Contenido. ii 1. Un poco de historia: los inicios del álgebra Cardano Bombelli Números imaginarios. 6

Transcripción

1 Contenido Introducción. ii. Un poco de histori: los inicios del álgebr.. Crdno.. Bombelli. 4. Números imginrios. 6. Álgebr de números complejos. 9. Definición de número complejo. 9. Sum de números complejos. Rest de números complejos. Propieddes generles de l sum y rest de números complejos.. Producto de números complejos. Propieddes generles del producto de números complejos. 4 El conjugdo de un número complejo. 5 El módulo de un número complejo. 5.4 División de números complejos. 6 Ejercicios. 7.5 Representción geométric. 8 Interpretción geométric del módulo y del conjugdo. 0 Sum geométric de números complejos..6 L form polr. 4 Multiplicción y división en l form polr. 9.7 Potencis y ríces de números complejos. 0 Formul de De Moivre. 0 Ejercicios. L fórmul de Euler. 6. El número e. 6. Aplicciones l trigonometrí. 4. Aplicciones l geometrí. 4.. El teorem de Pitágors L ley de los cosenos Teorem del triángulo inscrito en un semicírculo El áre del círculo. 48 Ejercicios. 49 Bibliogrfí. 5 i

2 INTRODUCCIÓN Los números complejos El tem de los Números Complejos, pesr de ser tn interesnte por integrr l trigonometrí, el álgebr y l geometrí, es muy poco estudido. Pr muchos docentes, l finlidd de los números complejos está en poder clculr ls ríces enésims de l unidd. En los cursos de álgebr de l Universidd, pens se esbozn lguns de sus propieddes más importntes, dejndo de ldo spectos geométricos tn importntes como el estudio de ls trnsformciones y los movimientos del plno. El poder de cálculo que se esconde detrás de los complejos, es lgo mágico. Con un mínimo de esfuerzo, podemos derivr identiddes y fórmuls trigonométrics que requieren de un trbjo tedioso y gotdor, siguiendo los métodos usules. Muchos conceptos de l mtemátic, como el de función, límites, series de potencis y continuidd se estudin de mner bstnte nturl dentro del mbiente de los números complejos. Los rgumentos de prueb son mucho más intuitivos y trnsprentes en el plno. En el presente, se trtn los spectos históricos más importntes sobre los números complejos, que considero son fundmentles pr culquier desrrollo didáctico de este tem dentro del ul y espero que sirv pr motivr los docentes y estudintes hci el estudio de este y otros tems que puedn surgir prtir de éste. Además, tmbién espero que resuelv es inquietud que surge en los estudintes: Por qué los números complejos? De dónde surgen? Por qué se llmn complejos o imginrios? Pr qué sirven? ii

3 . Un poco de histori: los inicios del álgebr Muchos conceptos en mtemátics trdron vrios ños y hst siglos en desrrollrse, desde el momento en que fueron descubiertos por primer vez, por lgun mente brillnte, hst l formlizción de los mismos. El vnce en el tiempo de l mtemátic fue un proceso lento, debido l crácter forml de est cienci: un de sus regls es que culquier objeto nuevo debe estr clrmente definido pr ser ceptdo por tod l comunidd. Así pues, muchs ides incomplets quedron relegds l oscuridd y el olvido por no encjr en el sistem de rzonmiento de l époc, como fue el cso de los números complejos. Fue en Itli, durnte el periodo del rencimiento, cundo por vez primer los lgebrists se dedicn investigr serimente estos números y penetrn el hlo misterioso en que se hllbn envueltos desde l ntigüedd. Los complejos precen inicilmente en el libro Ars Mgn de Girolmo Crdno, publicdo en 545. Pero Cómo surge l ide de usr estos números? Porqué no precieron ntes? Quién er Crdno? Trtremos de contestr ests interrogntes remontándonos los orígenes del álgebr. Podemos decir que los números complejos precieron muy temprno en el pisje de ls mtemátics, pero fueron ignordos sistemáticmente, por su crácter extrño, crentes de sentido e imposibles de representr. Aprecen entre ls soluciones de ls ecuciones cudrátics, que genern ríces cudrds de números negtivos. Por ejemplo l ecución: x x 5 0 no tiene soluciones reles. Si emplemos l conocid fórmul de resolución de un ecución de segundo grdo, nos encontrremos con l ríz cudrd de - 9. Los mtemáticos griegos, que conocín los métodos geométricos de resolución, considerbn este tipo de problems irresolubles. Es completmente incorrecto decir que l prición de los números complejos se debido l imposibilidd de resolver tods ls ecuciones cudrátics, pues los mtemáticos de entonces simplemente no se interesbn en ello. L motivción rel de entenderlos, viene de ls ecuciones cúbics, como veremos ms delnte. Recordemos que los griegos rechzron el uso de los números negtivos, por l flt de un equivlente dentro de l geometrí. Pr ellos, todo número representb l longitud de un segmento o el áre de un figur pln. L geometrí er considerd entonces como el corzón de tod l mtemátic y esto, por supuesto, retrdó considerblemente el desrrollo de los sistems numéricos.

4 Con el surgimiento del álgebr durnte l Edd Medi, el concepto de número se mplí, pr poder mnipulr ls ecuciones, desligds y de l influenci dominnte de l geometrí. El lgebrist se v mover en un mundo pleno de libertd e imginción donde ls ecuciones y fórmuls serán el semillero de ls grndes ides que drín impulso l mtemátic. Los números, de hor en delnte, quedrán libres de sus equivlentes geométricos. L plbr álgebr se deriv del vocblo árbe l-jbr que quiere decir resturr. Qué tiene esto que ver con l mtemátic? Cundo se tiene un ecución, como por ejemplo: x + = 5 entonces quitmos y ponemos símbolos los ldos pr resolverl. Est es l form de operr del lgebrist. Pero no solo los lgebrists opern: tmbién los doctores lo hcen. En l medicin ntigu el término álgebr se usb pr designr ls operciones de los huesos. Así pues, un lgebrist er un mtemático o bien un doctor que colocb los huesos prtidos en su sitio. Álgebr es el rte de restituir su lugr los huesos dislocdos, según el diccionrio de l Rel Acdemi de l Lengu Espñol. Dejemos los huesos por el momento y volvmos l médul del problem. Quienes descubrieron el álgebr? Se puede considerr l mtemático árbe Al-Khwrizmi como el pdre de est disciplin. El fue el utor de un libro, llmdo l-jbr, publicdo en el ño 80 d.c., primer libro de álgebr, de grn influenci en tod Europ, donde se recogín tods ls técnics conocids hst entonces sobre l resolución de ecuciones de primero y segundo grdo. Dichs técnics hbín sido expuests con nterioridd, en un obr del mtemático hindú Brhmgupt en el 68 d.c. Como se sbe, los mtemáticos árbes se encrgron de difundir ls mtemátics de los griegos, mesopotámicos e hindúes en tod Europ, trvés de Espñ.. Crdno L vid del mtemático itlino Girolmo Crdno est llen de historis, situciones y venturs tn interesntes que bien pueden servir de guión pr un películ o novel. Fue un destcdo mtemático, sí como tmbién médico, filósofo, strónomo y teólogo. Su pdre, Fzio Crdno, fue un bogdo que trbjb en l ciudd de Milán y se dedicb ls mtemátics en sus hors libres. Tuvo ciert destrez en l cienci de los números pues enseñó geometrí en l Universidd de Pvi y Milán. Fzio fue sesor del célebre pintor Leonrdo d Vinci en cuestiones de geometrí. Cundo Crdno estb punto de ncer, un epidemi de peste zotó Milán y sus pdres se

5 trsldron Pvi. Alli nció Girolmo el 4 de Septiembre de 50, como hijo ilegítimo de Fzio y Chir Micheri. Crdno entr l Universidd de Pvi estudir medicin, en contr del deseo de su pdre de seguir l profesión de bogdo. Más trde se cmbi l Universidd de Pdu, donde se grdú de médico. Después de recibir el titulo de Doctor en Medicin se dedic ejercer su profesión, pero tmbién l juego de crts, ddos y jedrez. Crdno fue un jugdor empedernido durnte tod su vid. Su dicción por el juego lo llevó estudir y desrrollr muchs técnics de l teorí de ls probbiliddes y ls plicó en form bstnte exitos logrndo hcer un fortun como jugdor. El ldo oscuro de est relidd feliz, es que su vid fue muy tormentd por ls vicisitudes del juego, que lo llevó por los senderos más bjos y ruines de l vid. En un ocsión lguien le hizo trmps y entonces scó un nvj y le cortó l cr su oponente. Su fm de buen médico, por otr prte, fue creciendo como l espum, debido sus curciones csi milgross y su profundo conocimiento en l dignosis de ls enfermeddes. Sin embrgo el Colegio de Médicos de Milán no querí recibirlo en su seno, debido su crácter risco y pendenciero y demás por ser un hijo nturl. Después de vrios intentos de ingreso, por prte de Crdno, finlmente fue ceptdo en 57. Un vez estbilizd su posición, le quedb tiempo libre pr dedicrse serimente ls mtemátics. En el ño de 59, Crdno conoce l célebre mtemático Trtgli, lo cul fue un hecho crucil en su vid, pues desde ese momento comienz interesrse en ls ecuciones cúbics. Trtgli er un mtemático de reconocid fm y prestigio, entre otrs coss, por hber gndo concursos sobre l resolución de ecuciones, usndo métodos secretos. Aprte de poseer ests hbiliddes, Trtgli fue un experto en el estudio de ls tryectoris de los proyectiles. El descubrió que l máxim tryectori se obtiene cundo el ángulo de dispro es igul 45. Tmbién se debe Trtgli l primer trducción de los Elementos de Euclides l itlino. Trtgli le enseño Crdno sus trucos y técnics secrets pr el mnejo de ls ecuciones, no sin ntes hcerle prestr un jurmento de no revelr ndie dichos secretos. En 545, Crdno public su obr Ars Mgn, donde expone los métodos pr l resolución de l ecución cúbic. Trtgli mont en cóler y cus Crdno de tridor y deshonesto, por hber fltdo su jurmento. Sin embrgo, un joven mtemático de pens 8 de edd, Lodovico Ferrri, quien l szón er sirviente de Crdno, sle en defens de su protector diciendo que el estuvo presente l noche de l reunión entre los dos mtemáticos y no hubo ningún jurmento. En relidd, l fórmul pr resolver l ecución cúbic, hbí sido descubiert mucho ntes por el mtemático

6 Scipione del Ferro, quien publicó un pequeño libro, que en lgun oportunidd fue consultdo por Crdno. Luego Crdno quedb libre de tod culp. En su Ars Mgn, Crdno reconoce Al-Khwrizmi como el pdre del álgebr. El libro, que vio l luz vris ediciones, fue un clásico de l mtemátic y contribuyó de mner decisiv l desrrollo del álgebr. En quell obr precen muchos resultdos originles, como el método pr eliminr l x en un ecución cúbic, conocido como el método de Crdno. Tmbién desrrolló un método pr resolver ecuciones diferenciles, llmdo método de ls proporcionles. Crdno hizo uso por vez primer de ls ríces cudrds de números negtivos y consideró l posibilidd de usr los números imginrios unque con much cutel. En un nuev edición de su libro, en 570, Crdno se dentr un poco más en el misterio de estos números y d lguns regls pr mnipulrlos. Por ejemplo, l expresión: Fueron entre ls soluciones l ecución cúbic en el libro de Crdno donde se dio el ncimiento de los números complejos, como lgo digno de ser estudido por los mtemáticos. En prticulr, pr l ecución: Crdno nos d lo fórmul: x px q (.) x q q p q q p (.) Conocid como l Fórmul de Scipione del Ferro-Trtgli-Crdno... Bombelli L mtemátic h evoluciondo en el trnscurso del tiempo de l form más inesperd. De repente lguien hce un pequeñ observción sobre un detlle, indvertido pr l grn myorí, en lgun fórmul o relción muy conocid, y esto puede tener consecuencis imprevisibles, plntendo nuevs situciones, generndo un mr de pregunts sin respuests e inclusive, briendo nuevs áres de estudio. Tl es el cso de ls duds de Rfel Bombelli, sobre l ecución cúbic. Por ejemplo, l ecución: 4

7 se resuelve usndo l fórmul (.) x = 6x + 6 x L solución prece un poco complej, sin embrgo, se sbe por métodos de cálculo que l ecución tiene un ríz rel entre y, l cul es, proximdmente x Nos preguntmos entonces Cómo es posible que un expresión de números complejos nos de un resultdo rel? Quién er Bombelli? Hst cundo irí durr l prolongd infnci de los números complejos en ls mnos de los lgebrists itlinos? Rfel Bombelli nce en enero de 56 en Boloni, siendo su pdre Antonio Mzzoli, un comercinte en lns. Bombelli no recibió un educción forml como Crdno, pero desde muy joven sintió un trcción muy especil hci ls mtemátics. Recibió ls primers lecciones de mtemátics de Pier Frncesco Clementi, un rquitecto e ingeniero. Por est rzón, Bombelli se dedic l ingenierí, siguiendo su mestro en ls obrs de ingenierí hidráulic que relizb por tod Itli, secndo pntnos y reprndo puentes. Bombelli conocí bien los trbjos sobre ecuciones cúbics de Crdno, pues hbí leído el Ars Mgn. Considerb quel libro como el más interesnte de todos los escritos sobre álgebr, hst el momento. Sin embrgo pensó que lguns coss estbn todví lgo confuss y que se podín hcer mucho más comprensibles pr el grn público. Estndo en l región de Vl de Chin, hciendo un trbjo de grimensurí, debió psr muchos rtos de ocio, pues ls obrs fueron suspendids debido un reclmción. Pr utilizr este tiempo libre, Bombelli comienz escribir un libro de álgebr en 557. L ide er bstnte mbicios: publicr un obr monumentl en cinco volúmenes en donde se trtrn tópicos de ritmétic, resolución de ecuciones, problems de plicciones y los números complejos. Lmentblemente, solo pudo completr tres volúmenes de L'Algebr, publicdos en 57, unos meses ntes de su muerte. Bombelli puede ser llmdo con todo derecho, el pdre de los números complejos, pues fue el primero que desrrolló el álgebr forml pr trbjr con ls expresiones de l form b. Hemos visto que en l fórmul de del Ferro-Trtgli-Crdno, precen dos sumndos del tipo: q q p 5

8 l ide de Bombelli, es reducir dicho número uno del tipo b, pr lo cul debe resolver el problem de como sumr y multiplicr dichs expresiones. El número b debe ser elevdo l cubo, pr obtener un expresión del tipo c d. Usndo hor los números complejos, se pueden obtener soluciones reles de l ecución cúbic. En el libro L'Algebr, precen por vez primer el cálculo con los números negtivos, sí como tmbién ls regls pr sumr y multiplicr dichos números. El grn porte de Bombelli l álgebr, fue el de ceptr sin reserv l existenci de como un número. A mner de ejemplo, Bombelli nos d ls siguientes regls: siendo n un número nturl..4. Números Imginrios n n = -n n - n = n, A pesr de los brillntes trbjos de Bombelli, sobre el empleo de los números complejos en l resolución de l cúbic, los mtemáticos de entonces se negbn ceptrlos. Estos ern considerdos ún como fntsms de otro mundo, por crecer de representción rel, y fueron llmdos números imposibles o imginrios. Durnte el siglo XVII, debido quizás l prición del cálculo infinitesiml y l geometrí nlític, los números complejos fueron relegdos l olvido por los mtemáticos. Algunos genios como Newton, Leibnitz y Descrtes nunc los comprendieron. En 67 el mtemático inglés J.Wllis dio l primer interpretción geométric de los complejos. Su modelo sigue los siguientes psos: ) Se l ecución de segundo grdo: x + bx + c = 0 luego ls ríces vienen dds por: x b b c ) Si b c, ls ríces son reles y pueden ser representds por un pr de puntos P y P sobre los números reles, de cuerdo l construcción siguiente: 6

9 ) Si b<c, entonces ls soluciones son números complejos. Cómo rzonb Wllis en este cso? Pues bien, siguiendo el mismo pln, los puntos P y P se hlln en el extremo de el segmento b, y como éste es más corto que c, los extremos no pueden tocr l rect rel. Por lo tnto se h llegdo un grn ide: los puntos P y P están por encim de l rect rel. Ver l figur: Como vemos, l representción de Wllis no es igul l representción modern, pero fue un buen proximción, sin dud lgun. L ide correct de l representción geométric de un número complejo z = + bi en el plno crtesino, fue descubiert por dos mtemáticos ficiondos, en form independiente: el dnés C. Wessel y posteriormente el suizo J. Argnd, en un obr publicd en 806. A prtir de entonces dich representción se conoce con el nombre de Digrm de Argnd, y se muestr en l siguiente figur: 7

10 Con est representción l mno, los números complejos dejron de ser lgo misterioso e imposible, pero por rzones de tipo histórico, se les sigue llmndo imginrios. En 8 el mtemático lemán Crl F. Guss public un trbjo en donde expone con tod clridd ls propieddes de los números de l form + bi, llmdos hor Números de Guss, y l representción geométric de los mismos. Grcis l utoridd indiscutible de Guss, entrron por l puert grnde del templo de ls mtemátics y y ndie los podrá scr del lugr prepondernte que ocupn dentro del álgebr. Desde ese momento se inici un desrrollo sostenido de l teorí de ls funciones complejs, de l mno de grndes mtemáticos como Hmilton y Cyley, quienes creron los sistems hipercomplejos, Cuchy, quien sient ls bses del cálculo diferencil e integrl de ls funciones complejs y finlmente el mtemático lemán B. Riemnn, quien demostró todo el poder que encierrn los números complejos en el estudio de l geometrí y mplió los horizontes de l mtemátic, crendo un nuev cienci llmd l topologí. 8

11 . Álgebr de los Números Complejos En est segund prte estudiremos el Sistem de los Números Complejos, desde el punto de vist del álgebr. Nos interesn ls propieddes más importntes de ls operciones de sum y producto. Veremos l representción geométric de los números complejos, sí como tmbién l form polr o trigonométric de los mismos. Usndo l clculdor se pueden relizr operciones con estos números en form rápid y eficiente. Por lo tnto tenemos otr oportunidd pr introducir l clculdor en el proceso de enseñnz prendizje de l mtemátic.. Definición de número complejo Un número Complejo es un expresión del tipo: z bi donde y b son números reles e i es un símbolo, cuyo significdo será clrdo más delnte. Este tipo de números, lgo misteriosos, por el momento, precen entre ls soluciones de ecuciones lgebrics con un incógnit. Por ejemplo l ecución: x + x + = 0 no tiene ríces reles. Al trtr de plicr l formul que d l solución de un ecución de segundo grdo, nos encontrmos con l expresión: x l cul no tiene sentido en los números reles. No se puede tener un ríz cudrd de un número negtivo. Sin embrgo, si usmos propieddes de los rdicles se obtiene: Luego l solución de este problem es un número lgo misterioso de l form: x 9

12 Que significdo se le puede dr un ríz cudrd de un número negtivo? Porque no dejr de ldo est dificultd y ceptr que este tipo de ecución no tiene solución? L necesidd de resolver tods ls ecuciones cudrátics, incluyendo ests cuys soluciones nos dn este tipo extrño de números, nos motiv crer sistem numérico mplido, con propieddes similres ls de los números reles. Dentro de este contexto se cept el símbolo como un entidd mtemátic nuev. Vemos continución como se construyen estos nuevos números. Comenzremos por introducir un nuevo número o símbolo, denotdo por i, el cul será llmdo l unidd imginri y que cumple con l condición i = - O bien i Un vez hecho esto, construimos un conjunto C llmdo Números Complejos cuyos elementos son combinciones de l form: donde y b son números reles. z bi Vemos entonces que todo número complejo const de dos prtes, o componentes, llmds: prte rel y prte imginri, dds por y b respectivmente. Así pues, tenemos Re(z) = e Im(z) = b. Ejemplo: El siguiente es un número complejo: z i Su prte rel es y su prte imginri es. Ejemplo: El siguiente es un número complejo: z = 8 Cundo no hy prte imginri, como en este cso, se dice que el complejo es rel. Entonces los Números Reles (R) formn prte del conjunto de los Números Complejos. Ejemplo: El siguiente es un número complejo: 0

13 z = i Cundo un número complejo no tiene prte rel, como en el presente cso, se dice que es un imginrio puro. Cundo dos números complejos son igules? Dos números complejos z = + bi y z = c + di son igules si y solo sí = c y b = d. En otrs plbrs, dos números complejos son igules cundo sus componentes respectivs, reles e imginris, son igules.. Sum de números Complejos Ahor nos dedicremos l estudio de ls propieddes de los números complejos relcionds con l sum de ellos. L operción sum de números complejos est bsd en l sum de números reles. Cd complejo tiene un prte rel y un prte imginri. Pr sumr complejos hy que sumr ls prtes reles por un ldo y ls prtes imginris por otro ldo, como números reles. Al hcer esto nos encontrmos de nuevo con otro número complejo. Más precismente: Sen z = + b i y z = + b i dos números complejos. Entonces l sum de z con z, denotd por z + z es el número complejo: z + z = ( + ) + (b + b )i Es decir, pr sumr números complejos simplemente se sumn sus componentes correspondientes. Ejemplo: Pr sumr z = + i con z = i hcemos: z + z = ( + i) + (-8 + 4i) = ( - 8) + ( + 4)i z + z = i Rest de números complejos: L rest o diferenci de dos números complejos se reliz restndo cd prte por seprdo. Más precismente: Sen z bi y w c di dos números complejos, entonces l diferenci o rest entre z y w viene dd por: z- w = ( - c) + (b - d)i Es decir, pr restr dos números complejos se restn sus componentes correspondientes. Ejemplo: Sen z = 4 + 7i y w = + i. Entonces:

14 z -w = (4 - ) + (7 - )i = + 4i Ests operciones de sum y rest stisfcen ls siguientes propieddes generles:. Propiedd de Cerrdur pr l sum. Si z y w son dos números complejos entonces tnto z + w como z - w son números complejos.. Propiedd socitiv. Si z, w y u son números complejos, entonces se tiene: z + (w + u) = (z +w) + u. Propiedd Conmuttiv. Si z y u son números complejos, se tiene: z + u = u + z 4. Propiedd del elemento neutro. El número complejo 0 = 0 + 0i, es el elemento neutro pr l sum. En efecto, si z bi es culquier número complejo se tiene: z + 0 = ( + bi) + (0 + 0i) = ( + 0) + (b + 0)i = + bi = z de l mism form, se puede probr que 0 + z = z. 5. Propiedd del opuesto. Si z bi es un número complejo, el opuesto de este es -z = - - bi, el cul es otro número complejo. Nótese que el opuesto stisfce: z + (-z) = (-z) + z = 0 Usndo tods ests propieddes, es posible clculr expresiones complicds en donde prezcn sums y rests de números complejos Ejemplo: Clcule el vlor de z donde: z = (5 + i) + [(0-8i) + [(6 + i) - (7 + i)]] Pr simplificr est expresión usmos ls propieddes estudids. Así pues: Ejercicios z = (5 + i) + [(0-8i) + (- + i)] = (5 + i) + (9-7i) = 4 + 5i. Efectur ls siguientes sums y rests de números complejos:

15 ) (5 + 5i) + (0-i) b) (0 + 0i) + ( + 8i) c) ( + i) + ( + i) 5 d) i i i 5i e) 4 8 f) i i g) 5 + ( - i ) h) 6i + (5 + 6i) i) 5i + (0 + 9i) j) 6i - 87i k) (-0-8i) + (- - i). Hllr el resultdo de ls siguientes operciones: ) ( + i) + [(4-5i) - (5 + i)] b) [( - 9i) + (7 - i)] = (4 + 6i) c) i i i d) [(6 - i) + ( - 8i)] - (7-9i). En cd cso, hllr un número complejo Z con l condición dd: ) z + ( + i) = 5 + 0i b) i + ( +4i) = z c) z + ( +i) = 8 + 6i d) z i i. Producto de números complejos Sen z = + bi y w = c + di definimos su producto, medinte l formul: z w = (c - bd) + (d + bc)i Aunque prezc un poco complicd, est expresión pr el producto es consecuenci de ls regls de multiplicción pr los números reles. En efecto, hciendo l multiplicción de z por w como si se trtr de expresiones lgebrics se obtiene:

16 ( + bi)(c + di) = c + di + bic + bdi = c - bd + (d + bc)i Hemos usdo l propiedd distributiv pr l multiplicción, l relción i = - y un regrupmiento de los términos. L multiplicción puede hcerse de dos mners; o bien se plic directmente l formul, o bien se multiplicn los complejos como expresiones lgebrics, teniendo cuiddo de hcer l finl l sustitución i = -. Ejemplo: Sen z = 6 + i y w = + 5i. Pr hllr z w hcemos: z w = (6-5) + (6 5 + ) i = 8 + 6i Ejemplo: Sen z = 8 y w = +i. Entonces pr hllr el producto de mbos hcemos: z w = 8( + i) = 4 + 6i Vemos entonces, que pr multiplicr un número rel por un número complejo, se multiplic cd componente de este último por el número rel. Propieddes de l multiplicción. L multiplicción de números complejos stisfce ls siguientes propieddes.. Propiedd de Cerrdur pr el producto. Si z y w son dos números complejos entonces z w es un número complejo.. Propiedd socitiv. Si z, w y u son números complejos, entonces se tiene: z (w u) = (z w) u. Propiedd Conmuttiv. Si z y u son números complejos, se tiene: z u = u z 4. Propiedd del elemento neutro. El número complejo, es el elemento neutro pr el producto. En efecto, si z = + bi es culquier número complejo se tiene: z = ( + bi) = ( ) + (b )i = + bi = z de l mism form, se puede probr que z = z 5. Propiedd del inverso. Si z = + bi es un número complejo, distinto de cero, el inverso de z es otro número complejo, denotdo por z -, el cul stisfce: 4

17 z z - = z - z = Ms delnte veremos como se clcul z Propiedd distributiv. Si z, w y u son números complejos se tienen ls relciones: El conjugdo de z: z (w + u) = z w + z u (z +w) u= z u + w u Definición: Si z = + bi es un número complejo, entonces el Conjugdo de z, denotdo por z, es otro número complejo definido por: z = bi Ejemplo: Si z = + 9i, su conjugdo es z = - 9i Ejemplo: Si z = 7-9i, su conjugdo es z = 7 + 9i. El Módulo de z: Definición: Si z = + bi es un número complejo, el módulo de z es el número rel: z = b Observción: Se puede expresr el modulo de z en función de el mismo y de su conjugdo, usndo l relción: z = z z Se puede probr que dich relción se verific pr todo z. En efecto, pongmos z = + bi. Luego: de donde: z z = ( + bi)( - bi) = ( + b ) + (b - b)i = + b z z = b = z 5

18 Ejemplo: Se z = + 4i, pr hllr su modulo hcemos: z = 4 = 6 9 = 5 = 5 Alguns propieddes muy importntes del módulo se dn continución. Supondremos que z, w y u son números complejos:. z 0. z = 0 si y solo sí z = 0. z +w z + w 4. z w = z w 5. z - = z -.4 División de números complejos Cómo se dividen dos números complejos? El cso más sencillo se present l dividir un complejo culquier entre un número rel. Por ejemplo: i i i Si z y w son dos números complejos, y w 0, podemos hcer l división de z entre w de l form siguiente: z w z w w w z w w Tenemos entonces l regl pr dividir números complejos: Pr hcer l división de dos números complejos z y w, primero se multiplic z por el conjugdo de w y este resultdo se divide entre el módulo l cudrdo de w, el cul es un número rel. Si hcemos z = + bi y w = c + di, tendremos: z w c bd bc d b Ejemplo: Se z = + 4i y w = + i. Entonces: i 6

19 z w 4i i i i i 8 i i Ejercicios. Sen los números complejos z = + i, z = 5 + i y z = 4 + i. Efectur ls siguientes operciones: ) z z b) z z c) z z z d) z / z d) (z + z ) = (z - z ) e) 5z 6z. Clculr: ) ( + i) - (4 + i) b) [(5 + i) + (4 - i)] =(6 + 5i) c) 5 i 6 d)(6 + i)( - 5i) / (7 + 4i) e)5( - i) + 6(7 + /i) f) (- - i) + (4-8i) [(5 + i) - (6 + 7i)] g) (5 + 4i) - ( - 5i) h) 5 i i 5i. Verifique l relción zw = z w pr los números complejos z = 5 + i y w = - i. 4. Verifique l relción: z w z w pr los números complejos z = - 5i y z = + 4i 5. Hllr un número complejo z, tl que: (7 + i)z + ( + i) = 8 + 0i 7

20 6. Demuestre que si z es un número complejo tl que z = z, entonces z debe ser rel. 7. Demuestre que si z= +bi, entonces se tiene = (z + z )/ y b = (z - z )/i. 8. Hllr un número complejo cuyo módulo es igul 5 y su prte rel es igul. 9. Hllr un número complejo z tl que su prte rel es el doble de l prte imginri y que demás cumple z = i.5 Representción geométric Así como los números reles se representn geométricmente por medio de un rect, es posible dr un representción geométric de los números complejos usndo un sistem de coordends crtesins. En un sistem de tles coordends, se tiene un pr de ejes que se cortn perpendiculrmente en un punto llmdo el origen. El eje en posición horizontl se llm eje x y el eje en posición verticl, llmdo eje y. Si P es un punto culquier, entonces le socimos ls coordends x e y, donde x, llmd l bscis, es l distnci desde el punto hst el eje y e y, llmdo l ordend, es l distnci desde el punto hst el eje x. De est mner, denotmos l punto por P(x, y). Hremos hor un identificción entre los números complejos y los puntos del plno. A cd número complejo z = +bi, se le soci el punto del plno, P(, b). De est form, se obtiene un representción geométric o Digrm de Argnd de z, ver l figur.: Fig.. Representción geométric de un número complejo o Digrm de Argnd. En est representción, l componente rel de z se copi sobre el eje x, que será llmdo eje rel y l componente imginri sobre el eje y, que será llmdo eje imginrio. El conjunto de todos estos puntos, será llmdo Plno Complejo. 8

21 Ejemplo: El complejo z = 4 + 5i se puede representr en el plno complejo, pr lo cul ubicmos primero l punto de coordends (4, 5). Un vez hecho esto se tendrá l representción de z, como podemos ver en l figur.. Figur. Representción geométric del complejo z = 4 + 5i. Ejemplo: El complejo w = -6+i lo podemos representr, ubicndo l punto de coordends P (-6,) sobre el plno. En este cso el complejo estrá ubicdo en el segundo cudrnte. Ver l figur.. Figur. Representción geométric del complejo z =-6 + i. Ejemplo: El complejo z = - + i lo podemos representr, ubicndo l punto de coordends P (-,-) sobre el plno. En este cso el complejo estrá ubicdo en el tercer cudrnte. Ver l figur.4. 9

22 Figur.4 Representción geométric del complejo z = - -i.. Ejemplo: El complejo w = - 4i lo podemos representr, ubicndo l punto de coordends P (, -4) sobre el plno. En este cso el complejo estrá en el curto cudrnte. Ver l figur.5. Figur.5 Representción geométric del complejo z = -4i. Interpretción geométric del módulo y el conjugdo Se z = + bi un número complejo. Entonces nos interes clculr l longitud del segmento c que une l origen con el punto correspondiente z en el plno complejo (ver l figur.6). 0

23 Figur.6 Representción geométric del módulo y conjugdo de un número complejo z. De cuerdo l disposición de los ejes y el segmento ddo, se h formdo un triángulo rectángulo, con ctetos y b, e hipotenus dd por c. Usndo el Teorem de Pitágors, se demuestr que l longitud de este segmento c, es igul Esto es: b y por lo tnto, igul l módulo del complejo z. Figur.7 Representción geométric del módulo de un número complejo z. Tenemos entonces un interpretción geométric del módulo de un complejo: El módulo de un número complejo z es igul l distnci desde el punto z hst el origen. Por otro ldo, si z = + bi es un número complejo, su conjugdo viene ddo por z = - bi. Luego el conjugdo en form geométric se obtiene l reflejr el punto correspondiente z, lrededor del eje rel (ver l figur.8).

24 Figur.8 Representción geométric del conjugdo de un número complejo z. Tenemos luego l interpretción geométric del conjugdo de un complejo z: El conjugdo de un número complejo z se obtiene como un imgen especulr de z lrededor del eje rel. Sum geométric de complejos Podemos sumr dos números complejos en form geométric, medinte un lgoritmo muy sencillo, llmdo Regl del prlelogrmo. Si se tienen dos complejos, digmos z y z, entonces z + z se hll de l siguiente form: prtir del punto representndo z se trsld el segmento que une l punto z con el origen. Al finl de dicho segmento, se hllrá el complejo z + z, ver l figur.9. Figur.9 Sum geométric de dos números complejos z y z.

25 Vemos entonces que el complejo sum se hll en el extremo de l digonl del prlelogrmo con ldos z y z. Podemos resumir entonces: L sum de dos números complejos, de mner geométric, se efectú usndo l Ley del Prlelogrmo. Como l longitud de un ldo en un tringulo es siempre menor que l sum de los otros dos ldos, se obtiene l siguiente desiguldd pr los módulos: z + z z + z Pr hllr el opuesto o negtivo de un número complejo, en form geométric, procedemos de l mner siguiente: Si z = + bi, entonces -z = - bi y se ubic en el extremo del segmento de dirección opuest l de z (ver l figur.0). Figur.0 Representción geométric del opuesto o negtivo de un número complejos z. Pr restr dos números complejos en form geométric, digmos z - z, se ubic el primer complejo en el plno, z y continución se coloc el segmento del opuesto de z en el punto correspondiente z. El complejo resultnte z - z se ubic en el extremo finl de z (ver l figur.). Figur. Rest geométric de dos números complejos z y z.

26 .5 L Form Polr Como el lector hbrá observdo, en l sección nterior no dimos un interpretción geométric pr el producto de números complejos, ni tmpoco pr l división. En el cso del producto tenemos l fórmul pr l multiplicción: ( + bi) (c + di) = (c - bd) + (d - bc)i El ldo derecho de est expresión, result difícil de interpretr usndo el sistem de coordends crtesins. Pr resolver este problem, requerimos de otro sistem de coordends. Veremos como l trigonometrí nos sirve de herrmient pr solucionr este problem. Podemos signrle cd número complejo z = + bi en el plno, un rdio vector, que conect l punto con el origen. Este rdio vector form un ángulo con el eje rel o de ls x, que será denotdo por θ. Ver l figur.: Figur. Form Polr de un número complejo z. Not: El ángulo θ se mide prtir del eje rel x y en sentido contrrio ls gujs del reloj. El mismo puede venir expresdo en uniddes de grdos o rdines. De cuerdo l disposición de los ejes y el rdio vector, se h formdo un triángulo rectángulo, con ctetos y b, e hipotenus dd por el rdio vector. Usndo el Teorem de Pitágors, se demuestr que l longitud de este rdio vector es b, igul l módulo del complejo z. Esto es: 4

27 Figur. Representción geométric del rdio vector o módulo de un número complejo z. Usndo conocimientos de trigonometrí en el tringulo nterior, se demuestrn ls relciones: = Z cosθ (.) b = Z senθ (.) Conocids como fórmuls de cmbio de coordends polres crtesins. Culquier ángulo α, tl que sen α = sen θ y cos α = cos θ, se llm mplitud o rgumento pr el complejo z. Sbemos por trigonometrí, que dos rgumentos culesquier de z difieren en π. El rgumento θ, tl que -π θ π, se llm mplitud o rgumento principl de z. Est clro que si conocemos el rgumento principl de z y su módulo, entonces lo podemos representr geométricmente sin mbigüedd y demás podremos obtener sus coordends crtesins, de cuerdo ls formuls nteriores. Se tiene entonces l representción de z en Form Polr: z = z (cosθ + i senθ) (.) Recíprocmente, si se conocen ls coordends crtesins de z = + bi, entonces z y θ se clculn de cuerdo ls relciones: z = θ = rctg b b (.4) (.5) Llmds fórmuls de cmbio de coordends crtesins polres. Ejemplo: Un número complejo en el primer cudrnte. Hllr l form polr del complejo z = + i, y dr su representción geométric en el plno. Solución: En primer lugr, debemos clculr el módulo y el ángulo del complejo, pr lo cul usmos ls fórmuls.4 y.5. Luego: 5

28 z = 8 Pr clculr el ángulo, podemos usr l clculdor: θ = rctg / = rctg = 45º Luego l representción polr de z es: z = (cos45º + i sen45º) L representción de este número en el plno complejo prece en l figur.4 mostrd continución: Figur.4 L gráfic muestr el rgumento de un número complejo z en el primer cudrnte. Ejemplo: Un número complejo en el segundo cudrnte. Hllr l form polr de w = - + 4i. Solución: Clculmos el módulo y el ángulo usndo ls relciones nteriores: w = Ahor clculmos el ángulo usndo l clculdor, pero teniendo mucho cuiddo, pues l clculdor solo nos d ángulos θ en el intervlo -90º θ 90º, l usr l tecl rctg. El ángulo ddo por l clculdor es: El rgumento principl de w será: θ = rctg 4/(-) = -5.º θ = 80º + θ = 6.87º 6

29 L rzón pr hcer este cmbio es que mbos ángulos tienen l mism tngente, ver l figur.5: Figur.5 L gráfic muestr el rgumento de un número complejo z en el segundo cudrnte. Luego l form polr de w es: w = 5(cos6.87º + i sen6.87º) Ejemplo: Un número complejo en el tercer cudrnte. Hllr l form polr de z = - -4i. Solución: Al igul que ntes, clculmos su módulo y ángulo socido: z = Al trtr de buscr el ángulo, usndo l clculdor, nuevmente se present el mismo inconveniente. Tenemos entonces: θ = rctg(-4)/(-) = 5.º Sbemos que este es un ángulo correspondiente l primer cudrnte, pero como l componente rel de z es negtiv, l igul que su componente complej, culquier rgumento de z debe estr en el tercer cudrnte. Al ángulo hlldo le summos 80 o pr obtener un rgumento positivo, luego θ = 80 o + θ =.º Por lo tnto, l form polr de z es z = 5(cos.º + i sen.º) Ver l gráfic.6 mostrd continución: 7

30 Figur.6 L gráfic muestr el rgumento de un número complejo z en el tercer cudrnte. Ejemplo: Un número complejo en el curto cudrnte. Hllr l form polr de w = -i. Solución: En primer lugr, clculmos su módulo y su ángulo: w = 5 Al buscr el ángulo l clculdor nos d un rgumento negtivo, en el curto cudrnte (est vez no se presentn problems de conversión), y pr llevrlo l form positiv le summos 60º. Luego θ = rctg(-)/ = -6.4º El rgumento buscdo es: θ = 60º + θ = 96.55º Por lo tnto, l form polr de w es: w = 5 (cos96.55º + i sen96.55º) Ver l figur.7: 8

31 Figur.7 L gráfic muestr el rgumento de un número complejo z en el curto cudrnte. Multiplicción y división en l form polr Supóngse que tenemos dos complejos en form polr y queremos hllr el producto y el cociente de ellos. Sen z = z (cos θ + i sen θ) y w = w (cos φ +i sen φ) Podemos relizr l multiplicción de estos números complejos en form polr: z w = z (cos θ + i sen θ) w (cos φ + i sen φ) = z w [(cos θ + i sen θ) (cos φ + i sen φ)] = z w [(cos θ cos φ- sen θ sen φ) + (cos θ sen φ + sen θ cos φ)] después de usr un pr de identiddes trigonométrics muy conocids, tenemos l formul siguiente: z w = z w (cos(θ + φ) + i sen(θ + φ)) (.6) Tmbién se puede obtener un formul similr pr l división en form polr. Dich formul viene dd por z w z w isen cos (.7) Observción: Podemos dr hor un interpretción geométric del producto y l división de números complejos, bsándonos en ls fórmuls nteriores. Por lo tnto, podemos resumir: Cundo se multiplicn dos complejos, el resultdo es un número complejo cuyo módulo es igul l producto de los módulos y cuy mplitud es igul l sum de ls mplitudes. 9

32 Cundo se dividen dos números complejos, el resultdo es un número complejo cuyo módulo es igul l cociente de los módulos y cuy mplitud es igul l diferenci de ls mplitudes. Ejemplo: Sen z = (cos95º + i sen95º) y w = (cos6º + i sen6º). Entonces podemos clculr su producto, usndo l fórmul.6. Luego se tiene: z w = (cos(95º + 6º) + i sen(95º + 6º)) z w = 6(cosº + i senº) Si queremos hllr el cociente de z entre w, hcemos: z (cos(95º - 6º) - i sen(95º - 6º)) w z (cos69º + i sen69º) w.6. Potencis y ríces de números complejos. L fórmul.6 puede ser utilizd pr hllr l potenci n-ésim de un número complejo. Supongmos que z = z (cosθ+i senθ), y n es un entero positivo, entonces se obtiene: z n = z n (cos(n θ) + i sen(n θ)) (.8) Est relción, que se conoce con el nombre de Fórmul de De Moivre, nos d un lgoritmo bstnte eficiente pr hllr l potenci n-ésim de culquier número complejo en form polr. Ejemplo: Se z = (cos0º + i sen0º). Clcule l potenci de orden cinco de este número, es decir, z 5. Solución. Usndo l relción (.8): z 5 = 5 (cos(5 0º) + i sen(5 0º)) z 5 = (cos50º + i sen50º) Ejemplo. Clculr z 6, donde z = + 4 i. Solución. En primer lugr, llevmos z l form polr. Pr hllr el módulo hcemos: z = 4 = 5 = 5. 0

33 Por otro ldo, el ángulo viene ddo por: θ = rctg 4/ = 5.º Por lo tnto, tenemos z en form polr: z = 5(cos5.º + i sen5.º) Clculmos hor z 6 emplendo l relción (.8): z 6 = 56(cos(6 5.º) + i sen(6 5.º)) z 6 = 565(cos8.78º + i sen8.78º) Finlmente, llevmos este resultdo l form crtesin: z 6 = 565( i ) z 6 = i En este ejemplo se h cometido un error de redondeo, l usr l clculdor de mno. El vlor excto de est operción es z 6 = i. Si z es un número complejo tl que pr lgún n entero positivo se teng z = w n donde w es otro número complejo, entonces se dice que w es un ríz enésim de z. Esto lo denotmos por w = z /n = n z. En los números reles, todo número posee un ríz de orden impr y dos ríces de orden pr. En los complejos hy un myor bundnci de ríces. Concretmente, se tiene l siguiente propiedd. Propiedd: Todo número complejo tiene exctmente n ríces n-ésims. Así, por ejemplo, si z = entonces existen 4 ríces curts, pues 4 = i 4 = (-i) 4 = (-) 4 = de donde, -, i, y -i son ls 4 ríces curts de l unidd. A continución dmos un fórmul pr hllr ls ríces de un número complejo. Se z = z (cosθ + isenθ), entonces

34 n z z / n z / n k k cos isen n n (.9) Ejemplo: Hllr tods ls ríces cúbics de z = 8(cos0º + isen0º) Solución: Si usmos l relción (.9) se tiene: z 0º k 0º k cos isen / 8 / con k = 0,,. Sustituyendo estos vlores de k en l expresión de rrib nos d ls tres ríces cúbics: w = (cos0º + i sen0º) k = 0 w = (cos0º + i sen0º) k = w = (cos50º + i sen50º) k = Si representmos gráficmente ests tres ríces, veremos que se hlln sobre un circunferenci con centro en el origen y rdio. Además tods ells están l mism distnci de ls otrs: formn los vértices de un triángulo equilátero. Ver l figur.8. Figur.8 L gráfic muestr ls tres ríces cúbics del complejo z = 8 (cos 0º + i sen 0º). Ejemplo: Hllr ls seis ríces sexts de l unidd. Solución: Tommos l representción en form polr de, l cul viene dd por = (cos 0º + i sen 0º) Luego hllmos ls ríces sexts por intermedio de.9

35 Con k = 0,,,, 4 y 5. 0º k 0º cos isen k Estos vlores de k nos dn ls seis ríces: w = (cos 0º + i sen 0º) k = 0 w = (cos 60º + i sen 60º) k = w = (cos 0º + i sen 0º) k = w 4 = (cos 80º + i sen 80º) k = w 5 = (cos 40º + i sen 40º) k = 4 w 6 = (cos 00º + i sen 00º) k = 5 Si ls grficmos en el plno complejo, vemos que ells ocupn los vértices de un hexágono regulr inscrito en un circunferenci de rdio, como se muestr en l figur.0. Ejercicios Figur.0 Muestr ls seis ríces sexts de l unidd.. Representr gráficmente en el plno complejo los siguientes números: ) z = (cos60º + i sen60º) b) z = =5(cos45º + i sen45º) c) z = 6(cos0º + i sen0º) d) z = 7(cos00º + i sen00º) e) z = 4(cos400º + i sen400º) f) z = 6(cosº + i senº)

36 g) z = ( + )(cos ( 60)º + i sen ( 60)º). Expresr los siguientes números complejos en form polr: ) z = + 4i b) z = i c) z = i d) z = i e) z = - i f) z = p + i g) z = (6 + i)( - i) h) z = -7-7i i) z = 5. Usndo l form polr, efectúe ls siguientes operciones: ) ( + i)( + i) i b) i 4i c) i d) ( + i) 4 e) ( + i) 7 f) ( + i) - i g) i 5i 4. Clculr ls cutro ríces curts del complejo z = + i. Representrls gráficmente. 5. Clculr ls tres ríces cúbics de los siguientes números complejos: ) z = - i b) z = - - i c) z = + i 4

37 d) z = - i e) z = 8 6. Resuelv ls ecuciones en números complejos: ) z + 4 = 5 + i b) z 4 + i = 6 + i c) z = 0 7. Dibujr en el plno complejo l región delimitd por: ) z b) z 5 < 4 c) Re(z) < = d) Im(z) 4 5

38 . L fórmul de Euler. El Número e Un de ls constntes más usds en mtemátics es el número e o Número de Euler, cuyo vlor proximdo de cifrs decimles es: e Est constnte prece en conexión con los números complejos, medinte l relción mrvillos e i cos isen (.) Donde el ldo derecho represent un número complejo en el círculo unitrio de ángulo. Dich fórmul se conoce con el nombre de Fórmul de Euler en honor Leonhrd Euler, quien l descubrió cerc de 740. Muchos textos de bchillerto y ún universitrios tienen un trtmiento indecudo, crente de tod pedgogí y rigor mtemático, de l formul de Euler. Pr éstos utores el ldo izquierdo no posee ningún significdo y i cometen el grn error de dr l formul (.) como un definición de e. Pr poder convencer l estudinte que l relción (.) es un verdd mtemátic y no un simple cto de fe, debemos entonces trtr de entender primero qué cos i es l expresión e y luego demostrr que dich relción se cumple pr todo ángulo. Comenzremos entonces por considerr l función exponencil x Cómo se define x e, si x es un número rel? f x e L propiedd que define l exponencil es un función f x, tl que: i) df dx ii) f f 0 (.) De mner nálog, si k es culesquier constnte, entonces: Es l función g x que stisfce: x g kx e 6

39 i ii dg dx kg g0 (.) Comenzremos por suponer que potenci: x e se puede desrrollr en un serie de f x n x e x x... n x... n Este tipo de series se llmn Series Formles de Potenci. L plbr forml nos indic que dicho desrrollo es sólo un relción entre símbolos y que puede ser, o no, un número rel pr lgunos vlores de x. Derivndo en mbos miembros de l serie de potencis nos qued: d f dx x e x n x x... nn x... Igulndo mbs expresiones y comprndo los coeficientes del mismo grdo nos d: 0 n n ( n ) Usndo (.) ii) se tiene que f(0) = y por lo tnto 0 =. Luego tendremos los vlores de los términos restntes definidos por recurrenci: 7

40 0 n n n n! Luego l serie de potencis de x e es: e x x x! x! n x n! (.4) Por lo que deduce que l serie de potencis de e kx es: e kx kx kx kx kx!! n! n Por el momento no nos preocupmos por los problems de l convergenci de ests series de potenci. Sólo hremos un cálculo forml en un primer etp, pr descubrir relciones entre ls funciones de mner heurístic, como lo hcín los mtemáticos en el psdo. Ls series de potenci sen y cos, se pueden obtener por medio del Teorem de Tylor del cálculo diferencil. Tenemos tmbién l posibilidd de clculr ests series, trbjndo de mner forml. Sobre ls funciones seno y coseno, pens conocemos los vlores pr 0. Así pues: sen cos Luego ls series de potencis respectivs serán: sen cos n n b b b n n (.5).6 Recordemos que l función seno es impr, es decir sen(- ) = - sen, luego podemos igulr sus series respectivs y comprr los coeficientes pr obtener: 8

41 4 4 De quí se deduce que todos los coeficientes de ls potencis pres son cero. Luego (.5) se puede escribir: 5 n sen (.7) 5 Por otr prte, l función coseno es pr, es decir cos cos( ) y por lo tnto los coeficientes de ls potencis impres son tods nuls. Luego se tiene el desrrollo en serie pr el coseno: n 4 n cos b b b (.8) 4 n Pr clculr el vlor de los coeficientes i en (.7), derivmos l serie del d seno y l igulmos l del coseno pues sen cos. d De quí obtenemos que. Un segund derivción de l serie (.7) produce: d d sen sen Luego: d d sen k k k k k k Igulndo los coeficientes de ls potencis del mismo orden nos d: 9

42 40 k k k k Est sucesión de recurrenci nos d los vlores:!, 5!,! 5 k k k Luego l serie del seno de es: 5!! 5 sen (.9) Hciendo el mismo tipo de nálisis pr l serie del coseno obtenemos: 4!! cos 4 Volviendo l desrrollo en serie de potencis de e kx, y suponiendo que k = i, x =, entonces nos qued:!!!!! i i n i i i i e n i Por el momento no vmos probr l convergenci de est serie, hcemos hor un reordenmiento de est últim serie pr obtener: sen i i e i cos 5!! 4!! 5 4

43 Al menos heurísticmente hemos probdo l Fórmul de Euler. Pr dr más rigurosidd estos resultdos tendrímos que probr l convergenci de mbs series pr culquier rel, lo cul no está l lcnce de nuestro curso. L fórmul de Euler permite usr un notción más cort pr expresr los números complejos. Si z es culquier complejo, se tiene l representción polr: que podemos escribir como: z z cos isen z z i e i i Sen z z e y z z e dos números complejos, entonces su producto y su cociente serín: z z z z i e z z i z z e Si n > 0 es un número entero, l potenci n-ésim de i z z e está dd por: n z z n e in y l ríz n-ésim será: z i e k n n n z donde k = 0,,, n-.. Aplicciones de l Trigonometrí Prtiendo de l fórmul de Euler podemos derivr un grn cntidd de identiddes trigonométrics. Vemos entonces como el seno y el coseno se definen prtir de l función exponencil. Tenemos l fórmul de Euler: e i cos isen 4

44 De quí que: e i cos isen cos i sen Combinndo ls expresiones lgebrics obtenemos ls conocids fórmuls que relcionn seno y coseno con l exponencil: e cos e sen i i e e i i i (.0) (.) Como un primer muestr del poder de los números complejos en el estudio de l trigonometrí, derivmos ls identiddes pr: sen y cos. cos Esto es: i i i isen e e e cos isen cos i sen cos cos sen sen isen cos cos sen Igulndo componentes en mbos ldos nos quedn el pr de fórmuls: cos sen cos cos sen sen sen cos cos sen L ventj de usr l fórmul de Euler, prte de su perfección y simplicidd, es que siempre precen dos nuevs fórmuls. Por ejemplo, supongmos que queremos clculr entonces tenemos: sen y cos, 4

45 cos i sen e i i e cos isen cos cos i sen cos i sen i sen cos cos sen i cos sen sen Igulndo prtes reles e imginris nos quedn ls fórmuls: cos cos sen cos cos sen sen sen Podemos tmbién derivr fórmuls pr ls potencis del sen (o del cos ) en función de sen y cos. Por ejemplo, si queremos un identidd pr 4 i i sen hcemos uso de l identidd i sen e e. Elevndo l potenci curt mbos miembros nos drá: 4 i i isen e e 4 4 6sen e e i4 i4 4e e i i i4 e 6e cos 4 8cos 6 4 e i i e e i i 4e 6 e i i e i4 Por lo tnto: cos 4 4cos sen 8 4. Aplicciones en l Geometrí Teniendo los números complejos l mno podemos psernos por lgunos teorems de l geometrí y redescubrir lguns demostrciones, de un mner sencill y fácil. Dentro de los complejos se esconde un potencil tremendo de cálculo de ángulos y longitudes en el plno, como veremos en los siguientes ejemplos. Comenzremos por uno de los teorems más importntes de l geometrí: 4

46 .. El Teorem de Pitágors Se el triángulo AOB un triángulo rectángulo, el cul ubicmos en el plno complejo, con el vértice O en el origen, de cuerdo l digrm: Fig.. Digrm utilizdo pr probr el Teorem de Pitágors. El teorem firm que se stisfce l relción: c b z Bsándonos en l figur, podemos definir tres números complejos, z bi y z z z :, Fig.. Representción geométric de los vlores, b y c pr probr el Teorem de Pitágors. Clculemos el módulo l cudrdo de z : c z z z z z z z bi bi b bi bi Entonces obtenemos l relción entre los ldos: c b 44

47 ... L Ley de los Cosenos Consideremos un tringulo de ldos, b, c y supóngse que se conoce uno de sus ángulos, digmos : Fig.. Digrm utilizdo pr probr l Ley de los cosenos. L ley de los cosenos estblece entonces: c b b cos Ubicmos entonces el triángulo dentro del plno complejo: Fig..4 Ubicción de un triángulo en el plno complejo. i Luego consideremos los números complejos: z b, z ce, z z z, de est mner podemos estblecer l relción entre los módulos: z z z de donde: i i z z z z ce bce b i i c bce e b 45

48 y, usndo l relción: obtenemos l fórmul del coseno: e cos i e i c bccos b Otro resultdo muy usdo en geometrí es el inverso del Teorem de Pitágors, el cul estblece que todo triángulo con ldos, b, c que cumplen l relción: c b es un triángulo rectángulo. Esto se deduce fácilmente de l ley de los cosenos. En efecto si se tiene l relción: c b (.) en un triángulo como el mostrdo continución. Fig..5 Digrm utilizdo pr probr el inverso del Teorem de Pitágors. Entonces usndo l ley de los cosenos tendremos: c b b cos (.4) 46

49 Igulndo (.) y (.4) obtenemos l relción: c b c b b cos de donde se concluye que cos 0 y por lo tnto 90. Es decir, el triángulo es rectángulo... Teorem del Triángulo Inscrito en un Semicírculo Un fmoso teorem de geometrí, dice que todo triángulo inscrito en un semicírculo debe ser rectángulo. Probremos este resultdo usndo números complejos. Supongmos que tenemos un semicírculo de rdio y un triángulo ABC inscrito en él (ver l figur) Fig..6 Digrm utilizdo pr probr el Teorem del triángulo inscrito en un semicírculo. De cuerdo l observción sobre l ley de los cosenos, debemos probr que: BA AC BC 4 i Pr probr esto, tomremos tres números complejos: z z e, z,, y tommos el ángulo de mner tl que el rdio vector de z intersecte l círculo en el punto A. 47