Actividad xx Determinación de resistividades Efecto piel en conductores.

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1 Actividad xx Deteminación de esistividades Efecto piel en conductoes. Método de las cuato puntas o método de Kelvin Objetivo Deteminación expeimental de la esistividad (o conductividad) de divesas muestas en distintas geometías. ntoducción a la técnica de cuato puntas paa medi esistividades. Estudio expeimental del efecto piel (skin effect) en conductoes de coientes, este efecto poduce que cuando po un conducto cicula una coiente altena la densidad de coiente no es unifome, sino que es mayo el los bodes del mismo. ntoducción La deteminación de la esistividad o conductividad de una muesta es de gan utilidad en muchos expeimentos. Genealmente estamos inteesados en investiga como vaia la conductividad en función de algún oto paámeto, po ejemplo la tempeatua, la fecuencia, etc. Paa medi una esistencia de valoes intemedio (ente unas decenas de Ohms (Ω) a unos pocos MΩ, tal vez lo más simple es usa un multímeto (Ohmeto) y conecta como se indica en la figua xx.1. cable Ohmeto cable Figua xx.1 Deteminación de la esistencia de una muesta usando un Ohmeto o Multímeto. La esistencia de inteés es sin embago lo que mide el Ohmeto es + cable + cable. La esistencia de inteés es, peo lo que mide el Ohmeto es la suma de: + cable + cable solo si >> cable + cable. Desde luego, esta situación sólo se da en los casos más simples. En geneal paa medi una esistencia, seá necesaio tene en cuenta tanto las esistencias de los cables como los potenciales de contacto que pueden esta pesentes al pone en contacto dos metales distintos. Estos potenciales de contactos son comunes en las uniones. Este método de medición de esistencia se denomina método a dos puntas. Método de las cuato puntas o método de Kelvin Este método, ilustado esquemáticamente en la figua xx., hace uso de dos cicuitos vinculados. Po un cicuito se hace cicula la coiente (cicuito exteio en la figua). Como los voltímetos modenos tienen altas esistencias intenas, po el cicuito de medición de la tensión (cicuito inteio de la figua) pácticamente no cicula coiente. La tensión medida seá en este caso: Medición de esistividades y efecto piel Método de cuato puntas. Laboatoio 5 UBA - S. Gil 1

2 + + V = ε A + ε B (xx.1) El supeíndice (+) indica que la coiente cicula como se indica en la figua (xx.). Usamos el supeíndice (-) cuando la diección de la coiente se inviete, invitiendo la fuente, peo sin altea el esto del cicuito. En este caso la tensión medida po el voltímeto seá: V = ε ε (xx.) Ampeímeto A A B 1 ε Α cable V Voltímeto ε Β cable Figua xx. Deteminación de la esistencia de una muesta usando el método de las cuato puntas. Nótese que como los voltímetos en geneal tiene alta esistencia ( voltímeto >10 MΩ) pácticamente toda la coiente cicula po el cicuito exteio y no hay caída de tensión en cable. estando las ecuaciones (xx.1) y (xx.) tenemos: + [ + ] + V V =. (xx.3) Po lo tanto, invitiendo el sentido de ciculación de la coiente y tomando la difeencia de los potenciales medidos, podemos anula el efecto de los potenciales de contacto. Más específicamente tenemos: + V V =. (xx. 4) + + Vemos así que el método de las cuato puntas nos pemite elimina simultáneamente el efecto de las esistencias de los cables y contactos como así también los potenciales de contacto. Al aplica la expesión (9.1) a un caso conceto, analice cíticamente los signos que utiliza paa ± y V ±. En el caso de las Ec.(xx.1) y (xx.) hemos supuesto que el signo de ± es siempe positivo, de allí el cambio de signo en los témino que contienen ±, peo que el valo de V ± si cambia en las Ec.(xx.1) y (xx.). En muchos casos de inteés páctico, la fuente de alimentación del cicuito (exteno) es altena (AC). En este caso es conveniente ealiza la medición de tensión usando un instumento que filte las componentes de continua (DC). Muchos instumentos poseen la opción de activa este modo de medición, po ejemplo los osciloscópios, multímetos, Lock-in Amplifies, etc. Si se mide la tensión en modo AC, la ecuación (xx.1) se tansfoma en: Medición de esistividades y efecto piel Método de cuato puntas. Laboatoio 5 UBA - S. Gil

3 AC AC V =, (xx.5) ya que en este modo los potenciales de contacto (DC) son filtados automáticamente po el instumento medido. Po lo tanto en este caso es posible simplifica el método de medición a cuato puntas. Muesta unidimensional En este caso imaginamos un alambe de áea tansvesal A. La difeencia de potencial ente dos puntos sepaados una distancia s seá: s V = ρ, (xx.6) A empleando Ecs. (xx.4) y (xx.5) tenemos: + AC V V V ρ = ( A/ s) ( V ) = ( A/ s) = ( A/ s), (xx.7) + AC según se use una fuente DC o AC espectivamente. En cualquie caso, es impotante que la geometía del alambe sea bien conocida, es deci que los valoes de A y L se puedan medi con incetidumbes pequeñas. En este caso, la distancia s ente los electodos de medición y el áea tansvesal A del alambe son impotantes. Método e medición a dos puntas Método e medición a cuato puntas Figua xx.3 lustación de los métodos de medición de esistencia a dos y cuato puntas espectivamente. Nótese que sólo algunos instumentos especiales poseen un aeglo paa medi a cuato puntas diectamente (cuado de la deecha). Sin embago, siempe es posible diseña un aeglo con instumentos convencionales, como se ilusta en la figua xx., paa ealiza la medición a cuato puntas. Deteminación de la esistividad de una muesta bidimensional maginemos una muesta de mateial conducto plana, de extensión infinita, cuyo espeso es t y su esistividad es ρ como se indica en la figua xx.4. Supongamos que en un punto de la muesta se inyecta una coiente. Po simetía podemos imagina que la coiente se distibuye unifomemente en todas las diecciones de la muesta, paa temina en el Medición de esistividades y efecto piel Método de cuato puntas. Laboatoio 5 UBA - S. Gil 3

4 infinito. De este modo la difeencia de potencial ente dos puntos sepaados una distancia d sobe el bode, y a una distancia del punto de inyección seá: ρ d dv ' = δ =. (xx.8) t π V ().( ρ/ πt).ln(1/) d dv =. δ =. ρ.d/(πt.) Figua xx.4 Vaiación del potencial en una muesta plana de extensión infinita y espeso t, po la que se inyecta una coiente po un punto. dv epesenta la difeencia de potencial ente dos puntos sepaados una distancia d, debido sólo a la coiente inyectada. V () es el potencial geneado po la coiente inyectada solamente. La difeencia de potencial ente dos puntos que están a una distancia a y b espectivamente del punto de inyección seá: ρ b V ( a, b) = ln( ). (xx.9) t π a Si las distancias ente el punto de inyección y los puntos de medición son las mismas, como se muesta en la figua xx.5, o sea si: a=s y b=s, entonces b/a=. Si además po un segundo punto de la muesta distanciado del punto de inyección po una distancia 3s como se ilusta en la figua xx.4, se extae la misma coiente, po el pincipio de supeposición tenemos: ρ V ( a, b) = ln(). (xx.10) t π V s s s t Figua xx.5 Cuato electodos sepaados po la misma distancia s sobe una muesta plana de espeso t, con s>>t. Medición de esistividades y efecto piel Método de cuato puntas. Laboatoio 5 UBA - S. Gil 4

5 Po lo tanto, en una geometía plana y con electodos equidistantes y sepaados una distancia s>>t, como se ilusta en la figua xx.5, la esistividad de la muesta puede extaese de la medición de la coiente de inyección y la medición de la difeencia de potencial V, como ρ = [ π t ln() ] ( V ). Nótese que la distancia s no inteviene en el cálculo de ρ, aunque debe cumplise que s>>t paa que valga la suposición de geometía plana. Ota condición implícita en este método es que las dimensiones de la paca plana, caacteizada po la longitud d, sea mucho mayo que la distancia ente los electodos. Si no se cumple con d>>s, debe usase un coeficiente de coección po dimensión finita. 1,,3 En este caso la esistividad se calcula po: π V ( a, b) ρ = f1 t. (xx.11) ln() Con el coeficiente de coección f 1 dado po el siguiente gáfico. 1, Similamente, si la muesta no es muy delgada, es deci si no se cumple s>>t es necesaio intoduci una coección análoga. 1 Figua xx.6 Coeficiente de coección po muesta finita, cuando no se cumple que la dimensión d de la muesta es mucho mayo que la distancia ente electodos s. 1, Muesta tidimensional gande (Bulk sample) El método de las cuato puntas también puede usase paa estima la esistividad de una muesta tidimensional gande. Este es el caso en que las dimensiones de la muesta son mucho mayo de la sepaación ente los electodos. Un ejemplo seía la medición de la conductividad de una egión del suelo. Paa justifica las expesiones a utiliza, consideamos pimeo el caso de una coiente que se inyecta a una muesta Medición de esistividades y efecto piel Método de cuato puntas. Laboatoio 5 UBA - S. Gil 5

6 tidimensional, simila al caso ilustado en la figua xx.6. En estas condiciones, dado el caácte tidimensional del poblema, la difeencia de potencial ente dos puntos adyacentes y sepaados una distancia infinitesimal d seá: ρ d dv ' = δ =, (xx.1) π V ().( ρ/ π)(1/) dv =. δ =. ρ.d/(π. ) d Figua xx.7 Vaiación del potencial en una muesta tidimensional semi-infinita, po la que se inyecta una coiente po un punto de su supeficie. dv epesenta la difeencia de potencial en dos puntos sepaados una distancia d, debido sólo a la coiente inyectada. de nuevo el tilde (pima) indica la difeencia de potencial debida sólo a la coiente inyectada. La difeencia de potencial ente dos electodos a distancias a=s y b=s espectivamente del punto de inyección, simila al caso de la figua xx.6 seá: ρ 1 1 ρ 1 V '( a, b) = ( ) =. (xx.13) π a b 4π s Si de nuevo usamos una geometía paa los electodos, simila al de la figua xx.6, es deci los cuato electodos alineados y sepaados po una distancia s. Usando supeposición tenemos: V = 1 ρ π, o bien ρ = π s ( V ). (xx.14) s este aeglo paa medi esistividades también se conoce como el método de Wenne de los cuato electodos. 4 (fou-electode Wenne aay). Este tipo de método se usa en expeiencia de geofísica paa medi la esistividad de la Tiea y conoce a que pofundidad se encuenta una capa difeente po ejemplo agua. 4 Método de las cuato puntas de van de Pauw- Tansesistencias En muchos caso de inteés páctico no es útil o posible usa una distibución de electodos equidistantes como se discutió anteiomente. Consideemos el caso de una muesta plana semi-infinita como se ilusta en la figua xx.8. Según vimos antes, la difeencia de potencial ente los puntos B y C se puede escibi como: 5 Medición de esistividades y efecto piel Método de cuato puntas. Laboatoio 5 UBA - S. Gil 6

7 V ( B, C) = = AD AD ρ ln ln ln ln = π t a a + b c + b c, (xx.14) ρ ( a + b)( b + c) ln π t a. c A) B) A a B b C c D D C B A Tansfomación Confome Figua xx.8 A) Vaiación del potencial en una muesta plana semi-infinita de espeso t, po la que se inyecta una coiente po el punto A y se extae la misma coiente desde el punto D. Los electodos de medición se conectan a los punto B y C. B) Po una tansfomación confome 6, la egión semi-infinita de la izquieda se tansfoma en la egión ceada de la deecha. De modo simila, la difeencia de potencial ente D y C, debida a la coiente que pasa ente A y B seá: ρ ( a + b)( b + c) V ( D, C) = ln. (xx.15) AB π t b( a + b + c) Si la coiente se inyecta ente los puntos B y C, la difeencia de potencial ente D y A seá: ρ ( a + b)( b + c) V ( D, A) = BC ln π t c. a. (xx.16) Se definen la tansesitencia AB,CD como el cociente ente la difeencia de tensión CD y la coiente que cicula po los puntos AB. Po lo tanto de (xx.15) y (xx.16) tenemos: AB, CD V ( D, C) ρ ( a + b)( b + c) = = ln AB π t b( a + b + c) y ρ ( a + b)( b + c) = ln π t a c BC, DA. (xx.17) Es fácil poba que se cumple: 7 a ( a + b + c) + ca = ( a + b) ( b + c). Ota foma de intepeta AB,CD es como la difeencia de potencial ente los puntos C y D cuando po los puntos A y B paa una coiente unitaia. Se puede poba que: 7 AB CD CD, AB, =, BC, DA = DA, BC,, BD = BD AC, y AB, CD + BC, DA + AC, BD = 0. (xx.18) AC, Si combinamos las dos expesiones (xx.17) de modo de elimina todas las distancias, obtenemos: 5,7 [ π ρ] + exp[ π t ρ] 1 exp t AB, CD BC, DA =. (xx.19) Medición de esistividades y efecto piel Método de cuato puntas. Laboatoio 5 UBA - S. Gil 7

8 Esta expesión la obtuvimos paa un bode ecto de una egión semi-infinita como el de la figua xx.8a). Nótese sin embago que las elaciones (xx.18) y (xx.17) no dependen de las dimensiones geométicas de la muesta, sino solo de las tansesistencias (difeencias de potenciales), el espeso de la muesta y la esistividad del medio. Van de Pauw, usando las técnicas de tansfomación confome, 6,7 pobó que esta expesión es válida paa cualquie egión plana en foma de disco, como la que se muesta en la figua xx.8b). Esta expesión es de mucha utilidad páctica paa detemina esistividades. Un agumento heuístico que hace plausible estas elaciones se basa en el hecho que siempe es posible, mediante una tansfomación confome, establece una conexión biunívoca ente un semi-plano como el ilustado a la izquieda de la figua xx.8 y la egión ceada a la deecha de dicha figua. Como sabemos, una tansfomación confome peseva la solución de Laplace y las condiciones de bode paa una egión bidimensional. Po lo tanto es de espea que las elaciones asociada al potencial, que vales en el poblema del semi-plano supeio de la figua xx.8, sigan valiendo en la solución obtenida después de la tansfomación. Po lo tanto es azonable espea que las elaciones (xx.17) y (xx.18) sean válidas paa una egión plana compacta geneal. 7 Poyecto 1.- Deteminación de la esistividad de una muesta de cobe o aluminio Equipamiento ecomendado: Muestas metálicas planas de Cu, Al, o algún oto metal puo de inteés. Dos multímetos, una fuente de tensión o coiente DC y ota AC. Paa este poyecto se equieen muestas de algunos metales puos ( 99% de pueza) de modo de compaa fácilmente los valoes medidos con los tabulados paa el mismo mateial. Constuya un cicuito simila al indicado en la figua xx.. ecote la muesta de modo que se cumplan las hipótesis del método desaollado paa muestas planas. Conecte los electodos de inyección de coiente y de medición de tensión alineados y equidistantes. Use una fuente de DC con una esistencia limitadoa de coiente en seie, 5 W puede se adecuado, de este modo se podá hace cicula una coiente de hasta 100 ma. Si la esistencia ente los puntos de medición es de alguno mω, espeamos medi tensiones del oden de unas centenas de µv. Po lo tanto elija el ango apopiado en su multímeto paa medi estas tensiones y las coientes coespondientes. Vaíe el sentido de la coiente e investigue si la tensión medida cambie significativamente. Explique sus esultados. Conociendo el espeso de la muesta, detemine el valo de la esistividad del mateial y estime sus eoes. Discuta el gado de acuedo encontado con los valoes de tablas coespondientes. Medición de esistividades y efecto piel Método de cuato puntas. Laboatoio 5 UBA - S. Gil 8

9 Poyecto.- Vaiación de la esistencia de un alambe con la fecuencia usando un Lock-in Amplifie Equipamiento ecomendado: Un alambe de cobe de 1 a 3 mm de diámeto y unos 30 a 40 cm de lago. Un osciloscopio de dos canales de 0Mhz o más ápido. Un geneado de funciones y un amplificado Lock-in Este poyecto se petende estudia expeimentalmente la vaiación de la esistencia de un alambe conducto po el que cicula una coiente altena de fecuencia vaiable. Consideaciones teóicas: Las ecuaciones de Maxwell paa un medio mateial nos pemiten escibi la ecuación de onda paa medio conducto como: 8,9,10 E E E σµ 0µ + µ 0µ Kε0 = 0, (xx.0) t t donde σ es conductividad del medio y K su constante dieléctica. Paa el caso de campos altenos de la foma: E(, t) = E( )exp( jωt) (xx.1) las expesión (xx.0) se educe a: 4π µ K E ) + + λ con ( j E( ) = 0 δ (xx.) δ = en S y δ σ µ 0µ ω = c π σ µ 0µ ω en CGS. (xx.3) En esta sección usaemos j = 1, paa no confundi la unidad compleja con la coiente. El paámeto δ tiene dimensiones de longitud y se conoce como longitud de penetación. En la ecuación (xx.), el pime témino dento del paéntesis es consecuencia de la coiente de desplazamiento, mientas que el segundo está elacionado con las coientes de conducción. Si consideamos el caso cuasiestacionaio, es deci el caso en que las dimensiones del sistema de inteés son tales que su longitud caacteística l es mucho menos que la longitud de onda λ del campo electomagnético, es deci: πc λ = >> l, (xx.4) ω tenemos que el pime témino dento del paéntesis de la ecuación (xx.), asociado con la coiente de desplazamiento es despeciable fente al témino asociado a la coiente de conducción, po lo tanto la expesión (xx.) se educe a: E( ) + j E( ) = 0. (xx.5) δ Usando la ecuación constitutiva: J = σ E, donde J es la densidad de coiente, tenemos que: J ( ) + j J ( ) = 0. (xx.6) δ Estas ecuaciones, junto a las condiciones de contono: Medición de esistividades y efecto piel Método de cuato puntas. Laboatoio 5 UBA - S. Gil 9

10 y B n1 = Bn, B t1 / 1 Bt / µ E J n, conducto n, conducto = = σ conducto µ = (xx.7) 0, (xx.8) donde los subíndices t y n epesentan las componentes tangenciales y nomales a la supeficie del metal. El subíndice () hace efeencia al mateial conducto y el subíndice (1) al aie o vacío. Las ecuaciones (xx.5) y (xx.6) son el punto de patida paa enconta los campos electomagnéticos en una gan cantidad de casos de inteés. La expesión (xx.8) está asociada al hecho que las coientes, po continuidad, no puede tene componente pependicula al conducto, ya que al se el medio cicundante (aie o vacío) no conducto (σ 1 =0), no hay coientes en el mismo. Paa campos electomagnéticos de fecuencias de 1 Mhz, la longitud de onda es λ 300m. Po lo tanto paa sistemas cuyas dimensiones son del oden del meto, la apoximación cuasiestacionaia es en geneal adecuada paa campos de fecuencias iguales o menoes que algunos Mhz. Consideemos un conducto cilíndico homogéneo de adio a y longitud L>>a, po el que cicula una coiente: i( t) = 0 e (xx.9) En este caso suponemos el cilindo oientado en la diección z como muesta la Figua xx.8. De este modo, la densidad de coiente en el mismo tendá solo componente z, es deci J = J ( ) kˆ, donde suponemos que la componente z de la coiente puede tene una dependencia en, po la simetía del poblema esta es la única dependencia espeada, ya que el poblema tiene simetía cilíndica (a lo lago de z). jωt Según (xx.4), usando coodenadas cilíndicas, J() satisface la ecuación: o bien: con: 1 d J ( ) + j J ( ) = ( J ( )) + j δ d δ d d 1 d + + k J ( ) = 0 con k d = 0 j m µ σ ω. y k j m La solución J()debe satisface la condición: J ( ) = 0. (xx.30) = = j m (xx.31) δ 1/ = a 0 = J ( ) = 0 = (xx.3) π d. (xx.33) La ecuación (xx.31) es una ecuación difeencial de Bessel cuya solución, con la condición de se egula en el oigen es: J ( ) = A J 0( k ) (xx.34) Medición de esistividades y efecto piel Método de cuato puntas. Laboatoio 5 UBA - S. Gil 10

11 z i y x Figua xx.9. Alambe cilíndico alineado en la diección del eje z. Aplicando la condición (xx.33) podemos detemina A, la solución es: 8,9,10,11,1 de modo que: 0 πaj1( j ma) 3 / j m = 3 / A (xx.35) 0 1/ J ( ) = J 0 ( j m) (xx.36) 3/ π a J ( j ma) 1 En el caso límite de bajas fecuencias, o sea cuando vale a/δ<<1, se pude poba que: 4 J ( ) Constante (xx.37) δ En el limite de altas fecuencias tenemos (a/δ >>1) y vale: J ( ) Constante Exp. (xx.38) δ En ambos casos vemos que la coiente se incementa a medida que nos acecamos a la supeficie (efecto piel). La distancia de penetación esta dada pecisamente po el paámeto δ. A pati de estas elaciones es posible obtene la esistencia del alambe como función de la fecuencia, el esultado paa límite de bajas fecuencias: a/δ<<1 es: 1 4 L ω τ 1 a ( ω) 1 + = + o 1 (xx.39) σ πa 19 3 δ y µ 0L ω τ L ( ω) 1 (xx.40) 8π 134 donde τ=σµ 0 a y L(ω) es la componente imaginaia de la impedancia compleja asociada al alambe conducto. Una apoximación mejo de (ω) se puede obtene tomando más téminos del desaollo completo, un esultado útil que extiende el de la expesión (xx.39) es: 11 Medición de esistividades y efecto piel Método de cuato puntas. Laboatoio 5 UBA - S. Gil 11

12 4 ε ( ω) = o 1 ε con ε=a/δ o bien ε = a σµ µ ω 4. 0 [ ε ] 3 64 si ε ε 1 si si ε < ε < 10, (xx.41) ef Lock-in amplifie nput Cables de contacto etocidos a b Geneado de Funciones Cilindo de cobe Figua xx.10. Cicuito paa detemina la vaiación de la esistencia compleja de un alambe conducto Expeimento: Usando el cicuito descipto en la Figua xx.10, estudie expeimentalmente la vaiación de la impedancia compleja Z(ω)=(ω)+jL(ω) en función de la fecuencia aplicada. Constuya un gáfico del (ω), ((ω) 0 )/ 0 y L(ω) como función de la fecuencia en escala lineal y logaítmica. En los mismos gáficos incluya las pedicciones del modelo (xx.39), (xx.40) y (xx.41). Qué puede conclui especto de la bondad del modelo popuesto? Discuta el compotamiento del modelo paa bajas (a/δ<<1) y altas fecuencias (a/δ >1). Cómo explica cualitativamente el compotamiento a altas fecuencias? Bibliogafía 1 F.M. Smits, Measuement of sheets esistivities with a fou-point pobe The Bell System Technical Jounal, Pag , may D E Vaughan, Fou-pobe esistivity measuements on small cicula specimens, J. Appl. Phys (1961) 3 A.P.Schuetze, W.Lewis,C.Bown, and W.J.Geets, A laboatoy on the fou-point pobe technique Am.J. Phys. 7() , 004 Medición de esistividades y efecto piel Método de cuato puntas. Laboatoio 5 UBA - S. Gil 1

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