Producción de entropía y ley de enfriamiento de Newton

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1 REVISA INGENIERÍA E INVESIGACIÓN VOL. 9 No., AGOSO DE 9 (88-93) Produccón de enroía y ley de enframeno de Newon Enroy roducon and Newon s coolng law Danel Barragán 1 RESUMEN Para un ssema con una fuene nerna de generacón de calor se analzan, en el marco de la ermodnámca de los rocesos rreversbles, las ecuacones evoluvas que descrben la ransferenca de calor según la ley de enframeno de Newon. A arr del balance de flujo de enroía se muesra que la generacón de enroía no es mínma en el esado esaconaro descro or la ley de enframeno de Newon. Igualmene, se dscue cómo realzar el balance de flujos en el ssema, su conexón con los arámeros de conrol y su fuura alcacón a rocesos de omzacón basados en la segunda ley de la ermodnámca. Palabras clave: mínma roduccón de enroía, ley de enframeno de Newon, ermodnámca lneal de los rocesos rreversbles. ABSRAC e ermodynamc eory of rreversble rocesses was aled o sudyng ea excange descrbed by Newon s coolng law. I s sown a e seady saes descrbed by Newon s law are no saes avng mnmum enroy roducon; s en roved a Newon s law s no a consequence of a lnear relaons beween fluxes and ermodynamc forces. Sysems are ofen consraned and ea excange can be omsed f enroy roducon s mnmsed accordng o e second law. Keywords: mnmum enroy roducon, Newon s coolng law, lnear rreversble ermodynamcs. Recbdo: julo 9 de 8 Aceado: mayo 9 de 9 Inroduccón La segunda ley de la ermodnámca osula que odo roceso naural o ndusral genera enroía (Van Rysselberge, 1963). Es común enconrar en la ndusra rocesos que ransforman la maera y la energía ara obener deermnado roduco con benefcos smlares. Sn embargo esos dversos rocesos no generan candades smlares de enroía, debdo a que la dsacón ermodnámca no necesaramene es la msma. Lo aneror lleva a osular la exsenca de rocesos que cumlan con el objevo de enregar al enorno el roduco requerdo en la candad demandada, con mínma generacón de enroía (Kjelsru e ál., 6). Así, la segúnda ley osula que rocesos con máxma efcenca energéca enen lugar en esados donde la generacón de enroía es mínma. Los rocesos dealmene reversbles enen generacón nerna de enroía gual a cero; en esos rocesos se maxmzan los benefcos y se mnmzan los gasos, como lo muesra claramene el eorema de Gouy-Sodola: d enorno erddo real deal w w w Al mnmzar la generacón nerna de enroía se mnmza la candad de rabajo erddo (Salamon e ál., 1; Kjelsru e ál., 6). Con el roóso de dseñar rocesos con mínma dsacón ermodnámca o mínma generacón de enroía se an roueso varas meodologías de omzacón ermodnámca, enre ellas el dseño de rocesos nsrados en la nauraleza que mnmzan la desruccón de energía a ravés de la búsqueda de relacones globales enre fuerzas y flujos, y el conrol ómo de las resrccones muesas al ssema (Bejan, 1996; Kjelsru e ál., 6). El eorema de Prgogne, de la mínma roduccón de enroía, osula que cuando un roceso es gobernado or leyes evoluvas que garanzan la valdez de relacones lneales enre fuerzas y flujos, y el cumlmeno de las relacones de recrocdad de Onsager (1931a; 1931b), la evolucón lleva el ssema a esados esaconaros con mínma dsacón ermodnámca (Prgogne e ál., 1971; 1998; Ross e ál., 1987; 1998). Algunas nerreacones erróneas de la ermodnámca de los rocesos rreversbles, del régmen lneal y del eorema de Prgogne (Danelewcz-Fercmn e ál., ; Sabaer, 6), an llevado a dvulgar el eorema de la mínma roduccón de enroía como un rnco de la nauraleza que goberna la evolucón de los ssemas naurales. En ese rabajo se muesran suacones esecífcas, en las que e- cuacones evoluvas deducdas a arr de relacones lneales enre fuerzas llevan al ssema a esados de noequlbro donde el eorema de Prgogne no es váldo. La ley de enframeno de Newon y la ley de conduccón de calor de Fourer se ulzan en el esudo de los rocesos de ransferenca de calor (Incroera e ál., 199; Bejan, 6). En la enseñanza de cursos báscos de físco-químca, ermodnámca o fenómenos de ransore se usan esas leyes ara deermnar roedades de ransore, ales como coefcenes de conducvdad érmca y coefcenes convecvos de ransferenca de calor de dferenes clases de ssemas, como son gases, sóldos, líqudos y solucones (Barragán e ál., ; Soemaker e ál., 3). Las ecuacones e- voluvas de Newon y Fourer se usan ara calcular los coefcenes de ransore en el esado esaconaro del roceso de ransferenca. Igualmene, se alcan en el ransoro del roceso ara 1 Químco y P.D., en Cencas Químcas, Unversdad Naconal de Colomba. Profesor, Unversdad Naconal de Colomba, Bogoá D.C., y Medellín. dabarraganra@b. unal.edu.co 88

2 BARRAGÁN deermnar las consanes de emo, los emos de relajacón y las velocdades ncales de ransferenca. odos esos arámeros ermen caracerzar el ssema y su neraccón con el enorno. Ese rabajo ene como roóso llamar la aencón sobre la relacón que exse enre la cnéca de un roceso y la ermodnámca del msmo, omando como caso arcular el ransore de calor. Prmero se analza s al descrbr la evolucón emoral de un roceso con la ley de enframeno de Newon, el esado esaconaro al que llegue ese es un esado de noequlbro con mínma generacón de enroía; gualmene, se analza s la ley de enframeno de Newon es consecuenca de asumr una relacón lneal enre fuerzas y flujos. En segundo lugar, se deduce una exresón, basada en la ley de enframeno de Newon, que erme descrbr la ransferenca de calor enre fases fludas searadas or una ared. Las conclusones a las que se llega en ese rabajo se endrán en cuena en el esudo de la omzacón ermodnámca de un roceso químco ermoacvado con nercambadores de calor, que será resenado en un rabajo sguene. Análss cenrado en El flujo de enalía en el ssema de la Fgura 1 se debe a la oenca, P dsada en el neror y a la ransferda aca, así: donde como dh d, P Φ, (1) Φ se defne según la Ley de enframeno de Newon ( ) Φ A. () En la ecuacón (), es el coefcene de ransferenca de calor cuya magnud deende de la geomería y conducvdad érmca de las nerfases nvolucradas. Eso se areca en la defncón de la ressenca érmca oal, 1 1 d 1 Roal + +, donde d es oal k el esesor de la nerfase y k la conducvdad érmca de la ared. Para resolver la ecuacón (1) se usa la rmera ley de la ermodnámca ara relaconar el cambo de la enalía del ssema con los cambos en la emeraura, como se muesra en la ecuacón (3): d 1 dh, (3) d m c d Fgura 1. Esquema del ssema esudado. Los subssemas fludos y esán searados or la ared sólda de esesor d y área A. En una ressenca elécrca dsa una oenca esaconara, P. se manene a emeraura consane de los alrededores, de ese modo las flecas ndcan la dreccón del ransore de calor. es ara el coefcene convecvo de ransferenca de calor en la nerfase, menras que lo es ara la nerfase. La línea uneada en reresena el erfl esaconaro esacal de dsrbucón de emeraura según la Ley de Fourer ara la conduccón de calor, donde en el uno medo se esma el valor + Flujo de enroía y ecuacones evoluvas La Fgura 1 muesra un esquema del ssema de nerés. es la fase fluda en la que ene lugar un roceso que lbera o absorbe calor, ya sea una reaccón químca, un cambo de fase, una mezcla o un calenameno elécrco. Para ese rabajo se consdera, sn érdda de generaldad, que en se encuenra una fuene de calor que dsa una oenca esaconara P. neracúa érm-, camene con, que ambén es una fase fluda que desemeña el ael de sumdero o alrededores a emeraura consane. Enre y se encuenra, que es una ared sólda, rígda y daérmca de esesor d y conducvdad érmca k. En las fases y no ay gradenes de emeraura, así que en la fgura las líneas uneadas ndcan la nerfase o zona de ransferenca de calor, señaladas or flecas con y. Asumremos que las roedades de ransore de, comaradas con las de y, garanzan esado esaconaro de conduccón de calor. donde c es la caacdad calorífca esecífca. La solucón analíca de la ecuacón (1) es una exresón ara los cambos de emeraura en en funcón del emo: ( ),, P P () + e A A ε. (4) ( ) En la ecuacón (4), A defne la velocdad efecva de ε mc aumeno o decameno de la emeraura del ssema. Es usual enconrar que ε se reescrbe en funcón de dos candades muy úles en el análss de rocesos ransoros de ransferenca de calor: ε B Fo, donde L B es el número de Bo y k k es el número de Fourer, con V Fo L. El nú- A mc L mero de Bo se lee como una candad que exresa la relacón enre el calor ransferdo a ravés de la nerfase con el calor conducdo a ravés del ssema y se consdera como una medda de la ressenca relava al flujo érmco; así, a valores grandes del número de Bo la ressenca es al neror del ssema, menras que a valores equeños la ressenca es en la nerfase (Incroera e ál., 199). A la ecuacón (4) se le uede realzar el sguene análss cnéco: a. S, la evolucón del ssema aca el esaconaro vene dada or la sguene ecuacón,, P ε () + 1e, (5) A REVISA INGENIERÍA E INVESIGACIÓN VOL. 9 No., AGOSO DE 9 (88-93) 89

3 PRODUCCIÓN DE ENROPÍA Y LEY DE ENFRIAMIENO DE NEWON quedando el esado esaconaro, lm ( ), deermnado or b. S ee, > y P, ee, P +. (6) A el ssema evolucona aca el equlbro según la ecuacón (7): () ( ) ε + e (7) c. Velocdades ncales: de enframeno, que vene dada or la e- cuacón (8): () d A d m c ( ) y de calenameno or la ecuacón (9):, () d P d m c, (8). (9) Las ecuacones (8) y (9) son de gran uldad como méodo alernavo y dreco ara esmar roedades ermodnámcas y de ransore de susancas. Análss ermodnámco del esado esaconaro La ecuacón (7) de la ley de enframeno de Newon descrbe la e- volucón emoral del ssema aca el esado de equlbro ermodnámco, caracerzado or el valor exremo de los oencales ermodnámcos enroía, enalía y energía nerna. A connuacón se analza el esado esaconaro de la ecuacón (6). Prmero se realza el balance de flujo de enroía en el ssema de la Fgura 1, a resón consane y en ausenca de rabajo P-V, obenéndose: P 1 ( ) d d d d, oal +Φ + (1) Los dos rmeros érmnos a la dereca de la ecuacón (1) son el balance ara el ssema, el ercero es la generacón de enroía or conduccón de calor a ravés de, y los dos úlmos son el balance ara. En el esado esaconaro los flujos nernos de enroía (generacón nerna de enroía) se gualan con los flujos exernos de enroía, así, P 1 +Φ ( ) + o smlemene d d d e (11) d d Por smlcdad y sn érdda de generaldad, se connúa el análss ermodnámco cenrado en el ssema con sumdero en, enonces se reduce la ecuacón (11) a:,, P +, (1) d d d donde Φ. S Φ vene dado or la ecuacón (), d d la ecuacón (1) queda como ( ) P d,, A. (13) Los esados esaconaros de la ecuacón (13) se logran acendo, d, obenendo, P ee ( ) + A (14) El esado esaconaro de la ecuacón (14) corresonde a un mínmo al comrobar que., d > ( ) El esado esaconaro descro or la ecuacón (14), esado de mínma generacón de enroía, es dferene del esado esaconaro descro or la ley de enframeno de Newon con la ecuacón (6). Análss en el régmen lneal En esa seccón se consdera que la oenca érmca Φ ransferda desde aca en la ecuacón (1) no vene dada or la ley de enframeno de Newon, sno or una corresondenca lneal con la fuerza ermodnámca (Prgogne e ál., 1998), es decr: ee 1 1 Φ L ( ) q, (15) donde L es el coefcene fenomenológco de Onsager. Enonces, q de las ecuacones (1) y (3) se obene: d, ( 1 1 mc ) P Lq, (16) d que al reescrbr queda de la sguene forma: d L P L d mc, q + q (17) La ecuacón (17) ene solucón analíca, la cual, escra de manera mlíca, queda como: χ () ( ) () χ e e χ donde, P Lq Lq χ Lq m c (18) χ. La ecuacón (18) no es de fácl manejo, ero es la que goberna la evolucón emoral del ssema, ya sea aca un esado de noequlbro o aca el esado de equlbro ermodnámco. El esado esaconaro al que lleva la ecuacón (18), ee lm ( ), es: ee, 1 P L q (19) 9 REVISA INGENIERÍA E INVESIGACIÓN VOL. 9 No., AGOSO DE 9 (88-93)

4 BARRAGÁN Según el eorema de Prgogne, el esado esaconaro de la ecuacón (19) debe corresonder a un esado de mínma roduccón de enroía. Para verfcar eso se reemlaza la ecuacón (15) en la (1), obenéndose que el flujo de enroía queda dado or: ( ) ( ),, P L q d () Los esados esaconaros de la ecuacón () se obenen acendo, d, enconrándose que la solucón es la msma dada or la ecuacón (19), sendo ese esado un mínmo. Desués de llevar a cabo ese análss se observa que la ley de enframeno de Newon no es consecuenca del régmen lneal de la ermodnámca de los rocesos rreversbles. Análss cenrado en El flujo de enalía ara en la fgura 1 se deermna or la oenca érmca ransferda desde y or la oenca ransferda aca ; así, enemos: S Φ y dh d Φ Φ (1) Φ venen dados or la ley de enframeno de Newon, ecuacón (), y enendo en cuena la ecuacón (3), de la ecuacón (1) se obene: d A d mc, ( ) () donde, y son los coefcenes convecvos de ransferenca de calor de los ssemas y con el ssema y, +. + La ecuacón () ene la sguene solucón analíca: ( ) ( ) () 1 e + 1 e + e ε ε ε,,,,, (3), donde, A. Al reemlazar en (3) la ecuacón (4) ara ε mc, se obene la sguene exresón: La ecuacón (4) redce el esado esaconaro, ee lm ( ), como: ee P + A,, De la ecuacón (4), s P, se obene:, ( + ) ( )( ),, ( 1 ) ( 1 ) P e e e e e e () +,,,,, ε ε ε ε ε ε ε A, ε ε ε e e e (5) + ( + )( 1 ) ( 1, ) ( 1, ),, ε ε, ε, ε ε ε e e e () e + e e (6) Fnalmene, de la ecuacón (6) se uede evaluar la velocdad ncal de enframeno, así: d A d m c Resulados y dscusón ( ) (7) En la seccón aneror se mosró que la ley de enframeno de Newon no es consecuenca de una relacón lneal enre las fuerzas y flujos ermodnámcos asocados al roceso de ransferenca de calor. En el domno de la ermodnámca lneal de los rocesos rreversbles (LPI), donde el eorema de Prgogne de los esados esaconaros de noequlbro con mínma roduccón de enroía es váldo, la evolucón emoral de un ssema como el lusrado en la fgura 1 se descrbe or la ecuacón (18). Algunos auores ubcan la ley de enframeno de Newon en la LPI al realzar en la ecuacón (15) la sguene aroxmacón, L q ; consane aroxmacón que se consdera defne lo que se denomna cerca del equlbro (Bejan, 6; Prgogne e ál., 1998). Al realzar esa aroxmacón la ecuacón (15) se ransforma en la (), ero esa aroxmacón lleva a enconrar un esado esaconaro, ecuacón (14), de mínma roduccón de enroía que no concde con el esado esaconaro, ecuacón (6), que redce la ley de enframeno de Newon. Es decr, que s ben la ley de enframeno de Newon descrbe exermenalmene la evolucón emoral de ssemas en los que enen lugar rocesos de ransferenca de calor ecuacones (5) a (9) no exse un oencal ermodnámco que caracerce dco roceso evoluvo. Lo aneror derva en una conclusón senclla, que los rocesos de ransferenca de calor descros or la ley de enframeno de Newon o or la ley de conduccón de calor de Fourer son objeo de omzacón ermodnámca en la búsqueda de enconrar esados de oeracón con mínma roduccón de enroía. La omzacón ermodnámca de los rocesos de ransferenca de calor que enen lugar en un ssema como el de la fgura 1 se debe llevar a cabo con la ecuacón (1), ara eso usualmene se esuda el ssema en esado esaconaro y osulando relacones lneales enre fuerzas y flujos. Además semre es necesaro moner al ssema resrccones de oeracones, como ueden ser que los esados ncal y fnal semre sean los msmos, que la candad de calor que se ransora sea la msma, que la ared de nercambo esé en esado esaconaro de conduccón, que las esecfcacones de alguno o varos de los subssemas, ó sean semre (4) las msmas, ec. Lo morane es ener clardad sobre cómo ay que realzar los balances de flujos en el ssema ara que la descrcón de la ecuacón (1) sea lo sufícenemene rgurosa en funcón de odos los osbles arámeros de conrol; or ejemlo, ara el ssema de la fgura 1 enemos: roedades físco-químcas de los fludos y, coefcenes de ransferenca de calor y, dmensones y conducvdad érmca de y emeraura del sumdero. REVISA INGENIERÍA E INVESIGACIÓN VOL. 9 No., AGOSO DE 9 (88-93) 91

5 PRODUCCIÓN DE ENROPÍA Y LEY DE ENFRIAMIENO DE NEWON Sn embargo, s alguna de las resrccones anerores no se uede moner, or ejemlo, que en el ssema y se engan magnudes comarables, enonces el balance de flujos cenrado en es más adecuado ara esudar el efeco de los arámeros de conrol en la evolucón del ssema. Nuevamene, a modo de - lusracón, ver la fgura 3 y las esecfcacones en la leyenda. Las ecuacones (1) a (7) ermen lanear exermenos y analzar daos en funcón de los coefcenes de ransferenca de calor en las nerfases fludo-ared. Conclusones Fgura. Curvas de enframeno ara con dversos subssemas. es are con conveccón forzada a 18 ºC. es 5 gramos de: a. acee de maíz, b. eanol al 7%, c. solucón de sacarosa al %, d. solucón de NaCl al 1%, y e. agua. es una ared de vdro de mm de esesor, dámero nerno de 35 mm y alura de 8 mm. La medda de emeraura se realzó con un crcuo LM35DZ conecado a una nerfaz IEEE-GPIB a ravés de un mulímero HP de ala recsón. En la seccón aneror se realzó el balance de flujos en dos ares del ssema, una cenrada en ecuacones (1) a (9), y ora en ecuacones (1) a (7). Para esudar la evolucón del ssema en funcón de los arámeros de conrol con el análss cenrado en, es necesaro resrngr al ssema a que la conducvdad érmca de sea grande, comarada con la de los fludos, y que el esesor de la ared sea equeño; además que y dferan en varos órdenes de magnud. Smlemene a modo de lusracón, ver la fgura y las esecfcacones en la leyenda. Los arámeros de conrol que gobernan la endenca de los daos de la fgura se ueden analzar sasfacoramene con las ecuacones (1) a (9). Fgura 3. Curvas de enframeno ara con varos subssemas. es 5 gramos de agua. a 18ºC es: a. acee de maíz, b. eanol al 7%, c. solucón de sacarosa al %, d. solucón de NaCl al 1%, y e. agua. es una ared de vdro de mm de esesor, dámero nerno de 35 mm y alura de 8 mm. La medda de emeraura se realzó con un crcuo LM35DZ conecado a una nerfaz IEEE-GPIB a ravés de un mulímero HP de ala recsón. En se garanzó el conrol de emeraura y agacón. La ley de enframeno de Newon, la que goberna la evolucón emoral de los rocesos de ransferenca de calor, ya sea aca el equlbro ermodnámco o aca esados de noequlbro, no es una consecuenca de la ermodnámca lneal de los rocesos rreversbles. Eso se demosró al enconrar solucones exacas a los flujos de enroía ara un ssema que como roduco de un calenameno evolucona a un esado esaconaro. Por consguene, rocesos de ransferenca de calor descros or la ley de Newon o or la ley de Fourer son objeo de omzacón ermodnámca en la búsqueda de esados de noequlbro con mínma roduccón de enroía. Agradecmenos A la Dnan-Unversdad Naconal de Colomba, or la fnancacón del royeco 61443, y a la Dreccón de Invesgacones de la Unversdad Naconal de Colomba en Bogoá or la fnancacón a m gruo de nvesgacón Calormería y ermodnámca de los rocesos rreversbles, clasfcado or Colcencas en la caegoría A. Bblografía Barragán, D., Suárez, M. F., Hernández, G., Fscoquímca Exermenal: Procesos de ransore y Cnéca Químca., Coleccón Noas de Clase, Faculad de Cencas, Unversdad Naconal de Colomba, Bogoá,, Bejan, A., Enroy generaon mnmzaon., e meod of ermodynamc omzaon of fne-sze sysems and fne-me rocesses., CRC Press, New York, Bejan, A., Advanced engneerng ermodynamcs., 3 Edon, Jon Wley, Hoboken-New Jersey, 6, Danelewcz-Fercmn, I., Fercmn, A. R., A ceck of Prgogne's eorem of mnmum enroy roducon n a rod n a nonequlbrum saonary sae., Amercan Journal of Pyscs, Vol. 68, No. 1,, (Crícas a ese rabajo fueron dadas or: Palffy-Muoray, P., Amercan Journal of Pyscs., Vol. 69, No. 7, 1, y Hoover, W. G., Amercan Journal of Pyscs., Vol. 7,,. 45.) Soemaker, D. P., Garland, C. W., Nbler, J. W., Exermens n Pyscal Cemsry, 7 Edon, McGraw-Hll, 3, Incroera, F. P., De W, D. P., Inroducon o ea ransfer., nd Edon, Jon Wley, New York, 199,. 13-, 8-86, Kjelsru, S., Bedeaux, D., Joannessen, E., Elemens of Irreversble ermodynamcs for Engneers., nd Edon, ar Academc Press, rondem-norway, 6. Onsager, L., Recrocal relaons n rrevesble rocesses I., Pyscal Revew, Vol. 37, 1931a, REVISA INGENIERÍA E INVESIGACIÓN VOL. 9 No., AGOSO DE 9 (88-93)

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