Ramírez, Lautaro J., Becerra, Luis O., Peña, Luis M.

Transcripción

1 Simposio de Metroloí 8 Sntio de Querétro, México, l 4 de Octubre Comprción de los Métodos Utilizdos pr l Diseminción de los Ptrones de Ms de Alt Exctitud Vlidción de l Incertidumbre Estimd Medinte Simulción Numéric Rmírez, Lutro J., Becerr, Luis O., Peñ, Luis M. Centro Ncionl de Metroloí km 4,5 Crreter Los Cués, 7646, Querétro, México. lrmirez@cenm.mx RESUMEN Este trbjo expone l comprción de distintos métodos de clibrción utilizdos pr l subdivisión/multiplicción del kilormo. En este trbjo se comprn los vlores medios, ls incertidumbres ls correlciones evludos por los diferentes métodos. Los métodos comprdos fueron: Ortoonl, Guss Mrkov, mínimos cudrdos ordinrios mínimos cudrdos ponderdos (solución por operdores de Lrne), los cules son los más utilizdos por los lbortorios ncionles pr l diseminción del kilormo. Adicionlmente, se compró l incertidumbre evlud por los diferentes métodos contr resultdos obtenidos por simulción numéric por el método de Monte Crlo.. INRODUCCIÓN En metroloí de ms, el uso de los modelos de subdivisión/multiplicción del kilormo es un necesidd que l trzbilidd de los vlores de ms hci l definición del kilormo, es trvés de los prototipos de pltino iridio de vlor nominl k, por ejemplo el k. Por lo tnto pr enerr l escl de ms, l clibrción de pess de los diferentes vlores nominles desde m t o mores, se requiere comprr pess de iul vlor nominl o un pes contr un rupo de pess que en conjunto formen el mismo vlor nominl. En este tipo de modelos de subdivisión/multiplicción (en delnte llmdos solo de subdivisión) se relizn medinte un serie de comprciones que su vez enern un número iul de ecuciones en donde ls incónits son los vlores de ms de ls pess ( excepción de l pes ptrón involucrd). Generlmente estos modelos se utilizn por décds por ejemplo k, o, etc. El sistem de ecuciones se resuelve pr encontrr los vlores de ms de cd un de ls pess que stisfcen l serie de comprciones dentro de ciertos criterios de, que en l morí de los csos se utilizn sistems de ecuciones sobredetermindos. L solución de estos sistems implic un mor número de mediciones el uso de mtemátics más complejs que pr l clibrción de pess por comprción un un, sin embro, debido l necesidd de enerr l escl de ms prtir de k l posibilidd de obtener resultdos mu confibles l introducir ptrones de verificción, estos métodos son recomenddos pr l clibrción de ls pess clse OIML E []. En el presente trbjo se nliz el desempeño de diferentes métodos de subdivisión.. MÉODOS DE AJUSE PARA LA SUBDIVISIÓN DEL KILOGRAMO.. Mínimos Cudrdos L teorí utilizd pr l subdivisión del kilormo es l teorí de los mínimos cudrdos [6]. El modelo de medición es el siuiente: Xβ e, () donde X es un mtriz de mxn, llmd mtriz de diseño, pr este cso formd por ceros unos, seún se el esquem de comprción; es un vector letorio de ls observciones en donde se incluen ls correcciones propids, dimensión mx, β es el vector column de los estimdos de ms de dimensión nx, e es el vector de errores de mx, el cul tiene espernz mtemátic cero... Mínimos Cudrdos Ordinrios (MCO) L función minimizr, en los mínimos cudrdos ordinrios (MCO) es [3], S ( ˆ) ( ˆ). () Centro Ncionl de Metroloí SM8-S4D-87-

2 Simposio de Metroloí 8 Sntio de Querétro, México, l 4 de Octubre L Ec. () represent los errores l cudrdo S, donde, ŷ es el vector de los proximdos del vector. X W X, W. (8) (9) El estimdo se clcul medinte l siuiente fórmul: ( X X ) X ˆ MCO β, (3) en donde los elementos del vector MCO, son los vlores de ms que se reportn como correcciones. L mtriz de vrinz-covrinz (en delnte llmd únicmente de covrinz) se obtiene de l siuiente expresión, cov ( ˆ β ) ( X X ) σ MCO. (4) L mtriz de covrinz, Ec. (4) contiene en l dionl principl ls vrinzs de ls pess en los demás elementos ls covrinzs entre ls pess. L vrinz debid l de los MCO σ, se obtiene de, e σ. (5) m e n.3. Mínimos Cudrdos Ponderdos (MCP) Los MCP se resuelven bjo conceptos semejntes los MCO, sin embro l función minimizr es χ, χ ( ˆ) W ( ˆ). (6) L Ec. (6), relmente tendrá un distribución chicudrd, χ con v rdos de libertd cundo el vector de dtos ten un distribución norml con vrinz W. Cundo est condición se cumple, l solución del sistem estrá dd por, con [3], ˆ ( X X ) X MCP β, (7) " " X ponderdos de l siuiente mner L mtriz de covrinz se obtiene de l siuiente expresión, ( ˆ " " ) ( X X" ) X" W ( X X" ) X" cov β. () MCP.4. Solución Mínimos Cudrdos Ponderdos medinte Multiplicdores de Lrne (MCP- ML). Este es uno de los métodos más utilizdos, en los lbortorios de lt exctitud. Los estimdos, se determinn minimizndo l Ec. (6) sujeto l siuiente condición, L mtriz ( ) X f ( β, ˆ) X. () es sinulr, por lo tnto se le re el multiplicdor de Lrne λ, pr quitr dich sinulridd. Así, l función minimizr qued de l siuiente form [5], χ ( ˆ) W ( ˆ) + λ f ( β, ˆ). () El estimdo del vector de l ms de ls pess se obtiene de l Ec. (7) l mtriz de covrinz de l Ec. ()..5. Método Ortoonl Este método utiliz ls Ecs. (3) (4) de l solución de MCO, pr un mtriz de diseño X especilmente eleid pr obtener vlores no correlciondos en l mtriz vrinz-covrinz. Pr lorr l mtriz de diseño X del modelo ortoonl, luns de ls comprciones, (renlones de X sus correspondientes elementos del vector ), son repetidos o elimindos [4]..6. Método de Guss Mrkov (GM) Pr el método de Guss Mrkov (GM), se sume que es un función de vris vribles letoris, diferenci de lo que se sume en los métodos nteriores donde se consider que es únicmente función de ls vribilidd de ls indicciones de l blnz [7]. L función minimizr es l mism que el de mínimos cudrdos ponderdos, Ec. (6); sin embro, l mtriz de ponderción es diferente. El Centro Ncionl de Metroloí SM8-S4D-87-

3 Simposio de Metroloí 8 Sntio de Querétro, México, l 4 de Octubre trtmiento GM [6] propone un mtriz de vrinz socid en donde se incluen todos ls componentes de incertidumbre que intervienen en el modelo de medición. Esto rroj un mtriz de covrinz complet [7] con respecto los nteriores métodos. L mtriz de covrinz será l siuiente: con, J u W J J u u, (3) [ J J J J ] ; L ρ V (4) l cul es un mtriz formd por el Jcobino de, que su vez es l mtriz compuest por los vectores de cd un de ls vribles del modelo de medición de ms; [ L ρ V ε ] ; (5) será l mtriz compuest de mtices de vrinz covrinz: L L,, L, ρ L V L, ρ, V, L, V, V V V, L,, V,. (6) L Ec. (3) es l enerlizción de l le de propción de incertidumbres l cso multivrible (mtricil). L estimción de los vlores de ms se obtiene de l siuiente fórmul [7], ( X W X ) X W β ; (7) mientrs que su vrinz será: cov( ( X W ) ) X β. (8) Los métodos menciondos son trtdos con mor profundidd en []..7. Simulción Numéric por el método de Monte Crlo El método de Simulción Numéric por Monte Crlo (), combin distribuciones de probbilidd de ls vribles de entrd de cuerdo l modelo de medición rroj vlores pr l vrible de slid []. Sin embro l iul que en el cso de l plicción del método GUM, l Simulción Numéric por el Método de Monte Crlo descrit en el suplemento de l GUM [] no consider el cso multivrible de slid. Sin embro pr l estimción de l incertidumbre de los estimdos de slid (estimdos de ms de ls pess) se hce l enerlizción del procedimiento de l cso multivrible []. X X X n ( X, X X n ) ( X X ) f,..., f,...,, X n ( X X ) f,,..., n X n n Fi.. Modelo de medición con vris vribles de entrd vris vribles de slid. Ls distribuciones de probbilidd de ls vribles de entrd son combinds de cuerdo l modelo de medición correspondiente como resultdo se obtienen distribuciones de probbilidd de ls vribles de slid. Pr el cso prticulr de este estudio, ls vribles de entrd son ls diferencis en ms, ls densiddes del ire, los volúmenes de ls pess, el vlor del ptrón, etc. ls vribles de slid son ls mss de ls pess en clibrción. 3. EJEMPLO NUMÉRICO: PLANEAMIENO DE LAS ECUACIONES ES DAOS DEL EJEMPLO Pr este trbjo, se tomron dtos de un clibrción rel donde se considerron tres ciclos de comprción ABBA pr cd i (pr cd comprción de cuerdo l mtriz de diseño correspondiente) []. Pr todos los métodos se considerron como vribles del modelo ls siuientes entrds, m ρ ( V V ) ε, (9) r q donde m es l diferenci en lecturs de l blnz entre l pes (o rupo de pess) r l pes (o rupo de pess) q, ρ es l densidd del ire l Centro Ncionl de Metroloí SM8-S4D-87-3

4 Simposio de Metroloí 8 Sntio de Querétro, México, l 4 de Octubre Centro Ncionl de Metroloí SM8-S4D-87-4 momento de l medición, r V es el volumen de l pes (o rupo de pess) r, q V es el volumen de l pes (o rupo de pess) q, ε es el error del, cu espernz mtemátic es cero, vrinz σ. Ls mtrices utilizds en los distintos métodos vrín seún el trtmiento de l restricción. A continución se muestrn los diseños utilizdos en este estudio. L ecución mtricil del método Ortoonl qued expresd de l siuiente mner, r r m m () L ecución mtricil pr GM MCO qued de l siuiente mner, m R () Es oportuno reclcr que los MCO pueden ser resueltos por medio de multiplicdores de Lrne, en este cso l restricción deberá incluirse en ls ecuciones l mtriz de diseño será iul l de los MCP. L ecución mtricil pr el método de MCP-ML es, ( Los dtos de ls pess utilizds pr l comprción de los métodos se presentn en l bl. bl. Dtos de ls pess involucrds en l clibrción. Vlor () Corrección u (k) Volumen (cm 3 ) u (k) (cm 3 ),3,5 4,894, ,4, ,983, ,98, ,48, ,46, Ls diferencis en ms, ls densiddes del ire sus correspondientes incertidumbres pr ls comprciones relcionds con ls mtrices de diseño de ls Ecs. () () se presentn en l bl. bl. Dtos pr los métodos Guss Mrkov, MCO MCP. i m u ( m) k ρ (m/cm 3 ) u (ρ ) k (m/cm 3 ) -,4 7, 4,96 74, -,76 7, 4,96 48, 3,6 7, 9,96 57, 4,43 3,4 7,96 3, 5 -,83 3, 9,96 73, 6,38 3, 8,96 7, 7,, 89,96 3, 8 -, 7,9 5,96, 9 -,96 7,7 8,96,,, 89,959 94,

5 Simposio de Metroloí 8 Sntio de Querétro, México, l 4 de Octubre Pr l solución medinte el método ortoonl, se eliminn luns de ls comprciones otrs de ells se repiten. Ls diferencis en ms, ls densiddes del ire sus correspondientes incertidumbres pr ls comprciones relcionds con l mtriz de diseño de l Ec. () se presentn en l bl 3. bl 3 Dtos pr l comprción medinte el modelo de mínimos cudrdos por mtriz ortoonl. i m u ( m) k ρ (m/cm 3 ) u (ρ ) k (m/cm 3 ) -,4 7, 4,96 74, -,76 7, 4,96 48, 3,6 7, 9,96 57, 4,43 3,4 7,96 3, 5 -,83 3, 9,96 73, 6 -,8,4 43,96 73, 7,38 3, 8,96 7, 8,4,4 43,96 7, 9 -, 7,9 5,96, -,7 5,4 9,96, -,96 7,7 8,96, -,97 5,4 9,96, Con l intención de comprr en iuldd de circunstncis el desempeño de los diferentes métodos de, el cálculo de l incertidumbre socid cd método fue estimd con ls misms contribuciones de incertidumbres, (ms del ptrón, densidd del ire, volúmenes de ls pess, diferencis en ms, del método). L estimción de l incertidumbre se relizó de cuerdo los procedimientos recomenddos pr cd método. A excepción de GM l mtriz de covrinz no es complet, solo contiene l incertidumbre tipo A del, por lo que pr MCO, MCP-ML Ortoonl ls contribuciones tipo B se combinn con un fctor de proporcionlidd de cuerdo [3]. Los resultdos de cd método se comprron con los resultdos obtenidos por simulciones numérics, en donde cd simulción utilizó como modelo mtemático l correspondiente solución mtricil. ods ls simulciones se relizron con l enerción de cien mil dtos letorios pr cd un de ls distribuciones de probbilidd de ls vribles de entrd. Se considerron como normles tods ls distribuciones de probbilidd de ls vribles de entrd. bl 4. Resultdos de l comprción medinte el método Ortoonl. Pes Simulción u (k) Mtricil u (k) 5 -,8,9 -,8,4,9,5,9,8 -,,5 -,,8 -,39,6 -,39,7 -,59,7 -,59,7 bl 5. Resultdos de l comprción medinte el método MCP-ML. Pes Simulción u (k) Mtricil u (k) 5 -,7,9 -,7,3,,5,,6 -,4,5 -,4,6 -,6,6 -,6, -,38,7 -,38, bl 6. Resultdos de l comprción medinte el método GM. Pes Simulción u (k) Mtricil u (k) 5 -,8,9 -,8,3,7,5,7,8 -,,5 -,,8 -,5,7 -,5,7 -,46,7 -,46,7 bl 7. Resultdos de l comprción medinte el método MCO. Pes Simulción u (k) Mtricil u (k) 5 -,8,9 -,8,3,7,5,7,3 -,,5 -,,3 -,48,7 -,48,3 -,5,7 -,5,3 Centro Ncionl de Metroloí SM8-S4D-87-5

6 Simposio de Metroloí 8 Sntio de Querétro, México, l 4 de Octubre Ls simulciones se relizron con los prorms MALAB ver. v.4.5. con l intención de vlidr l simulción numéric relizd. Los resultdos obtenidos por mbos prorms no difieren sinifictivmente. 4. EJEMPLO NUMÉRICO: RESULADOS Con los dtos de ls bls 3 se clculron los vlores de ms ls incertidumbres socids medinte los diferentes métodos de. De iul form estos mismos dtos ecuciones mtriciles se utilizron pr relizr l (pr cd método). 4.. Estimdos e Incertidumbres Los resultdos de l solución mtricil l solución por se presentn en ls bls 4 7. En ls Fis. 6 se presentn los resultdos pr cd pes, presentdos por método de solución, donde el primer resultdo corresponde l simulción el seundo l estimción mtricil l incertidumbre evlud por l enerlizción de l GUM. 4.. Correlciones de ls Pess Involucrds en l Clibrción odos los métodos estudidos excepto GM, considern únicmente l incertidumbre tipo A, por tl motivo no se puede obtener de éstos un mtriz de covrinz complet. Pr ls estimciones medinte l se pueden obtener los coeficientes de correlción estdístic linel de los cien mil dtos resultntes pr cd uno de los estimdos de slid. Corrección,4,3,,, -, -, -,3 Ortoonl M.C.P. Lrne Guss - Mrkov M.C.O. Fi 3. Comprciones de vlores pr l pes de. Los vlores de incertidumbre con k. Corrección,5,5,5 -,5 -,5 -,5 -,35 -,45 Ortoonl M.C.P. Lrne Guss - Mrkov M.C.O. Fi 4. Comprciones de vlores pr l pes de. Los vlores de incertidumbre con k. 5 Corrección -,85 -,95 -,5 -,5 -,5 -,35 -,45 Corrección -,5 -,35 -,45 -,55 -,65 -,75 -,55 -,85 Ortoonl M.C.P. Lrne Guss - Mrkov M.C.O. Ortoonl M.C.P. Lrne Guss - Mrkov M.C.O. Fi. Comprciones de vlores pr l pes de 5. Los vlores de incertidumbre con k. Fi 5. Comprciones de vlores pr l pes de. Los vlores de incertidumbre con k. Centro Ncionl de Metroloí SM8-S4D-87-6

7 Simposio de Metroloí 8 Sntio de Querétro, México, l 4 de Octubre Corrección -, -, -,3 -,4 -,5 -,6 -,7 Ortoonl M.C.P. Lrne Guss - Mrkov M.C.O. Fi 6. Comprciones de vlores pr l pes de. Los vlores de incertidumbre con k. Ls bls 8 presentn los vlores estimdos de los coeficientes de correlción evludos de los resultdos de l de cd método. bl 8. Coeficientes de correlción entre pess pr l con el modelo del método Ortoonl. 5 5,,,,,,,6,7,5,,7,7,,43, bl 9. Coeficientes de correlción entre pess pr l con el modelo del método MCP-ML. 5,,6,,,3, 5,,,3,4,3,,8,5,5,,5,5,,86, bl. Coeficientes de correlción entre pess pr l con el modelo del método MCO. 5,,6,,,, 5,,3,3,3,,,7,5,5,,5,6,,59, bl. Coeficientes de correlción entre pess pr l con el modelo del método GM. 5,,6,,,3, 5,,,3,4,3,,6,5,5,,6,6,,77, L bl present los coeficientes de correlción entre ls pess obtenidos de l mtriz de covrinz de l Ec. (8) de GM. bl. Coeficientes de correlción entre pess pr el cálculo mtricil pr el método GM. 5,,5,34,35,9,9 5,,4,4,3,3,,7,4,4,,5,5,,9, 5. DISCUSIÓN Con relción los estimdos de l ms de ls pess, ls diferencis entre los estimdos de ls diferentes soluciones mtriciles coinciden dentro del vlor de incertidumbre combind de l diferenci (error normlizdo) un nivel de confinz de proximdmente el 95 %. L diferenci en los estimdos de ls evluciones mtriciles se debe principlmente que en el cso de MCP-ML GM se pondern ls observciones i, por otro ldo, el método ortoonl utiliz un mtriz de diseño diferente l resto de los métodos, sin embro, no se espern diferencis sinifictivs en los estimdos evludos por los diferentes métodos [6, 9]. Ls estimciones de coinciden con su correspondiente evlución mtricil en el mejor estimdo de l ms de ls pess, sin embro existe diferenci en ls estimciones de incertidumbre por los métodos mtriciles (enerlizción de l GUM). Con relción l incertidumbre de los estimdos, se observ que existen diferencis en ls Centro Ncionl de Metroloí SM8-S4D-87-7

8 Simposio de Metroloí 8 Sntio de Querétro, México, l 4 de Octubre incertidumbres obtenids de l respecto ls estimds medinte l enerlizción de l GUM de los métodos mtriciles, sin embro, independientemente del modelo mtemático utilizdo pr l, los vlores de incertidumbre resultnte de l simulción pr cd pes no difieren sinifictivmente pr el ejemplo nlizdo. En los métodos de MCP-ML GM, ls incertidumbres estimds de l pes de 5 son semejntes l resultdo de l simulción numéric, en l pess de l evlución mtricil subestim l incertidumbre con relción l, pr ls pess de, estos métodos sobrestimn l incertidumbre con relción l. En el método Ortoonl se subestim l incertidumbre pr tods ls pess excepción de ls pess de con relción l. El método de MCO subestim l incertidumbre de ls pess de 5 sobrestim l incertidumbre de ls pess de, con relción l. Un resultdo importnte prece en el cálculo de ls correlciones, en donde pr ls pess de el coeficiente de correlción obtenido por el método mtricil GM rroj un vlor del,9 en contrste con un vlor de,77 que se obtiene de l, lo cul es sinifictivmente diferente. Los coeficientes de correlción (entre los vlores de los estimdos de ls pess) obtenidos de l pr el método ortoonl son bjos, siendo el más rnde entre ls pess de, de,43. El coeficiente de correlción entre ls pess de obtenido de l pr el modelo del MCP-ML es de,86 lo que implic un dependenci linel entre los vlores de ms de dichs pess mu lt. 6. CONCLUSIONES En el trbjo se nlizron métodos comúnmente empledos por los lbortorios ncionles pr l subdivisión del kilormo se comprron con su correspondiente Simulción Numéric por el Método de Monte Crlo. Los estimdos de ls no vrín de los estimdos provenientes de los métodos mtriciles correspondientes de mner sinifictiv. L incertidumbre estimd de ls difiere de l incertidumbre estimd medinte l enerlizción de l GUM en menor o mor rdo, est diferenci se present en todos los métodos de. Los vlores de incertidumbre estimdos de ls utilizndo los diferentes modelos mtemáticos (MCO, MCP-ML, GM Ortoonl) son prácticmente iules, lo cul implic que ls distribuciones de probbilidd de ls mnitudes de entrd se propn de mner mu similr en los diferentes trtmientos. El método GM utiliz l mtriz W pr ponderr el. Dich mtriz W contiene ls contribuciones l vrinz de tods ls vribles del modelo, incluendo l del, diferenci de MCP-ML en donde l ponderción consider únicmente ls contribuciones tipo A. L pes de es comúnmente utilizd como referenci pr l décd subsecuente, por tl motivo es de sum importnci tener estimdos confibles con menor incertidumbre pr ests pess. L permite clculr l correlción entre los estimdos de ms pr el modelo mtemático del método Ortoonl [4], el cul, si se reliz medinte el cálculo mtricil, no proporcion correlción entre ls pess [4]. Sin embro, se debe señlr que los coeficientes de correlción resultntes de est simulción numéric son los más bjos en este método comprdos con los del resto El método GM se h utilizdo pr clibrciones en pess del mismo vlor nominl ( k) se h comprdo con l simulción numéric de Monte Crlo sin presentr diferencis sinifictivs [], sin embro, l plicción de estos métodos pr el cso de l subdivisión del kilormo, los vlores obtenidos por simulción numéric no corresponden con los obtenidos por el cálculo mtricil, posiblemente debido l confiurción de l mtriz de diseño. Los resultdos de GM tenderán precerse los resultdos de MCP-ML conforme ls vrinz de ls contribuciones tipo B sen menores en relción l vrinz de l contribución tipo A, debido l composición de l mtriz de ponderción pr cd método. Centro Ncionl de Metroloí SM8-S4D-87-8

9 Simposio de Metroloí 8 Sntio de Querétro, México, l 4 de Octubre En conclusión, los utores recomiendn empler el modelo mtemático de GM pr relizr l simulción numéric por el método de Monte Crlo medinte ést clculr los estimdos del vector β sus incertidumbres socids. vlidción medinte simulción por el método Monte Crlo), Escuel de Inenierí Químic, Universidd de Cost Ric-CENAM, 8. REFERENCIAS [] OIML R-- Weihts of clsses E, E, F, F, M, M -, M, M -3, nd M 3 Prt : Metroloicl nd technicl requirements. Edition 4. [] L. O. Becerr, J Nv, Incertidumbre en l clibrción de pess por el método ABBA, CENAM, 4. [3] R. Schwrtz, M Bors, F. Sholz, Guide to mss determintion, with hih ccurnc, PB-MA- 8e, 7. [4] G.D Chpmn, NRC CNRC Orthoonl Desins for Clibrtin Kilorm Submultiples, 4. [5] L. Nielsen, Lest-squres estimtion usin Lrne multipliers, Metroloi 35, 998, 5-8. [6] W Bich, Vrinces, Covrinces nd Restrints in Mss Metrolo, Metroloi 7, 99, -6 [7] W. Bich, M. G. Cox nd P. M. Hrris, Uncertint Modellin in Mss Comprisons, Metroloi 3, 994, [8] BIPM, IEC, IFCC, ISO, IUPAC, IUPAP, OIML Guide to the expression of Uncertint on mesurement Reprinted on 995. [9] W. Bich, he ssessment of uncertint in mss clibrtion t ntionl lbortor level, EUROME Project 3, 994. [] L. Omr Becerr, J. Nv Mediciones de l Cámr Selld del Ptrón Ncionl de Ms, Simposio Metroloí 4. [] L. J. Rmírez, L. O. Becerr, L. M. Peñ Informe sobre el estudio de los diferentes métodos de clibrción de los submúltiplos del kilormo Proecto del prorm SIDEPRO. Jun 7- Jun 8, en desrrollo. [] Joint Committee of Guides in Metrolo Evlution of mesurement dt Supplement to the Guide to the expression of uncertint in mesurement Proption of distributions usin Monte Crlo method, [3] Lir I., Evlutin the mesurement uncertint, Fundmentls nd prcticl uidnce, IOP. [4] L. J. Rmírez, Estblecimiento preprción pr l puest en mrch del procedimiento del método de Clibrción Ortoonl de Mss utilizndo un ptrón trzble (Comprcion de los métodos de subdivisión Centro Ncionl de Metroloí SM8-S4D-87-9