tervalo de clase que cotee a la medaa. F k- Frecueca relatva acumulada hasta el tervalo k-. f ' k Frecueca relatva del tervalo (k). h I c Tamaño del tervalo de clase. L Límte feror del tervalo (k). Susttuyedo los valores: De dode: f k 0.5 F k + (M e L ) h h M e L + (0.5 F k ) f k Aplcado la formacó de la tabla., la medaa se obtee como sgue: Me 5 + /0.55 ( ) 40

41 Me 5.5 E la tabla ctada se puede observar que la medaa se ecuetra e el tervalo compreddo de 5 a 5.9, debdo a que la frecueca relatva acumulada es mayor de MODA La moda es el valor de las observacoes que se preseta co más frecueca s la varable es dscreta, o be, es el tervalo de clase (a meudo dcado por el puto medo de clase) que posee la mayor frecueca. Al gual que la medaa, la moda se ve meos afectada por los valores extremos que la meda. E fucó de lo ateror de ua forma seclla se tee que la moda, es represetada como el elemeto de la muestra que tee la máxma frecueca, es decr, aquel que más se repte. Ua muestra puede teer dos o más modas, e cuyo caso se dce que es bmodal o multmodal. Cuado todos los elemetos de la muestra so dferetes, etoces o tee setdo hablar de ella, porque puede cosderarse que todos los elemetos so la moda o que o exste, por éstas característcas, su uso está muy lmtado. Cuado la muestra es pequeña, la moda se determa drectamete por speccó, metras que e muestras grades, co datos agrupados, se puede aproxmar co la marca de clase del tervalo modal, que es el que tee máxma frecueca. 4

42 E alguos casos se puede mejorar la aproxmacó, cosderado que la moda es el valor más grade especfcado e la ordeada y represetado por el máxmo de ua curva hpotétca que pasa por las marcas de clase, como se muestra a cotuacó. Fg. 6: Presetacó de la Moda. E fucó de lo ateror, puede cosderarse que la moda debe perteecer al tervalo de clase co máxma frecueca, pero proporcoalmete más cercao al tervalo adyacete que le sga e frecueca, de ésta forma puede platearse la ecuacó sguete: 4

43 M o L h f f + + f + Dode: subídce que correspode al tervalo de clase modal f + frecueca de la clase modal sguete al tervalo modal. f - Frecueca de clase ateror a la modal. L Límte feror del tervalo. De lo ateror se tee que la moda está dada como: M0 L + h f f+ + f + Para el caso del ejemplo de los 80 árboles de capítulo, se tee que la moda está dada como 5. Pus Leyophlla del 3.5. SESGO Y ASIMETRIA Cosderado las tres meddas de tedeca cetral fudametales como so la meda, medaa y moda; su ubcacó gráfca e la curva de dstrbucó de frecueca es dada como se muestra e la fgura 7. 43

44 Fg. 7. Represetacó grafca de las meddas de tedeca cetral Moda: Este dcador correspode al puto más alto de la curva. Medaa: Dvde el área bajo la curva e dos partes guales co probabldad de 0.5 cada ua de tal forma que el área total bajo la curva es.0. Meda: Este dcador pasa por el cetrode del área; y cumple co la sguete codcó: (X X) 0 La curva es sesgada (asmétrca) haca la derecha; cuado la medaa se ecuetra a la derecha de la moda, es decr, cuado la cola derecha de la curva es más larga que la zquerda, así msmo se expresa que dcha curva está sesgada postvamete. 44

45 Para el caso de fucoes de dstrbucó que tee cúspdes muy agudas la medaa costtuye a meudo ua útl medda de tedeca cetral, debdo a su represetatvdad como valor cetral estádar y por que es el valor que dvde exactamete a la mtad la fucó. 45

46 46

47 CAPITULO 4 MEDIDAS DE DISPERSION Las meddas de dspersó so aquellas que expresa el grado e que los datos umércos tede a extederse o alejarse respecto a u valor medo. Como su ombre lo dca, las meddas de dspersó refleja la separacó o alejameto de los elemetos de ua muestra. Las meddas más comues clasfcadas e este apartado y coocdas de uso geeralzado está dadas como: varaza, desvacó estádar, coefcete de varacó. Su defcó está dada como se muestra a cotuacó: 4.. VARIANZA S el cojuto de valores (Poblacó fta) está formado por () observacoes (X ), cuya meda es ( X ), se puede expresar la desvacó co respecto a la meda como (X - X ) de cada observacó ; dcha desvacó es coocda e la mayoría de la lteratura como resduo. La desvacó cuadrada meda recbe el ombre de varaca o varaza, e base al segudo mometo esta se defe como: m (X X ) 47

48 Dode: m segudo mometo co respecto a la meda. X Resultados del expermeto. X Meda de la muestra. Tamaño de la muestra. como: S m (X X ) Para el caso e que so usados datos agrupados para el aálss, cada marca de clase represeta a los valores que se ecuetra detro del tervalo correspodete, por lo cual la varaza está dada como: S x f (X f X ) Dode: f Frecueca de clase correspodete X M c Marca de clase correspodete X Meda de la muestra. 48

49 Para el caso e que se quere obteer la varaza de ua muestra la ecuacó ateror sufre la trasformacó de () por (-) e fucó de la Correccó de Bessel. Además es ecesaro especfcar el cocepto de grados de lbertad; para el caso, u grado de lbertad se defe como ua comparacó etre los datos, depedetemete de otras que se realce e el aálss. Cada ua de las observacoes e ua muestra al azar de tamaño () que se puede comparar co otras (-) observacoes; de ahí que haya etoces (-) grados de lbertad. Este cocepto puede ser terpretado cosderado u puto que puede moverse lbremete e u espaco trdmesoal. Dcho puto podría localzarse e el espaco medate tres coordeadas varables (x,y,z). S se lmta el movmeto de éste puto a u plao como el ax + by + cz d, etoces sólo tedrá dos grados de lbertad, que correspode al úmero de varables depedetes (x,y,z, es decr 3), meos el úmero de restrccoes (ecuacó ax + by + cz d, o sea ). Por lo que, e geeral, el úmero de grados de lbertad es gual al úmero de varables depedetes meos el úmero de restrccoes. Para el caso cuado se trata, dgamos co varables depedetes relacoadas por m ecuacoes (restrccoes), etoces el úmero de grados de lbertad sería ( - m). E el caso e el que se hace ua estmacó de (S ) de la varaza de la poblacó, se descooce la meda real de la msma. De este modo, cuado las observacoes so comparadas co la meda de la muestra ( X ), se preseta ua lmtacó o restrccó sobre los valores de (X - X ) mpuesta porque vale cero la suma de las desvacoes respecto de la meda muestral ( X ), es decr: (X X ) 0 Por lo tato se perde u grado de lbertad, dejado (-) comparacoes o grados de lbertad, por lo que para obteer la estmacó de la varaza, o sea, la meda de los cuadrados de las desvacoes, se dvdrá la suma de los cuadrados de las msmas etre el úmero de grados de lbertad o 49

50 comparacoes (-); de lo ateror se tee que la varaza para el caso de ua muestra está dada como: S x (X X ) 4. DESVIACION ESTANDAR Dado que la varaza es ua medda fudametal de dspersó, o es del todo práctca y coveete, ya que sus udades so los cuadrados de las udades de la varable, y muy a meudo muchas de las característcas umércas de las dstrbucoes se expresa drectamete e térmos de la raíz cuadrada co el ombre de desvacó estádar. Esta catdad es etoces la desvacó meda cuadrátca (o valor RMS) de la desvacó y sempre es postva. Sus udades so las msmas de la varable, por lo que esta puede ser escrta como: Para el caso de aálss de ua poblacó, está dada: σ ( X N μ) Dode: σ Desvacó estádar de ua poblacó. X Resultados del expermeto. μ Meda poblacoal. N Elemetos de la poblacó. 50

51 Para el caso de aálss de ua muestra de la poblacó, la desvacó estádar está dada como: S (X X ) - Dode: S Desvacó Estádar de la muestra. X Meda de la Muestra. X Resultados del expermeto. - Número de grados de lbertad (corrector de Bessel). Cuado se está aalzado u caso co datos agrupados, la ecuacó represetatva es: S f (X f X ) Dode: f Frecueca de la clase correspodete. X Marca de la clase correspodete. X Meda de la muestra. 5

52 4.3. COEFICIENTE DE VARIACIÓN Como se mecoó aterormete, la desvacó estádar se expresa e las msmas udades que la varable orgal (X ); s embargo, para dversos fes es coveete expresar la dspersó de los resultados e forma porcetual, es decr, e térmos relatvos y o absolutos, tal coefcete es ua catdad admesoal. El coefcete estaría dado como: Dode: C.V. Coefcete de varacó. X Meda muestral. S Desvacó estádar de la muestra. S C.V. ( 00 ) X 4.4 MEDIDAS DE FORMA 4.4. ASIMETRIA Los estadístcos más mportates que hemos vsto so la meda y la desvacó típca; ambos perteece a u grupo de estadístcos que se deoma mometos. Uo de los objetvos más mportates de la estadístca descrptva es proporcoar formacó sobre la muestra, que pueda ser de utldad para 5

53 determar las característcas de toda poblacó. Para el caso cuado se desea ajustar u modelo probablístco, a u feómeo partcular es coveete comparar la forma del hstograma o del polígoo de frecuecas de ua muestra del feómeo, co la fucó de probabldad del modelo teórco. Para descrbr la forma de dstrbucó de frecuecas de ua muestra, se usa etre otros dcadores, la asmetría o sesgo. Ua dstrbucó de frecuecas es smétrca s el tercer mometo de la muestra co respecto a la meda es gual a cero (m 3 0); e tal caso la meda dvde e dos partes guales a la dstrbucó de frecuecas y además, cualquera de las partes es u reflejo de la otra. La forma de cálculo del tercer mometo se preseta pagas adelate. S ua dstrbucó de frecuecas es smétrca, la meda, la medaa y la moda cocde e el msmo puto, cuado la fgura o es smétrca los dcadores estadístcos ctados so dferetes y se puede presetar ua asmetría postva, sedo (m 3 > 0); o be, ua asmetría egatva, dode (m 3 < 0). Gráfcamete, lo ctado aterormete está dado como: 53

54 Fg. 8: Fucó smétrca. Fg. 9. Fuco asmétrca postva. 54

55 Fg. 0. fucó asmétrca egatva Para medr e forma admesoal la asmetría de ua dstrbucó de frecuecas, se utlza el coefcete de asmetría por mometos. Los prmeros mometos de ua dstrbucó so los sguetes: Prmer mometo: m (X X ) X Segudo mometo: m (X X ) S Tercer mometo: m 3 3 (X X ) X 3 Cuarto mometo: m 4 4 (X X ) X 4 E fucó de lo ateror, la medcó de la asmetría (g ) de ua dstrbucó, se defe como el cocete del tercer mometo co respecto a la meda etre la raíz cuadrada del segudo mometo, co 55

56 respecto a la meda elevada al cubo; está dado matemátcamete como: g m 3 ( m ) 3 S ua dstrbucó de medas es ormal, la suma de los cubos de las desvacoes postvas es gual a la suma de los cubos de las desvacoes egatvas; co lo que la suma algebraca de los cubos de las desvacoes es cero, es decr, (g 0). S la dstrbucó es asmétrca postva, la suma de los cubos de las desvacoes postvas es mayor que la suma de las desvacoes egatvas, co lo que (g ) es postvo. E caso cotraro, es egatvo; cuado mayor sea el valor (g ) mayor será la asmetría. Cabe hacer otar que s los datos está agrupados, se puede aproxmar los mometos co respecto a la meda, como sgue: m k m f ( t X ) k f ( X X ) k Dode: f ' Frecueca relatva del tervalo () X Represeta los valores de (t ) X Meda de la muestra. 56

57 k Expoete correspodete al mometo (k) Otra forma de medr la asmetría de ua dstrbucó es medate el coefcete de Pearso (C.P.) que se defe como: Dode: C.P. X M S x o X Meda Muestral M o Moda S x Desvacó Estádar Este dcador tee la desvetaja de que solo se aplca cuado la dstrbucó es umodal y se puede demostrar que esta e el tervalo (- C.P. ) y el crtero de decsó e toro al comportameto de la fucó asocada a la asmetría es el msmo que e aálss aterores CURTOSIS Es otra característca que permte descrbr la forma de la dstrbucó de frecuecas, també coocda e la lteratura especalzada como aputameto o aplaameto. Este últmo ombre es tal vez el meos dcado, pues el sgfcado de curtoss es cotraro al de aplaameto y por lo tato, ua curtoss grade mplca poco aplaameto y vceversa. El coefcete de curtoss está defdo como: 57

58 g m m 4 ( ) 3 Cuado la dstrbucó es mesocúrtca se cumple que g [(m 4 /m ) -3] 0, por lo cual e la expresó ateror se resta este valor para que la refereca se ecuetre e cero. De esta forma s g < 0, la dstrbucó es platocúrtca y s g > 0, se trata de ua dstrbucó leptocúrtca. Gráfcamete está dado como: Fg.. Dstrbucó mesocúrtca 58

59 Fg.. Dstrbucó leptocúrtca Fg. 3. Dstrbucó platcúrtca La regla geeral para la determacó del tpo de fucó de dstrbucó e fucó de (g ) está dada como: g 0 La curva es ormal mesocúrtca g (-) La curva es Platcúrtca g (+) La curva es Leptocúrtca Para el caso de que se trate de datos agrupados, la ecuacó represetatva para la determacó de mometos esta dada como: 59

60 m r f (X X ) f r Dode: f Frecueca de clase.,, 3,,. X Marca de clase. r,, 3,...,, mometos. Para la explcacó coceptual de los elemetos aterormete expuestos se tomara como elemeto el caso, e el que se desea defr cuál es la medda relatva de asmétra para los datos lstados a cotuacó, estos datos represeta las meddas de tamaño de 6 chocolates marca patto seleccoados al azar. MEDIDA CHOCOLATE (cm) Solucó: La medda relatva a la asmétra es dada por la ecuacó de g, así como el tercer mometo por la ecuacó de m 3, además se debe tomar e cueta los 60

61 crteros sguetes para defr el estados de comportameto como: g 0 La dstrbucó es smétrca. g > 0 La dstrbucó es sesgada postvamete. g < 0 La dstrbucó es sesgada egatvamete. Para los cálculos de la medda de smetría se empleara la formacó mostrada e la sguete tabla: X X 3 (X X) (X X) (X X) S 5.46 / m / g / De dode se tee que la dstrbucó es sesgada postvamete, depedetemete s se usa como dcador para la decsó a m 3 o g. Ahora be para el caso de datos agrupados, se desea ecotrar el grado de asmetría de la dstrbucó represetada por el lote de datos sguete: 6

62 LIMITE DE CLASE FRECUENCIA MARCA DE CLASE La medda de sesgo es dada e térmos de m 3, como se trata de datos agrupados, calmete se calcula la meda empleado la ecuacó empleada e la seccó 3..3., para el caso la meda es dada como: X 66.5 X 6 (5.5) + 5(57.5) + 4(63.5) + 33(69.5) + (75.5) 00 El aálss es presetado de forma tabular como: CLASES f MARCA DE CLASE X (X X) f(x X) f(x X) Etoces: S ( 4860/00)

63 m / g / De dode se tee que la dstrbucó es sesgada egatvamete. Co los aálss realzados hasta esta etapa del trabajo, el lector podrá teer ua dea clara de que fucó de dstrbucó teórca le es más efcete usar para hacer aálss estadístcos más fos y oretados haca la estadístca ferecal el muestreo, dseño de expermetos etre otros aálss susceptbles hacedo uso de la formacó del expermeto efocados a la toma de decsoes. CAPITULO 5 P R O B A B I L I D A D 5.. ESPACIOS MUESTRALES Y EVENTOS E la Estadístca, al cojuto de todos los posbles resultados de u expermeto se le deoma espaco muestral, el cual e lo geeral se deota por la letra S. Para aálss posterores es ecesaro eucar coceptos báscos como los que a cotuacó se cta: 63

64 Datos Icales: Está dados como la formacó regstrada e la forma e que se recoge, ya sea evetos, medcoes o ua observacó de u expermeto. Expermeto : Se defe como cualquer proceso que sea capaz de geererar datos cales, o bé; "Es el proceso por medo del cual ua observacó o medcó es regstrada". Es mportate hacer otar que la observacó o ecesaramete produce u valor umérco represetatvo para hacer aálss estadístco, por lo que e estudos del mudo real habrá que traducr estas aprecacoes de varables o umércas a varables umércas. Por ejemplo: Regstro del greso aual de u trabajador. Etrevstar a u cosumdor para determar la marca preferda de u producto determado. Regstrar el valor de ua accó de bolsa e u mometo dado. Ispeccoar ua líea de esamble para determar s el úmero de artículos defectuosos excede a los especfcados. Regstro del moto de ua pólza vedda por u agete de seguros. Espaco Muestral:(S) Está dado como el cojuto de todos los posbles resultados de u expermeto estadístco. A cotuacó se muestra alguos ejemplos que permte esquematzar u espaco muestral: El proceso de lazar ua moeda legal al are, éste puede escrbrse como: S { a, s } 64

65 Dode: a Águla s Sello Sea el expermeto de trar u dado legal. Es de terés el úmero que aparezca e la cara superor. Para la defcó de su espaco muestral, los posbles resultados del expermeto está dados por: {,, 3, 4, 5, 6,}, por lo que (S) es expresado como: S {,, 3, 4, 5, 6} Para el msmo expermeto s el úmero es mpar, el espaco muestral estará dado por: S {, 3, 5} E u proceso de fabrcacó se seleccoa al azar 3 pezas, cada peza se speccoa y se clasfca e defectuosa y o defectuosa, el espaco muestral respectvo está dado como: S {DDD, DND, NDD, NNN, NDN, DDN, NND, DNN} u segudo espaco muestral que proporcoa la msma formacó que el ateror está dado como: Dode: 0 Ngua peza defectuosa Ua peza defectuosa Dos pezas defectuosas 3 Tres pezas defectuosas S {0,,, 3} 65

66 E u expermeto dado e muchos de los casos puede teresar la ocurreca de certos evetos más que el resultado de u elemeto específco del espaco muestral. Para la realzacó plea de u expermeto se ca hacedo otar que cada expermeto produce uo o varos resultados posbles que se llama "evetos". De tal forma que u eveto es defdo como u subcojuto del espaco muestral, o be como ua coleccó específca de putos muestrales, éstos puede clasfcarse como eveto smple y eveto compuesto. Eveto Smple: Es u cojuto que cotee solamete u elemeto del espaco muestral, por lo cual també se le llama puto muestral. Eveto Compuesto: Es aquel que puede expresarse como la uó de evetos smples. U eveto puede ser el cojuto de resultados posbles que se tee al trar u dado y que éstos sea dvsbles etre 3, esto sucede cuado el resultado sea u elemeto del subcojuto, A 3,6. U resultado muestral de S se llama puto muestral o muestra. Así msmo u eveto (A): es u cojuto de resultados o, e otras palabras es u subcojuto del espaco muestral S. El eveto a que costa de ua muestra smple mplca que a S se llama eveto elemetal o smple. El Cojuto vacío φ y S de por sí so evetos. φ e alguas veces es eveto mposble. S es el eveto certo o seguro. Se puede combar evetos para formar uevos evetos, utlzado las dferetes operacoes co cojutos: 66

67 A B es el eveto que sucede s y solo s A ó B o ambos sucede. AI B es el eveto que sucede s y solo s A y B sucede smultáeamete. A c (Complemeto de A), es el eveto que sucede s y solo s A o sucede. Dos evetos mutuamete excluyetes s se da AI B φ, o puede suceder de forma smultaea los evetos OPERACIONES CON EVENTOS INTERSECCION DE DOS EVENTOS Esta operacó es represetada como A I B, es el eveto que cotee a todos los elemetos que so comues a A y a B; otra forma de expresarlo está dada como todos los elemetos que perteece tato a A como a B. 67

68 Gráfcamete puede expresarse como: De la fgura ateror se tee que matemátcamete puede represetarse como: A I B { x x A, y,x B} S los elemetos que tegra los evetos (A, B) está dados como: A {,, 3, 4, 5} y B {, 4, 6, 8} Etoces: A I B {, 4} 68

69 Gráfcamete: Sea los evetos P y Q dados como: P {a, e,, o, u} Q {r, s, t} La terseccó de dchos evetos estará dado como: P I Q φ. (No tee elemetos e comú) φ. Cojuto vacío. EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES. Dados los evetos A y B estos so mutuamete excluyetes cuado se cumple que A I B φ., lo ateror mplca físcamete que estos o puede ocurrr smultáeamete. 69

70 Usado el dagrama de Ve puede ser expresado como: Para ejemplfcar el caso, se tomará como refereca el expermeto de lazameto de u dado legal dode los posbles resultados puede expresarse como: A { Número par } {, 4, 6} B { Número mpar } {, 3, 5} Etoces: A I B φ ; de dode se observa que los evetos A y B o tee gú elemeto comú por lo que su terseccó es el cojuto vacío. UNION DE EVENTOS. La uó de dos o más evetos es expresada por la terrelacó de evetos a través del símbolo ( ), sea los evetos A y B; su uó es expresada como (A U B) y este es el eveto que cotee a todos los elemetos 70

71 que perteece a A, a B o a ambos. Por ejemplo sea los posbles resultados de u expermeto dados por: A{, 4, 6}; B{4, 5, 6} AU B {, 4, 5, 6} Esto mplca que: {, } AU B X X A o X B Ejemplo: Sí, M {X 3 < X < 9 } N { Y 5 < Y < } MU N { Z 3 < Z < } COMPLEMENTO EL complemeto de u eveto A co respecto a (S), es el cojuto de todos los elemetos de (S) que o está e A. Gráfcamete: 7

72 Por lo que: complemeto de A CA CA S - A B 5.. TECNICAS DE ENUMERACION Y CONTEO. S ua operacó se puede efectuar e formas y s para cada ua de ellas se puede efectuar ua seguda operacó formas, etoces las dos puede efectuarse cojutamete e (, ) formas. Para el caso de la determacó de cuatos putos hay e (S) cuado se tra dos dados legales a la vez. 6, 6 Etoces:, S 36 putos. Cada dado puede adoptar 6 posbles resultados al ser lazado por lo que el espaco muestral (S) está dado por: 7

73 S Extesó: S ua operacó se puede efectuar e ( ) formas, s para cada ua de ellas se puede efectuar ua seguda operacó ( ) formas y s para cada ua de las dos prmeras se puede efectuar ua tercera operacó ( 3 ) formas y así sucesvamete, etoces la secueca de (k) operacoes puede realzarse e (,,,..., ) formas. 3 k Etre las téccas poco sofstcadas de coteo se tee las ctadas aterormete (Prcpo multplcatvo del coteo), detro de las herrametas usuales para aálss del tema se tee la aplcacó de los dagramas de árbol. Como vehículo de explcacó de la técca se aplcará la msma a los ejemplos ctados. Ejemplo: E el restaurate "La Amba Dorada" de Cudad Uverstara se ofrece u meú de tres compoetes. a). Ua sopa (S) o ua bebda (D) como apertvo. b).- Ua seleccó de flete (R), Pavo (T) o Pescado (F) de plato prcpal. c).- Ua seleccó de dulce (P) o helado (I), como postre. Ua seleccó de cada compoete costtuye ua comda completa, costrur u dagrama de árbol e dcar el úmero posble de comdas completas, lo que mplcara el espaco muestral. 73

74 Solucó: 74

75 De acuerdo al dagrama de árbol, mostrado para el caso se tee comdas completas posbles, que puede ofrecer La Amba Dorada. Por lo tato, el espaco muestral es dado como: S [ SRP SRI STP SFP SFI DRP DRI DTP DTI DFP DFI] Ejemplo: E ua caja regstradora se ecuetra solamete tres moedas: ua de u Peso (P), ua de cco pesos (C), ua de dez pesos (D); se saca dos de las moedas, prmero ua y después otra, para ecotrar el úmero total de formas de realzar el expermeto se aalzará como sgue: Exste tres formas de seleccoar la prmera moeda y, ua vez hecho hay dos formas de seleccoar la seguda, por lo tato., 3() 6 formas Para determar (S) se hace uso de u dagrama de árbol, como se muestra: 75

76 C PC P D PD P CP C D CD P DP D C DC DIAGRAMA DE ARBOL DEL PROBLEMA DE LA CAJA REGISTRADORA. De dode se tee que (S) queda como: S [ PC, PD, CP, CD, DP, DC ] 5.3. PERMUTACIONES E geeral, s (r) objetos se elge de u cojuto de () objetos dsttos, cualquer arreglo u ordeacó de ellos que guarda certo orde (mporta el orde de regstro) se deoma permutacó; e lo geeral ua permutacó es u arreglo de todo u cojuto de objetos o parte del msmo. 76

77 Por ejemplo es de terés determar el úmero de permutacoes posbles del cojuto de letras (a, b, c). E lo geeral se tee que () objetos dsttos puede arreglarse de (!) formas; por lo que:! 3()() 6 Formas. Etoces las permutacoes posbles está dadas: Por defcó:! ; 0! (abc, cba, bac, acb, bca, cab) Para ua ecuacó que proporcoe el úmero total de permutacoes de (r) objetos escogdos etre u cojuto de () objetos dsttos, se observa que la prmera eleccó se realza e el cojuto completo de () objetos, la seguda se efectúa de los (-) objetos que queda después de la prmera eleccó, la r-ésma eleccó de los ( - (r-)) - r + objetos, los cuales queda después de las prmeras (r-) eleccoes que se ha realzado. Por lo tato, por la regla de multplcacó de opcoes, el úmero total de permutacoes de (r) objetos elegdos de u cojuto de objetos dsttos es: P r ( - )( - )...( - r + ) Para expresar la ecuacó para ( P r ) e térmos de factorales se multplca y dvde por ( - r)! la ecuacó ateror quedado: Pr ( )( )...( r + )( r)!! ( r)! ( r)! De tal forma que: "El úmero de permutacoes de r objetos escogdos de 77

78 objetos dsttos es:! P r ( r)! Ejemplo: De u cojuto de 0 blletes de lotería se saca dos para el prmero y segudo premo, ecotrar el úmero de elemetos que tegra S. Solucó: Para 0 y r 0! 0! (0 )! 8! 0 P 380 Ejemplo: U mueble costa de 5 compoetes dferetes que puede ser esamblados e cualquer orde. De cuátas formas puede ser esamblado el mueble?. Solucó: 5, r 5 5! 5! 5 P 5 5! 0 (5 5)! Ejemplo: Es de terés determar el úmero y forma de acomodo de las permutacoes de clase que puede formar co las 5 prmeras letras del alfabeto. 78

79 Solucó. 5! 5! 0 (5 )! P 0 Dadas como: ab ac ad ae ba bc bd be ca cb ce cd da db de dc ea eb ec ed Cosdérese ahora el úmero de permutacoes dsttas de objetos e los cuales so de ua clase, de ua seguda clase y k de ua k-ésma clase, de tal forma que k. De lo ateror se tee que el úmero de permutacoes está dado como: P!!!!... 3 k! Ejemplo: De cuatas formas dferetes puede arreglarse tres focos verdes, cuatro morados y dos azules e ua sere avdeña que cotee ueve portafocos? El úmero total de arreglos dferetes usado la ecuacó ateror es: 79

80 P 9! 3!4!! 60 Para arreglos de elemetos e forma crcular se tee: Teorema: el úmero de permutacoes de objetos dsttos arreglados e forma crcular es (-)!. Es frecuete que se requera ecotrar el úmero de formas de partr u cojuto de objetos e r subcojutos llamados celdas. La partcó puede obteerse s la partcó de cada par posble de los r subcojutos es el cojuto vacío φ y s la uó de todos los subcojutos es gual al cojuto orgal. El orde de elemetos detro de ua celda carece de mportaca, cosderado el cojuto {a, e,, o, u}. Las partcoes posbles e dos celdas, e las que la prmera cotega cuatro elemetos y la seguda cotega u elemeto, so {(a, e,, o), (u)}, {(a,, o, u), (e)}, {(e,, o, u), (a)}, {(a, e, o, u), ()}, {(a, e,, u), (o)}, se observa que hay cco formas de hacer la partcó de u subcojuto de cco elemetos e dos subcojutos o celdas que cotega cuatro elemetos e la prmera celda y uo e la seguda. Esto puede trabajarse a través del uso del sguete: Teorema: El úmero de formas de hacer la partcó de u cojuto de objetos e r celdas co elemetos e la prmera celda, elemetos e la seguda y así sucesvamete es.!,,..., r!!...! r 80

81 Dode: r Ejemplo: De cuatas formas se puede alojar sete cetífcos de fuzzy logc e u cuarto trple y e dos cuartos dobles del hotel El Imprecso de Morela para su cogreso de Novembre de 006?. Solucó: El úmero total de partcoes posbles es: Dóde: 7 3,, 7! 3!!! 0 formas 7 Número de cetífcos. 3 Habtacó trple. Habtacó doble COMBINACIONES. E muchos casos de la vda real es de terés determar el úmero de formas de seleccoar r de objetos s mportar su orde. A estas seleccoes se les llama combacoes. Ua combacó es e realdad ua partcó co dos celdas, coteedo ua de ellas los r objetos seleccoados y la otra los (-r) objetos restates, el úmero de tales combacoes, dcado por, se r, r escrbe geeralmete como, ya que el úmero de elemetos e la seguda r celda debe ser (-r). 8

82 Se llama combacoes de clase (r) de () objetos dferetes, a los dsttos grupos que se puede formar tomado r objetos de etre los. Las combacoes se dfereca etre sí por la aturaleza de algú elemeto ya que, e este caso, o teresa el orde de los objetos que tegra cada combacó. La omsó de orde dstgue las combacoes de las permutacoes. De lo ateror se tee que: "El úmero de combacoes de objetos dsttos tomados de r a la vez, es: " C r ( ) r! r!( r)! Por ejemplo, las combacoes de clase que se puede formar co las 5 prmeras letras del alfabeto so: 5 C 5!!3! 5(4)(3)()() ()[3()()] C 0 Dados como: ab bd ac db ad cd ae ce bc de 8

83 Ejemplo: : Ua tabla de (" x 3/4" x 8') de Po, puede ser comprada de cualquera de 5 proveedores. De cuátas formas se puede escoger tres de los cco proveedores?. Solucó: 5 C 3 5! 3!(5 3)! 5(4)(3)()() 3!! C 3 0.formas Ejemplo: Ua comsó formada por tres Cotadores Públcos y cuatro profesores (De la FCCA-UMSNH) será ombrada e la SHCP, Cuátos comtés dferetes puede formarse s hay cco Cotadores Públcos y sete profesores como caddatos?. Solucó: De los cco C.P., puede elegrse tres e cualquera de las ( 5 C 3 ) maeras y de los sete profesores puede elegrse cuatro etre cualquera de las ( 7 C 4 ) maeras. Etoces el úmero de comtés está dado e fucó de u producto de combacoes dadas como: C3* 7 C4 5! 7! x 350 Comtes dferetes 3!! 4!3! 5 Ejemplo: Determar el úmero de maeras que puede seleccoarse u equpo de 9 persoas a partr de u grupo de. Este es u problema de seleccó y o de ordeacó, dado que o se toma e cueta la asgacó de poscoes. Por lo que, r 9, de tal forma que el úmero de combacoes es C

84 Ejemplo: E u grupo de 5 hombres y 4 mujeres, de cuátas formas es posble seleccoar 3 hombres y a mujeres. a). Se puede seleccoar 3 hombres de 5 e 5 C 3 forma. b). Es posble seleccoar mujeres de 4 e 4 C maeras. Usado el prcpo fudametal de las seleccoes, es posble llevar a cabo (a) y (b) e 5 C 3 y 4 C formas. Por lo que: 5 * 4 4 * 3 3C 5 * 4 C * 60 84

85 CAPITULO 6 INTERPRETACIONES DEL CONCEPTO DE PROBABILIDAD Hstórcamete, la prmera aplcacó, de la teoría de la probabldad se hzo e juegos de azar. Los expermetos aleatoros asocados co juegos de azar dero lugar a espacos muéstrales co u úmero fto de putos. La probabldad es cosderada como ua de las áreas de la matemátca de la certdumbre, auque esta matera costtuye por derecho propo, ua rama prcpal de la matemátca, e aálss ormales como ua alteratva ecoómca, se sugere muestrear la poblacó y, aalzado ua o más muestras, ferr que la poblacó posee certas propedades. Por supuesto, sempre que se llega a coclusoes sobre ua poblacó de la que sólo se ha examado ua parte de ella, exstrá u elemeto de certdumbre. Tales so los casos e que el estadístco ecesta la probabldad, por medo de la cual mde la certdumbre. Cosderado las expresoes: s juega este juego probablemete perderá, el ttular del cargo probablemete gaará la reeleccó. Cada ua de estas expresoes represeta ua coclusó frete a la certdumbre. Por ejemplo, la persoa que hace esta prmera afrmacó evdetemete dce que auque o está segura del resultado del juego, las evdecas le duce a pesar que s se decde usted a jugar, es más probable que perda a que gae. Lo que falta e estas afrmacoes es ua dcacó de grado de certdumbre que esta presete. Etre las terpretacoes de la probabldad se tee: 85

86 6.. CLASICA O DE LAPLACE (FINES DEL SIGLO XVII). Establece que s se desea asgar la probabldad de ocurreca de u eveto A, esta es gual al cocete del úmero de putos muéstrales del eveto Na sobre el úmero de putos muéstrales de N, es decr el úmero de veces que ocurre dcho resultado del expermeto e térmos del espaco muestral poblacó o tamaño de la muestra, la ecuacó represetatva es descrta como: Dode: P ( A) Na N P(A) Probabldad de ocurreca del eveto A. Na Número de veces que ocurre el resultado de A. N Tamaño de la Poblacó o muestra aalzada. Las lmtacoes que preseta esta terpretacó clásca so las sguetes. a). Es ecesaro que cada resultado del expermeto tega la msma probabldad de ocurrr (que sea aleatoro). b). E alguos expermetos el úmero total de resultados es demasado grade o muy dfícl de determar, como por ejemplo, cuado se desea calcular la probabldad de que mañaa certa subestacó recba ua descarga eléctrca durate ua tormeta. O be coocer la probabldad de que mañaa suba la tasa de mpuesto al cotrbuyete medo e la cudad de Morela. Ejemplo: U fabrcate de computadoras persoales sabe que está por recbr peddos de los cletes C y C, dchos peddos puede ser de a 5 udades. El espaco muestral correspodete estará dado por el cojuto de evetos de S, mostrado como: 86

87 S E dode (,j) deota el eveto smple: { C demada () computadoras y C demada (j) computadoras}, se tee 5 evetos smples, de los cuales se puede determar evetos compuestos tales como: α {Que ambos cletes demade el msmo úmero de udades; j}. β { Que la suma de las demadas este etre 6 y 0 udades; 6 +j 0} γ { Que la suma de las demadas sea a lo más de 3 udades ; +j 3} Cosderado que los evetos elemetales tee la msma probabldad de ocurreca, calcular la probabldad de los evetos (α, β, γ). Nα P( α ) N P ( β ) P ( γ ) 3 5 Ejemplo: de 6700 deportstas que se scrbero e u curso de formacó de structores e el país e 999, 500 o termaro, 000 obtuvero u putaje feror al requerdo para acredtar el curso y el resto lo acredto. 87

88 S la CONADE seleccoa al azar u deportsta partcpate e el curso y co base e la formacó ateror, se desea coocer cuál es la probabldad de que dcho deportsta: a). No terme el curso. b). Acredte el curso. Solucó: a). Sea el eveto: A { o terme el curso} Por lo que: X 500; 6700, etoces: P(A) Na/ 500/ b). Sea el eveto: B { acredte el curso} Por lo que: X P(B) 300/ Ejemplo: Dos moedas legales se laza 4 veces al are, cual determar cual es la probabldad de obteer al meos ua cara. Solucó: Sea los evetos A cara, X sol S {XX, AX, XA, AA} Etoces: P(A) 3/ Ejemplo: Se saca u ape de ua baraja, ecuetre la probabldad de que este sea corazó. 88

89 Solucó: S 5 pezas A Corazoes 3 P(A) 3/5 P(A) FRECUENCISTA O DE VON MISES (957) Examíese ua sucesó de expermetos guales. Supógase que, como resultado de cada expermeto, se regstra la llegada de ua señal eveto A o llegada eveto A de tervalos guales de tempo. E ésta sucesó, ua característca del eveto A es la frecueca de su realzacó, es decr, la relacó etre el úmero de veces que este eveto se produce y el úmero total de expermetos realzados. S el eveto A ocurre X veces e expermetos, etoces la probabldad P(A) se defe como el límte de frecueca relatva. f X Cuado el úmero de expermetos tede a fto, es decr: X X P( A) Lm o be P( A) Las lmtacoes que preseta la terpretacó frecuecsta está dadas e fucó de: No se puede aplcar cuado el expermeto aleatoro o es repetble o be cuado es repetble pero camba las codcoes del expermeto. 89

90 6.3. SUBJETIVISTA (969) la escuela subjetvsta cosdera que la probabldad es ua medda del grado de certdumbre que tee ua persoa o u grupo de persoas respecto a la verdad de ua afrmacó o a la ocurreca de u hecho. Por ejemplo, cuado u aalsta requere determar la probabldad de que baje el preco del petróleo más de dos dólares por barrl e el presete año, puede utlzar la terpretacó subjetvsta para estmar la probabldad de u eveto, tomado e cueta su expereca y tal vez la de otras persoas que coozca sobre el tema. De otra forma o podría obteer esta probabldad debdo a que el eveto o es repetble. Las lmtacoes que preseta este efoque, está e fucó de que la msma tee el coveete de que la probabldad asgada cambe de ua persoa a otra y e ocasoes puede presetar cossteca e ua msma persoa cuado esta aumete su coocmeto sobre el feómeo e estudo LOS AXIOMAS DE LA PROBABILIDAD La valdez matemátca de cualquer resultado dervado a través de la aplcacó correcta de la teoría axomátca de las probabldades es certa, s mportar cómo terpreta el aalsta el sgfcado de la medda de probabldad cuál fue su orge, metras la asgacó de los pesos sea compatble co tres axomas secllos. Usaremos la otacó P(A), para deotar la probabldad de u suceso A, que frecuetemete se llama suceso aleatoro. Se debe cumplr las sguetes codcoes para las probabldades asgadas a los sucesos del espaco muestral mostradas a cotuacó. Así msmo se cosdera que P(A) su resultado sea el valor de ua fucó adtva de cojuto que satsface: Axoma : 0 P(A) Axoma : P(S) 90

91 Axoma 3: S A y B so evetos mutuamete excluyetes e S, etoces P(A B) P(A) + P(B) El prmer axoma establece que las probabldades so úmeros reales que varía etre 0 y. El segudo axoma afrma que el espaco muestral completo se le asga ua probabldad de y esto expresa la dea de que la probabldad de u certo eveto que puede suceder preseta probabldades de ocurreca etre 0y de acuerdo al axoma. El tercer axoma establece que las fucoes de probabldad debe de ser adtvas. Es mportate subrayar que los axomas de probabldad o proporcoa ua forma de asgar probabldades a los dversos resultados de u expermeto, ta solo lmta la forma e que estos puede hacerse. E la practca las probabldades se asga co base a la expereca, co el apoyo de u aálss cudadoso de las codcoes que rodea el expermeto y hasta por medo de suposcoes y evaluacoes subjetvas, como la suposcó comú de que todos los resultados tee la msma probabldad de ocurreca TEOREMAS FUNDAMENTALES DE LA PROBABILIDAD Apoyádose e la duccó matemátca se tee que cualquer úmero de evetos mutuamete excluyetes puede ser escrtos como: Teorema. S A, A,...,A so evetos mutuamete excluyetes e u espaco muestral S, etoces. P A A,..., A ) P( A ) + P( A ) P( A ) ( Como vehículo de explcacó del cocepto se tomará el ejemplo sguete. E el Laboratoro de computacó de la FCCA-UMSNH se ecuetra 5 computadoras, de las cuales 5 está descompuestas. S ua persoa toma al azar 3 de ellas, cuál es la probabldad de que por lo meos ua de las tres 9

92 computadoras de este laboratoro este descompuesta?. Solucó: La codcó de que por lo meos ua de las 3 computadoras este descompuesta (eveto A), se cumplra s ocurre cualquera de los sguetes 3 evetos mutuamete excluyetes. D { ua descompuesta y dos o} D { dos descompuestas y ua o} 3D { tres descompuestas} El eveto A se puede represetar como la uó de los evetos aterores, por lo que: A {D D 3D}, por el teorema. P(A) P(D)+P(D)+P(3D) P(D): se calcula tomado e cueta que de 5 computadoras descompuestas, se seleccoa. Y de 0 o descompuestas se seleccoa., etoces: 0C 0! /!(8!) 45 forma de hacer la seleccó. Las formas de elegr ua defectuosa (D) es: 5 defectuosas; 5 formas de seleccoar las o defectuosas. D( 0 C ) 5(45) 5 formas. El úmero de casos totales es: 5C 3 5! / 3!(!) 455 De tal forma que: P ( D) ; 5 0 trabajar co 9

93 5 0 P ( D) P ( 3D) Por lo que: P(A) probabldad de que por lo meos algua este descompuesta. Ejemplo: E el área de pruebas físco mecácas del laboratoro de la FITECMA se ha realzado dversa pruebas destructvas a la espece de pus martez larse, a través de las cuales se pretede darle ua aplcacó dustral más adecuada. La probabldad de que la ctada espece calfque como muy mala, pobre, razoable, buea, muy buea o excelete para la costruccó (como elemeto estructural) es de {0.05, 0.5, 0.04, 0.06, 0.4, 0.9} respectvamete. Cuales so las probabldades de que la espece calfque como? a). muy mala ó pobre ó razoable ó buea. b). Buea ó muy buea ó excelete. Solucó: para el caso partcular se tee que todas las probabldades se excluye mutuamete, por lo que es aplcada la forma propuesta por el teorema. a). P(A A A 3 A 4 ) P(A ) + P(A ) + P(A 3 ) + P(A 4 )

94 b)- P(A 4 A 5 A 6 ) Teorema. S A es u eveto e el espaco muestral fto S, etoces P(A) es gual a la suma de las probabldades de todos los resultados dvduales cludos e A. Para el caso sea {E E E 3,..., E }. Dode E ;,, 3,..., ; so resultados mutuamete excluyetes por lo que de acuerdo al teorema, se tee que. P(A) (E E E 3,..., E ) P(E ) + P(E ) P(E ) P(S) El caso ateror es llamado comúmete como teorema de probabldades totales. Ejemplo: Cosdérese el expermeto de extraer al azar ua carta de ua baraja ordara de 5 cartas. Ecotrar la probabldad de que sea rey o reya. Solucó: Sea los evetos: E la carta es u rey. E la carta es ua reya. De dode se tee que: (E ) úmero de formas dferetes que puede ocurrr E. (E ) úmero de formas dferetes que puede ocurrr E. E ua baraja hay cuatro reyes y cuatro reyas por lo que. (E ) 4 ; (E ) 4 ; (S) 5 94

95 P(E E ) P(E )+P(E ) {(E )/(S)} + {(E )/(S)} 4/5 + 4/5 /3 Teorema 3 (Regla Adtva) Se utlza para ecotrar la probabldad del eveto A o B (A B). Esta regla llamada uó, se refere a la ocurreca, ya sea del eveto A, del eveto B o de A y B, S A y B so dos evetos cualesquera, los cuales o so mutuamete excluyetes etre s etoces se tee que la ecuacó represetatva es: P(A B) P(A ó B) P(A) + P(B) P(A B) P(A B) P(A) + P(B) P(A y B) La Regla Adtva se utlza para ecotrar la probabldad del eveto A o B (A B), esta regla llamada uó, se refere a la ocurreca, ya, sea, del eveto A, del eveto B o de A y B. Cosdérese el dagrama de Ve; la P(A B) es la suma de pesos de los putos muestra e (A B) por lo que P(A) + P(B) es la suma de todos los pesos e A más todos los pesos e B. Por lo ateror se tee que se ha sumado dos veces el peso de (A B), y que la suma de P(A B) da como resultado. 95

96 Se debe sustraer ua vez (A B) para obteer el resultado real de: P(A B) P(A) + P(B) - P(A B). La aplcacó de esta ecuacó se hace cuado los evetos tratados o so mutuamete excluyetes etre s. Ejemplo: E ua plata dustral trabaja 50 empleados, los cuales está clasfcados de la sguete forma: 90 Tee expereca e la elaboracó del producto A. 50 Tee expereca e la elaboracó del producto B. 30 Tee expereca e la elaboracó de ambos productos. Cuál es el (%) de empleados que puede elaborar uo, otro ó ambos productos? Solucó: El (%) de empleados que se pde para el caso, se calcula a través del uso de la ecuacó represetatva del teorema 3, dada como: P(A B) P(A) + P(B) - P(A B). {90/ /50} {30/50}

97 Lo que mplca que el 73.3 % de los empleados, puede elaborar uo, otro ó ambos productos. Cuado los evetos so mutuamete excluyetes, su forma de cálculo está dada como se muestra. P(A B) P(A) + P(B) Este caso es dervado de la regla adtva debdo a que: P(A B) φ P(φ) 0 Como se muestra e la fgura sguete. Ejemplo: La probabldad de que u estudate de la FCCA apruebe Cotabldad I es de /3, la probabldad de que apruebe Procesameto de Datos es de 4/9. S la probabldad de que apruebe las dos es de 4/5. cual es la probabldad de aprobar ambas?. 97

98 Solucó. Sea los evetos: A Cotabldad (/3). B Aprobar Procesameto de Datos (4/9). C Aprobar las dos (4/5). C (A B). P(A B) P(A) + P(B) - P(A B) (/3) + (4/9) - (4/5). 0.3 Gráfcamete esta dado como se muestra. 98

99 TEOREMA 4. S A y A' so evetos complemetaros, etoces: P(A') - P(A) Para el caso: A A' S P(S).0 P(S) P(A. A') P(A A').0 P(A) + P(A').0 P(A').0 - P(A). Ejemplo: Ua moeda se tra al are 6 veces cosecutvas. Determar cual es la probabldad de que salga al meos ua águla. Solucó. S 6 64 ; putos muéstrales. Eveto. E Que ocurra al meos ua águla. E' Que o ocurra gua cara (cuado todos los tros so ceros). P(E).0 - P(E') 99

100 P(E).0 - (/64) 63/ Ejemplo: Sí se laza dos moedas legales al are. Ecotrar la probabldad de obteer al meos ua águla A. Solucó: El espaco muestral esta dado como : S { AA, AS, SA, SS } Evetos. S Sol. A Águla. E Obteer al meos ua águla. E' No obteer águlas. P(E) - P(E') P(E) - (/4) 3/ Ejemplo: ua compañía dstrbudora de equpos electromecácos ha regstrado el úmero de aparatos de tpo W que solcta sus cletes semaalmete. U resume de dchos datos se muestra e la sguete tabla: No de Aparatos Frecueca (veces)

101 Total Se desea ecotrar cuál es la probabldad de que e la próxma semaa se solcte: a). Más de u aparato. b). A lo, más 3 aparatos. c). Etre y 4, ó más de dos aparatos. Solucó: a). Sea los evetos: A { solcta más de u aparato} C { solcta aparatos } Etoces: A { C C 3 C 4 C 5 } Pero: P(A) - P(A ) Por lo que: A { C 0 C }, P(A ) { C 0 C } P(C 0 ) + P(C ) {/ + 5/ } 7/ Por lo tato: P(A) 7/ 5/ b). Sea el eveto: B {solcta a lo más tres aparatos} 0

102 B { C 0 C C C 3 } P(B) P(C 0 ) + P(C ) + P(C ) + P(C 3 ) P(B) { / + 5/ + 9/ + 4/ } 0/ c). Sea los evetos: C {solcta etre y 4 aparatos} D {solcta más de aparatos} C { C C 3 C 4 } D { C 3 C 4 C 5 } De acuerdo a los datos: P( C) 4/; P(D) 6/, P(C D) 5/ Por lo tato: P(C D) P(C) + P(D) P(C D) {4/ + 6/ 5/} 5/ ESPERANZA MATEMATICA Para poder resumr ua dstrbucó de probabldad, se calculará sus característcas prcpales; la meda y la desvacó estádar, auque se trabajará solamete e el caso de feómeos dscretos, se debe mecoar que exste formas aálogas para poder obteer la meda y la desvacó estádar para feómeos cotuos. 0

103 VALOR ESPERADO DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA: El valor esperado de algú feómeo aleatoro dscreto se puede cosderar como su promedo poderado sobre todos los valores posbles. Para obteer esta medda de resume se calcula la meda artmétca de todos los valores posbles e la dstrbucó de probabldad poderados por las respectvas probabldades. Por lo tato E(X) o μ, es el valor esperado de la varable aleatora X, se puede expresar como: Dode: μ E( X ) X P( X E(X) valor esperado de X X Varable aleatora dscreta de terés X ésmo valor de X. P(X ) probabldad de ocurreca del -ésmo valor de X,,,..., També ésta medda es más u promedo poderado sobre los valores de la fucó de desdad. Ejemplo: Supógase el expermeto del lazameto de u dado legal y se desea coocer el valor esperado de cada tro, puede ser calculado e fucó de la dstrbucó de probabldad teórca como: RESULTADO PROB. DE OCURRENCIA /6 /6 3 /6 4 /6 5 /6 6 /6 ) 03

104 Se Tee que: μ E( X ) Dode: X P( X ) E(X) μ (/6) + (/6) + 3(/6) + 4(/6) + 5(/6) + 6(/6) 3.5 El resultado obtedo lteralmete o es sgfcatvo, ya que o es posble obteer ua cara de 3.5 e el dado. No obstate, cabe esperar observar las 6 caras dferetes co gual probabldad de que, a la larga, co muchas tradas, el valor promedo sería 3.5. Para que este resultado sea represetatvo, se troduce el sguete juego e ua lotería: cuáto dero se estaría dspuesto a apostar a f de teer la oportudad de trar u dado legal s se fuera a cobrar, e, pesos, el mporte de la cara del dado?. Como el valor esperado de u tro del dado legal es de 3.5, la recompesa, a largo plazo, es de $ 3.5 por trada, es decr, e cualquer trada partcular la recompesa será $, $,..., $ 6; pero e muchas, muchas tradas se puede esperar que la recompesa promedo es de $ 3.50 por trada. S se quere que el juego sea legal, el jugador el opoete (la casa) debe teer vetaja. Etoces hay que estar dspuestos a pagar $ 3.50 por tro para jugar. S la casa quere cobrar $ 4.00 por tro, hay que esperar pérdda co ese juego e promedo de $ 0.50 por tro, por lo que es recomedable absteerse de jugar. 04

105 PROBABILIDAD CONDICIONAL. E muchas ocasoes es ecesaro coocer umércamete la probabldad de u eveto B s se sabe que ha ocurrdo u eveto A. Esta probabldad es llamada Probabldad Codcoal de B dado A, para el caso A y B so evetos e S y P(B) es dferete de cero, la probabldad ctada se represeta como P(B/A). E este caso A srve como u espaco muestral uevo (reducdo), y la probabldad es la fraccó de P(A) que correspode a A B, matemátcamete está represetada como: P(A I B) P(B/ A) [P(A) 0] P(A) De gual forma la probabldad codcoal de A dado B esta dada. P(A I B) P(A/B) [P(B) 0] P(B) E este caso se esta esecalmete calculado la probabldad P(A) co respecto al espaco muestral reducdo de A e vez del espaco muestral orgal S. P(A B) mplca que ta probable es que estemos e A sabedo que debemos estar e B. La probabldad codcoal de A dado B gráfcamete puede represetarse como: 05

106 Se puede emplear la defcó de probabldad codcoal para expresar lo correspodete a la depedeca probablístca; de esta maera, se dce que dos evetos A y B so depedetes s y solo s: P(A/B) P(A) o be P(B/A) P(B). De forma tutva, s dos evetos o está relacoados etre sí, etoces la probabldad de que ocurra u eveto o se altera s se ha presetado ya otro eveto. Los dversos tpos de evetos puede ser esquematzados como: 06

107 S e u expermeto puede ocurrr ambos evetos A y B etoces. P(A I B)P(A)P(B/A) E cosecueca la probabldad de que ocurra ambos evetos A y B es gual a la probabldad de que A ocurra, multplcada por la probabldad de que B ocurra a codcó de A ECUACION GENERALIZADA DE LA PROBABILIDAD CONDICIONAL. Sí e u expermeto puede ocurrr los evetos ecuacó represetatva puede escrbrse como: A,,..., ; la A, A 3 A (... ) P I A P AI AI A3 I A I A P I A P( A) P( A) P( A3)... P( A / I A ) P( A) P( A / A) P( A / A I A )... 3 Ejemplo: E el laboratoro de la FCCA, u estudate (X) e la realzacó de sus práctcas de computo cosdera ates de realzarlas que la probabldad de que poga su mayor esfuerzo es de 0.9. El structor ha estmado que s poe su mayor esfuerzo tee ua probabldad de 0.8 de que realce adecuadamete la práctca y o salga mal, s o poe su mayor esfuerzo será de 0.3.Cuál es la probabldad de que el estudate (X): a).- Poga su mayor esfuerzo y obtega bueos resultados. b).- No poga su mayor esfuerzo y obtega bueos resultados. 07

108 Solucó: Evetos. W Que poga su mayor esfuerzo. Z Que obtega bueos resultados. W' Que o poga su mayor esfuerzo. Z' Que o obtega bueos resultados. Expresado el problema a través de u dagrama de árbol, queda represetado como: La probabldad codcoal defe: a).- P(WI Z) P(Z / W)P(W) 0.8(0.9) 0.7. b).- P(W' I Z) P(Z / W')P(W') 0.3(0.)

109 De dode se observa que bajo el esquema plateado es recomedable poer el mayor esfuerzo y aprovechar al máxmo la realzacó de práctcas de laboratoro TEOREMA DE BAYES Sea (A, A, A3,..., A) u cojuto de sucesos del eveto A que forma ua partcó del espaco muestral S. Se tee que los sucesos A, A, A3,..., A ; represeta ua partcó del espaco muestral S s se da las codcoes sguetes: a).- A U I A b).- A S j φ ; j c).- ) P(A > 0 ; E otras palabras: cuado se efectúa el expermeto ε, ocurre uo y solo uo de los sucesos A.Etoces lo ateror es expresado gráfcamete como se muestra e la fgura sguete. Dode P(A) 0 ; para,,..., y B cualquer eveto de S tal que P(B) 0. Lo ateror de forma gráfca es dado como: 09