Diseño y Control de un Robot Paralelo

Transcripción

1 Diseño y Cotrol de u Robot Paralelo Meeses Jiéez Xavier Atoatiúh, Médez Caseco Mauricio Cirilo y Cortés Brigas Eduardo auricio.edez@aahuac.x; hsi@yahoo.co Uiversidad Aáhuac México Sur. Av. De las Torres 3, col. Olivar de los Padres, Del. Álvaro Obregó, México, D.F., CP 0780 Tel 0 (55) ext. 225 Resue E este artículo se preseta el diseño y costrucció de u robot paralelo tipo Delta. Adeás, se explica la aera e que se aaliza la cofiguració ecáica y coo se ipleeta la iterfaz coputacioal para lograr prograar ua secuecia de oviietos puto a puto. fija co el triágulo equilátero del efector fial (Actuador) ubicado e uo de los bordes del iso triágulo, cotado co 3 grados de libertad, auetado grado de libertad si el actuador lo posee, y esto depederá de la tarea a realizar. El Álgebra de Cuaterioes es utilizada para obteer Vectores Diáicos [] [2] [3] co el propósito de siular el coportaieto del robot paralelo y obteer sus ecuacioes cieáticas. Los Vectores Diáicos se defie co las isas características de oviieto que los eslaboes que cofora al robot; por lo que represeta ua herraieta uy útil para obteer las ecuacioes cieáticas de cadeas cerradas o abiertas.. Itroducció U robot de cieática paralela, tabié llaado robot de cadea cerrada o aipulador paralelo, cosiste básicaete e ua platafora óvil uida a ua base fija por edio de varios brazos. Típicaete cada brazo está cotrolado por u actuador. E geeral estos robots paralelos puede aipular ua carga ayor que los robots de cadea abierta, ya que coparte la carga etre varios brazos paralelos. Los robots paralelos fuero itroducidos hace ya alguas décadas por Gough(975) y Stewart (965). Clavel (989) propuso el robot Delta, el cual es utilizado e aplicacioes de alta velocidad e la idustria. El robot paralelo tipo Delta (Figura ) es siétrico, espacial y copuesto por tres eslaboaietos idéticos los cuales coecta la base Figura. Maipulador paralelo tipo Delta Hercules. El robot costruido y ostrado e la Figura tiee por obre Hércules. Las diesioes de los eslaboes se deteriaro realizado u aálisis co base e el odelado del robot utilizado Cuaterioes. Las piezas de las cadeas cieáticas se fabricaro e aluiio y la platafora óvil e Nalyid. Se diseño ua iterfaz coputacioal para poder aipular y cotrolar al robot desde ua PC. Este prograa se realizó e el leguaje C# e iteractúa co la tarjeta de cotrol de los tres servootores utilizados. 2. Vectores Diáicos 29

2 Es posible obteer las ecuacioes cieáticas de cadeas abiertas y cerradas a través de represetarlas co vectores que cotega propiedades de oviieto siilares al del sistea a estudiar. A estos vectores los llaaos Vectores Diáicos. La obteció de Vectores Diáicos co propiedades de rotació se facilita al utilizar el Álgebra de Cuaterioes. Lo que hace ecesario coocer las propiedades de esta álgebra []. A cotiuació se preseta ua trasforació lieal co propiedades de rotació para defiir dichos vectores. 2. Rotació co Álgebra de Cuaterioes Q. Existe ua trasforació lieal ρ(p, ):Q Q, dode p Q está fijo, y preserva el producto itero, la ora y el águlo: ρ ( p, q ) = p * q * p = 2 ( p * q * p ) p q Q () *: Q Q Q es la operació ultiplicativa de los Cuaterioes. :Q R + es la ora e espacio vectorial Q. es la ultiplicació escalar. p Q es el cojugado de p. La cual es ua rotació e el espacio vectorial de los Cuaterioes segú se uestra e []. Los copoetes de p Q está relacioados co los paráetros físicos de la rotació, ediate las siguietes expresioes: p0 = Cos θ 2, p v = Si θ 2 w v θ es el águlo de rotació w =(w, w 2, w 3 ) es el eje de rotació Si p Q es u Cuaterió uitario, etoces la rotació ρ(p, ): Q Q se siplifica a la siguiete fora: ρ ( p, q ) = p * q * p = p * q * p q Q (2) Ates de ostrar las ecuacioes cieáticas para cuerpos, ejeplificareos el caso de dos cuerpos acoplados. Todos los desarrollos de los resultados aquí ostrados se ecuetra a detalle e [2]. El odelado cosiste e deteriar a través de los eslaboes el vector de posició L T2 del extreo fial de los cuerpos acoplados a la base global cosiderado el oviieto de cada eslabó y los efectos que tiee cada uo de ellos e los cuerpos siguietes (Figura. 2): L T2 (t) = T v [P (t)* T - v [ l ]* P (t) + P 2 (t)* P (t) * T - v [ l 2 ]* P 2 (t)*p (t) ] (3) Siedo l y l 2 so los vectores que represeta a los dos cuerpos e la posició e la que se deterió el odelo. e2 e e 2 e3 l e 3 e e e e lpt Figura 2. Sisteas de referecia. Dode el Cuaterió P (t) es la rotació del prier cuerpo y está costituido por: P (t) = (P 0, P, P 2, P 3 ) y P 0 = Cos f (t) f 2, P (t) v0(t) = Si 2 l2 ur v El eje de rotació ur está defiido respecto a la base global. 2.2 Metodología para calcular vectores diáicos. El Cuaterió P 2 (t) es la rotació del segudo cuerpo forado por: 220

3 P 2 (t) = (P 20, P 2, P 22, P 23 ) P 20 (t)=cos f 2(t) f 2,Q 2(t) v0(t)=si 2 ur2 v y De acuerdo a la Figura 3. se uestra el algorito desarrollado e [2] para calcular las ecuacioes cieática de cuerpos rígidos. l 4 El vector ur2 es el eje de rotació del segudo cuerpo defiido e el sistea global y es afectado por la rotació P (t). l 2 l 3 l ur2=t v [ ρ( P (t), T v - [ u 2 ]) ] (4) La velocidad la obteeos al derivar la ecuació de posició y siplificar utilizado las propiedades ecioadas, hasta obteer: L T2(t) = f (t) u r L (t) + f 2 (t) u r2 L 2 (t) + f (t) u r L 2 (t) (5) u r = u Los térios u y u 2 so los ejes de rotació defiidos respecto a la base global ates de que cualquier oviieto se efectúe. Cuado el acoplaieto se ueve los ejes de rotació so afectados por el oviieto y esto se idica co los Cuaterioes que defie dicho oviieto; Así, los ejes defiidos e cada istate so u r y u r2. La velocidad puede escribirse de la siguiete fora: L T2(t) = w (t) L + w 2 (t) L 2 (t)+ w (t) L 2 (t) (6) w (t) = f (t) u r w 2 (t) = f 2 (t) u r2 Y la aceleració está dada por: L T2(t) = α (t) L (t) + w (t) [w (t) L (t)] + α 2 (t) L 2 (t) + w 2 (t) [w 2 (t) L 2 (t)] + α (t) L 2 (t) + w (t) [w (t) L 2 (t)] + 2 w (t) [w 2 (t) L 2 (t)] (7) w (t) = f (t) u r es la velocidad agular e L (t). α (t) = f (t) u r es la aceleració agular e L (t). w 2 (t) = f 2 (t) u r2 es la velocidad agular e L 2 (t). α 2 (t) = f 2 (t) u r2 es la aceleració agular e L 2 (t). Todo expresado respecto a la base global. 2.3 Cieática de cuerpos rígidos. l Figura 3. Sistea de cuerpos acoplados. La ecuació de posició, velocidad y aceleració para cuerpos acoplados so: Posició L T del extreo fial del sistea de cuerpos rígidos. L T = L (8) = L = P (t) P (t) = T i i v [ρ( P (t), l i ) *l * y P (t) = P i (t)*p - (t)*.*p (t) Velocidad. V T = L = w i L (9) = = - w = f (t) T v [ρ( P i (t),u ) y u es el eje de rotació del eleeto L. Aceleració. a T = L = = [ (α i L +w i w i L ) + = 2 (w k w i L )] (0) k = +k - α = f (t) T v [ρ( P i (t), u ) Este algorito sisteatiza el cálculo de las ecuacioes de posició, velocidad y aceleració de cuerpos acoplados de fora siplificada. 22

4 Esta operació es uy útil e la cieática cuado teeos que relacioar u sistea de referecia a partir de otro, relacioado ediate rotacioes la base que fora a cada uo de estos sisteas. 3. Sistea de cotrol El sistea de cotrol está basado e u cotrolador digital oviieto (DMC), aplificador y servootor coo el ostrado e la Figura 4. Figura 5. Sistea de cotrol Figura 4. Servosistea. El robot paralelo tipo Delta requiere tres servootores para efectuar u oviieto y posicioarse e el espacio. El sistea utilizado se uestra e la Figura 5. El DMC tiee u exteso cojuto de istruccioes para prograar diversos tipos de oviietos y aplicacioes. Las istruccioes está represetadas por coados e igles foradas por dos letras ASCII. Por ejeplo para iiciar el oviieto del eje X e Y se escribe BG XY. El DMC (Figura 6) utiliza ua icrocoputadora de 32 bits y diversos recursos para aejar aplicacioes coplejas. Tiee sitoizació avazada PID, eoria o volátil ultitarea para ejecutar las aplicacioes, etradas y salidas aalógicas y digitales para ipleetar sesores exteros. Maeja varios odos de oviieto: posicioaieto puto a puto, cotrol de velocidad, iterpolació lieal y circular, cotoro y ECAM. La velocidad de couicació co los ecoders es da hasta 22 MHz. La prograació básica e u DMC se puede apreciar e el ejeplo siguiete: #A etiqueta PR 4000 distacia relativa a recorrer SP velocidad AC Aceleració DC Desaceleració BGX iiciar oviieto EN fi de prograa Figura 6. Tarjeta de cotrol de oviieto. Los servootores (Figura 7) utilizados tiee las siguietes características: Alta relació torque-iercia, ideal para oviieto puto a puto que requiere elevada aceleració. Torque cotiúo de 55 oz-i. Resolució del ecoder de 000 líeas. 222

5 De acuerdo a la sua de vectores que se defie e cada brazo, co Cuaterioes e u abiete de Matheatica [2] se calcula de la siguiete aera: Figura 7. Servootor El ódulo de itercoexió (Figura 8) perite la distribució del cable SCSI que sale de la tarjeta de cotrol e diferetes teriales de salida y etrada. El segudo brazo: Figura 8. Módulo de itercoexió. 4. Diseño Mecáico A partir de la cofiguració de u robot Delta hay que realizar u aálisis del área de trabajo que se quiere cubrir co el robot para poder defiir las diesioes del iso. El tercer brazo: Este aálisis se realiza a partir de las ecuacioes que defie al robot; las cuales se obtiee a partir de las cadeas cieáticas cerradas que defie cada uo de los brazos que lo cofora. Las cadeas cieáticas se defie coo ua sua de vectores, coo se puede observar e la Figura 9, la cual está dada por: Y la sua de vectores que defie a cada cadea cerrada es: v +L +v 2 +L 2 +v 3 +v 4 = P Co esto es posible aplicar cieática iversa para coocer la cofiguració total del robot de acuerdo a la posició a alcazar. El odelo obteido y coados gráficos defiidos e [] es posible obteer diversas cofiguracioes del robot coo se uestra e la Figura 0. Figura 9. Cadea cieática 223

6 Figura. Barras cilídricas. La platafora óvil ue los tres pares de barras cilídricas y e ella se ota el efector fial. Figura 0. Siulació del robot. Las ecuacioes os peritiero defiir las logitudes de las piezas, co las cuales se obtuviero los plaos de las piezas a aquiar para poder costruir el robot tipo Delta. Figura 2. Barras cilídricas. E la siguiete foto (Figura 3) se puede observar las piezas del robot esabladas y otadas e ua estructura de aluiio. E la platafora fija (Figura ) se ota los tres servootores del robot coo se aprecia e la Figura 9. Figura 3. Robot esablado. Figura. Platafora fija. El eslabó L ostrado e la Figura 9 es ua barra de aluiio que acopla al servootor co las barras cilídricas paralelas. Las barras paralelas so cilídricas (Figura ) y e sus extreos se acopla eleetos esféricos y peritir el ajuste de la platafora iferior defiido por los tres brazos. 5. Software de Cotrol La iterfaz coputacioal para couicarse co el robot y eviarle las istruccioes de la tarea a efectuar tiee las siguietes fucioes: Maejo aual del robot a través de scrolls para cada otor. Maejo de servootores de fora cobiada. Grabado de posicioes deseadas. Ejecució de ua secuecia de posicioes co oviieto puto a puto. Mostrar las posicioes grabadas para la secuecia de oviietos. 224

7 La iterfaz (Figura 4) se desarrollo e leguaje C# de.et y se ipleetó la cieática iversa para obteer los águlos ecesarios que se requiere e cada servootor para que el robot aipule los objetos requeridos. Figura 4. Iterfaz coputacioal. La ipleetació e la iterfaz coputacioal se aplicó de fora diferete a la ecioada ateriorete para optiizar los cálculos al o ipleetar u étodo uérico. Para lograrlo de cada cadea cieática plateada se calculo la ora del eslabó L 2, la cual es coocida y de esta aera tabié se aula la iforació del águlo de dicho eslabó, esto es: Los objetivos a ediao plazo so icorporarle u sistea de visió para que pueda aipular los objetos de aera autoática e ipleetar otros tipos de cotrol de oviieto. Referecias [] Médez M. Diáica de cuerpos rígidos co Quaterioes: ua aplicació a los ecaisos. Tesis de Doctorado e igeiería, Uiversidad Aáhuac del Sur, [2] Médez M. Siplificació del Modelado Cieático de cuerpos rígidos co Quaterioes, Tercer Cogreso Mexicao de Robótica, 200. [3] Médez M. Diáica de u sistea 2 GL co Quaterioes, Cogreso Nacioal de Cotrol Autoático [4] G Motio Cotrol, DMC-2x00 Maual,2005 L 2 = P- v 3 -v 4 -v -L -v 2 Y se despeja el águlo de cada eslabó L para obteer θ(p). 6. Coclusioes Se logró diseñar y costruir u robot paralelo tipo Delta co tres Grados de Libertad co los recursos tecológicos co los que cueta la Facultad de Igeiería de la Uiversidad Aáhuac México Sur. E el diseño ecáico se aplicó el cocepto de Vectores Diáicos defiidos co el Álgebra de Cuaterioes para que co base a la cieática iversa, se pudiera calcular las logitudes de los eslaboes. La iterfaz coputacioal cuplió co los requeriietos de couicació co el DMC para el cotrol de los servootores a través de ua PC. El desepeño geeral del robot Hércules cuplió co las expectativas plateadas al iicio del proyecto. 225