LÓGICA COMPUTACIONAL CAPÍTULO 1: LÓGICA DE PROPOSICIONES

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1 LÓGICA COMPUTACIONAL CAPÍTULO : LÓGICA DE PROPOSICIONES DAVID RODRÍGUEZ HERNÁNDEZ FECHA DE REVISIÓN: 08 Octubre 2007 ZAMORA (CURSO 2007/2008) david.rgh@gmail.com

2 Nota importate: Este documeto o pretede reemplazar al material propuesto por la UNED para la asigatura Lógica Computacioal. Su fialidad es presetar de ua forma esquematizada los coteidos de la asigatura, para facilitar el estudio de la misma. Es coveiete dispoer de la bibliografía propuesta por la Uiversidad para su estudio completo. Cualquier sugerecia, cometario o correcció sobre este documeto, evíelo a david.rgh@gmail.com para poder realizar los cambios ecesarios. Nota adicioal: Este documeto o está fializado. Acosejo revisar periódicamete el portal WAINU ( para actualizacioes. David Rguez. Hdez. Alumo de 2º ciclo Igeiería Iformática (UNED)

3 SINTAXIS: Alfabeto: Cojuto de símbolos. Puede ser fiito o ifiito: Fiito A = {$,,5} Ifiito A = p, p, p,...} s 2 { 2 3 p4 Expresió: Secuecia FINITA de símbolos. Si se compoe sobre el abecedario A etoces se dice que es ua expresió sobre el alfabeto A. A los símbolos se les puede llamar tambié caracteres y a las expresioes, cadeas. Al cojuto ifiito de expresioes (fiitas) sobre A se le ombra A*. Leguaje: Es el cojuto de expresioes. Si es sobre A, etoces tambié lo es sobre cualquier subcojuto de A* (icluyedo al propio A*). Puede ser ifiito, pero mecioado algua propiedad comú (por ejemplo: cotiee al meos ua s ). Leguaje de lógica de proposicioes: Proporcioa los símbolos ecesarios para represetar proposicioes sobre el mudo. Requiere teer letras proposicioales. Alfabeto de la lógica de proposicioes: Comprede las letras proposicioales, los símbolos lógicos y los símbolos de putuació. A = { p0, p,...,, Τ,,,,,,(,)} Si hay pocas letras proposicioales, se puede utilizar p,r,s,t Se lee de la siguiete forma: Falso false Τ Verdadero true p o p ~p p q p y q p&q p q p o q p q si p, etoces q p q p q p q p si, y solo si, q p q p q Fórmulas: So las expresioes que cosideramos como aceptables e el leguaje.

4 Form: Cojuto ifiito de fórmulas. Árboles sitácticos: Represetacioes gráficas del desglose (o composició) de ua fórmula. ((p^t) v ( p)) V (p^t) ( p) ^ p T p p T p Fórmula atómica: (verdadero/falso). Expresió compuesta por ua letra proposicioal o por costates U cojuto X de fórmulas verifica que:. Las fórmulas atómicas perteece a X. 2. Si ua fórmula o atómica perteece a X, etoces su egació tambié. 3. Si dos fórmulas o atómicas perteece a X, etoces su composició por ua coectiva tambié. Leguaje de lógica de proposicioes: (cojuto Form) Cotiee todas las fórmulas de uestro leguaje (SÓLO ESTAS) y es el meor de los cojutos que verifica las propiedades ateriores. Metaleguaje: griego. Letras que represeta fórmulas completas. Se suele utilizar el alfabeto Pricipio de iducció estructural (demostració iductiva):. Caso base: Toda fórmula atómica tiee la propiedad P. 2. Si ua fórmula tiee P, su egació tambié. 3. Si dos fórmulas tiee P (ambas), etoces su composició por ua coectiva tambié. Aálisis sitáctico úico: Cada fórmula proposicioal perteece a ua Y SOLO UNA de estas categorías: Es atómica. Es ua egació de otra fórmula úica. Es ua composició de dos fórmulas úicas para ua determiada coectiva. Si se trata de la tercera categoría, cada ua de esas dos fórmulas se deomia subfórmulas imediatas (o ecesariamete atómicas).

5 Defiicioes recursivas: So aquellas defiicioes que se basa sobre las aportacioes de las subfórmulas imediatas. Pricipio de Recursió Estructural: Para ua determiada elecció de las fucioes previas, la fució resultate es úica y está bie defiida. Ej: f at : Form _ Atom X f : X X f X 2 X * : (para cada coectiva biaria). Rago: Proporcioa la logitud de la mayor rama del árbol sitáctico de la fórmula. Número de símbolos: Proporcioa el úmero de fórmulas atómicas de la fórmula. Número de aparició de coectivas: determiada coectiva e la fórmula. Proporcioa el úmero de veces que aparece ua Pricipio de iducció completa: Si se demuestra que para ua fórmula dada, todas las fórmulas co rago meor que el rago de dicha fórmula tiee la propiedad P, etoces esa fórmula tambié tiee la propiedad P. Defiició recursiva de árbol sitáctico: Árbol(δ), δ = ψ*χ (ψ*χ) Árbol(δ), δ = ψ ψ Árbol(δ), δ atómica δ Árbol (ψ) Árbol (χ) Árbol (ψ) δ Subfórmulas (Subform): Es el cojuto de TODAS sus subfórmulas. Sustitució uiforme: Permite escribir ua fórmula a partir de otra estableciedo ua equivalecia para cada letra proposicioal. Es muy útil. Se debe aplicar UNIFORMEMENTE la PRIMERA vez de forma SIMULTÁNEA (o se puede aplicar primero uas y luego otras, ya que podría dar lugar a bucles cerrados). Istacia, por sustitució, de ua fórmula: Si teemos ϕ y σ atom : Form _ Atom a Form (sustitució para fórmula atómica) etoces la sustitució uiforme será: ( ϕ) σ = σ σ ( ψ ) * ( χ ) ); paraϕ = ( ψ * χ ) σ ( ( ψ ) ); paraϕ = ( ϕ) σ ( ϕ) ; paraϕ _ atómica atom

6 Si se trata de ua costate, su istacia por sustitució de σ es ella misma. Si o se defie sustitució para todas (ifiitas) las letras proposicioes, etoces la istacia para aquella letra o defiida, es ella misma. Elimiar parétesis: La elimiació de parétesis puede supoer ambigüedades e alguas fórmulas. Para orgaizarlos, teemos 2 posibilidades: Orde de precedecia: Se establece prioridades para los distitos símbolos. Lo más usual es (de mayor prioridad a meor prioridad): Negació, cojució/disyució y codicioal/bicodicioal. Notació prefija: Al igual que e ua operació matemática podemos pasar de la otació ifija a otació prefija (o otació polaca): ( 3 + 5) ( + 35) Tambié lo podemos pasar e ua fórmula proposicioal: (( p q) ( p) ) pq p SEMÁNTICA Sistema lógico: Se utiliza para represetar declaracioes sobre el mudo y para operar sobre dichas represetacioes. Expresió declarativa: Eucia u estado de cosas. Por ejemplo, llueve. Ua expresió declarativa NO es ua preguta i ua orde. A partir de dos o más expresioes declarativas, se puede costruir uevas. Ejemplo: llueve y hace frío. Los sistemas lógicos represeta de ua forma formal estas expresioes declarativas. Es u leguaje pobre que iteta represetar uo rico y variado, por lo que tiee su dificultad. El ejemplo aterior se represetaría como p q Cada expresió declarativa tiee u grado de verdad, y su cojuto tiee u grado de verdad que es depediete de los ateriores. La lógica proposicioal iteta captar las depedecias etre los valores de verdades segú la coectiva. Así pues, se puede averiguar el valor de verdad de expresioes complejas a partir de los valores de sus compoetes. Existe cuatro cuestioes muy importates sobre los valores de verdad: Satisfabilidad: Ua fórmula es satisfactible si, dada ua iterpretació, todas las declaracioes so verdaderas. Si o existe igua iterpretació que lo cumpla, es istatisfactible.

7 Validez: Aquellas expresioes que SIEMPRE so verdaderas. Cosecuecia lógica: Alguas declaracioes puede ser deducibles a partir del resto. Equivalecia: Alguas declaracioes so equivaletes. Ej: p q es equivalete a ( q ) ( p) Valores de verdad de fórmulas atómicas: Existe dos valores: verdadero y falso ( y 0). Asigació: Es ua fució del cojuto de fórmulas atómicas e el cojuto de valores de = v Τ = verdad, co v ( ) 0 y ( ) atom atom E otras palabras, ua asigació es ua combiació de valores para el cojuto de letras proposicioales. Para letras existe 2 asigacioes. Valores de verdad de las coectivas biarias básicas: p q p q p q p q p q Valores de verdad de fórmulas complejas: El valor de verdad de ua fórmula compuesta depede sólo del valor de sus subfórmulas imediatas y de su coectiva. Toda fórmula puede evaluarse y las complejas tiee sus correspodecias co valores de verdad. Se descarta aquellas correspodecias que evalúe como verdadera a ua fórmula y a su egació. Iterpretació: Es ua correspodecia aceptable. : Form a { 0,} v es ua fució que asiga a cada fórmula u valor de verdad y verifica lo siguiete: v ( ) = 0 v ( Τ) = v ( l) = ( v( l) ) v ( * ψ ) v( l) * v( ψ ) l = (para cada coectiva biaria). Aplicado el pricipio de recursió estructural:

8 ( ϕ ) v v * ( ϕ) = v( ψ )* v( χ ), para _ ϕ = ( ψ * χ ) v ( ϕ) = v( ψ ), para _ ϕ = ( ψ ) v ( ϕ), para _ ϕ _ atómica atom Si el alfabeto tiee muchas letras proposicioales y sólo se utiliza uas pocas, existirá varias asigacioes que coicidirá para esas letras (auque diferiría e el resto) y todas dará el mismo resultado, ya que las fórmulas sólo depede de esas pocas. = para todo ϕ Si ( p ) v ( ) v 2 p p etoces v ( ) = ( ϕ) ϕ v2 Tablas de verdad: Estas tablas sirve para coocer cómo se comporta ua fórmula globalmete. Cotiee todas las asigacioes posibles. La estructura es como la presetada ateriormete para las coectivas básicas. Puede compactarse teiedo e mete la figura del árbol. Tautologías: Aquellas fórmulas que so verdaderas para toda iterpretació. Cotradiccioes: Aquellas fórmulas que so falsas para toda iterpretació. Cotigetes: Aquellas fórmulas que toma valores verdaderos o falsos para distitas iterpretacioes. CONCEPTOS SEMÁNTICOS BÁSICOS Satisfacibilidad: Ua fórmula es satisfacible si existe al meos ua iterpretació que la haga verdadera. v satisface a ϕ si v( ϕ ) = para todo ϕ Φ, siedo Φ = ϕ,..., ϕ } Si o existe igua iterpretació posible, etoces es isatisfacible. { Si el cojuto Φ es satisfacible: si elimiamos ua fórmula sigue siedo satisfacible; si añadimos ua tautología sigue siedo satisfacible; si añadimos ua cotradicció, será isatisfacible. Si el cojuto Φ es isatisfacible: si añadimos ua fórmula o elimiamos ua tautología, seguirá siedo istasifacible. El resto de casos posibles, el resultado es idetermiado. Para demostrar si ua fórmula es satisfacible, basta co ecotrar UNA iterpretació que cumpla la codició. Para demostrar si o lo es, hay que comprobar TODAS las iterpretacioes. Co pocas letras o es problema; pero si hay, por ejemplo, 30 letras, existirá iterpretacioes distitas. Φ es satisfacible si y solo sí ϕ... ϕ ) es satisfacible. (

9 Φ es isatisfacible si y solo sí ϕ... ϕ ) es ua cotradicció. ( Validez: Ua fórmula es válida si es verdadera frete a cualquier iterpretació. Las tautologías siempre so válidas. La validez divide a las fórmulas e fórmulas tautológicas y fórmulas cotigetes. Es coveiete teer e cueta las siguietes observacioes: Si se iega ua fórmula isatisfactible resulta ua fórmula tautológica. Si se iega ua fórmula tautológica resulta ua fórmula isatisfactible. Si se iega ua fórmula cotigete resulta otra fórmula cotigete. Si se iega ua fórmula satisfactible, NO resulta ua fórmula tautológica (puede ser tato satisfactible como isatisfactible). Notació Para idicar que ua fórmula ϕ es válida, se realiza así: =ϕ (la barra vertical y las dos horizotales va jutas; e este documeto o puedo reproducir el símbolo exacto). Para decidir si ua fórmula es válida o o, hay que recorrer toda la tabla de verdad. Si detectamos ua sola iterpretació que o satisfaga la fórmula, etoces o es válida. Si TODAS las iterpretacioes la satisface, etoces sí es válida. = ϕ ϕ es isatisfactible. Preservació por sustitució: Gracias a la sustitució uiforme, podemos preservar la validez sustituyedo cada compoete por su correspodiete. Ejemplo: ϕ = (( p q) ( q r)) es ua tautología. Si sustituimos de esta forma: σ ( p ) = p σ ( q) = ( p r) σ ( r ) = ( r) etoces σ ( ϕ ) = (( p ( p r)) (( p r) ( r))) TAMBIÉN es ua tautología. Cosecuecia lógica: Ua fórmula ψ es cosecuecia de u cojuto Φ = { ϕ,..., ϕ } si toda iterpretació que satisface a Φ tambié satisface a ψ. Si u cojuto de hipótesis so verdaderas, etoces su cosecuecia lógica tambié lo es. Notació Φ = ψ (es cosecuecia lógica) Φ ψ (o es cosecuecia lógica). Ejemplo: Si teemos la fórmula p q, podemos ver que ésta es cosecuecia lógica de p y de q, ya que cuado ambas tiee valor, la fórmula tambié: { p, q} = ( p q) Para comprobar la cosecuecia lógica, hay que comprobar ua por ua cada iterpretació. Si AL MENOS UN iterpretació satisface al cojuto, PERO NO a ψ, etoces la cosecuecia tampoco está satisfecha. El procedimieto es el siguiete:. Costruir tabla de verdad. 2. Señalar líeas verdaderas de cada hipótesis ( ϕ, ϕ 2,..., ϕ ).

10 3. Determiar itersecció etre ellas. 4. Valorar la cosecuecia lógica e esas líeas comues. Si es verdadera e todas ellas, etoces ϕ, ϕ,..., ϕ } = ψ { 2 La cosecuecia lógica tiee las siguietes propiedades: Reflexividad: ϕ = ϕ Trasitividad: Si Φ = ψ y ψ = χ etoces Φ = χ Mootoía: Sea Φ = ϕ, ϕ,..., ϕ } Si Φ = ψ y Φ Ω etoces Ω = ψ { 2 Cosecuecias lógicas de cojutos isatisfactibles: Auque pueda parecer cotradictorio, cualquier fórmula puede ser cosecuecia lógica de u cojuto isatisfactible, teiedo e cueta que la defiició SÓLO alude a las iterpretacioes que satisface el cojuto (si o existe igua, o por ello deja de cumplirse la codició; puesto que TODAS esas iterpretacioes (e este caso, 0) satisface tambié la fórmula (como hay 0 iterpretacioes, cosideramos que la codició se cumple)). Si u cojuto es satisfactible y ua fórmula es su cosecuecia lógica, etoces la egació de dicha fórmula o lo es. Cosecuecia lógica y validez: La fórmula codicioal costruida co los cojutos de todas las hipótesis como atecedete y la cosecuecia como cosecuete, es SIEMPRE ua tautología. Por qué? La fórmula sólo sería falsa si el atecedete fuera verdadero y el cosecuete falso. Pero dicha situació o se dará, ya que partimos de que el cosecuete es ua cosecuecia lógica del atecedete. Por tato: ({ ϕ,..., ϕ }) (( ϕ,..., ϕ ) ψ _ es _ tauto logía) Cosecuecia lógica y satisfabilidad: Si u cojuto de fórmulas tiee a ψ como cosecuecia lógica, etoces ese cojuto más la egació de ψ es u cojuto isatisfactible (y viceversa) (recuérdese que u cojuto es isatisfactible si la cojució de las fórmulas que lo compoe es tambié isatisfactible). De cosecuecia lógica a isatisfactibilidad: Teiedo e cueta lo aterior: Si { ϕ, ϕ 2, ϕ3} = r etoces { ϕ, ϕ 2, ϕ3, r} (o, lo que es lo mismo, ϕ... ϕ r es isatisfactible. De istactibilidad a cosecuecia lógica: Siguiedo la directriz aterior: Si { ϕ,..., ϕ, r} es isatisfactible, etoces { ϕ,..., ϕ } r = ) Combiado ambos apartados, teemos que si u cojuto es isatisfactible, cualquier compoete es cosecuecia lógica del cojuto restate.

11 Equivalecia: Se dice que dos fórmulas ϕ y ψ so equivalete si cada ua es cosecuecia lógica de la otra; es decir, debe cumplir que ϕ = ψ y que ψ = ϕ. Esto implica que ambas fórmulas tiee exactamete la misma tabla de verdad; es decir, so dos formas de expresar lo mismo. Notació ϕ ψ (so equivaletes) ϕ ψ (o so equivaletes (cuidado: el símbolo es co tres líeas horizotales, o co dos como aparece e este documeto)). La equivalecia tiee las siguietes propiedades: Reflexividad: ϕ ϕ Simetría: ( ϕ ψ ) ( ψ ϕ) Trasitividad: Si ϕ ψ y ψ χ etoces ϕ χ Las equivalecias divide las fórmulas e clases (grupos de fórmulas equivaletes). Las clases se ombra como C, siedo el úmero correspodiete al biario leído e columa. Para dos letras proposicioales hay u total de 6 clases posibles. Todas y cada ua de las fórmulas que se puede formar co esas dos letras está catalogadas e ua de esas 6 clases. Toda clase tiee su complemetaria (aquella e la que s y 0 s se itercambia e el úmero biario). Cualquier fórmula de las 6 clases puede expresarse co las 4 coectivas básicas. Cojuto de coectivas completo: Sobre dicho cojuto se puede represetar cualquier otra coectiva. Ejemplos: {, },{, },{, },{ },{ } Tabla de equivalecias básica: Puede cosultarse e la págia 38 del libro básico. Situació y reemplazo: Tomemos que ϕ y ψ so equivaletes si y sólo si ϕ ψ es ua tautología. Si se aplica la misma sustitució uiforme, etoces sus sustitucioes so tambié equivaletes etre sí. Esto es así porque la sustitució uiforme preserva la validez. Es decir, si ϕ ψ es válida σ ( ϕ ψ ) tambié es (recordemos que las tautologías SIEMPRE so válidas), etoces σ σ válida, por lo que ϕ ψ sigue siedo ua tautología y, atediedo a la defiició iicial: σ ϕ ψ σ Reemplazo: Sea ϕ y ψ dos fórmulas equivaletes. Si ϕ es parte de ua fórmula X (ya sea co ua o más aparicioes) y reemplazamos ua o varias de dichas aparicioes (o ecesariamete todas por ψ, etoces la fórmula resultate será equivalete a la iicial.

12 Formas ormales: Se divide e 3 clases: Disyutiva: Si es de la forma ϕ... ϕ dode cada compoete es ua cojució de literales (u literal es ua letra proposicioal o su egació). Es cotradictorio si y sólo si cada cojució suya cotiee u literal y su egació simultáeamete. Ej: ( p p) ( q q) es cotradicció. Cojutiva: Si es de la forma ϕ... ϕ dode cada compoete es ua disyució de literales. Es tautología si y sólo si cada disyució suya cotiee u literal y su egació simultáeamete. Ej: ( p p) ( q q) es tautología. Clausulada: Cada compoete de ua cojució la deomiamos cláusula (sea literal o sea u cojuto). Recordado que los grupos de cojucioes o disyucioes puede expresarse como cojutos, teemos: ϕ... ϕ dode cada cláusula ϕ (... m = ϕ ϕ ) etoces se puede m m expresar como { ϕ,..., ϕ } = {{ ϕ,..., ϕ },...,{ ϕ,..., ϕ }} Equivalecia, cosecuecia lógica, validez y satisfactibilidad: coexioes formales co el resto de térmios: La equivalecia tiee ϕ ψ si y sólo si ϕ = ψ y ψ = ϕ ϕ ψ si y sólo si ( ϕ ψ ) y ( ψ ϕ) so tautologías. ϕ ψ si y sólo si ( ϕ ψ ) es tautología (deducció de la aterior). ϕ ψ si y sólo si ( ( ϕ ψ )) es isatisfactible.