APUNTES DE ÁLGEBRA MATRICIAL PARA UN CURSO INTRODUCTORIO DE ECONOMETRÍA Julio César Alonso C.

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1 PUNES DE ÁLGEBR MRICIL PR UN CURSO INRODUCORIO DE ECONOMERÍ Julio César loso C No 11 Diciembre de 2006

2 putes de Ecoomía No 11 PUNES DE ECONOMÍ ISSN X No 11, Diciembre de 2006 Editor Julio César loso C jcaloso@icesieduco sistete de Edició Vaessa Ospia L Gestió Editorial Departameto de Ecoomía Uiversidad Icesi wwwicesieduco el: ext: 207 Fax: Calle 18 # Cali, Valle del Cauca Colombia

3 putes de Ecoomía No 11 PUNES DE ÁLGEBR MRICIL PR UN CURSO INRODUCORIO DE ECONOMERÍ Julio César loso C 1 Diciembre de 2006 Resume Este documeto preseta ua breve itroducció a los coceptos básicos de álgebra matricial que forma la base de u curso itroductorio de Ecoometría de pregrado Se discute coceptos como la idepedecia lieal, operació de matrices y resultados importates para la estimació matricial de modelos lieales por el método de Míimos Cuadrados Ordiarios Este documeto está dirigido pricipalmete a estudiates de pregrado de ecoomía, pero por la secillez del leguaje, puede ser de utilidad para cualquier estudiate o profesioal iteresado e repasar los coceptos básicos de álgebra matricial Palabras Clave: Álgebra matricial, operacioes de matrices, matriz iversa, Itroducció a la ecoometría putes de Ecoomía es ua publicació del Departameto de Ecoomía de la Uiversidad Icesi, cuya fialidad es divulgar las otas de clase de los docetes y bridar material didáctico par la istrucció e el área ecoómica a diferetes iveles El coteido de esta publicació es resposabilidad de su autor 1 Profesor del Departameto de Ecoomía y Director del Cetro de Ivestigació e Ecoomía y Fiazas (CIENFI) de la Uiversidad Icesi, jcaloso@icesieduco 2

4 putes de Ecoomía No 11 1 Itroducció El cocepto de matrices fue iicialmete desarrollado e el siglo XVII, asociado a la maipulació de gráficos y solucioes de ecuacioes lieales simultáeas Hoy e día la aplicació de las matrices y sus operacioes está ligadas a áreas ta diversas como la física, gráficos de computador, la ecoomía, los métodos estadísticos, la teoría de juegos, redes, ecriptología, etc Ua matriz es ua forma eficiete de ordear iformació e columas y filas Por ejemplo, cosideremos ua base de datos que cotiee iformació de vetas, costos y utilidades mesuales para dos empresas (empresa 1 y 2) La iformació de u mes se puede ordear fácilmete e ua matriz de la siguiete forma: Empresa Vetas Costos Utilidades M Empresa 1 a b c Empresa 2 d e f (21) Geeralmete, se omite los ombres que toma cada ua de las columas y filas de las matrices, es decir, (21) se puede reescribir como a b c M d e f (22) El tamaño de ua matriz está determiado por el úmero de filas y de columas; así, se dice que la matriz M es ua matriz de dimesioes columas, y se represeta así: 23 (2 filas por 3 columas) Ua forma rápida de escribir esto es M 2 3 E geeral ua matriz puede teer filas y m 3

5 putes de Ecoomía No 11 m a 11 1m a ij i1, ; j1,, m a 1 a a m (23) E el caso especial cuado m 1, la matriz se cooce como u vector columa y se deota por Si 1, la matriz se cooce como u vector fila 2 Cuado el úmero de filas y de columas es el mismo ( m), la matriz es llamada matriz cuadrada de orde Si m 1, etoces es coocido como u escalar (lo que coloquialmete se cooce como u úmero) E el caso de las matrices, se dice que B si y solamete si todos los elemetos de la matriz so iguales a los de B, es decir aij j 1,2,, m b para todo i y j, dode i 1,2,, y ij cotiuació repasaremos rápidamete las operacioes matriciales, defiicioes y resultados más importates que será útiles a lo largo de u curso itroductorio de ecoometría E especial se discutirá: i El cocepto de matriz triagular y diagoal ii La adició y multiplicació por u escalar y la multiplicació de matrices iii La matriz idetidad y la matriz de ceros iv La traspuesta de ua matriz y la matriz simétrica v La matriz idempotete y las matrices ortogoales vi Combiacioes lieales de vectores e idepedecia lieal vii La traza y el rago de ua matriz viii El determiate de ua matriz ix Valores propios x La matriz iversa 2 E estas otas cuado empleemos el térmio vector os referiremos a u vector columa, a meos que se especifique lo cotrario 4

6 putes de Ecoomía No 11 xi xii xiii Elemetos del cálculo matricial Resultados especiales para u curso de ecoometría Operacioes matriciales empleado Microsoft Excel 11 Matriz triagular y diagoal tes de defiir alguas matrices especiales que será útiles para osotros, es importate defiir el cocepto de diagoal pricipal de ua matriz La diagoal pricipal de ua matriz cuadrada, es el cojuto de elemetos cuya posició correspode a la misma fila y columa E otras palabras, so los elemetos que se ecuetra formado ua diagoal etre la esquia superior izquierda y la esquia iferior derecha de la matriz Por ejemplo, sea la matriz C La diagoal pricipal de la matriz C está dada por el cojuto 1,3,8 E geeral, sea ua matriz cuadrada represetada por: a 11 1 a ij i1, ; j1,, a 1 a a Etoces, la diagoal pricipal está dada por el cojuto de elemetos aii 1,, i hora, podemos defiir el cocepto de ua matriz triagular superior/iferior Ua matriz cuadrada es cosiderada ua matriz superior/iferior si todos los elemetos por debajo/ecima de la diagoal pricipal so cero Por ejemplo, la siguiete matriz:

7 putes de Ecoomía No 11 es ua matriz triagular superior Si ua matriz es al mismo tiempo ua matriz triagular superior y triagular iferior, etoces se cooce como ua matriz diagoal E otras palabras, ua matriz diagoal es ua matriz cuyos elemetos por fuera de la diagoal pricipal so cero Es decir, es a ua matriz diagoal si a forma corta de la siguiete maera diag a a a Ua matriz diagoal se puede escribir de 11, 22,, 12 dició, multiplicació por u escalar y multiplicació de matrices Sea dos matrices y B, cada ua de dimesioes m (coformes para la suma), etoces la adició de estas dos matrices correspode a ua matriz co dimesioes m, cuyos elemetos so iguales a la suma de los elemetos correspodietes de las matrices y B Es decir: a11 a1 m b11 b1 m B a a b b 1 m 1 m a11 b11 a1 m b1 m aij b ij a 1 b 1 am b m i1, ; j1,, m (24) Si las matrices a sumar o tiee la mismas dimesioes, etoces la operació o se puede efectuar y se dice que las matrices o cumple la codició de coformidad 6

8 putes de Ecoomía No 11 Ejemplo 1 Supoga que cotamos co 3 matrices ( E, F y M ) que correspode a la iformació para los tres primeros meses del año de las vetas, costos y utilidades mesuales (columas) para dos empresas (filas) E F , y M Ecuetre el valor de las vetas, costos y utilidades para el primer trimestre Respuesta: Las vetas, costos y utilidades trimestrales para las dos empresas so: E F M La suma de matrices posee varias propiedades similares a las de la suma de escalares cotiuació se expoe estas propiedades: Propiedad Comutativa: B B Propiedad sociativa: B C B C B C tes de avazar u poco más, ote que si se suma dos veces la matriz, se obtiee: a11 a1 m a11 a1 m a a a a 1 m 1 m 2a11 2a1 m a11 a1m 2 2a 2a a a 1 m 1 m 2 a ij 2 i1, ; j1,, m (25) 7

9 putes de Ecoomía No 11 Es decir, el resultado de sumar dos veces la matriz es igual a cada uo de los elemetos de la matriz multiplicado por dos sí es fácil mostrar que e geeral: Dode es u escalar a11 a1 m a 1 a m (26) Ejemplo 2 (Cotiuació) Supoga que quiere calcular E F 2M Respuesta: eemos que: E F 2M E 1 F 2M = = Fialmete, cosideremos la multiplicació de dos matrices E este caso, al cotrario de la multiplicació etre escalares, las matrices a multiplicar debe cumplir ua codició de coformidad para que el producto exista Esta codició es que el úmero de columas de la primera matriz debe ser igual al úmero de filas de la seguda matriz Es decir, dadas dos matrices y B co dimesioes m y B mb, respectivamete; el producto B cumple la codició de coformidad si y solamete si m B E caso de que esta codició se cumpla, el producto estará dado por B cij i1, ; j1,, m (27) 8

10 putes de Ecoomía No 11 y c m a b ij il lj l1 La Figura 1 ilustra el uso de esta fórmula La multiplicació de matrices preseta varias propiedades, pero ates es importate recalcar que la propiedad comutativa de la multiplicació para los escalares o se cumple para las matrices (aú si este producto cumple la codició de coformidad) Es decir, B B e caso de que ambos productos esté defiidos Por lo que es importate teer e cueta el orde e que se multiplica las matrices, y hablaremos de pre-multiplicar o post-multiplicar por ua matriz, cuado se multiplica ua matriz por la izquierda o por la derecha, respectivamete Las siguietes so las propiedades que se cumple para la multiplicació de matrices: Propiedad sociativa: BC BC B C Propiedad Distributiva: C B C C B y B C C B C U caso especial se preseta cuado cosideramos ua matriz diagoal Sea ua a ij i1, ; j1, 2 matriz diagoal de orde, etoces teemos que 2 Por ejemplo, si , tedremos que E geeral, si es ua matriz diagoal de orde, tedremos que a ij i1, ; j1, Es decir, cuado se eleva ua matriz diagoal a la, el resultado es ua matriz diagoal, cuyos elemetos e la diagoal pricipal so iguales a los correspodietes elemetos de la diagoal pricipal de la matriz origial elevados cada uo a la 9

11 putes de Ecoomía No 11 (multiplicació) Pael 1 B = 2 x 3 2 x 3 C (multiplicació) 3 x 3 +B+C Pael 2 B = C 2 x 3 2 x 3 3 x 3 Figura 1 Esquema de la multiplicació de Matrices Cada ua de las parejas uidas por líeas e el Pael 1 de la figura se multiplica etre sí Posteriormete, se suma dichos productos para obteer el correspodiete elemeto de la matriz fial, como se observa e el Pael 2 10

12 putes de Ecoomía No 11 Ejemplo Dadas las siguietes 4 3 y 1 6 B matrices, ecuetre B Respuesta: Iicialmete, es importate chequear que se cumpla la codició de coformidad E este caso el úmero de columas de la matriz es igual al úmero de filas de la matriz B sí, el producto B está defiido B Note que B tambié está defiido Es importate aotar que las matrices, así como los escalares, puede ser sumadas, restadas o multiplicadas (siempre y cuado el producto esté defiido) Pero la divisió para las matrices o es posible Si cosideramos dos úmeros (escalares) a y b, etoces el cociete a b (siempre y cuado b 0) se puede expresar como ab b a, dode b se cooce como el recíproco o iverso de b Debido a la propiedad comutativa de la multiplicació de escalares, la expresió a b se puede emplear si igú problema para expresar 1 ab o 1 b a E el caso de las matrices esto es diferete Debe ser claro que auque los productos 1 B y 1 B esté defiidos 3, estos dos productos usualmete so diferetes De maera que, la expresió / B o puede emplearse porque es ambigua, es decir, o es 3 1 B deota la iversa de la matriz B e caso de que exista Este cocepto será repasado más adelate 11

13 putes de Ecoomía No 11 claro si esta expresió se refiere a 1 B o 1 B Y peor aú, es posible que alguo de estos productos o exista sí, cuado maipulamos matrices, es mejor evitar el uso de la expresió / B (matriz dividida por la matriz B ) (Chiag (1996)) 13 La matriz idetidad y la matriz de ceros La matriz idetidad es ua matriz diagoal especial, cuyos elemetos de la diagoal pricipal so iguales a uo Es decir, la matriz idetidad es ua matriz co uos e la diagoal pricipal y ceros e las otras posicioes La matriz idetidad se deota por I, dode correspode al úmero de columas y filas de la matriz (orde de la matriz)formalmete, I (28) 1 La matriz idetidad tiee la propiedad de ser el módulo de la multiplicació de matrices Es decir, Ik k g y k g I g U caso especial se produce cuado k g Ig Ig, dode tiee que ser cierto que I kg g Por qué? Otra matriz importate es la matriz de ceros, cuyos elemetos so iguales a cero y se deota por 0 m Esta matriz o ecesariamete debe ser cuadrada y tiee la siguiete propiedad: 0 0 m m m m 14 La traspuesta de ua matriz y la matriz simétrica La traspuesta de ua matriz cualquiera es ua matriz cuyas filas correspode a las columas de la matriz origial ; o lo que es lo mismo, es ua matriz cuyas columas 12

14 putes de Ecoomía No 11 correspode a las filas de la matriz La traspuesta de ua matriz se deota por o ' Por ejemplo, si C tedremos que C Las propiedades de la operació de trasposició so las siguietes: raspuesta de la traspuesta: raspuesta de ua suma: B B raspuesta de u producto: B B Cuado, se dice que es ua matriz simétrica E otras palabras, ua matriz simétrica es ua matriz cuya traspuesta es igual a ella misma Por ejemplo, D es ua matriz simétrica, pues D D Geeralmete, por coveció, las matrices simétricas so escritas omitiedo los elemetos por debajo de la diagoal pricipal Para uestro ejemplo tedremos que la matriz D se puede reescribir de la siguiete forma que se trata de ua matriz simétrica Cuado se emplea esta otació se da por etedido 8 13

15 putes de Ecoomía No Matriz idempotete y matrices ortogoales Ua matriz cuadrada se deomia idempotete si y solamete si U ejemplo de matriz idempotete es la matriz idetidad Por otro lado, dos matrices y B so matrices ortogoales si y solamete si B 0 16 Combiacioes lieales de vectores e idepedecia lieal Dado u cojuto de vectores (fila o columa) v1, v2,, v k y u cojuto de escalares 1, 2,, k para k 1,2,, K, ua combiació lieal de los vectores está dada por K c v i1 i i Ejemplo 4 Dados los siguietes 3 vectores y 3 escalares, ecuetre 4 diferetes combiacioes lieales de los vectores v, w, z, 2, 1 y Respuesta: partir de estos vectores y escalares podemos ecotrar las siguietes combiacioes lieales: c1 v w z

16 putes de Ecoomía No c2 v w z c3 v w z c4 v w z hora teemos todos los elemetos para defiir el cocepto de depedecia lieal U cojuto de vectores será liealmete depediete si al meos uo de los vectores puede expresarse como ua combiació lieal de los otros sí, por ejemplo, el cojuto de vectores c, v1, v2,, v k (defiidos ateriormete), será depediete liealmete, pues por defiició el vector c es ua combiació lieal de los demás vectores ( c v ) hora bie, u cojuto de vectores v1, v2,, vk se cosidera liealmete idepediete si y solamete si los úicos valores de los escalares 1, 2,, k que K i1 i i cumple la codició 1v1 2v2 KvK 0 (29) so 1 2 K 0 E otras palabras, igú vector del cojuto se puede expresar como combiació lieal de otro u otros vectores que perteece al mismo cojuto 15

17 putes de Ecoomía No La raza y el rago de ua matriz La traza de ua matriz cuadrada es la suma de los elemetos de la diagoal pricipal y se deota por tr Es decir: tr a (210) Ua de las pricipales propiedades de la traza es: tr BC tr CB tr BC Por otro lado, el rago de ua matriz es el úmero de filas o columas liealmete idepedietes y se deota por ra Si se trata de ua matriz o simétrica de dimesioes m, etoces tedremos que ra Mi, m Si el rago de ua matriz es igual al úmero de sus columas, etoces se dice que la matriz tiee rago columa completo E caso de que el rago de la matriz sea igual al úmero de filas, se dice que la matriz tiee rago fila completo Para el caso de ua matriz cuadrada, si el rago de la matriz es igual al úmero de filas y por tato al úmero de columas, se dice que la matriz tiee rago completo i1 ii 4 Ejemplo 5 Dada la matriz D, ecuetre su rago Respuesta: E el ejemplo aterior vimos que la última columa (vector columa) se puede costruir como ua combiació lieal de las primeras tres columas demás se puede comprobar rápidamete que las tres primeras filas so liealmete idepedietes etre sí sí, ra D 3 4 Siedo u poco más rigurosos se debería hablar del rago columa (úmero de columas liealmete idepedietes) y del rago fila (úmero de filas liealmete idepedietes) Pero es fácil demostrar que el rago columa y el rago fila de ua matriz es el mismo, por tato, podemos hablar si riesgo a ambigüedades del rago de ua matriz 16

18 putes de Ecoomía No 11 lguos resultados útiles del rago so: ra B mi ra, ra B Si tiee dimesioes m y B es ua matriz cuadrada de rago m, etoces ra B ra ra ra ra 18 Determiate de ua matriz El determiate de ua matriz cuadrada, represetado por det o, es u escalar asociado de maera uívoca co esta matriz Para ua matriz 2 2, el determiate está dado por det a a a11a 22 a21a12 a21 a 22 de u orde superior, el cálculo del determiate es u poco más complejo Para ua matriz tes de etrar e el detalle del cálculo, defiamos dos coceptos importates La matriz meor, asociada al elemeto a ij de ua matriz cuadrada de orde, deotada por M ij, es la matriz cuadrada de orde 1 obteida al elimiar la i-ésima fila y la j-ésima columa de (Ver Figura 2) El meor del elemeto a ij es el determiate de la matriz meor M ij ; es decir 1 i j correspode a C ij M M ij Y el cofactor del elemeto a ij, expresado por ij C ij, 17

19 putes de Ecoomía No 11 a 11 a 1j a a i1 a ij a a 1 a j a Figura 2 Esquema de la Matriz meor asociada al elemeto a ij La matriz meor asociada al elemeto a, se forma elimiado la i-ésima fila y la j-ésima columa (columa y fila sombreadas) ij hora bie, el determiate de ua matriz de orde puede ser calculado, a partir de cualquier columa o fila, de la siguiete maera: det det a C (empleado la i-ésima fila) (211) j1 i1 ij ij ij a C (empleado la j-ésima columa) ij lguas propiedades útiles de la matriz so: det det 1 B B Si el producto de ua fila de por u escalar se suma a ua fila de, etoces el determiate de la matriz resultate es igual a det 18

20 putes de Ecoomía No 11 El itercambio de dos filas o dos columas, si importar cuales sea, alterará el sigo, pero o el valor umérico, del determiate det det dode es u escalar det 0 si y solamete si ra Es decir, si det 0, etoces tiee que ser cierto que existe ua columa (o fila) que es combiació lieal de ua, o más de ua columa (fila), de det 0, etoces se cooce como ua matriz sigular E caso Si cotrario (ie det 0 ) se dice que es ua matriz o sigular Si es ua matriz diagoal deotada por diag a a a det a a a 11 22,,,, etoces Ejemplo Dada la matriz D, ecuetre su determiate Respuesta: El determiate puede ser calculado empleado cualquier fila o columa, e este caso será más fácil emplear la seguda fila, pues tiee dos elemetos iguales a cero sí, tedremos: D Note que esto implicará el cálculo de dos determiates de orde 3 Esta operació se puede simplificar aú más si creamos más ceros e la seguda fila de la matriz D Por ejemplo, si multiplicamos la columa 3 por -2 y sumamos este producto a la columa 1 tedremos que: 19

21 putes de Ecoomía No 11 D hora, multiplicado la seguda columa por -4 y sumádola a la tercera columa se obtedrá: D ( 1 ) Valores propios Los valores propios ( eige values e iglés), tambié coocidos como raíces características de ua matriz cuadrada so los escalares que satisface I 0 (212) Estos valores propios so importates porque e muchos casos facilita ciertos cálculos E especial teemos los siguietes resultados que so sigificativos para u curso itroductorio de ecoometría: 1 det i i1 2 El rago de cualquier matriz es igual al úmero de valores propios diferetes de cero 20

22 putes de Ecoomía No 11 Ejemplo Dada la matriz D 2 4, ecuetre sus valores propios, su rago y su determiate Respuesta: Para ecotrar los valores propios de la matriz D, se requiere solucioar la siguiete ecuació: DI2 0 Es decir: I Las dos solucioes so 1 6 ó 2 3 sí, los valores propios de la matriz D so 6 y 3 Por tato, ra D 2 y det D La Matriz iversa La matriz iversa de la matriz cuadrada es ua matriz cuadrada de igual orde tal que B I (213) Y se deota como 1, es decir B 1 demás, si se post-multiplica la matriz por su iversa, tambié se obtedrá la matriz idetidad E otras palabras, la matriz iversa además cumple que I 1 Pero, cómo ecotrar la matriz iversa de ua matriz? Primero es importate recordar que o todas las matrices cuadradas posee iversa De hecho, sólo aquellas 21

23 putes de Ecoomía No 11 matrices cuyas columas y filas so liealmete idepedietes etre sí tedrá iversa E otras palabras, ua matriz sigular ( det 0 ) o tedrá matriz iversa Existe diferetes métodos para ecotrar la matriz iversa de ua matriz o sigular, pero aquí sólo repasaremos dos métodos El primer método será emplear la traspuesta de la matriz de cofactores coocida como la matriz adjuta ( dj ) La matriz iversa de ua matriz está dada por la siguiete fórmula 1 1 dj (214) Ejemplo 8 Dada la matriz D , ecuetre su iversa Respuesta: Para emplear la fórmula (214), primero debemos calcular tato el determiate como la matriz adjuta de D sí, teemos que D 2 y dj D plicado la fórmula, la iversa de D esta dada por D El segudo método que cosideraremos es el método de reducció de Gauss-Jorda E alguas ocasioes, este método resulta meos tedioso que aplicar la fórmula dada e (214) Dada ua matriz cuadrada matriz aumetada, este método parte de cosiderar la siguiete 22

24 putes de Ecoomía No 11 a a I am 1 a m 0 1 Posteriormete, por medio de operacioes de filas podemos reducir la matriz a la matriz idetidad 0 sí tedremos que: 0 1 d11 d 1 1 I 0 1 dm 1 d m l fial de las trasformacioes, obtedremos la iversa de la matriz origial a la derecha Ejemplo 9 Dada la matriz Gauss-Jorda D , ecuetre su iversa por el método de reducció de Respuesta: Primero ecesitamos armar la matriz aumetada Es decir hora ecesitamos maipular esta matriz de tal forma que a la izquierda tegamos la matriz iversa Para esto, itercambiemos la primera fila co la seguda Posteriormete, sumemos la fila uo multiplicada por (-2) a la fila 2 23

25 putes de Ecoomía No Fialmete, sumemos la fila 2 multiplicada por (-4) a la fila Por tato, D U resultado especial, que os será útil, es la iversa de ua matriz diagoal Ésta es ua de las iversas más fáciles de calcular E geeral teemos que: a a 11 (215) a 1 a 0 0 Fialmete, repasemos rápidamete alguas propiedades de las matrices iversas B B Si es ua matriz simétrica, etoces 1 tambié será simétrica 24

26 putes de Ecoomía No Elemetos de cálculo matricial Cosideremos la siguiete fució cuyo domiio es e los reales ( ) y su rago : y f x1, x2,, x f x perteece a El vector de derivadas parciales de f x es coocido como el gradiate o vector gradiate y está defiido de la siguiete maera: dy dx1 f1 f x dy dx 2 f 2 g g x x dy dx f (216) es importate teer e cueta que el gradiate es u vector columa y o u vector fila El elemeto i-ésimo del gradiate se iterpreta como la pediete de al plao x i ; e otras palabras, es el cambio e otros elemetos del vector x costates f x co respecto f x dado u cambio e x i teiedo los La seguda derivada de f x está dada por ua matriz deomiada la matriz Hessiaa que es calculada de la siguiete maera: y x1x 1 y x1x 2 y x1x y x2 x1 y x2 x2 y x2 x H y xx1 y xx2 y xx f 2 y ij xx (217) La matriz Hessiaa es cuadrada y simétrica, gracias al teorema de Youg lguas derivadas especiales que será empleadas a lo largo de u curso itroductorio de ecoometría so: 25

27 putes de Ecoomía No 11 xa a x, dode a es u vector columa x x x, dode es cualquier matriz cuadrada x x x 2x, dode es ua matriz cuadrada simétrica 5 x hora si cosideramos fucioes cuyo rago está e los, teemos los siguietes resultados que os será de gra utilidad: x x, dode es cualquier matriz tal que el producto x está defiido x x xx, dode es cualquier matriz cuadrada l 1, dode es cualquier matriz cuadrada o-sigular 112 Resultados especiales para u curso de ecoometría tes de fializar, es importate resaltar varios resultados importates que será empleados a lo largo de u curso itroductorio de ecoometría Sea las matrices Note que este resultado es ituitivo; si f x x etoces f x 2x, recuerde que x x xi i1 y por tato es el equivalete matricial a ua expresió cuadrática escalar sí la aalogía etre el resultado escalar y el matricial resulta atural 26

28 putes de Ecoomía No 11 X xk 1 x21 x31 xk1 y1 1 x22 x32 x k 2 y 2 y yx 1 1 x x x y 2 3 k Etoces, tedremos que : y adicioalmete X X X 2i 3i ki i1 i1 i1 2 X 2i X 2i X 3i X 2i X ki i1 i1 i1 2 X 3i X 3i X ki i1 i1 X X i1 X 2 ki (218) y y y (219) i1 2 i Fialmete, teemos que X y 27 i1 i1 i1 i1 i y i i i yx yx yx 2i 3i ki (220)

29 putes de Ecoomía No 11 Dato Iteresate Como se mecioó al iicio de esta ota, ua de las aplicacioes de las matrices es la ecriptología, es decir, el proceso de cifrar mesajes cotiuació veremos ua breve aplicació de las matrices a la codificació de mesajes Cosidere ua matriz fija ivertible (o sigular) Etoces, podemos covertir el mesaje que se desea codificar e ua matriz B, tal que B satisfaga la codició de coformidad sí, se puede eviar el mesaje geerado por B El receptor del mesaje ecesita coocer 1 para decodificar el mesaje, pues 1 B B E especial, cosideremos la siguiete matriz y su correspodiete iversa hora cosidere el mesaje Estamos e Cali que se puede expresar de la siguiete maera (ote que el receptor del mesaje tambié debe coocer la codificació adecuada de las letras) E s t a m o s e C a l i sí, podemos crear la siguiete matriz B Etoces teemos que B Por tato, el mesaje

30 putes de Ecoomía No 11 ecriptado a eviar sería 37, 17, -6, 5, 31, 82, El receptor puede saber cuátas filas tedrá la matriz que le es eviada Y podrá fácilmete recostruir la matriz B De tal forma que pre-multiplicado por obtedrá el mesaje deseado 1 el mesaje recibido se Ejercicio: Itete ecriptar el mesaje ego que repasar álgebra matricial 113 Operacioes matriciales empleado Microsoft Excel Las hojas de cálculo, y e especial Excel, permite realizar la mayoría de las operacioes matriciales discutidas ateriormete E esta última secció se describirá rápidamete como realizar alguas de las operacioes matriciales más secillas empleado Excel, pero ates es importate aclarar que Excel tal vez o sea el software más eficiete para realizar operacioes matriciales 6 E geeral, Excel puede eteder u cojuto de celdas adyacetes como u vector (fila o columa) o como ua matriz Esto permite que las operacioes matriciales elemetales sea muy fáciles de realizar e Excel El determiate de ua matriz (cuadrada) se puede ecotrar fácilmete empleado la fució MDEERM(Matriz), la traspuesta de ua matriz o u (vector fila o columa) se puede calcular co la fució RNSPONER(Matriz) La multiplicació se realiza co la fució MMUL(Matriz1;Matriz2) y la iversa co MINVERS(Matriz) Para emplear cualquier tipo de fució que ivolucre matrices hay que ser muy cuidosos co el uso de las fucioes, pues a diferecia de la mayoría de fucioes de Excel e las 6 Si se desea realizar cálculos que ivolucre matrices existe varias opcioes de software tato gratuito como liceciado Por ejemplo Matlab es tal vez el software más eficiete para maipular y realizar cálculos de matrices Este software requiere de ua licecia que e geeral es relativamete costosa Ua opció e el mudo del software de uso libre es R (wwwr-projectorg) que permite la maipulació de grades volúmees de iformació No obstate, e estas otas sólo os referiremos a Excel 29

31 putes de Ecoomía No 11 cuales el resultado correspode a ua sola celda, e este caso el resultado correspoderá a mas de ua Por ejemplo, al multiplicar ua matriz de dimesioes 4x5 por otra de 5x10 se obtedrá ua de dimesioes 4x10; lo cual correspode a 40 celdas Por esta razó, siempre será ecesario seleccioar las celdas e la cual Excel deberá poer los resultados del cálculo Ua vez la regió esté seleccioada, se puede digitar la fució que se desea emplear Cuado este lista la fució y la selecció de las respectivas matrices sobre las que se efectuará la operació se deberá oprimir al mismo tiempo las teclas Shift, Ctrl y Eter Si o se oprime estas tres teclas al mismo tiempo, Excel o etederá que el resultado de la fució se debe colocar e el rago seleccioado Ua forma de chequear si la fórmula que icluye matrices fue bie itroducida es mirar que la fució automáticamete se ecuetre etre corchetes Por ejemplo, al multiplicar dos matrices y hacer el procedimieto correctamete, al parar el cursos sobre ua de las celdas dode debe aparecer el resultado usted deberá ver algo como {MMUL(Matriz1;Matriz2)} cotiuació se preseta u ejemplo que ilustra el uso de estas fucioes Ejemplo 10 Cosidere las siguietes dos matrices: Ecuetre C B, y C, det C y C 1 B Respuesta: Supogamos que la iformació de la matriz y B está etre las celdas C2 a D5 y G2 a I3 (ver patallazo) Dado que dicho producto tedrá dimesioes 2X2, tedremos que seleccioar ua regió de 2 filas por 2 columas; por ejemplo, de la celda D9 a la E10 Ua vez estas celdas está seleccioadas se puede escribir la 30

32 putes de Ecoomía No 11 fórmula =MMUL(C2:D5,G2:J3) y oprimir al mismo tiempo las teclas Shift, Ctrl y Eter Para ecotrar la traspuesta de C debemos seleccioar las celdas dode queremos que aparezca el resultado (por ejemplo celdas H9 a I10) y emplear la fórmula =RNSPONER(D9:E10) y presioar al mismo tiempo las teclas Shift, Ctrl y Eter (ver siguiete patallazo) El determiate de C al ser u escalar, se puede calcular escribiedo e ua celda la fórmula =MDEERM(D9:E10) Fialmete para obteer la iversa de C, debemos seleccioar las celdas dode queremos que aparezca el resultado (por ejemplo celdas D15 a E16) y emplear la fórmula =Miversa(D9:E10) y presioar al mismo 31

33 putes de Ecoomía No 11 tiempo las teclas Shift, Ctrl y Eter (ver siguiete patallazo) 32

34 putes de Ecoomía No Ejercicios 1 Muestre que K I I, para todo k 1 2 Demuestre que para cualquier matriz diagoal, se tiee que 0 I 3 Demuestre, para ua matriz cuadrada de orde 3, que si ua de las columas es combiació lieal de otra columa el determiate de dicha matriz es cero 4 Muestre que e geeral para cualquier matriz cuadrada, si ua columa es combiació lieal de de otra columa etoces el determiate de dicha matriz es cero 5 Demuestre que ra B mi ra, ra B * 6 Demuestre que k k 7 Ecuetre la matriz iversa de las siguietes matrices: D 7 3 3, E 1 0 3, F y G BC C B 8 Muestre que Lectura Sugerida Chiag, lpha C 1996 Métodos Fudametales de Ecoomía Matemática: McGraw-Hill Capítulo 3 y 4 33

35 putes de Ecoomía No 11 Respuestas a Ejercicios seleccioados 5 Sea C B, dode cada c m a b ij il lj l1 sí, cada columa de C es ua combiació lieal de las columas de (Es decir C está e el espacio columa de ) Etoces, será posible que las columas de C geere el espacio de, pero o es posible que las columas de C geere u espacio de mayor dimesió Etoces, e el mejor de los casos estas columas puede geerar el mismo espacio columa geerado por, es decir el rago de C o puede exceder el rago columa de Empleado el mismo argumeto para las filas de C que so ua combiació lieal de las filas de B sí, por la misma razó expuesta ateriormete, C o puede exceder el rago fila de la matriz B Como el rago fila y el rago columa siempre so iguales, etoces teemos que mi, ra B ra ra B QED 34