Introducción a la Matemática

Transcripción

1 INGRESO 06 Introducción l Mtemátic Compildor Jun Lncioni Autores Jun Lncioni - Nild Dumont Crrers Contdor Público Lic. en Administrción de Empress Ingenierí en Sistems Ingenierí Mecánic Ingenierí Civil Ingenierí en Computción Ingenierí Industril Ingenierí Electrónic

2 INGRESO 06 Rector Dr. Alfonso José Gómez S.J. Vicerrector Acdémico Dr. Diego Osvldo Fonti Vicerrector de Economí Dr. Jorge Orlndo Pérez Vicerrector de Medio Universitrio Esp. Arturo Edurdo Sndino S.J.

3 INGRESO 06 Coordinción Asesormiento pedgógico Gbriel E. Giordnengo -Mónic Binimelis Corrección Verónic Alvrez

4 INGRESO 06 Estimdos lumnos, bienvenidos l Universidd Ctólic de Córdob. Pr comenzr est nuev etp de estudintes universitrios, comprtiremos ests clses donde vmos recordr lgunos conceptos de l mtemátic elementl pr contr con herrmients que les permitn frontr desfíos que se les presenten en el futuro. Pretendemos compñrlos en l recuperción de estos conocimientos previos que descubrn el pr qué porqué de los mismos, su plicbilidd en ls diferentes áres del conocimiento de l crrer universitri que los formrá como futuros profesionles de Cienci, Concienci Compromiso. Hemos elbordo ests clses comenzndo desde un nivel elementl, el cul se irá complejizndo medid que vncemos. Tmbién hemos pensdo en udrlos con lgunos interrogntes pr recordr conceptos modos de trbjr, por lo que es fundmentl que lemos con detenimiento esmero cd un de ls consigns /o ejercicios. Estmos seguros que bordndo este mteril con responsbilidd esfuerzo, se pueden resolver por cuent propi ls ctividdes de cd clse sí utoevlurse con ls respuests correspondientes reconocer ls propis cpciddes. Lo importnte es el trbjo individul pr nlizr resolver los tems propuestos. Esto permitirá recuperr rzonmiento lógico, hábitos de estudio, hbilidd en el mnejo de resolución de problems lenguje propido. Puede suceder que l primer vez que se trte de resolver un ejercicio o problem, no se logre llegr l resultdo correcto, no h que desnimrse, sino comenzr de nuevo, confir en sí mismo. El cmino lo hremos juntos, estmos pr compñrlos! Les comprtimos un lindo pensmiento pr que refleionemos: Si ds pescdo un hombre hmbriento, lo liments por un dí. Si le enseñs pescr lo limentrás pr tod l vid. Lo Tsé (s. IV.c.) Todo el equipo de docentes que los compñrá en estos dís está inspirdo en ese pensmiento. Finlmente, queremos grdecer tods quells persons que confiron en nosotros pr este desfío. En primer lugr ls utoriddes de l Universidd en prticulr ls utoriddes de ls Fcultdes correspondientes. Como conformmos un equipo de profesionles que nos guiron corrigieron este trbjo, pr ellos tmbién un merecido reconocimiento, como sí pr los docentes involucrdos en est lbor por su poo incondicionl. Suerte chicos, delnte que confimos en sus cpciddes!!!

5 INGRESO 06 NILDA DUMONT TÍTULOS BIOQUÍMICA - 97 Fcultd de Ciencis Químics. Universidd Ncionl de Córdob. MASTER BUSSINESS ADMINISTRATION - 00 ESADE. Espñ. ACTIVIDADES ACADÉMICAS Y PUBLICACIONES Docente de Mtemátic I Mtemátic II, en l Fcultd de Ciencis Químics. U.N.C Docente de Análisis Mtemático I Análisis Mtemático II, en l Fcultd Regionl Córdob. U.T.N Docente de Análisis Mtemático, en l Fcultd de Ciencis Económics de Administrción. U.C.C. 97-Continuo. Docente de Mtemátic I, Mtemátic II Bioestdístic, en l Fcultd de Ciencis Químics. U.C.C. 99-Continuo. Docente de Estdístic en post grdo, en l Mestrí en Alimentos. Fcultd de Ciencis Químics. U.C.C Miembro de l Comisión de Autoevlución pr CONEAU. Fcultd de Ciencis Químics. U.C.C Coordindor de Áre Básic. Fcultd de Ciencis Químics. U.C.C.998- hst l ctulidd. Coordindor Áre Mtemátic. Fcultd de Ciencis Económics de Administrción. U.C.C Miembro del consejo de Profesores. Fcultd de Ciencis Económics de Administrción. U.C.C. desde 00- hst l ctulidd. Autor del libro Introducción l Mtemátic. Aprendiendo pensr. ª Ed. 00. Córdob. ISBN: Autor del libro Introducción l Mtemátic. Aprendiendo pensr. ª Ed. 00. Córdob. Editoril Universidd Ctólic de Córdob, 0.ISBN:

6 INGRESO 06 JUAN LANCIONI TÍTULOS INGENIERO CIVIL Fcultd de Ingenierí. Universidd Ctólic de Córdob. ESPECIALISTA EN DOCENCIA UNIVERSITARIA Fcultd Regionl Córdob. Escuel de Curto Nivel. Universidd Tecnológic Ncionl. MAGISTER EN DOCENCIA UNIVERSITARIA - 0 Fcultd Regionl Córdob. Dirección de Posgrdo de l Universidd Tecnológic Ncionl. ACTIVIDADES ACADÉMICAS Y PUBLICACIONES Profesor universitrio en el áre de Físic Mtemátic, en l Universidd Ctólic de Córdob. 988-Continuo. Docente universitrio de Físic I, en l Universidd Tecnológic Ncionl, Fcultd Regionl Córdob. 009-Continuo. Secretrio Técnico de l Fcultd de Ingenierí, en l Universidd Ctólic de Córdob Secretrio Acdémico de l Universidd, en l Universidd Ctólic de Córdob Miembro de l Comisión de Evlución Periódic del Personl Docente de Ingenierí, de l Universidd Ctólic de Córdob. 0. Miembro del Consejo de Profesores de l Fcultd de Ingenierí de l Universidd Ctólic de Córdob Miembro de l Comisión de Seguimiento Revisión del Pln de Estudios de l crrer de Ingenierí en Computción, en l Universidd Ctólic de Córdob. 0-Continuo. Miembro de un grupo de investigción en el mrco de l Mestrí de Docenci Universitri de l Universidd Tecnológic Ncionl, Fcultd Regionl Córdob, Escuel de Curto Nivel Co-utor del libro Álgebr Elementl / Alfredo Soletti [et.l.], ª Ed. Córdob: Editoril Universidd Ctólic de Córdob, 0, ISBN Co-utor del libro Ingreso l Educción Superior Universitri, Docenci Currículo por Competencis / Mrí Crolin Ávil [et.l.], compildo por Mrí Crolin Ávil Enrique Bmbozzi. ª. Ed. Córdob: Ediciones del Copist, 0, ISBN Córdob Cpítulo nº 7, págins

7 INGRESO 06 CLASE N NÚMEROS REALES Y OPERACIONES MATEMÁTICAS BÁSICAS 7

8 INGRESO 06. Objetivos específicos: Recuperr los conceptos fundmentles del álgebr elementl. Internlizr ls regls de los signos. Afinzr l destrez en resolución de ejercicios problems sencillos. Utilizr l terminologí decud. Interpretr consigns. Logrr l estim entre compñeros docente.. Contenidos de l Clse: Conjuntos numéricos Los números reles. Operciones ritmétics básics. Sum, rest, producto cociente. Potenci rdicción. Símbolos de comprción. Máimo común divisor mínimo común múltiplo. Ejercicios problems.. Esquem conceptul de l vinculción de los contenidos de l Clse : 8

9 INGRESO 06 LOS NÚMEROS REALES Qué son? El término número rel se utiliz pr indicr un número que es rcionl o irrcionl. A su vez el sistem de los números reles const de tods ls posibles epresiones decimles. Se clsificn en: Y se utilizn en Enteros Rcionles Frccionrios Irrcionles OPERACIONES BÁSICAS Y se plicn pr resolver Se clsificn en Sum Rest Producto Cociente Potenci Rdicción Ejercicios problems Estos últimos medinte modelos mtemáticos sencillos.. Desrrollo teórico-práctico. 9

10 INGRESO 06 CONJUNTOS NUMÉRICOS LOS NÚMEROS REALES Iniciemos l clse recordndo qué es un conjunto: es un colección de objetos, cd uno de los cules recibe el nombre de elemento del conjunto. Si esos elementos son números, entonces se los denomin conjuntos numéricos. Los números reles 0,,,, etc. se denominn números nturles N. Son los que hbitulmente usmos pr contr. Pr su representción gráfic se utiliz un rect donde se consider un punto culquier como el origen 0 (cero) se utiliz un segmento rbitrrio como unidd. 0 Cbe clrr que lgunos utores no considern el cero (0) dentro del conjunto de los números nturles otros sí, lo incluen. Nosotros doptmos l segund posición, es decir, incluir el cero (0) dentro del conjunto de los números nturles: Si summos o multiplicmos dos números nturles culesquier, el resultdo siempre es otro número nturl. Por ej: En cmbio, si restmos o dividimos dos números nturles, el resultdo no siempre es un número nturl. Por ej: 8 9 son números nturles, pero: no dn como resultdo un número nturl. (Ar -Lrder, 009) Pr slvr est dificultd se etiende el sistem de los números nturles l sistem de los números enteros Z, en donde se les greg los nturles los enteros negtivos, es decir, los nturles precedidos por el signo menos. Si utilizmos l mism rect nterior, teniendo en cuent que cd número negtivo equidist del origen, respecto de su correspondiente número nturl, podemos representrlos de l siguiente mner:

11 INGRESO 06 Si bien con esto se resuelve que l sum, multiplicción o rest de dos enteros culesquier es otro entero, qué ocurre con l división? Por ejemplo: Est limitción l podemos slvr incorporndo nuevos números como los números rcionles Q. Se definen los números rcionles como frcciones periódics o no periódics; o tmbién como el cociente de dos números enteros, /b, en donde: b siendo enteros, representn el numerdor el denomindor de es frcción. Por ejemplo: 8 ; ; ; ; etc. 9 Pero cuiddo, b debe ser siempre distinto de cero! Cundo en ls divisiones de números enteros, el dividendo no es múltiplo del divisor, surge este nuevo conjunto. Un número frccionrio tmbién puede escribirse como un epresión deciml. Ést puede ser finit o infinit. Esto es: 0, Epresión deciml finit. 0,... Epresión deciml infinit. Estos números frccionrios pueden representrse sobre l rect, construendo ls frcciones sobre l mism, como se muestr continución. 0 ½ / Recordemos que el numerdor de l frcción indic l cntidd de uniddes que debe tomr sobre l rect el denomindor l cntidd de prticiones que se debe relizr sobre ese segmento: Estos números son mu usdos l hor de medir longitudes, pesos, voltjes, etc. Sirven los números rcionles pr medir tods ls mgnitudes? L respuest es, no. Este sorprendente hecho fue descubierto por los ntiguos griegos vrios siglos ntes de Cristo. Demostrron que pesr de que mide l hipotenus de un triángulo rectángulo cuos ldos tienen longitudes unitris, no pueden escribirse como el cociente de dos números enteros. Por lo tnto no es un número rcionl, si no irrcionl. (Purcell- Vrberg, 99)

12 INGRESO 06 Entonces los números irrcionles son quellos que no se pueden epresr como el cociente de dos números enteros, como por ejemplo:,...;, 70...; =,9...; e =, 77...; un grn cntidd de números más. Los números irrcionles son quellos que no se pueden escribir como frcciones periódics o no periódics, con lo cul tienen infinits cifrs decimles sin embrgo no formn período. Estos números tmbién pueden ser grficdos en l rect, interclándose entre los números rcionles, formndo un conjunto bstnte denso. El conjunto de números rcionles junto con el conjunto de números irrcionles formn el conjunto de los números reles R, que representdos gráficmente se corresponden con todos los puntos de l rect. Puede recordr un correspondenci biunívoc que dice: cd número rel le corresponde un punto sobre l rect vicevers, cd punto en l rect le corresponde un número rel. Un crcterístic del conjunto de número reles es que éstos conformn un conjunto denso, es decir que entre un número rel otro, eisten infinitos números. Todos estos números conformn el conjunto de los números reles. A modo de síntesis podemos decir: Nturles: N Enteros negtivos Enteros: Z Frccionrios Rcionles: Q Irrcionles Números reles: R Tmbién eisten los números complejos que completn todo el sistem de números que utilizremos lo lrgo de este curso. Recordemos que los números complejos están formdos por un prte rel otr imginri. Por ejemplo: i; 8 i; 0 i; donde: i o bien, i. Pr poder grficrlos se necesit de los ejes de coordends crtesins. Sobre el eje (bscis) se determin el componente rel sobre el eje (ordend) el coeficiente imginrio. L intersección de mbos vlores muestr el punto correspondiente l número complejo. Observ el gráfico: - + i

13 INGRESO 06 En lguns ecuciones de segundo grdo suelen presentrse estos números complejos como ríces de l ecución cundo el discriminnte de l fórmul correspondiente es negtivo. Este tem lo bordremos más delnte! PARA PENSAR Y REFLEXIONAR Ahor l pregunt es: todos estos conjuntos numéricos son importntes en Mtemátic? Si, l respuest es sí. Nos estmos migndo con estos contenidos de hecho, hremos uso de ellos en todo momento l cursr lgun crrer de ls Fcultdes de Ingenierí o de Ciencis Económics. Vmos por más? OPERACIONES ARITMÉTICAS BÁSICAS Se entiende por operciones básics: l sum, l sustrcción, el producto el cociente, unque no son ls únics. Lo que debe tener presente en cd cso son ls regls de los signos correspondientes, que se detlln especificn continución: Un signo (+) que precede un préntesis, corchete o llve, no cmbi los signos interiores. Por ej: Un signo (-) que ntecede un préntesis, corchete o llve, cmbi los signos interiores de cd uno de los términos. Por ej: El siguiente ejercicio plnte ls operciones básics (sum rest) con el conjunto de los números enteros: Observemos cómo fue resuelto: (-7 + ) - + = = = = -

14 INGRESO 06 NOTIFICACIÓN IMPORTANTE Pr llegr l resultdo finl, primero debemos eliminr los préntesis, luego los corchetes por último l llve; en ese orden, pr no cometer errores. Tmbién podemos clculr el resultdo prcil de los elementos encerrdos en el préntesis, respetndo el signo que lo ntecede, sí sucesivmente con el corchete llve. Observemos el ejemplo: (- 6) + = = = = = = - Pr resolver los siguientes ejercicios elegiremos l mner con l que nos sintmos más seguros. Usremos ls respuests pr l utoevlución. ACTIVIDADES ) = Rt: 0 b) = Rt: c) = Rt. - d) ( ) - ( - ) = Rt: 0 e) (- 7 + ) ( - 9) + - (- 7) + 9 = Rt: -

15 INGRESO 06 # En el cso del producto, se cumple: b d ) ) c) ) Ejemplos: 9 7 # Pr el cociente, se cumple: ) b) c) d) Ejemplos: 9 0 Otros ejemplos de operciones sencills: ) 7 c) 9 b) 8 d) 7 Pr los dos últimos ejemplos de productos de frcciones, es consejble simplificr numerdores con denomindores (si se puede) luego operr ritméticmente.

16 INGRESO 06 Observemos los dos siguientes ejemplos epresdos como un cociente de frcciones, o un frcción de frcción. Se pueden resolver trnsformndo el cociente en producto, multiplicndo por l recíproc del denomindor. ) b) NOTIFICACIÓN IMPORTANTE Es fundmentl recordr el orden de ls operciones. Los préntesis indicn prioriddes, ls multiplicciones o divisiones tmbién. El psje de términos de un ldo otro del signo igul es tmbién importnte es l cus más frecuente de errores. En operciones de sum rest, si un término cmbi de miembro, cmbi el signo de l operción. En operciones de multiplicción o división, si un término cmbi de miembro, cmbi l operción. Anlicemos continución vrios ejemplos válidos no válidos: ) b) En estos ejercicios conviene seprr en términos l hor de operr mtemáticmente: ) b) Si se trt de despejr términos: 7 o bien 7 6

17 INGRESO 06 8 o bien: 8, es lo mismo que: pero no es correcto hcer: que los signos (+) (-) seprn términos. Observemos detenidmente el siguiente ejemplo nuevmente notremos l importnci del uso de préntesis /o corchetes. Recordemos que no se debe escribir dos signos seguidos. Estos deben estr seprdos por lgun de ests herrmients: préntesis, corchetes, etc. 7 : : 7: : 6 9 Los siguientes ejercicios combinn tods ls operciones elementles con los conjuntos de números presentdos hst hor. No olvidemos respetr todos los conceptos nteriores pr logrr el resultdo correcto. Como en los ejercicios nteriores, usremos ls respuests pr utoevlurnos. ACTIVIDADES ) Rt: b) 7 Rt: 7 0 c). Rt: 7

18 INGRESO 06 8 d) Rt: 9 8 e) 7 Rt: 0 Hemos vnzdo hst est instnci nos podemos formulr otr pregunt: eisten otrs operciones básics del álgebr elementl que se pueden relizr con los conjuntos numéricos? L respuest es firmtiv podemos seguir vnzndo! POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN Ls operciones de bstnte relevnci usndo números reles tienen que ver con ríces potencis. En generl lguns de ls propieddes más usds son: n m n m n m n m n n n m n n m. 0 b b n n n 0 0 indeterminción mtemátic b b n n n b b n n n PARA PENSAR Y REFLEXIONAR

19 INGRESO 06 NOTIFICACIÓN IMPORTANTE Tnto l rdicción como l potencición no son distributivs respecto de l sum o rest. n b n n n b b n n b n b n n n b b n n b Otr propiedd mu importnte que vincul l potencición con l rdicción es: m n n m Entonces, tod potenci frccionri se trsform en ríz vicevers. Tmbién en ests operciones es conveniente recordr cierts regls de los signos que se plicn pr cd cso: pr pr impr impr pr pr impr impr número imginrio Vemos los siguientes ejemplos: ) b) c)

20 INGRESO 06 d) e) f ) g) h) i) j) k) l) i NOTIFICACIÓN IMPORTANTE Aunque - son ríces cudrds de, l ríz cudrd principl de es, no -. (Heussler-Pul, 997). Por lo tnto: ACTIVIDADES En bse los ejemplos brinddos en el párrfo nterior, resolveremos los siguientes ejercicios. Ls respuests ls utilizremos pr utoevlurnos. 7 ) Rt: b) 8 c) 7 d) Rt: Rt: 6 Rt:

21 INGRESO 06 SÍMBOLOS DE COMPARACIÓN Con estos símbolos se formn desigulddes tienen mucho uso pr relizr comprciones. Básicmente estos símbolos son cutro: mor; menor; mor e igul; menor e igul. Por ejemplo: Se lee mor que. 0 Se lee menor que 0 Se lee mor e igul que. 7 0 Se lee 7 menor e igul que 0. Más delnte trbjremos con desigulddes l solo efecto de comprr un miembro con otro de l desiguldd. En un curso de Mtemátic de grdo, es decir, en primer ño de nuestr crrer nos propondrán trnsponer elementos de un miembro otro de un desiguldd pr ello nos ofrecerán ls regls pertinentes. MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO En los conceptos de M.C.D. m.c.m., se utiliz l descomposición de números en sus fctores primos. Ls definiciones en cd cso son: M.C.D.: es el producto de los fctores primos comunes elevdos l mínimo eponente. m.c.m.: es el producto de los fctores primos comunes no comunes elevdos l máimo eponente. A modo de ejemplo, se pide clculr el M.C.D. el m.c.m. entre los números: 8, M. C. D. 8 m. c. m. 7 00

22 INGRESO 06 ACTIVIDADES DE EJERCITACIÓN Y PROBLEMAS DE LA CLASE 6 9 R R R : : : : 6 : 68 : R R R ACTIVIDAD INDIVIDUAL

23 INGRESO R R R : : : R R : : R:

24 INGRESO 06 R: : : 6 9 : 0 R R R 9 : 8 : R R

25 INGRESO 06 9 R: 6 0 R: R: R: 7 6 ( ) 6 9 R: 0 Un obrero puede hcer un trbjo en 0 dís, otro en 9 un tercero en. Qué prte del trbjo pueden hcer los tres juntos en un dí? R: 7/90 Un person gstó / luego / de un sum de dinero. Qué prte del totl gstó que prte le qued? R: /; / 6 Se vendió ls / prtes de un lote de mercderí, luego l curt prte del resto. Cuánto qued ún? R: /6 7 Un obrero que debe brir un znj de 6 metros de lrgo, hizo primero los / de l mism luego el duplo de lo hecho. Qué longitud debe brir ún? R: metros 8 Cuántos dís h en los / de un ño de 6 dís? R: 9 dís 9 Obtener el máimo común divisor el mínimo común múltiplo entre los números: ) b) R: ) 7 860

26 INGRESO 06 b) Se desen reprtir 80 libros, 0 cudernos 60 lápices entre cierto número de lumnos, de tl mner que cd uno recib un cntidd ect de libros, cudernos lápices. Cuál es el mor número de lumnos que cumplen con lo pedido? R: 60 Dos engrnjes girn uno sobre el otro; el primero tiene 8 dientes d un vuelt cd segundos; el segundo tiene 0 dientes. Cd cuántos segundos psn por l mism posición? R: seg. Se quiere fbricr cjones pr gurdr 80 lts de ceite 70 lts de lcohol de tl mner que cd cjón teng el mismo número de lts, sin que sobre ningun sin mezclr ls lts. Cuál es el mor número posible de lts que pueden ponerse en cd cjón? Qué cntidd de cjones se necesitn? R: 0; 00 Un fro se enciende cd segundos, otro cd 8 segundos un tercero cd minuto. A ls 6:0 de l mñn los tres coinciden. Averigu ls veces que vn coincidir en los minutos siguientes. R: sólo coinciden un vez ls 6: hors. Verificr ls siguientes desigulddes: R : si R : si 8 00 Plbrs de cierre Estimdos estudintes, juntos hemos vnzdo hst est instnci. Es mu importnte que prctiquemos resolvmos los ejercicios problems que quedron pendientes en este encuentro de ho con l intención de finzr todos los conceptos trbjdos en est clse. Les sugerimos que noten todo lo que no entiendn o no puedn resolver solos, que en el próimo encuentro tendremos un tiempo l comienzo de l clse pr evcur todo tipo de duds pregunts que quiern formulr. Much suerte buen semn! 6

27 INGRESO 06 CLASE N EXPRESIONES ALGEBRAICAS 7

28 INGRESO 06. Objetivos específicos Recuperr los conceptos de epresiones lgebrics polinomios. Afinzr l destrez en resolución de operciones polinómics. Aprender utilizr regls mtemátics sencills. Utilizr l terminologí decud. Interpretr consigns. Logrr estim entre compñeros docente.. Contenidos Epresiones lgebrics: conceptos generles. Monomios, binomios, trinomios, polinomios. Sum lgebric. Producto entre epresiones lgebrics. Cociente entre epresiones lgebrics. Csos prticulres. Regl de Ruffini Teorem del Resto. Concepto de divisibilidd.. Esquem conceptul de l vinculción de contenidos de l Clse 8

29 INGRESO 06 EXPRESIONES ALGEBRAICAS Se clsificn en Qué son? Son epresiones en ls cules se encuentrn cifrs numérics letrs, o bien sólo letrs, ligdos en un número finito de veces por ls operciones, sum, multiplicción, división, potencición rdicción. Rcionles Enteros Ejemplo: z Frccionris Ejemplo: Irrcionles Ejemplo:. Sum lgebric: Sólo entre términos semejntes. Propiedd distributiv del producto respecto de l sum-rest. Producto: Tener en cuent Producto de potencis de igul bse se Operciones Los eponentes. Ej.:. Elementles División: Tener en cuent Dividendo: ordendo completo Divisor: sólo ordendo Cociente de potencis de igul bse los se restn los eponentes. Ej.: Regl de Ruffini teorem del resto. Sólo cundo el divisor responde :. Desrrollo teórico-práctico 9

30 INGRESO 06 EXPRESIONES ALGEBRAICAS Son epresiones en ls cules se encuentrn cifrs numérics letrs, o bien sólo letrs, ligds en un número finito de veces por ls operciones sum; multiplicción; división; potencición rdicción. Ejemplos: ) monomio b) binomio Ests epresiones lgebrics pueden clsificrse según el siguiente digrm: Epresiones Algebrics Rcionles Irrcionles Enters Frccionris Los bloques de construcción de un epresión lgebric se llmn términos. En el ejemplo: 7, se reconocen tres términos: ; 7. A su vez, cd término en generl cuent con un prte numéric /o literl. En el término, el fctor se denomin coeficiente numérico el fctor se llm prte literl del mismo. (Ar-Lrder, 009) Observemos los siguientes ejemplos trtemos de ubicrlos en l clsificción nterior: ) z b) c) d) Recordemos que su nombre (epresiones lgebrics) se debe que demás de elementos numéricos en ells eiste un prte literl. Y es justmente debido l ubicción de estos elementos que se ls puede clsificr. PARA PENSAR Y REFLEXIONAR Cuáles son ls crcterístics que presentn los elementos que permiten ubicrlos en el digrm menciondo? 0

31 INGRESO 06 Ls epresiones lgebrics enters reciben nombres tles como monomio, binomio, trinomio, en generl polinomio. Intentemos recordr qué crcterístic responden dichos nombres. Observemos los ejemplos e identifiquémoslos: ) b) c) A ests epresiones lgebrics enters ls llmremos de hor en delnte polinomios. Con estos polinomios tmbién se pueden relizr operciones como sum, producto, división. Pr bordr ests operciones, es necesrio recordr lgunos conceptos como: Grdo de un monomio: está ddo por el número de fctores literles que posee. Recordemos que en los fctores literles debe considerr l potenci de cd uno de ellos. Cómo indicrímos el grdo de los siguientes monomios? Lo intentmos? ) b) 6 z c) z Grdo de un polinomio: está ddo por el grdo, del término de mor grdo que está presente en él. 6 Por ejemplo el grdo del polinomio: es : 8 Vlor numérico: es quel vlor que se obtiene cundo se reemplz l prte literl por un vlor numérico prefijdo, pr cd un de ls letrs que l componen. De est mner qued un epresión numéric, que debe resolverse medinte ls operciones ritmétics indicds en l mism. Pr relizr estos cálculos deberá recurrir vrios de los conceptos vistos en l clse. Ejemplo: b c con : 0 ; b ; c SUMA ALGEBRAICA Observemos detenidmente el ejemplo que se present continución en donde se efectuó l sum entre dos polinomios. ( z ) + ( z b) = Cómo fue relizd est operción? Qué se tuvo en cuent pr efecturl? Qué crcteriz los términos de un polinomio que fueron sumdos con cd término del otro? Recordemos que pr poder sumr polinomios sólo se pueden sumr los términos semejntes. Trtemos de eplicr con terminologí pertinente qué signific términos

32 INGRESO 06 semejntes. Pr que dos términos sen semejntes entre sí qué deben tener en común? z + z b Intentemos enuncir con lenguje propido: 8 z b Vemos los siguientes ejercicios controlemos con los resultdos propuestos. ACTIVIDADES ) Rt : z z 9 8 z 9 8 z con z 8 z b) Rt : con

33 INGRESO 06 PRODUCTO ENTRE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Observemos los ejemplos desrrolldos squemos conclusiones. Trtemos de eplicr, con lenguje pertinente, cómo se debe relizr est operción. c z z b 6. ). ). ) Recordemos que en el producto de potencis de igul bse, los eponentes se sumn entre sí. Es decir: Es importnte destcr que este tipo de operción cumple con l propiedd distributiv. Es decir, que cd término de un polinomio debe multiplicr cd uno de los términos del otro polinomio. Si ests consigns no fueron descubierts cundo observmos los ejercicios resueltos, volvmos sobre ellos e intentemos nuevmente. A continución, tenemos otros desfíos pr plicr lo visto. Utilicemos ls respuests pr l uto-evlución. z z z z z Rt z z z 6 9 : ) : ) Rt b PARA PENSAR Y REFLEXIONAR ACTIVIDADES

34 INGRESO 06 c) Rt : d) Rt 7 : 8 e) 9 Rt : 6 6 COCIENTE ENTRE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Anlicemos estos dos ejemplos resueltos pr que trvés de ellos recordemos est operción squemos nuestrs propis conclusiones. ) ( b c d + b c - 9 b c) : ( b c) Polinomio dividendo: D Polinomio divisor: d - b c d + b c - 9 b c b c b c d d + b polinomio cociente: C 0 + b c - b c 0-9 b c b c 0 resto de l división: R=0

35 INGRESO 06 b) ( 6-8 ): ( ) resto de l división: R=0 Observemos detenidmente el polinomio dividendo del ejemplo b). En él h términos que fueron incorpordos pr completr ls potencis decrecientes que no eistín en un principio. Los coeficientes de dichos términos siempre deben ser cero. Además, los términos del polinomio dividendo divisor deben estr ordendos en potencis decrecientes pr simplificr ls operciones involucrds. Recordemos que en el cociente de potencis de igul bse, los eponentes se restn entre sí, es decir, el eponente del dividendo menos el eponente del divisor. Anlicemos el ejemplo: : NOTIFICACIÓN IMPORTANTE Un form de comprobr si ls divisiones relizds fueron corrects, es hciendo l prueb de l división, es decir: C d R D

36 INGRESO 06 Lo comprobmos en los ejemplos ddos? Sólo deberemos recordr el concepto de sum producto de polinomios vistos hst el momento. Pr finzr los conceptos nlicemos ls siguientes situciones con sus respectivs respuests. ACTIVIDADES ) (6 b b b 7 b ) : (b b ) Rt : C b b R 0 b) ( b c b c 8 b c ) : (bc) Rt : C b 6bc 9 b c R 0 c) ( ) : ( ) Rt : C R ( 6 ) d) ( ) : ( 9 Rt : C 7 ) 68 R ( ) 7 REGLA DE RUFFINI Como hemos visto, el polinomio que result después de relizr l división se denomin polinomio cociente se lo simboliz como C() l resto como R(). L división termin cundo el polinomio resto es de un grdo menor que el polinomio divisor. 6

37 INGRESO 06 NOTIFICACIÓN IMPORTANTE Recordemos que no siempre se obtiene un polinomio resto igul cero. Si ocurre esto último, se dice que l división es ect! El procedimiento que cbmos de ver es generl pr culquier tipo de división entre polinomios. No obstnte, eiste un regl práctic pr resolver el cociente que se puede plicr cundo los polinomios dividendo divisor son en un sol indetermind el polinomio divisor es de l form, siendo un número rel. Dich regl se conoce como Regl de Ruffini, es l que nos permite clculr de un mner más simple direct los coeficientes del polinomio cociente el resto de l división. Anlicemos el ejemplo siguiente. Después intentemos l eplicción de cómo operr: : Primero ordenmos completmos si hicier flt, el polinomio dividendo. (Recordemos que pr completr debemos hcerlo con coeficiente cero, por elevd l potenci fltnte). : El esquem que se muestr continución, es utilizdo frecuentemente como un mner práctic de obtener los coeficientes del polinomio cociente el resto de l división. - ½ - Coeficientes del dividendo ordendos, " cmbido de mor menor de signo / - / 7/8-7/6 -/8 Coeficientes del polinomio Resto de l división cociente. 7

38 INGRESO 06 Entonces el resultdo eplicitr será: 7 C 6 R 8 Cómo se oper con est regl práctic? En l fil superior colocmos los coeficientes del polinomio dividendo, de mner ordend, complet decreciente respecto de. En el vértice eterior izquierdo ubicmos el vlor de, del binomio divisor, cmbido de signo. Debjo de l líne horizontl, pondremos de form ordend los coeficientes que resulten pr el polinomio cociente el resto de l división. El primer coeficiente del polinomio cociente es siempre igul l del dividendo, por lo tnto lo colocmos directmente debjo de l líne horizontl. Pr obtener el segundo coeficiente del polinomio cociente, multiplicmos el primer coeficiente por cmbido de signo, como figur en el vértice ntes menciondo, ese resultdo se sum con el segundo coeficiente del dividendo (ubicdo en l fil superior). Un vez que obtuvimos el segundo coeficiente del cociente, repetimos l operción nterior (multiplicmos por cmbido de signo summos con el siguiente coeficiente) sí sucesivmente hst terminr. Observemos que sólo hemos clculdo coeficientes, por lo tnto ún, nos flt determinr el polinomio cociente, el resto de l división. De qué grdo será el polinomio cociente? El grdo del divisor siempre es uno () demás deberá tener en cuent que en l división de potencis de igul bse los eponentes se restn entre sí. Con todos estos elementos un pequeño esfuerzo, estremos en condiciones de plnter el polinomio cociente completo determinr el resto o residuo de l división. Intentémoslo en l ctividd propuest más delnte. Utilizremos el ejemplo nterior pr udrnos. PARA SABER MÁS Pr conocer más Ruffini, podemos visitr est dirección: L regl de Ruffini es mu útil pr fctorizr polinomios de grdo n cundo se conoce un de ls ríces del mismo. Con l ríz se puede formr el binomio de l form según correspond, obtener el polinomio cociente, de est mner plnter su form fctorizd, que siempre el resto es cero. Observemos el ejemplo. 8

39 INGRESO 06 Ddo el polinomio, se sbe que un de sus ríces es uno, esto es. Por lo tnto el binomio es divisor ecto del polinomio ddo. Aplicndo l regl de Ruffini se determin el polinomio cociente, según: Entonces: ( ) Por lo tnto: C R ( ) 0. NOTIFICACIÓN IMPORTANTE A est problemátic de fctoreo l retomremos en l siguiente clse, que es un concepto mu importnte, merece más desrrollo! Vmos con lgun ejercitción interesnte pr plicr l Regl de Ruffini l relizrl controle sus respuests con l informción dd. ACTIVIDADES ) ( ) : ( ) Rt : C R () b) : ( ) 7 Rt : C R ( ) 9

40 INGRESO 06 c) ( Rt : C 7 9) : ( ) R (0) d) ( 7 Rt : C 7 ) : ( ) 7 7 R ( 8) TEOREMA DEL RESTO Del mismo modo que eiste l regl de Ruffini pr clculr el cociente el resto de un división entre polinomios de un mner rápid sencill, cundo se cumplen ls misms eigencis descripts nteriormente, es decir, que el polinomio dividendo divisor son en un sol indetermind el polinomio divisor es de l form:, tmbién es posible clculr sólo el resto de l división, utilizndo el Teorem del Resto. Como su nombre lo indic, nos permite sólo conocer directmente el resto de l división de un polinomio por un binomio de l form:. Cómo se clcul dicho resto? El resto es igul l vlor numérico del polinomio dividendo cundo l vrible es sustituid por el vlor de cmbido de signo. Observemos el ejemplo luego resolvmos los ejercicios plntedos en l guí de ejercitción. Clculemos el resto de l siguiente división: ( ) : ( ) R D( ) D( ).( ) R.9 6 R 0.( ) PARA PENSAR Y REFLEXIONAR Qué importnci o utilidd puede tener el conocimiento de este procedimiento conocido como teorem del resto? Pensemos en el término divisibilidd. Qué nos sugiere el significdo mtemático de dicho término? 0

41 INGRESO 06 Qué entendemos cundo epresmos que un polinomio es divisible por otro? Cuál serí el resto de es división? L respuest estos interrogntes o mejor ún l plicbilidd de este teorem l encontrremos cundo trbjemos con fctorizción o fctoreo de epresiones lgebrics se presente el cso divisibilidd. Vemos lguns plicciones del Teorem de resto. ACTIVIDADES Pr ello relizremos el mismo cudro de ejercicios propuestos en l últim ctividd, relciond con l Regl de Ruffini. Lo hcemos?

42 INGRESO 06 ACTIVIDADES DE EJERCITACIÓN Y PROBLEMAS DE LA CLASE Determinr el vlor numérico de ls siguientes epresiones lgebrics: 6 7 : R pr Efectur l sum de los siguientes polinomios: z z R z z z z z ) 7 (9 ; ) 6 ( ; ) (8 Relizr ls operciones indicds, con los siguientes polinomios: 9 : 7 R pr : 9 R pr 6 8 ; R ACTIVIDAD INDIVIDUAL

43 INGRESO 06 R Q P R R Q P 9 7 R R P Q Completr los siguientes cudros: 8 P() Q() P() Q() P() Q() Q() P() Ddos los siguientes polinomios, efectur ls operciones indicds:, 7 z z S H M z P z z z z M H S P.. 0,

44 INGRESO 06 Ddos los siguientes polinomios, relizr ls operciones indicds: P(, z) z z z z W (, z) S 6 (, z) T(, ) 6 z R( ) U( ) P(, z) : W(, z) S(,) : T(,) R(): U() Completr los siguientes cudros: Dividendo Divisor Cociente Resto ( + ) ( ) Dividendo Divisor Cociente Resto ( + )

45 INGRESO 06 7 Cociente Divisor Dividendo Grdo del Dividendo ( ) 8 P(). Q() P() Q () Resto Resolver los siguientes cocientes plicndo l regl de Ruffini: 9 ( ) : ( ) 0 ( ) : ( ) ( ) : ( ) ( ) : ( ) ( ) : ( ) El polinomio ( ) es divisible por ( + )? Si. No. Por qué? El resto de relizr ( c) : ( ), es R=7. Cuál es el vlor del polinomio cociente, es decir C? Sugerenci: utilizr l prueb de l división. 6 Obtener el vlor de "m" pr que l división siguiente se ect. (Utilizr el teorem del resto). ( m 6):( ) R

46 INGRESO 06 7 Cuál es el polinomio que dividido por (+) tiene por cociente por resto 7? R 6 8 Plbrs de cierre Estimdos estudintes, tenemos siete dís hst l próim clse pr revisr los contenidos trbjdos ho, poder registrr tods ls duds que se presenten trbjndo solos, sin l ud del docente. Anotemos todo lo que no entendmos o no podmos resolver solos, que en el próimo encuentro tendremos un tiempo l comienzo de l clse pr slvr todo tipo de duds. Podemos trbjr con ls ctividdes que quedron pendientes de hcer en clse, o con culquier libro que tengmos nuestro lcnce. Confimos en su cpcidd pr nlizr ejercitr lo visto en clse! Buen semn trbjr! 6

47 INGRESO 06 CLASE N FACTORIZACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS 7

48 INGRESO 06. Objetivos específicos Comprender l importnci de fctorer un epresión lgebric. Afinzr l destrez en ls diferentes metodologís. Utilizr fctoreo pr simplificr epresiones lgebrics frccionris. Mnejr l terminologí decud. Interpretr consigns. Logrr estim entre compñeros docente.. Contenidos Fctorizción de epresiones lgebrics. Fctor común. Fctor común por grupo. Trinomio cudrdo perfecto. Cutrinomio cubo perfecto. Ecución de segundo grdo.. Esquem conceptul: vinculción de los contenidos de l Clse 8

49 INGRESO 06 FACTOREAR UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA Qué es? Pr qué? Es convertir un sum lgebric en producto Pr simplificr en epresiones frccionris Cómo? Y sí llegr : Mínim epresión Fctor común Fctor común por grupo Trinomio cudrdo perfecto Utilizndo diferentes metodologís Cutrinomio cubo perfecto Ecución de segundo grdo Trinomio cudrdo imperfecto Divisibilidd Not: El tem divisibilidd se desrrollrá en l clse junto con rcionlizción que estos conocimientos se relcionn, pesr que rcionlizción no es un método de fctorizción.. Desrrollo teórico- práctico 9

50 INGRESO 06 FACTORIZACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Cómo podemos eplicr el significdo mtemático de l plbr fctoreo? Qué refleión nos propone el término fctor? Observemos tentmente el ejemplo siguiente: P ( ) 6 ( ) ( ) PARA PENSAR Y REFLEXIONAR Cuál es l operción lgebric presente en cd uno de los miembros de l iguldd nterior? Cuál es l operción que vincul todos los términos del primer miembro de l iguldd cuál l que vincul los términos encerrdos entre préntesis del segundo miembro de l iguldd? Relicemos este nálisis respondmos ls cuestiones plnteds. Nos podemos udr con ls siguientes ides Si el producto de dos enteros "" "b" es "c", c=. b, entonces "" "b" se llmn fctores de "c". Est terminologí tmbién se utiliz en epresiones lgebrics. Si dos o más epresiones lgebrics se multiplicn l vez, ests epresiones se dice que son fctores de l epresión que se obtuvo como producto: por ejemplo, l epresión se obtuvo multiplicndo, e, de modo que, e son los fctores de. De mner similr, es un fctor de l epresión puesto que podemos escribir ( ) es un fctor de 6 9, ddo que podemos escribir ( 6 9). (Ar-Lrder, 009) Los distintos métodos de fctoreo requieren de un nálisis e interpretción pertinente, por lo tnto continución desrrollremos cd uno de ellos. 0

51 INGRESO 06 FACTOR COMÚN Comencemos con estos ejemplos: ) ( 6 ) b b ) 6 ( 0 ) b Después de observr detenidmente los ejercicios resueltos, pudimos recordr qué signific fctor común? Anlicemos cd uno de los términos del título, fctor común, trtemos de enuncir un regl pr este cso. Es importnte que ls diferentes metodologís de fctorizción se mnejen con l terminologí correct no por número de cso, como tl vez lo hcímos en el nivel medio de educción. Los nombres de cd uno nos udrán interpretr cómo debemos operr pr logrr trnsformr un sum lgebric en producto. A continución, tenemos lgunos csos pr trbjr: n n b bn Rt bn bn n b d c c b Rt c b c b c z Rt z b c b Rt c b 7 : 7 ) : ) 69 9 : 9 8 ) : ) 6 ACTIVIDADES

52 INGRESO 06 FACTOR COMÚN POR GRUPOS No olvidemos nlizr el significdo de cd uno de los términos del tem plntedo. En los siguientes ejemplos visulicemos cómo hn sido grupdos los términos del primer miembro nlicemos cuál es el fctor común entre ellos, finlmente, relcionemos ests ides con el segundo miembro de l iguldd. En est instnci ún no se h fctorizdo completmente. Recordemos que los signos (+) (-) dividen términos. En cd uno de los sumndos, el fctor común es pr el ejemplo ) (+) pr el ejemplo b), respectivmente: ) =. ( + ) +. ( + ) = ( + ). ( + ) b) + b + + b =.( + ) + b.( +) = ( + ). ( + b ) Después de observr tentmente estos ejemplos, podemos trbjr como se indicó en el punto nterior relcionndo l ide formd de fctor común con el término grupo. Intentemos hcer conclusiones enuncir con terminologí pertinente como operr en este cso de fctoreo. Relizmos l siguiente propuest de trbjo? No olvidemos controlr los resultdos con ls respuests!

53 INGRESO 06 TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Est operción tmbién responde l nombre de binomio l cudrdo, ó cudrdo de un binomio, cuo desrrollo nos llev obtener el primer miembro. Anlicemos los ejemplos que continún, relcionemos cd uno de los términos que hcen l nombre de este cso: ) 9... b)... 7 : 7 7 ) : ) : ) ) ( : ) z Rt z z d b Rt b b c b Rt b b b b b Rt b b b ACTIVIDADES

54 INGRESO 06 PARA PENSAR Y REFLEXIONAR Por qué trinomio? A qué se refiere cundo epres cudrdo perfecto? Cómo es el enuncido del desrrollo del binomio l cudrdo? Cómo relcionmos el signo que vincul los dos términos del binomio con los signos que corresponden l polinomio desrrolldo? Recordemos que en l potenci de potenci los eponentes se multiplicn entre 6 sí, es decir: NOTIFICACIÓN IMPORTANTE En generl, escribimos como trinomio cudrdo perfecto: b.. b b b.. b b Observemos en el segundo cso l lternnci de signo. A continución te proponemos ejercitción pr que vmos finzndo este cso de fctoreo. ACTIVIDADES ) b) 0 Rt : 8 6 Rt : q c) p q p d) 6 m n m n 6 Rt : q Rt : p 6 m n

55 INGRESO 06 CUATRINOMIO CUBO PERFECTO El ejemplo, epone un cso sencillo que se present en este prtdo. A prtir del cul podemos enuncir el desrrollo de un binomio elevdo l cubo, lo intentmos? PARA PENSAR Y REFLEXIONAR Cuántos términos contiene el primer miembro de es iguldd? Por qué el nombre de cutrinomio? Por qué cubo perfecto? Cuántos términos de ese primer miembro son cubos perfectos? Cuántos términos de ese primer miembro no son cubos perfectos cómo se relcionn con ls bses de esos cubos perfectos? Si logrmos contestr todos los interrogntes plntedos, entonces estmos en condiciones de elborr un enuncido que se correspond con él. NOTIFICACIÓN IMPORTANTE Cutrinomio cubo perfecto: b b b ( b) b. b. b b b b ( b) b. b. b Intentemos utilizr los términos propidos. Observemos en el segundo cso l lternnci de signo. Al segundo miembro de l iguldd, tmbién se lo conoce con el nombre de binomio l cubo, cuo desrrollo nos llev obtener el primer miembro de l mism. Si ún no logrmos estblecer un correct relción entre el nombre cutrinomio cubo perfecto con l form de fctorerlo, nlicemos el próimo ejemplo desrrolldo, donde se indic cómo debemos proponer cd uno de los términos del primer miembro de l iguldd, pr luego epresrlo en form fctored.

56 INGRESO m m m m.... m m m m m 6 6 m m Relizmos ls siguientes ctividdes? Luego de trbjr con ells, controlemos los resultdos obtenidos con ls respuests brindds. 0 6 : 6 8 ) : ) : ) : ) m n Rt n m m n m n d Rt c Rt b b Rt b b b ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO L epresión: 0 c b se denomin ecución de º grdo. En donde: o b c,. L mism tmbién puede fctorerse conociendo sus ríces. ACTIVIDADES

57 INGRESO 06 PARA PENSAR Y REFLEXIONAR Recordemos: qué signific el término ríz de un ecución? Ls ríces de l ecución de segundo grdo pueden determinrse prtir con l siguiente fórmul:, b b.. c Como podemos observr, est fórmul sólo depende de los coeficientes de l vrible. Teniendo en cuent los signos que figurn delnte de l ríz cudrd de l fórmul precedente, deducimos que los vlores determinr de son siempre dos:. Dichos vlores son ls ríces de l ecución cudrátic, es decir, quellos vlores que hcen cero (0) l ecución. NOTIFICACIÓN IMPORTANTE Entonces, un ecución de º grdo se fctore como se indic en l siguiente epresión: b c. 0. Observemos el ejemplo: 0,..., 9 6,, Un vez determinds ls ríces de l ecución, est puede fctorerse como se indic: 7

58 INGRESO 06. Est form de fctorer se puede usr entonces, tnto pr trinomios cudrdos imperfectos como perfectos. UNIR CONCEPTOS A modo de conclusión: fctorizr un polinomio es epresrlo como un producto de un constnte por uno o más fctores primos o bien por fctores primos entre sí, utilizndo un o más metodologís. A continución tenemos lgunos ejercicios pr prcticr este cso de fctoreo. Los resolvemos? ACTIVIDADES Rt : Rt : Rt : Rt :.... NOTIFICACIÓN IMPORTANTE Recordemos que sólo podemos simplificr un epresión lgebric frccionri cundo ls misms están fctoreds siempre debemos llegr l mínim epresión. 8

59 INGRESO 06 9 Si logrmos recordr fijr lo epuesto hst quí, estremos en condiciones de plicrlo en ejercicios combindos. Vemos entonces un pr de ejemplos: b b b b b b b b b b b b b ) 9.( ).. )

60 INGRESO 06 ACTIVIDAD INDIVIDUAL ACTIVIDADES DE EJERCITACIÓN DE LA CLASE Trnsformr ls siguientes epresiones lgebrics en producto: ) Rt :. b) 7 7 m. p m. p m. p Rt : m p 8 mp Rt : z. z c) z 8 z z Rt :. d) e) 6 Rt :. Rt : b. f) b b Indicr si ls siguientes igulddes son verdders o flss: ) b) c) d) 6 9 e) 0 Trnsformr ls siguientes epresiones lgebrics en producto: ) 9 Rt : b) c) m m d) z z 9 Rt : 9 Rt : m Rt : ( z) Epresr estos polinomios como cubos de binomios: ) b b b 6 b) 8 c) 8 6. Rt : b Rt : Rt : 60

61 INGRESO 06 d) Rt : Trnsformr ls siguientes epresiones lgebrics en producto: ) 7 Rt :. b) Rt :. c) 7 Rt :. Rt :. d) 6 Reducir o simplificr ls siguientes epresiones lgebrics frccionris: ) Rt ( 8) b) ( ) ( Rt ( ) ) ( ) c) Rt ( ) 6

62 INGRESO 06 6 ) ( ) ( ) : ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) Rt f b Rt b b e Rt e Rt d : ) ) )( ( 9 : ) ) / ( ) 8) ) /(.(6 6 : 8 ) Rt j Rt i Rt h Rt g

63 INGRESO k) Rt ( ) /( ) 8 l) Rt ( ) /( ) 0 m) 6 Rt ( ) /( ) n) Rt ( ) /( ) Plbrs de cierre Estimdos lumnos, nos esper un semn con bstnte trbjo por relizr, pero no desnimrse que juntos lo podremos hcer con esfuerzo dedicción. No olvidemos de notr tods ls inquietudes que se nos presenten l hor de trbjr solos, pr poder resolverls en el próimo encuentro. Nos despedimos con un pensmiento pr refleionr Los libros son mestros que no riñen migos que no piden 6

64 INGRESO 06 CLASE N DIVISIBILIDAD Y RACIONALIZACIÓN 6

65 INGRESO 06. Objetivos específicos Comprender el concepto de divisibilidd método de fctorizción en sums diferencis de cubos. Aprender fctorer diferencis de cudrdos. Afinzr l destrez en ls diferentes metodologís de rcionlizción. Utilizr l terminologí decud. Interpretr consigns. Logrr estim entre compñeros docente.. Contenidos Divisibilidd. Sum diferenci de binomios de potenci impr. Sum diferenci de binomios de potenci pr. Rcionlizción.. Esquem conceptul : vinculción de los contenidos de l Clse : 6

66 INGRESO 06 MÉTODO DE FACTORIZACIÓN: DIVISIBILIDAD Consiste en: Determinr un divisor ecto pr n n binomios de l form Cso prticulr pr Fctorer utiliz Diferenci de cudrdos Teorem del Resto Regl de Ruffini Se bs en: Binomio con uno o sus dos términos irrcionles Único término irrcionl Diferentes metodologís A trvés de: Eliminr un ríz Consiste en: RACIONALIZACIÓN. Desrrollo teórico - práctico 66

67 INGRESO 06 DIVISIBILIDAD Qué pensmiento nos propone el término divisibilidd? Cuándo dos polinomios son divisibles? Observemos los ejemplos luego intentemos definir mtemáticmente el significdo del título:.) 7: : Si plicmos el teorem del resto l cociente indicdo en l epresión nterior, Qué ocurrirá? R ( ) R( ) ( ) 7 0 Qué relción gurd este resultdo con el término divisibilidd? Son o no divisibles entre sí estos binomios?.b) 7: : Si plicmos nuevmente el teorem del resto, qué ocurre? R ( ) R() () 7 PARA PENSAR Y REFLEXIONAR Qué podemos concluir del binomio dividendo respecto del divisor? Son o no divisibles entre sí? Observemos tentmente el binomio dividendo divisor en mbos ejemplos, compárlos sc conclusiones. Relcionemos l potenci (pr o impr) de los términos del polinomio dividendo, el signo que los vincul dichos términos (negtivo o positivo) compremos con el divisor en cd cso. Cómo son los divisores respecto l dividendo? Qué se puede deducir? Cuándo es divisible l sum de potencis de eponente impr? Es divisible por l sum o diferenci de sus bses? 67

68 INGRESO 06 NOTIFICACIÓN IMPORTANTE L sum de potencis de eponente impr, sólo es divisible por l sum de sus bses. Tengmos en cuent que sólo hemos nlizdo l divisibilidd de l sum de potencis de eponente impr, no hemos fctoredo. Pr ello debemos encontrr primero el polinomio cociente, el cul puede clculrse rápidmente utilizndo l Regl de Ruffini pr 7, con el binomio divisor correspondiente, es decir ( ) Aplicndo l Regl de Ruffini: Observemos que en l primer fil del esquem precen lgunos coeficientes 0 (ceros), esto se debe que el polinomio dividendo debe estr siempre ordendo completo en potencis decrecientes de (es lo que hbímos visto en l Regl de Ruffini). Con los coeficientes clculdos se form el polinomio cociente: C ( ) 9 Entonces, pr poder fctorizr l epresión 7 debemos recordr que, culquier polinomio dividendo siempre es igul l producto del polinomio cociente por el divisor, cundo el resto es cero. Esto es: P()=( +7)= ( - + 9).( + ) Epresión fctorizd 68

69 INGRESO 06 Anlicemos de l mism mner qué ocurre cundo se trt de l diferenci de potencis de índice impr. Observemos, refleionemos elboremos conclusiones!.) 7: :.b) 7: : Si trbjmos igul que en el punto nterior plicmos Teorem del Resto pr mbos ítems, qué ocurre?.) R ( ) R() () 7 0.b) R ( ) R( ) ( ) 7 PARA PENSAR Y REFLEXIONAR Qué terminologí podemos utilizr pr relcionr estos binomios entre sí, tnto en el ítem.), como en el.b)? Qué podemos decir del dividendo respecto del divisor? Recordemos que pr fctorizr un epresión siempre debemos ser divisible por el binomio divisor. Es decir que el resto debe ser cero. Un vez elegido el divisor correcto, entonces, trbjmos utilizndo l regl de Ruffini continumos como en el cso nterior, hst que logremos fctorizr l epresión: 7. Esto es: 7 ( 9).( ) Observemos que en los dos últimos ítems hemos trbjdo con l diferenci de potencis de índice impr, relcionándols con l sum diferenci de sus bses. PARA PENSAR Y REFLEXIONAR L diferenci de potencis de índice impr es divisible por l sum o diferenci de sus bses? Intentemos elborr conclusiones enuncirls en bse lo visto nteriormente, utilizndo lenguje pertinente. Podremos segurr lo siguiente? 69

70 INGRESO 06 NOTIFICACIÓN IMPORTANTE L rest de potencis de eponente impr, sólo es divisible por l rest de sus bses. Anlicemos hor l diferenci de potencis de índice pr. Cuándo son divisibles cuál es su divisor?.) 6: :.b) 6: : Observemos que en mbos csos, ls potencis de los términos del dividendo son de orden pr, el signo que los relcion, es negtivo. Asimismo los divisores nlizr son l diferenci sum de sus bses, respectivmente. NOTIFICACIÓN IMPORTANTE Pr poder fctorizr el dividendo, utilice los conceptos regls correspondientes (Teorem del Resto Regl de Ruffini). Debemos verigur primero por cuál de los dos binomios es divisible, (sum o diferenci de ls bses), luego clculr el polinomio cociente recién concluir en l epresión fctored. L cul responde :

71 INGRESO 06 PARA PENSAR Y REFLEXIONAR Por qué 6 puede fctorerse de dos mners? Enunciemos ls conclusiones con lenguje propido. Y contmos con herrmients pr hcerlo! Ahor nlicemos que ocurre con l sum de potencis de eponente pr: 6 : :.).b) 6: : En mbos csos, plicmos Teorem del Resto. Son divisibles estos polinomios por l sum o diferenci de sus bses? Qué podemos concluir del dividendo respecto de los divisores? Puede ser fctorizd l epresión 6? Justifiquemos nuestr respuest. NOTIFICACIÓN IMPORTANTE Estos binomios, tn prticulres, que hemos usdo en los cutro ítems nteriores pueden generlizrse como: n n Donde n puede ser pr ó impr los divisores ectos pueden ser l sum o diferenci de ls bses, es decir. Utilizndo ests epresiones generles, podemos enuncir un regl pr cd uno de los csos, refiriéndonos l divisibilidd de cd uno de ellos, por l sum o diferencis de ls bses respectivs. Intentemos relizr un esquem eplictivo, donde figuren todos los csos plntedos de divisibilidd. 7

72 INGRESO 06 DIFERENCIA DE CUADRADOS Lemos detenidmente el nombre que recibe este cso prticulr de divisibilidd. Relcionémoslo con el punto nterior observemos el ejemplo como ud memori. b b b. Es mu importnte reconocer los fctores encerrdos entre préntesis del segundo miembro de l iguldd. Intentemos recordr el nombre que los identific, luego trtemos de enuncir, con lenguje pertinente, cómo se descompone en fctores, un diferenci de cudrdos. Lo podemos hcer! Ejemplo: z. 6 z z z NOTIFICACIÓN IMPORTANTE Es importnte que tengmos en cuent que ls potencis se distribuen cd uno de los fctores de l bse correspondiente, pr determinrls correctmente. ACTIVIDADES ) 9 Rt :. b) 9b Rt : b. b c) Rt : d) Rt :. 7

73 INGRESO 06 RACIONALIZACIÓN Qué sugiere el título? Epliquemos con nuestrs plbrs qué signific rcionlizr. A continución encontrremos lgunos ejemplos pr orientrnos, contestr los interrogntes plntedos.... ).. b ) Eisten diferentes metodologís pr rcionlizr. Sin embrgo en este curso plnteremos sólo dos, que se relcionn directmente con los ejemplos nteriores: Cundo el término irrcionl es único (como en el primer ejemplo). Cundo uno o mbos términos del binomio son irrcionles (como en el segundo ejemplo). Volvmos observr el primer ejemplo. Eiste un único término irrcionl en el denomindor de l frcción plnted. Pr eliminr es ríz procedemos multiplicr dividir l frcción por el mismo término irrcionl de tl mner que podmos simplificr el índice de l ríz con l potenci decud que surge l multiplicr términos igules. En el segundo ejemplo, l ríz se present en uno de los dos términos, pero tmbién podrí ser en mbos términos; entonces debemos multiplicr dividir por el conjugdo de es epresión. A qué se le denomin conjugdo? Observemos trtemos de enuncirlo con nuestrs plbrs. NOTIFICACIÓN IMPORTANTE L epresión b tiene como conjugdo b. En el ejemplo, l epresión tiene por conjugdo cundo multiplicmos esos términos conjugdos entre sí, obtenemos un diferenci de cudrdos, l cul nos permitirá simplificr índice con l potenci logrr sí eliminr l ríz. 7

74 INGRESO 06 Si ún no hemos logrdo recordr este conocimiento, vemos otro ejemplo pr nuestro nálisis:.. UNIR CONCEPTOS Si prests tención, en este cso de rcionlizción donde se multiplic divide por el conjugdo, siempre se construe un diferenci de cudrdos, trvés de ese cso de fctoreo es que se puede eliminr l ríz. NOTIFICACIÓN IMPORTANTE L importnci de mnejr estos conceptos tendrá más sentido cundo cursemos Análisis Mtemático I, en primer ño de l crrer de nuestr elección. 7

75 INGRESO 06 ACTIVIDAD INDIVIDUAL Fctorer ls siguientes epresiones lgebrics: ) 8 Rt : 9 7. ó 9 7. b ) 6 Rt : 6. c ) Rt : 8 6. d ) 6 Rt : 8. 8 e) 6 Rt : no se puede fctorer proque no es divisible por l sum o diferenci de sus bses. Fctorer estos polinomios: ) Rt : ( ).( ) b) 8 Rt : ( ).( ) c) Rt :.( ).( ) 7

76 INGRESO Rcionlizr ls siguientes epresiones: Plbrs de cierre Estimdos estudintes: hemos llegdo l mitd del cmino que comenzmos recorrer juntos hce lguns semns trás. Espermos que después de tn rduo trbjo que hemos relizdo, hmos podido recuperr los conocimientos previos recobrr l confinz en nuestrs cpciddes pr l resolución de ls diferentes problemátics trbjds. Hst el próimo encuentro! : 8 ). : ). : 6. ) 6 Rt c c b Rt c b b Rt : ) : ) 7 : 7 ) Rt f n m n m Rt n m n m n e Rt d

77 INGRESO 06 CLASE N ECUACIÓN DE PRIMER GRADO Y FUNCIÓN LINEAL 77

78 INGRESO 06. Objetivos específicos Comprender el concepto de Ecución. Afinzr l destrez en l resolución de ecuciones de grdo. Utilizr l terminologí decud. Reconocer un función linel. Grficr un función linel. Reconstruir el modelo mtemático prtir del gráfico de un función linel. Interpretr consigns. Logrr estim entre compñeros docente.. Contenidos Ecuciones. Ecución de primer grdo. Función linel. Reconstrucción de un función linel. Prlelismo perpendiculridd. Actividdes individules de ejercitción problems. Plbrs de cierre.. Esquem conceptul: vinculción de contenidos de l Clse : 78

79 INGRESO 06 ECUACIÓN DE GRADO O LINEAL Qué es? Resolverl Un iguldd que present un incógnit elevd l potenci uno. Es determinr el vlor de l incógnit de tl mner que stisfg l iguldd plnted Se utilizn pr FUNCIÓN LINEAL Qué es? relcion Un modelo mtemático que represent gráficmente un rect en un plno crtesino. Vlores de l vrible independiente con l vrible dependiente o función. Resolver problemátics en distints disciplins, modelizndo pr cd situción en prticulr un ecución linel o función linel, que represente l relidd plnted.. Desrrollo teórico - práctico 79

80 INGRESO 06 ECUACIONES Cundo se utiliz el término ecución, qué ide nos sugiere? PARA PENSAR Y REFLEXIONAR Observemos los diferentes csos que se nos pueden presentr. Todos ellos tienen lgo en común que hce que se denominen en generl ecuciones. ) 0 b) c) log ( ) d) 0 e) 7 f) sen ( ) Trtemos de elborr un conclusión que nos permit definir el término ecución, teniendo en cuent los csos nteriores, su nálisis e interpretción. Ls ecuciones pueden clsificrse, según el tipo de operción que vincul l incógnit con el resto de l epresión, en: Algebrics Enters Frccionris Ecuciones No lgebrics o trscendentes Eponenciles Logrítmics ACTIVIDADES Intentemos ubicr cd uno de los ejemplos nteriores de cuerdo l clsificción dd. 80

81 INGRESO 06 ECUACIÓN DE PRIMER GRADO PARA PENSAR Y REFLEXIONAR A prtir de los siguientes ejemplos, confiremos en nuestr cpcidd de observción nálisis: Por qué se denominrán ecuciones de º grdo? Qué supone resolver un ecución de º grdo con un incógnit? Anlicemos, interpretemos enunciemos ls respuests con terminologí decud. ) 6 b) Pueden demás presentrse otrs situciones especiles, como por ejemplo:.( ).( )

82 INGRESO 06 En relidd esto se comport como un identidd, que se verific pr culquier vlor de l vrible. Lo ejemplificdo, en mtemátic se conoce con el nombre de comptibilidd pero con muchs soluciones posibles. Vemos este otro cso:.( ).( ) Es imposible que eist un vlor de l vrible que stisfg l ecución esto se observ porque nos d un bsurdo mtemático. Estos csos en mtemátic reciben el nombre de incomptibilidd. Muchs veces como ingenieros, contdores o dministrdores, nos puede suceder que, l modelizr un determind situción problemátic, se pueden plnter ecuciones que finlmente no dmiten solución. Resolvemos lguns de ests ecuciones lineles, despejndo el vlor de medinte el psje términos de un miembro otro?? ACTIVIDADES ) 7 Rt : 7 / b) Rt : / c) 8 Rt :9 / 8 d) Rt : 8

83 INGRESO 06 NOTIFICACIÓN IMPORTANTE L utilidd del mnejo de ecuciones de primer grdo, no es simplemente su resolución, sino que muchos problems pueden resolverse plntendo este tipo de ecuciones. Pr logrr el plnteo correcto en l solución de los mismos, lemos tentmente los enuncidos tres veces (mínimo): l primer vez, simplemente nos drá un ide generl de qué trt l problemátic. l segund lectur nos permitirá tomr los dtos correctos que el enuncido nos brind cuál es el objetivo que persigue. recién en l tercer lectur logrremos relcionr los dtos entre sí pr llegr l plnteo de l ecución (modelo mtemático) que nos permitirá logrr el objetivo desedo. Anlicemos los siguientes ejemplos resueltos: ) Cuántos clvos tiene un cjón, si se sbe que puede vcirse scándole l primer vez, l mitd de los clvos, quitndo luego, l mitd de los que quedn más un clvo finlmente quitándole nueve clvos más? Pr llegr l ecución que permitirá conocer l cntidd totl de clvos presentes en el cjón, se debe signr un vrible, por ejemplo, que represente l totlidd de clvos. A prtir de hí, relcionr los dtos presentes en el enuncido, de cuerdo est vrible que represent el totl. Anlicemos: : cntidd totl de clvos : mitd de los clvos (primer vez) : l mitd de los que quedn más uno (segund etrcción) 9 : clvos que finlmente se scn (últim etrcción) Recién cundo se tiene clro cómo indicr en función de l vrible cd uno de los psos que propone el problem, estás en condiciones de plnter l ecución complet pr su solución definitiv, es decir, rmr el modelo mtemático desedo! Entonces, l ecución es: 9 Este es el modelo mtemático! 8

84 INGRESO 06 Por lo tnto lo que nos qued hor es resolver es ecución linel pr encontrr l respuest l problemátic plnted, vemos: Rt.: el cjón tiene un totl de 0 clvos. b) Encontrr un número sbiendo que su duplo es igul su mitd más nueve. Leímos el enuncido vris veces? Entones pensr! : Número determinr : Duplo del número : Mitd del número Entonces, l ecución es: 9 Este es el modelo mtemático! Que l resolverlo Rt.: el número es 6. c) Pr poder pgr el vije Briloche, los lumnos del colegio ZZ entregn el 0% del totl como nticipo, pgn en cuots el 0% del resto ún les flt bonr $800. Cuánto le cuest el vije cd lumno? Pensemos si: : Es el totl del costo del vije 0 0, entregn el 0% , 0,.(0,6) 0, pgn en cuots el 0% del resto : Flt bonr 8

85 INGRESO 06 L ecución será: 0,. 0,. 800 Este es el modelo mtemático! Que si lo resolvemos 0, 0, 800 0, 800 0, , Rt.: el costo del vije es de $ 8,. FUNCIÓN LINEAL A prtir de l siguiente epresión: Cuánts incógnits h en ell? Podrímos escribirl de otr mner? Cómo? Represent l mism epresión nterior? PARA PENSAR Y REFLEXIONAR Anlicemos hor, cómo podemos plnter un solución dich ecución, teniendo en cuent que ls incógnits que present son dos. Si le djudicmos vlores del conjunto de los números reles, qué ocurre con? Se puede precir que depende de los vlores que puede sumir ; o bien que pr cd vlor de, se obtiene un sólo vlor de. A este tipo de relción se l denomin función ; recibe el nombre de vrible independiente e vrible dependiente o función, que est depende de los vlores que sum. Retomndo el ejemplo, podemos observr que el eponente de l vrible independiente es uno por lo que est función es de º grdo, nálogmente l ecución vist nteriormente. Este tipo de funciones se denominn funciones lineles, donde demás, pr cd vlor de le corresponde un solo vlor de, es decir que eiste un correspondenci entre ls vribles, uno uno. 8

86 INGRESO 06 Pr ests funciones, como pr culquier tipo de función es posible definir el Dominio de ls misms como todos los vlores que puede sumir l vrible independiente, tl que l función eist. Su símbolo es Df. De l mism mner se define l imgen de l función como todos los vlores que sume l vrible dependiente o función. Se simboliz con If. En ls funciones lineles, el Df está formdo por el conjunto de los números reles, esto se debe que l función eiste o tiene imgen pr culquier número rel. Por lo tnto, l If tmbién es el conjunto de los números reles. NOTIFICACIÓN IMPORTANTE Ahor bien, estos vlores de e que stisfcen l relción plnted, podemos epresrlos como un pr ordendo ( ; ), donde el primer elemento del pr, corresponde l vlor signdo rbitrrimente l vrible el segundo elemento del pr, corresponde l vlor que tom l vrible, que depende del nterior. Estos pres ordendos representn puntos del plno, por lo tnto refleionemos cerc del porqué de est firmción. Anlicemos: los vlores rbitrrios de l vrible, independientemente de los vlores de, pertenecen l conjunto de los números reles. Por lo tnto dichos vlores necesitn de un rect pr ser representdos geométricmente. Otro tnto ocurre con los vlores que sume l vrible dependiente. Se necesit, entonces, un rect que represente l conjunto de vlores de otr rect pr representr los vlores de. Surgen sí ls coordends crtesins, donde cd eje represent un conjunto de números reles. Retomndo el ejemplo plntedo nteriormente: podemos confeccionr un tbl de vlores que represente los pres ordendos que cumplen con l relción plnted grficrlos en el sistem de coordends ntes menciond. De est mner, surgen los puntos en el plno que representn cd uno de esos pres ordendos. (+) 0 - (0;) (+) (;- ) 86

87 INGRESO 06 Se podrín plnter infinidd de pres ordendos, que stisfcen l función. Si todos esos puntos representdos en el plno, los unimos, surge sí l líne rect que crcteriz el gráfico de est función. Dich rect es l representción geométric de l relción: ; llmd función linel. PARA PENSAR Y REFLEXIONAR Observemos nlicemos detenidmente el gráfico, vinculémoslo epuesto nteriormente. con lo Not: observemos que l rect cort en l bscis =/ en l ordend = NOTIFICACIÓN IMPORTANTE En generl: =. +b represent un función linel gráficmente es un rect, donde b son coeficientes constntes. El coeficiente es l pendiente de l rect b se denomin ordend l origen. Podrímos eplicr el porqué de su nombre qué represent gráficmente? 87

88 INGRESO 06 PARA PENSAR Y REFLEXIONAR Somos cpces de deducir el interrognte plntedo! Pr ello nos podemos udr observndo el ejemplo nterior. Como dijimos, el coeficiente recibe el nombre de pendiente o tmbién es denomindo coeficiente ngulr de l rect. Recordemos el porqué de su nombre. Observemos ls siguientes rects sus gráficos: Figur Figur En generl tods ls rects, slvo csos prticulres que nlizremos más delnte, cortn l eje (bsciss), formndo con el sentido positivo del eje (sentido hci l derech o ntihorrio), un ángulo: (β). El coeficiente es l tngente trigonométric de ese ángulo. Recordemos que ls funciones trigonométrics de un ángulo, son vlores numéricos que pueden determinrse en tbls específics o bien en l clculdor. Si ese tem no lo conocemos, no h problem, pues lo retomremos más delnte. Pr grficr l función linel es suficiente con determinr dos puntos en el plno, que respondn l relción plnted entre e. Hcemos mención est relción de: = tg (β), que es importnte tener en cuent est iguldd porque nos permite nlizr el signo de ese coeficiente con el tipo de inclinción que present l rect gráficmente. Si el ángulo β está comprendido entre 0º 90 º, es decir 0º < β < 90º, los vlores de ls tngentes trigonométrics 88

89 INGRESO 06 correspondientes, son siempre positivs. De llí que el coeficiente ngulr o pendiente es positivo o mor que cero ls rects presentn el tipo de inclinción que muestr l figur. Ahor bien, si el ángulo β está comprendido entre 90º 80º, es decir 90º < β < 80º, los vlores de ls tngentes trigonométrics correspondientes dichos ángulos son de signo negtivo. Entonces, el coeficiente ngulr es negtivo, ls rects presentn el tipo de inclinción que muestr l figur. Es importnte que nlicemos tengmos presente l relción que eiste entre el signo del coeficiente ngulr o pendiente l inclinción que debe presentr l rect cundo se grfic. Esto nos permite formr un ide previ de cómo se debe ver l rect grficd ntes de relizr lgún tipo de cálculo. De est mner, si incurrimos en lgún error en los cálculos de los puntos (pres ordendos) que stisfcen l relción del modelo mtemático, el gráfico no se corresponde con es ide previ, entonces podemos revisr dichos cálculos corregirlos nosotros mismos. Logrremos sí tener un gráfico que concuerde con l función dd. NOTIFICACIÓN IMPORTANTE Recordemos que pr grficr un rect es suficiente con dos puntos del plno. Dos puntos del plno determinn un solo un rect. Un concepto útil tmbién de much plicción pr otrs funciones se refiere los puntos de corte los ejes. Es decir en qué puntos sobre los ejes crtesinos cort l función. PARA PENSAR Y REFLEXIONAR Cómo encontrr los puntos de corte? Refleionemos: Pr que un rect corte l eje (ordend) Qué vrible debe vler cero? Pr que un rect corte l eje (bscis) Qué vrible debe vler cero? 89

90 INGRESO 06 Observemos el gráfico siguiente respondmos los interrogntes. Contmos con herrmients pr hcerlo! Determinemos los puntos de corte los ejes El concepto de puntos de corte los ejes el rzonmiento que esto inclue, es importnte pr muchs plicciones. Como por ejemplo l Función Costo Totl Función Ingreso Totl en un empres. Conceptos tn válidos pr ls ciencis económics como pr ingenierís. Csos prticulres: A continución tenemos plnteds lguns epresiones como: = = - o bien = = - Dichs epresiones tmbién representn rects que mnifiestn un prticulridd en su gráfic. Recordemos cuál es dich prticulridd? Observemos que tnto como están igulds un constnte. Eso quiere decir que ess rects son prlels los ejes. En el cso en que se igul un constnte, entonces l rect es prlel l eje (rect verticl). En el cso que se igul un constnte, entonces l rect es prlel el eje de ls (rect horizontl). 90

91 INGRESO 06 Observemos los siguientes gráficos eso nos udrá refleionr l respecto: = - = = - = - A continución te proponemos lguns rects pr grficr podemos controlr con ls clves de respuests dds. 9

92 INGRESO 06 ACTIVIDADES ) Rt : cort en / e b) Rt : cort en 8 e c) Rt : cort en e d) Rt : cort en e RECONSTRUCCIÓN DE LA FUNCIÓN LINEAL En muchs ocsiones se tiene que determinr l función linel prtir de dos puntos conocidos. Un de ls mners de logrr l función correspondiente, es utilizndo el mismo modelo mtemático, es decir b Conocer los puntos por donde ps l rect supone conocer los pres ordendos correspondientes (;). Por lo tnto, si se reemplzn dichos vlores en el modelo plntedo, según correspond, qued un sistem de dos ecuciones con dos incógnits: b que puede ser resuelto por culquier método que conozc: sustitución, igulción, sum o rest, etc, dichos métodos se plnterán más delnte. Observemos que los dtos son justmente, vlores de ls vribles e (pres ordendos). Por lo tnto pr llegr l modelo linel se debe determinr los coeficientes: b. Anlicemos el ejemplo siguiente: determinr grficr l función linel que ps por los puntos P( -; ) P( ; ). Siempre es conveniente grficr los puntos en el sistem de coordends crtesins trzr l rect previ los cálculos ritméticos pr determinr los vlores de los coeficientes b. Esto nos permitirá ver clrmente el signo del coeficiente ngulr que debe obtener de cuerdo l inclinción de l rect, demás el vlor de b (ordend l origen), proimdmente. Siempre debe relizr los cálculos en form nlític. 9

93 INGRESO Entonces, sustituendo los vlores de ls vribles e en el modelo linel, ( b ) nos qued el siguiente sistem:. b. b Pr resolver este tipo de sistem, el método más decudo es restndo un ecución de otr, miembro miembro. Recordemos cómo debe efecturse l rest en epresiones lgebrics (términos semejntes).. b. b restndo miembro miembro. de donde se puede despejr, es decir el coeficiente ngulr o pendiente. luego, reemplzndo este vlor en culquier de ls ecuciones nteriores se obtiene nlíticmente el vlor de b, ose l ordend l origen.. b b b, Un vez obtenidos los vlores de los coeficientes b, sólo qued rmr l función. Entonces, el modelo linel que corresponde es: El modelo linel se utiliz mucho en ciencis económics e ingenierí pr representr diferentes situciones problemátics. Es por est rzón que debe mnejrse 9

94 INGRESO 06 con idoneidd pr poder comprender scr conclusiones cundo se trnsfiere ests ciencis. El problem que continución se plnte persigue ese objetivo. L empres Bett S.A., de cuerdo l Legislción de Riesgo del Trbjo pg en concepto de ART un monto fijo mensul de $ 000, su vez, un ts vrible de $ por empledo. ) Determinr l función linel que represent el costo en concepto de ART de est empres. b) Grficr dich función. c) Qué represent l ordend l origen de dich función? d) Cuál es el costo si el stff de l empres está compuesto por 00 empledos? e) Cuántos empledos trbjn en l empres si el costo de ART es de $00? Pr resolver los diferentes ítems, primero deberemos signr un vrible que represente l cntidd de empledos que puede llegr tener l empres. A est vrible l simbolizmos, l función costo l representmos con. Tengmos en cuent que en el modelo deben figurr no sólo los costos vribles por empledo sino tmbién el monto fijo. Entonces, si : cntidd de empledos se bon $ por cd empledo, más el monto fijo, el modelo linel puede ser plntedo como: ). 000 b) Gráfico: 8000 = c) Observemos el gráfico nlicemos: el vlor de l ordend l origen corresponde l monto fijo que debe pgr l empres. d) Pr determinr el costo de 00 empledos, sólo debemos tener en cuent cuál es l vrible que represent l número de empledos, en este cso. Entonces, vlundo l función, según corresponde, se tiene:.(00) 000 ( 00) $00 9

95 INGRESO 06 e) En este ítem l pregunt es sobre l cntidd de empledos que deberí tener l empres pr frontr un costo de $ 00. Entonces se debe tener bien clro qué vrible del modelo represent ese costo. Por lo tnto: Por lo tnto, cundo el costo en ART es de $.00, l cntidd de empledos es PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD Los términos del título se refieren l relción que gurdn dos rects entre sí. PARA PENSAR Y REFLEXIONAR L pregunt es: Cuándo dos rects son prlels entre sí? Qué condición se debe presentr pr que sen prlels? Podemos resolver estos interrogntes con ls herrmients dquirids con el lenguje pertinente. A continución tenemos un gráfico ls epresiones nlítics correspondientes ess rects. Observemos tentmente los coeficientes ngulres o pendientes de cd un de ells compárlos. Luego elboremos ls conclusiones l respecto. 9

96 INGRESO =. - =. + PARA PENSAR Y REFLEXIONAR Otr pregunt es: Cuándo dos rects son perpendiculres entre sí? Qué condiciones se deben cumplir? Cómo se relcionn entre sí los coeficientes ngulres de cd un de ls rects? Con el siguiente ejemplo trbjemos de l mism form que en el cso nterior =. - = - / - 96

97 INGRESO 06 NOTIFICACIÓN IMPORTANTE A modo de conclusión: Dos rects son prlels entre sí, cundo sus coeficientes ngulres son igules. Si b es prlel b, entonces: Observemos que ls ordends l origen, son siempre diferentes, Por qué? Qué ocurre si ls ordends l origen tmbién son igules? Se trtrí de un rect prlel o de l mism rect? NOTIFICACIÓN IMPORTANTE Dos rects son perpendiculres entre sí, cundo sus coeficientes ngulres son recíprocos de signo contrrio. Si b es perpendiculr, entonces b Observemos que cundo ls rects son perpendiculres entre sí ls ordends l origen de cd un de ells pueden o no ser igules. Por qué? Vemos los siguientes ejemplos: ) Dd l función linel, encontrr l rect prlel l mism que ps por el punto (; -). Pr resolver el plnteo nterior, se utiliz siempre el modelo linel crcterístico: =. + b. A prtir de los dtos podemos determinr el coeficiente ngulr, teniendo en cuent ls condiciones de prlelismo. Esto es: Reemplzndo dicho coeficiente ngulr los vlores del pr ordendo del punto ddo en el modelo, se obtiene el vlor de b (ordend l origen). b esto, corresponde reemplzr l pendiente por l condición plnted de prlelismo. () b reemplzndo hor el pr ordendo en l ecución. 97

98 INGRESO 06 b b Operndo lgebricmente, obtenemos l ordend l origen. L función linel prlel l dd que ps por el punto ( ; -) es: b) Dd l función: determinr l rect perpendiculr l mism que pse por el punto (- ; 0). Utilizndo el mismo rzonmiento l condición de perpendiculridd, se plnte l ecución pr determinr el coeficiente b (ordend l origen). L pendiente de l rect dd es, entonces, l pendiente de l rect perpendiculr que buscmos es. Reemplzndo convenientemente, l pendiente el pr ordendo en el modelo linel, se obtiene l ordend l origen. 0 ( ) b b Operndo lgebricmente, obtenemos l ordend l origen. 98

99 INGRESO 06 L función perpendiculr l dd, que ps por el punto (- ; 0) es, l gráfic es: Este tipo de ejercitción se reforzrá un poco más en ls ctividdes individules que te propondremos más delnte! 99

100 INGRESO 06 ACTIVIDAD INDIVIDUAL ACTIVIDADES DE EJERCITACIÓN Y PROBLEMAS DE LA CLASE Resolver ls siguientes ecuciones de º grdo: ) ( ).( ) ( ) Rt : b) 7 7 Rt : 9 c) d) ( ) Rt : 7 Rt : e) 0 Rt f) Rt : 0 g) 0 Rt : Resolver los siguientes problems, con un plnteo pertinente: ) Hllr un número sbiendo que su triplo ecede su mitd en. Rt : 6 b) Se dese cortr un lmbre de 8 metros de longitud en dos pedzos, tl que uno de ellos teng un longitud que se el triple de l del otro. Cuáles son ls longitudes de los lmbres? Rt :, (metros), (metros) c) Si del totl de págins de un libro dedico / pr reproducir fotogrfís dibujos quedn hojs. Cuánts págins tendrá el libro? Rt : 868 ose 90 pgins 00

101 INGRESO 06 d) Un botell su tp cuest $6 l botell cuest veces el vlor de l tp. Cuál es el precio de l botell de su tp? Rt : tp: $ botell: $ e) Un librero dice: Vendí un libro, un cuderno un lápiz por $. Por el cuderno le pgron el doble del vlor del lápiz; por el libro veces lo que le pgron por el cuderno. Cuánto cobró por cd rtículo? Rt : lápiz $, cuderno $ libro $8. f) Un señor tiene ños de edd más que su hijo dentro de ños su edd será el doble que l de su hijo. Qué edd tiene el pdre hor? Rt : 0 ños En un mismo sistem de coordends crtesins ubicr los siguientes pres ordendos: (0 ; ) ( ; 0) ; ( ;/ ) (- ; -7) ; (/ ; - 6) (- ;/) Indicr cuál de ls siguientes funciones son lineles: ) 7 b) c) 0 d) e) f) Indicr, cuál o cuáles de los siguientes pres ordendos pertenecen l función: ) (-; ) b) ( - ; /) c) (0; ) d) (- ; 8) e) (-/; 0) f) ( / ; ) 0

102 INGRESO 06 6 Grficr ls siguientes funciones lineles: ) b) c) d) e) f) 6 g) h) 0 7 Dd l función determinr l rect prlel perpendiculr l mism, que mbs psen por el punto (; 0) respectivmente. 8 Cómo se interpret l iguldd f () =? ) Que l imgen de es. b) Que l función vlud en es. c) Que el vlor de l función es igul cundo es igul. d) Tods ls nteriores son corrects. e) Ningun de ls nteriores es correct. 9 Encontrr l función linel de cuerdo los siguientes dtos grficrl: ) Ps por los puntos (-; ) (/; 7) b) Ps por los puntos (0; ) (; -) c) Su pendiente es ps por el punto (; -/) d) El coeficiente ngulr es / ps por el punto (-; -) 0 Dd un función f() = + b en donde b es positivo es negtivo, indicr cuál de ls siguientes firmciones es verdder: ) Cundo l vrible independiente disminue, l función disminue. b) L rect cort l eje de ordends en su sección positiv. c) L rect cort l eje de ls bsciss en su sección negtiv. d) L rect cort l eje de ls bsciss en =. e) El punto (0; - b) pertenece l gráfic de l función. 0

103 INGRESO 06 Reconstruir ls funciones prtir de los siguientes gráficos los dtos que en ellos están eplicitdos: ) b) c) d) ( ; )

104 INGRESO 06 e) 0 f) / / g) -0 h) (-, ) / / Respuests: ) b) c) d) 8 e) f) g) 8 h) Resolver los siguientes problems de plicción: ) El costo de fbricr 0 rtículos es de $ 000, mientrs que si se producen 00 rtículos, el costo es de $ 00. Suponiendo un modelo de costo linel, determinr l función costo grficr. Rt: CT ( ) 8,7 70 0

105 Precio Costo Totl UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CÓRDOBA INGRESO cntiddes producids b) L empres JJ decide vender 0 clefctores, si el precio por unidd es de $0. Si el precio ument $00 por unidd, l empres está dispuest vender 0 clefctores. Determinr el precio en función de l cntidd. Grficr. Rt: P q Cntidd 0

106 Costo de energí UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CÓRDOBA INGRESO 06 c) El costo en concepto de Luz Energí que l empres ZZ debe enfrentr por mes, está compuesto por dos conceptos; por un ldo l empres debe bonr un monto fijo de $00 por bimestre su vez por cd kilowtt consumido en el bimestre l empres debe pgr $0,0. Encuentre l función Costo Totl grfíquel en un sistem de coordends crtesins. Rt: CT 0, Kilowtt consumidos Plbrs de cierre Estimdos estudintes, comenzmos en est segund etp con ecuciones funciones. Tengmos en cuent siempre el álgebr elementl que trbjmos nteriormente. En cd cálculo que tengmos que hcer, estrá siempre presente. Todví quedn por revisr lguns funciones elementles que se hn trbjdo en el nivel medio. Recordemos que l comienzo de nuestr próim clse tendremos un tiempo pr evcur tods ls duds que surjn l trbjr solos. Suerte! hst el próimo encuentro. 06

107 INGRESO 06 CLASE N 6 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 07

108 INGRESO 06. Objetivos específicos Recuperr el concepto de ecución hcerlo etensivo sistem. Internlizr los métodos de solución de sistem de ecuciones lineles. Afinzr l destrez en resolución de ejercicios problems sencillos. Utilizr l terminologí decud. Interpretr consigns. Logrr estim entre compñeros docente.. Contenidos Sistem de ecuciones lineles. Definición solución. Método gráfico. Métodos nlíticos: determinntes, igulción, sustitución reducción. Un problem de plicción de sistem de ecuciones lineles. Actividdes individules de ejercitción problems. Plbrs de cierre.. Esquem conceptul: vinculción de contenidos Clse 6 08

109 INGRESO 06 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Qué es? Es un sistem con dos ecuciones lineles o ecuciones de primer grdo con dos vribles, donde cd un de ells represent un rect. Se resuelven por: A) Método gráfico B) Métodos nlíticos Como los siguientes B) Determinntes B) Igulción B) Reducción B) Sustitución Se utilizn pr: RESOLVER ciertos Ejercicios o Problems Modelizndo situciones en Economí, Físic, Químic, Biologí, Ingenierí, etc.. Desrrollo teórico - práctico 09

110 INGRESO 06 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Observemos el siguiente ejemplo: L epresión nterior muestr lo que es un sistem de dos ecuciones lineles con dos incógnits. PARA PENSAR Y REFLEXIONAR Cómo podemos eplicr con lenguje propido el porqué de su nombre? Pr responder tengmos en cuent: Qué es un sistem? Qué es un ecución? Qué sugiere el término linel? Observemos ls dos igulddes. Cd un de ells es un ecución linel con dos incógnits e. DEFINICIÓN Y SOLUCIÓN Se dice que un sistem de dos ecuciones lineles con dos incógnits es un pr de ecuciones de primer grdo con dos vribles bjo l form: b c () b c () con :, b, c, c, b R llmdos " térm. independientes", " incógnits" R de hor en delnte " coeficientes" en donde l solución es el pr ordendo (;) que stisfce simultánemente mbs ecuciones. (Ar-Lrder, 009). 0

111 INGRESO 06 PARA PENSAR Y REFLEXIONAR Qué implic entonces resolver un sistem de ecuciones lineles? Qué métodos son reconocidos como válidos pr hcerlo? Un sistem de ecuciones lineles se puede resolver con dos métodos diferentes: A) MÉTODO GRÁFICO Si recordmos que cd un de ls ecuciones represent un rect, si el sistem tiene un solución únic, evidentemente eiste un pr ordendo (;) que stisfce mbs ecuciones. Gráficmente ese pr ordendo que verific mbs ecuciones, es el punto de intersección entre mbs rects. Pr udrnos, observemos el gráfico que represent l sistem plntedo l principio, e intentémoslo nuevmente: = - + = - Segurmente debes recordr que los sistems de ecuciones lineles se pueden clsificr en:. Comptibles o consistentes: con un o infinits soluciones.. Incomptibles o inconsistentes: sin solución. Esto se interpret gráficmente de l siguiente mner: El sistem con un solución únic, corresponde dos rects que se cortn en un punto. El punto de corte es precismente l solución del sistem.

112 INGRESO 06 (;) Not: este fue el cso que presentmos como ejemplo en el párrfo nterior. Este sistem se dice que es consistente de solución únic. El sistem con infinits soluciones corresponde dos rects superpuests o igules. Por lo tnto todos los puntos sobre ls rects (que son infinitos), son solución del sistem. Este sistem tmbién es consistente, no obstnte con infinits soluciones. Y finlmente: El sistem sin solución corresponde dos rects prlels. Por lo tnto l no cortrse nunc no portn soluciones l sistem de ecuciones plntedo. Este sistem es inconsistente, es decir sin solución.

113 INGRESO 06 B) MÉTODOS ANALÍTICOS Pr resolver un sistem de ecuciones lineles eisten vrios métodos, entre los cules podemos mencionr el método de sustitución, igulción, determinntes, por reducción otros que se bordrán en primer ño de l Fcultd. Algunos de estos métodos de resolución fueron estudidos en el nivel medio, por lo tnto puedes consultr l bibliogrfí utilizd en ese entonces. Estos métodos no gotn l totlidd de mners de resolver un sistem de ecuciones lineles. Por rzones de prcticidd solmente se plnten el método de determinntes, igulción, sustitución de reducción. B) MÉTODO DE DETERMINANTES Ddo el sistem: 0 En qué consiste el método? Como su nombre lo indic, pr encontrr los vlores de e que stisfcen mbs ecuciones, debemos formr un cociente entre dos determinntes. Un determinnte numerdor otro denomindor. Los elementos que componen un determinnte están ubicdos ordendos por fils (en lo horizontl) por columns (en lo verticl). Dichos elementos son los coeficientes que se encuentrn en ls ecuciones. L pregunt es cómo ordenrlos? Observemos el desrrollo del método pr el ejemplo ddo trte de llegr lgun conclusión. C. TI C. C. C T.I Coeficientes º ecución 0 Coeficientes º ecución Coeficientes º ecución 0 Coeficientes º ecución Pr lo cul: C : coeficiente C. TI: coeficiente término independiente C. : coeficiente de C. : coeficiente de

114 INGRESO 06 No perdmos de vist que pr cd incógnit eiste un cociente entre determinntes. Compremos los determinntes denomindores pr cd incógnit, qué observmos? Dichos determinntes son igules reciben el nombre de determinnte principl. Cómo se ordenn los coeficientes dentro de ese determinnte? Observemos los coeficientes de ls incógnits en ls ecuciones, volvmos l plnteo nlicemos ls posiciones de los mismos en el determinnte principl. Ahor visulicemos cómo se construen los determinntes del numerdor, denomindos determinntes secundrios. Los coeficientes de están ubicdos en l primer column, en el mismo orden que tenín en ls ecuciones originles. Los coeficientes de están ubicdos en l segund column, respetndo el mismo orden nterior. Cómo se conform entonces el determinnte numerdor? Compremos nuevmente l column que pertenece l incógnit buscd en el determinnte numerdor con l correspondiente en el determinnte principl (denomindor). Qué ocurrió con los elementos? Por qué vlores fueron reemplzdos? Observemos que l otr column no fue lterd. NOTIFICACIÓN IMPORTANTE Los determinntes del numerdor, denomindos secundrios, se construen de l siguiente mner: En los de l incógnit, se reemplz los coeficientes de por los de los términos independientes los coeficientes de quedn tl cul, es decir, como se posicionron en el determinnte principl. En los de l incógnit, se reemplz los coeficientes de por los términos independientes los coeficientes de quedn tl cul, o se, como se posicionron en el determinnte principl. Quizás con un sol lectur, este desrrollo prezc complicdo. Volvmos leerlo detenidmente nlicemos lo epresdo en plbrs con el desrrollo del ejemplo resuelto. El problem hor es resolver cd uno de esos determinntes. Por supuesto que cd uno de ellos se resuelve operndo de l mism mner. En los determinntes plntedos, están señldos con un líne llen los etremos opuestos del determinnte (de derech izquierd) conformn lo que se denomin digonl principl de un determinnte. L líne en cmbio denotd con puntos se denomin digonl secundri.

115 INGRESO 06 El vlor numérico socido ese determinnte, es l diferenci entre el producto de los elementos de l digonl principl, menos el producto de los elementos de l digonl secundri. Observemos cómo se oper: Entonces el vlor de que stisfce l sistem de ecuciones es uno el vlor de que stisfce l sistem de ecuciones tmbién es uno; que se el mismo vlor es sólo pur coincidenci. Ambos vlores conformn un pr ordendo: (;), el cul represent un punto en el plno. Dicho punto es donde se intersectn ls rects del sistem plntedo cundo ésts son grficds en el mismo sistem de coordends crtesins, como lo muestr el gráfico siguiente: = = - + A continución tenemos un ejemplo resuelto, lo utilizremos como utoevlución. Es decir, resolvmos solos, si no llegmos l resultdo correcto, observemos compremos nuestro trbjo con el ejemplo. Busquemos determinemos el error. Suerte delnte!

116 INGRESO 06.( ).( ) 0 8 = - ( ).( ) ( ).( ) 6 ( ). ( ). 6 ( ) ( ) ( ) ( ) 6 = - ½ Por lo tnto, el pr ordendo: (-;- ½), represent l solución nlític del sistem de ecuciones. Grfiquemos mbs rects en el mismo sistem de coordends crtesins compremos el pr ordendo con el punto de intersección de ls misms. Recordemos que deben coincidir. Siempre que resolvmos un sistem de ecuciones, verifiquemos los resultdos los que se rribó. Qué signific verificr? Simplemente, debemos corroborr que los puntos que encontrmos sen correctos, es decir, que verifiquen mbs ecuciones del sistem demás se el punto de intersección entre mbs rects. PARA PENSAR Y REFLEXIONAR En los dos ejemplos ddos, se puede decir si el sistem es consistente o inconsistente? De ser consistente, cuánts soluciones dmite, un o infinits? B) MÉTODO DE IGUALACIÓN Ddo el sistem: 0 Como se puede ver, hemos plntedo el mismo sistem de ecuciones que se utilizó con el método de determinntes. A trvés de un método distinto, se debe llegr l mismo resultdo. Es importnte que trbjemos siempre con quel método que nos resulte más sencillo. 6

117 INGRESO 06 PARA PENSAR Y REFLEXIONAR En qué consiste el método de igulción? Qué supone igulr? Qué elementos pueden ser iguldos? Como su nombre lo indic, el proceso de resolución busc igulr dos vribles presentes en el sistem pr poder reducirlo un sol vrible encontrr sí un de ls incógnits. Luego se utiliz ese vlor pr obtener l otr incógnit. Pr poder igulr, se debe tener lgun de ls dos vribles de l ecución despejds. En tl sentido, libremente elegimos qué vrible despejr, es indistinto, unque es recomendble que despejemos l vrible, pues de ést mner, tendremos el modelo linel pr llevrlo l gráfico. No olvidemos los conceptos lgebricos de trsposición de términos de un miembro otro pr despejr correctmente. Entonces, despejndo l vrible el sistem es: Ahor que tenemos l vrible despejd de mbs ecuciones, se pueden igulr los segundos miembros, que: si los primeros términos de ls ecuciones son igules entre sí, entonces los segundos tmbién lo son : Qued formd un ecución linel de un sol incógnit. Operndo lgebricmente se encuentr el vlor de. Entonces: Cómo encuentr el vlor de? En cuál ecución debe reemplzr? Como el vlor de verific mbs ecuciones l mismo tiempo, se puede reemplzr tnto en l primer como en l segund ecución (es indistinto). Entonces: Como se ve, el pr ordendo, solución de éste sistem es (;) como se comprobó nteriormente, es decir en el método de determinntes. B) MÉTODO POR SUSTITUCIÓN Ddo el sistem: 0 7

118 INGRESO 06 PARA PENSAR Y REFLEXIONAR Cómo oper el método de sustitución? Qué es sustituir? El método por sustitución busc resolver el sistem de ecuciones trvés de sustituir o reemplzr en un ecución, un vrible por otr, pr que se reduzc un ecución linel con un sol incógnit. Nuevmente pr poder sustituir, debemos despejr un de ls vribles, lo cul es indistinto. No es necesrio que despejemos l mism vrible de mbs ecuciones, bst simplemente que despejemos un vrible en un de ls ecuciones. Por ejemplo, si se despej l vrible de l ecución (), se obtiene:. Luego se sustitue est epresión, en l ecución () est se reduce un ecución linel de un sol vrible, con lo cul, operndo lgebricmente se determin el vlor de. Observemos continución: 0 0 Reemplzndo el vlor de en l ecución (), se determin el vlor de. () El pr ordendo soluciones entonces, el punto (; ). B) MÉTODO POR REDUCCIÓN Pr resolver sistems de ecuciones por éste método, tmbién conocido como método de sum rest, utilizremos el siguiente ejemplo: 8

119 INGRESO 06 Ddo el sistem de ecuciones: () () PARA PENSAR Y REFLEXIONAR Cómo están ordendos los elementos del sistem? Dónde se ubicn, los términos independientes de ls ecuciones? Es necesrio que siempre se mnteng dicho orden? Pr resolver el sistem, es conveniente trbjr ordenndo ls vribles en un miembro los términos independientes en el otro miembro de l iguldd. El orden que elijmos en l primer ecución, se debe mntener en l segund. Qué busc el método de reducción? Como su nombre lo indic, el objetivo que persigue es reducir el sistem de dos ecuciones con dos incógnits, un sol ecución con un sol incógnit. Pr ello, es necesrio reducir o eliminr un de ls vribles, por l operción sum o rest entre ls ecuciones. Pero, cómo se logr esto sin lterr el sistem? Ahor bien, cundo un ecución se multiplic por un constnte distint de cero, en mbos términos de l iguldd, ést no cmbi. El propósito que se persigue es eliminr un de ls vribles sumndo o restndo un ecución de otr, por lo que los coeficientes de dich vrible deben ser igules, pero de signo contrrio, pr cundo se efectúe l sum o rest, según correspond, est vrible se elimin ( que su coeficiente será cero) el resultdo obtenido es un ecución de un sol incógnit. Entonces se propone seguir los siguientes psos: NOTIFICACIÓN IMPORTANTE Multiplicr lgun de ls dos ecuciones por un constnte distint de cero. Restr o sumr miembro miembro de l ecución (), l ecución (), de cuerdo l signo de los coeficientes, pr eliminr l vrible. Operr lgebricmente pr obtener el vlor de l otr incógnit. Sustituir el vlor de l incógnit determindo, en un de ls ecuciones plnteds, pr logrr el vlor de l incógnit fltnte. 9

120 INGRESO 06 Anlicemos el siguiente ejemplo: Se multiplic l ecución () por tres luego se rest, entonces: () () 6 6 () () Cuiddo l restr ls epresiones lgebrics!!! 0 El sistem se redujo un ecución con un sol incógnit, de l que se deduce que: = - ½. Sustituendo dicho vlor en culquier de ls ecuciones (generlmente reemplzmos en l ecución que no hemos utilizdo ún), se encuentr el vlor de l otr incógnit: El pr ordendo solución del sistem plntedo es: P (-; - ½) Por hor, sólo plntemos sistems de dos ecuciones lineles con dos incógnits, debido que sistems más complejos como de tres o más ecuciones con tres o más incógnits, o bien sistems mitos, supern el objetivo perseguido en este curso serán plntedos, en ls signturs correspondientes en l crrer elegid. A continución tenemos lgunos sistems de dos ecuciones lineles con dos incógnits pr que resolvmos por el método que nos quede más cómodo... Lo hcemos? Contmos con ls respuests pr que podmos controlr los resultdos obtenidos: 0

121 INGRESO 06 ACTIVIDADES ) () Rt : ; b) 8 () Rt : ; c) d) () () () () Rt : ; Rt : ; NOTIFICACIÓN IMPORTANTE que: Pr culquier de estos métodos nlíticos vistos, se deberá tener en cuent 0 0 sistem con soluciones. 0 sistem sin solución. UN PROBLEMA DE APLICACIÓN DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Vemos el siguiente cso: L empres Genius S.A. está interesd en determinr el nivel de producción prtir del cul l compñí obtiene utiliddes. Ls funciones costos e ingresos de l empres son ls que se detlln continución: CT( ) 0 00 I ( )

122 Costos/Ingresos UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CÓRDOBA INGRESO 06 Pr que l empres obteng utiliddes, es necesrio que el nivel de ingresos se superior los costos totles en que incurre l firm. PARA PENSAR Y REFLEXIONAR Cómo deben ser los ingresos en relción los costos, pr que l empres no presente ni pérdids ni gnncis? Observemos el gráfico, nlicemos l tbl relcionemos mbos. Esto nos permitirá llegr l conclusión correspondiente responder l pregunt nterior. Nivel de Producción CT () IT () E Nivel de Actividd CT () IT () Qué represent el punto E? Encontrr el Punto de Equilibrio supone hllr el nivel de producción pr el cul los costos totles de l empres son igules sus ingresos totles. Esto quiere decir que en el Punto de Equilibrio, l utilidd de l empres es igul cero. Qué quiere decir esto desde el punto de vist mtemático? Pr responder ést pregunt refleionemos un momento:

123 INGRESO 06 Qué representn ls funciones costo e ingreso? Conformn ells un sistem? Qué supone resolver nlíticmente un sistem de ecuciones? Qué es dicho Punto de Equilibrio? Ests funciones son lineles conformn un sistem linel que se puede resolver utilizndo los conocimientos previos. Entonces, el punto de equilibrio es el pr ordendo (,) que verific mbs ecuciones. Por lo tnto lo que debemos hcer, es resolver el sistem (nlíticmente) por culquier de los métodos epuestos nteriormente. Propongámonos resolverlo quí por el método de igulción, unque somos libres de elegir otro método. CT IT 0 El método de igulción, pone en evidenci el concepto económico del punto de equilibrio. Luego, operndo lgebricmente: Qué signific =? Esto signific que cundo el nivel de producción es, los costos los ingresos son igules. Pero no debes olvidr que l hblr de punto, debemos indicr no sólo el vlor de bscis ( ), sino tmbién el vlor de ordend ( ). Reemplzndo en culquier de ls funciones (tnto costos como ingresos) se obtiene: CT( ) 0 CT(). 0 CT Es decir que es el vlor que sumen los ingresos o los costos pr un nivel de producción igul. Qué sucede en un nivel de producción inferior l de equilibrio? Y en un nivel superior? Como podemos precir en el gráfico, en un nivel de producción inferior l de equilibrio, por ejemplo cundo se producen uniddes, los costos de l empres son superiores los ingresos que ést puede generr. Por lo tnto podemos decir que l firm está en un zon de pérdids. Por el contrrio, cundo l empres produce en un nivel superior l de equilibrio, por ejemplo uniddes, los costos son inferiores los ingresos, l compñí está en un zon de gnncis. Verifiquemos nlíticmente cuáles son los costos los ingresos pr un nivel de ctividd (producción) igul.

124 INGRESO 06 ACTIVIDAD INDIVIDUAL ACTIVIDADES DE EJERCITACIÓN Y PROBLEMAS DE LA CLASE 6 Resolver los siguientes sistems de ecuciones lineles de primer grdo con dos incógnits en form nlític, prcticndo los distintos métodos grficr lgunos. 6 Rt : (; 7) 6 Rt : ( 6 ; 6 ) Rt : ( 7; 7) Rt : (;0) Rt : (; ) 6 Rt 6 6 : (;6) 7 7 Rt : soluciones Rt :sin solucion 8 9 Un cmión puede llevr 6 cjones de mercderís A de ls B. Si se quitn 6 cjones de l A puede poner uno más de l B. Cuál es el peso de los cjones A B si el cmión puede crgr 800 kilogrmos? Rt: 0 70 respectivmente. 0 L sum de dos números d su diferenci es 9. Cuáles son esos números? Rt:. Si se ument en [cm] el lrgo el ncho de un rectángulo, el perímetro result de [cm]. Si el lrgo se disminue en [cm] result un cudrdo. Cuáles son ls dimensiones del rectángulo? Rt: [cm] [cm].

125 INGRESO 06 He comprdo dos herrmients de distintos precios. L herrmient A cuest $00 menos que el doble de lo que cuest l B, ést vle $0 más que A. Cuánto pgué por cd herrmient? Rt: $0 $60. Determinr l edd de un señor l de su hijo sbiendo que l del primero es el cuádruplo de l del segundo que el pdre tiene ños más que su hijo. Rt: 8 ños. Un señor pgó por un lote de cbllos vcs $800 por otro lote de cbllos vcs $00. Cuánto pgó por cd cbllo cd vc? Rt: $00 00 respectivmente. El costo totl dirio (en dólres) de producir sills está ddo por: C() =, + 00 ) Si cd sill se vende $. Cuál es el punto de equilibrio entre los costos los ingresos? b) Si el precio de vent se increment $ por sill. Cuál es el nuevo punto de equilibrio? c) Si se sbe que l menos 0 sills pueden venderse l dí. Qué precio deberá fijrse con el objetivo de grntizr que no h pérdids? Rt: ) El punto de equilibrio de verific en (00; 800). b) El punto de equilibrio de verific en (0; 600). c) El precio deberí ser $,. Plbrs de cierre Estimdos estudintes: nos esper otr semn con bstnte trbjo por relizr, pero no desnimrnos porque somos cpces de hcerlo. Además, como los tems desrrolldos en est clse están en vínculo directo con l clse nterior, logrremos fácilmente cumplimentr ls distints ctividdes propuests. No olvidemos, como siempre, notr tods ls inquietudes que surjn l hor de trbjr solos, pr resolverls en el próimo encuentro. Nos vemos!

126 INGRESO 06 CLASE N 7 ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Y FUNCIÓN DE SEGUNDO GRADO 6

127 INGRESO 06. Objetivos específicos Comprender el concepto de ecución de segundo grdo. Afinzr l destrez en l resolución de ecuciones de segundo grdo. Reconocer un función cudrátic. Grficr un función de cudrátic. Reconstruir el modelo mtemático prtir del gráfico de un función cudrátic. Utilizr l terminologí decud. Interpretr consigns. Logrr estim entre compñeros docente.. Contenidos Definición resolución de l ecución de segundo grdo. Ejemplos de distints forms de solución. Propieddes de ls ríces de l ecución de segundo grdo. Epresión fctorizd de l ecución de segundo grdo. Función de segundo grdo. Csos prticulres de l función de segundo grdo. Reconstrucción de l función de segundo grdo prtir del gráfico. Actividdes individules de ejercitción problems. Plbrs de cierre.. Esquem conceptul: vinculción de contenidos Clse 7: 7

128 INGRESO 06 ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Qué es? Y resolverl Es clculr el vlor o los vlores de l incógnit de tl mner que stisfg l iguldd plnted Cómo? Un iguldd que present un incógnit elevd l potenci dos: b c 0 con 0 A trvés de l fórmul de l resolvente:, b b c Y se utilizn pr FUNCIÓN DE SEGUNDO GRADO Y relcion Qué es? Un modelo mtemático que represent gráficmente un curv conocid como prábol Vlores de l vrible independiente, con l vrible dependiente o función Resolver problemátics en distints disciplins, modelizndo pr cd situción en prticulr un ecución cudrátic o un función cudrátic, que represente l relidd plnted. Desrrollo teórico - práctico 8

129 INGRESO 06 DEFINICIÓN Y RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Observemos el siguiente ejemplo: 6 0 L epresión plnted, es un ecución de segundo grdo. PARA PENSAR Y REFLEXIONAR Por qué utilizmos el término ecución? Por qué de segundo grdo? Cuál es l potenci de en cd uno de los términos? Cuál es el término de mor grdo? Trtemos de responder con terminologí pertinente cd uno de los interrogntes. L ecución de segundo grdo se present en generl como: b c 0 Donde, b c son coeficientes numéricos : se denomin coeficiente principl porque es l constnte que compñ l vrible de mor grdo presente en l ecución siempre distinto de cero. b es el coeficiente del término de primer grdo en l ecución, c se denomin término independiente. NOTIFICACIÓN IMPORTANTE Recordemos que cundo =, l epresión nterior se llm reducid! Not que si bien, b c son constntes, b se los denomin coeficientes no simplemente constntes. PARA PENSAR Y REFLEXIONAR Cuál será l diferenci entre un denominción otr? Vemos se denominn coeficientes quells constntes que multiplicn un vrible en un ecución, pr significr justmente que no es un constnte culquier. L epresión nterior represent l form complet de l ecución de segundo grdo. Por qué complet? Están presentes tods ls potencis decrecientes de, desde dos hst cero? 9

130 INGRESO 06 PARA PENSAR Y REFLEXIONAR Observemos que ls siguientes epresiones representn tmbién ecuciones de segundo grdo. Cuál es su prticulridd? ) b 0 b) c 0 c) 0 Cuál es el único coeficiente que no puede ser cero? Por qué? Ests epresiones son forms incomplets de l ecución de segundo grdo. Qué le sugiere el término incompleto? Qué términos le fltn cd un de ells? Y si hor nos proponemos pensr en resolver un ecución cudrátic qué supone resolver un ecución de segundo grdo? Cuántos vlores de stisfcen l iguldd? Qué signific el término ríz de un ecución? Resolver implic encontrr los vlores de l vrible que stisfcen o verificn l ecución (o iguldd), es decir, determinr quellos vlores de que hcen que l reemplzrlos, el vlor numérico de l ecución se cero. NOTIFICACIÓN IMPORTANTE El Teorem Fundmentl del Álgebr indic que todo polinomio de grdo n, tiene n ríces que hcen cero l polinomio. Ests ríces pueden ser de distint nturlez, por lo tnto, recuerd qué se quiere significr con nturlez de ls ríces. L ecución de segundo grdo, entonces tendrá dos ríces que verificn l iguldd, de cuerdo lo que plnte el Teorem Fundmentl del Álgebr. Pr determinr ls ríces de un ecución de segundo grdo, se utiliz un fórmul que conocemos:, b b... c 0

131 INGRESO 06 Observemos hor el término que figur en el rdicndo: b c. Este término recibe el nombre de discriminnte de l ecución de segundo grdo. Qué indic dicho término? Qué supone discriminr desde el punto de vist mtemático? El significdo de éste término está íntimmente ligdo l nturlez de ls ríces de un ecución de segundo grdo. Así, el discriminnte puede ser: mor, menor o igul que cero, es decir: b.. c 0 ( Epresión positiv ) b.. c 0 ( Epresión nul ) b.. c 0 ( Epresión negtiv ) Ls ríces de l ecución de segundo grdo pueden ser reles distints, reles e igules o complejs conjugds. Este comportmiento de ls ríces está socido precismente con el signo del discriminnte. PARA PENSAR Y REFLEXIONAR Podemos socir el signo del discriminnte con l nturlez de ls ríces de l ecución pensemos, nlicemos luego elboremos un conclusión. Vemos tod ecución de segundo grdo tiene dos vlores de que l resuelven. Dichos vlores se denominn ríces de l ecución pueden ser: ) Reles distints, si: b.. c 0 b) Reles e igules, si: b.. c 0 c) Complejs conjugds, si: b.. c 0 Recordemos que ls ríces complejs conjugds son dos están compuests por un prte rel otr prte imginri. Vemos los siguientes ejemplos con l intención de clrr: ) Determinr ls ríces de l ecución: 0. Pr determinr ls ríces se utiliz l fórmul con lo cul se debe reconocer cd uno de los coeficientes. Entonces:

132 INGRESO 06 = b =,..( ). c = -, 60 6, , Respuest: o se, reles distints. PARA PENSAR Y REFLEXIONAR Coincide l nturlez de ls ríces que obtuvimos con el signo del discriminnte de l ecución? b) Determinr ls ríces de l ecución: Pr buscr ls ríces con l fórmul, debemos reconocer que: = b = - 6 c = 9 Cómo se denomin l ecución que tiene como coeficiente principl?

133 INGRESO 06 Vemos como clculmos, 6 ( 6)...(9) o se,, , reles e igules. PARA PENSAR Y REFLEXIONAR Coincide l nturlez de ls ríces que obtuvimos con el signo del discriminnte de l ecución? c) Determinr ls ríces de l ecución: 0 Si reconocemos los siguientes coeficientes como: = b = c =,,.. 8,, i i Es decir, complejs conjugds. i

134 INGRESO 06 PARA PENSAR Y REFLEXIONAR Qué ocurrió con el discriminnte? Cuál es su signo? Observemos hor l estructur lgebric del ejemplo que se present continución, si bien no responde l form más sencill de l ecución de segundo grdo, cundo se oper lgebricmente pr determinr l mínim epresión se lleg un ecución de segundo grdo. d) Determinr ls ríces de l ecución: 6 Cómo se resuelve un proporción?. 6. ( 6 6) ( 6 ) Recordemos que los divisores de un miembro de l iguldd, son fctores en el otro miembro. Tengmos presente que pr multiplicr polinomios se debe plicr l propiedd distributiv. ( 8 6) ( 6 ) Siempre se debe llevr todo l mínim epresión. Pr ello, grup términos semejntes. No olvidemos que el psje de términos de un miembro de l iguldd otro en sum/rest, qué ocurre con los signos de los mismos? Y finlmente l mínim epresión de l ecución! Entonces los coeficientes son: = b = -, ( ) ( )... c =, 96,

135 INGRESO 06 6, Es decir, ríces reles distints. Vmos con otro ejemplo 6 d) Determinr ls ríces de l ecución: 0 Observemos que este ejemplo responde un de ls forms incomplets de l ecución de segundo grdo. Cuál es el término que flt? Vemos un mner de clculr ls ríces de l ecución, sin l necesidd de utilizr l fórmul de l resolvente vist nteriormente. El procedimiento es mucho más simple evit confusiones errores comunes en los que puedes incurrir l utilizr dich fórmul. RELACIONAR CONCEPTOS Recordemos que el concepto de fctor común visto en clses nteriores pliquémoslo l ecución plnted. Entonces:.( ) 0 Cundo eiste un producto que está iguldo cero, bst que se cero uno de los dos fctores, por vez. Es decir, puede hcerse cero el primer fctor o el segundo de ést mner el producto siempre drá cero se verificrá l iguldd. Por lo tnto se puede clculr ls ríces de l ecución, igulndo cero cd uno de los fctores pr encontrr el vlor de que hce cero cd fctor por ende, verific l ecución. Si igulmos cero el primer fctor: =0, entonces un ríz es, 0. Si igulmos cero el segundo fctor despejmos según correspond, obtenemos l otr ríz, es decir.

136 INGRESO 06 Entonces operndo obtenemos: 0. 0 ls ríces son reles distints. Verificmos que se lleg l mismo resultdo si utilizmos l fórmul pr el cálculo de ríces decide cuál método es más sencillo pr utilizr. Otro cso es: e) Determinr ls ríces de l ecución: 7 0 Este ejemplo tmbién responde un form incomplet de l ecución de segundo grdo, pero cuál es el término que flt? RELACIONAR CONCEPTOS Contmos con otr mner de clculr ls ríces de l ecución, simplemente utilizndo conocimientos lgebricos nteriores como por ejemplo intentr despejr l vrible De nuevo, ríces reles distints. Debemos recordr siempre que tod ríz de índice pr rdicndo positivo tiene dos resultdos posibles. Por eso el doble signo! Sigmos con otro ejemplo g) Pr que l ecución 6 0 teng ríces complejs conjugds, qué vlor puede tomr el coeficiente? 6

137 INGRESO 06 PARA PENSAR Y REFLEXIONAR Intentemos pensr cuáles son los dtos que disponemos qué herrmient podemos utilizr pr responder l enuncido. Lo podemos hcer! Si un ecución de segundo grdo tiene ríces complejs conjugds, implic que el discriminnte de l función debe ser menor que cero. Simbólicmente: b.. c 0 Reemplzndo los dtos que obtenemos del enuncido, nos qued: ()..6 0 Y resolviendo convenientemente:. 0. ó Por lo tnto, pr que l ecución de segundo grdo teng ríces complejs conjugds, el coeficiente principl debe ser mor que uno! A continución tenemos lgunos ejercicios pr prcticr. ACTIVIDADES ).( ) Rt : complejs conjugds b) ( ).( ) Rt : 0 c).( ) Rt : d).( ) Rt : 0 7

138 INGRESO 06 PROPIEDADES DE LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Conocer cómo se relcionn ls ríces de un ecución de segundo grdo con los coeficientes de l mism, es mu importnte, que conocids ls ríces, se puede reconstruir dich ecución. Si llmmos ls ríces de un ecución de segundo grdo que responde l estructur generl: b c 0, siempre se cumple que: b. Utilizndo ls igulddes nteriores tomndo como (uno), slvo que se consigne lo contrrio, se puede reconstruir l ecución correspondiente, denomind form reducid de l ecución. Vemos los siguientes ejemplos: c ) Si los vlores de ls ríces son: b ( ) b Recordemos que suponemos que b = en mbos csos, slvo que se Y luego: clre lo contrrio. c ( ) c Un vez determindos los coeficientes, b c, se reconstrue l ecución como: 0 est es l respuest! 8

139 INGRESO 06 NOTIFICACIÓN IMPORTANTE Es importnte que conozcmos bien l ecución generl el lugr que ocupn cd uno de los coeficientes, o bien, qué términos corresponden cd uno de ellos pr finlmente reconstruir l ecución. b) Nos dn los vlores de ls ríces, pero Observemos que se indic el vlor de coeficiente principl de l ecución. b ( ) b ( ). b b b c.( ) ( ). c c 0 Entonces l respuest es: 0 0 EXPRESIÓN FACTORIZADA DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Conocer ls ríces de l ecución de segundo grdo tmbién es útil pr poder fctorer dich ecución. Recordmos qué signific fctorer, verdd?. Entonces, l ecución de segundo grdo se puede escribir como: b c.( ).( ) El primer miembro muestr l form polinómic de l ecución de segundo grdo, mientrs que el segundo miembro muestr l ecución fctorizd, plnted en l Clse! 9

140 INGRESO 06 A continución tenemos lgunos ejemplos pr pensr: ) Pr poder fctorizr est ecución, se necesitn conocer sus ríces. Verifiquemos que ells son: Por lo tnto: 6 9.( ).( ) Esto signific que conociendo ls ríces de l ecución de segundo grdo podemos reconstruir l ecución polinómic (form reducid: coeficiente principl ), relizndo el producto correspondiente, con los fctores que se determinn prtir de l estructur fctorizd de l ecución de segundo grdo su relción con ls ríces de l mism. b) 9 0 Si trtmos de encontrr ls ríces despejndo simplemente, (o si lo preferimos utilizndo l fórmul de l resolvente), encontrremos que ést ecución no tiene ríces en el cmpo rel, sino que son complejs conjugds. Vemos: 9 i i PARA PENSAR Y REFLEXIONAR Cómo fctorizmos entonces l ecución? Podemos hcerlo? UNIR CONCEPTOS Cundo ls ríces de l ecución de segundo grdo no son reles, es decir que son complejs conjugds, l epresión polinómic no puede fctorizrse, es decir que estmos en presenci de un polinomio primo o irreducible, el cul está en su mínim epresión. Debemos recordr un cso de divisibilidd plntedo en l Clse. El ejemplo responde justmente ese cso. 0

141 INGRESO ) )(.( Esto implic que el polinomio no tiene ríces? Todo lo contrrio, como demuestr el Teorem Fundmentl del Álgebr, todo polinomio de grdo dos, tiene dos ríces. En este cso prticulr ls ríces son complejs conjugds no hcemos ningún nálisis sobre ells, en est instnci. Quizás en lgun signtur de l crrer volvmos sobre el tem en prticulr. c) A prtir de los siguientes dtos, reconstruir l ecución correspondiente: Est es l epresión polinómic de l ecución de segundo grdo. A modo de conclusión podemos decir que dds ls ríces de un ecución de segundo grdo, se puede llegr construir l ecución correspondiente utilizndo ls propieddes de ls ríces, o bien, plntendo l epresión fctored resolviendo dich epresión. A continución contmos con lgunos ejercicios pr prcticr, en relción los dos últimos tems vistos. No olvidemos controlr tus resultdos con ls respuests brindds! Recordemos cómo se efectú el producto entre polinomios. NOTIFICACIÓN IMPORTANTE

142 INGRESO 06 ACTIVIDADES Encontrr ls ecuciones de segundo grdo con ls condiciones: ) Rt : 6 b), 7 c 70 Rt : 70 c) Rt : FUNCIÓN DE SEGUNDO GRADO b c 0 b c Ecución de Segundo Grdo Función de Segundo Grdo PARA PENSAR Y REFLEXIONAR Cuál es l diferenci entre ls epresiones nteriores? Qué sugiere l prición de l vrible? Depende est vrible de los vlores que sum? Se puede segurr que depende de? Por qué se denomin función l segund epresión? Identifiquemos los elementos de un función de segundo grdo: b c Vrible dependiente o función. Coeficiente principl Vrible independiente Término Independiente Término Linel Est epresión es función porque es un relción en l cul cd elemento del domino, le corresponde un, es decir solo un imgen.

143 INGRESO 06 El vlor que sume l vrible dependiente o función, está condiciondo o está en función del vlor que sume, es decir de l vrible independiente. Tengmos presente que el objetivo de modelizr con funciones mtemátics ls situciones económics ó propis de ls ingenierís, es poder volcrls en un gráfico, sino pierde tod utilidd. Tods ls herrmients que dquirimos en ls clses nteriores deben ser pr elementos que nos uden grficr poder interpretr en un gráfico un relidd determind, independientemente de l cienci de que se trte. Qué nombre recibe l gráfic de l función de segundo grdo? L curv recibe el nombre de prábol. Como tod función, puede ser representd en un sistem de coordends crtesins en el cul se ubic los vlores de l vrible independiente en el eje de ls bsciss l de l función en el eje de ls ordends. Ahor, est curv present un prticulridd, cuál er? A los fines prácticos o de resolver problems, hcemos un clrción mu importnte. Si bien los coeficientes de l función cudrátic los generlizmos como, b c, esto no invlid que en otrs funciones de plicción pueden estos coeficientes o tmbién ls vribles estr representdos por otro tipo de simbologís que sen ilustrtivs de reliddes económics, físics, etc. Debemos sber cómo reconocer operr con el modelo cudrático, más llá de lo que estén midiendo ls vribles bjo nálisis. Observemos los siguientes csos, nlicémoslos detenidmente relcionndo los coeficientes de cd uno de los términos de l función con su correspondiente gráfic. Relicemos lo propio con l nturlez de ls ríces de l ecución de segundo grdo socid l función. ) (0 ; ) ( ; 0) ( ; 0) ( ; -)

144 INGRESO 06 Cómo se obtiene dicho gráfico? Un primer proimción consiste en nlizr el signo del coeficiente principl con l orientción de ls rms de l prábol. Como es positivo, en este cso igul, ls rms de l prábol son siempre hci rrib. Identificmos los pres ordendos más importntes de l función? Cómo se obtienen dichos puntos? Cómo hcemos pr encontrr el punto de corte con el eje de ls ordends, es decir con el eje, qué vlor debe sumir l vrible? Si nos ubicmos en el gráfico podremos ver que pr que l función corte l eje es necesrio que l vlg cero. Por lo tnto pr encontrr ese punto se reemplz por cero en l función dd se resuelve ritméticmente según correspond, como se muestr continución: (0) (0) (0) 6(0) Entonces cundo = 0, =, se obtuvo el primer punto (0; ). Observemos: es el vlor del término independiente, es decir el coeficiente c el cul, indic el punto de corte de l prábol con el eje de ls. Cómo se determinn los puntos de corte con el eje? Retomemos el rzonmiento utilizdo nteriormente o bien observemos el gráfico pensemos qué vlor debe sumir pr que l curv corte l eje de ls bsciss. Pr que esto ocurr, l vrible debe vler cero. Por lo tnto, si queremos conocer los puntos de corte con el eje de ls deberás hcer cero el vlor de. Entonces no qued: 0 6 Observemos que l ecución plnted es de segundo grdo. Dich ecución es l ecución socid l función. Esto quiere decir que conociendo sus ríces, ests representn los puntos de corte de l curv l eje. Corrobormos que ls ríces son -. De llí que los puntos que muestr l gráfic son: (- ; 0) (, 0) Por último, se puede observr otro punto importnte que es (;-) que corresponde l vértice de l prábol. Al ser un punto en el plno tiene socids coordends v; v. Dicho punto se clcul utilizndo un fórmul que nos permite encontrr el vlor de correspondiente ese vértice como: b v.

145 INGRESO 06 Que en nuestro ejemplo serí: v v ( 6). Y si observmos nuevmente el gráfico podremos ver que ese vlor clculdo nteriormente, tmbién puede obtenerse como l semisum o el promedio de ls ríces, es decir: v Pr poder fijr el punto vértice en el plno como corresponde, se debe determinr tmbién el vlor de. Por lo tnto un vez clculdo el vlor de del vértice se debe clculr el del vértice. Eiste un fórmul pr obtener dicho vlor deducido de l mism función, pero no es necesrio estudir de memori ningun fórmul más. Recordemos que l función depende de los vlores de l vrible independiente, por lo tnto pr determinr su vlor bst con que se reemplce el vlor de del vértice en l función dd sí obtener el vlor de del vértice correspondiente. Entonces: v. b c v v Retomndo el ejemplo es: v v v Así, el punto vértice de l prábol es: (;-). PARA PENSAR Y REFLEXIONAR Qué importnci tiene el punto vértice de l prábol? Qué relción gurdn ls rms de l prábol respecto de un rect verticl (prlel l eje ) que ps por ese punto vértice? Qué entendemos por eje de simetrí? Si observmos el gráfico veremos que ls rms de l prábol son simétrics con respecto su eje de simetrí.

146 INGRESO 06 Luego, con sólo ubicr unos pocos puntos se puede esbozr el grfico ( mno lzd) de un función de segundo grdo con bstnte precisión. b) 6 9 Tiene por gráfic: Verifiquemos los puntos que continución se detlln: Ríces reles e igules. = - Coeficiente principl negtivo. v v 0 Coordends del punto vértice. PARA PENSAR Y REFLEXIONAR Qué conclusión podemos obtener respecto de l nturlez de ls ríces de l función el punto vértice de l prábol? L gráfic cort l eje en ese punto? Qué sucede con el discriminnte de l ecución de segundo grdo socid l función? 6

147 INGRESO 06 Como podemos ver, ls rms de l prábol son hci bjo debido que el coeficiente principl es negtivo. Qué sucede con el punto de corte l eje? L función no cort l eje, sino que lo toc se vuelve. Est crcterístic de l función de segundo grdo se d cundo l mism tiene ríces dobles, es decir que l ríz es dos veces el mismo vlor. Como ls ríces de l función son reles e igules, el discriminnte de l función en dicho cso es igul cero: b.. c 6.( ).( 9) 0 Un crcterístic de ls funciones de segundo grdo, que presentn ríces reles e igules, es que ests coinciden con el del vértice de l prábol e del vértice siempre es cero. c) Anliz, los puntos que se detlln continución. i i Ríces complejs conjugds. = Coeficiente del término de mor grdo positivo. v v Coordends del punto vértice. 7

148 INGRESO 06 En los csos en que l función no cort ni toc, l eje de ls bsciss, puede ser necesrio confeccionr un tbl de vlores pr proimr el gráfico, como se muestr continución: 0 - Este es uno de los pocos csos en que se consej confeccionr un tbl. PARA PENSAR Y REFLEXIONAR Qué podemos concluir respecto de l gráfic l nturlez de ls ríces de l ecución de segundo grdo socid l función? Est gráfic no cort ni toc el eje de ls porque no tiene ríces reles. Se dice entonces que l prábol vuel por rrib o por debjo del eje de bscis cundo ls ríces son complejs conjugds. Por lo tnto, el discriminnte de l ecución socid es menor que cero. Comproblo vos mismo! PARA PENSAR Y REFLEXIONAR Compremos los ítems entre sí pr estblecer un relción entre l gráfic de l función l nturlez de ls ríces de l ecución de segundo grdo socid l mism. Anlicemos el signo del coeficiente de mor grdo con el comportmiento de ls rms de l gráfic correspondiente. 8

149 INGRESO 06 ACTIVIDADES Intentemos relizr un cudro sinóptico que relcione todos los elementos nlizdos con el tipo de gráfic que correspond. Vmos! Contmos con l cpcidd pr hcerlo! CASOS PARTICULARES DE LA FUNCIÓN DE SEGUNDO GRADO Los ejemplos proporciondos continución tienen por objetivo nlizr ehustivmente estos cos, pr elborr nuestrs propis conclusiones. ) Pr relizr el nálisis correspondiente tengmos en cuent: el signo de cuáles son ls ríces de l función? ls coordends del punto vértice qué sucede con el término independiente? Utilicemos tmbién todos los conocimientos pr trbjr l form incomplet de l ecución de segundo grdo, socid l función, determinr ls ríces sin l utilizción de l fórmul de Bscr o de l resolvente. 9

150 INGRESO 06 Vmos con el nálisis! Al ser el coeficiente principl positivo, ls rms de l prábol vn hci rrib. El término independiente es igul cero, entonces el corte con el eje debe ser cero. A su vez ls ríces (o ceros de l función) son 0. Vlores en los cules l función cort l eje de ls, por ser reles distints. b) Podemos precir que est función es tmbién incomplet. Cuál es el término que flt? Relicemos todos los rzonmientos necesrios pr justificr l gráfic que present. c) Con estos ejemplos mu prticulres de l función de segundo grdo, vemos cómo se pueden nlizr ls diferentes prábols que tienen como vértice el origen del sistem de coordends, de cuerdo l vlor del coeficiente principl. No olvidemos tener presente cd uno de los elementos brinddos en párrfos nteriores, eso nos udrá scr ls conclusiones pr cd gráfico. 0

151 INGRESO = = PARA PENSAR Y REFLEXIONAR Qué efecto produce en l gráfic un incremento del coeficiente principl? Podemos precir en el gráfico que cundo el coeficiente principl es mor uno, l prábol es más cerrd ls rms se cercn más l eje de ls. Qué ocurre si el coeficiente principl es menor uno? Cómo serí el comportmiento de ls rms de l prábol si l compr con ls de? Intentemos llegr un conclusión, plntendo un ejemplo culquier. Al igul que en ls otrs funciones en ls que el término independiente es cero, est función cort el eje en cero. Ls ríces de ést función son: 0 0, por lo tnto l ser un ríz doble no cort l eje de ls, sino que toc l eje, demás es el vértice de l prábol. RECONSTRUCCIÓN DE LA FUNCIÓN DE SEGUNDO GRADO A PARTIR DEL GRÁFICO. El objetivo que se persigue hor es logrr el modelo mtemático que corresponde un curv plnted. Por ejemplo:

152 INGRESO PARA PENSAR Y REFLEXIONAR Cómo debemos rzonr pr que prtir de este gráfico obtengs l función de segundo grdo o modelo mtemático correspondiente? En muchs oportuniddes, sobre todo cundo se trbj con dtos concretos obtenidos prtir de l relidd, se grficn esos dtos prtir de l curv obtenid, se trt de encontrr un modelo mtemático que l represente. Por lo tnto es importnte que conozcmos que mnejemos los rzonmientos propidos pr tl fin. Un mner de comenzr rzonr desde l curv l modelo mtemático es prtir de funciones conocids como l función linel l función cudrátic. Pr hcerlo es necesrio identificr los puntos conocidos del gráfico prtir de llí comenzr relcionrlos con los conceptos que corresponden l función cudrátic. En este grfico en prticulr se visulizn ls ríces de l ecución el término independiente. Entonces, los dtos que se pueden obtener desde l curv son: c A prtir de l form fctorizd de l ecución de segundo grdo:. Se puede reconstruir l función. Se debe tener presente que el vlor de, es decir el coeficiente principl, no se conoce, pero es fctible determinr cuál es su vlor por ls propieddes de ls ríces, que sí conocemos el vlor del término independiente c. Es decir:.

153 INGRESO 06.. c Reemplzndo el vlor de ls ríces en l epresión fctorizd, según correspond, efectundo ls operciones indicds se lleg l modelo polinómico de l función dd Est es l form polinómic o modelo mtemático correspondiente l curv dd. Cuál serí otr mner de resolverlo? Podrí ser prtir de ls propieddes de ls ríces? Si puede ser, recordemos entonces que: b. c Los dtos siguen siendo los mismos: c Utilizndo l propiedd del producto de ls ríces, se determin el vlor de, como en el cso nterior. Un vez determindo, con l propiedd de l sum de ls ríces, se puede determinr el coeficiente b. Es decir: b 7 b b 7

154 INGRESO 06 Reconstruendo l función prtir de l determinción de sus coeficientes, l función es: 7 Revisemos el procedimiento utilizdo pr resolver el ejercicio trtemos de resolver l ejercitción que se ofrece en ls ctividdes pertinentes. Después de tn rduo trbjo, comprtimos otro pensmiento: Los libros no piensn por nosotros, son instrumentos que nos hcen pensr.

155 INGRESO 06 ACTIVIDAD INDIVIDUAL ACTIVIDADES DE EJERCITACIÓN Y PROBLEMAS DE LA CLASE 7 Encontrr l solución de ls siguientes ecuciones cudrátics: ) 9 0 Rt : b) 0 Rt : c) 0 Rt : 0 d) 0 Rt : 0 e) 0 Rt : o 0 f) 6 0 Rt : g) 9 0 Rt : h) 6 0 Rt 6i 6i :

156 INGRESO 06 Dd l siguiente ecución: =.( ), indicr l respuest correct: ) Tiene dos ríces reles e igules. b) Tiene dos ríces reles distints. c) Tiene dos ríces complejs conjugds. d) Ningun de ls nteriores. Fctorer ls siguientes ecuciones de segundo grdo dr ls respuests: ) 8 0 b) 0 c) d) 0 e) 0 f) 7 0 Reconstruir l ecución de segundo grdo, según correspond, en cd cso dr ls respuests: ) = ½ = b) = = coeficiente del término de mor grdo: = / c). = 9/ + = - / d) = 6 + c = 0 entonces: c =? e) = ; = - + b - = entonces: b =? Resolver los siguientes ejercicios de cuerdo ls premiss de cd cso: ) Pr que l ecución: c 0 teng ríces reles distints, qué vlor debe tomr c? b) Pr que l ecución b. 0 teng ríces reles e igules, qué vlor debe tomr b? 6

157 INGRESO 06 6 Resolver ls siguientes ecuciones: ) 8 Rt : 9 b) 7 8 Rt : c) Rt : d) Rt : 0 e) Rt : 0 f) 6 ( )( ) Rt : 0 7 Resolver los siguientes problems con el plnteo correspondiente. ) El producto de dos números consecutivos, menos 0 es igul. Cuáles son esos números? Rt : 6 7 b) Cuál es el número cuo cudrdo disminuido en 0 es igul 8 veces ese número? Rt : 0 ó c) El producto de dos números consecutivos es 0. Cuáles son esos números? Rt : 6 ó 6 d) El producto de dos números consecutivos pres es 60. Cuáles son esos números? Rt : 8 0 7

158 INGRESO 06 8 Grficr ls siguientes funciones: ) 8 b) c) 6 d) e) f) g) h) 9 Si un función cudrátic f ( ) b c ; se nul (cort l eje ) pr dos vlores reles distintos, indicr cuál de ls siguientes firmciones son cierts. ) b.. c b) b.. c c) b.. c d) b.. c e) Ningun de ls nteriores. 0 Indicr cuáles de ls siguientes firmciones son verdders, pr l función cudrátic: f ( ) 7. ) Ps por el punto (7 ; 0) b) No cort l eje de ls ordends. c) No cort l eje de ls bsciss. d) El vértice se encuentr en (/;9/) e) Ningun de ls nteriores. 8

159 INGRESO 06 Indicr cuáles de ls siguientes firmciones son verdders pr l función: f ( ) ) Los ceros de l función son pr:: = = b) Cort el eje de ls ordends en : - c) Ls rms de l prábol son hci rrib. d) Ps por los puntos: (- ; 0) (; 0) e). b son corrects. f). c son corrects. g) Ningun de ls nteriores. En l función cudrátic: f ( ) 8 7, el producto de sus ríces es 9 l sum de sus ríces es 6. Determinr el vlor de. Identificr los siguientes gráficos eplicitndo l función cudrátic: ) b) ( ; ) 0 / c) d)

160 INGRESO 06 e) f) ½ Representr gráficmente l función luego de reconstruirl prtir del cudro. f () f () f (0) Vértice Plbrs de cierre Estimdos estudintes, estmos prácticmente terminndo este recorrido que inicimos juntos hce siete encuentros. Trtemos, dentro de nuestrs posibiliddes esfuerzo, de revisr los tems trbjdos pr slvr tods ls duds que se presenten sí logrr un emen finl con éito, tl como se lo merecen!!! Suerte delnte! Nos vemos! 60

161 INGRESO 06 ECUACIÓN Y FUNCIÓN EXPONENCIAL Y CLASE N 8 LOGARÍTMICA ECUACIÓN Y FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA 6

162 INGRESO 06. Objetivos específicos Comprender el concepto de ecuciones eponenciles logrítmics. Afinzr l destrez en l resolución de ecuciones eponenciles logrítmics. Reconocer un función eponencil creciente o decreciente. Reconocer un función logrítmic creciente o decreciente. Grficr funciones eponenciles logrítmics. Utilizr l terminologí decud. Interpretr consigns. Logrr estim entre compñeros docente.. Contenidos Ecuciones eponenciles. Ecuciones logrítmics. Propieddes de los logritmos. Función eponencil. Función logritmo. Actividdes individules de ejercitción problems. Plbrs de cierre.. Esquem conceptul: vinculción de contenidos de l Clse 8: 6

163 INGRESO 06 ECUACIÓN EXPONENCIAL Resolverl Qué es? Un iguldd que present un bse que es un constnte elevd un eponente que es l incógnit, l menos en uno de sus términos. Es determinr el vlor de l incógnit de tl mner que stisfg l iguldd plnted. ECUACIÓN LOGARÍTMICA Resolverl Cómo? Qué es?. Trbjndo l ecución como eponencil lgunos conceptos lgebricos.. Utilizndo logritmo sus propieddes. Un iguldd que present l incógnit tnto como rgumento, resultdo o bse del logritmo. Es determinr el vlor l incógnit de tl mner que stisfg l iguldd plnted Cómo?. Proponiendo l definición de logritmo, es decir: log ( b) n n b. Utilizndo propieddes de los logritmos. FUNCIÓN EXPONENCIAL Inverss entre sí Siempre que ls bses sen Qué es? igules Qué es? FUNCIÓN LOGARÍTMICA log Función trscendente creciente si l bse es mor que : Función trscendente creciente si l bse del logritmo es mor : Qué signific? O decreciente si l bse está comprendid entre cero uno. O comportmiento decreciente cundo l bse está comprendid entre cero uno. Anlíticmente el dominio de un de ells corresponde l imgen de l otr vicevers. Desrrollo teórico - práctico Se observ que Gráficmente ls curvs son simétrics respecto l función identidd. = 6

164 INGRESO 06 ECUACIONES EXPONENCIALES A prtir de los siguientes ejemplos, nlicemos detenidmente trtemos de indicr, por qué este tipo de ecuciones se ls denomin eponenciles? ) c) 0 b) d) 0 PARA PENSAR Y REFLEXIONAR Tienen ests epresiones lgebrics elementos comunes entre sí? Si eso ocurre, gurdn un ubicción determind? Vemos... cd un de ls igulddes nteriores presentn lgo en común, básicmente en lo relciondo con l ubicción de l vrible independiente. En tods, demás, dich vrible se encuentr como eponente en lguno de sus términos, con l crcterístic que su bse es un constnte, es decir un número rel. Por es estructur lgebric es que ests ecuciones se ls denomin eponenciles están comprendids dentro de un grupo de funciones que se denominn trscendentes. NOTIFICACIÓN IMPORTANTE Resolver un ecución eponencil supone determinr el vlor de l vrible independiente tl que l iguldd se cumpl, como ocurre con culquier tipo de ecución. Pr encontrr l solución en el ejemplo ), result evidente el vlor de, que l pregunt serí: A qué vlor se debe elevr l bse pr que el resultdo se uno? 6

165 INGRESO 06 NOTIFICACIÓN IMPORTANTE Recordemos que todo vlor elevdo l potenci cero es igul uno, slvo el 0 cero, es decir 0! En el ejemplo b), l pregunt plnter serí l mism que en ). Lo que ocurre es que l respuest no es tn obvi. Tengmos presente que cundo el eponente es negtivo, indic que se debe invertir l bse. Por lo tnto l ecución que qued es: De donde se puede deducir entonces que = En los ejemplos c) d) se debe tener en cuent, demás, otros conceptos lgebricos. Entonces, siempre que se desee determinr el vlor de un incógnit, ést debe ser despejd en función de los otros términos que presente l iguldd plnted. En prticulr, cundo se trt de ecuciones eponenciles, el término eponencil debe ser despejdo hci un miembro de l iguldd. Además, ls ecuciones deben considerrse como un todo, respetndo los conceptos elementles del álgebr que en estos csos en prticulr, responden l sum lgebric. Por lo tnto, primero despejmos luego resolvemos el término eponencil, bjo l mism consign de los csos nteriores. Observemos nlicemos: ) 0 b)

166 INGRESO 06 Aun cundo ls ecuciones sen eponenciles, siempre se deben tener en cuent los conceptos generles del álgebr. Eminemos l siguiente ecución: ). 6 Como podemos ver, est es tmbién un ecución eponencil, sólo que su estructur lgebric es un poco más complej. Pr poder resolverl, primero se deben trnsformr todos los términos eponenciles en términos equivlentes los plntedos, pr que todos tengn l mism bse entre ellos. Anlicemos: En el primer fctor de l ecución se invirtió l bse, cmbiándole el signo l eponente (propiedd lgebric). A l bse del otro fctor lo epresmos como potenci de. Lo mismo ocurrió con l bse 6 del otro término de l iguldd, que lo epresmos como potenci de. De est mner, se logr el primer objetivo que er trnsformr todos los términos eponenciles epresdos en un mism bse. El próimo pso es resolver ests potencis de potencis, según corresponde, plicndo otro concepto lgebrico. Recordmos cómo se resuelven ls potencis de potencis? Sus eponentes se multiplicn entre sí! Observemos nlicemos:... 8 En el primer miembro de l iguldd, se present hor, otro concepto lgebrico. Es un producto de potencis de igul bse. Cómo se resuelven los productos de igul bse? Los eponentes se sumn! Observemos nlicemos: 8 8 PARA PENSAR Y REFLEXIONAR Si en un iguldd ls bses de los dos términos son igules, pr que l iguldd se mnteng, Cómo deben ser los eponentes entre sí? Entonces: 66

167 INGRESO Podemos precir que pr resolver un ecución eponencil debemos tener en cuent muchs operciones lgebrics. No lo olvidemos! Un poco más delnte contmos con lguns ecuciones de ests crcterístics pr que podmos prcticr! ECUACIONES LOGARÍTMICAS Antes de plnter ls ecuciones de este tipo es importnte que tengmos presente cómo se resuelve ritméticmente el logritmo de un número. Observemos nlicemos: log 0 log 00 L bse de este logritmo es 0. Por es rzón se denominn logritmos decimles. Pr llegr l resultdo de cd un de ls igulddes nteriores debes: elevr l bse del logritmo l resultdo pr obtener, el rgumento del mismo. Es decir: 0 0 log log 00 Cundo l bse es distint de 0, est debe epresrse como subíndice, pr dejrl eplicitd. L mner de interpretción del logritmo de un número, culquier se su bse, es l mism. Miremos detenidmente el ejemplo rzonemos: log 8 log (8) 8 8 Eiste un logritmo mu prticulr que lo utilizn tods ls ciencis, se denomin logritmo neperino o nturl se simboliz Ln o ln. Este logritmo tiene como bse un número irrcionl que se simboliz e. Su vlor proimdo es,7. Pero en relidd nunc se lo epres como cntidd si no por su símbolo. Por ejemplo: Ln Ln 0 e 0 e e e 67

168 INGRESO 06 Podemos ver que nd cmbi, es simplemente un logritmo que tiene su propi simbologí. Por lo tnto, se debe interpretr de igul mner que culquier otro logritmo, en culquier bse. log ( b) n Resultdo Argumento del logritmo Bse del Logritmo NOTIFICACIÓN IMPORTANTE Entonces, tengmos presente que l bse del logritmo elevd l resultdo del mismo es igul su rgumento. Este es el concepto fundmentl tener en cuent pr poder resolver ls ecuciones logrítmics. PARA PENSAR Y REFLEXIONAR Si nlizmos este concepto, podemos ver que el rgumento de un logritmo no puede ser negtivo ni igul cero. Por qué? Sólo se pueden clculr logritmos de números positivos mores cero. Otro specto tener en cuent es que l bse de los logritmos sólo pueden ser positivs, mores cero distintos de uno. Por qué? Pr resolver los interrogntes plntedos, refleionemos sobre l definición de logritmo, elboremos un cso prueb pr ver qué ocurre cundo busquemos l solución l problem. Otros conceptos que debemos tener en cuent cundo trbjmos con logritmos, culquier se su bse, son sus propieddes. 68

169 INGRESO 06 PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS ) El logritmo de un producto, es igul l sum de los logritmos de cd uno de los fctores. log B. C log B log C ) El logritmo de un cociente, es igul l diferenci entre el logritmo del numerdor menos el logritmo del denomindor. B log log B log C C ) El logritmo de un potenci, es igul l potenci por el logritmo de l bse. B C log C. log B ) Cundo en un potenci el eponente es el logritmo en l mism bse, entonces es igul l rgumento del logritmo. B log B Ejemplos: log 0 ln8 e 8 No interes cuál se l bse del logritmo, todos cumplen con ests propieddes. Observemos que no figur un propiedd pr cundo el rgumento es l ríz, se de índice pr o impr. Esto se debe que ls ríces pueden epresrse como potenci frccionri por lo tnto se puede utilizr l mism propiedd de l potenci. Observemos nlicemos los siguientes ejemplos de plicción, de ls propieddes enuncids. log 8. log 8 log 8 log 8.log 8 log 8 z z log.log. log z log..log z log log.. 69

170 INGRESO 06. ln ln ln ln ln Observemos que ls propieddes son igulddes, por lo tnto pueden trbjrse en mbos sentidos. Recién hor estmos en condiciones de plnter ecuciones logrítmics, después de un breve repso sobre conceptos propieddes generles. Vemos nlicemos: ) log b) log c) log 6 Si lo mirmos detenidmente comprmos los ejemplos entre ellos, podremos visulizr que l incógnit se encuentr en diferentes posiciones en cd uno de ellos. En el cso ) l incógnit está como resultdo del logritmo. En el cso b), como rgumento del logritmo en el cso c), como bse del logritmo. NOTIFICACIÓN IMPORTANTE Sin embrgo pr determinr su vlor numérico se debe utilizr siempre l definición de logritmo, es decir, l bse del logritmo elevd su resultdo es igul l rgumento. ) log = b) log = 8 log c) 6 6 = Cundo ls ecuciones son demás epresiones lgebrics, se debe tener en cuent ls propieddes del logritmo, los conceptos operciones lgebrics, sí podrá llegr l resultdo correcto. 70

171 INGRESO 06 Observemos rzonemos:.log log 6 6 log log Tengmos en cuent que en mbos miembros de l iguldd el logritmo es de l mism bse, sólo porque son de igul bse, se pueden igulr sus rgumentos. Pr fmilirizrnos con el logritmo neperino miremos otro ejemplo: ln( ) e e Podemos notr que el número e se dej epresdo, no se clcul numéricmente, slvo csos necesrios. Ahor que hemos trbjdo con ecuciones logrítmics, volvmos ls ecuciones eponenciles que dijimos, tmbién se pueden resolver utilizndo logritmo sus propieddes. Retommos los ejemplos nteriores. ) b) c) 0 d) 0 Tengmos presente que siempre debemos trbjr con un bse del logritmo que se múltiplo de l bse de l eponencil. Pr el ejemplo ), tommos logritmo en bse, en mbos términos de l iguldd pr el ejemplo b) tommos logritmo en bse en mbos miembros. Recordemos que l iguldd debe mntenerse, por lo tnto tod modificción siempre debe hcerse en mbos términos. 7

172 INGRESO 06 log ) log log Aplicndo propiedd de l potenci del logritmo en el primer término resolviendo el logritmo en el segundo término, nos qued: b ) log. log log. 0 log log Hemos plicdo propiedd del logritmo del cociente. Pero tmbién se podrí hber resuelto: log En el ejemplo c), el logritmo en qué bse debemos plicr en mbos miembros? L respuest se visuliz en l solución: c ) 0 log.log. log log Primero debemos despejr el término eponencil luego plicr logritmo en mbos miembros resolver según correspond. 7

173 INGRESO 06 Y pr el ejemplo d), qué puede ser prudente plnter? d ) 0 log. 0 0 log 6 Vemos nlicemos este ejemplo trtemos de indicr qué operciones se relizron, con lenguje propido. A continución tenemos lguns ecuciones pr que l resolverls reforcemos todos estos contenidos. Adelnte! ACTIVIDADES ) log Rt : / b) ln 0 ln ln Rt :/ c) Rt : 0,6 d) Rt :, 7

174 INGRESO 06 FUNCIÓN EXPONENCIAL represent un función eponencil, que l vrible L epresión: independiente es el eponente de l constnte. Por lo tnto, un función eponencil es quell que present: bse constnte eponente vrible. El conocimiento de ests funciones l interpretción de su gráfic son necesrios, debido que muchos modelos tnto en economí como en ls ingenierís, se relcionn con este tipo de funciones. Pr llegr determinr el comportmiento (tipo de curv) que presentn en generl ests funciones, comenzmos plntendo ejemplos prtir de djudicrle diferentes vlores l vrible independiente, se determinn los vlores que sume l vrible dependiente o función. De est mner podemos ir construendo un tbl de vlores pr mbs vribles con esos pres ordendos construir el gráfico correspondiente. Vemos detenidmente, refleionemos con los siguientes ejemplos. ) = - 0,00-0,068-0, , - 0, Podemos observr que est función es creciente. Es decir, medid que los vlores de, vrible independiente, umentn, l función tmbién crece. Est crcterístic se cumple siempre que l bse de l función es mor que uno. Observemos el punto de corte de l curv l eje de ordends: Qué vlor sume l vrible independiente? A prtir del gráfico, se puede determinr el dominio e imgen de l función. Tengmos presente los conceptos nlizdos en l función linel. 7

175 INGRESO 06 Entonces: El dominio de l función está formdo por el conjunto de los números reles, en símbolo: Df = ; l imgen por el conjunto de números reles mores que cero, en símbolo: If = 0. b) Recordemos que cundo el eponente es negtivo, se debe invertir l bse de l función eponencil, debido que no eisten funciones eponenciles, con eponentes negtivos Vemos que est función es decreciente, es decir, medid que los vlores de, vrible independiente, umentn; l función disminue. Esto se debe que l bse de l función es mor cero menor uno. Determinemos el dominio e imgen pr est función. PARA PENSAR Y REFLEXIONAR Eminemos mbos gráficos, trtemos de elborr un conclusión, respecto l comportmiento de l función eponencil, en relción l tipo de bse en cd un, mor cero menor uno mor uno. Anlicemos compremos en mbs funciones el dominio e imgen de ls misms. Cómo son? A l brevedd junto l tem que sigue, contmos con ejercitción, pr finzrnos más en estos tems! 7

176 INGRESO 06 FUNCIÓN LOGARITMO L epresión: log represent l estructur generl de un función logrítmic, donde l vrible independiente es el rgumento de l función. Pr despejr l vrible se debe recurrir l definición de logritmo. Esto es: Como podemos ver, l función que se obtiene l despejr es un función eponencil. Por lo tnto se puede inferir que ests funciones son inverss entre sí. Vemos eminemos los siguientes ejemplos, teniendo en cuent l bse del logritmo en cd uno de ellos. ) log , -, , -, ,6-0,697 0,9-0, ,60997,689,697 A prtir del nálisis del gráfico l tbl de vlores de est función, teniendo en cuent los conceptos correspondientes, estmos en condiciones de determinr el dominio e imgen de est función. PARA PENSAR Y REFLEXIONAR Cómo es el comportmiento de l función? Es creciente o decreciente? Por qué? Cuál es el dominio e imgen de l función? L función present puntos de corte mbos ejes? Cuál es el punto de corte? 76

177 INGRESO 06 b) log ,, ,, ,6 0,697 0,9 0, , ,689 -,697 PARA PENSAR Y REFLEXIONAR Relicemos el mismo nálisis que en el gráfico nterior. Compremos cd uno de los gráficos squemos conclusiones respecto de ls bses de cd uno de los logritmos plntedos su comportmiento gráfico. Qué función es creciente cuál es decreciente? ACTIVIDADES Intentemos relizr un cudro o mp conceptul que resum ls crcterístics de ls funciones eponenciles logrítmics, teniendo en cuent crecimientodecrecimiento, dominio e imgen, pr cundo sus bses están comprendids entre cero uno cundo ls bses de mbos son mores uno. Hemos plntedo nteriormente que l función logritmo es l invers de l función eponencil vicevers. Tmbién podemos decir que, l función eponencil es invers de l función logritmo. Otro concepto tener en cuent en funciones inverss es que, el conjunto dominio de un de ells, es el conjunto imgen de l otr, vicevers. L imgen de un 77

178 INGRESO 06 función coincide con el dominio de su invers. Esto se cumple pr culquier tipo de funciones inverss entre sí. No sólo pr función eponencil logrítmic. Se dice tmbién que ls funciones inverss gurdn un relción biunívoc (uno uno) entre el dominio el recorrido. NOTIFICACIÓN IMPORTANTE Otr crcterístic de ls funciones inverss es que sus gráficos son simétricos respecto de l función identidd: Vemos los siguientes gráficos elboremos nuestrs propis conclusiones:

179 INGRESO 06 El concepto de simetrí siempre tiene un referente. En este cso el referente es l función identidd: =. Cd uno de los puntos de l curv eponencil equidist de su correspondiente en l curv logrítmic, respecto de est función identidd. Si se dese encontrr el modelo mtemático que represent un función invers prtir de l dd, se debe operr utilizndo los conceptos fundmentles de cd un en prticulr (eponencil logritmo). PARA PENSAR Y REFLEXIONAR Cómo determinr nlíticmente l función eponencil correspondiente prtir de l función logritmo? Retomndo el ejemplo: log Despejmos l vrible independiente, bsándonos en l definición correspondiente, es decir: Est epresión nlític es l función invers del logritmo. Sólo por un cuestión opertiv pr llevrl l gráfico, sin tener que hcer rotción de ejes, se intercmbin ls vribles entre sí. Entonces l función invers es: NOTIFICACIÓN IMPORTANTE Pr encontrr un función invers de otr, siempre se debe operr con ls misms consigns culquier se l función. Esto es: Despejr l vrible independiente, de l función dd utilizndo los procedimientos que correspondn. Un vez despejd l vrible independiente, se intercmbi est por l vrible dependiente l epresión resultnte es l función invers correspondiente l dd. Si se procede grficr mbs en el mismo sistem de coordends crtesins, ests funciones son siempre simétrics respecto de l función identidd: = Ahor bien, prtir de l función eponencil se quiere determinr su función invers. Entonces se procede nlíticmente, siempre respetndo los conceptos correspondientes. 79

180 INGRESO 06 Anlicemos el siguiente ejemplo: log log log log log.log Recordemos que pr despejr un vrible del eponente, el único procedimiento válido, es l utilizción del logritmo de l mism bse. Por propieddes del logritmo podemos escribir: En l últim iguldd, simplemente se intercmbiron ls vribles, entre sí. Ahor intentemos encontrr el modelo de l función eponencil dd, prtir de est función logritmo, operndo nlíticmente según correspond. Por ejemplo: si en un modelo económico o finnciero, eiste un vrible en el eponente de l función, l únic herrmient que permite despejr dich vrible es el logritmo de su mism bse. f m m f 0. i Donde: f : m El vlor finl de un cpitl inicil, en m uniddes de tiempo, un ts de interés i. f : 0 Cpitl inicil i: es l ts de interés vigente l momento de l operción finncier m: uniddes de tiempo Entonces, si se dese despejr de este modelo l vrible m que figur como eponente, l únic herrmient lgebric que lo permite es el logritmo. Vemos: f m i m f 0 f log f fm log i m.log f 0 m log m i i 0 i i i 80

181 INGRESO 06 Recordemos que el logritmo de su mism bse es uno. Entonces: f m log i m f 0 El ejemplo es simplemente pr ver l utilidd de este concepto en el futuro. En generl los nálisis finncieros /o económicos utilizn el logritmo nturl. En el ejemplo, hemos utilizdo el logritmo de l mism bse pr simplificr los cálculos. En los ejemplos nlizdos hst el momento, el rgumento de l función siempre es l vrible independiente. Pero ocurre que muchs veces ese rgumento puede presentrse como un epresión lgebric entonces pr grficr ess funciones, es importnte tener en cuent el concepto de dominio, puntos de corte los ejes el comportmiento que tendrá l curv de cuerdo si l bse del logritmo es mor cero menor uno. O bien mor uno. Anlicemos l siguiente función: log Como podemos precir, l bse del logritmo es mor uno, entonces se debe tener presente que tods ls funciones logrítmics con bse mor uno, son crecientes. Esto nos ud tomr un ide previ de cómo debe ser nuestr gráfic. Por otro ldo, determinr el dominio de l función nos llev pensr en l definición correspondiente, que en este cso, pr que el logritmo eist, entonces, el rgumento del mismo, debe ser mor cero. Esto puede escribirse como: 0 Entonces el dominio qued representdo por: Es decir: D = Pr determinr el punto de corte l eje, l función debe vler cero. Entonces, el rgumento del logritmo debe ser igul uno, que el logritmo de uno es siempre cero, culquier se su bse. Esto es: 0 Por lo que el punto de corte corresponde l punto (0,0), origen del sistem de coordends crtesins. Teniendo en cuent todos estos detlles, relicemos un tbl de vlores esbocemos el gráfico pr est función. Ahor bien, si demás se dese estblecer grficr su función invers, se debe tener en cuent que un vez grficd l función logrítmic teniendo en cuent el concepto de simetrí que ells presentn respecto l rect = ; entonces se puede esbozr el gráfico de l función invers directmente prtir de l función logrítmic, simplemente por simetrí respecto es rect! Por otro ldo, se puede determinr l función invers l dd, en form nlític, prtir de llí, relizr el estudio correspondiente : dominio, puntos de corte, etc. esbozr su gráfico. Es recomendble siempre esbozr mbos gráficos (función dd su invers) en el mismo sistem de coordends crtesins, pr precir de es mner su simetrí, respecto l función identidd. 8

182 INGRESO 06 Pr determinr l función invers prtir de un función dd, el procedimiento siempre persigue los mismos objetivos, independientemente de qué función se trte. Primero, se debe despejr l vrible independiente de l función dd, por los procedimientos lgebricos que correspondn. Un vez que se tiene l vrible despejd, por un cuestión de prcticidd, se intercmbi l vrible por l vrible dependiente. Esto se reliz directmente, pr no hcer rotción de ejes grficr de cuerdo los mismos rzonmientos de siempre. Anlicemos prtir del ejemplo plntedo: log Est últim iguldd, represent en form nlític, l función invers l dd. Como podemos precir es un función eponencil, un cundo su estructur lgebric muestre dos términos. Lo que ocurre es que uno de ellos es un constnte que no modificrá en form sustncil el comportmiento eponencil del otro término. Entonces, prtir del modelo: ACTIVIDADES Determinemos dominio, punto de corte los ejes, etc. Utilicemos los mismos rzonmientos de siempre, fundmentdos en los conceptos teóricos de cd uno de ellos. Relicemos un tbl de vlores pr ls vribles involucrds grfiquemos l función. Si relizmos con cuiddo detenimiento todos los psos indicdos, l gráfic de l función dd su invers, se debe corresponder : 8

183 INGRESO ACTIVIDADES Anlicemos hor cómo determinr l invers, prtir de l función eponencil, en form nlític. El rzonmiento es el mismo. Primero se debe despejr l vrible independiente luego intercmbir ls vribles entre sí. A continución contmos con l respuest pr que podmos comprr con lo que relizmos: log log log log log ( ).log Como se puede precir se lleg l mism función nterior, que ells son inverss entre sí! 8

184 INGRESO 06 ACTIVIDAD INDIVIDUAL ACTIVIDADES DE EJERCITACIÓN Y PROBLEMAS DE LA CLASE 8 Clculr los siguientes logritmos plicndo l definición: ) Log 6 Rt : b) Log Rt : 0 c) 6 Log 6 Rt : d) Log Rt : e) Log Rt : 7 f) Ln e Rt : g) Ln Rt : e h) Log Rt : 0000 Hllr el vlor de, despejndo según correspond: ) log ( ) 6 Rt : 79 b) log (6) Rt : 8 c) log Rt : d) log (9) Rt : 7 e) ln ( ) f) log (6) Rt : e Rt : 8 g) log ( ) Rt : h) log (6) log000 log 9 log 6 Rt : 8

185 INGRESO 06 Aplicr propieddes de los logritmos según correspond:. log. z A. log ( m n).. z. Ln m. n 6. log. log p. q m. 6. ( ). z log Indicr cuál epresión es verdder cuál es fls: ) Log Log Log ( ) b) Ln ( b) Ln b c) 7. Log Log 7 d) log ( z ) Log z e) ( Log Log Log ) Log.. z f) Log Log 8 8 Clculr el vlor de en ls siguientes ecuciones: Rt : ) 7 9 b). Ln 6 Ln c). log log 8 6 Rt : 6 Rt : d) log log Rt : 8

186 INGRESO 06 e) log 0,00 log 6 Rt : f) g) 6. Rt Rt : : 0 h) ( ) log Rt : 7 0 i) 7.. Rt : 6 Grficr ls siguientes funciones, construendo sus respectivs tbls de vlores: ) = b) = c) log ( ) d) log ( ) 7 Grficr ls siguientes funciones eponenciles: ) = ½ b) = + c) 9 e) = (6 ) f) = e g) = (e) 8 Grficr ls siguientes funciones logrítmics: ) log ( ) b) Ln() c) log ( ) d) Ln( ) 86

187 UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CÓRDOBA INGRESO 06 9 Dd l siguiente función: b ) Determinr el vlor de b. b) es mor o menor uno? 0 Cuál de los siguientes gráficos corresponde l función: con: 0 < <? ) b) c) Dd l función c, que ps por el punto (-; ). Determinr el vlor de l constnte c grfique. Encontrr l función eponencil cu bse es cort l eje de ls ordends en: /. 87

188 INGRESO 06 Cuál de ls siguientes funciones eponenciles es creciente cort l eje de ls ordends en:? ) b) c) d) e) Dd l función: f ( ) log ( ) conociendo que f (8) =, indicr cuál firmción es ciert: ) = - b) = c) = ½ d) = - ½ e) no se puede responder por flt de informción. Dd l función f ( ) log ( ), con > Cuál de ls siguientes firmciones es fls? ) L función tiende l eje de ls ordends, pero no lo cort. b) L función es creciente. c) Su gráfico cort l eje de ls bsciss. d) L imgen de l función son todos los números reles. e) El dominio de l función son los reles. 6 Resolver los siguientes problems de plicción: ) Durnte un período de hiperinflción, el precio de los bienes ument dirimente en form eponencil según l siguiente función:,,... (Dís). Según éste modelo mtemático: P ) ( ).(,0 siendo = ) Cuánto costrá ese bien l cbo de 0 dís? b) Qué dí costrá $,0? 88

189 INGRESO 06 c) Cuánto umentó el precio del bien el dí 0 l dí? P M. e ) Cierto grupo de bcteris se reproduce crece según l le:, donde k es un constnte M se determin sbiendo que t = 0 h 8000 bcteris. Además se sbe que t = el número de bcteris es 000. Cuál es el número de ells un tiempo t =? ( t son dís). k. t 7 Grficr ls siguientes funciones su invers, en el mismo sistem de coordends crtesins, teniendo en cuent: dominio de eistenci, el ó los puntos de corte los ejes, el concepto de función creciente decreciente: ) log ( ) b) e c) log ( ) d) Ln e) f) log ( ) g) e 8 Indicr qué tipo de función corresponde los siguientes gráficos: ) b) /

190 INGRESO 06 c) Identificr ls funciones (en form genéric) que están representds en el siguiente gráfico: = 0 Dd l función log ( ), cuál de ls siguientes funciones represent su función invers: ) b) c) log ( ) d) log ( ) L función invers de es: ) log ( ) b) log ( ) c) log ( ) d) log ( ) e) Ningun de ls nteriores. 90

191 INGRESO 06 Plbrs de cierre Estimdos estudintes, terminmos un rduo trbjo después de estos ocho encuentros. Fue relmente un plcer hber comprtido estos momentos con todos ustedes. Espermos hber logrdo los objetivos que se un ecelente emen finl. Queremos verlos pronto cminndo por el cmpus de l Universidd, sonrientes, contentos disfrutndo de est nuev etp en sus vids. L vid universitri es mu lind debe disfrutrse pleno. Confimos mplimente en ustedes sus cpciddes pr hcer frente todo lo nuevo que se les presentrá. Much suerte delnte! Nos vemos pronto si Dios quiere. 9

192 INGRESO 06 BIBLIOGRAFÍA Ar Jgdish C. Lrdner Robin W. Mtemátics plicds l dministrción l economí; con l colborción de Víctor Ibrr Mercdo. Editoril Prentice Hll. Quint edición. Méico. Año 009. Autores vrios de diversos libros de Mtemátic del Nivel Medio de Educción. Dumont Nild E. Introducción l mtemátic, prendiendo pensr. Serie Cátedr. Editoril Universidd Ctólic de Córdob. Segund Edición. Córdob. Argentin. Año 00. Heussler E. Jr Richrd P. Mtemátics pr dministrción, economí, ciencis sociles de l vid. Editoril Person-Prentice Hll. Octv edición. Méico. Año 997. Lncioni Jun N. Álgebr. Apunte pr el ingreso l Fcultd de Ingenierí de l Universidd Ctólic de Córdob. Córdob. Argentin. Año 00. Purcell Edwin J. Vrberg D. Cálculo. Editoril Prentice Hll Hispnomericn S.A. Set Edición. Méico. Año 99. 9