León Romero Eduart 1., Mendoza Vargas Hugo Hernando 2

Transcripción

1 El JUEGO DEL MARARAY COMO ESTRATEGIA DIDACTICA PARA EL DESAROLLO DEL PENSAMIENTO MATEMATICO Leó Romero Eduart 1., Medoza Vargas Hugo Herado 2 1 Uiversidad Pedagógica y Tecológica de Colombia, 2 Facultad de estudios a Distacia UPTC, Grupo Tic@ RESUMEN E este trabao el uego de Mararay como estrategia didáctica para el desarrollo del pesamieto lógico matemático, busca descubrir y emplear modelos que colleva a demostrar y eteder los diferetes pesamietos matemáticos, mediate el empleo del fruto de la palma del Mararay; plata que se ecuetra ivolucrada e la cultura del muicipio de Gachalá Cudiamarca. E geeral este trabao está diseñado a promover el apredizae de las matemáticas e cuato a coceptos básicos de estadística, basados e las medicioes de los diferetes diámetros de cada semilla de la palma del Mararay y sucesioes y series uméricas mediate la costrucció e iterpretació de modelos bidimesioales como los pisos triagulares o cuadrados y tridimesioales de base triagular o cuadrada, sirviedo como modelos para explicar las estructuras cristalias e los materiales y utilizarlos como u potecial didáctico que permaece oculto a uestro alrededor y poerlo al servicio del coocimieto. PALABRAS CLAVES: Sucesioes, series, estadística, matemática, coocimieto. ABSTRACT I this work the game Mararay as teachig strategy for the developmet of logical mathematical, seekig to discover ad use models to demostrate ad lead to uderstad the differet mathematical thikig through the use of the fruit of the palm of Mararay; plat that is ivolved culture i the muicipality of Cudiamarca Gachalá. I geeral this work is desiged to promote the learig of mathematics i terms of basic cocepts of statistics, based o measuremets of the differet diameters of each seed of the palm of Mararay umerical series ad sequeces ad the costructio ad iterpretatio of two-dimesioal models floors as square or triagular base ad three-dimesioal triagle or square, servig as models to explai the crystal structures i materials ad use them as a potetial teachig remais hidde all aroud us ad put i the service of kowledge. KEYWORDS: Successio, series, statistics, mathematics kowledge 1. INTRODUCCIÓN El uego del Mararay como estrategia didáctica para el desarrollo del pesamieto matemático, busca implemetar estrategias que permita demostrar compoetes teóricos e el área de las matemáticas, teiedo e cueta los elemetos del etoro como uso didáctico; las semillas so recogidas de alguas palmas que correspode al géero aiphaes.[1] Mediate el uso del tablero triagular y sus huecos se puede iterpretar el patró umérico que origia los úmeros aturales. Este patró tambié se puede aalizar mediate la orgaizació de semillas de la palma de Mararay sobre los huecos del tablero. Este eercicio didáctico sirve para ir formado el cocepto de sucesió umérica. Co el uso del tablero triagular y las semillas de la palma de Mararay se puede costruir u úmero triagular, deducir el patró que los origia y posteriormete geeralizarlo e ua fórmula matemática. Mediate el aálisis de estos úmeros triagulares se puede iterpretar el cocepto de serie umérica, como la suma de algo, que está e sucesió. La serie umérica coformada por los úmeros triagulares puede ser cosiderada como ua ueva sucesió, es decir, ua serie es tambié ua sucesió, pero e este caso ua sucesió cuyos térmios so las sumas

2 parciales de los primeros térmios de algua otra, etoces se puede repetir el proceso aterior, buscar el patró umérico de la ueva sucesió, geeralizarlo mediate fórmula y luego costruir la ueva serie umérica coformada por la sumatoria de los úmeros triagulares, que se podría llamar úmeros piramidales de base triagular, y que físicamete puede ser maipulados, costruidos e iterpretados mediate, castillos o pirámides de Mararayes. [1] La trasversalidad de las matemáticas e este campo visualiza y comprede coceptos fudametales de sistemas de cristalizació geométrica de los metales, como el hexagoal compacto, cúbico compacto y cúbico cetrado e el cuerpo. Este tema es de importacia para la química y la física. E sítesis lo que se busca es la aplicació de coceptos básicos de estadística, secuecias uméricas, sucesioes y series para compreder la importacia de la matemática e la iterpretació de datos y e la ivestigació. [2] 2. MARCO TEORICO Sucesioes y series 1. Ua sucesió es ua fució cuyo domiio so los úmeros eteros positivos, es decir, es ua fució que sólo esta defiida para valores eteros positivos de la variable. E este caso, la variable idepediete de la fució suele llamarse e vez de x, de tal forma que si se escribe la fució f ( ) = se puede saber que se habla de ua fució defiida solamete para los eteros positivos, es decir, ua sucesió. Se utiliza la letra sigma del alfabeto griego ( ), para idicar ua serie. Ua serie tambié recibe el ombre de sumatoria. La serie cosistete e la suma de los primeros siete térmios de la sucesió aterior se idicaría utilizado el símbolo sigma de la siguiete forma: 7 = 1 a = 7 = 1 3 Como se puede observar e este eemplo, debao del símbolo de la sumatoria se idica cuál es el primero de los valores de la sucesió que se va a sumar, mietras que ecima de ella se idica cuál es el último de ellos. Es importate aotar que e ua serie se suma todos los térmios itermedios etre los límites dados. Así pues, dada ua sucesió a, el símbolo: k = Sigifica la suma de los valores de la sucesió comezado co el -ésimo y termiado e el k-ésimo. Es decir: a k = a + a + a a k 1 = a + a k 1

3 Los úmeros 1, 3, 6, 10, 15, so llamados úmeros triagulares porque se puede ordear e forma de u triágulo equilátero, tomado las uidades que itegra a cada úmero. Cada uidad se puede tomar como u puto, o represetarlo mediate ua semilla de Mararay que se colocará e u aguero del tablero triagular o cuadrado diseñado para este propósito.[3] Termio geeral, a de ua sucesió Tambié deomiado -ésimo térmio a, es la expresió o fórmula de u térmio e fució del lugar que ocupa. E la sucesió de los úmeros triagulares el térmio geeral a está represetado por la siguiete fórmula:[3] ( +1) a = 2 Se puede aplicar estos coceptos e la estructura cristalia de alguos materiales. Si u grupo de esferas se coloca lo más cerca posible e ua superficie plaa, se distribuye de tal maera que cada esfera queda e cotacto co otras seis. Ua capa exactamete similar de esferas se puede colocar sobre esta capa de maera que las esferas de la seguda quede e las depresioes de la primera. Cuado se coloca ua tercera capa sobre la seguda, hay dos posibilidades: las esferas puede colocarse e las depresioes, directamete sobre las esferas de la primera capa o e los orificios que queda sobre las depresioes de la primera capa; es decir, todas las esferas de la tercera capa se coloca sobre esferas o sobre huecos. Si la tercera capa se sitúa sobre esferas, resulta estructura de empaquetamieto hexagoal compacto. Si la tercera capa se coloca sobre huecos, resulta empaquetamieto cúbico compacto E los dos casos cada esfera está e cotacto co otras doce, tres por ecima, tres por debao y seis alrededor de la zoa Se dice etoces que el úmero de coordiació es 12[5.] 3. DESARROLLO METODOLOGICO Para llevar a cabo el proceso de secuecias uméricas, sucesioes y series se utilizó u tablero triagular (Ver figura 1) y las pirámides tetraedrales costruidas co Mararayes. La represetació de los úmeros triagulares mediate el empleo de semillas de Mararay colocadas e el tablero co agueros orgaizados e forma triagular. Aquí es dode se ve la iovació pedagógica, pues se utiliza u uego tradicioal del muicipio de Gachalá, Cudiamarca, que se realiza co semillas de la Palma de Mararay, e el cual hay que caer ua pirámide de cuatro pepas; tres está e la base y ua e la parte superior (Ver Figura 2), ubicada e el suelo a ua distacia de uos tres metros de los ugadores, los cuales le arroa semillas hasta lograr derribarla golpeádola. Las semillas lazadas pasa a ser de propiedad del ugador que está al lado de la pirámide. Quie derriba la pirámide pasa a recoger las semillas que le lace ua vez la haya armado de uevo, y así sucesivamete. Del Juego de los Mararayes se tomó la estructura de la pirámide de cuatro pepas o semillas, para costruir a partir de ella los elemetos espaciales para represetar lo que expresa las fórmulas de los úmeros triagulares. Además, esto sirve para compreder el sigificado de la serie relacioada co la suma de los primeros seis térmios de la sucesió de los úmeros triagulares. Esto se puede observar e las Figuras 3, 4,5 y 6

4 Figura 1 Tablero Triagular co Figura 2. Tradicioal pirámide cuatro semillas. Figura 3. Primer térmio triagular: a1 = 1 Figura 4. Segudo térmio triagular: a2 = 3 Figura 5. Tercer térmio triagular: a3 = 6 Figura 6. Cuarto térmio triagular: a4 = 10 Figura 8. Quito térmio triagular: a5 = 15. Figura 9. Sexto térmio triagular a6 = 21,

5 La sucesió de los úmeros triagulares es el resultado de la serie asociada a la suma de los úmeros aturales. E este caso el quito úmero triagular viee de las suma de los cico primeros úmeros aturales, es decir, = 15 y que e leguae de 5 ( + 1) sumatoria es 2 =1 Serie Numérica Suma de los úmeros triagulares que da como resultado las pirámides o pirámides de base triagular. ver figuras 10,11,12,13,14. Figura 10 a1 = 1 + a2 = 3 = S 2 = {a1 + a 2 } S 2 = {1 + 3} S 2 = 4 Figura 11.S2 = 4 + a 3 = 15 = 6 = S 3 = {a1 + a 2 + a 3 } S 3 = { } S 3 = 10 Figura 12. S 3 = 10 + a4 = 10 = S 4 = {a1 + a 2 + a3 + a 4 } = S 4 = {a1 + a 2 + a3 + a 4 } =20 F Figura 13 S 4 = 20 + a5 = 15 = S 5 = {a1 + a 2 + a3 + a 4 + a5 } = 35

6 Figura 14+ = 6 21 a = S { a + a + a + a + a + } = = a6 Se puede decir que la míima pirámide o pirámide tetraedral de la serie es s 4 (ver Figura 10) y la máxima es s, e dode es cualquier úmero atural, y su base correspodería al -esimo úmero triagular de la sucesió de los úmeros triagulares. E el presete eemplo la máxima pirámide o serie asociada a la suma de los seis primeros térmios de los úmeros triagulares es S 56 (Ver Figura 14 )[4] Iterpretació física de la suma s = 6 56,Es la suma de los seis primeros térmios de la sucesió de los úmeros triagulares. Físicamete se ve como ua pirámide de seis pisos, cada uo de ellos formado por u térmio triagular formado co Mararayes. La base y caras so triagulares. Esta pirámide costa de 56 Mararayes e total. Cada piso represeta u térmio de la sucesió de los úmeros triagulares comezado de arriba hacia abao, es decir, el primer piso o térmio, que es 1, está e la cúspide de la pirámide y el sexto térmio, que es 21, se observa e la base ( Ver Figura 14). la pirámide de seis pisos. Sus caras y base so triagulares. Está coformada por semillas de Mararay, que represeta la suma de los seis primeros térmios de la sucesió de los úmeros triagulares: s = CONCLUSIONES 6 = Mediate el Juego del Mararay realizado co las semillas se logró fortalecer y costruir pesamieto matemático al compreder aspectos básicos de las sucesioes y series uméricas. El uso de los tableros triagulares y cuadrados, y los castillos o pirámides de base triagular hechos co semillas de Mararay permite relacioar las sucesioes y series co modelos bidimesioales y tridimesioales, cotribuyedo a fortalecer el pesamieto espacial y umérico y variacioal. Co la trasversalidad del coocimieto se puede itegrar aspectos relacioados co sistemas de cristalizació como el hexagoal compacto y el cúbico compacto y a partir de estos modelos compreder alguas estructuras cristalias de materiales.

7 5. BIBLOGRAFÌÍA [1]ACERO, DUARTE, Luís Erique Platas útiles de la cueca del Orioco. Bogotá: B.P. Exploració Compay, Jukio de era edició [2] ENCICLOPEDIA PLEIN TEMATICA, DIDACTICA, EDUCATIVA. Colombia: Editorial Norma, S.A., Edició pág [3.] CHARLES D,Millar Matemática: Razoamieto y Aplicacioes,octava edició,, Edit Pearso 1999 México..[4]STANLEY A. SmithAlgebra Trigoometría y geometría aalítica serie Aweli, edit Pearso Educació Primera edició, México [5]. PAT L. Magoo, Ciecias de los Materiales selecció y diseño Edit Pretice Hall México