Facultad de Ingeniería UCV Álgebra Lineal y Geometría Analítica (0250) Ciclo Básico

Transcripción

1 Fultd de Ingenierí UCV Álger inel Geometrí nlíti () Cilo ásio Deprtmento Mtemáti plid GUÍ DE Enuentre el onjunto soluión pr d uno de los siguientes sistems lineles: ) ) ) d) e) t t t f) g) h) i) j) ) l) v v Enuentre el onjunto soluión pr d uno de los siguientes sistems lineles homogéneos: ) ) ) d) e) f) empres Mi Mes fri mueles de lidd En l fári eisten dos tlleres: el tller de máquins donde se frin ls pies el tller de ensmle donde se unen ls prtes pr otener el produto termindo Supong que se tienen empledos en el tller de máquins en el tller de ensmle, que d empledo trj hors Supong que se produen dos rtíulos: sills mess Un sill requiere / hors de mquindo / hors de ensmle Un mes requiere / hors de mquindo / hors de ensmle Suponiendo que se tiene un demnd ilimitd de estos produtos que el frinte quiere mntener oupdos todos sus empledos, uánts sills uánts mess l dí puede produir est fári?

2 Fultd de Ingenierí UCV Álger inel Geometrí nlíti () Cilo ásio Un grnjero d de omer su gndo un mel de dos tipos de limento Un unidd estándr del limento proporion un novillo % del requerimiento dirio de proteín % del de rohidrtos Un unidd estándr del limento ontiene % del requerimiento dirio de proteín % del de rohidrtos Si el grnjero quiere limentr su gndo on el % de los requerimientos mínimos dirios de proteín rohidrtos, uánts uniddes de d tipo de limento dee dr un novillo l dí? Un dietist dese ominr tres limentos de modo tl que l omid resultnte onteng uniddes del ingrediente, uniddes del ingrediente del ingrediente C s uniddes de d ingrediente, por on de limento, preen indids en l tl djunt Cuánts ons de d limento se deen ominr pr otener l omid desed? Ingredientes limentos C on de limento I uniddes uniddes uniddes on de limento II uniddes uniddes uniddes on de limento III uniddes uniddes uniddes Un muelero fri sills, mess pr fé mess pr omedor Se neesitn minutos pr lijr un sill, minutos pr pintrl pr rnirl Se neesitn minutos pr lijr un mes pr fé, oho pr pintrl pr rnirl Son neesrios minutos pr lijr un mes pr omedor, pr pintrl pr rnirl mes de lijdo est disponile hors l semn, l mes de pintur hors l semn l mes de rnido hors Cuánts uniddes de d muele deen frirse por semn de modo que ls mess de trjo se oupen todo el tiempo disponile? empres " Espd Mági" produe tres modelos de espds: Espds de Plt, espds de Oro espds de Mithril Pr elorr un espd de Mithril se neesit el dole del tiempo que se emple pr elorr un de Oro demnd indi que l produión de espds de Plt dee ser el triple de l produión de espds de Mithril os ostos de dquisiión de mteril por d tipo de espd son: $, $ $ pr espds de Mithril, Oro Plt respetivmente empres dispone de $ etos pr invertir Cuánts espds de d tipo se deen produir pr stisfer los requerimientos plntedos? empres "Quiddith Co" produe tres modelos de esos voldors: Sets de Fuego, Nimus rredors friión de ls esos se llev o en tres tlleres: el de seleión de mder, el de ensmlje de pies el de rnido Un Set se ensml en un hor se rni en dos hors, un Nimus se ensml en minutos se rni en un hor, un rredor se ensml en minutos se rni en minutos Pr seleionr l mder es neesrio un hor por d eso (independientemente del modelo) En el tller de ensmlje h empledos, en el rnido en el de seleión Si d dí l empres trj hors, uánts esos de d modelo se deen produir en un dí? Deprtmento Mtemáti plid

3 Fultd de Ingenierí UCV Álger inel Geometrí nlíti () Cilo ásio Un empresrio tiene tres máquins que son empleds en l friión de utro produtos diferentes Pr utilir plenmente ls máquins, ésts estrán en operión hors diris El número de hors que d máquin es usd en l produión de un unidd de d uno de los utro produtos está ddo en l siguiente tl: Produto Produto Produto Produto Máquin Máquin Máquin ) Enuentre el número de uniddes que deen produirse de d uno de los produtos en un dí de hors, jo el supuesto de que d máquin se us ls hors omplets ) Cuál es l soluión l prolem si diionlmente se requiere produir l menos un unidd de d produto? os digrms mostrdos en ls figurs representn un red de lles on trnsito de vehíulos en un sólo sentido, ls flehs indin l direión del flujo de tráfio, en ls lles, se indi el número de vehíulos por minuto que entrn slen en d interseión Supong que el número de vehíulos que entr un interseión es igul l que sle ) Determinr el sistem de euiones que desrie el trnsito de vehíulos en d un de ls lles de l red ) Hllr l soluión del sistem ) Determinr los flujos máimo mínimo en d un de ls lles ) ) C C D E F Como medid de ontingeni sólo pueden psr por un ví ltern deens de vehíulos de un solo tipo en un solo sentido Un deen de rros prtiulres trd min, en psr por dih ví, un deen de trnsporte púlio,, min un deen de trnsporte pesdo, min Cuánts deens omplets de vehíulos de d tipo pueden psr por l ví en un hor, si se uerd que deen trnsitr etmente deens de vehíulos en un hor? lner ls siguientes reiones químis: ) MnSO KMnO HO MnO K SO HSO ) Fe(CO) NOH NCO NFe(CO) HO ) H Cl C(OH) C HCl CCl H O C d) HClO PO HPO ClO Deprtmento Mtemáti plid

4 Fultd de Ingenierí UCV Álger inel Geometrí nlíti () Cilo ásio Un fári neesit envir tres tipos de uniddes de produto un distriuidor en el interior os ostos en dólres de envío seguro por unidd, están desritos en l siguiente tl: Produto Produto Produto Costo de envío por unidd $ $ $ Costo de seguro por unidd $ $ $ Supong que los diretivos de l fári deiden gstr únimente dólres pr urir los ostos totles de envío seguro on l ondiión de sólo pgr en gstos de seguro un % ) Qué ntidd de produtos de d tipo se pueden envir l distriuidor? ) Si el distriuidor reie produtos en totl, qué ntidd de produtos de d tipo le environ? l iniio del refrigerio de un evento, se dispusieron sore un mes ts de fé on lehe, fé negro, té hoolte lguien notó que l ntidd de ts de fé on lehe, fé negro té sumn que el número de ts de fé on lehe, dupli el número de ts de fé negro que tmién er igul l sum del número de ts de fé negro, té hoolte Cuál es l ntidd de ts de d eid que hí l iniio del refrigerio? Presente sus resultdos en un tl Un resturnte uent on mess de, sientos Si se totlin mess sientos pr ells: ) Cuánts mess de d tipo h el resturnte? Represente ls posiles soluiones en un tl ) En ierto dí se oupó l urt prte de ls mess de sientos, l mitd de ls mess de sientos l terer prte de ls mess de sientos, uánts mess de d tipo se usron ese dí? euión generl de un seión óni es d e f Hllr l euión de l óni u gráfi ps por los puntos (,), (,-), (,), (,-), (,-) Se tiene un pl uos ordes se mntienen temperturs fijs Se dese enontrr l tempertur en los puntos interiores numerdos Considere el digrm mostrdo en l figur supong que l tempertur en un punto interior es el promedio de l tempertur en los utro puntos que lo roden (rri, jo, l dereh l iquierd) ) Estleer el sistem de euiones que permite determinr l tempertur en los puntos numerdos ) Resolver el sistem ) ) C C C C C C C Deprtmento Mtemáti plid

5 Fultd de Ingenierí UCV Álger inel Geometrí nlíti () Cilo ásio eonomí de un pís est dividid en tres setores: griultur, mnuftur energí, de tl mner que ls demnds interns que d setor le he los demás ( en miles de dólres requerids por d mil dólres de produión ) ls eportiones ( en miles de dólres) están dds en l siguiente tl griultur Mnuftur Energí Eportiones (Miles de $ requerids por Mil $ de produión) (Miles de $) griultur, Mnuftur,,, Energí,,, Clule el vlor, en dólres, de l produión de d uno de los diferentes setores neesrios pr urir etmente ls demnds Hllr l euión polinómi u gráfi ps por los puntos: ) (-, ), (-, ), (, ), (, ) ) (, ), (, ), (-, ), (, ), (, ) Pr el onjunto de tres puntos ddos: ) Hllr l euión de práol que ps por los puntos ) Hllr l euión de irunfereni i) (, ), (-, ), (, ) ii) (-, ), (-, ), (-, ) que ps por los puntos Enuentre, en d so, los vlores de los prámetros que hen que el sistem se: ) Comptile Determindo (soluión úni) ) Comptile Indetermindo (infinits soluiones) ) Inomptile (ningun soluión) ) ) ( ) ) d) ( ) e) ( ) Enuentre l soluión del sistem de euiones pr los diferentes vlores del λ λ prámetro λ R Estle el tipo de onjunto soluión del sistem de euiones ( ) ( ) pr los ( ) ( ) diferentes vlores de los prámetros en R Deprtmento Mtemáti plid

6 Fultd de Ingenierí UCV Álger inel Geometrí nlíti () Cilo ásio Deprtmento Mtemáti plid Estudie l omptiilidd del sistem ) ( ) ( pr los diferentes vlores de R Enuentre los vlores de pr que el sistem de euiones ) ( teng: Soluión úni ) infinits soluiones ) ningun soluión Resuelv el sistem pr los diferentes vlores de R Indique pr qué vlores de α, β R, el sistem β β α β α es: ) omptile determindo ) omptile indetermindo ) inomptile Resuelv el sistem m m m m pr los diferentes vlores del prámetro m R Qué ondiiones deen verifir los prámetros R pr que el sistem presente: ) soluión úni ) infinits soluiones ) soluión ví Enuentre los vlores de,, que stisfgn l iguldd: Clule,, pr que se stisfg l iguldd: Resuelv l euión mtriil, donde

7 Fultd de Ingenierí UCV Álger inel Geometrí nlíti () Cilo ásio Deprtmento Mtemáti plid Resuelv en d so el sistem mtriil: ) Y Y ) Y Y ) Y Y d) Y Y Dds, lule ) Si, lule, en so de ser posile, Coiniden? ) Si lule, en so de ser posile, Coiniden? Clule todos los produtos posiles entre ls mtries: C Pr l mtri lule:,, n pr,,, n Pr ls mtries,, C D lule: ) ) ) d) D e) C f) C g) D h) D D i) DD Si son mtries udrds del mismo orden, indique uáles de ls siguientes igulddes son propieddes uáles ntipropieddes: ) ) ( ) ) ( ) ) )( ( Dds ls mtries:,, C, D, E F Clule de ser posile: ) () ) ) d) e) f) (C-E) g) (DF) h) C

8 Fultd de Ingenierí UCV Álger inel Geometrí nlíti () Cilo ásio Enuentre los vlores de pr que l mtri stisfg Enuentre tods ls mtries udrds de orden que onmutn on Pr ls mtries ) ) ) enuentre, utilindo ls propieddes de mtries: () d) ( ) e) ( ) f) Dd l mtri digonl D lule D Cómo generlirí un fórmul pr lulr de mner rápid l invers de un mtri digonl jo qué ondiiones? Pr qué vlores de l mtri tiene invers? En d uno de los siguientes sos, lule I, donde I es l mtri identidd: ) ) Si, es un mtri digonl O l mtri nul, enuentre el onjunto soluión de l euión mtriil Resuelv d un de ls siguientes euiones mtriiles: ) ) ) Muestre que si entones n n n pr n Z n n Deprtmento Mtemáti plid

9 Fultd de Ingenierí UCV Álger inel Geometrí nlíti () Cilo ásio Deprtmento Mtemáti plid s eportiones, en miles de millones de euros, de píses,, C d uno de los tres píses, Y, Z, en los ños están representds por ls mtries: Z Y C E, Z Y C E ) Enuentre l mtri que represent el totl de eportiones, en miles de millones de euros, relids por los píses,, C d uno de los píses, Y, Z en mos ños ) Enuentre l mtri que represent l vriión que hn sufrido ls eportiones, en miles de millones de euros, del ño l ño ) Qué eportión tuvo el mor reimiento? d) Qué eportión sufrió un j respeto l ño nterior? Clule el determinnte de d un de ls siguientes mtries: ) ) ) d) e) f) g) h) Clule d uno de los siguientes determinntes: ) d det ) det ) det d) ) ( det e) f) g) h) d d d Demuestre que ls siguientes mtries son singulres: ) ) Pr d un de ls siguientes proposiiones, usted dee deidir si ell es verdder o fls En ulquier de los dos sos, dee dr un rgumento válido que justifique su deisión ) Si ) det( ) det( entones ) Si es un mtri udrds de orden n on dos fils igules entones ) det( ) Si es un mtri de orden n entones ) det( ) det(

10 Fultd de Ingenierí UCV Álger inel Geometrí nlíti () Cilo ásio Deprtmento Mtemáti plid Si se se que ) det(, ) det(, m l ) det(, lule l l m Demuestre ls siguientes igulddes: ) ) ( ) Resuelv ls siguientes euiones: ) ) ) ) ( Enuentre el vlor de d uno de los siguientes determinntes: ) j i g d j h f i h e g f e d ) ) n n n n M O M M M pr,,, n ) Sen Clule: i) ii) iii) dj() iv) ) Sen Clule: i) ii) - iii) ) - Sen, C mtries tles que: ; C donde C es un mtri udrd de dimensión ) Clule C ) Clule C Relie todo el proeso sin lulr C

11 Fultd de Ingenierí UCV Álger inel Geometrí nlíti () Cilo ásio Pr l mtri enuentre: ) El vlor de pr que se singulr ) pr ) soluión del sistem si [ - ] d) El vlor del entero n pr que det( n ) / si Supong que, son mtries udrds regulres de orden n ) Utilie ls propieddes de ls operiones on mtries pr mostrr que l euión mtriil ( ) ( ) tiene, por úni soluión, l mtri () ) Cuál es l mtri soluión pr el so? ) Pr el so ddo en ), enuentre ( ) - Considere ls mtries Enuentre, en d so, ls mtries e Y, que stisfen: ) Y ) ( ) Y Supong que, son mtries udrds de orden n: ) Si es invertile e I es l mtri identidd de orden n, resuelv l siguiente euión pr l vrile mtriil : (I ) ( ) ( ) ) Si / / / / / / / /, uál es l mtri soluión de l euión? / Dd l mtri enuentre: ) invers el determinnte de ) soluión de l euión donde ( t) ( ) ) El determinnte de l mtri ( ) Deprtmento Mtemáti plid

12 Fultd de Ingenierí UCV Álger inel Geometrí nlíti () Cilo ásio Deprtmento Mtemáti plid Pr el sistem de euiones Enuentre: ) os vlores del prámetro R pr los ules el sistem tiene: soluión úni, infinits soluiones soluión ví ) El determinnte de l mtri del sistem en funión de ) mtri invers de l mtri del sistem pr un vlor deudo de d) El onjunto soluión del sistem pr el vlor de elegido en ) Enuentre: ) ) ) Sen, C mtries udrds de orden tles que ) det(, ) det( C) det(, lule ) ) C ( det( ) Sen, C mtries udrds de orden tles que ) det(, ) det( C) det(, lule ) ) C ( det( Dd l mtri enuentre: ) invers de ) El determinnte de Clule el vlor de ) ) Enuentre el onjunto soluión de l euión ) )

13 Fultd de Ingenierí UCV Álger inel Geometrí nlíti () Cilo ásio Deprtmento Mtemáti plid Por medio de un proedimiento indutivo dedu un fórmul pr lulr el determinnte de l siguiente mtri de orden n, en funión de n α: α α α α M M M M M Pr l mtri enuentre: ) El determinnte de ) os vlores del prámetro R pr los ules es invertile ) mtri invers de pr El determinnte de ) ( pr Considere ls mtries,, e Y(u v ) ) Pr que vlores de R l mtri es singulr? ) Enuentre pr ) Enuentre el onjunto soluión de l euión pr d) Enuentre el onjunto soluión de l euión Y pr ) Enuentre los vlores del prámetro pr que l mtri se invertile ) Utilie el método de Crmer pr lulr verifique posteriormente su resultdo Clule el determinnte por reduión l form tringulr: Considere ls mtries:, ) Enuentre los vlores del prámetro que hen de un mtri singulr ) Enuentre l mtri invers de pr verifique el resultdo ) Utilie el resultdo de l prte ) pr enontrr on el onjunto soluión de l euión mtriil d) Son equivlentes ls euiones?

14 Fultd de Ingenierí UCV Álger inel Geometrí nlíti () Cilo ásio Deprtmento Mtemáti plid Considere ls mtries: ; ) Enuentre l mtri invers de verifique el resultdo ) Utilie el resultdo de l prte ) pr resolver l euión () trns Demuestre que l mtri es singulr pr todos los vlores del prámetro R Enuentre l invers de l mtri on R Resuelv l euión Demuestre que Demuestre que l mtri es singulr, pr todos los vlores de los prámetros en R ) Demuestre que si son mtries digonles, de orden n,, entones ) Enuentre tods ls mtries digonles de orden que stisfen l euión mtriil udráti: verifique el resultdo

15 Fultd de Ingenierí UCV Álger inel Geometrí nlíti () Cilo ásio Utilie ls propieddes de los determinntes pr estleer l siguiente identidd en ls vriles : ( ) ( ) Demuestre que si son mtries de orden n tles que I donde I es l mtri identidd, entones M M M O M M n n det( ) n! Demuestre que si: ) son mtries invertiles tles que entones ( ) ) son mtries udrds de orden n que stisfen el sistem de euiones mtriiles I, entones det( ) det( ) O n n Un mtri, nn, se die que es ortogonl si ortogonl es ó Demuestre que el determinnte de un mtri Demuestre ls siguientes proposiiones: ) Si son mtries udrds tles que, entones det( ) ) mtri stisfe l euión mtriil udráti I O, donde I es l mtri identidd O l mtri nul Demuestre que si: ), P Q son mtries udrds regulres tles que PQ I, donde I es l mtri identidd, entones QP ), entones el determinnte de es ó ó ) es nilpotente de orden (esto es, eiste un primer entero positivo mor que, pr el ul O ), entones es singulr Deprtmento Mtemáti plid

16 Fultd de Ingenierí UCV Álger inel Geometrí nlíti () Cilo ásio Sen, mtries udrds del mismo orden Supong que es l mtri invers de, demuestre que: ) l mtri invers de es ) si det() entones det() ± ) l euión () tiene omo soluión Demuestre que si: ), P son mtries udrds regulres tles que PP, entones P P ) es regulr, entones n I pr ulquier entero n (I es l mtri identidd) ) (I ) I, entones O (I es l mtri identidd O es l mtri nul) Supong que es un mtri de orden n Demuestre que si identidd de orden n, entones: ) ) O, donde O es l mtri nul de orden n I donde I es l mtri Se W un mtri en M n, tl que W W Se H l mtri de M n, n definid por donde I n es l mtri identidd en M n, n Muestre que: ) H es simétri ) H H H I n WW Sen K mtries udrds que stisfen K K (*) ) Demuestre que si eiste un mtri K distint de l identidd que stisfe (*) entones es singulr ) Demuestre que pr d entero positivo n, n K K n n ) Se, enuentre tods ls mtries K que stisfen (*) d) Utilie ) pr pror que l úni mtri singulr K que stisfe (*) es de l form K Deprtmento Mtemáti plid

17 Fultd de Ingenierí UCV Álger inel Geometrí nlíti () Cilo ásio Respuests de lgunos ejeriios: ) No h soluión ) ; ; ) ; ; d) No h soluión e) No h soluión f) No h soluión g) Infinits soluiones: ; ; R h) Infinits soluiones: ; ;, R i) Infinits soluiones: t s, t s, t, s ; t, s R j) ) Infinits soluiones l) Infinits soluiones ) Soluión trivil ) Soluiones no triviles ) Soluiones no triviles d) Soluiones no triviles e) Soluión trivil f) Soluiones no triviles sills mess uniddes de limento tipo uniddes de limento tipo sills, mess de fé mess de omedor ) e f ; e ½f ; f ; d e (/)f, entones si e f : ; ; ; d ) d ½e ; e, entones si e : ; ; ; d d) d ; (/)d ; (/)d, entones si d : ; ; Sen el número de ts de fé on lehe, el número de ts de fé negro, el número de ts de té el número de ts de hoolte H utro posiiliddes, que se presentn en l siguiente tl: Posiilidd Posiilidd Posiilidd Posiilidd Sen m,m m el número de mess on, sientos, respetivmente ) H seis posiles soluiones representds en l siguiente tl: m m m Posiilidd Posiilidd Posiilidd Posiilidd Posiilidd Posiilidd ) m, m, m Deprtmento Mtemáti plid

18 Fultd de Ingenierí UCV Álger inel Geometrí nlíti () Cilo ásio Deprtmento Mtemáti plid ) ± : Soluión úni ; : Infinits soluiones ; : No h soluión ) : Infinits soluiones ; : No h soluión λ ± : Soluión úni ; λ : Infinits soluiones ; λ : No h soluión ; ; ) No oiniden ) No oiniden ; ; ; ; n n ) ; ) ; ) ) ( d) ) ( t ; e) ) ( t ; f)