APLICACIONES DE LA DERIVADA EN ECONOMÍA Y ADMINISTRACIÓN

Transcripción

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2 APLICACIONES DE LA DERIVADA EN ECONOMÍA Y ADMINISTRACIÓN AUTOR Mgs. Marco Antonio Jara Riorío 0

3 TÍTULO Aplicacions la Drivaa n conomía aministración. AUTOR Mgs. Marco Antonio Jara Riorío AÑO 0 EDICIÓN MSc. Ángla María Gonzálz Laucirica - Dpartamnto Publicacions Anra Estanía Agurto Tanazo - Coición Univrsia ECOTEC ISBN NO. PÁGINAS 8 LUGAR DE EDICIÓN Samboronón - Ecuaor DISEÑO DE CARÁTULA Ing. Arnalo Oscar Sánchz Gonzálz - Dpartamnto Markting Rlacions Públicas Univrsia ECOTEC

4 TABLA DE CONTENIDOS Introucción... La rivaa... Rglas propias las rivaas...0 La Rgla la Cana o rivaa una unción compusta... 8 Drivaa uncions trigonométricas irctas... Drivaa las uncions rcíprocas... 7 Drivaa uncions logarítmicas... Drivaa uncions ponncials... 9 Drivaa orn suprior... Drivación implícita 7 Análisis marginal. Aplicacions prácticas las rivaas Bibliograía consulta.8

5 PRÓLOGO La prsnt ición l tto, s un matrial iáctico apoo para l stuiant, n l procso nsñanza /aprnizaj la asignatura Cálculo I, la cual s stuia como matria básica n l plan stuio 0 la Univrsia Tcnológica ECOTEC. En l tto s prsntan, nuvo conociminto una aplicación práctica la utilización la rivaa n la conomía aministración mprsarial. Por lo qu sta asignatura, junto con Cálculo II Cálculo Intgral brina posibilias ormativas para l sarrollo las comptncias isciplinars matmáticas n st nivl ucativo. El contnio l tto s nivl introuctorio lmntal, sarrollano n aplicacions sncillas, las princias qu ha obtnio l autor urant los años impartir la matria Calculo I II, con casos primntaos por los stuiants urant l procso la matria. El programa l tto stá nocao por comptncias, involucrano tanto al ocnt como al stuiant, utilizar una mtoología activa rliva, a través activias iniviuals colctivas lograno qu l stuiant aquira strzas para intrprtar matmáticamnt l ntorno qu l roa, rsolvino problmas qu comptn al ára Económica Aministrativa una mprsa, mjorano su capacia mjorar structurar mjorar sus ias, razonamintos argumntano sus rsultaos. Bajo stas concpcions, l programa stá structurao, n una primra unia. La Drivaa, on s stuia los límits como un concpto auiliar para la introucción a la rivación, prparano al stuiant la comprnsión l concpto rivaa una unción la aplicación límits. El concpto rivaa surgió históricamnt a partir ncontrar la cuación la rcta tangnt a una curva n un punto ao gomtría trminar la vlocia instantána un móvil ísica. Aquí s important prounizar l concpto rivaa, aplicano n uncions sncillas trminar las cuacions la rcta tangnt normal una curva. Sguna unia. Rglas rivación, s aplicarán las irnts rglas órmulas qu prmitirán ralizar la irnciación n orma ácil icint. Para lo cual s analizan uncions trigonométricas, ponncials logarítmicas, a qu son ncsarias para compltar l stuio

6 las rivaas, s introuc l númro s complta con ponncials logaritmos qu contngan como bas. Amás, s introuc l concpto rlación implícita, on l stuiant porá rivar uncions cuano istn las os variabls, inino los procsos a sguir rsolvr los problmas qu sa rsolvr. Trcra unia. Análisis marginal, la rivaa tin muchas aplicacions tanto n la conomía como n la aministración, nominános tasas marginals, l término marginal s utiliza para inicar una rivaa, signiicano una tasa cambio. El stuiant aplica los concptos contabilia, conomía aministración para por plantar problmas rlacionaos con las mprsas. Cuarta unia. Aplicacions prácticas las rivaas. Los stuiants aboraran l análisis graicación uncions miant los valors trmos máimos mínimos, los intrvalos on la unción s vulv crcint crcint. Amás, la aplicación práctica máimos mínimos n problmas rals qu aparcn n las mprsas. En rsumn, l stuio las rivaas, s una oportunia qu tinn los stuiants para sistmatizar los conocimintos matmáticos sarroll comptncias isciplinars para por analizar rsolvr problmas qu n la via mprsarial pun prsntars. El contnio st libro no orc sorprsa alguna rspon a un compromiso gnral tácito lo qu b constituir un curso básico Cálculo uncions una variabl. La nova, s buscarla l stilo, la posición, la gran cantia jmplos jrcicios, n la orma tallaa prsntación los concptos sus rlacions. Est libro stá scrito n un stilo intncionaamnt sncillo, s trata abanonar l stilo prsumio qu s asignó hac algunos años qu actualmnt ist n casos aislaos. Escribir matmáticas s un art qu s va aprnino poco a poco, tin unas rglas básicas qu bn sr rsptaas n cualquir circunstancia. La rgla principal inica Ra Nicolás Boilau - 7 qu ic así lo qu bin s concib bin s prsa con palabras qu acun con prstza. Qu las palabras acuan con maor o mnor clria s algo ancótico, pro lo positivo s qu si algo no s concib bin s imposibl prsarlo con claria. La primra conición ncsaria para scribir matmáticas s ntnr con too tall, a sr posibl s varios puntos vista irnts con istinto grao gnralia, la génsis volución

7 los concptos qu s ponn, las sutilzas iicultas comprnsión qu ncirran, los rrors más rcunts n su intrprtación. Esa conición ncsaria no s suicint. Ha qu ponr sos concptos con palabras comprnsibls para l lctor a quin s irign, vitano tcnicismos inncsarios, llo sin jar sr claro prciso. Agrazco, a los irctivos la Univrsia ECOTEC, n spcial l Sr. Dcano Faculta Sistmas por l apoo moral técnico s pu plasmar st primr tto. Al apoo inconicional mi sposa Lupita mis hijos qu con los incntivos comprnsión s logra obtnr sta ición. Estimaos lctors, aunqu st tto u aminao minuciosamnt, simpr s prsntaran rrors involuntarios, por lo qu agrazco m hagan llgar, toos los rrors qu tctn, así como sus críticas sugrncias para mjorar. Atntamnt, Mgs. Marco Antonio Jara Riorío El autor.

8 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración INTRODUCCIÓN El Cálculo Dirncial Intgral s una hrraminta matmática qu surgió n l siglo XVII para rsolvr algunos problmas gomtría ísica. El problma hallar una rcta tangnt a la gráica una unción n un punto ao la ncsia plicar racionalmnt los nómnos la astronomía o la rlación ntr istancia, timpo, vlocia aclración, stimularon la invnción l sarrollo los métoos l Cálculo. Sobrsaliron ntr sus iniciaors John Wallis, prosor la Univrsia Oor Isaac Barrow, prosor Nwton n la Univrsia Cambrig, Inglatrra. Pro un métoo gnral irnciación intgración u scubirto solo hacia por l Inglés Isaac Nwton postriormnt por Gottri Wilhlm Von Libniz, nacio n Lipzig, Almania, por lo qu a llos s ls atribu la invnción l Cálculo. En la actualia l Cálculo s aplica al stuio problmas ivrsas áras la activia humana la naturalza: la conomía, la inustria, la ísica, la química, la biología, para trminar los valors máimos mínimos uncions, optimizar la proucción las ganancias o minimizar costos opración risgos. En sta unia aprnizaj s stuiará ormulas técnicas básicas rivación, para qu l stuiant omin las rglas básicas rivación san capacs procr irctamnt n las uncions matmáticas su aplicación a la problmática mprsarial n conomía aministración, con prsión rsultaos. Univrsia Tcnológica ECOTEC

9 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración LA DERIVADA Dinición. La inición más común s lo rrnt a qu la rivaa s l límit l cocint ntr incrmnto una unción l variabl cuano sta tin a cro. Dinición gométrica la rivaa. Cálculo cuación la rcta tangnt a una curva. La inición gométrica la rivaa stá rlacionaa irctamnt con la pnint una rcta tangnt a una curva qu gnralmnt s la orma sguir los siguints pasos:. Para lo cual s ncsario. Graicar la unción, tomano n cunta l valor on s quir trminar la rcta con su rspctiva pnint-. Aplicar la ormula, aplicano los principios límits.. La pnint obtnia, trminar numéricamnt rmplazano l, l punto inicao.. Dtrminar la cuación la rcta.si la cuación s Tangnt a la curva, s utiliza la cuación punto-pnint: m.. Cuano la cuación s Normal a la curva, la pnint srá: S utiliza la ormula m Si a = 0, la rcta tangnt srá horizontal cuación =a. En ést caso la rcta normal s vrtical cuación = a. Univrsia Tcnológica ECOTEC

10 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración En otros términos, la rivaa s una unción cuo valor n X = Xs la pnint m = tang θ la rcta tangnt a = n =. Ejrcicios rsultos.. Hallar la rivaa la cuación la rcta Tangnt Normal a la curva n l punto ao, aplicano l principio límits 8 n l punto = Univrsia Tcnológica ECOTEC

11 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración Univrsia Tcnológica ECOTEC Lim m Lim m 0 0 Lim m La rivaa la unción srá m La cuación la rcta tangnt srá: Dtrmino l valor numérico la pnint 8 m m Aplicano la órmula la cuación la rcta. m s obtin: 7. La cuación la rcta normal s:

12 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración. Hallar la rivaa la cuación la rcta Normal a la curva n l punto ao, aplicano l principio límits En = Eist una asíntota, porqu la variabl s ncuntra n l nominaor s ncuntra ubicaa n =0 Asíntota, son rctas n qu la unción s aproima ininiamnt, cuano una las variabls tin al ininito. m Lim 0 La rivaa la unción s l valor qu s obtnga la pnint. Univrsia Tcnológica ECOTEC

13 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración Univrsia Tcnológica ECOTEC 0 m Lim m La cuación la rcta Normal srá:. Hallar la rivaa la cuación la rcta Normal a la curva n l punto ao, aplicano l principio límits Lim m 0 Lim m 0 Lim m 0

14 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración La cuación la rcta Normal: m.. La cuación la rcta Tangnt:. m. Dtrminar la rivaa la cuación la tangnt normal aplicano l principio límits la unción: F : ^+-; =- X Y Univrsia Tcnológica ECOTEC 7

15 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración Lim = + ^ ^+- / -> 0 Lim = ^ + ^ + ^ + ^ ^ - + / -> 0 Lim = ^ + ^ + ^ + / -> 0 Lim = X ^ + + ^ + / -> 0 Lim = ^ + + ^ + -> 0 Lim = ^ + + ^ + ; X= - -> Lim= - ^ + -> 0 Univrsia Tcnológica ECOTEC 8

16 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración m= La cuación la rcta tangnt: m. - = - + = + + = + 8 = + 8 = + La cuación la rcta normal:. m + = - / + + = -+ / = - + / = - 0 /. Dtrminar la rivaa la cuación la tangnt normal aplicano l principio límits la unción: F: ^+-; =- X Y Univrsia Tcnológica ECOTEC 9

17 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración Lim = + ^ + ^ / ->0 Lim = ^ + + ^ - ^ + + / ->0 Lim = ^ + + ^ - ^ + + / ->0 Lim = + ^ - / ->0 Lim = + - ->0 m= La cuación la rcta tangnt: m. Univrsia Tcnológica ECOTEC 0

18 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración - = = = - = - - La cuación la rcta normal:. m + = - / = / 0 = /.. Dtrminar la rivaa la cuación la tangnt normal aplicano l principio límits la unción: ; = Univrsia Tcnológica ECOTEC

19 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración Lim = + + ^ ^ / ->0 Lim = + ^ + + ^ ^ / ->0 Lim = + ^ - - ^ + ^ / ->0 Lim = - - ^ / ->0 Lim = - ->0 m = Ecuación rcta tangnt: m. - = 0 Univrsia Tcnológica ECOTEC

20 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración + = = = - Ecuación la rcta normal:. m Hallar la rivaa la cuación la rcta Normal a la curva n l punto ao, aplicano l principio límits S calcula la rivaa la unción aa n l punto qu s inica. Aplicano la propia inición s tin qu: h h. h. h h ' lím lím lím h0 h h0 h h0 h. h. h h h... hh lím lím lím.. h h. h 0 h 0 h 0 h h ' m t ' m N ' Ecuación la rcta tangnt: 8. 9 Ecuación la rcta normal: 8 8. Daa la parábola cuación 8, hallar l punto on la tangnt s paralla al j abscisas. S calcula la rivaa la unción aa n un punto cualquira: Univrsia Tcnológica ECOTEC

21 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración 8 8 h h ' lím lím h0 h h0 h h h h h h h lím lím h0 h h0 h h h h h h h lím lím h0 h h0 h h.h8 lím lím h8 8 h0 h h0 Como la tangnt s paralla al j abscisas, las os rctas tnrán igual pnint: si b tomar n cunta qu la pnint l j abscisas s igual a cro, al igualar la rivaa a cro qua: m t ' Hallar la cuación la rcta tangnt normal a la curva aa por n l punto abscisa =. S calcula la rivaa la unción aa n l punto qu s inica. Aplicano la propia inición s tin qu: h h. h. h h ' lím lím lím h0 h h0 h h0 h. h. h h h... hh lím lím lím.. h h. h 0 h 0 h 0 h h ' m t ' m N ' Ecuación la rcta tangnt: 8. 9 Ecuación la rcta normal: 8 Univrsia Tcnológica ECOTEC

22 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración 0. Daa la parábola cuación 8, hallar l punto on la tangnt s paralla al j abscisas. S calcula la rivaa la unción aa n un punto cualquira: 8 8 h h ' lím lím h0 h h0 h h h h h h h lím lím h0 h h0 h h h h h h h lím lím h0 h h0 h h.h8 lím lím h8 8 h0 h h0 Como la tangnt s paralla al j abscisas, las os rctas tnrán igual pnint: si b tomar n cunta qu la pnint l j abscisas s igual a cro, al igualar la rivaa a cro qua: m t ' Drivaa una unción. La inición la rivaa una unción matmática s rlaciona con la noción l límit. La rivaa s ntin como l límit l cocint ntr l incrmnto la unción l la variabl cuano tin a cro. Actualmnt istn varios concptos, la inición más común, qu cuano una variabl inpnint una unción continúa = n ₀ s l valor '₀ trminao por l limit. Univrsia Tcnológica ECOTEC

23 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración A la rivaa s l nomina también como coicint irncial, la opración calcular la rivaa una unción s nomina como irnciación. La rivaa s pu calcular aplicano ést principio qu s mu important para las aplicacions prácticas. Por jmplo:. Dtrminar la rivaa aplicano l principio límits la unción: lim lim lim lim.. Dtrminar la rivaa aplicano l principio límits la unción: cos cos cos cos cos sin sin cos lim lim cos cos cos sin lim sin lim cos cos sin sin. Dtrminar la rivaa aplicano l principio límits la unción: sin sin sin sin cos cos sin sin lim lim sin cos sin lim sin.cos lim cos sin cos cos. Dtrminar la rivaa aplicano l principio límits la unción Univrsia Tcnológica ECOTEC

24 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración 7 Univrsia Tcnológica ECOTEC ' 0 ' ' '. Dtrminar la rivaa aplicano l principio límits la unción *. Dtrminar la rivaa aplicano l principio límits la unción u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u 7. Dtrminar la rivaa aplicano l principio límits la unción *

25 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración Ejrcicios propustos.. Encontrar la cuación la rcta qu s tangnt a la curva n l orign.. Si la rcta tangnt a n,, pasa por l punto 0, ncuntra '. Dibujar una unción para la cual 0 0, '0, ' 0 '. Si ncuntra ' úsla para hallar la cuación la rcta tangnt a la unción n l punto,. Para las siguints uncions hallar la rivaa n l punto qu s inica a ; 8, b ;, c ;,. Hallar las cuacions las rctas tangnt normal a la circunrncia n los puntos, -, 7. Dtrminar la cuación la rcta Tangnt Normal a la curva + + = n l punto,. 8. Dtrmin la cuación la rcta Tangnt con su rspctivo graico = / n l punto,/. 9. Dtrmin la cuación la rcta Tangnt con su rspctivo gráico g= qu pasa por los puntos -,- 0. Aplicano la inición rivaa calcular la rivaa las siguints uncions n los valors qu s inica a = + n = b = + + n = c = n = = + n =. Drivar las siguints uncions aplicano l principio los límits: a. 9 b. 8.. c. sn 8.. cos tan sn Univrsia Tcnológica ECOTEC 8

26 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración h. i. cos. j. sn tan k.. Si ncuntra ' úsla para hallar la cuación la rcta tangnt a la unción n l punto,. Para las siguints uncions hallar la pnint n l punto qu s inica a ; 8, b ;, c ;,. Dtrminar la cuación la lína tangnt normal, aplicano l concpto rivaa, n los puntos,,,0, =, 0, n l orn a caa unción Univrsia Tcnológica ECOTEC 9

27 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración REGLAS Y PROPIEDADES DE LAS DERIVADAS Amás compljo s un procso tioso l aplicar los concptos límits para por rivar una unción, istino rglas qu prmitn ctuar la irnciación una manra mcánica icint, vitano l uso los límits. Fórmulas básicas. Drivaa una unción constant. Es ncsario trminar qu las constants, s consiran los númros, ltras minúsculas l alabto qu no san la variabl, amás valors como: π, ė, otros. Si = = c sino c una constant c 0 La rivaa una unción constant conirma qu la pnint una rcta horizontal s cro Ejmplo. La rivaa =, s La rivaa =, s 0 0 Si = 8, ntoncs = 0 Si = /, ntoncs = 0 Drivaa la variabl inpnint. Función iéntica o intia. Univrsia Tcnológica ECOTEC 0

28 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración = = Si = ntoncs. La rivaa variabl inpnint o con rspcto a lla mismo, s igual a la unia. Drivaa l proucto una constant por la variabl inpnint. c c La rivaa una constant por la variabl inpnint s igual a la constant. Sa la unción = c, por jmplo = Entoncs la rivaa =, s = Si = /, ntoncs = /. Ejmplo: Calcular la rivaa la Función Drivaa la suma o rsta os uncions. La rivaa la suma /o rsta algbraica un númro inito uncions s igual a la suma /o rsta algbraica las rivaas las uncions. Sa, os uncions irnciabls n, la rivaa la suma s: / g / g Ejmplo: Calcular la rivaa: Univrsia Tcnológica ECOTEC

29 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración Univrsia Tcnológica ECOTEC Solución: ,,, Est jrcicio también s pu rsolvr mplano otro métoo como s analizará n la scción siguint. Ejmplo: Calcular la rivaa: Ejmplo: Calcular la rivaa: Drivaa un proucto uncions. La rivaa un proucto uncions s igual a la rivaa la primra unción por la sguna unción más la rivaa la sguna unción por la primra. Sa, g os uncions irnciabls n, la rivaa su proucto s:

30 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración La rivaa un proucto s usa cuano toos los actors son variabls * g * g g * Ejmplo: Hallar la rivaa : 8 8 Solución: Ejmplo: Hallar la rivaa : Ejmplo: Hallar la rivaa : Univrsia Tcnológica ECOTEC

31 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración Univrsia Tcnológica ECOTEC Drivaa un cocint uncions. La rivaa l cocint os uncions s igual a la rivaa l numraor por l nominaor mnos la rivaa l nominaor por l numraor too iviio para l cuarao l nominaor. Sa, os uncions irnciabls n, la rivaa l cocint s: * * g g g Ejmplo: Hallar la rivaa 8 En la rivaa l cocint s convnint ncrrar toos los actors rivaas n paréntsis, tnino cuiao con l signo monos l numraor

32 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración Univrsia Tcnológica ECOTEC Solución:,,,, Ejmplo: Hallar la rivaa : 8 Tnmos un cocint uncions,,,,

33 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración Ejmplo: Hallar la rivaa : : 8 8 Drivaa una potncia uncions. La rivaa la potncia una unción, on n s su ponnt, pu sr un númro ntro o raccionario, s igual al proucto l ponnt por la bas la potncia, multiplicaa por la rivaa la bas. n n n * DE RADICAL n m POTENCIA m n En las rivaas no istn órmulas para rivar raicals, cuano aparcn los raicals s b transormar a potncias lugo aplicar la órmula rivaas Ejmplo: Hallar la rivaa Cuano n= `, Univrsia Tcnológica ECOTEC

34 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración 7 Univrsia Tcnológica ECOTEC Ejmplo: Hallar la rivaa : : 7 0 ' 7 ' 7 * 7 ' u u u u u Ejmplo: Hallar la rivaa : * 8 9 * * 8 * 8 * * * 8 * 8

35 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración LA REGLA DE LA CADENA O DERIVADA DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA La rgla la cana s uno los rcursos qu más s utiliza n cálculo irncial, n on la unción s sustitu por otra más simpl aplicamos la rivaa corrsponint, multiplicaa por la rivaa qu s sustituó. Cuano s utiliza para para rivar una unción complja, s ncsario rconocr qu la unción aa s pu scribir como la composición os uncions más simpls. u * u Ejmplo: Hallar la rivaa: Solución: Hago qu U ' u * u U U U Ejmplo: Hallar la rivaa: 9 7 Univrsia Tcnológica ECOTEC 8

36 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración 9 Univrsia Tcnológica ECOTEC S consira: Ejmplo: Calcular la rivaa: Eistn os ormas para rsolvr: -Rsolvr las opracions inicaas al rsultao rivar. - Rsolvr como un proucto uncions. Es important qu l stuiant, rsulva manra más ácil mnos complja, s siguir consirar la primra altrnativa. Solución: ,,, Ejmplo: Calcular la rivaa: rmplazo U U U U U

37 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración 0 Univrsia Tcnológica ECOTEC Tnmos un cocint uncions:,,,, Ejmplo: Calcular la rivaa: Ejmplo: Calcular la rivaa aplicano la Rgla la Cana: Hago qu U ' ' * ' * '

38 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración Univrsia Tcnológica ECOTEC * ' U U U u u Ejmplo: Calcular la rivaa: 7 0 ' 7 ' 7 * 7 ' u u u u u Ejmplo: Calcular la rivaa: * *

39 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración Univrsia Tcnológica ECOTEC Ejmplo: Calcular la rivaa: * * * ` Ejrcicios para rsolvr. Calcular las rivaas las siguints uncions: ln Ln

40 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración p p p Z Dtrmin la cuación la rcta tangnt a la gráica las siguints uncions n l punto qu s inica: n,. 9. En. n. En. n, 7. n, 8 n,- 9. Cuano = Univrsia Tcnológica ECOTEC

41 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS Drivaa la unción sno. La rivaa l Sno una unción Trigonométrica s igual al cosno la unción por la rivaa la unción. Ejmplo: Drivar Sn. ` Cos ` Cos Sn. Cos. * Ejmplo: Drivar sn. ` sn. ` Sn.. Cos. Sn. Ejmplo: Drivar Sn 0 Cos Cos Drivaa la unción cosno. La rivaa l Cosno una unción Trigonométrica s igual a mnos l sno la unción por la rivaa. Univrsia Tcnológica ECOTEC

42 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración Ejmplo: Drivar Cos. Sn. * Cos. ` Sn.. ` Sn. Ejmplo: Drivar Cos ` ` `. Sn. Sn. Sn. Ejmplo: Drivar Cos Cos * Sn Cos Sn Cos * Cos Sn * * Cos Drivaa la unción tangnt. Para rsolvr la unción tangnt s pu prsar n términos sno cosno. Lo rsolvmos como rivaa un cocint. S pu utilizar la siguint órmula: Tan.. Sc. * Univrsia Tcnológica ECOTEC

43 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración Ejmplo. Drivar: Tan Tan. Tan. Tan. ` ` Tan. Sc ` Tan. Sc Ejmplo. Drivar: Sn Tan Cos Sc Cos 8Sc Ejmplo. Drivar: Tan Sc Sc 9 Sc Tan * * 9 Sc 9 * Univrsia Tcnológica ECOTEC

44 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración DERIVADA DE LAS FUNCIONES RECÍPROCAS S signan a la coscant, scant cotangnt, como razons rciprocas al Sno, Cosno Tangnt l siguint moo: - La Coscant: abrviao como Csc. o Cosc. s la rciproca l sno, o también su invrso multiplicativo Csc Sn. - La Scant: abrviao como Sc. s la rciproca l cosno, o su invrso multiplicativo: Sc. Sn - La Cotangnt: abrviao como Cot. o Cta. s la rciproca la Tangnt, o su invrso multiplicativo: Cot Tan. Drivaa unción cotangnt. La rivaa la cotangnt una unción trigo métrica, s igual mnos coscant al cuarao la unción por la rivaa la La rivaa co uncions stá acompañaa l signo ngativo Función. Cot. Csc * Drivaa unción scant. La rivaa la cotangnt una unción trigonométrica, s a la scant la unción por la tangnt la unción, multiplicao por la rivaa la unción. Sc. Sc * Tan * Univrsia Tcnológica ECOTEC 7

45 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración Drivaa la unción coscant. La rivaa la coscant una unción trigonométrica, s mnos la coscant por la cotangnt, multiplicao por la rivaa la unción Csc. Csc.. Cot. * Ejrcicios aplicación. Ejmplo. Drivar: Cot ` Csc ` Csc ` Csc Ejmplo. Drivar: Sc. Sc. * Tan. * Sc. * Tan. Univrsia Tcnológica ECOTEC 8

46 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración 9 Univrsia Tcnológica ECOTEC Ejmplo. Drivar:. *.. *.. *.. Cot Csc Cot Csc Cot Csc Csc Ejmplo. Drivar: * * * * * * * * * Tan Csc Cot Sc Tan Csc Cot Sc Tan Cot Cot Tan Cot Tan Cot Tan Drivaas Invrsas las uncions trigonométricas. Las caractrísticas las órmulas rivación las uncions trigonométricas invrsas, así como su scritura, son: a Son una racción cuo numraor s la rivaa l argumnto. b Las councions son iguals, irnciaas solamnt un signo ngativo, s cir, la órmula l arco sno s igual a la l arco cosno, solamnt qu ésta última s ngativa; la órmula l arco tangnt s igual a la l arco cotangnt, sino ésta última ngativa. Y algo smjant suc con l arco scant la arco coscant.

47 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración c El símbolo una unción trigonométrica invrsa, por jmplo, l sno invrso, b sr arcsn, qu s l arco sno signiica sno cuo arco s, s cir, sno cuo ángulo s, a qu l arco n una circunrncia s igual al ángulo cntral qu abarca. En matmáticas l símbolo univrsal para notar un invrso s un ponnt a la mnos uno, por jmplo, A- signiica l invrso A. Sin mbargo, n virtu qu las rglas scritura matmática rcominan, para vitar conusions, no mplar l mismo símbolo qu pua tnr os signiicaos irnts, rsulta incorrcto scribir sn - u n vz arcsn u, a qu la primra simbología poría tnr os signiicaos qu conunirían al lctor, una como l sno invrso, la otra como Sn Csc Sn arcsn ' arctg ' arccos ' arcsc ' arctctg ' ar csc ' Ejmplo. Drivar: sn sn cos Ejmplo. Drivar: arctg Univrsia Tcnológica ECOTEC 0

48 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración arctg ' arctg arctg arctg arctg arctg arctg arctg Ejmplo. Drivar: arcsn ' / Ejmplo. Drivar: Ln arctg S trata rivar L, on arctg. En conscuncia, aplicamos la rgla, rprsntamos por arctg ' la rivaa arctg. Por tanto: ' arctg arctg ' Ahora, para calcular la rivaa invrsas uncions trigonométricas, s cir arctg, aplicamos la rgla l arco tangnt la última arctg ' ' ' Ahora. En conscuncia, arctg ' Finalmnt, la rivaa la unción pia s: Univrsia Tcnológica ECOTEC

49 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración ' arctg arctg Ejrcicios para rsolvr. Obtnr las rivaas las siguints uncions:. Tan. CSc. ln. = cosc +. = cos. = sn 7. = + sc 8. Sn 9. Sn 0. Tan. Cot Tan.. = sn + cos, Sn. Sn. = cos 7. Tan Sn 8. Sn 9. Sn Cos Sc 0.. Cos. = sn tang. Sc Sc. = sn cos. cos. Cotg Sc Tan Cotg 8. = cos 9. = + tang Sn Cos. Cos Sn. Sn. Tan Sc 9. Sn * Cos 9. arcsn. arcsn. arcsn Univrsia Tcnológica ECOTEC

50 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración DERIVADA DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS El logaritmo un númro n s l ponnt al qu s b lvars la bas para obtnr icho númro n. Los logaritmos pun sr bas cualquir númro, pun istir un ininito tipo logaritmos, por lo cual s acoró mplar os tipos logaritmos: -Logaritmos naturals, rprsntao por l símbolo Ln, tin como bas l númro irracional,788 rprsntao por la ltra, s cir =,788 -Logaritmo bas iz por tratars un sistma cimal, también s nominan como logaritmos vulgars o logaritmos cimals, s rprsnta por l símbolo Log. Si no s spciica la bas, quir cir qu s 0. Es important conocr aplicar las propias los logaritmos. Propia los logaritmos. Las propias los Logaritmos son conscuncia las ls los ponnts s cumpl para cualquir bas positiva irnt. Las propias s aplican tanto para los logaritmos naturals bas 0. Log b 0; b 0.. b Log b b 0; b 0.. b b c a.. ntoncs. Log a c b Univrsia Tcnológica ECOTEC

51 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración Log M * N Log M Log N M Logb N Log Log L Log L M LogbM Log M b b L Log M LogbM ; b; M; ; son.. númros.. positivos.. b ; Log b Logb LogbM M n Log M nlog M Log Log a Ln Ln Log b b b b a M N b Logb b LogbM M N NLog Ln... Ln Sa... a... on... a a K N, K Ln. a Ln. Ln. a Log M Log N b b b b M b b Ln. a... Ln. a a Ln. Logaritmos naturals. Los logaritmos naturals o inormalmnt logaritmo npriano, son aqullos qu tinn como bas, un númro irracional cuo valor aproimao s,788. Drivaa una unción simpl. La rivaa l logaritmo natural o npriano, para maor a cro, Logaritmo Natural Ln. s la potncia a la qu b lvar para obtnr Es igual a sobr. Univrsia Tcnológica ECOTEC

52 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración Univrsia Tcnológica ECOTEC Ln. Drivaa una unción compusta. La rivaa un logaritmo natural una unción compusta, s a sobr la unción, por la rivaa la unción.. Ln Ejmplo. Drivar: Ln Aplicano las propias los logaritmos tnmos ' '. Ln Ln Ln

53 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración Univrsia Tcnológica ECOTEC Ejmplo. Drivar: Ln Ln Ln Ln Ln Ln Ln Ln... '. '.. ' Ejmplo. Drivar: Ln Aplicano las propias los logaritmos, s pu prsar: Ln Ln Drivano 7 Ln Ln

54 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración Logaritmos bas 0. S nomina como logaritmo cimal, logaritmo común o logaritmo vulgar, cua bas s 0, por lo tanto, l ponnt al cual ha qu lvar 0, para obtnr l númro. S nomina Log a, cuano no s spciica l valor la bas a, signiica qu s l valor 0. Drivaa una unción simpl. La rivaa un logaritmo cimal, s igual a sobr l logaritmo natural la bas, por l cocint sobr. Log. a * Ln. a Drivaa una unción compusta. La rivaa logarítmica cimal una unción compusta, s igual a sobr l logaritmo natural la bas, por l cocint por la unción, multiplicao por la rivaa la unción. Log. * Ln. a a * Univrsia Tcnológica ECOTEC 7

55 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración Ejmplo. Drivar: Log. Log. ' ' ' Ln.0 Log. Log. Ln.0Log. Log. Ln.0 Ln.0 Ln.0 Log. Ln.0 Ejmplo. Drivar: ' ' Log 8 * * 8 Ln. 8 8 Ln. 8 Ejmplo. Drivar: Log * * Univrsia Tcnológica ECOTEC 8

56 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración DERIVADA DE FUNCIONES EXPONENCIALES La unción ponncial, s conocia como la unción ral on, s l númro Eulr. S nomina unción ponncial bas a, aqulla qu cua orma gnérica s sino a un númro positivo istinto a. a, Drivaa unción ponncial bas. Drivaa una unción simpl. Drivaa una unción compusta. * n cualquir punto,, s numéricamnt igual a la coornaa l punto La pnint la gráica Ejrcicio rivar: ' 8 0 Univrsia Tcnológica ECOTEC 9

57 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración 0 Univrsia Tcnológica ECOTEC Ejrcicio rivar: ' * ' ' Ejrcicio rivar: Ejrcicio rivar: *

58 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración Drivaa unción ponncial a. Drivaa una unción simpl. a a Ln. a Drivaa una unción compusta. a a * * Ln. a Ejrcicio rivar: '* ' '* ' ' ' '* '* * Ln. * Ln. * Ln. * Ln. Univrsia Tcnológica ECOTEC

59 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración Ejrcicio rivar: ' ' ' Ln. Ln Ln Ln... * * Ln. Ln. Ln. * * Ln. Ln. Ln. * * Ln. Ln. Ejrcicio rivar: * * 0.9 * Ln * * Ln Ejrcicios para rsolvr. Obtnr las rivaas las siguints uncions:. Log. Log.... Log 7. Ln Log 0.. Ln Ln Log Log. Univrsia Tcnológica ECOTEC

60 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración 7. Ln Log Ln. 0. Log. LnLn. Ln Ln. Log. Ln. Tan. Ln 7. Sn Cos Dtrmin la cuación la rcta tangnt las siguints uncions n l punto ao: 8. n,0 n Ln 0. n Ln. Ln n Univrsia Tcnológica ECOTEC

61 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR Si s una unción rivabl, srá la primra rivaa la unción, signiica qu s rivabl, por lo tanto, s pu trminar la sguna rivaa así sucsivamnt. Mintras las rivaas cumplan sr uncions continuas qu san rivabls, s porá ncontrar la n- simarivaa, nominános rivaas orn suprior. A partir la cuarta rivaa, su notación s,, o IV V VI también pu sr,,, tc Ejrcicio: Hallar la rivaa nésima la unción Univrsia Tcnológica ECOTEC

62 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración Univrsia Tcnológica ECOTEC Ejrcicio: Hallar ln...! Ejrcicio: Hallar z 7 Ejrcicios propustos. Obtnr las rivaas las siguints uncions:. Hallar las trs primras rivaas. Daa la unción hallar las trs primras rivaas.. Dtrmin si. Dtrmin " si

63 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración. Dtrmin " si. Dtrmin " si 7. Dtrmin si 8. Dtrmin si Ln 0. Dtrmin. Dtrmin si " si Ln Ln. Dtrmin " si. Dtrmin Ln. Dtrminar. Encuntr Univrsia Tcnológica ECOTEC

64 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración DERIVACIÓN IMPLÍCITA Una unción stá scrita n orma plícita, cuano su variabl pnint stá spjaa así, por jmplo: Tan. 9 Ln. 8 Si lo contrario cuano la variabl pnint, no stá spajaa s ic qu s una unción implícita por lo gnral la. Los siguints jmplos mustran casos uncions qu stán scritas n orma implícita: Tan. 9 arc. sn Rgla para rivar una unción implícita. Para rsolvr una rivaa n unción implícita s rcomina sguir los siguints pasos: - Drivar ambos laos la cuación, con rspcto a o a la qu s riva. - Ralizar la transposición términos jar aqullos qu contngan la rivaa n l primr término. - Factorizar on sté la rivaa. - Dspjar la rivaa. Una unción stá n orma implícita cuno no aparc spjaa la sino qu la rlación ntr vin aa por una cuación os incógnitas cuo sguno mimbro s cro Univrsia Tcnológica ECOTEC 7

65 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración 8 Univrsia Tcnológica ECOTEC Ejrcicio: Hallar la rivaa 0 ' ' 0 ' * * 0 * 80 0 ' ' 80 0 ' 0 ' 9 ' 9 ' ý ý ý ý

66 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración Ejrcicio: Hallar : ln cos. sin. sin sin Ejrcicio. Hallar la rivaa: Sa la unción 7, hallar la rivaa. 7 Ejrcicios propustos. Obtnr las rivaas las siguints uncions:. Hallar la rivaa la siguint unción implícita: =. Hallar la rivaa la siguint unción implícita: Univrsia Tcnológica ECOTEC 9

67 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración. Encontrar si. Encontrar si. Encontrar si. Encontrar si Ln 7. Encontrar si a b c 8. Encontrar si 0 9. Encontrar si 0. Encontrar si Ln.Sa la unción 7, hallar la rivaa.. Encontrar la rivaa suponino qu la cuación unción rivabl qu =. scrib una Univrsia Tcnológica ECOTEC 0

68 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración ANÁLISIS MARGINAL El Cálculo Dirncial s l stuio los cambios qu ocurrn n una prsión matmática, cuano ocurrn variacions n otras cantias variabls inpnints las cuals pn la cantia original variabl pnint. Así, por jmplo: - El cambio n l costo total opración una mprsa, rsulta caa unia aicional proucia. - El cambio la mana cirto proucto qu rsulta un incrmnto una unia n l prcio. - El cambio l proucto nacional bruto un país por caa año qu pasa La rivaa tin varias aplicacions n la conomía la aministración n lo rrnt a las tasas marginals. Costo marginal. S in como costo marginal a la variación l costo total, ant l aumnto una unia proucia, s cir l costo proucir una unia aicional. El costo marginal s un concpto important n la microconomía, a qu s utiliza para trminar la cantia proucción una mprsa los prcios los prouctos. Es claro qu l costo marginal no s otra cosa qu la rivaa la unción l costo con rspcto a la cantia proucia. COSTOMARGINAL C Marginal, s l prcio o cost caa unia El costo marginal mi la tasa con la qu l costo s incrmnta con rspcto al incrmnto la cantia proucia. Univrsia Tcnológica ECOTEC

69 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración Costo promio marginal. Costo promio o cost unitario, s l costo proucción por unia proucto. S trmina iviino l total costos ijos costos variabls para l númro total unias proucias. COSTOPROMEDIO C Mintras qu l costo promio marginal s igual a la rivaa l costo promio COSTOPROMEDIOMARGINAL C Ingrso marginal. Ingrso s l cambio qu s raliza n l ingrso total por caa unia aicional qu s vna. Sabmos qu INGRESO X * P X= Númro unias Vnias P= Prcio unitario Por lo tanto INGRESO. MARGINAL I Los ingrsos marginals rprsntan las ntraas aicionals una mprsa por artículo aicional vnio cuano ocurr un incrmnto mu pquño n l númro artículos vnios. Esto s, la tasa con qu crc l ingrso con rspcto al volumn vntas. Utilia marginal. La Utilia, s l punto vista conttual, s pu cir qu s la aptitu un bin o srvicio para satisacr la ncsia humana. Univrsia Tcnológica ECOTEC

70 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración Ds l punto vista conómico UTILIDAD I C Utilia marginal, brina l consumo un bin aicional; n términos matmáticos s pu cir qu la Utilia Marginal, s la rivaa parcial la unción la Utilia con rspcto a la cantia consumia un bin. UTILIDAD MARGINAL U La utilia marginal, rprsnta la utilia aicional por artículo, si la proucción tin un pquño incrmnto. Razón Cambio Rlativo Porcntual. Cambio rlativo, si tnmos una magnitu R, con rspcto a, s in como l cocint CAMBIO RELATIVO CAMBIOQ TAMAÑODEQ La razón l cambio rlativo, una magnitu con rspcto a una variabl trminaa por l cocint RAZON RELATIVO DE CAMBIOQ Q Q RAZON PORCENTUAL DE CAMBIOQ 00 * Q Q Razón tasa cambio. Para trminar la icincia una prsona n ralizar una activia, s pu calcular por la sguna rivaa, qu proporciona la razón cambio la tasa cambio la unción original. Univrsia Tcnológica ECOTEC

71 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración Para trminar la sguna rivaa una unción; sólo s calcula la primra rivaa lugo s vulv a rivar RAZON DE CAMBIO DE TASA ' '' Función consumo. La unción l consumo C s la rlación ntr l nivl gasto consumo l nivl rnta prsonal isponibl. C= I ist una rlación con l ingrso nacional total, I, l consumo nacional, C. Tanto l Ingrso como l consumo s prsan n mils millons ólars. La propnsión marginal al consumo, s la razón cambio l consumo rspcto al ingrso. PROPENSION MARGINAL AL CONSUMO C I La irncia ntr l Ingrso I l Consumo C s l Ahorro S S= I C Si irnciamos ambos mimbros la cuación con rspcto a I, tnmos S I I C I I C I S Si s in I como la propnsión marginal al Ahorro, inicano qu cambia mu rápiamnt l Ahorro con rspcto al Ingrso. PROPENSION MARGINAL AL AHORRO PROPENSION MARGINAL AL CONSUMO Univrsia Tcnológica ECOTEC

72 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración APLICACIONES PRÁCTICAS DE LAS DERIVADAS Fórmulas númro unias p prcio/mana I ingrso U costo Simpr qu s iniqu marginal srá una rivaa Máimos mínimos. Los máimos mínimos son los maors o mnors valors qu alcanza una unción n un intrvalo ao. También rcibn l nombr valors trmos la unción. En la igura s obsrva qu la unción stá inia n l intrvalo crrao, Analizano s pu ucir:. Univrsia Tcnológica ECOTEC

73 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración Esl mínimo la unción n l intrvalo si c ncuntr n l intrvalo. c c Es l máimo la unción n l intrvalo si c ncuntr n l intrvalo. para too valor qu s para too valor qu s D los concptos antriors, s trmina qu l torma l valor trmo s rir a qu, si s continua n l intrvalo crrao, ntoncs la unción tin máimo mínimo n l intrvalo. En la gráica una unción, un máimo s pu prr n l momnto qu l intrvalo cambi. Es cir, si n lugar qu l intrvalo sa crrao s abirto. Analizano l siguint jmplo: D la gráica pomos trminar los concptos trmos rlativos: - Si ist un intrvalo abirto n qu la c tin un máimo, s nomina qu la c tin un máimo rlativo la unción. - Si ist un intrvalo abirto n qu la c tin un mínimo, s nomina qu la c tin un mínimo rlativo la unción. - Los trmos rlativos solo s prsntan n númros críticos. En una unción inia n cualquir númro ral c, s pun rconocr puntos críticos la unción cuano c = 0, o si la unción no stá inia n c. Eprsao otra manra s tin Univrsia Tcnológica ECOTEC

74 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración qu si la unción tin un trmo rlativo n l punto = c, ntoncs c srá un númro crítico la unción. Ejmplo: Univrsia Tcnológica ECOTEC 7

75 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración Rsumino, stos valors s tinn: Los procimintos a sguir para obtnr los trmos n un intrvalo crrao son:. S riva la unción para hallar los valors críticos.. Estos valors críticos s rmplazan n la unción original para obtnr los valors trminano los puntos críticos.,. S valúa la unción n los puntos,.. El mnor los valors s mínimo l maor s máimo. Univrsia Tcnológica ECOTEC 8

76 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración Funcions crcints crcints. Estuiano las rivaas s ha visto qu s pun hallar los puntos máimos mínimos una unción. También s posibl aminar cuano la unción s crcint o crcint. En la igura: Una unción s crcint si para too par númros n l intrvalo, s cumpl qu < lugo <. Similarmnt, una unción s crcint si para too par númros n l intrvalo, s cumpl qu < lugo >. Pomos ucir qu si una unción s rivabl n un intrvalo a,b: Si Si ' 0 c, para toa, n l intrvalo b ' 0 c, para toa. n l intrvalo b a,, la unción s crcint n st intrvalo. a,, la unción s crcint n sta intrvalo. ' Si c 0, para toa n l intrvalo b crc ni crc, prmanc constant. a,, ist un punto inlión, on la unción ni Univrsia Tcnológica ECOTEC 9

77 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración Concavia una unción. La concavia la gráica una unción s rir on s curva la gráica hacia arriba on s curva hacia abajo. S pu trminar aplicano l critrio la sguna rivaa, si =c s un punto crítico al rmplazarlo n la sguna rivaa la unción s obtin un rsultao ngativo < 0, ntoncs la unción s cóncava hacia arriba obtnino un máimo local; mintras si s obtin un rsultao positivo > 0 la unción s cóncavo hacia abajo, obtnino un mínimo local. Rsumn para trminar trmos bajo l critrio la sguna rivaa. Paso : Encontrar los puntos críticos la unción, valors on la 0. Paso : Encontrar la sguna rivaa valuarlo cuano = c Paso : - Si 0 la unción tin un mínimo local n =c. - Si 0 la unción tin un máimo local n =c. - Si 0 la unción no stá inia, ist un punto inlión, curva cambia concavia, s cir cambia cóncavo hacia arriba a cóncavo hacia abajo o vicvrsa. Ejrcicios aplicación.. El proucto Intrno Bruto PIB un país R= 0 ólars t años spués 999. a. Qué razón cambió PIB con rspcto al timpo n 0? b. A qué razón porcntual cambio l PIB con rspcto al timpo n l año 0 Rspustas. Litral a Univrsia Tcnológica ECOTEC 70

78 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración R m m 0milmillons R' m m 0 R' m t R' 000millons olars al año 00 Litral b R m R R' R m 0milmillons! 0 0mil millons La Razón cambio porcntual % 0. En cirta mprsa un stuio icincia para l turno la mañana, trmina qu un trabajaor promio, qu llga a las 7:00 a.m. ha proucio Q t t t t a. Calcular la tasa proucción l trabajaor a las :00. b. A qué razón stá cambiano la tasa proucción l trabajaor con rspcto a las :00? Rspustas: Litral a Q' t t Q' t 9unias por hora Litral b La razón cambio la tasa proucción s la sguna rivaa Q'' t t Q'' 8unias por hora El signo ngativo inica qu la tasa proucción stá crcino. Univrsia Tcnológica ECOTEC 7

79 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración. Encuntr los costos marginals si $0.99. Dtrmin l costo promio marginal Univrsia Tcnológica ECOTEC 7

80 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración. Dtrminar l valor ingrso marginal si la rlación n la mana s: Dtrminar l costo marginal si la unción l costo s C Ln 7. Dtrminar la utilia marginal si l costo s Univrsia Tcnológica ECOTEC 7

81 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración 7 Univrsia Tcnológica ECOTEC Dtrminar la Utilia, si la cuación n la mana l costo cirto artículo s: $ $ 9. Dtrminar las propnsions marginals al Consumo al Ahorro, cuano I= 00. La unción l Consumo stá aa por: * 0 * 0 0 * 0 * 0 * C I I I I I I I I C I I I I I I I I I I I C I I C

82 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración La propnsión marginal al ahorro, cuano I=00, s - 0.8= 0.7 Esto quir cir qu la nación consum aproimaamnt un.8% ahorra 7.%. 0. Para cirto artículo la cuación la mana s p Dtrminar l volumn proucción para maimizar l Ingrso? Si l costo proucir los artículos qu s vnn s C 000 Calcularlas unias para qu la utilia sa máima l valor icha utilia? I= p I 0.00 I 0.00 I un. Para trminar si st volumn proucción maimiza l ingrso trmino la sguna rivaa, si s maor qu cro tngo máimo, mnor qu cro mínimos si s igual a cro ist un punto inlión I 0.00 Signiica qu l volumn proucción maimiza l ingrso. I 0.00 Para rsolvr la sguna prgunta: la tasa proucción o númro unias qu b proucir la mprsa para obtnr la utilia máima, s raliza: U I C U 0.00 U 0.00 U 0.00 U un Univrsia Tcnológica ECOTEC 7

83 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración U 0.00 U 0.00 maimiza El valor la Utilia máima: U 0.00 U U $ 700. La unción l costo una ábrica s C n ólars, on l nivl proucción sta a n mils artículos smanals. Si caa artículo proucio s pu vnr $9 caa uno. Dtrminar: a El Ingrso. b Volumn proucción para obtnr una Utilia máima l valor la Utilia. Rsolvino la prgunta a: I p I Rsolvino la prgunta b: U I C U U uni / sm U U 8 Univrsia Tcnológica ECOTEC 7

84 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración Rmplazano l valor las unias n la sguna rivaa: U 8 8. Es un valor ngativo, trmina qu las 8 unias proucn la utilia máima. El valor la Utilia máima: U U U ma 8 ma ma $ Una mprsa trmino qu la abricación vnta los bins qu prouc stá trminaa por la cuación la mana p 0.00, la unción l costo C. trmin: a El nivl proucción qu proucirá la máima utilia. b Cuál s la utilia máima? Para rsolvr la primra prgunta, s trmina l valor l prcio p l Ingrso: p 0.00 p 0.00 I p I U I C U 0.00 U U Un.. U Es un valor ngativo, trmina qu las 800 unias proucn la utilia U 0.00 máima. Univrsia Tcnológica ECOTEC 77

85 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración Para trminar l valor la utilia máima: U U ma U ma $ 98. La cuación la mana para un monopolista s p 00 la unción l costo 00 promio: C 0. on s l númro unias p,c s prsa n ólars por unia. Dtrminar: a El volumn proucción para maimizar la utilia. b El prcio las unias n qu ocurr la utilia máima. c Calcular la Utilia máima. Si como mia rgulaora l gobirno impon un impusto $ por unia Cuál s l nuvo prcio para maimizar la utilia? S b calcular l costo l ingrso: C C C C * 00 C I p * I S trmina l volumn proucción para obtnr la utilia máima U 00 U 9. U Un U 9. Es un valor ngativo, trmina qu con las 90 unias s obtin utilia U. máima. Univrsia Tcnológica ECOTEC 78

86 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración Para trminar l prcio: I p I p $ Para calcular la utilia máima: U ma U ma $ 70 El impusto $ por unia inica qu por caa unias, l costo crc n. Las nuvas uncions l costo Utilia srian: C C U U U uni.. U.s maimo El nuvo prcio srá: I p I 990 $ $990 Ejrcicios propustos.. Un stuio icincia n una mprsa trmina qu trabajaor promio qu llga a trabajar a las 7:00 a.m. habrá proucio Qt t 8t 7t unias. Univrsia Tcnológica ECOTEC 79

87 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración a Calcular la tasa proucción l trabajaor a las 0:00 a.m. b A qué razón cambia la tasa l trabajaor a las 0:00 a.m.? c Aplicar l cálculo para stimar l cambio la tasa ntr las 0:00 las 0:0 a.m. Calcular l cambio ral n la tasa proucción l trabajaor ntr las 0:00 0:0 a.m.. S procta qu ntro t, timpo n mss, l prcio mio por unia artículos n cirto sctor la conomía s consira Qt t 8t 7t 00olars a A qué tasa s incrmntará l prcio por unia con rspcto al timpo mss? b A qué tasa cambiará l incrmnto la tasa prcios con rspcto al timpo mss? c Calcular l incrmnto ral la tasa prcios urant l sto ms.. Calcular l costo marginal costo promio marginal las uncions costo. C C C C Una mprsa vn toas sus unias proucias a una razón $ caa una. El costo total por proucir éstas unias stá trminao por la unción C a. Escriba la prsión la utilia. b. Dtrmin l volumn proucción para obtnr la utilia máima c. Cuál s l costo la proucción para obtnr sta utilia.. Para un artículo trminao, la cuación la mana s p maimiza l ingrso? Si la unción costo s maimic la utilia calcul icha utilia. Qué valor C 00 ncontrar l valor qu. Para las siguints uncions costos rlacions la mana, trminar, la utilia marginal caa prsión: Univrsia Tcnológica ECOTEC 80

88 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración a. C 00 9 b. C 000 p 00 p 00 h c. C 00 p c El costo proucir, mils unias stá aa por la unción C 700 8, trminar l costo marginal l costo marginal promio. 8. La rlación la mana cirto proucto, son las siguints, on unias pun vnrs a un prcio trminao caa unia, trminar l ingrso marginal: 0 a. p 0 b. p 0 Ln 9. Encuntr la cuación la rcta tangnt a la curva cuano 0. Dtrminar l costo promio marginal su valor aos por. 000 C 00 ; C Para una mprsa, la proucción iaria n t-ésimos ía un ciclo proucción stá 0.t aa por: 00 al timpo. Dtrminar la razón l cambio la proucción con rspcto. Para la unción l costo C promio marginal., trminar l costo marginal l costo. Para la rlación la mana p 0 Ln, trmin l ingrso marginal. Univrsia Tcnológica ECOTEC 8

89 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración. Para l proucto un monopolista la cuación la mana s p la unción costo: C 00 0 A qué nivl proucción s maimiza la utilia? A qué prcio ocurr sto cuál s l valor la utilia máima?. Para un proucto la cuación la mana s: p la unción l costo 80 promio s C Encontrar l prcio qu maimiza la utilia.. Un abricant raiorrcptors trmina qu su cuación la mana smanal s: 7 l costo proucción s 00 ólars Dtrminar l volumn proucción qu b proucir para obtnr una utilia máima. 7. Una mprsa qu prouc calctins mpaca n cajas, sa sabr cuál srá l númro cajas qu bn prparar para minimizar l costo promio por caja, trmin l costo promio mínimo con os cimals. El costo total proucir cajas s C 0 7Ln 0 8. La unción l costo abricar un proucto stá aa por C 0 8 la mana l proucto p 70, s grava con un impusto $ por caa unia proucia, on l abricant aña al costo proucción. Dtrminar l nivl proucción spués crao l impusto ncsario para maimizar la Utilia. 9. La unción la mana s p para 0 8 Dtrminar l prcio l númro unias para qu los ingrsos san máimos. 0. Una mprsa tlvisión a cabl tin actualmnt 00,000 suscriptors, qu pagan mnsualmnt una cuota $. Una ncusta rvlo qu tnrían 000suscriptors más por caa $0. isminución cuota. Para qué cuotas s obtnrá un ingrso máimo cuantos suscriptors s tnían ntoncs? 0. Una mprsa trmina qu su ingrso total s trmina por I Encontrar: a El númro artículos vnios para maimizar l ingrso total. b Cuál s l monto st ingrso total? c Si s vnn 00 artículos cual srá l ingrso total. Univrsia Tcnológica ECOTEC 8

90 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración. Una compañía trmina qu pu vnr toas sus unias a qu prouc a $ caa una. S stima qu la unción l costo proucción n ólars s C Encuntr : a La prsión la Utilia. b El volumn proucción qu s b obtnr para alcanzar la utilia máima. c Monto l volumn máimo. 0. La mana una mprsa s prsa por la unción p la l costo promio s 000 C 0.0 Dtrminar l prcio la proucción qu aumntan al máimo la utilia. A st nivl mustr qu l ingrso marginal s igual al costo marginal.. Para cirto articulo la cuación la mana s p a la unción l costo C 00 Dtrminar: a El valor l volumn proucción qu maimizara l ingrso la utilia? b Calcular la Utilia máima. Univrsia Tcnológica ECOTEC 8

91 Aplicacions la Drivaa n conomía aministración BIBLIOGRAFÍA DE CONSULTA A BÁSICA - Laurnc D. Homann 00. Cálculo aplicao para Aministración, conomía cincias socials. McGrawHill, Méico. Octava ición - ARYA, JAGDISH C. LARDNER, ROBIN W Matmáticas aplicaas a la aministración a la conomía. Parson Eucación, Méico. Quinta ición. - HAEUSSLER, F., ERNEST JR. 00. Matmáticas para aministración conomía Parson Eucación, Méico. Décima ición. - Cuéllar, C. Juan Antonio. 0. Matmáticas V.DGB. McGrawHill, Méico. Sguna ición - Funlabra Samul 0. Cálculo Dirncial. McGrawHill, Méico. - GranVill,w.a. 00. Cálculo Dirncial Intgral. Granvill, w. a. 00. Méico. Limusa B COMPLEMENTARIA - Marvin L. Bittngr 00. Cálculo para Cincias Económico-Aministrativas. Parson Eucación. - Gorg B. Thomas. 00. Thomas Cálculo una Variabl. Parson Eucación, Méico. Unécima ición. - Insan Mclro. 00. Aministración Cálculo tu mprsa. Disponibl n: Univrsia Tcnológica ECOTEC 8

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