5. TRABAJO Y ENERGÍA. 5. Trabajo y energía

Transcripción

1 5. TRABAJO Y ENERGÍA El concepto de energí es de enorme importnci en l Físic y sus lcnces exceden el contexto de l Mecánic Newtonin. En efecto l energí junto con l cntidd de movimiento juegn un rol primrio en ls Teorís Fundmentles que mencionmos en el Cpítulo, básicmente porque ests mgnitudes se conservn (es decir se mntienen constntes) en tods ls intercciones básics de l nturlez. Pero quí nosotros estmos desrrollndo un teorí mcroscópic en l cul como y vimos precen fuerzs no fundmentles como el rozmiento, el rrstre, etc. Ests fuerzs se relcionn de un form muy complicd con ls intercciones fundmentles y de results de ello en nuestr descripción de los fenómenos l energí nos prece bjo diferentes spectos, unque nivel microscópico se trt siempre de l mism cos. Uno de esos spectos es l energí mecánic que trtremos quí. El lector debe recordr lo que se cb de decir, y más delnte volveremos sobre est cuestión. En el contexto de l Mecánic Newtonin el concepto de energí es muy útil y que en determindos csos yud simplificr l solución de problems. Se debe notr que l Segund Ley estblece un ecución diferencil del segundo orden en el tiempo, que se debe integrr pr conocer el movimiento de los cuerpos. Veremos que bjo cierts condiciones l energí mecánic de un sistem se conserv (es decir no se trnsform en otr clse de energí). Cundo esto ocurre podemos escribir de inmedito un integrl primer de ls ecuciones de Newton, lo cul es un pso delnte muy importnte hci l solución del problem. Trbjo mecánico Pr presentr l noción de energí mecánic conviene introducir el trbjo mecánico y eso es lo que hremos hor. Este concepto deriv de l noción del esfuerzo que es necesrio relizr pr desplzr objetos. Es intuitivo que el esfuerzo está relciondo con l fuerz que se ejerce, pero es lgo distinto. Cundo levnto un cjón y lo coloco en un estnterí tengo que ejercer un fuerz igul su peso, pero el esfuerzo es myor cunto más lto es el estnte donde lo ubico. Si desplzo un mueble de un lugr otro l fuerz ejercer es siempre l mism (l necesri pr vencer el rozmiento) pero el esfuerzo es tnto myor cunto más lejos lo llevo. Además el esfuerzo depende de l dirección del desplzmiento en relción l fuerz: el esfuerzo necesrio pr trnsportr un vlij depende de si el desplzmiento es horizontl, en subid, o en bjd. Ests observciones cotidins indicn que el esfuerzo depende de l mgnitud de l fuerz, de l mgnitud del desplzmiento y del ángulo entre el desplzmiento y l fuerz. Bsdos en estos hechos definimos el trbjo mecánico de modo de respetr l noción intuitiv de esfuerzo, unque con l precisión y rigor que corresponde un mgnitud físic. Se A un punto mteril sobre el que ctú l fuerz F y que sufre un desplzmiento infinitesiml dr (Fig. 5.). Definiremos el trbjo mecánico de F en el desplzmiento dr como dw = F dr = F dr cosα (5.) De l definición result que W es un esclr y que su mgnitud y signo dependen del ángulo entre F y dr. Si α<π / (desplzmiento fvor de l fuerz) el trbjo es positivo. Si α>π / (desplzmiento en contr de l fuerz) el trbjo es negtivo. Si α =π / el trbjo es nulo. El trbjo de un fuerz en un desplzmiento finito del móvil entre un posición y un posición según l tryectori T (Fig. 5.b) se define como 05

2 donde l integrl se clcul lo lrgo de T. 5. Trbjo y energí W,, T = dw = F d r (5.) F F A dr T A dr T' () (b) Fig. 5.. El trbjo depende () del ángulo entre fuerz y desplzmiento y (b) de l tryectori del móvil. En generl el trbjo depende del cmino seguido pr ir de, luego si T y T son dos tryectoris diferentes que vn mbs de se tendrá que W W (5.3),, T,, T Si T se recorre en el sentido inverso, es decir de, se tiene W = W (5.4),, T,, T De l definición result que ls dimensiones de trbjo son [ W] = [ F][ l] = [ ml t ] (5.5) L unidd de trbjo del sistem MKS es el Joule (J = N m = kg m /s ) y en el sistem cgs es el erg (erg = dy cm = g cm /s ). L equivlenci entre mbs uniddes es J= 0 7 erg. Se us tmbién como unidd de trbjo el kgf m ( kgf m = 9.8KJ = 9.8K 07 erg). Fuerz conservtiv Consideremos el trbjo del peso P = mgˆ z en un desplzmiento verticl dr = zˆ dz (Fig. 5.). Se tendrá dw = P dr = mgdz y entonces z W = mgdz = mg( z z ) (5.6) z En un desplzmiento culquier (Fig. 5.b) dr = xˆdx+ yˆdy+ zˆ dz pero dw = P dr = mgdz como ntes, luego W = mg( z z ) (5.7) 06

3 z z dr P dr P () (b) Fig. 5.. El trbjo del peso en un desplzmiento verticl () y en un desplzmiento culquier (b) depende solmente de l diferenci de ltur entre los extremos de l tryectori. Hemos obtenido sí un importnte resultdo: El trbjo del peso no depende del cmino seguido pr ir de y sólo depende de l diferenci de ltur entre dichos puntos. Se dice que un fuerz es conservtiv si el trbjo que reliz en un desplzmiento entre dos puntos culesquier y tiene el mismo vlor culquier se el cmino seguido pr ir de. Es decir, si y son dos puntos culesquier y C, C son dos tryectoris culesquier que vn de (Fig. 5.3), F será conservtiv si W,, C = W,, C = W, (5.8) De cuerdo con est definición y con el resultdo nterior el peso es un fuerz conservtiv. Consideremos un cmino C que prte de y vuelve (Fig. 5.3b) y se W C el trbjo relizdo por l fuerz conservtiv F en el desplzmiento C. Por definición: W C = F d r (5.9) C Se hor un punto culquier de C que l divide en dos prtes: C que v de y C que v de. Clrmente: W = W + W = W W = C,, C,, C,, C,, C 0 (5.0) porque W,, C = W,, C y W,, C = W,, C por ser F conservtiv. Luego si F es un fuerz conservtiv y C un cmino cerrdo culquier se cumple F dr = 0 (5.) C Con un rzonmiento nálogo se puede demostrr l propiedd invers: si F es tl que su trbjo lo lrgo de culquier cmino cerrdo es nulo, entonces es conservtiv. 07

4 F F C A dr C' A C dr C' C'' () (b) Fig Si l fuerz es conservtiv el trbjo en un desplzmiento de () no depende del cmino seguido y es nulo (b) en un desplzmiento que vuelve l punto inicil. Cmpo de fuerz El peso es un cso prticulr de un clse importnte de fuerzs: quells que dependen de l posición. Otro ejemplo de est clse es l fuerz electrostátic entre dos crgs. En ls proximiddes de l superficie de l Tierr P = mgˆ z donde ẑ es l dirección de l verticl del lugr (positiv hci rrib). A medid que nos lejmos de l superficie terrestre g disminuye l umentr z, y distncis r grndes del centro de l Tierr rt g = g() r = g( r T ) r (5.) donde r T 6400 km es el rdio terrestre y gr ( T ) 980gl. Por lo tnto P = rt mg( r T ) rˆ r (5.3) En csos como este, cundo en cd punto del espcio podemos definir un vlor de l fuerz, se dice que estmos en presenci de un cmpo de fuerz. Si demás l fuerz es conservtiv se dice que el cmpo correspondiente es conservtivo. Cundo demás de l posición l fuerz depende de otrs mgnitudes (por ejemplo de l velocidd del cuerpo) no se puede hblr de cmpo de fuerz. Por ese motivo ls fuerzs de rozmiento no son un cmpo. El concepto de cmpo es muy importnte en l Físic y más delnte volveremos sobre él. Por el momento bstrá con est somer introducción. Energí cinétic L energí es l mgnitud que d l medid de l cpcidd de un sistem pr producir trbjo. Hy distints clses de energí, que se distinguen por l form como se mnifiest y ls fuerzs e intercciones que l originn. Est fórmul es proximd y que l Tierr no es un esfer perfect. 08

5 Es sí que se hbl de energí mecánic, térmic, eléctric, químic, nucler, etc. Nos ocupremos hor de l energí mecánic, que es l energí que poseen los cuerpos en virtud de su movimiento y de su posición. Pr detener un móvil que se desplz con ciert velocidd es preciso plicrle un fuerz que lo frene. Dich fuerz reliz un trbjo negtivo, es decir, el móvil entreg trbjo l sistem que ejerce l fuerz. Luego el móvil por el hecho de moverse posee energí. En otrs plbrs: Por virtud de su inerci todo cuerpo en movimiento posee energí, que denominmos energí cinétic. v v m v F Fig El Teorem de l fuerz viv: l vrición de l energí cinétic del móvil es igul l trbjo de l fuerz que ctú sobre él. L energí cinétic se relcion con el esfuerzo necesrio pr cmbir el estdo de movimiento de un objeto. Dicho esfuerzo se origin en l inerci del cuerpo. Es sencillo clculr l energí cinétic del móvil. Se un ms m nimd de un velocidd v, sobre l cul ctú l fuerz F. En el intervlo dt el desplzmiento del móvil es dr = vdt y l fuerz reliz un trbjo Por l Segund Ley F = mdv/ dt, luego dw = F dr = F v dt (5.4) dw = mv dv = m d( v ) (5.5) Por lo tnto el trbjo de l fuerz en el tryecto de (Fig. 5.4) es Si l llegr el móvil se detiene tendremos v = 0 y W = dw = m d( v ) = m( v v ) (5.6) W = mv (5.7) Este es el máximo trbjo que se puede extrer del móvil. Es nturl entonces definir l cntidd T = mv (5.8) Por ejemplo l fuerz que ejerce el clvo sobre el mrtillo que lo golpe reliz un trbjo negtivo sobre éste y lo fren. L rección del mrtillo reliz un trbjo que hce penetrr el clvo en el tblón. Así podemos extrer trbjo del móvil. 09

6 como l energí cinétic del móvil, pues d l medid del trbjo que se puede extrer del mismo en virtud de su movimiento. En términos de l energí cinétic los resultdos nteriores se pueden escribir en l form diferencil o bien en form integrl como dw = dt (5.9) W = T T = T (5.0) Ls ecs. (5.9) y (5.0) constituyen el Teorem de l fuerz viv 3. De lo nterior podemos concluir lo siguiente: si queremos celerr un móvil prtiendo del reposo tenemos que relizr sobre él un trbjo igul l energí cinétic que dquiere; si el móvil tiene l velocidd v y por lo tnto l energí cinétic T = mv / se podrá extrer del mismo, frenándolo, un trbjo igul en vlor T. Notr que T depende del módulo de v y no de su dirección. Si por efecto de un fuerz v cmbi su dirección pero no su módulo, l fuerz no reliz trbjo. Esto ocurre si F es perpendiculr v, pues entonces F v = 0; por ejemplo, en un movimiento curvilíneo l fuerz centrípet no reliz trbjo. En conclusión: el trbjo de l resultnte de ls fuerzs que ctún sobre un móvil determin el cmbio de l energí cinétic del mismo. Dejmos pr más delnte clrr cuál es l fuente que suministr l energí cinétic que gn el móvil, y cuál es el destino de l que pierde. Energí potencil L energí cinétic no es l únic form en que se puede mnifestr l energí mecánic. Si un móvil se encuentr en un cmpo de fuerz y su posición vrí, l fuerz del cmpo reliz un trbjo. Existe entonces un form de energí socid con l posición de un cuerpo sometido un cmpo de fuerz. Se un móvil que se desplz en un cmpo de fuerz de según l tryectori C. El trbjo de l fuerz es W, C = F d r (5.) En generl el trbjo depende de l tryectori y por lo tnto no se puede signr un vlor definido W y no podemos firmr (como hicimos en el cso de l energí cinétic) que W es l diferenci entre cntiddes clculds pr el punto y el punto (Fig. 5.5). Hy sin embrgo un clse de fuerzs, ls fuerzs conservtivs, pr ls cules W es el mismo culquier se el cmino seguido pr ir de. Consideremos, pr ser concretos, el peso. Pr el peso W = mg( z z) lo que muestr que un cuerpo posee un cpcidd de producir trbjo (es decir un energí) que depende de l ltur donde se encuentr (Fig. 5.5b). Luego en este cso podemos escribir W = [ V( z ) V( z )] (5.) 3 L denominción proviene de vis viv ( fuerz viv en ltín), nombre (hoy en desuso) que se db l energí cinétic. 0

7 donde Vz () = mgz+ V0, V0 = cte. (5.3) L función V() z se llm energí potencil grvittori de l ms m y como se ve está definid menos de un constnte ditiv rbitrri V 0. Est mbigüedd no tiene importnci pues sólo podemos medir diferencis de energí potencil. L elección de V 0 equivle fijr un nivel de referenci en el cul V = 0. Este nivel lo podemos elegir donde más nos guste o conveng. L (5.) nos dice entonces que el trbjo del peso es igul menos l vrición de l energí potencil grvittori del cuerpo. F z dr C C' dr P () (b) Fig En generl () el trbjo depende de l tryectori, luego no se puede signr un vlor definido W. Pero pr el peso W no depende de l tryectori (b), luego podemos introducir un energí potencil y escribir W = [ V( z ) V( z )]. Corresponde clrr que l fórmul (5.3) vle sólo cerc de l superficie de l Tierr. Si queremos clculr l energí potencil grvittori de un cuerpo lejos de l superficie, por ejemplo un stélite rtificil, tenemos que empler l expresión (5.) de g. Se obtiene entonces Vr () = mgr ( T) rt + V r (5.4) donde r = rt + z es l distnci del cuerpo l centro de l Tierr y V es l energí potencil del cuerpo cundo su distnci es infinit. Es hbitul poner V = 0, de modo que Vr () = mgr ( T) rt r (5.5) Notr que est elección del nivel de referenci corresponde fijr V0 = mg( rt) rt en l (5.3). En generl pr un fuerz conservtiv culquier podemos definir un energí potencil del modo siguiente (Fig. 5.6): se elige (rbitrrimente) un nivel de referenci, por ejemplo el punto R, l energí potencil en otro punto r culquier es entonces r V( r) = F dr + V 0 (5.6) R

8 Aquí V 0 es un constnte rbitrri y l integrl se clcul sobre culquier cmino que lleve de R r, porque por ser F conservtiv l integrl no depende del cmino. Si hor queremos clculr el trbjo de F en un desplzmiento de tendremos que r W = F dr = F dr + F dr = F dr + F dr r R = [ V( r ) V( r )] r r R r R r R (5.7) Según l definición nterior el trbjo de l fuerz conservtiv es igul menos l vrición de l energí potencil. Luego si el trbjo relizdo por l fuerz del cmpo es positivo el móvil pierde energí potencil. Vicevers, si el trbjo es negtivo el cuerpo gn energí potencil. r R F(r) R F(r) () (b) Fig Pr definir l energí potencil de un fuerz conservtiv culquier se elige un nivel de referenci R, luego () pr un punto r culquier V( r ) está dd por l (5.6). El trbjo de F en un desplzmiento (b) de es entonces W = [ V( r ) V( r )]. Relción entre energí potencil y fuerz Por definición, pr un fuerz conservtiv Por lo tnto dv( r) = F dr. Esto signific que r V( r) = F dr + V 0 (5.8) R V x V V = Fx, = Fy, = Fz (5.9) y z que se puede escribir como donde hemos introducido el operdor grdiente F = V = grd V (5.30) grd xˆ + yˆ + zˆ x y z (5.3)

9 Corresponde clrr que l condición F F( r) es necesri pero no suficiente pr que F se conservtiv. Por ejemplo, un fuerz de l form F = f()ˆϕ r no es conservtiv; en efecto, es fácil verificr que en este cso l condición F dr = 0, todo C (5.3) C no se cumple. Por lo tnto pr dich fuerz no se puede encontrr un función V( r ) tl que F = V = f()ˆϕ. r De ls (5.9) podemos obtener ls condiciones pr que F se conservtiv. De l primer y segund de dichs ecuciones obtenemos que V xy F F x y = = y x Fx y Fy = 0 (5.33) x Del mismo modo, de l segund y l tercer, y de l tercer y l primer de ls (5.9) se obtienen, respectivmente, ls condiciones F z F F F = 0, = 0 (5.34) y x z y z z x Si en todo punto se cumplen ls tres condiciones (5.33), (5.34) F d r es un diferencil totl excto: ésts son pues ls condiciones suficientes pr que F se conservtiv. Usndo el operdor grdiente ls condiciones (5.33), (5.34) se expresn en l form compct F rot F = 0 (5.35) El operdor se denomin rotor y un cmpo vectoril A que cumple l condición A = 0 se dice irrotcionl. Por lo tnto l condición necesri y suficiente pr que un cmpo de fuerz se conservtivo es que se irrotcionl en todo punto. L fuerz F = f()ˆϕ r cumple l condición F = 0 pr todo r 0, pero no l cumple en r = 0: por eso dicho cmpo no es conservtivo. Energí mecánic Se un ms que se mueve bjo l cción de un fuerz desde hst. Por el Teorem de l fuerz viv W = T T. Si demás l fuerz es conservtiv y V es l energí potencil correspondiente, W = ( V V ). Comprndo mbs expresiones y ordenndo términos obtenemos Vemos sí que l cntidd T + + (5.36) V = T V E = T + V Energí mecánic (5.37) se conserv en el movimiento unque T y V vrín 4. En un movimiento bjo l cción de fuerzs conservtivs todo umento de l energí cinétic ocurre expenss de l energí potencil del móvil, y vicevers, de modo tl que l energí mecánic, sum de mbs, se mntiene constnte. 4 De l definición es evidente que ls dimensiones y uniddes de l energí son ls misms que ls del trbjo. 3

10 Importnci de ls constntes del movimiento Cundo un mgnitud físic se conserv durnte el movimiento se dice que es un constnte del movimiento o, tmbién, que es un integrl primer del movimiento. Muchs veces l integrción de ls ecuciones del movimiento es complicd o difícil. En estos csos el conocimiento de ls constntes del movimiento es de grn importnci pues: permite deducir de inmedito propieddes del movimiento y relciones entre ls mgnitudes que lo describen, sin que hg flt pr eso integrr ls ecuciones de Newton, simplific el problem de resolver ls ecuciones del movimiento pues yud hcer el plnteo más conveniente pr el cálculo. Por lo tnto uno de los más importntes problems de l Mecánic es encontrr ls constntes del movimiento. Y encontrmos dos leyes de conservción: l conservción de l cntidd de movimiento pr sistems isldos, l conservción de l energí mecánic pr sistems sometidos fuerzs conservtivs. Se puede mostrr que l conservción de l cntidd de movimiento se vincul con l simetrí de un sistem isldo frente trslciones. Est simetrí reflej el hecho de que el resultdo de un experimento no depende del lugr donde está ubicdo el lbortorio. L conservción de l energí mecánic se vincul con l simetrí frente desplzmientos en el tiempo, lo que reflej el hecho que el resultdo de un experimento no depende del momento en que se llev cbo. Estos ejemplos (y otros que veremos más delnte) muestrn que: Tod ley de conservción está relciond con un propiedd de simetrí del sistem. Tmbién vle l invers: cundo un sistem posee un simetrí (es decir cundo hy un trnsformción que lo dej igul del punto de vist físico), socid con est simetrí hy un constnte de movimiento. Por lo tnto existe l siguiente relción biunívoc: simetrís constntes del movimiento Por eso l comenzr el estudio de un problem es siempre útil detenerse reflexionr sobre sus propieddes de simetrí. Eso veremos medid que vncemos. Potenci En muchs plicciones interes el tiempo necesrio pr relizr un trbjo. L mgnitud físic que d l medid del trbjo producido en l unidd de tiempo es l potenci P W = δ δt (5.38) Como δw = F δr = F v δt, será P = v F (5.39) L unidd de potenci en el sistem MKS es el Wtt (W): W = J/s= Nm/s = kg m /s 3. En el sistem cgs es el erg/s = 0 7 W. En lguns plicciones se us el HP (HP = 748W). De l unidd de potenci deriv un unidd de energí muy usd: el kwh ( kwh = J). Clculemos l potenci disipd en un slto de gu en el que en l unidd de tiempo un ms dm / dt ce desde un ltur h; clrmente 4

11 P 5. Trbjo y energí = dm dt gh (5.40) Si el cudl del slto es de 000 m 3 /s tendremos que dm / dt = 0 6 kg/s. Si h = 00 m result entonces P W = 980 MW. Trbjo y energí en movimientos unidimensionles En todo movimiento unidimensionl si l fuerz depende sólo de l posición y no del tiempo, de l velocidd, etc. o se si F = F( x), F es conservtiv y podemos introducir l energí potencil x Vx ( )= Fdx + V0 (5.4) En presenci de un fuerz conservtiv l energí mecánic se conserv y E = T + V = cte. Exminemos ls consecuencis de l conservción de l energí mecánic en un movimiento unidimensionl (Fig. 5.7). Un form útil de nlizrlo se bs en el digrm de l energí (Fig. 5.7b), en el cul representmos los términos de E en función de l coordend x: E ( = cte.) es un rect prlel l eje x, V(x) es un curv cuy form depende de F(x), T = E V como se ve en l figur pr el punto x. 0 V(x) O x x x T(x ) V(x ) x + x E x () (b) Fig En un movimiento unidimensionl () bjo el efecto de un fuerz conservtiv es útil el digrm de l energí (b) que d un representción integrl del movimiento. El digrm de l energí es un representción integrl del movimiento que permite deducir vris crcterístics del mismo sin necesidd de cálculos lboriosos, de hí su utilidd. Puesto que T no puede ser negtiv ( T = mv / 0) se debe cumplir E V( x) (5.4) Luego el movimiento está confindo los intervlos de x tles que V < E. Por eso en el cso de l Fig. 5.7b el móvil no puede llegr l punto x. En l Fig. 5.7b el movimiento está limitdo los puntos que cumplen l condición x < x < x+. En x y x +, que se llmn puntos de retorno, se tiene T = 0 o se vx ( m ) = 0, luego E = V. En un punto como x l velocidd puede tener dos vlores: 5

12 vx ) =± m E V( x )] (5.43) En x l fuerz dv Fx ( ) = dx x (5.44) punt hci ls x negtivs. Si imginmos que V( x) represent el perfil de un cuest, l fuerz está siempre dirigid cuest bjo. Está clro pues que medid que el móvil se cerc x + l fuerz lo fren. Análogmente si el móvil se cerc x l fuerz (hor dirigid en sentido x positivo) tmbién lo fren. Luego el movimiento descripto por el digrm es un oscilción en que el móvil v y viene entre los puntos de retorno. E 4 V(x) E 3 E x E x 5 x x x 3 x 4 x 6 x 7 Fig Digrm de l energí que muestr los diferentes tipos de movimiento que se presentn según se el vlor de l energí mecánic del móvil. El tipo de movimiento depende de l form de V( x) y del vlor de E. Observndo l Fig. 5.8 vemos que se presentn vris posibiliddes: pr E = E puede hber dos movimientos posibles: un oscilción con puntos de retorno x y x y un oscilción con puntos de retorno x 3 y x 4 ; pr E = E el movimiento es un oscilción con puntos de retorno x 5 y x 6 ; pr E = E 3 el movimiento no es osciltorio; el móvil viene de l izquierd desde el infinito y l cercrse x 7 se fren, se detiene y vuelve trás lejándose nuevmente hst el infinito: hy un solo punto de retorno; pr E = E 4 no hy puntos de retorno: un móvil que viene de v hst + sin detenerse (unque su velocidd vrí con x); tmbién es posible el movimiento en sentido contrrio, en que el móvil viene de + y v sin detenerse. Luego el movimiento puede ser ligdo, si el móvil está trpdo en un pozo de energí potencil y oscil entre dos puntos de retorno, o no ligdo, cundo el móvil viene y v l infinito. Vemos lgunos ejemplos. 6

13 Lnzmiento verticl Si lnzo un objeto de ms m hci rrib con velocidd v 0, inicilmente T0 = mv0 /, V = V 0 y E = T0 + V0. L ltur máxim corresponde l punto de retorno z m donde E = V ( z m). Luego zm = v0 / g (5.45) V(r) mg(r T )r T V(z) V 0 mg(r T )r T r m /r T r/r T mg(r T )z mg(r T )r T /r E' E 0.0 z m /r T z/r T Fig Digrm de l energí pr el lnzmiento verticl. L (5.45) vle pr zm << rt, es decir pr vlores pequeños de l velocidd inicil v 0. Pr vlores grndes de v 0 hy que tomr en cuent l vrición de g con l ltur, usndo l expresión (5.5) de l energí potencil (Fig. 5.9). Tenemos entonces que E = T() r + V() r = mv() r mg( r ) r = mv mg( r ) r = r 0 cte. (5.46) T T T T De quí obtenemos que el punto de retorno 5 r m (correspondiente vr ( m )= 0) está ddo por v0 = r r gr ( ) r m T T T (5.47) Pr que el cuerpo se pued lejr hst el infinito es preciso que v 0 cumpl l condición v0 ve = g( rt) rt. km/s (5.48) L velocidd v e se llm velocidd de escpe. Si v 0 < v e el movimiento es ligdo y el móvil vuelve cer. Si v 0 > v e el móvil se lej l infinito. Un cuerpo lnzdo con l velocidd v e lleg r = con velocidd nul. L velocidd de escpe es igul l velocidd con l cul un cuerpo que ce (con velocidd inicil nul) desde el infinito lleg l superficie de l Tierr. 5 Ests fórmuls vlen siempre y cundo se conserve l energí mecánic y por lo tnto no tomn en cuent l resistenci del ire, que reduce l velocidd del móvil mientrs éste se encuentr dentro de l tmósfer terrestre. 7

14 L fórmul (5.48) de l velocidd de escpe vle pr culquier cuerpo celeste, con tl de usr el vlor correspondiente del rdio y de l celerción de l grvedd en l superficie. Consideremos l Lun: su rdio es de 738 km y l celerción de l grvedd en su superficie es de 6.4 gl (proximdmente un sext prte de l grvedd en l superficie de l Tierr). De l (5.48) obtenemos entonces que l velocidd de escpe desde l Lun es de.38 km/s. Oscilciones de un resorte Si desplzo el extremo de un resorte un distnci x desde el equilibrio (x es l elongción) el resorte ejerce un fuerz que tiende devolverlo l equilibrio, dd por F = kx (5.49) donde k es l constnte del resorte (Fig. 5.0). L energí potencil correspondiente vle: x V = kx dx = kx + V0 (5.50) 0 m x F = kx m Fig Si desplzmos el extremo de un resorte un distnci x desde el equilibrio el resorte ejerce un fuerz F = kx que tiende devolverlo l equilibrio. Es usul elegir V 0 = 0. Luego Vx ( )= kx (5.5) El movimiento de un ms m sometid l fuerz (5.49) se describe por medio de l Fig. 5.. El movimiento es siempre ligdo y consiste de un oscilción entre los puntos de retorno y +, ddos por E = (5.5) k Luego es l mplitud de l oscilción. L energí de l oscilción es proporcionl l cudrdo de l mplitud. En los extremos de l tryectori ( x =± ) l energí cinétic de l ms es nul y l energí mecánic es solmente potencil. En el punto medio ( x = 0) l energí potencil es nul y le energí mecánic es purmente cinétic. Por lo tnto medid que el móvil se desplz lejándose de x = 0, l energí cinétic se trnsform en energí potencil; vicevers medid que el móvil se cerc x = 0, su energí potencil se trnsform en energí cinétic. 8

15 V(x)/k E 0. x Fig. 5.. Digrm de l energí pr ls oscilciones de un ms movid por un resorte. Considerciones dimensionles sobre ls oscilciones Clrmente l oscilción está completmente definid dndo k, m, y l fse inicil ϕ 0, cuys dimensiones son [ k] = [ m/ t ], [ m], [ ] = [ l], [ ϕ ] = (5.53) 0 0 Tods ls crcterístics del movimiento se deben poder expresr en términos de estos prámetros. En prticulr el periodo T de l oscilción no puede depender de ϕ 0, luego T ~ m/ k (5.54) Por lo tnto el periodo de ls oscilciones del resorte no depende de l mplitud de ls misms 6. Nuestro nálisis muestr que T es proporcionl m/ k pero no permite conocer l constnte (numéric) de proporcionlidd. Podemos sólo suponer que es constnte es del orden de l unidd. Pr determinr su vlor excto hy que resolver ls ecuciones del movimiento (cos que hremos en el Cpítulo 6). Es interesnte, sin embrgo, hcer un estimción. Cómo? Bsándonos en considerciones sobre el impulso y l cntidd de movimiento. Consideremos, por ejemplo, qué sucede en un curto de período, cundo el móvil v de 0 hst. Será T / 4 p = Fdt 0 (5.55) Pero p= mv m donde l velocidd máxim vm = v ( x = 0 ) vle v m = k / m, luego p = m k/ m (5.56) Por otr prte el miembro derecho de l (5.55) se puede escribir como FT /4 donde F es el vlor medio temporl de l fuerz. Obvimente F = qf m, donde Fm = k y 0< q <. El fctor q 6 L rzón físic de esto es l ley de fuerz (5.49), que determin ls dimensiones de k. 9

16 es menor que l unidd, pero próximo ell pues el móvil ps más tiempo cerc del punto de retorno, donde tiene menos velocidd. Luego q d. Por lo tnto Entonces de (5.56) y (5.57) result T / 4 q Fdt = kt (5.57) 4 0 m T = 4, q d (5.58) q k En el Cpítulo 6 veremos que T = π m/ k de modo que q = / π 0. 64, luego nuestr conjetur es correct. El lector pensrá que tiene poc grci nuestr estimción siendo que se conoce el vlor excto. Sin embrgo es útil costumbrrse hcer estimciones porque: pr hcerls se tiene que nlizr l físic del problem y evlur l importnci reltiv de fctores y efectos, lo cul mejor l comprensión del mismo; veces el cálculo excto es muy difícil o imposible; cundo eso ocurre ls estimciones son el único recurso que qued pr obtener lgún resultdo. Un estimción, por groser que se, es siempre mejor que nd. Vrición de l energí mecánic por efecto de fuerzs no conservtivs L noción de sistem mecánico conservtivo, pr el cul el movimiento consiste en un juego en el que l energí cinétic ument expenss de l energí potencil y vicevers, es un idelizción y que en relidd ningún sistem mcroscópico es conservtivo. En l práctic existen siempre fuerzs no conservtivs de un u otr clse 7. Consideremos entonces el cso en que lguns de ls fuerzs que ctún sobre un móvil no son conservtivs, de modo que F = Fc + Fnc (5.59) donde F c = V es l resultnte de ls fuerzs conservtivs y F nc indic l resultnte de ls fuerzs no conservtivs que ctún sobre el móvil (fuerzs de rozmiento, resistenci del ire y otrs que tienden disipr l energí mecánic o bien fuerzs que tienden umentrl, como ls que ctún cundo se produce un explosión). Si clculmos el trbjo, será δw = F δr = F δr + F δr = δv + δw (5.60) c nc nc Pero por el Teorem de l fuerz viv δw = δt. En consecuenci δt = δv + δw nc, de donde δ E = δt + δv = δw nc (5.6) Luego en generl l energí mecánic no se conserv y su vrición es igul l trbjo de ls fuerzs no conservtivs. Si ésts se oponen l movimiento (como ls fuerzs de roce), el trbjo que relizn es negtivo y l energí mecánic disminuye: hy lo que se llm disipción. 7 El movimiento de los cuerpos celestes, como los que integrn el Sistem Solr, es quizás lo que mejor se proxim un sistem conservtivo idel. Pero ún en ese cso hy fuerzs no conservtivs provenientes de l intercción de esos cuerpos con el gs y el polvo del espcio interplnetrio y de otros efectos. 0

17 Disipción de energí mecánic L energí mecánic se puede disipr cundo ctún fuerzs no conservtivs. Es sí que ls oscilciones de un resorte se mortigun y finlmente ces el movimiento. En este proceso desprece l energí mecánic, pero no se niquil: se trnsform en otr clse de energí. En ciertos csos l energí mecánic se trnsform en clor: es un dto de l experienci que l fricción gener clor (todos sben que los frenos de un utomóvil se clientn). Cundo se produce un fenómeno de est clse, l desprecer un cntidd de energí mecánic dd por se produce un cntidd equivlente de clor: δ E = δ <0 (5.6) W nc δq= δ (5.63) El clor es un form de energí: nivel microscópico es l energí mecánic debid l gitción desordend de ls moléculs de todo medio mteril. Ls uniddes de clor El clor un form de energí y se lo puede medir en l mism unidd que l energí mecánic (por ejemplo J o erg). Pero como el concepto de clor se introdujo ntes de sber que se trtb de un form de energí, se estblecieron pr el mismo uniddes independientes de ls uniddes mecánics. L unidd de clor es l clorí (cl), que originlmente se definió como l cntidd de clor necesri pr elevr l tempertur de g de gu de 4.5 C 5.5 C. Posteriormente se determinó l equivlenci entre ls uniddes de clor y energí midiendo el trbjo disiptivo necesrio pr producir cl. Se encontró sí que cl = J. Hoy dí se sigue emplendo l clorí en lguns plicciones, pero su definición ctul es simplemente W nc cl = J (5.64) Si se emplen ls clorís o los Joules es purmente cuestión de convenienci. Trnsformciones de l energí L energí mecánic se puede trnsformr en clor produciendo un vrición de l energí térmic o energí intern. Est es sólo un de ls trnsformciones que puede sufrir l energí. Si se tomn en cuent tods ls forms de energí y tods ls trnsformciones, result que l energí totl (sum de tods ls forms) de un sistem isldo permnece constnte. Luego l energí no se cre ni se destruye, sólo se trnsform y se trnsfiere de un sistem otro 8. Así como l energí mecánic se trnsform en energí intern, se puede dr el proceso inverso, es decir l trnsformción Energí Intern Energí Mecánic. Por ejemplo si se expnde un gs contenido en un cilindro moviendo el pistón, l fuerz debid l presión del gs reliz un trbjo sobre el pistón, que podemos usr pr umentr l energí mecánic del mbiente (por ejemplo levntndo un pes). Al mismo tiempo el gs del cilindro se enfrí y su energí intern disminuye, menos que compensemos es pérdid de energí intern suministrándole clor (pr lo cul hy que poner el gs en contcto con un fuente térmic). En este último cso, el 8 Este hecho constituye l Primer Ley de l Termodinámic.

18 resultdo neto del proceso es que el clor que hemos suministrdo l gs se h convertido en energí mecánic del mbiente, el gs ocup un volumen myor pero su energí intern es l mism que ntes de l expnsión, y l fuente térmic h perdido energí. Pero en est clse de trnsformciones hy limitciones: no es posible un proceso cuyo único resultdo se trnsformr totlmente en energí mecánic el clor extrído de un fuente térmic 9. Sólo un prte del clor extrído de l fuente se puede trnsformr en energí mecánic. El resto tiene que ser entregdo en form de clor otr fuente más frí. No seguiremos más sobre estos tems. Bst esto como introducción. El estudio de ls trnsformciones de l energí y de sus limitciones es mteri de l Termodinámic. No está demás señlr quí que l energí es un bien útil y vlioso, pero no hy que perder de vist que l presenci de grndes cntiddes de energí en pequeños volúmenes es potencilmente peligros. Esto es obvio en el cso de l energí químic de un explosivo, pero l gente no suele pensr en eso cundo se trt de l energí químic lmcend en el tnque de un utomóvil o de l energí cinétic de un vehículo lnzdo con lt velocidd, pesr que todos los dís nos entermos de ls lmentbles consecuencis que resultn si ess cntiddes de energí se libern por ccidente en form imprevist y no desed. Veremos en lo que sigue que ls lts densiddes de energí pueden producir efectos ctstróficos. Cíd de un objeto en el ire Si un objeto ce en el ire su celerción está dd por l ec. (4.5): F = g = m g m C ρ f u l (5.65) Aquí m es l ms del cuerpo, l es su dimensión linel trnsversl l movimiento, u su velocidd, ρ f es l densidd del ire y el vlor del coeficiente d rrstre C depende del numero de Reynolds R (ver el Cpítulo 4). Sbemos que en este cso se lcnz un velocidd límite v* pr l cul = 0. A prtir del momento en que el móvil lleg l velocidd límite, se tiene que v = v* = cte. y todo el trbjo de l fuerz de grvedd se disip, ddo que l energí cinétic del móvil no crece medid que éste desciende y pierde energí potencil. Tendremos entonces que δt = 0, δv = mgδz y δw = Fδz. Luego dis δ E = mgδz = Fδz (5.66) En qué v prr en este cso l energí mecánic que pierde el móvil? Es energí qued en el fluido, prte en form de energí cinétic del movimiento de ls prcels del fluido (que se ponen en movimiento debido l psje del móvil), prte como energí intern del mismo. En condiciones de rrstre turbulento (R >> ) el grueso v prr l energí cinétic del movimiento del fluido. Eso es lo que ocurre de inmedito. Es complicdo describir lo que ps después, pero esencilmente lo que sucede es que los vórtices y remolinos de l turbulenci intercmbin energí entre sí, y de results de ello los vórtices pequeños gnn energí expenss de los más grndes. Al mismo tiempo l energí de los vórtices más pequeños se disip por efecto de l viscosidd, trnsformándose en energí intern. Se produce sí lo que se llm un cscd en l cul l energí ps grdulmente de los vórtices grndes los pequeños y de éstos l energí 9 Este hecho se conoce como Segund Ley de l Termodinámic.

19 del movimiento desordendo de ls moléculs del fluido. Al finl del proceso el fluido qued de nuevo en reposo y tod l energí que gnó expenss de l energí mecánic del móvil cb en form de energí intern, o se de clor. Impcto de bólidos El impcto de cuerpos celestes es un proceso de fundmentl importnci pr l formción y l evolución de los cuerpos del Sistem Solr y que lteró (y sigue lterndo) ls superficies de l myor prte de ellos debido l formción de cráteres de impcto. El impcto en l Tierr de grndes bólidos en el remoto psdo provocó ctástrofes globles de results de ls cules ocurrieron extinciones msivs de especies. Desde nuestro punto de vist son un ejemplo espectculr de los efectos de l disipción de energí mecánic, que muestr l vriedd de trnsformciones de l energí. Vris clses de objetos cósmicos pueden chocr con l Tierr y lo hn hecho en el psdo como lo muestr l evidenci geológic. Los impctores o meteoroides más grndes (fortundmente poco frecuentes) son steroides o comets; los menores son frgmentos de dichos cuerpos, trozos de roc de l superficie de lgún plnet rrojdos l espcio de results de un impcto nterior, u objetos primordiles. Los meteoroides más pequeños se destruyen en l tmósfer y sus tryectoris visibles dn lugr meteoros tles como estrells fugces y bols de fuego; los meteoritos son los restos de esos cuerpos que sobrevivieron y llegron el suelo. Aquí nos ocupremos de meteoroides cuyo tmño es de 00 m o más, cuyo impcto puede producir ctástrofes de escl locl, regionl e incluso globl. Los steroides y comets orbitn lrededor del Sol y cundo llegn ls proximiddes de nuestro plnet sus velociddes v b son del orden de 30 km/s pr los steroides y 40 km/s pr los comets. L velocidd orbitl v T de l Tierr es de unos 30 km/s. L velocidd reltiv v r de uno de esos cuerpos respecto de l Tierr depende del ángulo con que se intersecn ls respectivs órbits y su vlor (Fig. 5.) está comprendido entre vt vb vr vt + vb (5.67) bólido v T v Tierr v b Fig. 5.. L velocidd reltiv de un cuerpo respecto de l Tierr depende del ángulo con que se intersecn ls respectivs órbits. 3

20 Al cercrse l Tierr el impctor se celer l cer en el cmpo grvittorio terrestre. Podemos estimr el efecto que esto tiene sobre l velocidd v i con que choc con nuestro plnet prtir de l conservción de l energí mecánic. Lejos de l Tierr l energí del bólido es purmente cinétic y vle T = T = m b v r /. Al llegr l superficie T = T( rt ) = mbvi / y su energí potencil es Vr ( ) = mgr ( ) r (5.5). Por conservción de l energí mecánic T b T T Usndo l expresión (5.48) de l velocidd de escpe obtenemos Tr ( ) + Vr ( ) = T (5.68) T T i r e v = v + v (5.69) De quí y de (5.67) result que v i es como mínimo v e. km/s y como máximo unos 70 km/s. Un vlor típico pr un impcto steroidl es 0 km/s mientrs que pr un impcto cometrio es de 56 km/s. Podemos entonces suponer que 30 km/s es l típic escl de velocidd socid con los impctos. L energí cinétic específic de un bólido de ms m b cuy velocidd es v i vle ε i = T i m b = v i V V v i / / 450 ( MJ/kg), ( km/s )/ 30 (5.70) donde V es del orden de l unidd. El vlor de ε i es mucho myor que l energí químic específic de un explosivo como el TNT (ε TNT 47. MJ/kg). Luego igul ms el contenido de energí cinétic de un bólido lnzdo 30 km/s es 00 veces myor que l energí químic de un explosivo militr. L comprción es propid pues veremos que l chocr con el suelo el bólido liber su energí cinétic (es decir l disip) en form de un explosión. Los comets son un mezcl poros de hielo y polvo y su densidd medi es ρ b 06. g/cm 3. L myorí de los steroides y de sus frgmentos son rocosos ( ρ g/cm 3), pero un pequeñ frcción de ellos son metálicos (esencilmente hierro, ρ 78. g/cm 3). Su porosidd vrí desde 0 hst un 70%. Según su composición y porosidd, su densidd medi ρ b está comprendid entonces entre y 7 g/cm 3. L form de los steroides y los comets es irregulr y sus dimensiones lineles vn desde lguns decens de metros vris decens de km. Pr evitr fctores numéricos no esenciles en nuestrs fórmuls vmos suponer que el impctor es un cubo de rist d. Result entonces Ti ( ton TNT) 08ρ, cgsd3 mv (5.7) Aquí ρb, cgs ρb( g/cm 3 ), dm d( m) y expresmos l energí cinétic en términos de tonelds de TNT o de sus múltiplos como el kiloton y el megton 0. El estudio del impcto es muy difícil. De hecho no se pueden encontrr soluciones excts ni que se expresen en términos de fórmuls cerrds y funciones conocids. Est es un situción que se present menudo cundo se estudin fenómenos de l nturlez y lo que se hce en esos csos es recurrir simulciones numérics bsds en sofisticdos códigos. Cbe pregun- b 0 El megton es proximdmente equivlente l energí liberd en l detonción de 0 6 tonelds de TNT. Por definición megton (Mton) = J. 4

21 trse entonces de qué sirven ls estimciones. L respuest es que no se puede encrr el desrrollo de un código si no se tiene un ide previ de cuál es l físic que tiene que contemplr. Aún contndo con los más poderosos supercomputdores, ningún código puede incluir todos los procesos y efectos imginbles. Por lo tnto hy que tener criterios pr decidir qué se debe incluir y qué se puede omitir sin temor de descuidr spectos fundmentles. Por eso ls estimciones son un pso previo indispensble cundo se bord un problem de est clse. Pr nuestrs estimciones numérics usremos un bólido ptrón pr el cul ρ b = 5. g/cm 3, d = 00 m, v i = 30 km/s, que entr en l tmósfer con un inclinción θ = 45 desde l verticl. Con estos dtos result T i 70 megtones (uns 0000 veces más que l energí conjunt de ls explosiones tómics que destruyeron Hiroshim y Ngski fines de l Segund Guerr Mundil). Puesto que existen en el sistem Solr numerosos objetos cuyos tmños llegn hst vris decens de km o más, que circuln en órbits que pueden llegr intersecr l de l Tierr, y ddo que T i escl como d 3, está clro que se trt de objetos en extremo peligrosos. Impcto de un bólido hipervelocidd Si nd fren l bólido ntes de estrellrse, como ocurre en l Lun, el cuerpo l llegr l suelo conserv su velocidd cósmic v i. Vemos qué sucede entonces. Penetrción y frendo L velocidd c s de ls onds elástics en l cortez terrestre (que pueden trnsportr energí lejos del punto del impcto) es lo sumo de 3 5 km/s, según se el mteril de l mism. Luego c s << v (5.7) i Mientrs su velocidd está muy por encim de c s el impctor interctú sólo con el mteril que se llev por delnte. El mteril embestido es empujdo por el proyectil, dejndo detrás un túnel (Fig. 5.3). Por lo tnto durnte l fse principl del frendo l perturbción fect pens un cp muy delgd lrededor de dicho túnel. Considermos desprecible es pequeñ cp. El modelo que result de est hipótesis recibe el nombre de modelo de brrenieve, o de topdor. Si ρ s es l densidd del suelo, l ms brrid por el impctor en un intervlo dt es dm = ρ v dt d. Est ms dquiere l velocidd v, y por lo tnto l cntidd de movimiento s s Por conservción de l cntidd de movimiento, Luego en dt el bólido pierde l cntidd de movimiento dp mgnitud de l fuerz de rrstre es dps = dmsv = ρsv dt d (5.73) dp s + dp = 0 (5.74) b b = ρ v dt d, de modo que l s F dp = b = ρsvd (5.75) dt Se dvierte l lector que pr entender bien lgunos spectos de nuestrs estimciones conviene hber leído previmente los Cpítulos, 4 y 5 de este libro. Veremos que l tmósfer puede frenr cuerpos de pequeño tmño. 5

22 ρ d 3, l ecu- En l (5.75) se reconoce l expresión (4.74) de l fuerz de rrstre. Como m ción de movimiento es dv dt v = l b b (5.76) donde hemos introducido l longitud crcterístic de frendo l = ρb ρ d (5.77) s d v i Fig Impcto hipervelocidd en el suelo. Mientrs l velocidd del cuerpo es mucho myor que l c s el proyectil interctú sólo con el mteril que encuentrs en su cmino, de modo que durnte l fse principl del frendo el impcto no perturb lugres lejdos y sólo fect un zon desprecible lrededor del túnel que excv el proyectil. L (5.76) se puede escribir como d( / v) = dt/ l, que se integr de inmedito dndo de donde obtenemos t = + (5.78) v v l i vi v = (5.79) + vt /l Luego l velocidd disminuye hiperbólicmente en el tiempo crcterístico i l ρbd t* = = v ρ v i s i (5.80) L distnci crcterístic de frendo l corresponde un espesor de suelo tl que l ms brrid es igul l ms del proyectil. En pocs plbrs, en el intervlo t * el bólido penetr en 6

23 el suelo hst un distnci l, su velocidd se reduce l mitd y por lo tnto se disipn ls 3/4 prtes de su energí cinétic, esto es, el grueso de l mism (Fig. 5.4) v(t)/v i T(t)/T i t/t* Fig Mientrs el impctor se entierr en el suelo su velocidd disminuye hiperbólicmente con t. El tiempo crcterístico de frendo es t* = l / v i y l distnci crcterístic l de frendo corresponde un espesor de suelo tl que l ms brrid es igul l ms del proyectil. En t * el bólido recorre l distnci l, su velocidd se reduce l mitd y se disipn ls 3/4 prtes de su energí cinétic. Luego si nuestro bólido ptrón impct sobre un suelo rocoso ( ρ s 5. g/cm 3 ) se enterrrá un profundidd l 00 m en t* s disipndo un energí equivlente 70 megtones. En ese tiempo l perturbción se hbrá lejdo un distnci ct* 0 5 m del lugr del impcto. Lo que sucede después que l velocidd h disminuido hst hcerse sónic es difícil de describir en detlle. Pero ls crcterístics esenciles del fenómeno no dependen de eso, sino de considerciones generles que se puedn hcer fácilmente. L tmósfer puede frenr un bólido? Cd ño ingresn en l tmósfer unos 500 meteoroides de más de 00 kg, que si llegrn l suelo sin frenrse producirín explosiones equivlentes 0 tonelds de TNT o más. Afortundmente l tmósfer brind ciert protección contr estos peligrosos proyectiles. En efecto, mientrs cruz l tmósfer el bólido está sometido esfuerzos mecánicos debidos l frendo cusdo por l fuerz de rrstre (ver el Cpítulo 4). Estos esfuerzos lo pueden frcturr y reducir frgmentos si l presión de estncmiento pe = ρ v (v es l velocidd del bólido y ρ es l densidd del ire) super l resistenci mecánic Y b del cuerpo. Por ejemplo si v = 7 km/s, p e 7. kbr l nivel del suelo. Por otr prte ls propieddes mecánics de los impctores no se conocen bien. Algunos de esos cuerpos (llmdos pils de escombros ) son glomerdos de pequeños frgmentos ligdos muy débilmente por su trcción grvittori mutu y su resistenci mecánic es csi nul, pero otros son monolíticos y su resistenci puede ser de lgunos kbr. Además muchos impctores son muy porosos, hecho que puede tener efectos importntes sobre su deformción y frgmentción. Aquí no vmos entrr en detlles sobre este complicdo sunto y nos limitremos mencionr que se puede mostrr que l myorí de los cuerpos rocosos y cometrios de pequeño tmño ( d d00 m) se desintegrn y disipn su energí en l tmósfer. Por otr prte objetos metálicos de pequeño tmño pueden llegr l suelo enteros. Por lo tnto el lector debe ser prudente l usr nuestrs estimciones cundo se trt de objetos 7

24 con d d00 m. Pero pr tmños myores se puede ignorr l ruptur culquier se l resistenci mecánic del impctor, porque l escl temporl del proceso de frgmentción crece linelmente con d y pr d > 00 m se hce myor que el tiempo requerido pr trvesr l tmósfer. En esos csos se puede suponer que el bólido lleg l suelo como un único cuerpo. Si no ocurre frgmentción podemos estimr el efecto de l tmósfer sobre el movimiento de un proyectil que lleg con un velocidd muy grnde (hipervelocidd) por medio del modelo de brredor de nieve que usmos nteriormente. Pr ello tenemos que observr que l velocidd de gitción térmic de ls moléculs del ire ( 0.3 km/s) es desprecible frente l velocidd del bólido. Todo ocurre en l práctic como si estuviern inmóviles. q () q h (b) Fig Ingreso de un bólido en l tmósfer: () geometrí del problem, (b) modelo proximdo empledo pr ls estimciones. L densidd del ire es ρ. 0 3 g/cm 3 l nivel del mr y disminuye con l ltur, demás en generl l tryectori del bólido es oblicu y se debe tomr en cuent l curvtur de l Tierr (Fig. 5.5). Pero como sólo nos interes clculr órdenes de mgnitud, supondremos que l tmósfer es un cp pln (Fig. 5.5b) de densidd uniforme ρ. 0 3 g/cm 3 y de espesor h = p0 / gρ 86. km ( p 0 br es l presión 3 tmosféric l nivel del suelo). Con un rzonmiento precido l que hicimos ntes obtenemos que l fuerz de rrstre vle F = τρ v d (5.8) 3 El br es un unidd de presión ( br = 0 5 N/m ) que equivle proximdmente un tmósfer. 8

25 Aquí τ / es un fctor que tom en cuent los detlles del flujo lrededor del impctor. El tiempo que trd el bólido en cruzr l tmósfer es del orden de h / vcosθ, luego l vrición de su cntidd de movimiento por el impulso de F es p h/ vcos θ = τρhvd / cosθ, de modo que l vrición reltiv de l cntidd de movimiento del impctor es p p = τρh ρ d θ = ε cos Luego, siempre y cundo no se frgmente, si el prámetro b (5.8) τρ ε = h ρ d cosθ << (5.83) b el bólido chocrá con el suelo sin hber perdido un frcción importnte de su cntidd de movimiento. Se debe observr que ε es inversmente proporcionl d, de modo que los meteoroides grndes, pr los cules ε << (por ejemplo ε 003. pr nuestro bólido ptrón) se frenn muy poco en l tmósfer. Tmbién se puede ver que l energí cinétic de bólidos con ε << es siempre myor que vrios megtones. Es sencillo estimr el efecto del ire sobre l tryectori de un bólido grnde. Puesto que con buen proximción v se mntiene constnte, cruzrá l tmósfer en un lpso del orden de t = h v 03. ( s) cosθ Vcosθ i (5.84) L desvición en rdines de l tryectori del bólido respecto un rect debid l celerción de l grvedd es gt senθ v i tnθ V 0 4 (5.85) y clrmente es desprecible excepto si θ π /. Si el bólido no pierde ms mientrs cruz l tmósfer, usndo l (5.8) result que lleg l suelo con l velocidd v i ( ε ) y l energí cinétic T i ( ε ), de modo que l energí disipd en l tmósfer es Ed ε Ti. De cuerdo con este resultdo nuestro bólido ptrón l cruzr l tmósfer pierde el 6% de su energí cinétic, esto es 6 megtones. No discutiremos quí lo que ocurre con meteoroides pequeños (εt). Todos ellos se destruyen por completo, l myorí en l lt tmósfer. Por otr prte veremos en breve que l pérdid de ms de los impctores de grn tmño es desprecible. Explosión y formción del cráter de impcto Vimos que nuestro bólido ptrón l chocr con el suelo se fren en 3 milisegundos, tiempo en el cul disip un energí cinétic equivlente 54 megtones 4 dentro de un volumen de ~0 6 m 3 que contiene un ms m b kg. Est energí cinétic se convierte en energí intern de dich ms y equivle en promedio 5 MJ/kg, cntidd más que suficiente pr vporizr culquier mteril (el clor ltente de vporizción de ls rocs es del orden de 8 4 Al cruzr l tmósfer disipó 6 megtones de los 70 que trí. 9

26 MJ/kg) y llevr el vpor un tempertur del orden de K. Por lo tnto el bólido y l ms del suelo que brrió se vporizn de inmedito. L liberción csi instntáne de est enorme cntidd de energí provoc un explosión centrd un profundidd d, cuy mgnitud en nuestro ejemplo super mplimente l de ls myores bombs nucleres. En efecto, l presión del vpor que se produce se puede estimr por rzones dimensionles como p* T / d 3, lo que d i p*( Mbr) 0ρ b, cgsv (5.86) Este es un vlor enorme 5, que super por más de 3 órdenes de mgnitud l resistenci mecánic de culquier mteril. Como nd puede contener semejnte presión, se produce un poderos ond de choque que medid que se expnde lrededor del punto de impcto desmenuz y pulveriz l cortez y lnz los frgmentos (llmdos eject) hci rrib y los costdos 6. dejndo un cvidd proximdmente semiesféric llmd cráter trnsitorio (Fig. 5.6). Este proceso de excvción continú hst que l ond de choque se tenú l punto que y no puede frcturr ls rocs de l cortez, luego de lo cul se propg como un ond sísmic. D D () (b) Fig Formción de un cráter de impcto: () l explosión desmenuz el suelo cerc del punto de impcto y lnz los frgmentos hci rrib y los costdos dejndo un cvidd trnsitori (gris oscuro); (b) ls predes de l cvidd trnsitori se derrumbn, prte de los frgmentos ce dentro de l mism y en sus lrededores y el cráter tom su form definitiv. Podemos estimr el tmño del cráter trnsitorio comprndo l energí T i de l explosión con l energí E c necesri pr frgmentr los mteriles del suelo y con l energí potencil grvittori E g que hy que suministrr los frgmentos pr que slgn del cráter. El orden de mgnitud de E c result de multiplicr el volumen de un semiesfer de diámetro D por l crg de ruptur Y del mteril del suelo. Result entonces (redondendo π 3) que Ec YD 3 / 4 (5.87) 5 Mbr = 0 6 br = 0 N/m. 6 Los frgmentos expulsdos tienen tod clse de tmños, desde prtículs de polvo hst grndes bloques de roc y slen disprdos en tryectoris blístics con enormes velociddes. Algunos de ellos, cuy velocidd super l velocidd de escpe, se lejn permnentemente y quedn en órbit lrededor del Sol. Otros vuelven cer, lgunos muy lejos del punto del impcto, otros más cerc. Los myores pueden su vez dr lugr impctos secundrios con formción de cráteres. 30