Ecuaciones Integrales Lineales

Transcripción

1 Ecuciones Integrles Lineles Antonio Hernández Cbrer Deprtmento de Físic Básic Universidd de L Lgun Tenerife. Isls Cnris jhernn@ull.es 6 de febrero de 8

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3 Índice generl. Ecuciones integrles lineles 7.. Introducción De niciones simbólics Fredholm clse Fredholm clse Volterr clse Voterr clse Ejemplo: Teorí del trnsporte de neutrones. Ecución de Boltzmnn Ejemplo: Representción momento en mecánic cuántic...7. Ejemplo. Ecución diferencil Trnsformds integrles Fredholm de o clse Fedholm clse Volterr clse Volterr clse Ejemplo Núcleo como función genertriz Teorems de Fredholm Teorem I: Teorem II: Teorem III: Ecuciones integrles con núcleos seprbles o degenerdos Series de Neumnn. Núcleos pequeños Ejemplo Método de l resolvente de Fredholm

4 4 ÍNDICE GENERAL.8.. Ejemplo Método de Hilbert-Schmidt. Núcleos simétricos Norm de un función Convergenci de funciones Producto esclr de dos funciones Conjunto de funciones ortonormles Coe cientes de Fourier de f(x) Teorem Teorem: Aplicción ls ecuciones integrles Teorem de Hilbert-Schmidt Teorem del desrrollo del núcleo Método de Hilbert-Schmidt: Ec. inhomogénes Ecuciones de Volterr

5 ÍNDICE GENERAL 5 PREÁMBULO Cundo estudib físics, hce y uns cunts décds, ls ecuciones integrles llmron mi tención por su potencil plicbilidd. Sin embrgo, hst mucho tiempo después, trbjndo con problems de fotoexcitción, no tuve que utilizrls. Mi experienci en resolver problems bsdos en l ecución mtricil de Liouville h hecho que encuentre un sinfín de posibiliddes pr plicr l teorí de ls ecuciones integrles. Sin embrgo, estos son unos simples puntes, restringidos ls ecuciones lineles. Escribir un libro de ecuciones integrles es un trbjo mucho más complejo y que requiere ños de dedicción. Aquí me centrré en unir generlidd con simplicidd ddo que tn solo tenemos poco más de quince dís de curso cdémico pr desrrollr el temrio. Estos puntes están dedicdos todos los profesores que son víctims de l extorsión intelectul de es nuev modlidd de chrltán de feri llmd pedgogo.

6 6 ÍNDICE GENERAL

7 Cpítulo Ecuciones integrles lineles.. Introducción Ls ecuciones integrles lineles son quells que contienen l función incógnit bjo el signo integrl. Es decir, l incógnit form tmbién prte del integrndo. Se suelen clsi cr de dos forms: por el tipo de límites de integrción y por l ocurrenci de l función incógnit. El primer tipo de clsi cción serí:. Ecuciones de Fredholm, cundo los límites de integrción son de nidos.. Ecuciones de Volterr, si lguno de los límites es vrible. Ateniéndonos l función incógnit, l clsi cción será:. Primer clse, cundo l función incógnit sólo prece en el integrndo.. Segund clse, si l función incógnit prece dentro y fuer de l integrl... De niciones simbólics.... Fredholm clse f(x) = K(x; t)y(t)dt: (.) 7

8 8 CAPÍTULO. ECUACIONES INTEGRALES LINEALES.... Fredholm clse y(x) = f(x) Volterr clse K(x; t)y(t)dt: (.) f(x) = Z x Voterr clse K(x; t)y(t)dy: (.3) y(x) = f(x) + k(x; t)y(t)dt: (.4) Cso de que f(x) = estrímos en el cso de ls ecuciones homogénes. Si f(x) 6=, tendrímos ls inhomogénes. El todos los csos l únic función desconocid es y(x). L función de dos vrible K(x; t) recibe el nombre de N UCLEO (Kernel). Ls ecuciones integrles suelen precer en determindos problems físicos, como veremos. Conviene nlizr sus métodos de resolución por dos rzones fundmentles:. Pr resolver ecuciones diferenciles con determinds condiciones prticulres de contorno. Recordemos que, en ls ecuciones de Bessel, l condición r = determinb si existí o no l función de Neumnn N n (r) como solución. En l ecuciones de Bessel modi cds, l condición r! determinb l existenci de l solución I n (r). Ls ecuciones integrles relcionn l función incógnit no sólo con sus vlores en l fronter trvés de ls derivds, sino tmbién en tod un región que incluye dich fronter. Los límites de integrción determinn y de por sí un región con uns condiciones previs, sin tener que ñdir l nl condiciones dicionles.. L form de los núcleos depende de los vlores de contorno. Por lo tnto, ls ecuciones integrles son compcts (utoconsistentes) y pueden ser un form más poderos o conveniente pr resolver problems que ls ecuciones diferenciles. Además, existen problems como los fenómenos de trnsporte o difusión que no dmiten un form explícit como ecución diferencil.

9 .. DEFINICIONES SIMBÓLICAS Ejemplo: Teorí del trnsporte de neutrones. Ecución de Boltzmnn. L ecución fundmentl del trnsporte de neutrones se obtiene trvés de l ecución de l continuidd de neutrones. Es decir, Producción=Pérdids+Fugs. En l prte de producción de neutrones tendremos esencilmente ls fuentes: S(v;! ;! r )dvd! ; (.5) que represent S neutrones generdos por cm 3 y segundo, con velociddes comprendids entre v y v + dv, moviéndose en l dirección!, comprendid dentro de un ángulo sólido! d. Otr fuente dicionl de neutrones es l proporciond por ls colisiones que dispersn quellos neutrones que, en principio, se movín dentro de otros márgenes pero psn estr dentro de los prámetros v;! ;! r decudos después de l dispersión. Es decir, que ibn descrridos pero que, después de colisionr con l fe verdder, se grupn en el redil pertinente. L proporción debid l scttering (dispersión) viene dd por X (v; v ;! ;! )'(v ;! ;! r ): (.6) s donde P s es l probbilidd (mcroscópic) de que un neutrón con velocidd v y dirección! se disperse psndo tener velocidd! v y dirección!. L cntidd '(v ;! ;! r ) represent l ujo totl de neutrones (neutrones que trviesn determind áre en cierto tiempo). El ujo vectoril lo podemos poner como! ' =! ', con l dirección de l velocidd neutrónic y mgnitud igul l número de neutrones con velocidd v que trviesn, por segundo, un unidd de áre situd l posición! r, y en un dirección!.integrndo sobre tods ls velociddes iniciles (v )! y sobre tods ls direcciones, obtenemos el término de producción de neutrones debido los procesos dispersivos Z Z X (v; v ;! ;! )'(v ;! ;! r )dv d! : (.7) s

10 CAPÍTULO. ECUACIONES INTEGRALES LINEALES Ls pérdids se pueden producir por fugs, en cuyo cso vienen descrits por el teorem de Guss,! r! ' (v;! ;! r ) (.8) que es l cntidd de neutrones que escpn por unidd de super cie con dirección!. Tmbién existen pérdids por bsorción de lgún medio mteril bsorbente (gr to, gu pesd,...), y por dispersión de los buenos neutrones iniciles hci el teismo (dispersión con ls sgrds escriturs y el sentido común) con velociddes más bjs, fuer del rngo en estudio. Ests pérdids vendrí descrits por X (v) + X (v) '(v;! ;! r ); (.9) s donde P (v) represent l probbilidd de que un neutrón se bsorbido y P (v) de que se disperse. s Evidentemente, si el medio no es homogéneo ni isótropo, ls P deberín

11 .. DEFINICIONES SIMBÓLICAS incluir l dependenci con l posición y dirección, demás de l dependenci con l velocidd. L ecución de continuidd qued entonces como Z Z X (v; v ;! ;! )'(v ;! ;! r )dv d! + S(v;! ;! r ) = (.) s! r!! X ' (v; ;! r ) + (v) + X s (v) '(v;! ;! r ); con! ' =! '. Est es l ecución de Boltzmnn pr el estdo estcionrio, donde se equilibrn l producción y pérdids de neutrones. Como vemos, es un ecución integrl. En l nterior form l ecución es csi imposible de trtr. El personl utiliz proximciones que lleguen soluciones de compromiso entre l exctitud físic y l posibilidd mtemátics de resolverls. Ls integrles nteriores se extienden todo el volumen del rector nucler correspondiente. L ecución es un de Fredholm de clse...6. Ejemplo: Representción momento en mecánic cuántic. es L ecución de Schrödinger, en l representción en el espcio ordinrio, o, de form más simpli cd, ~ m r (! r ) + V (! r ) (! r ) = E (! r ); (.) ( r + ) (! r ) = v(! r ) (! r ); (.) m E y v(! r ) = m V (! r ). L nterior ecución puede gener- ~ ~ siendo = lizrse como ( r + ) (! Z r ) = v(! r ;! r ) (! r )d 3! r ; (.3) siempre que el potencil se puntul, es decir, v(! r ;! r ) = v(! r )!r! r : Es decir, cundo trbjmos con un intercción de tipo locl. Trnsformn-

12 CAPÍTULO. ECUACIONES INTEGRALES LINEALES do por Fourier,!k = (! r ) = () 3= () 3= Z Z (! r ) e i! k!r d 3! r ;!k e i! k!r d 3! k : (.4) Recordemos que! k =! p = ~ no de ond. Trnsformndo l ecución integrl, Z ( r + ) (! r )e i! k!r d 3! Z Z r = v(! r ;! r ) (! r )e i! k!r d 3! r d 3! r ; (.5) donde r sólo ctú sobre (! r ): Integrndo por prtes el miembro de l izquierd, Z (k + ) (! r )e i! k!r d 3! r = () 3= k + (! k ): (.6) Sustituyendo (! r ) por su trnsformd () 3= Si llmmos Z Z Z f(! k ;! k ) = () 3 llegmos que () 3= k + (! k ) = v(! r ;! r )(! k )e i!k! r! k! r d 3! r d 3! r d 3! k : (.7) Z Z Z k + (! Z k ) = v(! r ;! r )e i!k! r! k! r d 3! r d 3! r (.8) f(! k ;! k )(! k )d 3! k ; (.9) que es un ecución homogéne de Fredholm de clse, en l cul corresponde l utovlor. En el cso de intercciones locles, f(! k ;! k ) = f(!! k k ), lo cul fcilitrá l resolución del problem. Pr hcer el nterior plntemiento hemos supuesto que l función y el potencil dmite trnsformd de Fourier (TF). Pr el potencil de un oscildor linel, V (! r ) = r, no existen ls integrles necesris, y que ls TF conducen oscilciones divergentes.

13 .. DEFINICIONES SIMBÓLICAS Ejemplo. Ecución diferencil. Existen csos donde h de decidirse si es más conveniente resolver un ecución integrl (EI) que un diferencil (ED). Ambs son utotrnsformbles entre sí. Supongmos que tenemos un ED genéric de o grdo y (x) + A(x)y (x) + B(x)y(x) = g(x); (.) con ls condiciones de contorno y() = y, y () = y. Integrndo obtenemos y = Z x Ay dx Z x Bydx + Z x Integrndo por prtes l primer integrl de l derech, y = Ay Z x (B A )ydx + Z x gdx + y : (.) gdx + A()y + y ; (.) domde hemos ido bsorbiendo ls condiciones de contorno. Integrndo nuevmente, y = Z x Aydx Z x Z x Z x Z x [B(t) A (t)] y(t)dydx + g(t)dtdx + [A()y + y ] (x ) + y : (.3) Conviene reescribir l ecución integrl de form más clr. Pr ello provechmos l relción Z x Z x Z x f(t)dtdx = (x t)f(t)dt (.4) iguldd que puede comprobrse diferencindo mbos miembros. L únic diferenci está en un constnte que desprece si x!. Por lo tnto, y(x) = Z x Introduciremos l siguiente brevición: f(x) = Z x fa(t) + (x t) [B(t) A (t)]g y(t)dt + (x t)g(t) + [A()y + y ] (x ) + y : (.5) K(x; t) = (x t) [B(t) A (t)] A(t); (x t)g(t) + [A()y + y ] (x ) + y : (.6)

14 4 CAPÍTULO. ECUACIONES INTEGRALES LINEALES con lo que y(x) = f(x) + Z x K(x; t)y(t)dt; (.7) que es un ecución de Volterr de clse. Un ejemplo clásico de lo rrib expuesto es el oscildor rmónico: y +! y = ; con y() = y () = : (.8) En este cso, A(x) =, B(x) =!, g(x) =, con lo que K(x; t) = (t x)! y f(x) = R x (x t) dt + x = y l ecución integrl correspondiente serí Z x y(x) = x +! (t x)y(t)dt; (.9) Volterr de clse. Prece fácil ver que stisfce y(x) = dos condiciones de contorno y() = y(b) = sin!x. Si se diern! (.3) tendrímos que modi cr el procedimiento y que desconocemos y (). L primer integrl conduce Volviendo integrr, y = y = Si imponemos que y(b) = =) Z x! ydx + y : (.3) Z x! (x t)y(t)dt + y ()x: (.3)! (b t)y(t)dt = by () ) y () =! (b t)y(t)dt b ) y =! (x t)y(t)dt +! b (b t)y(t)dt; (.33)

15 .. DEFINICIONES SIMBÓLICAS 5 Figur.: Núcleo pr el oscildor rmónico. o bien, y(x) =! Z t b (b x)y(t)dt +! b x (b t)y(t)dt: (.34) b Si de nimos un núcleo tl que t=b(b K(x; t) = x=b(b x) pr t < x t) pr x < t ) K(x; t) = t b (b x)(x t) + x (b t)(t x), (.35) b donde (x) es l función de esclón de Heviside.Sustituyendo llegmos que y(x) =! K(x; t)y(t)dt (.36) que es un ecución de Fredholm de clse, homogéne.

16 6 CAPÍTULO. ECUACIONES INTEGRALES LINEALES.3. Trnsformds integrles Tod ecución que su núcleo teng l form K(x; t) = K(x t) es bordble medinte trnsformds integrles, siempre y cundo tnto f(x) como k(x; t) dmitn trnsformd. Si los límites son entre e, lo propido es recurrir Fourier. Si no, Lplce..3.. Fredholm de o clse f(x) = Z K(x t)'(t)dt; (.37) donde '(x) es l incógnit. Empezmos plicndo el teorem de convolución: f(x) = Z (t)(t)e ixt dt; (.38) donde (t) y (t) son ls trnsformds de Fourier de K(x) y '(t): Deshciendo l trnsformción, (t)(t) = p Z f(x)e ixt dx = F (t); (.39) donde hemos usdo (t) = p Z K(x)e ixt dx; (t) = p Z '(x)e ixt dx: (.4) junto l teorem de convolución. Así, (t) = F (t) (t) (.4) y slvo constnte. '(x) = p Z F (t) (t) e ixt dt; (.4)

17 .3. TRANSFORMADAS INTEGRALES Fedholm clse. Z '(x) = f(x) + K(x t)'(t)dt: (.43) Siguiendo el mismo procedimiento llegmos que '(x) = p Z.3.3. Volterr clse. F (t) p e ixt dt: (.44) (t) Cundo lguno de los límites es inde nido, tenemos un ecución de Volterr. En dicho cso es consejble recurrir ls trnsformds de Lplce. Prtimos de f(x) = Z x '(t)k(x t)dt: (.45) Aplicmos l trnsformd de Lplce l ecución y el teorem de convolución: Z x L [f(x)] = L '(t)k(x t)dt = L ['(x)] L [K(x)] ; (.46) por lo que Deshciendo l trnsformd, F (x) = (s)(s) =) (s) = F (s) (s) : (.47) '(x) = L F (s) (s).3.4. Volterr clse. '(x) = f(x) + = i Z x Z "+i " i Sólo hy que repetir el proceso nterior: Z x L ['(x)] = (s) = L [f(x)] + L '(t)k(x xs F (s) e ds: (.48) (s) K(x; t)'(t)dt: (.49) t)dt = F (s) + (s)(s); (.5)

18 8 CAPÍTULO. ECUACIONES INTEGRALES LINEALES debido l teorem de convolución. Deshciendo l trnsformd,.3.5. Ejemplo (s) [ (s)] = F (s) =) (s) = F (s) (s) : (.5) '(x) = L [(x)] = i Vmos resolver l ecución Z "+i e sx " i F (s) ds: (.5) (s) '(x) = x Z x (t x)'(t)dt; (.53) donde f(x) = x =) F (s) = L [f(x)] = R e sx f(x)dx = s ; K(x) = x =) (s) = s, =. Por lo tnto, (s) = =s =s = s : (.54) s + Buscmos l ntitrnsformd en uns buens tbls, si no se nos petece integrr, y '(x) = ex e x = sinh(x): (.55).4. Núcleo como función genertriz. En lguns ocsiones el núcleo de ls ecuciones integrles es función genertriz de lgun función especil conocid. Estos csos son pr espbildos e individuos con memori bien desrrolld. Ests ecuciones son muy peculires y nunc se puede generlizr el método. Supongmos que un ecución integrl nos prece con el siguiente specto: f(x) = Z '(t) p dt, con x. (.56) xt + x

19 .4. NÚCLEO COMO FUNCIÓN GENERATRIZ. 9 Est es un ecución inhomogéne de Fredholm de clse. Lo norml es no loclizr qué es lo que gener l núcleo, por lo que el procedimiento no es nd práctico. Afortundmente, nuestro ejemplo es fácil (lo hemos escogido sí) y p = X P l (t)x l ; (.57) xt + x combinción de polinomios de Legendre. Automáticmente uno se le ocurre desrrollr todo en serie de dichos polinomios, en prticulr X '(x) = n P n (x): (.58) Así, f(x) = Z dt n= l= X P l (t)x l l= X n= n P n (t): (.59) Usndo l relción de ortogonlidd de ls funciones de Legendre, X f(x) = x n n n + : (.6) n= n= Derivndo obtenemos que X f (x) = nx n X n n + =) f (x = ) = n n n + ; (.6) que no depende de x. Derivndo n veces y tomndo el punto x =, vemos que X f (n) n (x) = n! n + = f (n) () =) n = n + f () (); (.6) n! n= con lo que f() = y el término generl serí y l solución puede escribirse como X '(t) = n= n = n + f (n) () (.63) n! n= n + f (n) () P n (t): (.64) n!

20 CAPÍTULO. ECUACIONES INTEGRALES LINEALES.5. Teorems de Fredholm Son plicbles ls ecuciones integrles de Fredholm inhomogénes. Tomemos y(x) = f(x) + K(x; t)y(t)dt (.65) con =. Introducimos el intervlo x = t = b. Si = b =, no n hbrí form de plicr el procedimiento que vmos contr. Sólo es posible pr intervlos nitos. Llmemos K pq = K( + px; + qt), donde p; q = ; ; n. L integrl nterior puede expresrse como nx K pq y q t; (.66) q= y que, un p jo determindo, t dependerá de q. En l expresión nterior y p debe ser tl que nx y(x) = y p : (.67) Lo mismo podemos hcer con l inhomogeneidd, descomponiéndol en intervlos in nitesimles. nx f(x) = f p : (.68) Así, l ecución puede reescribirse como y = f + y = f + y n = f n + p= p= nx K q y q t; pr p = ; q= nx K q y q t; pr p = ; q=. nx K nq y n t; pr p = n; (.69) q=

21 .5. TEOREMAS DE FREDHOLM o bien y y n np K q y q t = f ; p = q=.. np K q y q t = f n ; p = n q= (.7) es decir, hemos generdo un sistem de n ecuciones con n incógnits, cuyo descriminnte es K t K t K n t K t K t K n t D n = : (.7).... K n t K n t K nn t Este sistem tendrá solución pr culquier vlor de ls f p siempre y cundo hy lgun de ells no nul. Es decir, sólo hbrá solución pr l ecución inhomogéne, donde D n 6=. En este cso podemos de nir el sistem djunto como nx z p = fp + K qp z q t; (.7) q= que se diferenci del originl por l trsposición de l mtriz D n. Este sistem tmbién tendrá solución, de form que.- Si D n 6= l solución es únic pr y n y pr el trspuesto z n..- Si D n =, el sistem es homogéneo y trtble por otro método, o inhomogéneo y difícil de trtr. Vymos l homogéneo nx K pq y q t = : (.73) y p q= En este cso puede hber solución del sistem trspuesto tmbién. Ahor bien, el número de soluciones linelmente independientes, pr el sistem homogéneo, es n r, siendo r el rngo de l mtriz D n. Es decir, tiene un bse de utoestdos de dimensión n r. Puede que existn soluciones del inhomogéneo con D n =, pero sólo pr cierts inhomogeneiddes f(x) muy determinds. Veámos cules. L ecución djunt de l homogéne l hbímos de nido como nx K qp z q t = ; (.74) z p q=

22 CAPÍTULO. ECUACIONES INTEGRALES LINEALES con un fmili de soluciones o espectro! z p. Multiplicndo por (4.9) y sumndo tods ls posibles soluciones, X X X y p z p K pq z p y q t = ; (.75) puesto que X y p z p p p X X z p K pq y q t p q p q X X y p K qp z q t + p q " # " # X X X K pq y q t K qp z q t = : (.76) p q Como quier que P q K qpz q t = z p y P q K pqy q t = y q, sustituyendo llegmos l iguldd (4.). Por otro ldo, l inhomogéne es nx y p = K pq y q t + f p ; (.77) l que multiplicremos por z q y sumremos todos los p: q= nx nx (y p K pq y q t)z p = p= q= q nx f p z p : (.78) Pr que el sistem homogéneo e inhomogéneo sen comptibles, nx nx K pq y q t = =) f p z p = : (.79) y p q= Es decir, ls inhomogeneiddes f p hn de ser ortogonles ls soluciones de l djunt de l homogéne, siempre que D n =, pr poder tener solución de l inhomogéne. Así, podemos y enuncir los tres teorems de Fredholm:.5.. Teorem I: O l ecución integrl linel de especie, no homogéne, y(x) = f(x) + R b K(x; t)y(t)dt tiene solución únic (D n 6= ), pr un mpli clse de funciones f(x), ó l ecución integrl homogéne tiene, l menos, un solución no trivil. p= p=

23 .6. ECUACIONES INTEGRALES CON NÚCLEOS SEPARABLES O DEGENERADOS Teorem II: Si pr l ecución integrl dd ocurre l primer lterntiv, entonces tmbién se produce pr l trspuest z(x) = g(x) + R b K(t; x)z(t)dt Teorem III: En el cso de que se produzc l segund lterntiv, l condición necesri y su ciente pr que exist solución de l inhomogéne es que R b z h(x)f(x)dx =, es decir, l inhomogeneidd h de ser ortogonl l trspuest de l homogéne. En este cso no existe solución únic, pues y(x)+h(x) es tmbién solución siempre que y(x) lo se de l inhomogéne y h(x) de l homogéne..6. Ecuciones integrles con núcleos seprbles o degenerdos. P Cundo el núcleo puede escribirse como K(x; t) = n N j (x)m j (t), l integrl puede reemplzrse por un sistem de ecuciones lgebrics. Pr ello n h de ser nito. Prtmos de un ecución integrl genéric y(x) = f(x) + j= K(x; t)y(t)dt; (.8) cuyo núcleo es seprble en polinomios o ecuciones trscendentles, tl como pued ser sin(x t) = sin x cos t cos x sin t. Siempre existen métodos proximdos pr reducir culquier función un de vribles seprds. En el cso generl, y(x) = f(x) + = f(x) + nx N j (x)m j (t)y(t)dt j= nx N j (x) j= = f(x) + M j (t)y(t)dt nx N j (x)y j ; (.8) j=

24 4 CAPÍTULO. ECUACIONES INTEGRALES LINEALES puesto que y j = R b M j(t)y(t)dt es un constnte. Premultiplicmos por M i (x) e integrmos entre y b: M i (x)y(x)dx = y i = M i (x)f(x)dx + que podemos escribir en form vectoril como y i = f i + nx y j ij =) j= nx j= M i (x)n j (x)y j dx; (.8)! y = (I A)! f ; (.83) siendo I l mtriz identidd n n, y l mtriz A es conocid. Evidentemente, l condición necesri y su ciente pr que el sistem teng solución (no trivil) y que ést se únic es que det(i A) 6= : (.84) Est condición se cumple siempre pr ls ecuciones de Fredholm, siempre y cundo l no coincid con ningún utovlor de l ecución homogéne. En el cso en que det(i A) =, l ecución homogéne (I A)! y = tiene solución, unque no l teng l complet. Consideremos un ecución homogéne y su trspuest: y(x) = z(x) = K(x; t)y(t)dt; con K(x; t) = K(t; x)z(t)dt; con K(t; x) = nx N j (x)m j (t); j= nx N j (t)m j (x); (.85) donde sólo hemos trspuesto el núcleo. Pr z(x) l mtriz A quedrí trspuest. Es decir, I h A T = (I h A) T y det (I h A) T si det (I h A) =, por lo que est ecución homogene trspuest tendrá, l menos, un solución. Cremos el vector z i = z(t)n i (t)dt: Si el determinnte det (I h A) es nulo pueden existir cierts funciones f(x) determinds de form que tmbién teng solución l ecución inhomogéne, j=

25 .6. ECUACIONES INTEGRALES CON NÚCLEOS SEPARABLES O DEGENERADOS.5 por plicción inmedit del o teorem de Fredholm. L condición pr ello P es que n z i f i = : Con esto i= = = nx i= nx i= = nx i= N i (t)z(t)dt M i (x)f(x)dx = f(x) N i (t)z(t)m i (x)dt f(x) =) = dx K(x; t)z(t)dt dx f(x)z(x)dx f(x)z(x)dx = : (.86) condición pr que l inhomogéne teng solución, Es decir,! f h de ser ortogonl! z. Ejemplo: con Tengmos l ecución homogéne de Fredholm y(x) = Z + L mtriz A tendrá por elementos = = = Z + = Z + Z + N (x) = x; N (x) = ; M (t) = ; M (t) = t: M (x)n (x)dx = M (x)n (x)dx = M (x)n (x)dx = Z + (x + t) y(t)dt; (.87) Z + M (x)n (x)dx = Z + Z + Z + xdx = ; dx = ; x dx = =3; (.88) xdx = ; (.89)

26 6 CAPÍTULO. ECUACIONES INTEGRALES LINEALES y, por tnto, (I h A) = h 3 h ; (.9) 4 cuyo determinnte es det (I h A) = 3 h. Pr l ecución homogéne que tenemos, det (I h A) = nos determin sus utovlores. Así, 4 3 h = =) h = p 3. Con los utovlores en l mno determinmos los utovectores de l homogéne que, pr h = p 3 p 3 p 3 3 y y =, serí ; (.9) que nos conduce que y = p 3y =) y = C ; y = p 3C. El utovector serí y h (x) = X y i N i (x) = C ( p 3x + ) (.9) Repitiendo el proceso pr el otro utovlor h = p 3, obtenemos el otro utovlor p y h (x) = C ( 3x + ): (.93) En generl, y pr problems de físic, result conveniente normlizr estos utovlores, determinndo ls constntes C i. Culquier combinción y(x) = y h (x) + y h (x) es solución del problem. Vmos completr el problem resolviendo un inhomogéne cuy prte homogéne se l nterior: p Z 3 + y(x) = f(x) + (x + t) y(t)dt: (.94) En principio dejmos libre l inhomogeneidd, pero hemos de tener presente que l constnte coincide con uno de los utovlores de l homogéne. Est circunstnci nos v condicionr f(x). Pr que l inhomogéne teng solución R b f(x)z i(x)dx = ; correspondiendo l z i (x) l utofunción cuyo utovlor es el problemático. Vmos clculr ls utofunciones pr l mtriz A T. En nuestro cso A T = ji = 3 =) I h A T = 3 4 z+ = y =) 3 = =) = + p p 3x : (.95) z = y = 3x

27 .7. SERIES DE NEUMANN. NÚCLEOS PEQUEÑOS 7 Este resultdo er previsible dd l simetrí del núcleo. Si se cumple que Z f(x) + p 3x dx = ; el problem inhomogéneo tiene solución. Ls inhomogeneiddes más sencills serán del tipo f(x) = x +b, con = 3b. Un cso podrí ser f(x) = 3x. Est función es ortonorml ls soluciones de l trspuest de l homogéne. Resolvmos p Z 3 + y(x) = 3x + (x + t) y(t)dt: (.96) Recordemos que, pr h = p 3, y h(x) = C ( + p 3x), y que y(x) = f(x) + X N j (x)y j : Hbrí que clculr el vlor de ls y j trvés de l ecución mtricil de l inhomogéne! y = (I A)! f : Es decir, y y = p 3 p 3 j= f donde f i = R + f(x)m i(x)dx. En nuestro cso f = R + (3x ) dx = x 3 xj = y f = R + (3x ) xdx = 3 4 x4 x =. Es decir, y i quedrín como dos constntes indeterminds que llmremos y b = p 3: Por lo tnto, y(x) = 3x p 3 + x + p 3 = 3x p 3 + (x + p 3):.7. Series de Neumnn. Núcleos pequeños El método de Neumnn es un procedimiento itertivo que sólo es válido pr núcleos pequeños. Prtimos de un ecución inhomogéne de Fredholm de clse y(x) = f(x) + f ; K(x; t)y(t)dt;

28 8 CAPÍTULO. ECUACIONES INTEGRALES LINEALES y el primer pso consiste en reemplzr l incógnit del integrndo por l inhomogeneidd, y (x) = f(x) =) y (x) = f(x) + Volvemos repetir el proceso, = f(x) + con lo que = f(x) + K(x; t)f(t)dt: (.97) y (x) = f(x) + K(x; t) [y(t)] dt K(x; t) f(t) + K(t; t )f(t )dt dt K(x; t)f(t)dt + dt dt K(x; t )K(t ; t )f(t ) y (x) = u (x) + = u (x) + u (x) + u (x);(.98) y (x) = u (x) = f(x); K(x; t)f(t)dt = u (x) + u (x); y (x) = u (x) + u (x) + u (x); X y n (x) = u (x) + + u n (x) = u n (x): Cso de que exist solución, y est se únic, hy que demostrr que lm y n(x) = n! y(x), donde y(x) es l solución de l ecución integrl. Es decir, y(x) = P u n (x). Si no de hubiern incluído ls s en los desrrollos podrímos n= hber escrito que y(x) = n de Cuchy, P n= n= u n (x). Aplicndo el teorem de convergenci j n u n (x)j = jj n jmj n jb j n ; (.99) siendo M el máximo vlor que lcnz K(x; t) en el recinto cotdo [; b]. Es decir, jk(x; tj < M. Podemos hcer lo mismo pr el término de orden n +. Dividiéndolo por el de orden n, jj jmj jb j < ; (.)

29 .7. SERIES DE NEUMANN. NÚCLEOS PEQUEÑOS 9 que es l condición su ciente pr que converj l serie. L condición necesri puede resumirse en que, si utilizmos l ecución homogéne socid, jj < j e j ; siendo e el menor de los utovlores de l homogéne..7.. Ejemplo Tommos y(x) = x + Z (t x)y(t)dt: y (x) = x y (x) = x + Z Z y (x) = x; (t x)tdt = x + 3 ; Z dt dt (t x)(t t )t = (.) x x; y 3 (x) = x x 9 : (.) y sí sucesivmente. Por recurrenci se puede observr (por un muy buen observdor, por lo menos de Nciones Unids) cómo v ser el término generl de l serie: y(x) = x + nx ( ) j x 3 j j= que son dos progresiones geométrics. Nuestr solución serí y(x) = lm n! y n(x) = x + =3 4=3 nx ( ) j 3j ; (.3) j= x =3 4=3 = 3 4 x + 4 : (.4) En este cso l solución es exct, puesto que hemos sido tn listos que hemos loclizdo un serie buen y se cumple que mx jk(x; t)j =, b =, = = con lo que jj jmj jb j = que es myor que, no cumpliéndose l condicioón su ciente. Pero existe solución y que los utovlores de l homogéne son h = i p 3. Como < p 3, se cumple l condición necesri y, evidentemente, hy solución.

30 3 CAPÍTULO. ECUACIONES INTEGRALES LINEALES.8. Método de l resolvente de Fredholm Tod ecución integrl de Fredholm y(x) = f(x) + k(x; t)y(t)dt (.5) puede reescribirse como X y(x) = f(x) + K n+ (x; t) n f(t)dt; (.6) siendo K n (x; t) = n= K (x; t) = K (x; t) = k(x; t); k(x; t)k(t ; t)dt ; k(x; t)k(t ; t) k(t n ; t)dt dt n ; (.7) que es el mismo desrrollo que se h hecho y pr ls series de Neumnn, y con ls misms condiciones. Tmbién existe l posibilidd de escribir y(x) = f(x) + donde R(x; t) recibe el nombre de resolvente, siendo R(x; t; ) = R(x; t; )f(t)dt; (.8) X K n+ (x; t) n ; (.9) n= y el método de Neumn no serí más que l plicción pso pso de este método. Resumiendo, se descompone l integrl en un serie de sumndos, siendo el número de éstos in nito. Posteriormente se clcul el límite de l sum. Después de l plicción del método de Fredholm se lleg expresiones tles como D(x; t; ) R(x; t; ) = : (.) D().

31 .8. MÉTODO DE LA RESOLVENTE DE FREDHOLM 3 Clculndo los ceros de D() conoceremos ls singulriddes de R(x; t; ). Este método es más poderoso que el de Neumnn, pues sirve pr todo el espcio excepto ls singulriddes. Tiene el inconveniente de ser enormemente pesdo y tedioso. Veámoslo: D(x; t; ) = k(x; t) dz k(x; t) k(x; z) k(z; t) k(z; z) + +! +! dzdz k(x; t) k(x; z) k(x; z ) k(z; t) k(z; z) k(z; z ) k(z ; t) k(z ; z) k(z ; z ) ; D() = k(z; z)dz + k(z; z) k(z; z ) k(z; z ) k(z ; z ) dzdz = A: Como vemos, se gn un orden de potenci respecto l método de Neumnn, y tiene l ventj de que puede verse su estructur nlític, sí como l solución, sin tener que clculrl previmente ni totlmente..8.. Ejemplo y(x) = x + Z t(x + t)y(t)dt: (.) Hcemos el desrrollo de Fredholm hst orden 3 (hst 3 ). En este cso d l csulidd de que el resultdo es excto pr ese orden. y(x) = f(x) + L resolvente serí R(x; t; ) = D(x;t;), donde D() D(x; t; ) = k(x; t) Z R(x; t; )f(t)dt; con k(x; t) = t(x + t): (.) dz+! Z Z dzdz + ; (.3)

32 3 CAPÍTULO. ECUACIONES INTEGRALES LINEALES de donde k(x; t) k(x; z) k(z; t) k(z; z) = t(x + t) z(x + z) t(z + t) z(z + z) = = z 3 t + z t(x + t) zt x =)(.4) Z z 3 t + z t(x + t) zt x dz = 4 t + 3 t(x + t) t x: k(x; t) k(x; z) k(x; z ) k(z; t) k(z; z) k(z; z ) k(z ; t) k(z ; z) k(z ; z ) = t(x + t) z(x + z) z (x + z ) t(z + t) z(z + z) z(z + z ) t(z + t) z(z + z ) z (z + z ) = = t x t(x + t) =) D(x; t; ) = t(x + t) + + t + : (.5) 3 4 Por otr prte, D(), que h de coincidir con el discriminnte del sistem, es D() = Z z dz +! Por tnto, l resolvente será R(x; t; ) = D(x; t; ) D() Con ell encontrmos que D() Z = Z Z D() t t 3 x (x + t) + y(x) = x + 4z z z (z + z ) dzdz = t t(x + t) + x = (.6) t(x+t) + t (.7) Z f(t)d(x; t; )dt = (.8) t (x + t) + t dt 3 4 =) (.9) D () 3 + x + 7 4D() ; (.) donde y hemos sustituido l integrl. Est es l solución hst orden.

33 .8. MÉTODO DE LA RESOLVENTE DE FREDHOLM 33 Utilizndo el método de ls series de Neumnn el resultdo serí: y(x) = x (.) Ddo que l ecución es de núcleos seprbles, podemos resolverl exctmente modo de comprción. Así, N (x) = x M (t) = t N (x) = M (t) = t =) A = 3 : (.) Por tnto, podemos clculr el discriminnte y comprobr si se stisfcen los teorems de Fredholm: D() = ji Aj = =3 = =4 =3 = 3 7 : (.3) Ls soluciones estrán ligds con los vlores de que se obtengn de nulr D(). Es decir, = 8 p 4. Pr clculr l solución exct complet, ddo que f(x) = x, obtenemos Así, f = f = Z Z f(x)m (x)dx = f(x)m (x)dx = Z Z 4 x dx = 3 ; ( A) = =3 = D() =4 =3 3 x 3 dx = 4 : (.4) ; (.5) de donde! y = ( A)! =3 = =3 f = = D() =4 =3 =4 + ( ) y = D() 3 7 D() + =) 4 y = =4 =) D() y(x) = x + D() 3 + x + : (.6) 7 4 Agrupndo términos, podemos escribir y(x) = x + D() D() ; (.7)

34 34 CAPÍTULO. ECUACIONES INTEGRALES LINEALES resultdo idéntico l obtenido por le método de l resolvente de Fredholm. Es decir, en este cso el método de Fredholm tiene l máxim potenci siendo excto. El nterior resultdo puede reescribirse en serie de potencis de ; de modo que y(x) = x + 3 = x + 7 x x x 3 7 = + 7 x + (.8) donde hemos elimindo potencis superiores en los desrrollos en serie de los denomindores. Agrupndo, 3 7 y(x) = x ; (.9) cuyo principio se proxim bstnte l resultdo de ls series de Neumnn..9. Método de Hilbert-Schmidt. Núcleos simétricos Este método es prticulrmente útil cundo los núcleos son simétricos, es decir, k(x; t) = k(t; x) ó csi-simétricos, como es k(x; t) = S(x; t)(t), donde S(x; t) es simétrico. En Mecánic Cuántic, por ser los operdores utodjuntos, este método es generl, y que l extensión l cmpo complejo implic que los núcleos hn de ser utodjuntos en lugr de simétricos. Los núcleos csi simétricos pueden simetrizrse. Se l ecución integrl '(x) = f(x) + Cremos un función (x) = p (x)'(x) =) '(x) = (x) = p (x)f(x) + p (x) = p (x)f(x) + s(x; t)(t)'(t)dt: (.3) p (x), con lo que (x) (x; t) s(x; t)(t) p dt (t) s(x; t) p (x) p (t) (x; t)dt; (.3) que y es simétric, con l nuev inhomogenidd g(x) = p (x)f(x) y el nuevo núcleo simétrico G(x; t) = s(x; t) p (x) p (t)

35 .9. MÉTODO DE HILBERT-SCHMIDT. NÚCLEOS SIMÉTRICOS Norm de un función L clculremos de l form hbitul en un intervlo nito y cerrdo, con el núcleo contínuo y cotdo. En relidd se puede generlizr intervlos in nitos, y culquier número de vribles. Prtimos de f(x) de nid en el intervlo (; b) : s kf(x)k = (f(x)) dx (.3) Un vez de nid l norm, psmos de nir l distnci entre dos funciones como s d (f ; f ) = (f (x) f (x)) dx (.33) Su cudrdo es l distnci cudrátic medi, unque lgunos textos l de nen como D = sup jf (x) f (x)j : (;b).9.. Convergenci de funciones L serie o conjunto de funciones ff n (x)g converge f(x) si el lm d [f(x); f n(x)] = n!. Por ejemplo, en el intervlo (; ), l función e kx!. Pero hete quí que R e kx dx = e kx k = e k + y lm e kx =. Hst hor bien. Pero k k k! k según lgunos textos (Petrovski), pr x muy pequeños, si k es muy grnde pueden ocurrir grves ccidentes como e = 6= ( dónde está el problem?). No logro entender l rgumentción mtemátic pues, por muy pequeño que se x y muy grnde que se k, el resultdo v tender cero siempre. Dicen que, por est rzón, no vle l últim de nición de distnci rrib dd. Juzguen ustedes mismos. = =e.9.3. Producto esclr de dos funciones Se de ne como (f ; f ) = hf jf i = f (x)f (x)dx; (.34)

36 36 CAPÍTULO. ECUACIONES INTEGRALES LINEALES ó, pr el cso de complejos, hf jf i = f (x)f (x)dx; (.35) A trvés de est de nición puede comprobrse l desiguldd tringulr d (f ; f ) + d (f ; f 3 ) > d (f ; f 3 ) ; (.36) y l desiguldd de Bunykovsky (f ') 6 kfk k'k : (.37) El coseno entre dos funciones se de ne por cos (f ; f ) = (f ; f ) kf k kf k (.38).9.4. Conjunto de funciones ortonormles f' n g es un conjunto de funciones ortonormles si ' i ' j = ij, 8' i f' n g :.9.5. Coe cientes de Fourier de f(x) Son los reles tles que f k =.9.6. Teorem f(x)' k (x)dx = (f(x)' k (x)) = hf(x)j' k (x)i (.39) Si f(x) es un función normd y c ; c ; ; c m son los coe cientes que minimizn d [c ' + + c m ' m ; f(x)], con f' m (x)g conjunto de funciones ortonormles, ls c i son necesrimente los coe cientes de Fourier de f(x). Veámoslo:

37 .9. MÉTODO DE HILBERT-SCHMIDT. NÚCLEOS SIMÉTRICOS 37 Prtimos de que l distnci entre funciones se de ní como d [c ' + + c m ' m ; f(x)] = Z " b X c k ' k (x) f(x)# dx = k= f (x)dx X k= mx mx + c k c k k = k= f (x)dx + + c k f(x)' k (x)dx + ' k (x)' k (x)dx = mx c k k= k= mx c k f k = f (x)dx + mx X m (c k f k ) fk > ; (.4) k= y que l distnci siempre es positiv. Ddo que existen tnto R b f (x)dx como P m k= f k y son vlores clculbles, pr que l distnci se mínim, obligtorimente c k = f k : (.4) De est relción puede deducirse l desiguldd de Bessel d >. El vlor mínimo de l distnci será, por tnto, mx f (x)dx fk ; (.4) con lo que l desiguldd de Bessel puede reescribirse como R b P f (x)dx > m k= f k. Cso de producirse l iguldd, est es conocid como iguldd de Prcevl. Un sucesión se dice que es cerrd si se veri c l iguldd de Prcevl. Un sistem se llm completo cundo no existe un función ortonorml tods ls demás, simultánemente, de l serie: 8' k (x) f' m (x)g, con k = ; ; m = (f; ' k (x)) = (.43) k= k=

38 38 CAPÍTULO. ECUACIONES INTEGRALES LINEALES.9.7. Teorem: Todo sistem cerrdo es completo. Si suponemos un sistem cerrdo pero no completo, existirá un tl que ( ' k ) =. Esto indic que todos los coe cientes de Fourier de son nulos, y que l iguldd es pr todo k. Es decir, P m k= f k =, y que lo son todos los f k. Usndo l iguldd de Prcevl, f (x)dx = mx fk = = k k ; (.44) k= lo cul es imposible, y que si tiene norm nul contrdecimos el enuncido de prtid. L rgumentción invers sólo es demostrble y ciert en sistems cotdos Aplicción ls ecuciones integrles Ecuciones homogénes Se k(x; t) un núcleo función de dos vribles, con un número nito de discontinuiddes o totlmente contínuo pr mbs vribles, en un sistem cerrdo. Si R b k(x; t)'(t)dt = '(x), entonces, '(t) es utofunción de l ecución y es un utovlor. Pr núcleos simétricos y contínuos necesrimente hn de existir, l menos, un utovlor y un utofunción '(x) distintos de los triviles. Es decir, ls ecuciones de Fredholm tienen siempre, como mínimo, un utovlor. Teorem Si existiesen dos utovlores distintos de un ecución integrl, sus utofunciones socids R son ortogonles. b Sen ' i (x) = i k(x; t)' R b i(t)dt y ' j (x) = j k(x; t)' j(t)dt dos utofunciones de l mism ecución. Multiplicmos l primer por j ' j (x) y l segund por i ' i (x) e integrmos l intervlo de de nición: j ' j (x)' i (x)dx = j i i ' i (x)' j (x)dx = j i k(x; t)' j (x)' i (t)dxdt; k(x; t)' i (x)' j (t)dxdt: (.45)

39 .9. MÉTODO DE HILBERT-SCHMIDT. NÚCLEOS SIMÉTRICOS 39 En el segundo cso, ddo que el núcleo es simétrico, podemos intercmbir ls vribles x $ t sin lterr el resultdo. Restndo mbs igulddes, ( j i ) ' j (x)' i (x)dx = i j k(x; t) ' j (x)' i (t) ' i (t)' j (x) dxdt = : (.46) Ddo que i 6= j, evidentemente ' j (x) es ortogonl ' i (x). Todos los utovlores son reles. Pueden hber utovlores correspondientes vris utofunciones linelmente independientes. Es decir, un sólo utovlor ligmos vris utofunciones. Este es el cso de degenerción. Ests funciones pueden que no sen ortogonles, pero se les puede ortogonlizr. Pr ello suele utilizrse el método de Schmidt. Método de ortogonlizción de Schmidt Tengmos un serie u (x) ; u (x) ; ; u m (x) de utofunciones correspondientes l mismo utovlor. Llmmos (x) = u (x) y normlizmos como ' (x) = k (x). A continución genermos (x)k (x) = u (x) + ' (x). Como (x) h de ser ortogonl (x) =) ( (x) ; ' (x)) = =) (u (x), ' (x)) + (' (x) ; ' (x)) = y, por tnto, = (u ; ' ) (' ; ' ) = (u ; ' ) = u (x)' (x)dx: (.47) Cremos ' (x) = donde (x) k (x)k, continundo con el proceso. En generl, Xi i(x) = u i (x) + ij ' j (x); (.48) j= ij = ' i (x) = i(x) k i (x)k ; u i (x)' j (x)dx: (.49)

40 4 CAPÍTULO. ECUACIONES INTEGRALES LINEALES.9.9. Teorem de Hilbert-Schmidt Tod función f(x) que se intrínsecmente representble por un función contínu normd (de cudrdo integrble) en el intervlo (; b), es decir, f(x) = k(x; t)'(t)dt; siendo '(t) rbitrri pero contínu, y siendo nito el conjunto de ests funciones f(x), tods ells son desrrollbles en serie por el conjunto de R b funciones propis ' n (x) = n k(x; t)' n(t)dt: P Además, ls serie converge uniformemente. Es decir, f(x) = b n ' n (x) y P k(x; t) = n ' n (t) con n = n (x). El teorem puede enuncirse de form n= lterntiv como: Si f(x) puede escribirse en l form f(x) = R k(x; t)'(t)dt, entonces f(x) puede tmbién representrse por su serie de Fourier respecto P l sistem f' n (x)g de utofunciones de k(x; t), f(x) = b n ' n (x), con b n = R n= f(x)'n (x)dx. n=.9.. Teorem del desrrollo del núcleo Todo núcleo simétrico puede desrrollrse como k(x; t) = X i= ' i (x)' i (t) i (.5) siempre que este núcleo se contínuo en el intervlo (; b) : Si el desrrollo es nito, los núcleos son seprbles. El nterior desrrollo no es necesrimente uniformemente convergente (sí su medi), pero su integrl sí converge cero R k(x; t)dt =. En el cso de que el núcleo se seprble, k(x; t) = k (x)k (t), el teorem es rigurosmente cierto (extrño teorem que no es rigurosmente cierto pr un número in nito de csos), y k (x) es utovlor del sistem. Ddo que k(x; t) es desrrollble por k(x; t) = X n ' n (t); (.5) n=

41 .9. MÉTODO DE HILBERT-SCHMIDT. NÚCLEOS SIMÉTRICOS 4 con n = n (x), podemos sustituir en l ecución integrl homogéne originl: '(x) = X X n (x)' n (t)'(t)dt = n (x) n= n= ' n (t)'(t)dt: (.5) Utilizndo l ortogonlidd de ls funciones ' n (t), y prticulrizndo un culquier de ells ' i (x) = i X n= n (x) Por tnto, podemos reescribir el núcleo como ' n (t)' i (t)dt = i i (x) =) i (x) = ' i(x) i : (.53) k(x; t) = X i= ' i (x) ' i(t) i ; (.54) donde el cero no puede ser utovlor. Es posible que no exist el desrrollo k(x; t) = P n (x)' n (t). Por ejemplo, en el cso ptológico '(x) = R e xt '(t)dt. i=.9.. Método de Hilbert-Schmidt: Ec. inhomogénes Prtimos de que y sbemos resolver l homogéne con lguno de los métodos nlizdos. L inhomogéne será '(x) = f(x) + k(x; t)'(t)dt (.55) Tomndo como bse ls soluciones (utofunciones) ' n (x) de l homogéne, desrrollmos en serie inhomogeneidd y función incógnit: '(x) = f(x) = X n ' n (x); n= X b n ' n (x); (.56) n=

42 4 CAPÍTULO. ECUACIONES INTEGRALES LINEALES y sustituimos en l ecución integrl inhomogéne complet, usndo el teorem del desrrollo del núcleo: X n ' n (x) = n= X b n ' n (x) + n= = n= k(x; t) y que l homogéne es, pr un utovlor n, X n ' n (t)dt n= X X ' b n ' n (x) + n (x) n ; (.57) n n= ' n (x) = n k(x; t)' n (t)dt: (.58) Si premultiplicmos por un ' i (x) e integrmos, ' i (x) X n ' n (x)dx = n= ' i (x) X b n ' n (x)dx + n= =) i = b i + i i =) i = b i ' i (x) = ib i i = b i i X ' n (x) n dx Es decir, si conocemos ls b i y ls i podemos clculr los coe cientes i. Ddo que '(x) = P n= n' n (x), y que, si f(x) = P X X n b n '(x) = n ' n (x) = n= n= n ' n(x) X X b n = b n ' n (x) ' n (x) =) n n= '(x) = f(x) + n= n= X n= R b b n ' n (x) =) R b f(x)' i(x)dt = P n= n i f(x)' n(x)dt ; (.6) n n= b n R b ' i(x)' n (x)dt = b i : Si el núcleo fuer in nito tendrímos un sum in nit. En dicho cso, o sbemos sumr l serie, o tenemos que utilizr proximciones. Si fuer nito, como demás es simétrico, tendrímos núcleos seprbles. (.59) :

43 .9. MÉTODO DE HILBERT-SCHMIDT. NÚCLEOS SIMÉTRICOS 43 Siempre que l genéric del problem se distint de ls n de l homogéne, l ecución integrl tiene solución y est es únic. Si = p (es decir, lgun de ls n ), sólo hy solución pr lgunos tipos de especiles de inhomogeneiddes f(x), que son ls que stisfcen f(x)' p (x)dx = : (.6) Es decir, f(x) h de ser ortogonl l utofunción correspondiente l utovlor p. En generl ls ' p (x) pueden ser vris, que es el cso de degenerción, y ls f(x) hn de ser ortogonles tods ells. A su vez, si f(x) =, cso homogéneo, sólo hbrá solución cundo = p, cos que no se entiende pues, en ls ecuciones homogénes sólo es un fctor de proporcionlidd. Esto es un verdd de perogrullo. Si f(x) h de ser ortogonl l utofunción ' p (x), correspondiente l utovlor p, esto ocurre siempre y que f(x) = =) R b f(x)' p(x)dx = : en el cso de núcleos seprbles exigímos l ortogonlidd tods ls utofunciones. Ahor no es preciso pues hemos exigido priori l simetrí del núcleo. Ddo que, pr = p, = X n6=p X n ' n (x) = n= X X b n ' n (x) + n= b n ' n (x) + b p ' p (x) + X n6=p n= n ' n (x) n =) X n6=p n ' n (x) + p ' p (x) = n n ' n (x) + p p ' p (x): (.6) Como exigimos que, pr = p, R b f(x)' p(x)dx =, X n ' n (x) = X b n ' n (x) + X n ' n (x) (.63) n n6=p n6=p n6=p pr culquier i 6= p. De quí que i = b i + i p i pr culquier i, con lo que p qued indetermind, no sirviendo b p pr su cálculo. Por tnto, '(x) = f(x) + p ' p (x) + p X R b i6=p quedndo p como constnte de integrción. f(x)' i(x)dt ' i i (x); (.64)

44 44 CAPÍTULO. ECUACIONES INTEGRALES LINEALES Ejemplo Se l ecución '(x) = f(x) + Z (x + t)'(t)dt: (.65) L solución de l homogéne y l clculmos en otro ejemplo por ser de núcleos seprbles. Recordemos que Z ( ' n (x) = n =) = p 3 (x+t)'(t)dt =) ' (x) = p 3x = p 3 =) ' : (.66) (x) = +p 3x Cundo 6= ; l inhomogéne tendrá solución y est será únic. Tomemos = con f(x) = x. En este cso '(x) = x + =3 p 3 = f(x) + b = p! 3x X i= b = Z Z + =3 p 3 x ' (x)dx = 3 ; x ' (x)dx = 3 =) + p! 3x b i i ' i(x) = x x 4 3 : (.67) Si por un csul = = p 3, entonces empiezn surgir los problems y R x '(x) = x + p! 3 + p + p 3 = x + x p 3 p 3x p 3 dx p p! p! 3x + 6 p = x 5 p 3 x + A p: (.68) Hbrá solución con A p indetermind cundo R x ' (x)dx =, cos que hemos visto que no es ciert. En este cso no tenemos solución.

45 .9. MÉTODO DE HILBERT-SCHMIDT. NÚCLEOS SIMÉTRICOS 45 Ejemplo Se Z '(x) = cos(x) + sin(x + t)'(t)dt: (.69) Comenzmos por resolver l homogéne '(x) = R sin(x + t)'(t)dt. Su núcleo es seprble: k(x; t) = sin(x + t) = sin x cos t + cos x sin t =) N (x) = sin x M (t) = cos t N (x) = cos x M (t) = sin t; (.7) con lo que = R sin t cos tdt = = R sin tdt = Por tnto, pr todo, I A = = R cos tdt = = R cos t sin tdt = : (.7) (.7) Si nos jmos, ests i no coinciden con l genéric del problem. Ls i serán los utovlores de l E. integrl homogéne que se obtienen de resolver det (I A) = =) = : (.73) L solución de l homogéne se obtendrá de y = y : (.74) Pr = ; =) y y = =) y = y = C, degenerdo. Entonces, ' (x) = X y i (x)n i (x) = C (sin x + cos x) : (.75) i= Es fácil ver que ' (x) = X y i (x)n i (x) = C (sin x cos x) : (.76) i=

46 46 CAPÍTULO. ECUACIONES INTEGRALES LINEALES Un vez obtenids ls utofunciones correspondientes cd utovlor, se normlizn pr brrer un espcio completo de funciones normds: Z ' (x)dx = C Z sin x + cos x + sin x cos x dx = = C () =) C = p : (.77) Lo mismo ocurre pr ' (x), con lo que ' (x) = p (sin x + cos x) ; ' (x) = p (sin x cos x) : (.78) L = sólo contribuye quí como un fctor de proporcionlidd. L inhomogéne se puede resolver por vrios métodos. Sigmos con el de núcleos seprbles clculndo (I A) = = 4 ; (.79) donde v jugr hor un ppel crucil. Evidentemente, éste ún serí myor si = i, cos que no ocurre en este cso. Ddo que Z f = R f i = f(x)m i (x)dx =) cos xdx = f = R ; (.8) sin x cos xdx = por lo que Finlmente,! y = f M! f = = 4 4 (.8) '(x) = f(x) + X i y i N i (x) = cos x + sin x cos x = [cos x + sin x] :(.8) 4

47 .. ECUACIONES DE VOLTERRA 47 En este problem es clro que l inhomogeneidd sólo fect ls constntes de integrción. Pr resolver el problem por el método de Hilbert-Schmidt prtimos de ls utofunciones de l homogéne normlizds. Aplicndo directmente l fórmul de Schmidt, 8 < = cos x + : ( = p = cos x + p '(x) = f(x) + X n R b R p (sin x+cos x) cos xdx R p (sin x cos x) cos xdx + (sin x + cos x) + =p p = f(x)' n(x)dx ' n n (x) 9 p (sin x + cos x) = p (sin x cos x) (sin x cos x) ; ) [cos x + sin x] :(.83) 4 Si, por lzos del demonio, = =, ls coss se complicn un poco. El problem no tiene solución en este cso. Si lo tendrí pr otrs f(x) ortogonles ' (x): Tomemos f(x) = + bx, por ejemplo. Ahor Z p + bx) (sin x + cos x) dx ( = p Z Z Z Z sin xdx + cos xdx + b x sin xdx + b x cos xdx = p [b] = =) b = (.84) ; con culquier. Tomndo =, por sencillez, '(x) = f(x) + p ' p (x) = + p (sin x + cos x) p = + C (sin x + cos x) : (.85).. Ecuciones de Volterr y(x) = f(x) + Z x k(x; t)y(t)dt: (.86)

48 48 CAPÍTULO. ECUACIONES INTEGRALES LINEALES Ests ecuciones son menos frecuentes que ls de Fredholm, y de escso interés es Físic. Pr resolverls se consider cotdo el recinto de integrción. con x. Tmbién se supone que el núcleo es contínuo y cotdo. Teorem: Ls ecuciones de Volterr no tienen vlores propios. Es decir, y(x) = R x k(x; t)y(t)dt (homogéne) no tiene solución slvo l trivil y(x) =. Ddo que x está cotd, x, entonces podemos generr B = mx jy(x)j y M = mx jk(x; t)j. Sustituyendo en l ecución integrl homogéne, cotmos l incógnit y(x): y(x) Z x MBdt =) jy(x)j jj MB Z x dt = jj MBx: (.87) Sustituimos y(x) en l ecución integrl, cmbindo l vrible x pot t: y(x) Z x Repitiendo el proceso n veces, M jj MBtdt =) jy(x)j jj M B x : (.88) jy(x)j jj n M n B xn n! jjn M n B n n! : (.89) En el límite n! ; jy(x)j lm jj n M n B n jmj n = lm n! n! n! n! = ; (.9) que no es más que l solución trivil. Debido ésto, l ecución de Volterr inhomogéne tiene solución pr culquier f(x) y pr culquier núcleo. Ls ecuciones integrles de Volterr se resuelven por el método de Neumnn: y (x) = y n+ (x) = y(x) = y (x) = f(x); Z x Z x k(x; t)f(t)dt; k(x; t)y n (t)dt;. (.9)

49 .. ECUACIONES DE VOLTERRA 49 y, nlmente, Clculmos n+ y n+ (x) lm n! n y n (x) y(x) = y (x) + y (x) + + n+ y n+ (x): (.9) = lm M n! n! (n + )! = lm M n! n + Es decir, l serie v ser cotd. Llmemos N = mx jf(x)j =) jy (x)j N; jy (x)j MNx; jy n (x)j M n N xn n! M n N n n! : = : (.93). (.94) Es decir, todos lo términos de l serie están cotdos siempre que lo esté el recinto de de nición, rzón por l que el método de Neumnn es plicble, conduciendo un serie convergente.

50 5 CAPÍTULO. ECUACIONES INTEGRALES LINEALES

51 Bibliogrfí [] I. Petrovski, Lecciones de teorí de ls ecuciones integrles, Ed. Mir (Moscú, 976). [] H. T. Dvis, Introduction to nonliner di erentil nd integrl equtions, Dover Pub. (Nuev York, 96). [3] F. G. Tricomi, Integrl equtions, Dover Pub. (Nuev York, 985). 5