PELAYO MELERO, Ignacio M. (1) Barcelona, Departamento de Matemática Aplicada III

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1 PROPUESTAS Y SUGERENCIAS PARA UN PROYECTO DOCENTE DE UN MÓDULO DE FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS: HACIA LA INTEGRACIÓN DE LAS INGENIERÍAS TÉCNICAS EN EL MARCO DEL ESPACIO EUROPEO DE EDUCACIÓN SUPERIOR PELAYO MELERO, Igacio M. (1) BLANCO ABELLAN, Móica (2) ; GINOVART GISBERT, Marta (2) igacio.m.pelayo@upc.edu (1) Uiversidad Politécica de Cataluña, España, Escuela Uiversitaria de Igeiería Técica Idustrial de Barceloa, Departameto de Matemática Aplicada III (2) Uiversidad Politécica de Cataluña, España, Escuela Uiversitaria de Igeiería Técica Agrícola de Barceloa, Departameto de Matemática Aplicada III RESUMEN Auque aú falta precisar el sigificado, cometido e istrumetació de la propuesta de 60 créditos ECTS comues a los títulos de cada ua de las Ramas de coocimieto establecidas, estamos covecidos de que materias básicas del área de Matemática Aplicada estará presetes e todos los plaes de estudios de la Rama de Igeiería y Arquitectura. El objetivo de esta comuicació es presetar propuestas cocretas para isertar e proyectos docetes de módulos de Fudametos Matemáticos, diseñadas e el ámbito específico de las escuelas de Igeiería Técica Agrícola y de Igeiería Técica Idustrial de Barceloa (Uiversidad Politécica de Cataluña), que podrá ser implemetadas e las correspodietes titulacioes de grado emarcadas e el EEES. A partir de la experiecia docete acumulada e las mecioadas escuelas, hemos articulado propuestas específicas que permitirá cotextualizar de forma coveiete coteidos básicos comues para estos módulos e el EEES, facilitado distitas cofiguracioes para las competecias específicas. Estas sugerecias combia diferetes metodologías docetes y altera distitos tipos de actividades para favorecer el desarrollo de competecias e la resolució de problemas. Problemas que e esta presetació se cetrará e el coteido Optimizació, propoiedo actividades formativas co sus créditos ECTS y su relació co las competecias que debe adquirir u estudiate e los estudios de estas escuelas uiversitarias. Palabras clave: Módulo de fudametos matemáticos, Optimizació, Objetivos comues y objetivos específicos. 15º Cogreso Uiversitario de Iovació Educativa e las Eseñazas Técicas Escuela Uiversitaria Politécica de Valladolid, 18, 19, 20 de julio,

2 1. Itroducció A petició de los Presidetes de las Subcomisioes del Cosejo de Coordiació Uiversitaria (CCU), el Miisterio de Educació y Ciecia a mediados de Febrero de 2007 ha elaborado u documeto iicial de trabajo, para poder dispoer de ua base sobre la que debatir e el seo de las propias Subcomisioes del CCU que permita realizar y cosolidar, e el caledario previsto, u aexo sobre Materias Básicas por Ramas, el cual formará parte del documeto geeral Directrices para la elaboració de títulos uiversitarios de Grado y Master (Resolució BOE, ). Las materias se ha seleccioado a partir de la lista de materias trocales de los actuales títulos. So materias que se ecuetra distribuidas e los primeros cursos y que so frecuetes e más de ua titulació. Esta cofiguració, ya revisada, pretede ateder a la sugerecia del CCU sobre la posibilidad de que pueda existir diferetes cofiguracioes de estos coteidos, de maera que pueda adaptarse a las peculiaridades de cada título, si que deba etederse como u úico curso o cojuto cerrado de materias úicas y comues a todos los títulos de ua Rama. La propuesta costa de ua lista dividida e cico Ramas del coocimieto (Artes y Humaidades, Ciecias, Ciecias de la Salud, Ciecias Sociales y Jurídicas, Igeiería y Arquitectura). Esta presetació se cetra e la Rama de Igeiería y Arquitectura, ya que los autores del trabajo ha desarrollado fudametalmete su actividad docete e la Rama de Igeiería. El pla de estudios de todos los títulos de la Rama de Igeiería deberá coteer 60 créditos ECTS diseñados a partir de las materias básicas coteidas e el listado geeral del documeto emitido por el MEC (Comuicacioes, Ecoomía, Electróica, Estadística, Expresió Gráfica, Física, Geología, Iformática, Matemáticas, Materiales, Mecáica, Medio Ambiete, Medios Cotiuos, Química, Redes, Termodiámica), que deberá ser programadas e los dos primeros cursos. Estas materias básicas se podrá cocretar e asigaturas co ua extesió míima de 6 créditos cada ua detro del cotexto Europea Credit Trasfer System (ECTS). De esos 60 créditos ECTS, al meos 36 ha de perteecer a ua de las Ramas. Los créditos restates podrá estar cofigurados co materias básicas de otras Ramas o de otras materias diferetes de las coteidas e el listado, siempre que se justifique su carácter básico para la formació iicial del estudiate y se garatice su carácter de competecia trasversal. E este cotexto es idudable el papel relevate que tiee y desempeñará las Matemáticas. Las asigaturas correspodietes a estas materias básicas podrá adaptarse a las características de la titulació y especificarse de acuerdo co las ecesidades de la misma. Es importate teer presete que el ECTS es u sistema cetrado e el estudiate, basado e la carga de trabajo que éste requiere para alcazar los objetivos del programa, objetivos preferetemete presetados e térmios de resultados de apredizaje y competecias a adquirir [1]. Los resultados del apredizaje cosiste e cojutos de competecias, que expresa lo que el estudiate debe coocer, eteder y ser capaz de hacer ua vez completado el proceso de apredizaje. Las competecias represeta ua combiació diámica de atributos, habilidades y aptitudes, e cosoacia co los resultados del apredizaje especificados (coocimieto, compresió y habilidades). E este cotexto somos coscietes de que e u úmero importate de casos será ecesario llevar a cabo ua revisió profuda y seria de los programas docetes de muchas de las asigaturas de matemáticas que se icluye detro de lo que coocemos actualmete como área de coocimieto Matemática Aplicada. Si realmete deseamos que ua asigatura básica de Matemática Aplicada tega la posibilidad de ser adaptable a distitas titulacioes, garatizado u coteido básico comú, ecesitamos hacer ua reflexió sobre los distitos módulos que puede articular ua asigatura como ésta y cotextualizarlos e el etoro e que tega que ser impartida o desarrollada, o al meos, estar covecidos de que esto se pueda llevar a cabo co éxito. Coocidas, pues, las directrices para la elaboració de títulos uiversitarios de grado y master elaboradas por el Miisterio de Educació y Ciecia, es evidete la ecesidad de ua profuda reforma curricular basada e la flexibilidad, e la trasversalidad y e la multidiscipliariedad como mecaismo de respuesta a las ecesidades de la ueva sociedad. A pesar de que aú queda por precisar el sigificado, cometido e istrumetació de la propuesta de 60 créditos ECTS comues a los títulos de cada ua de las Ramas de coocimieto establecidas, estamos covecidos de que materias básicas del área de Matemática Aplicada estará presetes e todos los plaes de estudios de la Rama de 15º Cogreso Uiversitario de Iovació Educativa e las Eseñazas Técicas Escuela Uiversitaria Politécica de Valladolid, 18, 19, 20 de julio,

3 Igeiería y Arquitectura. Desde hace uos años, los autores de este trabajo ha maifestado su iterés por la iovació docete, por el cambio de metodología docete que el Espacio Europeo de Educació Superior (EEES) colleva, por el proceso de apredizaje de los estudiates, y por el uso cada vez más frecuete de las uevas tecologías de la iformació y de la comuicació que permite cambiar el tipo de relació que se establece etre profesor y grupo de alumos [2,3]. 2. Objetivos El objetivo de esta comuicació es presetar propuestas cocretas para isertar e proyectos docetes de módulos de fudametos Matemáticos, diseñadas e el ámbito específico de las escuelas de Igeiería Técica Agrícola y de Igeiería Técica Idustrial de Barceloa (actualmete escuelas uiversitarias adscritas a la Uiversidad Politécica de Cataluña) y que puede ser utilizadas para su futura implemetació e las correspodietes titulacioes de grado emarcadas e el EEES. A partir de la dilatada actividad docete y de la experiecia acumulada e las mecioadas escuelas, hemos articulado propuestas específicas que permitirá cotextualizar de forma coveiete coteidos básicos y compartidos para estos módulos e el uevo etoro de títulos de grado, facilitado distitas cofiguracioes para las competecias específicas y peculiaridades de cada uo de los títulos futuros. Estas sugerecias elaboradas combiará diferetes metodologías docetes y alterará distitos tipos de actividades para favorecer el desarrollo de competecias e la resolució de problemas. Nos cetraremos e el coteido Optimizació para propoer actividades formativas co sus créditos ECTS, su metodología de eseñaza-apredizaje, y su relació co las competecias que creemos que debe adquirir u estudiate e los estudios impartidos hasta ahora e estas escuelas uiversitarias. Como casos particulares que la experiecia de los autores permite abordar, se cometará los perfiles correspodietes a la igeiería técica agrícola o agroómica, y a la idustrial (co especial éfasis e las especialidades de electróica, electricidad y mecáica). 3. Método de trabajo para la plaificació didáctica del módulo Optimizació El desarrollo de u módulo cetrado e Optimizació para ser icluido e ua asigatura de coteido básico matemático es ua actividad que requiere reflexioar sobre diversos aspectos de la actividad docete llevada a cabo hasta ahora, así como sobre la actividad docete que será ecesario articular e el uevo e imiete futuro del EEES [4]. E relació al coteido que se prepara, es importate: i) decidir el leguaje a utilizar y la otació a seguir; ii) sopesar vetajas y desvetajas de presetar el tema de forma geérica e ir aalizado los distitos casos particulares que se puede derivar, o bie hacer ua aproximació sucesiva a partir de problemas específicos que permita fialmete visualizar ua estructura geeral cojuta; iii) decidir qué programas matemáticos específicos utilizar, ya que su uso muchas veces se ve codicioado a u etoro académico o uiversitario propio de la titulació, durate el desarrollo de la misma, así como, puede ser tambié de gra utilidad para futuros estudios de master. Por otro lado, poteciar el uso de la hoja de cálculo covecioal, a pesar de que tiee las limitacioes propias de su aturaleza, tiee a favor el estar presete e todos los etoros profesioales y e todos los ordeadores persoales. Cojugado la experiecia docete de los autores propoemos u desarrollo de módulo que tega ua primera parte geeral o comú, y que sea los problemas propuestos o casos estudiados los que permita pasar a tratar los aspectos específicos del tema segú los perfiles de la Rama de igeiería Setido e importacia formativa del módulo Optimizació Es ecesario trasmitir a los estudiates la importacia formativa del módulo e el proyecto completo de la asigatura e la cual se iserte, para que éstos etieda lo que les aporta e su proceso de formació como uiversitarios y futuros profesioales. El módulo Optimizació cotribuye a la fució de dotar a los estudiates de igeiería de ua formació básica matemática adecuada, a la vez que permite cosolidar y homogeeizar el ivel de matemáticas co que igresa los estudiates e la 15º Cogreso Uiversitario de Iovació Educativa e las Eseñazas Técicas Escuela Uiversitaria Politécica de Valladolid, 18, 19, 20 de julio,

4 Rama de Igeiería, básicamete e relació al maejo de fucioes reales y e el estudio del cálculo diferecial de ua variable. Este módulo tambié facilita dotar de herramietas matemáticas básicas que precisará los estudiates para afrotar otras asigaturas, si olvidar el iterés que supoe para el futuro igeiero desde el puto de vista istrumetal. Como primera y muy geeral aproximació, podemos decir que la Optimizació persigue resolver ciertos problemas e los que se busca la mejor decisió posible etre u cojuto de alterativas. Así pues, etedemos que este tema permite cojugar distitos tipos de habilidades y competecias que todo estudiate de igeiería debería coseguir. E uestra vida cotidiaa, a meudo os efretamos al problema de maximizar ciertas variables respuestas, o miimizar otras. Tambié es evidete que o siempre de etre diversas opcioes que teemos para escoger, todas sea ecesariamete viables o posibles. Hay u compromiso etre las variables y la fució objetivo, la fució que represeta parte de uestro problema y que requiere uestra ateció. Hay que eteder el problema cualitativamete ates de resolverlo cuatitativamete. Así pues, vamos a orgaizar la iformació ecesaria para poder tratar esta clase de problemas, siedo el primer paso modelizar la situació que os ocupa, es decir, expresar el problema e térmios matemáticos precisos. Requerimos, pues, teer fucioes y variables, sujetas o o a restriccioes o ligaduras. U aspecto que es importate o obviar es la historia de las distitas cotribucioes a este tema de Optimizació, lo cual permite ecajar y visualizar los distitos pasos que se ha dado para alcazar lo que ahora cosideramos como u cojuto. Por ejemplo, coocer los desarrollos claves de los siglos XVII y XVIII (Fermat, Newto, Euler y Lagrage), así como los de la seguda mitad del siglo XX (Datzig, Kuh y Tucker), y los más recietes de los últimos años cosideramos que es iteresate para ua formació itegral. Esta presetació histórica permite expoer que la teoría, tal como la coocemos hoy, así como los métodos actuales de resolució, o ha existido siempre, sio que so el resultado del esfuerzo de muchos ivestigadores destacados a lo largo del tiempo. Por otro lado, hoy e día se produce grades avaces e computació que permite abordar métodos diversos de resolucioes de problemas de optimizació. A las pregutas de quié hace Optimizació, quié utiliza la Optimizació, o dóde se puede aplicar la Optimizació, se debería respoder co ejemplos diversos, de campos de coocimieto distito y que muchas veces perteece a departametos uiversitarios distitos (matemática aplicada o ivestigació operativa), co aplicacioes e todas las áreas de igeiería (producció, plaificació y logística etre otras). Detro de la Optimizació hay dos grades grupos, la Optimizació cotiua y la Optimizació discreta. Hay que matizar que e esta presetació etedemos el térmio programació como programació matemática determiista, y uestro módulo se cetrará úicamete e la Optimizació cotiua. Ésta puede ser co restriccioes o si restriccioes, y supoemos que maejamos Optimizació basada e modelos (o la empírica). E relació a la resolució del problema de esta optimizació, trabajaremos co resolucioes de tipo grafico, de tipo aalítico y/o de tipo umérico. Otro aspecto importate a desarrollar e el módulo es la búsqueda de ejemplos por parte del estudiate e el resto de asigaturas participates e la titulació, o bie e la vida real, que permita caracterizar y defiir u problema de Optimizació y ecajarlo e la otació matemática itroducida e el desarrollo del módulo. Puede ser ejemplos muy simples, o bie algo más sofisticados y complejos, pero estamos covecidos de que la actividad resulta relevate y fudametal para el estudiate; el ser capaz de idetificar problemas de optimizació e su etoro ya tiee de por sí u valor elevado e la formació itegral de éste Objetivos geerales y objetivos específicos del módulo Optimizació E primer lugar, presetamos los objetivos, que o debemos cofudir co los coteidos, pues si los objetivos meramete señalara a los coteidos que se desea que los alumos apreda, éstos o aportaría ada a la guía docete. Los objetivos debe explicitar las gaacias que los alumos obtiee como cosecuecia de cursar este módulo, además de la icorporació de uevos coteidos o cosolidació de los ya coocidos. Al empezar el curso se les etrega a los estudiates u documeto dode se especifica los resultados de apredizaje, clasificados segú la taxoomía 15º Cogreso Uiversitario de Iovació Educativa e las Eseñazas Técicas Escuela Uiversitaria Politécica de Valladolid, 18, 19, 20 de julio,

5 simplificada de iveles de competecia de Bloom [5]: i) coocimieto, defiido como la capacidad de recordar iformació pertiete, previamete apredida; ii) compresió, como la capacidad de iterpretar y extrapolar el sigificado de los coocimietos apredidos; iii) aplicació, e el setido de usar los coocimietos apredidos e uevas situacioes para resolver u problema cocreto, valorado la mejor solució posible. Así los resultados de apredizaje de optimizació ha sido articulados e grado creciete de dificultad, como se expoe a cotiuació. E lo que respecta al desarrollo de la parte comú para ua asigatura de la materia básica matemáticas e la Rama de Igeiería, después de cursar el módulo de Optimizació, el estudiate será capaz de: Eumerar las distitas posibilidades de resolució de u problema de optimizació plateado. [Coocimieto] Idetificar el método adecuado de resolució de la optimizació. [Compresió] Idetificar situacioes reales de su etoro que permita utilizar la teoría de la optimizació. [Compresió] Defiir co precisió, máximo y míimo relativo y absoluto de ua fució real de varias variables. [Coocimieto] Idetificar los putos críticos de ua fució real de varias variables. [Compresió] Euciar la codició suficiete de extremo relativo. [Coocimieto] Caracterizar extremos relativos. [Compresió] Discutir los extremos absolutos de ua fució dada sobre u cojuto determiado. [Compresió] Optimizar ua fució real de varias variables. [Aplicació] Reducció de variables de ua fució objetivo. Expresar la fució objetivo después de sustituir ua restricció dada de forma explícita. [Compresió] Resolver u problema de optimizació co dos o tres variables co restriccioes de igualdad. [Aplicació] Resolver u problema de optimizació co restriccioes de dos o tres variables de desigualdad. [Aplicació] Resolver u problema de optimizació co restriccioes de igualdad y de desigualdad de tres variables. [Aplicació] Comuicar los pricipales hechos históricos que permitiero avazar e el campo de la teoría de la optimizació y de sus aplicacioes, tal y como los coocemos ahora. [Coocimieto] Traducir euciados de problemas reales e térmios de optimizació de fucioes reales y de variables reales. [Compresió] Después de cursar el módulo de Optimizació, y cosiderado el desarrollo de la parte complemetaria, segú su formació específica y de acuerdo co su titulació o perfil, el estudiate para resolver u problema de optimizació co restriccioes será capaz de: Describir el método de los multiplicadores de Lagrage. [Compresió] Resolver u problema de optimizació co restriccioes de igualdad mediate el método de los multiplicadores de Lagrage. [Aplicació] Describir el método de Kuh-Tucker. [Compresió] Resolver u problema de optimizació co restriccioes mediate el método de Kuh-Tucker. [Aplicació] Describir el método Simplex. [Compresió] Resolver u problema de optimizació de ua fució lieal co restriccioes lieales mediate el método de la programació lieal. [Aplicació] Maejo de fuetes iteracioales o publicacioes propias de la titulació e que se trabaje y que trate sobre algú aspecto presetado e el proceso de optimizació. [Compresió] Fialmete, después de haber asistido a las sesioes e aula iformática correspodietes a esta uidad de coteido, el estudiate maipulará las utilidades de cálculo y gráficas de ua hoja de cálculo geeral y de programas matemáticos de uso más corriete para alcazar los objetivos 15º Cogreso Uiversitario de Iovació Educativa e las Eseñazas Técicas Escuela Uiversitaria Politécica de Valladolid, 18, 19, 20 de julio,

6 listados, co ua iterpretació cosistete de las salidas que proporcioa el ordeador. [Aplicació] El orde de prioridad para estos objetivos específicos que cosideramos segú sea el perfil agrícola (agroómico) y el perfil idustrial, es el que detallamos a cotiuació. Para la igeiería agrícola (agroómica) defedemos como prioritario el maejo de los métodos de resolució e la programació lieal, seguida del método Lagrage, y cosideramos improbable que e ua asigatura básica se pueda tratar el método Kuh-Tucker e profudidad. Aquí efatizamos la utilizació de la hoja de cálculo. Por el cotrario, para el perfil idustrial, la prioridad para alcazar los objetivos específicos e ua asigatura básica la situamos e primer lugar e el método de Lagrage y después e el método de Kuh-Tucker, para dejar quizás e ua itroducció básica o para otras asigaturas el método Simplex. E este caso propoemos la utilizació de u programa matemático específico, por ejemplo el Maple Esquema de coteido del módulo Optimizació Hay que teer muy presete que o se puede hipertrofiar o sobredimesioar los coteidos de las asigaturas, y e cosecuecia, de los módulos que las cofigura. No obstate, e el caso del módulo de Optimizació que estamos desarrollado y plaificado, su ubicació real e la estructura geeral de ua asigatura será posterior. De hecho, isertar este módulo e ua de las asigaturas de fudametos de matemáticas será ua tarea pediete para el mometo e que se coozca el pla de estudios y las asigaturas que lo cofigura. E cosecuecia, habrá que respetar y tomar e cueta el úmero de créditos que fialmete vaya a teer la asigatura que lo acoja, siedo coheretes co el peso curricular que se le desee otorgar. Como ahora el cotexto de asigatura o está determiado, y queremos que esta propuesta de módulo sea útil e el diseño de ua asigatura de fudametos matemáticos futura, hemos optado por ua selecció de coteidos fudametales para permitir u aprovechamieto del mismo e cualquier cotexto de asigatura básica. Respecto a la última parte de los coteidos, ya se ha cometado e el apartado correspodiete a los objetivos, que se puede adaptar al perfil de la titulació, y por tato, será versátil tato su desarrollo, como la itesidad de este desarrollo, e el cotexto e el que os ecotremos más adelate. Expoemos a cotiuació la relació de coteidos que puede ser subdividida e coteidos eseciales y coteidos ecesarios [6]. La subdivisió de coteidos de ampliació debe ser cosistete co los objetivos específicos formulados e el apartado aterior, y por tato, deberá ser clasificados de acuerdo al perfil de la titulació que se curse. Coteidos eseciales Reseña histórica y desarrollos claves para la optimizació. Leguaje y coceptos. Problema, modelo, programació matemática. Fució objetivo. Variables pricipales. Restriccioes de igualdad y de desigualdad. Programació o lieal y programació lieal. Programació clásica si restriccioes. Programació clásica co restriccioes de igualdad. Clases de variables. Variables positivas. Variables libres. Variables de holgura. Tipos de solucioes. Solució factible. Solució iterior. Solució de frotera. Tipos de óptimos. Máximo (o míimo) global estricto y o estricto. Máximo (o míimo) local estricto y o estricto. Coteidos ecesarios Trasformació de problemas. Cambio de sigo de la fució objetivo y de las variables. Elimiació de ua costate e la fució objetivo. Itercambios etre igualdades y desigualdades. Cojutos covexos. Fucioes cócavas y covexas. Teoremas básicos de la programació matemática. Teorema de Weiertrass. Teorema local-global. Programació o lieal clásica. Óptimos si restriccioes de igualdad. Codicioes ecesarias de óptimos. Codicioes suficietes de óptimos. Óptimos co restriccioes. Óptimos co restriccioes de igualdad. Fució Lagragiaa. Codició ecesaria de Lagrage. Multiplicadores de Lagrage y 15º Cogreso Uiversitario de Iovació Educativa e las Eseñazas Técicas Escuela Uiversitaria Politécica de Valladolid, 18, 19, 20 de julio,

7 su iterpretació. Resolució gráfica e el caso de ua y dos variables. Resolució aalítica. Resolució co Maple. Programació lieal cotiúa. Forma caóica y forma estádar de los problemas. Resolució gráfica e el caso dos variables. Método Simplex. Resolució co Excel. Resolució co Maple. Aálisis de sesibilidad. Programació o lieal o clásica. Óptimos co restriccioes de desigualdad. Fució de Kuh- Tucker. Multiplicadores de Kuh-Tucker. Codicioes de Kuh-Tucker. Iterpretació de los multiplicadores. Diferetes opcioes para la resolució de u problema. Problemas de aplicació de problemas para la búsqueda de óptimos de distita dificultad y para cotextos distitos relacioados co el perfil de la titulació correspodiete Idicacioes metodológicas y atribució de la carga ECTS del módulo Optimizació Las idicacioes sobre la metodología ayuda a clarificar y explicitar la metodología que cada profesor desarrolla, es decir, la forma e que se va a orgaizar los dispositivos que teemos a uestra disposició, para propiciar el apredizaje de uestros alumos. A pesar de que los profesores siempre ha sido coscietes de su actividad docete, es ahora, e el marco del EEES, dode se os pide o se os exige u uevo tipo de guía docete, distito al que estábamos acostumbrados. Esta ueva guía debe coteer explícitamete las distitas metodologías docetes a utilizar e uestras asigaturas descritas de forma cualitativa y cuatitativa. E este mometo el ejercicio más iteresate es el de plaear y cuatificar co atelació estas distitas actividades. La combiació ideal de las clases magistrales e aula covecioal, el trabajo e grupo y/o idividual e aula covecioal y e aula iformática (laboratorio), y el estudio idividual e idepediete del estudiate fuera del aula permite, a uestro eteder, coseguir ua buea metodología y ritmo de trabajo, que reivierte e u bue aprovechamieto del tiempo dispoible, y e u redimieto académico satisfactorio. Es esecial hacer variar de forma eficiete distitas modalidades de tiempos, actividades y recursos e el aula. Precisamete, la atribució de la carga e ECTS propiciará la propuesta de ua mayor variabilidad de actividades detro del proceso de apredizaje, e oposició a las sesioes de formatos muy homogéeos y costates a lo largo del tiempo, o sea, las sesioes clásicas para muchos etoros uiversitarios actuales. La distribució de la carga de trabajo que costituye el cojuto de las distitas actividades a desarrollar por el estudiate ( studet workload ) e el periodo de trabajo atribuido a este módulo es uo de los aspectos más ovedosos del uevo marco del EEES. Nuestra propuesta, teiedo e cueta que 1 ECTS se cosidera que correspode aproximadamete a horas estimadas de trabajo del alumo, es de 2 ECTS. Es decir, el módulo de Optimizació requerirá de horas para su puesta e marcha y desarrollo completo. A cotiuació hay que idetificar el cojuto de actividades a desplegar por uestros estudiates e el módulo, y estimar el factor o razó de presecialidad / trabajo autóomo que requiere las actividades mecioadas (tiempo presecial de los estudiates e el aula / tiempo de trabajo o presecial para preparar o digerir o asimilar la actividad docete llevada a cabo). Todos sabemos que este tiempo o presecial depede tato de la actividad a efectuar como del tipo de estudiate que la lleva a cabo, por lo que es difícil y arriesgado propoer ua estimació de tipo putual que sea pleamete acertada. A uestro eteder, sería más valioso poder utilizar ua estimació por itervalo de cofiaza a partir de la iformació muestral que se pudiera coseguir e u futuro co la puesta e práctica de este módulo, detro de algua experiecia piloto e uestros cetros. El objetivo de este apartado es aportar ua estimació putual subjetiva del tiempo a ivertir, que debería ser posteriormete cotrastada, e ua seguda parte del trabajo, co la puesta e práctica del módulo y el cotrol de la actividad real llevada a cabo por los estudiates, haciedo uso de muestreos aleatorios y ecuestas. Por lo tato, la previsió que presetamos es ua estimació basada e uestra experiecia docete. Queda por tato, para otro curso académico, poer el módulo diseñado e el cotexto de ua asigatura y cotrastar la iformació recogida de los estudiates co las previsioes hechas. E la Tabla 1 idicamos la previsió elaborada para este módulo de Optimizació. 15º Cogreso Uiversitario de Iovació Educativa e las Eseñazas Técicas Escuela Uiversitaria Politécica de Valladolid, 18, 19, 20 de julio,

8 3.5. Idicacioes para la evaluació del módulo Optimizació U puto esecial del proceso es hacer referecia a los aspectos que se evaluará, a la forma de hacerlo, los criterios a utilizar y el peso o porcetaje que tedrá cada uo de estos aspectos e la ota fial, e este caso, a la ota correspodiete a u módulo (como parte de ua asigatura). La Tabla 2 idica los criterios de evaluació que cosideramos coveietes y la maera e la que se llevará a cabo este cotrol. Tabla 1: Distribució de actividades y tiempos de dedicació e el módulo. Actividades Horas preseciales Horas o preseciales Horas totales Sesioes teóricas (aula covecioal) Sesioes prácticas (aula iformática) Trabajo (idividual o e grupo) Tutoría Prueba escrita Prueba oral relativa al trabajo total Tabla 2: Criterios para la evaluació del módulo. Aspecto a valorar Istrumeto Porcetaje Asistecia y participació Observació del profesor 10% Coocimietos teóricos y habilidades procedimetales Prueba escrita Prueba oral 50% 15% Realizació de los iformes de prácticas y del trabajo Etregas realizadas 25% 3.6. Ejemplos de problemas de optimizació para ser adaptados a distitas titulacioes Los problemas de optimizació puede presetarse e la forma estádar, idicado la fució objetivo y las restriccioes, o bie platearlos mediate euciados de diferete aturaleza. A cotiuació, mostramos a través de dos ejemplos particulares o cocretos, u modelo de exposició que icluye ambos tipos de presetació. Este modelo mixto hace posible que u módulo determiado pueda ser sumergido, de forma atural, e programas perteecietes a diversas titulacioes de igeiería. Asimismo, estos ejemplos pretede mostrar que u mismo coteido esecial puede ser expuesto de diferetes formas y bajo diferetes cofiguracioes, e fució de las peculiaridades de cada título o pla de estudios, de las características del grupo y de los objetivos geerales y específicos que se programe. Ejemplo 1 Dados a > 0, b > 0 tales que a 2b y b 2a, clasificar y resolver el siguiete problema de programació matemática: x + 2y 40 Max { ax + by} sujeto a las codicioes 2x + y 50 x 0, y 0 Solució: Es u problema de programació lieal co dos variables. Las hipótesis impuestas sobre los parámetros de la fució objetivo permite asegurar que existe ua úica solució, que es: x = 20, y = 10. 1a) Ua fábrica maufactura dos tipos de evase para u mismo producto alimetario. La del primer tipo requiere 1 hora de corte y 2 de acabado. Cada evase del segudo tipo requiere 2 horas de corte y 1 de acabado. Las capacidades diarias de cortado y acabado so 40 y 50 horas respectivamete. Teiedo e cueta que cada evase del primer tipo produce u beeficio de 70 euros, y la del segudo de 90 euros, se desea coocer la catidad de evases de cada tipo que debe producirse diariamete para maximizar el beeficio. 15º Cogreso Uiversitario de Iovació Educativa e las Eseñazas Técicas Escuela Uiversitaria Politécica de Valladolid, 18, 19, 20 de julio,

9 Solució: La formulació matemática de este problema es precisamete la mostrada e el apartado aterior para la fució objetivo: z = 70 x + 90y. Por lo tato, la solució óptima de este problema es: 20 evases del primer tipo y 10 del segudo. 1b) U igeiero tiee que diseñar ua parcela rectagular tal que i) la suma de su dimesió mayor y el doble de la meor o sobrepase los 40 metros y ii) la suma de su dimesió meor y el doble de la mayor o sobrepase los 50 metros. Cuáles so las dimesioes para las cuales el perímetro de dicha parcela es máximo? Solució: La formulació matemática de este problema es precisamete la mostrada e el primer apartado para la fució objetivo: z = 2 x + 2 y. Por lo tato, la solució óptima de este problema es: 20 metros de largo y 10 metros de acho. Ejemplo 2 Dados 1, s > 0, r = a 1 > 0, clasificar y resolver el siguiete problema de programació matemática: + x + ry = s x y Mi sujeto a las codicioes x 0 2 y 0 Solució: Es u problema de programació matemática o clásica y covexa. La fució lagragiaa es: x + y L( x, y, λ, µ 1, µ 2) = + λ( x + ry s) + ( x) µ 1 + ( y) µ 2 Las codicioes de Khu-Tucker so: 2 x 1 + λ µ 1 = 0 2 y 1 + rλ µ = x + ry s = 0 ( x)µ 1 = ( y)µ 2 = 0 µ 1,µ 2 0 x,y 0 s sa La solució es ( x, y) = (, ). 1 + a 1 + a x + y x + y 2a) Demostrar la desigualdad, si 1, x 0, y Solució: Se trata de u corolario del apartado aterior, tomado s = x + y y r = 1. x + y ( s / 2) + ( s / 2) x + y = f ( x, y) f ( s / 2, s / 2) = = ( s / 2) = b) La fució de costes de ua empresa viee dada por C ( X, Y ) = 4096X 4 + Y , dode X e Y so las catidades producidas de dos artículos. Determiar el coste míimo ecesario para producir u total de 102 uidades de producto. Solució: La formulació matemática de este problema es equivalete a la del primer apartado, tomado = 4, x = 8X, y = Y, r = 8 y s = 816. Por lo tato, la solució es: C ( 6,96) = Cosideracioes fiales E este trabajo hemos mostrado ua propuesta de modelo de plaificació de u módulo de Optimizació de 2 ECTS, para que forme parte de ua materia básica de 6 créditos ECTS perteeciete al área de matemáticas, para su previsible ubicació e diferetes titulacioes de la Rama de Igeiería y Arquitectura. A la hora de elaborar la mecioada plaificació, características como su flexibilidad, adaptabilidad y permeabilidad, so fudametales para obteer u producto 15º Cogreso Uiversitario de Iovació Educativa e las Eseñazas Técicas Escuela Uiversitaria Politécica de Valladolid, 18, 19, 20 de julio,

10 docete que pueda satisfacer las exigecias previstas. Ciertamete, ua vez llevado a cabo este trabajo previo y ecesario, cuyas líeas maestras hemos dibujado, se hace ecesario completarlo co ua seguda parte, cosistete e evaluar el mismo, ua vez se haya puesto e práctica el módulo y se pueda efectuar el cotrol de la actividad real llevada a cabo por estudiates de diferetes titulacioes. A partir de los datos obteidos, y después de iterpretarlos y reflexioar sobre ellos, procederemos a llevar a cabo los cambios y mejoras que dará lugar a ua versió previsiblemete perfeccioada de la propuesta iicialmete elegida. E esto precisamete cosiste el método cietífico, y que e el ámbito de la plaificació e implemetació de u proyecto docete estimamos que es el procedimieto que debe ser utilizado. Esta propuesta elaborada y presetada ha ecesitado, y a la vez ha favorecido, ua reflexió seria y profuda, tato de la metodología docete como de los coteidos escogidos, lo cual reivierte e ua mejora de uestra actividad docete, y de forma extesiva, seguro que reivertirá e u mejor redimieto académico por parte de uestros estudiates. 5. Referecias [1] ECTS Users Guide (2005), [e líea]. Dispoible e: [Cosulta: 10 de eero 2007]. [2] ESTELA M. R., M. BLANCO, M. GINOVART, J. FRANCH, E. JARAUTA, N. ROMAN, S. XAMBÓ. Curs de Càlcul: Ua ova metodología per a la impartició i gestió basades e l etor Moodle. E Libro de Resúmees del IV Cogreso Iteracioal Docecia Uiversitaria y Iovació IV CIDUI (Barceloa, 5-7 de julio 2006). Uiversidad de Barceloa. Sigo Impressió Gràfica SA, Vol 1 p [3] BLANCO M., M. GINOVART, M. R. ESTELA, E. JARAUTA. Teachig ad learig mathematics ad statistics at a agricultural egieerig collage. E Proceedigs of the CIEAEM 58 Chages i Society: A Challege for Mathematics Educatio (Srí, Czech Republic, 9-15 de Julio 2006) Uiversity of West Bohemia, p [4] ZABALZA BERAZA M. A. Guía para la plaificació didáctica de la docecia uiversitaria e el marco del EEES (Guía de guías) Uiversidad de Satiago de Compostela, 2004 [e líea]. Dispoible e: [Cosulta: 9 de eero de 2007] [5] BLOOM B.S. (Ed.). (1956). Taxoomy of educatioal objectives, hadbook I: Cogitive domai. New York: Logmas, Gree. Bloom, B.S., Eglehart, M.D., Furst, E. J., & Krathwohl, D.R. (1956). Taxoomy of educatioal objectives: Cogitive domai. New York: McKay. [6] CASTILLO, E., A.J. CONEJO, PEDREGAL P., GARCÍA, R. y N. ALGUACIL. Buildig ad Solvig Mathematical Programmig Models i Egieerig ad Sciece, Pure ad Applied Mathematics Series, Wiley, New York, Versió e castellao dispoible e: 15º Cogreso Uiversitario de Iovació Educativa e las Eseñazas Técicas Escuela Uiversitaria Politécica de Valladolid, 18, 19, 20 de julio,