Lugares geométricos en el plano: Curva: Bruja de Agnesi

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1 Lugres geométricos en el plno: Curv: Bruj de Agnesi Norberto Jime Chu Pérez Roy Wil Sánchez Gutiérrez Introducción Uno de los tems sobre Geometrí Anlític que se trbj en el curso de Mtemátic Básic es Lugres Geométricos El tem es bstrcto y difícil de comprender pr los lumnos Por ello, conscientes de est dificultd, elbormos este mteril de poyo pr que los lumnos puedn bordr los diferentes lugres geométricos con myor fluidez Un figur geométric, tl como un curv, se define como un lugr geométrico Est definición permite identificrl de entre todos los demás objetos de su clse Si estmos definiendo un curv pln C por medio de un propiedd P que únicmente posee C, entonces, entre tods ls curvs plns, un curv es del tipo C si y solmente si posee l propiedd P[4] y [5] Pr describir un curv, se debe dr l condición que deben cumplir sus puntos, es decir, se debe dr un ley l cul deben obedecer los puntos de l curv Un curv es el lugr geométrico descrito por un punto que se mueve siguiendo es ley específic [3] Un curv es el lugr geométrico de todos quellos puntos y solmente quellos puntos que stisfcen un o más condiciones geométrics [4] y [5] El problem fundmentl que bordremos será, prtir de ls condiciones que cumplen los puntos del lugr geométrico, el de determinr su ecución El procedimiento pr hllr dich ecución puede reducirse los tres psos siguientes: Se supone que el punto P(x, es un punto culquier que stisfce ls condiciones dds y, por lo tnto, pertenece l lugr geométrico Se expres nlíticmente l condición o condiciones geométrics dds por medio de ecuciones o de fórmuls nlítics, lguns de ells estudids previmente 3 Se simplific l ecución y el resultdo será l representción lgebric del lugr geométrico en cuestión Como ejemplo sencillo, consideremos l circunferenci Es un curv pln que posee l propiedd únic P de que todos sus puntos están igul distnci de un punto fijo en su plno L discusión de un ecución y su representción gráfic constituye un problem muy importnte en tods ls rms de l Mtemátic y sus plicciones Mrí Getno Agnesi nció en Milán; fue un distinguid lingüist, mtemátic y filósof Reemplzó su pdre en l cátedr de l Universidd de Bologn cundo este estuvo enfermo En 748, cundo tení 30 ños, se publicó su libro Instituzioni Anlitiche, que fue muy populr, se trdujo muchos idioms y se usó en Europ durnte muchos ños En su libro, Agnesi confundió l plbr Versovi con versier, otr plbr ltin que signific buel del diblo o bruj, de hí viene el nombre de l curv: l Bruj de Agnesi [] En Blnco & Negro (00) Vol N ISSN: (En líne)

2 Por ejemplo, l curv que represent un cden uniforme suspendid por sus extremos entre dos puntos situdos l mism ltur es el lugr geométrico denomindo ctenri[3] L estructur de lgunos grndes puentes que sirven pr el tránsito vehiculr está suspendid de cuerds metálics Ests cuerds formn l curv ctenri (ver figur ) Idemos un problem rel plicdo l ciclismo pr poder, trvés de un ctividd coopertiv, trbjr estos conceptos L plicción de est ctividd psó por ls siguientes etps: Formción de los grupos de estudintes en clses Cutro persons por grupo L formción en cd cso fue heterogéne y mixt Coordinción previ del profesor con los sistentes de docenci sobre l form de llevr delnte l ctividd Ls dificultdes que se presentn son tendids siguiendo el modelo del fcilitdor rottivo de los sistentes de docenci y de los profesores, es decir, cd sistente rot de grupo en grupo, clrndo y resolviendo ls consults [] Conocimientos previos necesrios pr l ctividd Pr desrrollr l ctividd sobre lugres geométricos, se requiere que los estudintes conozcn los siguientes tems: Gráfics de ecuciones y curvs en el plno Por ejemplo, conocer l ecución y l gráfic de rects, circunferencis, prábols, etc b Rect tngente un circunferenci Propieddes de ls rects tngentes un circunferenci c Intersecciones de curvs Los puntos de intersección de dos curvs se obtienen l resolver el sistem de ecuciones formdo por ls misms ecuciones de cd curv d Comportmiento sintótico de ls curvs Ide intuitiv de límite y rects síntots e Semejnz de triángulos en geometrí pln Objetivos de prendizje involucrdos en l ctividd Objetivos generles Aplicr hbiliddes de rzonmiento mtemático, y de comunicción orl y escrit Desrrollr l cpcidd pr trbjr y prender tnto de form individul como coopertiv 3 Integrr el conocimiento cdémico con ls experiencis dquirids fuer del ul 4 Anlizr, deducir, descubrir y resolver el problem plntedo en cd etp de trbjo, en l etp de prej y en l etp grupl 5 Comprtir los conocimientos dquiridos con todos los integrntes del grupo Objetivos específicos Figur Golden Gte en Sn Frncisco, EEUU Tomdo de: wwwguis-vijrcom Identificr ls condiciones que determinn el lugr geométrico Deducir ls relciones que existen entre ls vribles del problem y los dtos 3 Determinr l ecución que determin el lugr geométrico 4 Grficr l curv descrit por el lugr geométrico En Blnco & Negro (00) Vol N ISSN: (En líne)

3 Desrrollo de l ctividd Tiempo 5 min Procedimiento Prueb individul Cd lumno resolverá un pregunt reltiv l tem sin puntes Est prueb permite conocer quiénes vienen estudindo previmente el tem Pregunt Regls Compás Mteriles 50 min Trbjo en prejs Prte de l ctividd se resuelve en prejs De los resultdos y conclusiones de ls prejs, el grupo prende sobre lugres geométricos Pregunt Regls Compás Clculdor Apuntes de clse 50 min Trbjo grupl Será resuelto con los portes de ls prejs Es el momento en que comprten y elborn el informe finl Todos son solidrios e interctún mutumente Pregunt Regls Compás Clculdor Apuntes de clse Posibles dificultdes En lguns ocsiones, los lumnos tienen dificultdes pr resolver los problems porque: No reconocen ls relciones hllds y trtn de eliminr ls vribles No conocen el lgoritmo de construcción de semejnz de triángulos No mnejn el concepto de distnci, punto medio, rzón dd Recomendciones pr un posterior plicción Utilizr un ide, un fotogrfí o un fenómeno físico como punto de prtid pr elborr muchos problems tipo ABP Propicir un mbiente de nálisis que les permit vlidr geométricmente ests situciones y comprenderls con profundidd Usr con myor frecuenci los recursos con que se cuent: clculdors, computdors portátiles, sistems de informción ví Internet, foros, blogs y bibliotecs Seleccionr los sistentes de docenci de entre los jefes de práctics del curso que tengn experienci en el mnejo de grupos Acondicionr el ul pr grupos de 4 integrntes Referencis Duch, B Groh, S 006 El Poder del Aprendizje Bsdo en Problems Lim: PUCP Lehmnn, Ch 986 Geometrí nlític México DF: Editoril Limus Perero, Mrino 994 Histori e Historis de Mtemátics Grupo Editoril Iberoméric, SA de CV Sobel, M Lerner, N 006 Precálculo, sext edición México D F: Person Prentice Hll Stewrt, J 006 Cálculo Conceptos y contextos Vlenci: Editoril Thompson En Blnco & Negro (00) Vol N ISSN: (En líne) 3

4 Anexo : Mteril pr el lumno Actividd coopertiv Bruj de Agnesi Prte I: INDIVIDUAL Tiempo: 5 minutos ) Hlle l ecución del lugr geométrico Ω de los puntos Q = ( x; del plno que equidistn de los puntos Q = ( x; y Q = ( x; Es cierto que culquier punto del LG es un triángulo isósceles? ) Hlle los puntos de intersección de ls curvs Ω: y = x y C: ( Q ; ) 3) Represente gráficmente ls curvs y ubique los puntos de intersección Prte II: PAREJA ( puntos) Tiempo: 50 minutos Se C l circunferenci tngente l eje X en el origen O y tngente l rect El segmento OA de pendiente positiv, con A en l rect L, intersec l circunferenci en el punto B Hlle l ecución del lugr geométrico LG descrito por los puntos medios del segmento AB Deje indicd l ecución de LG Prte II: PAREJA ( puntos) Tiempo: 50 minutos y = x ) Hlle el lugr geométrico Ω de los puntos Q = ( x; del plno cuy distnci l rect L: es igul l distnci l punto Q = ( x; ) Determine l ecución del lugr geométrico C descrito por todos los puntos P(x; que equidistn del punto fijo (0; ), que es tngente l rect L : y = e intersec en un solo punto l eje X 3) Dd l circunferenci C: L : y =, yl : y = x, l prábol Ω: y = x y ls rects L : y =, L : y = x ) Hlle los puntos de intersección de C con ls rects ( 0, ) respectivmente b) Hlle el punto de intersección de l rect L con C c) Hlle el punto de intersección de ls rects ( 0, ) Prte III: TRABAJO GRUPAL ( puntos) Tiempo: 50 minutos Un ctividd deportiv de ciclismo recorre un determind curv descrit sobre l colin de un cerro L curv proyectd sobre un plno (ver figur ) tiene ls siguientes crcterístics: Es sintótic l eje X, l derech y l izquierd; por tnto, solo l representremos lrededor del origen Alcnz su vlor máximo justo l cruzr el eje Y, es decir, el punto ( 0, ) está en l curv y es su vlor máximo Está determind por un único prámetro { Determine l ecución del lugr geométrico cundo =0 Pr ello sig los siguientes psos: Trce un circunferenci, con centro en el punto (0, ) y rdio / Desde el origen de coordends, trce rects que corten l circunferenci en B y l rect L:y en A 3 El punto genérico P de l curv será quel en que se crucen ls rects BP (horizontl) y AP (verticl) ver l figur En Blnco & Negro (00) Vol N ISSN: (En líne) 4

5 Anexo : Mteril pr el profesor Guí del profesor de l ctividd Bruj de Agnesi Prte I: INDIVIDUAL Hlle l ecución del lugr geométrico Ω de los puntos Q = ( x; del plno que equidistn de los puntos Q = ( x; y Q = ( x; Es cierto que culquier punto del L G form con A y B triángulos isósceles? Hlle los puntos de intersección de ls curvs Ω: y = x y C: ( Q ; ) 3 Represente gráficmente ls curvs ubicndo los puntos de intersección Solución Se P(x, un punto generdor del lugr geométrico Ω: d ( P, A ) = d( P,B ) Entonces ( x ) + ( y ) = ( x 5 ) + ( y 6 ) Desrrollndo y simplificndo, se obtiene: y=-x+8 El lugr geométrico es l meditriz del segmento AB, L: y=-x+8 Por propiedd de meditriz, culquier punto de L form con A y B triángulos isósceles Se P(x, el punto de intersección Ω: y = x y C: ( Q ; ) Ls coordends de P se obtienen resolviendo el sistem : y = x x + ( y ) = del que se obtienen los puntos comunes mbs curvs (-; ), (0; 0) y (; ) 3 Gráfics de ls curvs: En Blnco & Negro (00) Vol N ISSN: (En líne) 5

6 Prte II: PAREJA ( PUNTOS) Se C l circunferenci tngente l eje X en el origen O y tngente l rect El segmento OA de pendiente positiv, con A en l rect L, intersec l circunferenci en el punto B Hlle l ecución del lugr geométrico LG descrito por los puntos medios del segmento AB Deje indicd l ecución de LG Solución A(c; ) *P(x; */ *B(r; t) O Figur 3 Se Q = ( x; un punto genérico del lugr geométrico, P es punto medio de AB L ecución de l circunferenci ( y + ) = x + ( y ) Simplificndo, r = t t () Ahor, P es punto medio del segmento AB, entonces x = (r + c)/ y = (t + )/ r = x c t = y () Además, /c = y/x entonces c = x/y Reemplzndo en () qued: r = x x/y, t = y Ests ecuciones en (): (x x/ = (y ) (y ) Por lo tnto, l ecución del lugr geométrico está dd por Prte I: PAREJA ( PUNTOS) LG: (x x/ = (y )( ) Hlle el lugr geométrico Ω de los puntos Q = ( x; del plno cuy distnci l rect L: y =, > 0 es igul l distnci de P l punto Q = ( x; ) Determine l ecución el lugr geométrico C descrito por todos los puntos P(x; que equidistn del punto fijo (0; ), es tngente l rect L : y = e intersec en un solo punto l eje X 3) Dd l circunferenci C: L : y =, yl : y = x, l prábol Ω: ( 0 x,) y ls rects L y =, L : y = x : ) Hlle los puntos de intersección de C con ls rects b) Hlle el punto de intersección de l rect L con C c) Hlle el punto de intersección de Ω con C L En Blnco & Negro (00) Vol N ISSN: (En líne) 6

7 Solución ) Se Q = ( x; un punto genérico del lugr geométrico Los puntos Q, P, y l rect se muestr en l figur 4 (pr =5/) Figur 4 De l iguldd de distncis d ( P; L) = d( P; Q) Por distnci de un punto un rect d ( P; L) = y + Distnci entre dos puntos d( P; Q) = x + ( y ) Reemplzndo en d ( P; L) = d( P; Q) se tiene ( y + ) = x + ( y ) Simplificndo se obtiene l ecución del lugr geométrico ( 0 y,) ) Se Q = ( x; el punto genérico del lugr geométrico Por condición del problem d ( Q; C) =, entonces x + y = 4 3) )Se P(x; el punto de intersección de C con l rect x + y y = 0 el sistem { y = x x = 0 x = 0 y = Luego, el punto es P= 0, + ( ) Sus coordends se obtienen resolviendo b) Se Q(x; el punto de intersección de C con l rect Ls coordends de Q se obtienen x + y y = 0 resolviendo el sistem { y = x x + x x = 0 x = 0 x = Así, los puntos son Q =(0;0) o ( Q ; ) L L En Blnco & Negro (00) Vol N ISSN: (En líne) 7

8 c) Se R(x; el punto de intersección de Ω y C Ls coordends de R se obtienen resolviendo el sistem { x + y 4y = x y = 0 4yy + y y = 0 y + 3y = 0, entonces y = 0 y = 3 Por tnto, el punto P=(0,0) Prte III: TRABAJO GRUPAL ( puntos) Un ctividd deportiv de ciclismo recorre un determind curv descrit sobre l colin de un cerro L curv proyectd sobre un plno, ver figur, tiene ls siguientes crcterístics: Es sintótic l eje X, l derech y l izquierd, por tnto, sólo l representremos lrededor del origen Alcnz su vlor máximo justo l cruzr el eje Y, es decir, el punto ( 0, ) está en l curv y es su vlor máximo 3 Está determind por un único prámetro Determine l ecución del lugr geométrico cundo =0 Pr ello, sig los siguientes psos: 4 Trce un circunferenci, con centro en el punto (0, ) y rdio y = 5 Desde el origen de coordends, trce rects que corten l circunferenci en B y l rect L: y = en A 6 El punto genérico P de l curv será quel en que se crucen ls rects BP (horizontl) y AP (verticl) ver l figur 5 Figur 5 En Blnco & Negro (00) Vol N ISSN: (En líne) 8

9 Solución Se Q = ( x; un punto genérico del lugr geométrico Trce un circunferenci, con centro en el punto (0, ) y rdio y = L circunferenci C : x + y = C : x + y y = 0 4 Desde el origen, (0, 0), trácense rects que crucen con l rect y= (rect OA en l figur, en l que =0) El punto P de l bruj será quel en que se crucen ls rects BP (horizontl que ps por el corte entre OA y l circunferenci) y AP (verticl que ps por el corte entre OA y l rect y=) Considere el punto B ( r; está en l rect y el punto B( r; en l circunferenci, entonces stisfce C : r + y y = 0 L() y xy Por semejnz de triángulos se tiene: = r = () x r Sustituyendo () en (): C : xy + y y = 0 L() () Q ( ; ) Simplificndo: (pues l curv es sintótic l eje X) De donde 3 = L G y, > 0 x + Construcción del lugr geométrico de l ctividd con nimción en Cbri II Pr construir el lugr geométrico, se sigue los siguientes psos en l ventn de Cbri II Plus: Considere = 0 Abr el sistem de coordends crtesins Dibuje l circunferenci C de rdio r=5 y centro (0, 5) 3 Con l opción punto sobre objeto ubicr el punto B sobre l circunferenci C, l que v generr el lugr geométrico cundo B se desplce por C 4 Rect L prlel l eje X, que pse por (0; 0) 5 Rect L que ps por el origen y por B 6 Se A el punto de intersección entre L y L Desde A trce L3, perpendiculr l eje X 7 Rect L4 prlel l eje X que pse por B Se P el punto genérico, que result de l intersección de L3 con L4 8 Segmento BP sobre l rect L4 9 Con nimción de B y trz de P se obtiene el lugr geométrico cuy ecución es 000 y = x L gráfic se muestr continución (figur 6) Figur 6 En Blnco & Negro (00) Vol N ISSN: (En líne) 9