4 Cuarta. 4.1 Parte básica. Unidad Didáctica "ESTADÍSTICA INFERENCIAL"

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1 213 4 Cuarta Uidad Didáctica "ESTADÍSTICA INFERENCIAL" 4.1 Parte básica

2 Itroducció y motivació La pricipal razó de que el Método Estadístico se haya desarrollado ampliamete e los últimos años detro de las Ciecias Experimetales es que éstas está sujetas a razoamietos de tipo iductivo que va de lo particular a lo geeral. Sacaremos coclusioes sobre u grupo de idividuos a partir de la iformació que os proporcioa u subcojuto más o meos amplio de los mismos. De acuerdo co MARTIN ANDRES y LUNA CASTILLO (1990), El úico método cietífico para validar tales extesioes es el Método Estadístico, pues precisamete esa es la causa de su existecia. La expasió del Método Estadístico es tal que, de todas las disciplias que uestros alumos ha de estudiar a lo largo de toda la eseñaza secudaría, la Estadística es prácticamete la úica que tedrá como asigatura e la mayor parte de las carreras uiversitarias que pueda elegir e el futuro; desde las típicamete cosideradas experimetales, como la Medicia o la Biología, hasta carreras cosideradas como de letras como la Psicología, la Sociología o icluso la Geografía. Aquellos que decida o tomar el camio de la Uiversidad se ecotrará cada vez más frecuetemete co coceptos procedetes de la Ciecia Estadística como por ejemplo el de error máximo admisible o el de ivel de cofiaza e cualquier ecuesta sociológica de las que habitualmete aparece e la presa. El primer cocepto importate que hemos de trasmitir a uestros alumos es la diferecia existete etre lo que so las estadísticas como meras coleccioes de datos y lo que es el Método Estadístico cosiderado como ua disciplia cietífica co etidad propia. Es comú escuchar la frase No creo e las estadísticas, icluso etre profesioales cercaos a la disciplia. Efectivamete las estadísticas como posible ayuda a la toma de decisioes depede de quié y como se haya tomado los datos y de si las respuestas que da los ecuestados se ajusta a su opiió real. E este setido los datos puede ser susceptibles de creecia puesto que uo puede dudar de la iteció del

3 215 ecuestado. El Método Estadístico, tal y como está cocebido e la actualidad, forma parte del saber cietífico y es aceptado lo mismo que lo es, por ejemplo, la Teoría de la Relatividad e Física; o es, por tato, terreo de las creecias y seguirá siedo aceptado como válido hasta que alguie propoga ua ueva teoría que lo modifique. Recapitulado sobre lo expuesto, la Estadística se cofigura como la tecología del método cietífico que proporcioa istrumetos para la toma de decisioes cuado estas se adopta e ambietes de icertidumbre, siempre que esta icertidumbre pueda ser cuatficada e térmios de probabilidad. (MARTIN PLIEGO, 1994). El procedimieto de toma de decisioes, o de apredizaje, e el ámbito cietífico se resume e la figura 1, y cosiste básicamete e platear ua hipótesis, cotrastarla mediate datos experimetales y modificarla si o puede ser aceptada. Es precisamete e el paso de cotraste e el que el Método Estadístico juega u papel fudametal y auque cualquier cietífico puede realizar ua ivestigació si estadística, si embargo es mucho más fiable si el resultado está basado e métodos estadísticos. No se cocibe la ivestigació aplicada actual si la utilizació de la Estadística e el proceso de iducció. Figura 1: El proceso de apredizaje. El cuadro 1 muestra los pasos fudametales del método cietífico e relació co el método estadístico.

4 216 Figura 4.1: El Método Estadístico es ua parte importate de la ivestigació cietífica actual. MÉTODO CIENTÍFICO 1.- PLANTEAR UNA IDEA (HIPOTESIS) 2.- CONTRASTAR LA IDEA a) Establecer la població o poblacioes a estudiar. b) Decidir el método para la recolecció de los datos. c) Supoer u modelo, especificado las distribucioes de las poblacioes e estudio. d) Formular las hipótesis de iterés e térmios de los parámetros del modelo. e) Calcular el tamaño muestral ecesario para coseguir los objetivos ta eficietemete como sea posible. El cálculo requiere el coocimieto de la míima diferecia e la que el ivestigador está iteresado, así como u estimador de la variabilidad subyacete. f) Recoger los datos. g) Revisar si el modelo supuesto puede cosiderarse ua aproximació razoable. h) Revisió del aálisis si las suposicioes de partida del modelo o so ciertas. i) Aalizar los datos. j)escribir las coclusioes e leguaje simple (o estadístico). 3.- REVISAR LA IDEA SI NO SE ACEPTA A PARTIR DEL PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL. Cuadro 4.1: El método cietífico y su relació co la Estadística.Se ha señalado e cursiva los pasos del método directamete relacioados co la Estadística, que va desde la recogida de los datos hasta el aálisis de los mismos.

5 217 Estudiaremos cada uo de los apartados mecioados auque o ecesariamete e el orde e el que aparece e el cuadro aterior. Se platea ahora u problema que suscita polémica etre los profesioales de las Estadística, el efoque que debe darse a la explicació de los coceptos fudametales. Trataremos de expoer uestro puto de vista al respecto ates de comezar co la explicació propiamete dicha. Dos so los efoque predomiates, si bie puede cosiderarse posturas itermedias; el primer bloque estaría formado por aquellos que cosidera la Estadística como ua especialidad más de las Matemáticas si características difereciales claras co respecto al resto de las disciplias; el segudo bloque estaría formado por aquellos que piesa que la Estadística tiee etidad propia como disciplia cietífica e la que las Matemáticas ha de etederse simplemete como ua herramieta. Como profesioales de la Estadística Aplicada, os icliamos por la seguda de las posibilidades si bie o se debe olvidar el fodo teórico de la disciplia y las herramietas matemáticas básicas, que se etederá como u medio y o como u fi e si mismas. Trataremos de explicar esta postura más ampliamete e los párrafos que sigue. La Estadística como disciplia tiee fudametalmete u carácter iductivo e cotraposició al carácter deductivo de las Matemáticas, el objeto último de la misma es sacar coclusioes sobre ua població a partir de la iformació que proporcioa ua muestra de la misma, y o el desarrollo de los teoremas propiamete dichos que sería objeto de la deomiada Estadística Matemática. U ejemplo similar sería el de la Física, co u campo propio, y el de los métodos matemáticos aplicados a la Física que forma parte de las Matemáticas. El objeto de la Estadística Aplicada so los Métodos Estadísticos, los resultados y su aplicació e otras disciplias cietíficas; la obteció teórica de dichos métodos utiliza

6 218 herramietas matemáticas (Cálculo, Algebra o Geometría) o coceptos de Cálculo de Probabilidades. Siguiedo a WOLFOWITZ (1969) 1 : Excepto quizás uos pocos de los más profudos teoremas, y quizás i siquiera esos, la mayor parte de los teoremas de la Estadística o sobreviviría e las Matemáticas si el sujeto de la propia estadística (la aplicació) desapareciera. Para sobrevivir al sujeto debe respoder más a las ecesidades de aplicació. De lo que debemos protegeros es del desarrollo de ua teoría que, por ua parte, tiee poca o igua relació co los problemas reales de la Estadística, y que, por otra parte, cuado se ve como Matemática pura, o es lo suficietemete iteresate, por si misma, i para sobrevivir. Tambié e este setido TUKEY (1962) 2, que podría ser cosiderado como el padre de la aproximació exploratoria del aálisis de datos, aputa lo siguiete: La máxima más importate a la que el aálisis de datos debe prestar ateció, y ua de las que muchos estadísticos parece haber olvidado, es ésta: Mucho mejor ua respuesta aproximada a ua preguta correcta, que es a meudo vaga, que ua respuesta exacta a la preguta erróea, que puede hacerse siempre de forma precisa. El aálisis de datos debe progresar aproximado respuestas, e el mejor de los casos, ya que su coocimieto de lo que es realmete el problema será e el mejor de los casos aproximado. Todo lo dicho poe de maifiesto que hay distitas formas de eteder las cosas probablemete debido a la cojució de la parte iductiva e la esecia de la disciplia y la parte deductiva e su desarrollo. Es la parte deductiva (matemáticas) la que ha situado a la Estadística, hasta hace pocos años, como ua especialidad de la liceciatura 1 -WOLFOWITZ, J. (1969): 'Reflectios o the future of mathematical statistics'. e R. c. Bose et al. (eds.) "Essays i Probability ad Sraristics". Uiversity of North Carolia Press. Chapel Hill. 2 -TUKEY, J.W. (1962): 'The future of Data Aalysis'. Aals of Mathematical Statistics, 33, 1-67.

7 219 de Matemáticas, y es probablemete la parte iductiva la que ha hecho que e esas mismas facultades fuera cosiderada como la hermaa pobre, o cuado meos, como algo extraño y diferete, por los matemáticos tradicioales. El proceso futuro que seguirá la Estadística como disciplia cietífica pasará, si duda, por la separació de las Matemáticas, como lo hizo e su mometo la Física, que tiee su propia etidad auque utilice el método matemático como herramieta. De hecho, ya es posible cursar estudios de Estadística (tato de primer como de segudo ciclo) e Facultades de Estadística separadas de las de Matemáticas. (Auque desgraciadamete e la mayoría de los casos sigue cotrolados por los matemáticos). Es esta misma disyutiva es la que ha colocado los coceptos de Estadística ecesarios e las Eseñazas Medias detro de la asigatura de Matemáticas, y la que ha hecho que muchos de los profesores, co formació matemática tradicioal, prefiera relegarla a u segudo plao cuado, e realidad, es la úica parte del programa que prácticamete todos los que tome el camio uiversitario va a estudiar. E Facultades Aplicadas (Medicia, Biología, Ecoomía, Psicología, Geografía, Derecho, Bibliotecoomía, Traducció y documetació, etc... ) eseñamos Estadística Aplicada, es decir, los resultados más relevates que permite al alumo resolver problemas que se ecotrará e su ejercicio profesioal, aprediedo el leguaje y las técicas básicas que le permita compreder o sólo las situacioes que se le platea e el curso sio tambié posibles situacioes futuras. No es ecesario eseñar la parte deductiva completamete, ya que se trata de usuarios de los métodos, y o es preciso profudizar e aspectos meramete técicos que perteece exclusivamete al mudo de las Matemáticas. De algua maera, el rigor coceptual para trasmitir la filosofía básica de trabajo detro del método cietífico, sustituye al rigor matemático e la presetació de resultados ya que los alumos ha de resolver problemas de ivestigació e su propia rama y o e Matemáticas.. E Facultades de Matemáticas y Estadística el efoque estará más dirigido al aspecto técico-matemático, especialmete e las primeras. E las uevas facultades de

8 220 Estadística tedrá que apreder que el objeto es la aplicació y que los resultados matemáticos ecesarios para el desarrollo deductivo de los "Métodos Estadísticos" so sólo ua herramieta y o el objeto e si mismos. La mayor parte de uestros alumos cursará estudios e Facultades Aplicadas por lo que trataremos de cetrar uestra ateció e el "Método Estadístico" y o e su deducció técica, si bie puede realizarse algú ejercicio para aplicar, e este cotexto, los coceptos apredidos e el resto de la asigatura de Matemáticas. Es posible, tambié utilizar ejercicios e coexió co los profesores de otras asigaturas como Biología, Geografía Ecoómica, etc. INFERENCIA Y MUESTRAS La Iferecia Estadística es aquella rama de la Estadística mediate la cual se trata de sacar coclusioes de ua població e estudio, a partir de la iformació que proporcioa ua muestra represetativa de la misma. Tambié es deomiada Estadística Iductiva o Iferecia Iductiva ya que es u procedimieto para geerar uevo coocimieto cietífico. La muestra se obtiee por observació o experimetació. La ecesidad de obteer u subcojuto reducido de la població es obvia si teemos e cueta los costes ecoómicos de la experimetació o el hecho de que muchos de los métodos de medida so destructivos. Toda iferecia iductiva exacta es imposible ya que dispoemos de iformació parcial, si embargo es posible realizar iferecias iseguras y medir el grado de iseguridad si el experimeto se ha realizado de acuerdo co determiados pricipios. Uo de los propósitos de la iferecia Estadística es el de coseguir técicas para hacer iferecias iductivas y medir el grado de icertidumbre de tales iferecias. La medida de la icertidumbre se realiza e térmios de probabilidad.

9 221 Figura 4.2: Esquema de Iferecia Estadística. El primer cocepto importate es el de població, que es el cojuto de idividuos sobre los que se desea iformació. La població ha de estar perfectamete defiida a la hora de comezar el estudio. (paso 2-a de la descripció del método cietífico e el Cuadro 1). Por ejemplo, e u esayo clíico e el que se pretede demostrar la efectividad de u tratamieto ha de estar muy claros cuales so los criterios de iclusió de u paciete e la població (muestra) a estudiar. De la població se extrae u subcojuto que se deomia muestra. La muestra ha de ser represetativa de la població, e el setido de que debe teer ua composició similar e cuato a la proporció de distitas características. Por ejemplo, ua muestra para u estudio de estaturas o icluirá solamete idividuos bajos o altos, sio idividuos de ambas clases e proporcioes similares a las de la població. La represetatividad de la muestra queda garatizada co la elecció correcta del método de muestreo, que se estudiará e el puto siguiete. Sobre cada uo de los idividuos medimos ua o varias características que deomiamos variables. Así a cada població le correspode ua variable aleatoria que deotaremos co X. E la teoría de la Estadística queda idetificadas Població y variable aleatoria asociada. Así e toda la teoría de la Iferecia població sigificará el cojuto de idividuos a estudiar, pero tambié la variable aleatoria asociada a la característica que medimos sobre los idividuos. E geeral, trataremos co poblacioes ifiitas, etediedo que e la práctica

10 222 "població ifiita" sigifica lo mismo que "població muy grade" ya que coceptualmete la mayor parte de las poblacioes o puede ser cosideradas ifiitas. E geeral, supodremos u modelo de distribució de probabilidad para la variable aleatoria e estudio que resuma las características de la misma (apartado 2c del método cietífico e el Cuadro 1), auque descoocemos los parámetros que trataremos de estimar a partir de ua muestra. Por ejemplo supoemos que X es N(µ, σ) dode los dos parámetros, o uo de ellos, so descoocidos. E alguos casos o es ecesario especificar tales distribucioes y las iferecias se hace sobre características de la distribució que o so ecesariamete parámetros. La iferecia Estadística puede dividirse e dos apartados de acuerdo co el coocimieto sobre la distribució e la població. Iferecia Paramétrica: Se cooce la forma de la distribució (Normal, Biomial, Poisso, etc... ) pero se descooce sus parámetros. Se realiza iferecias sobre los parámetros descoocidos de la distribució coocida. Iferecia No Parámetrica: Forma y parámetros descoocidos. Se realiza iferecias sobre características que o tiee porque ser parámetros de ua distribució coocida (Mediaa, Estadísticos de Orde). De acuerdo co la forma e que se estudia los parámetros o características descoocidas, la iferecia puede dividirse e dos apartados: Estimació: Se iteta dar estimacioes de los parámetros descoocidos si hacer hipótesis previas sobre posibles valores de los mismos. Estimació putual: U úico valor para cada parámetro. Estimació por itervalos: Itervalo de valores probables para el parámetro. Cotraste de Hipótesis: Se realiza hipótesis sobre los parámetros descoocidos y se desarrolla u procedimieto para comprobar la verosimilitud de la hipótesis plateada. Veamos los coceptos co u ejemplo cocreto tomado de u estudio de ivestigació real. El estudio perteece a otro más amplio llevado a cabo e colaboració por los

11 223 Departametos de Química Aalítica, Nutrició y Bromatología, y Estadística y Matemática Aplicada. El objetivo origial del trabajo cosiste e estudiar los vios jóvees embotellados de dos deomiacioes de orige, Ribera de Duero y Toro, mediate técicas de laboratorio objetivas, co el fi de buscar las características que los diferecia y evitar los posibles fraudes producidos por el itercambio debido a la proximidad geográfica de ambas deomiacioes. Por el mometo os cetraremos e ua sola variable, el grado alcohólico, y e ua sola de las poblacioes, la de Ribera de Duero. Fijaremos además u mometo del tiempo, la cosecha del año El primer paso de cualquier ivestigació, la defiició clara de la població e estudio, se obtiee de los propios objetivos del mismo. Estudiaremos vios jóvees embotellados de la deomiació de orige "Ribera de Duero" e la cosecha de La variable a medir es el grado alcohólico. Seguramete todos hemos observado que e las botellas de vio aparece el grado alcohólico de las mismas, que suele ser etre 12 y 12,5 grados. Es obvio que este valor o es el coteido exacto de cada ua de las botellas, sio que se trata de u coteido medio. Supogamos que descoocemos ese coteido medio para la població y deseamos averiguarlo, para lo cual hemos de seleccioar ua muestra de la població. La ecesidad de seleccioar ua muestra es clara ya que el aálisis del coteido alcohólico implica la destrucció del idividuo, la botella de vio. Auque la població o puede ser ifiita supodremos que lo es ya que el úmero de botellas es muy grade y supodremos que la variable aleatoria sigue ua distribució ormal. La hipótesis sobre la distribució de probabilidad ha de hacerse a priori, teiedo e cueta las características coocidas de la població e estudio (hay que teer e cueta que se trata solamete de u modelo para ajustar la realidad.) El ejemplo parece lógico utilizar ua distribució ormal ya que es posible supoer que los posibles valores del grado alcohólico se cocetra de forma simétrica e toro a u valor medio, y que la probabilidad de ecotrar valores decrece a medida que aumeta la distacia a dicho valor medio. (Figura 4).

12 224 Figura 4.3: Distribució poblacioal del grado alcohólico de los vios de Ribera de Duero. Si tuviéramos, por ejemplo, la distribució de los salarios de los empleados de ua Empresa dedicada a la fabricació de automóviles, e pricipio o podemos supoer la distribució ormal ya la distribució es probablemete asimétrica co ua cola hacia los salarios altos determiada por los salarios de los ejecutivos. Figura 4.4: Distribució poblacioal de los salarios de ua empresa. E la mayor parte de las ivestigacioes reales supoemos que las variables o trasformacioes de las mismas (logaritmos, etc,...) tiee distribucioes aproximadamete ormales.

13 225 El paso siguiete cosiste e determiar posibles valores para los parámetros descoocidos, para lo cual hemos de obteer ua muestra represetativa de la població. La obteció de ua muestra represetativa se trata e el puto siguiete Estadisticos y distribucioes muestrales Todo lo que veremos a cotiuació está pesado para poblacioes ifiitas (muy grades) y co muestreo aleatorio simple. El muestreo aleatorio simple garatiza ua muestra represetativa de la població y la obteció de observacioes idepedietes. Dada ua població X, el proceso de muestreo cosiste e obteer, al azar, u valor de la variable X, x 1 ; El valor obteido puede ser cualquiera de los de la població, luego los posibles valores para x 1 so todos los de X, y por tato x 1 puede cosiderarse como ua realizació particular (observació) de ua variable aleatoria X 1 co la misma distribució que X. A cotiuació obteemos, idepedietemete de la primera observació, u valor x 2 que puede cosiderarse como ua realizació particular de ua variable aleatoria X 2 co la misma distribució que X e idepediete de X 1. Obsérvese que la població o se modifica al extraer uo de sus idividuos ya que es ifiita. (Si la població es fiita podría utilizarse u muestreo co reemplazamieto). El proceso cotiúa hasta obteer ua muestra de tamaño, observacioes x 1, x 2,..., x de variables aleatorias X 1, X 2,..., X idepedietes e idéticamete distribuidas. Defiició: Sea X ua variable aleatoria co f.d.p F, y sea X 1, X 2,..., X, variables aleatorias idepedietes co la misma f.d.p F que X. Se dice que X 1, X 2,..., X, so ua muestra aleatoria de tamaño de F o bie observacioes idepedietes de X. Hemos utilizado letras miúsculas, como e descriptiva, para deotar las observacioes

14 226 particulares de ua muestra, y letras mayúsculas para deotar las variables aleatorias de las que se ha tomado. A lo largo de la exposició teórica ambas será itercambiables y será utilizadas idistitamete para represetar a las correspodietes variables aleatorias. Otra forma de ver la muestra es como ua variable aleatoria multivariate co fució de desidad de probabilidad es el producto de las fucioes de desidad de cada ua de las compoetes (ya que so idepedietes) f(x 1, X 2,..., X ) = f(x 1 ) f(x 2 )... f(x ) dode las fucioes de desidad so iguales a la de X. Esta forma de eteder la muestra supera el ámbito de u curso itroductorio. Ua vez obteida la muestra la describimos e térmios de alguas de sus características fudametales como la media, la desviació típica, etc... A tales características las solemos deomiar estadísticos. Defiició: U estadístico es ua fució de los valores muestrales que o depede de igú parámetro poblacioal descoocido. U estadístico es tambié ua variable aleatoria ya que es ua fució de variables aleatorias. Por ejemplo la media muestral X = es ua variable aleatoria de la que teemos ua sola observació x =! i=1! i=1 Cuado el cotexto esté claro, idetificaremos la variable co sus observacioes, es decir utilizaremos tambié letras miúsculas para la represetació de la variable. X i x i A cotiuació ilustraremos, co u ejemplo secillo, el cocepto de distribució

15 227 muestral de u estadístico. Supogamos que dispoemos de ua població fiita e la que dispoemos de 4 idividuos que toma los valores {1, 2, 3, 4}. Supogamos que obteemos ua muestra si reemplazamieto de tamaño 2. Las distitas posibilidades so {1, 2} {1, 3} {1, 4} {2, 3} {2, 4} {3, 4} Obtedremos, depediedo de la muestra elegida, las siguietes medias respectivamete: Es claro que la media muestral o es u valor fijo sio que puede cosiderarse tambié como ua variable aleatoria de la que teemos ua sola observació, la media de la muestra cocreta seleccioada. Dicha variable tedrá ua distribució de probabilidad asociada. (E este caso ua distribució discreta que toma los valores 1.5, 2, 2.5, 3 y 3.5 co probabilidades 1/6, 1/6, 2/6, 1/6, 1/6, respectivamete. Defiició: A la distribució de u estadístico calculado a partir de los valores tomados de ua muestra se la deomia distribució muestral del estadístico. E la mayor parte de los casos supodremos que uestra població tiee distribució ormal y que los estadísticos que vamos a utilizar so la media y la desviació típica (o la cuasi desviació típica).

16 Distribucioes muestrales de la media y la desviació típica. Sea X 1, X 2,..., X, ua muestra aleatoria de ua població X e la que E(X) = µ Var(X)= σ 2 Etoces el valor esperado (media) y la variaza del estadístico "media muestral" so E(X) = µ Var(X) =! 2 Desv(X) =! La comprobació del resultado es obvia si teemos e cueta que la esperaza de la suma de varias variables aleatorias idepedietes es la suma de las esperazas, y que la variaza es la suma de las variazas, y además que si multiplicamos ua variable por ua costate, la variaza queda multiplicada por la costate al cuadrado. Etoces " E(X) = E 1 # $ " Var(X) = Var $ #! i=1 i=1! X i X i % & ' = 1! E(X i ) = 1 µ = µ i=1 % ' & = 1! Var ( X 2 i ) = ( 2 i=1 = ( 2 2 Si además, la població es ormal, es decir, X! N(µ, " ) etoces la media muestral es tambié ormal X! N(µ, " ). Basta teer e cueta las propiedades de la ormal que ya se viero e su mometo. El resultado es importate e estimació ya que, auque la media poblacioal y la media muestral o coicida, los posibles valores de la media muestral se cocetra de forma simétrica alrededor de la media poblacioal, además, la dispersió es meor a medida que aumeta el tamaño muestral.

17 229 Figura 4.5: Distribució muestral de las medias. La distribució muestral asociada a variazas y cuasivariazas es u poco más compleja y su obteció supera los objetivos del curso, de forma que os limitaremos a expoerlas. Sea X 1, X 2,..., X, ua muestra aleatoria simple de ua població X N(µ, σ 2 ), etoces la variable aleatoria " i=1 (X i! X) 2 # 2 sigue ua ji-cuadrado co -1 grados de libertad. Del resultado aterior se deduce que las variables S 2 y! 2 ( " 1) Ŝ2 dode sigue ambas ua ji-cuadrado co -1 grados de libertad.! 2

18 El teorema cetral del limite. Lo que hemos visto hasta el mometo parece bastate restrictivo ya que hemos supuesto, de etrada, que la distribució e la població es ormal, pero existe muchos casos e los que o es posible supoer distribució Normal. El siguiete resultado permite trabajar co la ormal para la distribució muestral de medias auque la població o lo sea, y es coocido como Teorema Cetral del Límite. Sea X 1, X 2,..., X, ua muestra aleatoria de ua població X co ua distribució de probabilidad o especificada para la que la media es E(X) = µ y la variaza Var(X)= σ 2 fiita. La media muestral tiee ua distribució co media µ y variaza σ 2 / que tiede a ua distribució ormal cuado tiede a ifiito. La demostració del resultado excede los límites de u curso itroductorio. La aproximació a la distribució ormal es mejor para grade ya que se trata de ua aproximació y o de ua distribució exacta como e el caso de poblacioes ormales. E Estadística cosideramos grade cuado es mayor de 30. Ua cosecuecia directa del teorema es que la suma de los valores muestrales sigue ua distribució ormal de media µ y variaza σ 2. El teorema de De Moivre que se explicó e el apartado de la ormal puede etederse tambié como u caso particular del Teorema Cetral del Límite. Sea ua població e la que se mide ua v.a. X co distribució biomial B(1,p), es decir, toma el valor 1 co probabilidad p y el valor 0 co probabilidad q, tiee ua media p y ua variaza pq. Ua distribució B(,p) puede etederse como la suma de biomiales B(1,p), luego aplicado el TCL, si es grade la distribució B(,p) se puede aproximar por ua ormal que tiee como media a p y como variaza pq.

19 Estimació putual Ideas geerales Llamaremos Estimació putual de u determiado parámetro de ua població, al proceso que os permite, a partir de la iformació sumiistrada por ua muestra aleatoria de la misma, determiar u solo valor umérico que se sea u bue idicador de dicho parámetro poblacioal. El estadístico muestral tomado para estimar el parámetro poblacioal recibe el ombre de estimador putual. Por ejemplo, para estimar la media aritmética de ua població se utiliza como estimador putual la media aritmética muestral. Dado que el valor del estimador depede de la muestra tomada, pues puede tomar valores diferetes sobre muestras diferetes, es claro que se trata de ua variable estadística aleatoria y como tal, seguirá ua determiada distribució e el muestreo, hecho que se utiliza para determiar la bodad de dicho estimador; es decir, para coocer e qué medida sirve para estimar el parámetro poblacioal cosiderado. Todo bue estimador ha de teer dos cualidades básicas, a saber: 1 Ser isesgado, es decir, la esperaza matemática del estimador ha de coicidir co el parámetro a estimar. 2 Ser estable e el muestreo, es decir, teer variaza míima. Cuado u estimador cumple estas dos codicioes se dice que es eficiete. Por ejemplo, la media muestral x basada e muestras aleatorias de tamaño, de ua distribució Normal, de media µ y variaza σ 2, es u estimador eficiete de µ; por su parte, la cuasi-variaza muestral s 2, lo es de σ Estimadores y propiedades deseables de los estimadores. Supogamos ahora que dispoemos de ua població e la que se mide ua variable X co distribució de forma coocida y parámetros descoocidos, por ejemplo ua ormal

20 232 co media y variazas descoocidas como e el caso práctico que plateábamos ateriormete. De la població se extrae ua muestra aleatoria simple de tamaño, X 1, X 2,..., X. Se trata de calcular, a partir de los valores muestrales, ua fució de los mismos que proporcioe u valor ˆ! = u(x 2,..., X ) que sustituya al parámetro descoocido de la població θ, de forma que ambos sea lo más parecidos e algú setido. A tal valor obteido de la muestra se le deomia estimador. U estimador es tambié ua variable aleatoria. Se trata básicamete de buscar estimadores cetrados alrededor del verdadero valor del parámetro y co la meor variaza posible. Por ejemplo, por simple aalogía, si la distribució e la població es ormal, la media muestral puede cosiderase como u estimador de la media poblacioal. La distacia etre el estimador y el parámetro a estimar puede medirse mediate los que se deomia el error cuadrático medio, que se defie como el valor esperado de la diferecia etre el estimador y el verdadero parámetro. ECM( ˆ!) = E( ˆ! "!) El ECM es importate ya que puede escribirse como ECM( ˆ!) = Var( ˆ!) + [! " E( ˆ!)] 2 ua es la variaza del estimador y otra el cuadrado del sesgo (cocepto que veremos posteriormete). Cosideraremos criterios adicioales para seleccioar estimadores. Las propiedades deseables que ha de teer u estimador para cosiderarse adecuado so las siguietes: -Ausecia de sesgo- Se dice que u estimador es isesgado (o cetrado) si la esperaza del estimador coicide co el parámetro a estimar. E( ˆ!) =!. E caso cotrario se dice que es sesgado y a la catidad b(!) = [! " E( ˆ!)] se la deomia sesgo. La propiedad es importate ya que los posibles valores del estimador fluctúa alrededor del verdadero parámetro. Por ejemplo, si utilizamos la media muestral como estimador

21 233 de la media poblacioal e ua distribució ormal, se trata de u estimador isesgado ya que la esperaza de su distribució muestral es la media poblacioal µ. El hecho de que además, tega distribució ormal, es importate e la práctica, ya que auque la media muestral y la poblacioal o coicide exactamete, los valores de aquella fluctúa de forma simétrica alrededor de esta, so valores próximos co probabilidad alta y la dispersió dismiuye cuado aumeta el tamaño muestral. -Cosistecia- Se dice que u estimador ˆ! es cosistete si se aproxima cada vez más al verdadero valor del parámetro a medida que se aumeta el tamaño muestral. Más formalmete, u estimador es cosistete si Pr $ ˆ! "! > # & ( 0 cuado! ", para! > 0. o dicho de % ' otra forma la distribució del estimador se cocetra más alrededor del verdadero parámetro cuado el tamaño muestral aumeta. La media muestral es u estimador cosistete de la media poblacioal e ua distribució ormal, ya que, la variaza de la misma! 2 tiede a cero para! ", de forma que la distribució se cocetra alrededor del verdadero valor µ cuado crece. -Eficiecia- Es claro que u estimador será tato mejor cuato meor sea su variaza, ya que se cocetra más alrededor del verdadero valor del parámetro. Se dice que u estimador isesgado es eficiete si tiee variaza míima. Ua cota iferior para la variaza viee dada por la deomiada cota de Cramer-Rao. Sea X 1, X 2,..., X. ua muestra aleatoria simple de ua distribució co desidad f(x; θ). Sujeto a ciertas codicioes de regularidad e la fució de desidad, cualquier estimador isesgado verifica que Var( ˆ!) 1 " 2 * $ # l f(x;!) ' - E, % & #! ( ) / +,. / 2 )# " l f(x;!) &, A la catidad I (!) = E + $ % "! ' (. se la deomia catidad de iformació de * + -. Fisher asociada a ua muestra aleatoria simple de tamaño.

22 Métodos de estimació Método de los Mometos -Cosiste e igualar los mometos muestrales y los poblacioales. Prácticamete o se usa e la ivestigació actual. Método de los Míimos Cuadrados -Cosiste e miimizar la suma de cuadrados de los errores (diferecias etre valores observados y esperados tras supoer que las observacioes se obtiee como la suma de ua parte sistemática o cotrolada y ua parte aleatoria o cotrolada o fuete de error). El método es ampliamete utilizado cuado se trabaja co modelos de regresió y técicas relacioadas. Ejemplo: Estimació de la media de ua població ormal. Cada observació experimetal xi puede supoerse como la suma de ua costate (la media µ) y u error experimetal aleatorio (εi) xi = µ + εi co εi = xi - µ co distribució N(0, σ). El método de los míimos cuadrados cosiste e miimizar la suma de cuadrados de los errores (Diferecias etre valores observados y esperados) 2 D = "! i = "(x i # µ) 2 Derivado co respecto a µ e igualado la derivada a cero i=1 i=1

23 235!D!µ = # 2(x " µ)("1) = 0 i i=1 # i=1 ˆµ = (x i " µ) = 0 # i=1 x i = x obteemos la media muestral como estimador de la poblacioal. Método de la Máxima Verosimilitud - Cosiste e sustituir los parámetros por aquellos valores que maximiza el logaritmo de la fució de verosimilitud de la muestra (fució de desidad cojuta de todos los valores muestrales e el supuesto de que so idepedietes). Ejemplo: Media y variaza de ua població ormal Los valores muestrales X1,..., X se supoe que so variables aleatorias idepedietes y todas co distribució N(µ, σ). La fució de desidad cojuta será el producto de las fucioes de desidad de cada ua de ellas. Tomado logaritmos (x i # µ) 2 1 # 1 L(x 1,,x / µ,! ) = 2! $ e 2 = i=1! 2" % 1 ( = & '! 2" ) * e # 1 (x i # µ) i=1! 2 l L =! l(" 2# ) +! 1 (x i! µ) 2 $ i=1 2 " 2 Derivado co respecto a µ y σ y resolviedo el sistema se obtiee como estimadores para la media y la variaza

24 236 ˆµ = x =! i=1 x i!(x i # x) 2 ˆ" 2 = S 2 i=1 = Propiedades de los estimadores Máximo-verosímiles Los estimadores máximo-verosímiles juega u papel importate e Estadística debido a que se obtiee mediate u método simple y tiee bueas propiedades co respecto a sesgo eficiecia y cosistecia. Bajo ciertas codicioes de regularidad se verifica: -Si existe u estimador isesgado y de variaza míima, cuya variaza alcace la cota de Cramer-Rao, este estimador es máximo verosímil y es la úica solució de la ecuació de verosimilitud. -Si el estimador es sesgado, su sesgo tiede a cero al aumetar el tamaño de la muestra, además es asitóticamete eficiete (Eficiete para grade). - Existe ua solució de la ecuació de verosimilitud que proporcioa u estimador cosistete y asitóticamete ormal. N(!, míima o cota de Cramer-Rao. 1 I (!) ). Dode 1 I (!) es la variaza Pricipales estimadores putuales E la Uidad Didáctica º 3 se ha estudiado, etre otras, las distribucioes Biomial, de Poisso y Normal. Tal y como se vio etoces, cada ua de ellas viee determiada por uos parámetros, así, la Biomial B(,p) está determiada por (úmero de pruebas realizadas de u experimeto aleatorio co solo dos resultados posibles A y A ), y p (probabilidad de que ocurra el suceso A al llevar a cabo ua prueba del experimeto); por su parte, la distribució de Poisso P(λ), es la forma límite de la Biomial cuado! " y p! 0, de parámetro λ = p, distribucioes -ambas- de

25 237 variable aleatoria discreta, y la distribució Normal N(µ,σ), de variable aleatoria cotiua. Así pues, y dado que las distribucioes ateriores viee determiadas por sus parámetros, podremos hacer iferecias sobre la població haciedo iferecias acerca de éstos; veamos a cotiuació cuáles so los estimadores ˆ p,! ˆ, µ ˆ y " ˆ para los parámetros p, λ, µ y σ, respectivamete. ESTIMADOR DEL PARÁMETRO p DE UNA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL B(,p) Cosideremos u experimeto aleatorio cuyos resultados so dos sucesos A, A, mutuamete excluyetes, de probabilidades p y q=1-p, respectivamete. Sabemos que la variable aleatoria ligada a u experimeto co las características ateriores sigue ua distribució Biomial B(,p); pues bie, como estimador putual de p, que llamaremos ˆ p, tomaremos la frecuecia relativa del suceso A, al realizar pruebas, es decir: p = (º de veces que ocurre A)/(º de pruebas). Este estimador es eficiete, pues la distribució de ˆ p tiee de media p, y su variaza, que vale pq es míima; además, para u tamaño de muestra! suficietemete grade, ˆ pq # p se distribuye segú ua distribució Normal N p, " $.

26 238 ESTIMADOR DEL PARÁMETRO λ DE UNA DISTRIBUCIÓN DE POISSON P(λ) Cosideremos ua determiada població e la cual estudiamos ua característica que sigue ua distribució de Poisso P(λ), y sea x 1,..., x ua muestra geérica aleatoria de dicha població; e estas codicioes se verifica que u bue estimador de λ es la media muestral! ˆ x = " i i=1. El estimador! ˆ es isesgado ya que su distribució e el muestreo tiee de media λ, y como su variaza es míima, resulta ser u estimador eficiete; además, para suficietemete grade,! ˆ "! sigue ua distribució Normal N $ %!, '. # & ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS µ Y σ DE UNA DISTRIBUCIÓN NORMAL N(µ,σ) Cosideremos ua població e la que estudiamos ua determiada característica que se distribuye segú ua distribució Normal N(µ,σ), y sea x 1,..., x ua muestra tomada al azar de dicha població. E estas codicioes se verifica que u estimador eficiete de µ es ˆ µ = x i i=1! = x (media muestral); además, puesto que la cuasi-variaza muestral:! ˆ 2 ( x = i " x ) 2 # = s 2 es u bue estimador de! 2 como estimador de σ tomaremos "1 i=1 ˆ! = s (cuasi-desviació típica muestral). Tato µ ˆ como! ˆ 2 so estimadores eficietes, verificádose además, que µ ˆ sigue "! $ (!1)s2 ua distribució N µ, y que # % " 2 sigue ua distribució! 2 co -1 grados de libertad. Para u estudio más detallado de estos apartados cosultar, por ejemplo, MOOD & GRAYBILL (1978).

27 Estimació por itervalos Ideas geerales Cuado hacemos ua estimació putual del valor de u determiado parámetro poblacioal os ecotramos co u doble problema: por u lado el valor obteido solamete da ua idea aproximada del verdadero valor del parámetro a estimar, por otro, o sabemos el grado de bodad de la aproximació, es decir, igoramos e qué medida el valor obteido se aproxima al verdadero valor del parámetro estimado. Además, dado que e ciertas situacioes es prácticamete imposible coocer co exactitud el valor de u determiado parámetro poblacioal ( cómo coocer co exactitud, por ejemplo, la altura media de los españoles?), lo que se hace e realidad es determiar su valor aproximadamete, idicado etre qué dos valores reales a y b se ecuetra compredido, co u cierto grado de "seguridad" o "cofiaza". Los valores a y b, extremos de u itervalo de la recta real, o so sio los valores tomados por dos fucioes L1, L2 que depede de la muestra x 1,..., x elegida al azar, es decir, L 1 ( x 1,, x ) y L 2 ( x 1,, x ) toma uo u otro valor depediedo de cuáles sea los valores que las variables tome sobre los elemetos de ua muestra aleatoria cualquiera de la població e estudio. Así pues, el problema cosiste e determiar cuáles so las fucioes L 1 ( x 1,, x ) y L 2 ( x 1,, x ), que os permita afirmar que el parámetro µ verifica, co ua cierta "seguridad" que a µ b, siedo a y b los valores tomados por las fucioes L 1 ( x 1,, x ) y L 2 ( x 1,, x ) sobre la muestra x 1,..., x. E este setido podemos afirmar que Itervalo de cofiaza de u parámetro poblacioal es u par ordeado de fucioes reales L 1 ( x 1,, x ), L 2 ( x 1,, x ) que depede de las medidas de ua muestra aleatoria de la població e cuestió. Cada muestra cocreta dará lugar, a partir de L 1 y L 2, a u itervalo de cofiaza, por lo que podemos eteder que u estimador por itervalos es ua variable aleatoria bidimesioal y, e cosecuecia, tedrá setido hablar de P( a µ b ) (probabilidad

28 240 de que el estimador "cubra" el verdadero valor del parámetro µ), probabilidad que recibe el ombre de ivel de cofiaza y que deotaremos por 1-α. Teiedo e cueta lo aterior tambié podemos defiir u itervalo de cofiaza de u parámetro poblacioal µ, al ivel de cofiaza 1-α, como u itervalo para el que se verifica que la probabilidad de que sus extremos tome valores a, b tales que el parámetro poblacioal µ esté compredido etre ellos es 1-α, es decir: P( a µ b ) = 1-α α se llama ivel de error del itervalo o ivel crítico. Nótese que lo que afirmamos es que si se repitiera muchas veces el experimeto co muestras extraídas al azar, se verificaría que e el 100(1-α)% de las ocasioes obtedríamos extremos a y b de los itervalos de cofiaza correspodietes que cotedría al verdadero valor del parámetro µ, mietras que el 100α% restate, o lo cotedría, tal y como idica la figura 4.1 siguiete Figura 4.6: Figura que muestra el cocepto de ivel de cofiaza

29 241 E cosecuecia, y dado que para ua muestra e particular obtedríamos valores cocretos a y b para los que se verifica o o que a µ b es ua clara icorrecció afirmar que "el parámetro µ perteece al itervalo de cofiaza de extremos a, b co probabilidad 1-α ", toda vez que la probabilidad de que tal cosa suceda es 1 si se verifica que a µ b, ó 0 e caso cotrario. Nótese que el valor µ es fijo, mietras que a y b, por el cotrario, so variables aleatorias!. Es claro que, para ua muestra cocreta, es imposible saber si el itervalo de cofiaza correspodiete cotiee, o, o al parámetro µ. Veamos ahora cómo obteer itervalos de cofiaza para los parámetros más importates Obteció de los itervalos de cofiaza más utilizados Itervalo de cofiaza para la media µ de ua distribució Normal de variaza coocida Sea X ua variable aleatoria que sigue ua distribució Normal N(µ,σ) de la que coocemos la variaza pero descoocemos la media µ. Por lo visto ateriormete, podemos estimar µ a partir de la media muestral x, que como sabemos es ua variable aleatoria (depede de cada muestra) que, para "! suficietemete grade, sigue ua distribució Normal N µ, $ idepedietemete # % de cómo se distribuya la població de partida. Sabemos tambié que la variable aleatoria tipificada Z = x! µ sigue ua distribució N(0,1). " A partir de lo aterior, para ecotrar los límites etre los que, co probabilidad 1- α, se ecuetra µ procederemos de la siguiete maera: Supogamos que Z p es el 100p percetil de la distribució Normal N(0,1); e particular, Z! 2 represetará el 100! 2 percetil, verificádose que

30 242 % P '!Z " 2 # x! µ $ # Z ( & " 2 ) = 1! " Figura 4.7: Selecció de los putos críticos para el cálculo del itervalo de cofiaza. o lo que es igual: % P!x! Z & " 2 # $!µ $!x + Z " 2 # ' ( = 1! " es decir: % # P x! Z & " 2 $ µ $ x + Z " 2 # ' ( = 1! " Así pues, el itervalo aleatorio de cofiaza para la media poblacioal µ es: 1!" $ # I µ = x! Z" 2 ; x + Z " 2 % # & ' que es u etoro de cetro x y radio Z! 2 ". Es coveiete aclarar que, dado que la media muestral x es ua variable aleatoria, para ua muestra cocreta y u valor α fijado, obtedríamos u itervalo de $ # cofiaza cocreto x 0! Z " 2 ;x # & 0 + Z " 2 que cotedrá, o o, a µ, si que % ' tegamos medio de saberlo a ciecia cierta; lo que afirmamos es que co u ivel de cofiaza 1-α, dicho itervalo cotedrá a µ, es decir, de cada 100 itervalos correspodietes a 100 muestras tomadas, 100-α cotedrá a µ, mietras que los α restates o lo cotedrá.

31 243 La importacia del itervalo de cofiaza para la estimació está e el hecho de que el itervalo cotiee iformació sobre el estimador putual (valor cetral del itervalo) y sobre el posible error e la estimació a través de la dispersió y de la distribució muestral del estimador. Ua estimació será tato más precisa cuato meor sea la amplitud del itervalo de cofiaza, es decir, cuato meor sea el error de estimació. Obsérvese que el error e la estimació está directamete relacioado co la distribució muestral del estimador y co la variaza poblacioal, e iversamete relacioado co el tamaño muestral. El gráfico siguiete ilustra la iterpretació del ivel de cofiaza para el itervalo de cofiaza para la media de ua distribució ormal co variaza coocida. Para los distitos posibles valores de la media, represetados mediate su distribució muestral, obteemos distitos itervalos de cofiaza. La mayor parte icluye al verdadero valor del parámetro, pero el resto o. Cocretamete el 95% lo icluye y el 5% o, si el ivel de cofiaza es del 95%. E la práctica dispoemos de ua úica repetició del experimeto, y por tato de u úico itervalo de cofiaza, el señalado e egro e el gráfico, por ejemplo. Cofiamos e que uestro itervalo sea de la mayoría que co tiee al verdadero valor objetivo auque o teemos la seguridad de que sea así, teemos cocretamete u riesgo del 5% de equivocaros. 95% 2.5% 2.5% x Figura 4.8: Iterpretació del ivel de cofiaza e el itervalo para la media de ua distribució ormal. El procedimieto aterior para determiar el itervalo de cofiaza para la media poblacioal, supuesta coocida la variaza, es válido aú e el caso de que la població

32 244 de partida o sea Normal, co solo tomar u tamaño de la muestra suficietemete grade 30. Es claro que cuato mayor sea el ivel de cofiaza, mayor será la amplitud del itervalo resultate (ótese que el itervalo (!", +" ) seguro que cotiee a µ, es decir, cotiee a µ, co probabilidad 1), así como que e las codicioes presetes, los itervalos resultates para cada muestra cocreta difiere e su cetro x 0, pero tiee igual amplitud Z! 2 ". Así mismo, cuato meor sea σ meor será la amplitud y cuato mayor sea, tamaño de la muestra, meor será la amplitud del itervalo (para = tamaño de la població, el itervalo resultate sería u solo puto µ, es decir, o tedríamos que hacer estimació algua ). optar por: De acuerdo co lo aterior, para reducir la logitud del itervalo podemos 1.- Reducir el ivel de cofiaza. 2.- Reducir la variaza restrigiedo la població, elimiado casos extremos. 3.- Aumetar el tamaño de la muestra Itervalo de cofiaza para la media µ de ua població Normal de variaza descoocida. E el caso aterior hemos supuesto coocida la variaza població, cosa que o suele ser frecuete, toda vez que e su cálculo iterviee µ, y ésta es descoocida ( por eso se desea estimar!). E el caso de descoocer! 2, lo lógico será sustituirla e el razoamieto aterior por su estimador ˆ s 2 (cuasi-variaza muestral), de tal modo que el estadígrafo que x! µ usaremos para determiar el itervalo de cofiaza será, estadígrafo que, ˆ s!1 como variable aleatoria que es, para muestras pequeñas sigue ua distribució t de Studet co -1 grados de libertad (siedo = tamaño de la muestra ).

33 245 La distribució muestral asociada a la cuasi-variaza es la siguiete: (! 1) S ˆ 2 2 " 2 # $!1 Teiedo e cueta la distribució ormal asociada a las medias y combiádola co la ji-cuadrado, obteemos ua distribució t de Studet: t = N (0,1) 2! "1 " 1 = X " µ # ("1) S ˆ 2 # 2 " 1 = X " µ ˆ S $ t "1 Se verificará, siguiedo los pasos del razoamieto aterior, que $ P &!t " # x! µ % s ˆ!1 # t ' " ( = 1! " de dode se deduce: 1!" # ˆ s I µ = x! t"!1 ;x + t " $ s ˆ %!1 & Obsérvese la similitud co el itervalo calculado para la distribució ormal, salvo e el valor crítico y e que la variaza ha sido estimada a partir de la muestra. Figura 4.9: Diferecia etre la distribució ormal y la t de Studet. Desde el puto de vista práctico esto implica que los valores críticos so u poco más grades y, por tato el itervalo tiee mayor logitud, este es el precio que debemos pagar a cambio de o coocer la variaza de la població. Si la muestra es grade >30 sabemos que la distribució de Studet se aproxima a ua Normal; e cosecuecia, e el caso de muestras grades, auque la variaza sea

34 246 descoocida, podemos cosiderar que el estadígrafo sigue ua distribució Normal para calcular el itervalo de cofiaza Itervalo de cofiaza para la variaza y la desviació típica de ua població Normal Dado que la cuasi-variaza muestral ˆ s 2 es u estimador eficiete de la variaza poblacioal σ 2, parece lógico estima ésta a partir de aquélla. Sabemos que el estadígrafo libertad, así pues, se verificará que: (!1)ˆ s 2 " 2 sigue ua distribució! 2 co -1 grados de $ 2 P &! $ # & 1" % 2,"1 ') % ( ( "1)ˆ s 2 ' * *! $ # & % 2,"1 ' ) = 1" # ) ( ( y dividiedo etre (-1)s 2 obteemos que $ & P & %! 2 $ # & 1" % 2,"1 ') ( ( "1)ˆ s 2 * *! 2 $ # & % 2,"1 ') ( ( "1)ˆ s 2 ' ) = 1 " # ) ( así pues, tomado los respectivos iversos, se verificará que $ & (!1)ˆ s 2 P 2 * + 2 (!1)ˆ * 2 & " # " & 2,!1 ) $ & % $ % ' ( s 2 1! # % 2,!1 ' ) ( ' ) = 1! # ) ( es decir, la expresió del itervalo de cofiaza para la variaza poblacioal será:

35 247 % 1"# ' ( "1)ˆ = ' & I! 2 s 2 ( "1)ˆ s 2 2, 2 $ %' # $ & 2,"1 (* %' # 1" ) & 2,"1 (* ) ( * * ) E cosecuecia, para la desviació típica poblacioal, tedremos el siguiete itervalo de cofiaza: % ' 1"# ( " 1)ˆ I! = ' ' % ' & & s 2 2, $ # 2,"1 ( * ) $ ( "1)ˆ s 2 2 % ' 1" # & 2,"1 ( * ) ( * * ) Itervalo de cofiaza para el parámetro p de ua distribució Biomial B(,p) Dada ua variable aleatoria X que sigue ua distribució Biomial B(,p), trataremos e este apartado de determiar u itervalo de cofiaza para p. Como sabemos, e el caso de tamaños de muestras grades, la distribució Biomial B(,p) se aproxima a ua Normal N( p, pq ). Como estimador putual de p tomaremos ˆ p = f, siedo f el úmero de veces e las que se obtiee el éxito e pruebas, y como estimador de q tomaremos q ˆ =1! f. E estas codicioes, si la variable aleatoria X sigue ua distribució Biomial! pq B(,p), la variable X/ seguirá, aproximadamete, ua Normal N# $ p, & ; así pues, " % tipificado la variable ˆ p = x X obteemos que Z =! p sigue ua Normal N(0,1) y pq segú lo visto e putos ateriores, será:

36 248 $ ' & p P!Z " 2 # ˆ! p ) # Z & pq " 2 ) = 1! " % ( Dado que descoocemos p y q, estimaremos itervalo de cofiaza para p será de la forma: pq mediate p ˆ q ˆ, co lo que el 1!" # I p = p ˆ! Z " 2 $ % p ˆ q ˆ, ˆ p + Z " 2 p ˆ q ˆ & '( Itervalo de cofiaza para el parámetro p de ua distribució Hipergeométrica H(N,,p) Dada ua variable aleatoria X que sigue ua distribució Hipergeométrica H(N,,p), sabemos que se puede obteer ua aproximació mediate el modelo Normal: " N$ p, pq N! % ' N!, dode es el térmio de correcció para poblacioes fiitas. # N!1 & N!1 Siguiedo u razoamieto aálogo al caso del itervalo para el parámetro p de la Biomial, obtedremos el correspodiete itervalo para el parámetro p de ua població que se distribuye segú u modelo Hipergeométrico: # ˆpˆq I 1!" p = % ˆp ± Z " 2 $ % N! N! 1 & ( '(

37 Cálculo del tamaño muestral para estimar la media de ua població co ua determiada precisió Supógase que u ivestigador está iteresado e estimar la media de ua població ormal de forma que la diferecia existete etre la media muestral que obtedrá del experimeto y la media poblacioal verdadera, esté por debajo de u error prefijado de atemao. x! µ " E x! E " µ " x + E Teiedo e cueta el itervalo de cofiaza podemos escribir Despejado de la igualdad P(x! z " /2 # $ µ $ x + z " /2 E = z! /2 " # ) = 1! " obteemos la expresió deseada para el tamaño muestral. Obsérvese que ha sido calculado e el supuesto de que la variabilidad es coocida. Si o es así, la variabilidad aproximada puede obteerse de trabajos bibliográficos o experimetos previos o a partir ua muestra piloto co uas pocas observacioes. Obsérvese que e el cálculo del tamaño muestral se ha igualado el error fijado a priori co el error e la estimació obteido del itervalo de cofiaza y que este último icluye el ivel de cofiaza. E este apartado u ivel de cofiaza del 95%, por ejemplo, implicaría que e el 95% de las veces que repitiéramos el experimeto co el tamaño muestral calculado, obtedríamos u error por debajo del prefijado, mietras que e el 5% restate obtedríamos u error superior.