EXTENSIÓN DEL METODO ONE-LEG MULTISTEP CON ESTABILIDAD MARGINAL

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1 Mecáca Coputacoal Vol XXVIII, págs (artículo copleto) Crsta García Bauza, Pablo Lotto, Lsadro Parete, Marcelo Véere (Eds.) Tadl, Argeta, 3-6 Novebre 29 EXTENSIÓN DEL METODO ONE-LEG MULTISTEP CON ESTABILIDAD MARGINAL Gustavo Boro a, Eresto Kofa b, Pablo Lotto a y Aleadro Clausse a a CONICET-CNEA y Uversdad Nacoal del Cetro, 7, Tadl, Argeta b CIFASIS-CONICET, UNR, Robaba 245 Bs, Rosaro, Argeta gboro@gal.co, ofa@fcea.edu.ar, plotto@exa.uce.edu.ar, clausse@exa.uce.edu.ar Palabras clave: probleas de valor cal, ssteas stff, establdad, oe-leg ultstep. Resue. E este trabao se preseta ua ueva clase de étodo ultpaso para probleas de valor cal odelados por ecuacoes dferecales ordaras. Esta ueva clase de étodo se basa e la extesó del étodo Oe-Leg Multstep (OLM), el cual utlza ua fórula ultpaso o leal para calcular la solucó e el sguete puto de tegracó. La extesó propuesta e este trabao es ua cobacó de OLM co el étodo ultpaso leal clásco. Coo resultado de esta extesó se atee la precsó y se eora la establdad respecto de OLM. Copyrght 29 Asocacó Argeta de Mecáca Coputacoal

2 2352 G. BORONI, E. KOFMAN, P.A. LOTITO, A. CLAUSSE INTRODUCCIÓN Cosdérese la solucó de u sstea de ecuacoes dferecales ordaras dado por: y ( t) = f t, y( t) () ( ) e u tervalo [t, t f ], co valores cales y(t )=y. El étodo Oe-Leg Multpaso de orde (OLM ) propoe el sguete esquea uérco para resolver () p ( t) = f t, p( t), (2) ( ) dode p es ua aproxacó de orde de la solucó y. Cuado se aplca a u tepo específco t e la Ec. 2 perte geerar ua forula o leal plícta ( ) ( ( )) p t = f t, p t, (3) e la cual puede ser utlzada para aproxar el valor de y(t ). La eleccó del valor de t e tee u pacto fudaetal e la precsó y e la establdad de OLM. Dahlqust [Dahlqust 983] deostró que exste u tepo t + tal que la forula OLM produce u étodo de orde +. Posterorete, Jasse [Jasse ad Va Heteryc 23] deostró que exste u tepo t * tal que s la forula de OLM es A(ψ)- estable, dode ψ es el águlo de establdad. La regó de establdad o tee terseccó co C +, y es de orde co ayor precsó que BDF. E el presete trabao se propoe u étodo que coba el étodo OLM co el étodo ultpaso leal clásco, dode se atee las propedades respecto de la precsó y el orde del étodo OLM, al so tepo que se eora sustacalete el águlo de establdad ψ y la regó de establdad. MÉTODOS ONE-LEG MULTIPASO Cuado el paso de tepo h es costate, los poloos de la Ec. 2 se puede escrbr coo p( t) = p ( t) = ξ y, h = ξ ( ) ( ) = +,! = ξ ( ) = ξ ( ) δ ( ), δ ( ) = = ξ = y, e ( + ) e ( ), dode el rado es u paráetro característco. Cuado =, OLM () se reduce a el étodo BDF, esto es = y hf t ( ), y (5) =. (6) Copyrght 29 Asocacó Argeta de Mecáca Coputacoal

3 Mecáca Coputacoal Vol XXVIII, págs (29) MÉTODO OLM EXTENDIDO La Ec. 5 se puede reescrbr e fucó del rado α ( ) = ( ) y f t, β y. (7) h = = El étodo que propoeos es este trabao (OLML ) coba la Ec. 7 co el étodo ultpaso leal clásco, llegado a δ α y, (8) ( ) y ( ) = δ f t β h = = = = aplcado la gualdad t t + h( ) = t h e = +. El téro - se utlza sobre paráetro de α y el téro t se aplca sobre las f. E este trabao o se provee de ua fórula geeral para las costates δ, o obstate esto se propoe u algorto secllo para calcular valores de δ. 2. Precsó y error Cosderar la fora leal de ua forula OLM () (que vaos a deotar LMM () - Lear Multstep Method) dode = α ( ) y h β ( ) f, (9) = = α ( ) ( ) = ϕ, β ( ) ( ) = ϕ, ( ) ϕ ( ) =, f = = f ( t, y ). A partr del trabao de Jasse [Jasse et. al. 22] se puede verfcar que las Ecs. 7 y 9 tee orde. E el caso e que las Ecs. 7 o 9 tega orde, las forulas tee el so orde, la sa costate de error (la sa precsó) y la sa establdad leal. Efectvaete, cosderar el operador dfereca leal L [ y( t ) ] = ( ) ( ), h y h β de LMM () y el operador dfereca asocado de OLM () Φ = = () α y, () [ y( t ) ] = ( ) ( ), h, α y hf t, β y. (2) = A partr del teorea de caracterzacó del error a partr del poloo terpolacó L y t, h y Φ ( t ),h, [Atso 988], se obtee la expasoes de [ ( ) ] = [ ] y Copyrght 29 Asocacó Argeta de Mecáca Coputacoal

4 2354 G. BORONI, E. KOFMAN, P.A. LOTITO, A. CLAUSSE L Φ [ y( t ) ] ( ) ( ), h = C+ h y t + Ο( h ), [ y( t ), h, ] = C ( ) h y ( t ) + Ο( h ). + Luego, s C ( ) + LMM () y OLM () tee el so orde y la sa costate de error C ( ) +, y s C ( ) + = las forulas tee orde + y o ecesaraete la sa costate de error. Sguedo la sa etodología se obtee coclusoes slares para el étodo OLML. Toado el operador dfereca Γ del étodo propuesto y el correspodete operador dfereca leal Λ Λ Γ [ y( t ), ] = ( ) ( ) h δ α y h δ β = = [ y( t ),, ] = ( ), ( ) h δ α y h δ f t β y, = = las expasoes Γ y Λ queda represetadas por = = = = y, (3) (4) Λ Γ [ y( t ), ] ( ) ( ) h = δ C, + h y t + Ο( h ) = [ y( t ),, ] ( ) ( ) h = δ C, + h y t + Ο( h ), =, (5) dode la costate de error δ ( ) cuple co las sas propedades ecoadas para C ( ). + = C, + Es portate rearcar que el valor de δ ( ) o es gual al de C ( ). Se puede = C, + ver que abas ecuacoes so fucoes co respecto al rado. No obstate, la prera ecuacó tabé es fucó de los valores de las costates δ. El rado se puede deterar a partr de la propedad s la costate de error es gual las forulas so de orde +, y s la costate de error es dstto de las forulas so de orde. E el trabao de Dahlqust [Dahlqust 983] se foralzó esta afracó, pertedo caracterzar los valores del rado + (y por ede el valor de t + ) para OLM (). Teorea [Dahlqust 983]. S la forula OLM () es de orde +, + es ua raíz de la costate de error. La forula C ( ) + tee raíces e el tervalo [, ], pero o todas las raíces hace que la forula de OLM () sea -estable [Harer ad Waer 99]. Coo cosecueca se defe + coo la raíz ás a la derecha de C ( ) + tal que OLM () sea -estable. La tabla uestra los valores de + para -step ( 6). + Copyrght 29 Asocacó Argeta de Mecáca Coputacoal

5 Mecáca Coputacoal Vol XXVIII, págs (29) Tabla. Valores de + para 6. Por otra parte, e el trabao de Jasse [Jasse ad Va Heteryc 23] se deostró que exste u tepo t * tal que la forula de OLM ( * ) tee eores propedades de establdad y precsó respecto de OLM ( + ) y BDF. E lo que sgue se aalzará las propedades de establdad del étodo OLML, coparádolo co OLM y BDF para el so *. 2.2 Establdad Cuado el sstea ODE es u sstea leal de la fora y =Ay, la forula de OLM () y LMM () so equvaletes. Cosderado el prer y el segudo poloo característco asocados a OLM () ( ) ( ) ρ, x = = (, x) = β ( ) x. σ = α x Aplcado la defcó de Labert [Labert 99], la regó de establdad R A de OLM () es parte de la regó defda por: θ θ (, θ ) ρ(, e ) σ( e ), (6) h ˆ =,, (7) dode θ 2π. E las fguras -6 se puede ver las regoes de establdad de las fórulas de θ θ OLM (). Las curvas represeta la parte real de h ˆ (, θ ) = ρ(, e ) σ(, e ), y la terseccó de éstas co el ee x sobre el tervalo [-, ] represeta el tervalo de establdad de OLM () (los putos que se ecuetra fuera de este tervalo o so tedos e cueta ya que para dchos casos el étodo OLM () o sería A()-estable [refereca]). E las fguras -6 se puede observar que para 2 el tervalo de establdad de OLM ( * ) es ayor que el tervalo de establdad de OLM ( + ). Adeás * es u puto atractvo a utlzar ya que su tervalo de establdad es precsaete R, lo cual perte obteer eores propedades de establdad. Para aalzar esta propedad, recordeos alguas defcoes y teoreas de establdad [Jasse ad Va Heteryc 23]. Defcó. (Precsaete A(ψ)-estable y precsaete A()-estable). U étodo co regó de establdad R A se dce precsaete A(ψ)-estable e ψ π/2 s es A(ψ)-estable y R A C + = ; se dce precsaete A()-estable s es precsaete A(ψ)-estable para algú ψ ], π/2[; y se dce precsaete A-estable s R A =C. Teorea. (Codcó ecesara de precsaete A(ψ)-estable e OLM ()). S OLM () es precsaete A()-estable, luego es ua raíz de σ(,-). Coo cosecueca del teorea ateror * se defe coo la raíz ás derecha de σ(,-) [Jasse ad Va Heteryc 23]. E la tabla 2 se uestra los valores de * para 6. Copyrght 29 Asocacó Argeta de Mecáca Coputacoal

6 2356 G. BORONI, E. KOFMAN, P.A. LOTITO, A. CLAUSSE * Tabla 2. Valores de * para 6. La propedades de establdad del étodo OLM () para * so a) Para 6, OLM ( * ) es covergete y A()-estable; b) OLM ( * ) y OLM 2 ( * ) so precsaete A-estable; c) OLM 3 ( * ) y OLM 4 ( * ) so precsaete A()-estable; d) OLM 5 ( * ) y OLM 6 ( * ) so e su ayoría precsaete A()-estable; e) OLM 7 ( * ) o es covergete. 2.3 Regó de establdad para el étodo OLML El prer y el segudo poloo característco asocados al étodo OLML so ρ σ E E (, x) = δ ( ) α = = (, x) = ( ) x. δ = = β x, (8) Luego la regó de establdad del étodo OLML esta defda por E θ θ (, θ ) ρ (, e ) σ ( e ) h ˆ =,, (9) E dode θ 2π. E las Fg. -6 se uestra la fucó ĥ y el tervalo de establdad de OLM () respecto de, para 6. E Fgura. Fucó ĥ y el tervalo de establdad de OLM (). Copyrght 29 Asocacó Argeta de Mecáca Coputacoal

7 Mecáca Coputacoal Vol XXVIII, págs (29) 2357 Fgura 2. Fucó ĥ y el tervalo de establdad de OLM 2(). Fgura 3. Fucó ĥ y el tervalo de establdad de OLM 3(). Copyrght 29 Asocacó Argeta de Mecáca Coputacoal

8 2358 G. BORONI, E. KOFMAN, P.A. LOTITO, A. CLAUSSE Fgura 4. Fucó ĥ y el tervalo de establdad de OLM 4(). Fgura 5. Fucó ĥ y el tervalo de establdad de OLM 5(). Copyrght 29 Asocacó Argeta de Mecáca Coputacoal

9 Mecáca Coputacoal Vol XXVIII, págs (29) 2359 Fgura 6. Fucó ĥ y el tervalo de establdad de OLM 6(). Lea. S * es raíz σ(,-), etoces es raíz σ E (,-). Deostracó: por defcó Desarrollado la ecuacó σ E (,-) Luego s * es raíz σ(,-) σ ( ) = ( ) E, x δ β x. (2) = = δ ( ) ( ) ( ) σ, = β = δ β. (2) E = = = = = β ( ) =, (22) por cosguete σ E ( *,-)=. E las Fgs. -6 se puede observar estos resultados. Para 7 se desprede las sguetes propedades de establdad para el étodo OLML Para 6, OLM ( * ) es covergete y A()-estable; a) OLM ( * ) y OLM 2 ( * ) so precsaete A-estable; b) OLM 3 ( * ) y OLM 4 ( * ) so precsaete A()-estable; c) OLM 5 ( * ) y OLM 6 ( * ) so precsaete A()-estable; d) OLM 7 ( * ) es e su ayoría precsaete A()-estable. 2.4 Agulo de establdad Hasta aquí heos deostrado que tato el orde coo la propedades de establdad del étodo OLML so coparables a las de OLM (). Estudareos e esta seccó ua propedad e la que dfere abos étodos, dado ua vetaa sgfcatva a OLML. El águlo de establdad ω es el águlo que se fora e el plao Re(λh)- I(λh) etre el Copyrght 29 Asocacó Argeta de Mecáca Coputacoal

10 236 G. BORONI, E. KOFMAN, P.A. LOTITO, A. CLAUSSE ee Re(λh) y la recta a recta pedete a la curva que pasa por [,]. E las fguras 7-2 se puede ver para 6 las regoes de establdad para los étodos BDF, OLM y OLML. Para el calculo del águlo de establdad del étodo OLML se ha utlzado =, co u grado de lbertad sobre δ (δ =-δ ). Para seleccoar el valor de δ se aplca u algorto uérco uy secllo, toado coo valor cal δ = y calculado el uevo δ a partr de δ,ew =δ +d δ co d δ =.. Para cada δ se va austado su valor sepre que se reflee ua varacó del águlo de establdad respecto de su valor ateror. Co este procedeto se obtuvo para 6 ua eora sgfcatva e el águlo de establdad co δ =. E la tabla 3 se copara el águlo de establdad de los étodos BDF, OLM y OLML.para -steps. La colua asocada al porcetae de cabo dca la eora porcetual e la coparacó de dos étodos. Se puede ver que el étodo OLML tee e todos los -steps eor águlo de establdad respecto de OLM y BDF. E geeral se observa que la regó de establdad del uevo étodo se acerca ás a la regó de establdad deal,.e. águlo de 9 o. Otra eora sustacal se da partcularete e el caso =7, para el cual el étodo OLML es covergete y precsaete A()-estable e la ayoría de los casos, stuacó que o se da para OLM y BDF. E la Fg. 3 se uestra la fucó ĥ y el tervalo de establdad de OLML 7 (). E la Fg. 4 se uestra el águlo de establdad para =7. BDF OLM OLML Porcetae de cabo OLM - BDF Porcetae de cabo OLML - BDF Porcetae de cabo OLML - OLM 2 9º 9º 9º % % % 3 86º 84º 9º -2% 5% 7% 4 73º 72º 85º -% 6% 8% 5 52º 55º 72º 6% 38% 3% 6 8º 25º 48º 39% 67% 92% Tabla 3. Agulo de establdad para 6. 3 CONCLUSIONES E este trabao se presetó el étodo OLML que coba el étodo OLM co el étodo ultpaso leal clásco. Este uevo étodo atee las propedades de precsó y el orde del étodo OLM, y al so tepo preseta eoras sustacales e el águlo de establdad ψ y la regó de establdad. E este setdo se obtuvo que el águlo de establdad del étodo OLML es sgfcatvaete eor e coparacó de los étodos OLM y BDF, hacedo que la regó de establdad del uevo étodo se acerque a la regó de establdad deal. Por últo, la vetaa quzás ás portate del étodo OLML que lo dfereca de OLM y BDF es que para =7 es covergete y precsaete A()-estable e la ayoría de los casos. Este resultado es el que arca la cotudad del presete trabao, dode se estudará los casos >7. Copyrght 29 Asocacó Argeta de Mecáca Coputacoal

11 Mecáca Coputacoal Vol XXVIII, págs (29) 236 REFERENCIAS Atso K. E., A Itroducto to Nuercal Aalyss, Wley, New Yor, 988. Dahlqust G., O oe-leg ultstep ethods, SIAM J. Nuer. Aal., 2, pp 3 38, 983. Harer E. ad Waer G., Solvg Ordary Dfferetal Equatos II. Stff ad Dfferetal- Algebrac Probles, Sprger-Verlag, Berl, 99. Jasse M. ad Va Heteryc P., Precsely A(α)-stable Oe-Leg Multstep Methods, BIT Nuercal Matheatcs 43, pp , 23. Jasse M., Va Heteryc P., ad Devlle Y., A costrat satsfacto approach to paraetrc dfferetal equatos, SIAM J. Nuer. Aal., 4(5), pp , 22. Labert J. D., Nuercal Methods for Ordary Dfferetal Systes, Wley, New Yor, 99. Fgura 7. Regó de establdad de BDF, OLM (*) y OLML (*). Fgura 8. Regó de establdad de BDF 2, OLM 2 (*) y OLML 2 (*). Copyrght 29 Asocacó Argeta de Mecáca Coputacoal

12 2362 G. BORONI, E. KOFMAN, P.A. LOTITO, A. CLAUSSE Fgura 9. Regó de establdad de BDF 3, OLM 3 (*) y OLML 3 (*). Fgura. Regó de establdad de BDF 4, OLM 4 (*) y OLML 4 (*). Copyrght 29 Asocacó Argeta de Mecáca Coputacoal

13 Mecáca Coputacoal Vol XXVIII, págs (29) 2363 Fgura. Regó de establdad de BDF 5, OLM 5 (*) y OLML 5 (*). Fgura 2. Regó de establdad de BDF 6, OLM 6 (*) y OLML 6 (*). Copyrght 29 Asocacó Argeta de Mecáca Coputacoal

14 2364 G. BORONI, E. KOFMAN, P.A. LOTITO, A. CLAUSSE Fgura 3. Fucó ĥ y el tervalo de establdad de OLM 7(). Fgura 4. Regó de establdad de BDF 7, OLM 7 (*) y OLML 7 (*). Copyrght 29 Asocacó Argeta de Mecáca Coputacoal