CAMPOS DE FUERZAS. Por tanto, el trabajo realizado por la fuerza al moverse entre los puntos A y B sería:

Transcripción

1 FÍSIC. º DE CHILLEO. I.E.L. CUSO CMPOS DE FUEZS ntes de estudia que es la enegía y coo se anifiesta dento de un capo de fuezas, debeos epasa el concepto de tabajo ecánico, que aunque se haya visto en años anteioes es necesaio definilo ahoa con ayo pecisión. JO MECÁNICO. F En una piea apoxiación, podíaos deci que cuando una fueza se desplaza ente dos puntos y, llaaos tabajo ecánico al poducto escala del vecto fueza po el vecto desplazaiento: W F.( ) F. Es conveniente aclaa algunos puntos de esta definición. 1. Si no hay desplazaiento de la fueza, no hay o tabajo ecánico. Es deci, sujeta un peso duante unas hoas puede cansanos todo lo que queaos, peo no supone la ealización de ningún tabajo ecánico. Luego la idea que habitualente teneos de tabajo no coincide con la agnitud física llaada tabajo ecánico.. Si la diección de la fueza es pependicula a la del desplazaiento, tapoco se ealizaía tabajo. Po ejeplo, si el peso que anteioente sujetábaos, lo oveos ahoa hoizontalente, tapoco haceos ningún tabajo, aunque nos sigaos cansando. Dicho de ota foa, de las dos coponentes de la fueza, solo ealiza tabajo la que coincide con la diección del desplazaiento y no la pependicula al iso. 3. El tabajo es un escala, no un vecto. odo lo dicho hasta ahoa ha sido consideando una fueza constante, peo si ésta pesenta difeentes valoes en los distintos puntos po los que pasa, tendíaos que calcula el tabajo ealizado po la fueza en cada punto ( d ) coo el tabajo eleental: dw F. d Po tanto, el tabajo ealizado po la fueza al ovese ente los puntos y seía: W F d esta integal se la conoce coo ciculación del vecto F a lo lago de la linea seguida ente los puntos y.

2 FÍSIC. º DE CHILLEO. I.E.L. CUSO Debe queda, po tanto, clao que el tabajo ealizado po una fueza depende de ella isa y no del cuepo o de la asa sobe la que posteioente se pueda aplica. Si el vecto F viene definido en función de sus coponentes: F F. i F. j F. k y d dx. i dy. j dz. k x y z El tabajo quedaía: x y z x y W F dx F dy F dz F dx F dy F dz x x y y z z z Una vez aclaado el concepto de tabajo, estaos en condiciones de estudia el capo físico y los aspectos enegéticos elacionados con él. CMPO FÍSICO. En el tece pincipio de la Dináica (cción y eacción) no se tataba de juzga la "intencionalidad" de los cuepos a la hoa de "esponde a las agesiones" (fuezas de acción), sino que solaente se tataba de descibi deteinados fenóenos que no tienen explicación sin la existencia de la fueza de eacción. Del iso odo el capo es un odo de descibi deteinados fenóenos físicos que aunque cotidianos no dejan de se extaños: Coo un cuepo es capaz de ejece una fueza sobe oto sin esta en contacto con él (ejece una fueza a distancia: gavitatoia o electostática). Capo físico es una egión del espacio en cuyos puntos se pesentan u obsevan popiedades físicas. Peo paa que este bien definido, en cada punto de esa egión del espacio debe existi un valo y solo uno de esa popiedad física. Estas popiedades pueden se escalaes coo la tepeatua o vectoiales coo las fuezas elécticas o las gavitatoias, que ealente son el objetivo últio de estudio de este tea y del siguiente. CMPOS ESCLES. Se llaa capo escala a una egión del espacio en la que una agnitud escala V toa en todos y cada uno de los puntos un valo único y bien definido que en cada instante depende únicaente de las coodenadas del punto. Po ejeplo, la clase en la que estaos o la habitación en la que estudiaos constituye un capo de tepeatuas y oto de pesiones. Coo vaos a epesenta este capo? Coo nos lo vaos a iagina? Si consideaos el conjunto de los puntos que tienen un único valo V 1 de la agnitud definida V, deben cupli V(x,y,z)=V 1 lo que epesenta una supeficie. Esta supeficie ecibe el nobe de supeficie equiescala o supeficie de nivel. Po oto lado, las supeficies deben se concénticas ya que no pueden cotase, pues ello supondía que en el punto de cote, existiían dos valoes de una isa agnitud.

3 FÍSIC. º DE CHILLEO. I.E.L. CUSO Po consiguiente el capo queda dividido po las supeficies equiescalaes en zonas o estatos tanto ás estechos cuanto ás pequeñas sean las difeencias ente los valoes del escala de dos supeficies consecutivas. Estas supeficies los son en el espacio, peo quedan educidas a líneas si las epesentaos en un plano, coo el papel o la pizaa. Si lo que queeos epesenta es el capo de pesiones definido en la atósfea teeste a nivel del suelo lo que tendeos es el Mapa del iepo. Según el tipo de capo dichas supeficies eciben difeentes nobes caacteísticos: isoteas, isobaas, supeficies equipotenciales,...etc. GDIENE DE UN CMPO ESCL: Sea M un punto de un capo escala peteneciente a la supeficie de nivel V(x,y,z)=V 1. Se define coo gadiente de V a un vecto cuyas coponentes son las espectivas deivadas paciales de la función escala en dicho punto. ga V ó V V x i V y j V z k (1) Popiedades: - Consideaos oto punto del capo M' infinitaente póxio a M. Ente M y M' la función escala tendá una vaiación dv, veificándose: V dv x dx V y dy V z dz peo coo adeás d dx. i dy. j dz. k queda gav d dv () V 1 V - La expesión () nos dice que si a pati de M, consideaos desplazaientos difeenciales MM' de igual valo peo de difeente diección, el valo de dv es áxio cuando el desplazaiento se toa en la diección del gadiente (cos a=1). V ( x, y, z ) Dicho de ota foa, el gadiente nos índica la diección de áxia vaiación de la función escala. M M ' -Si los dos puntos M y M' se hallan en la isa supeficie equiescala, seía dv=0, po lo que en () cosa=0, es deci el gadiente y el desplazaiento seían M ' pependiculaes, luego el gadiente de la función en un punto es pependicula a la supeficie equiescala que pasa po el iso. d V - Po últio, de () se deduce que cuanto ayo sea el ódulo del gadiente, paa un iso desplazaiento, ayo seá la vaiación de la función dv, luego el ódulo del gadiente nos indica la intensidad de la vaiación de la función escala V.

4 FÍSIC. º DE CHILLEO. I.E.L. CUSO esuiendo, el gadiente es la caacteística pincipal de un capo escala, es pependicula a las supeficies equiescalaes, nos indica la diección de áxia vaiación de la función y la intensidad de la isa. CMPOS VECOILES: Si en cada punto de esa egión del espacio que llaaos capo se puede defini un valo de una agnitud vectoial que quedaía epesentada po un vecto, dieos que dicha egión constituye un capo vectoial. Ejeplos de capos vectoiales pueden se el cauce de un ío coo un capo de velocidades o el espacio que odea a la iea o a cualquie oto cuepo celeste coo un capo de fuezas debido a la atacción gavitatoia. Nos van a inteesa aquellos capos de fuezas en la que ésta venga definida de la siguiente foa: F e (3) P Siendo: F P = Fueza que apaece en el punto. e = Valo del escala colocado en el punto. P = Valo de la agnitud vectoial caacteística del punto y que se denoina Intensidad de capo. esta clase coesponden los capos de fuezas que as adelante vaos a estudia. Dento de ellos podeos considea dos tipos con caacteísticas especiales: P UNIFOMES: Son aquellos en los que la Intensidad de capo tiene un valo constante: igual en todos los puntos del capo. Un ejeplo clao es el del capo gavitatoio en las poxiidades de la supeficie teeste. CENLES: El vecto Intensidad de capo es concuente. Las líneas de acción (ecta a la que petenece el vecto) de todos los vectoes siepe se cotan en un único punto que seá el cento del capo. Ejeplo: capo eléctico ceado po una caga puntual. epesentación del capo: De la isa foa que antes nos peguntaos coo podíaos iaginanos (epesenta) un capo escala, conviene ahoa hacelo tabién paa un capo vectoial. La epesentación se lleva a cabo ediante las Líneas de Coiente o Líneas de Fueza, que se definen coo tangentes en cada punto al vecto intensidad de capo. La condición de tangencia paa que dos vectoes tengan la isa diección es que el ángulo que foen sea 0, luego su poducto vectoial debe se nulo: d 0 siendo x i y j z k y d dx. i dy. j dz. k dx dy de donde esulta: dz (4) x y z

5 FÍSIC. º DE CHILLEO. I.E.L. CUSO ecuaciones difeenciales paa la failia de las Líneas de Fueza. Su integación conduce a la deteinación de las ecuaciones de tales Líneas. Po tanto, ientas que un capo escala se epesenta po las supeficies equiescalaes (conjunto de puntos en los que el escala tiene un iso valo), un capo vectoial se epesenta po las líneas de fueza (en cada punto indican la diección y sentido del vecto Intensidad de capo). CMPOS CONSEVIVOS (que deivan de un potencial). Cuando nos oveos ente dos puntos de un Capo de Fuezas, debeos tene en cuenta que todos los puntos po los que pasaos tienen definido un valo de la fueza. Po tanto se ealiza un tabajo, que seá: W F. d siendo F la fueza definida en cada uno de los puntos del capo. En estas condiciones podeos deci: El capo de fuezas es consevativo si el tabajo no depende del caino ecoido sino solo de los puntos inicial y final. n ( W ) ( W ) (5) El tabajo paa i de a a tavés de distintos cainos es el iso. W W eniendo en cuenta que: y sustituyendo en (5): W W W W ; 0 n n n n n Po tanto, el tabajo a tavés de un ciclo ceado es nulo. F d 0 (6) W ENEGÍ POENCIL. Nos encontaos dento de un capo consevativo. oaos abitaiaente un punto O coo oigen. Se define la Enegía Potencial de un punto P coo el tabajo necesaio paa lleva un cuepo desde el oigen O hasta el punto P, en conta de las fuezas del capo.

6 FÍSIC. º DE CHILLEO. I.E.L. CUSO Debeos tene en cuenta que este tabajo solo dependeá del punto inicial O y del P final P. U F d (7) P Se tata, po tanto, de una agnitud escala (es un tabajo) función únicaente de las coodenadas del punto, paa un deteinado cuepo y un deteinado oigen. Peo en ealidad no nos ipota deasiado la Enegía Potencial absoluta que tiene un cuepo po esta en un punto de un capo de fuezas, sino, ás bien, la cantidad de enegía que puede gana o pede al ovese ente dos puntos de dicho capo. Si el cuepo se ueve desde un punto a oto del iso capo: W F. d F. d F. d U ( U ) U U U Luego 0 0 U 0 F d (8) Es deci la vaiación (inceento) de Enegía Potencial que expeienta un cuepo al ovese de a, es igual al tabajo cabiado de signo que ealizan las fuezas del capo al lleva al cuepo desde a. Dicho de oto odo, si queeos calcula la vaiación de Enegía Potencial que sufe un cuepo al ovese ente dos puntos de un capo de fuezas, basta con calcula el tabajo ealizado po las fuezas del capo ente esos dos puntos y cabiale de signo. Po ota pate, poqué el tabajo y la Enegía Potencial tienen signos contaios? La azón tiene su oigen en el iso nobe del capo: consevativo, es deci es un capo donde se conseva el tabajo ealizado. Si nosotos haceos un tabajo al lleva un cuepo desde un punto a oto ( ) del capo, el iso capo nos lo devuelve al hace el caino contaio ( ). Luego, la única anea posible de que espontáneaente el capo haga un tabajo es que lo ealice la fueza definida en el iso, es deci, nos teneos que ove en la diección de la fueza (a favo del capo), po tanto, paa acuulalo antes, tuvios que ovenos en conta del capo (tabajo negativo). Donde vaos a situa el oigen O del capo? En la páctica tiene poca ipotancia, pues lo que nos va a inteesa son las ganancias o pédidas (inceentos) de enegía al ovenos ente dos puntos cualesquiea del capo. Coo el tabajo y la enegía son agnitudes escalaes, el inceento de tabajo ente dos puntos siepe es el iso epeceos a conta el tabajo desde donde epeceos, es deci, podeos coloca el 0 donde queaos sin que vaíe la difeencia ente dos puntos (la distancia que hay ente dos localidades en una caetea siepe seá la isa, no depende del punto desde donde epeceos a conta el espacio). Po tanto, en cada caso situaeos el O de enegía en el punto donde as nos convenga.

7 FÍSIC. º DE CHILLEO. I.E.L. CUSO FUNCIÓN POENCIL. l defini la Enegía Potencial de un punto, heos ceado un capo escala (un capo de enegías) dento de un capo vectoial (un capo de fuezas). Peo el capo escala de enegías no está bien definido, pues en cada punto del espacio existe ás de un valo de la Enegía Potencial, pues ésta depende del cuepo que situeos en el punto: Paa un cuepo deteinado tendeos un único valo de la enegía U P peo si en ese iso punto situaos oto cuepo distinto tendeos oto valo distinto de la enegía U P ' (cuanto ayo sea una asa ás tabajo nos cuesta ovela dento de un capo gavitatoio). Paa subsana este defecto, vaos a defini una nueva agnitud: La Función Potencial o sipleente Potencial. La Función Potencial V P se define coo la Enegía Potencial que tendía la unidad de escala (unidad de asa o caga según el capo) situada en el punto P. UP U VP (9) y V e e ELCIÓN: INENSIDD DE CMPO Y POENCIL. Si teneos en cuenta que W U e. V queda W e. V V y si adeás du F. d du e. dv y F e. esulta que dv. d e integando V. d (10) Que nos indica coo calcula la vaiación de potencial a pati de la intensidad de capo. Po tanto, teneos ya un capo vectoial de Intensidades de Capo bien definido (en cada punto un único valo) y dento de éste acabaos de defini un capo escala de potenciales, luego teneos un capo escala supepuesto a uno vectoial y que podeos elaciona ediante (10). Po ota pate, en todo capo escala se cuple que ga V. d dv y, coo acabaos de ve dv. d luego queda ga V (11) Po tanto disponeos ya de dos ecuaciones que nos elacionan los dos capos o lo que es lo iso la Intensidad de capo y el Potencial: V d y gav

8 FÍSIC. º DE CHILLEO. I.E.L. CUSO El capo escala de potenciales vendá epesentado po las supeficies equiescalaes que en este caso llaaeos supeficies equipotenciales: conjunto de puntos que pesentan el iso valo del potencial. Si adeás se tiene en cuenta que la intensidad de capo (aunque con signo contaio) es el gadiente del potencial y que viene epesentada po las lineas de fueza, cabe deduci que las líneas de fueza deben se pependiculaes a las supeficies equipotenciales. V 4 V 3 V V 1 L I N E S D E F U E Z La epesentación de un capo de fuezas podía se la de la figua adjunta, siendo las líneas de fueza pependiculaes a las supeficies equipotenciales. Las lineas de fueza indican en cada punto la diección y sentido de la intensidad de capo, así coo la diección de áxia vaiación del potencial. CMPOS DE FUEZS CENLES. Dento de los capos de fuezas nos van a inteesa los capos de fuezas centales, coo son el capo gavitatoio ceado po una asa puntual o el capo eléctico ceado po una caga. El ódulo de la fueza en estos capos siepe es invesaente popocional al cuadado de la distancia: F K (14) Copobeos a continuación que los capos de fuezas centales son siepe consevativos: Suponeos un capo de fuezas cental cuyo cento es el punto O. Las líneas de fueza seán adiales y pependiculaes a las supeficies equipotenciales que seán esféicas (en el plano ciculaes). Vaos a deosta que el capo es consevativo calculando el tabajo necesaio paa i de a a tavés de dos cainos: el ' y el '. abajo ': ' F W W ' W ' ' peo W 0 poque F d po tanto: K W F d d K K K. ' ' O F '

9 FÍSIC. º DE CHILLEO. I.E.L. CUSO K K y coo U W queda U Si toaos el infinito coo oigen de enegías, pues es en el infinito donde se acaba el capo, es deci, donde F se hace O: K K K 0 y U 0 luego U y, en geneal UP P (15) Es deci, la enegía potencial solo es función de la posición P y, po tanto, el capo de fuezas debe se, coo deostaeos a continuación, consevativo. abajo ': W W ' ' W' peo coo de a ' F d esulta W 0 ' ' K Luego W F d d K K K. esultado obtenido anteioente y que pueba el caácte consevativo de los capos centales. ENEGÍ CINÉIC. EOEM DE LS FUEZS VIVS. Supongaos que una deteinada fueza F ha ealizado un tabajo al desplazase ente dos puntos y. Si éste tabajo se le aplica a una asa, se cupliá el segundo pincipio de la Dináica, siendo: F. a Po tanto: W F d a d dv dt d v dv v W. v. v l téino 1. v se le llaa enegía cinética y se define coo la capacidad que tiene una asa paa ealiza un tabajo en función de su velocidad. Po tanto queda: W E (17) C El tabajo ealizado sobe una asa se eplea en vaia su enegía cinética. Si el tabajo ealizado po la fueza se aplica a una asa, se invetiá en vaia su enegía cinética. Si el tabajo es positivo auentaá la enegía y si es negativo la disinuiá. NO: Debeos señala que no heos supuesto a la asa situada dento de un capo de fuezas po lo que no puede habe vaiación de la enegía potencial.

10 FÍSIC. º DE CHILLEO. I.E.L. CUSO PINCIPIO DE CONSEVCIÓN DE L ENEGÍ MECÁNIC. Suponeos un capo de fuezas consevativo. Si oveos una patícula ente dos puntos del capo, la vaiación de enegía que expeienta seá, según (8): U Fd siendo F la fueza definida en el capo. Po oto lado, según el teoea de las fuezas vivas (17), el tabajo aplicado a una patícula de asa se inviete en vaia su enegía cinética: W Fd E c De las dos ecuaciones anteioes se deduce: E c U O lo que es lo iso: U 0 E C Es deci, el auento de enegía cinética de una patícula debe se igual a su disinución de enegía potencial y, vicevesa, la disinución de enegía cinética seá igual al auento de enegía potencial. La enegía ecánica total de una patícula sobe la que solaente actúan fuezas consevativas peanece constante. Peo, qué sucede si sobe ésta patícula actúan fuezas no consevativas? Paece fácil deduci que la enegía total de la patícula no seía constante, sino que se veía auentada o disinuida po el tabajo de las fuezas no consevativas. Po lo que (9) quedaía: E C U W NC El tabajo de las fuezas no consevativas se eplea en vaia la enegía ecánica total de la patícula sobe la que actúan. El ejeplo ás típico de fueza no consevativa es la fueza de ozaiento que, po se siepe contaia al oviiento, ealiza un tabajo negativo po lo que se epleaá en disinui la enegía total de la patícula. Coo fueza no consevativa se puede considea tabién una fueza extena al capo, po ejeplo, la del oto de un coche. El tabajo ealizado po el iso se epleaá en auenta la enegía total del vehículo, ya sea auentando su enegía potencial (al subi un pueto), ya sea auentando su enegía cinética (auentando su velocidad).

11 FÍSIC. º DE CHILLEO. I.E.L. CUSO CMPO GVIOIO. LEY DE GVICIÓN UNIVESL. INODUCCIÓN HISÓIC: LEYES DE KEPLE. En el siglo XVI, Copénico popuso descibi el oviiento de los planetas especto del Sol coo un sistea heliocéntico, es deci, el Sol se encuenta en el cento del sistea y los planetas gian alededo del iso. Los que popuso ea, en esencia, un sistea de efeencia basado en Sol. Éste coincidiía con el cento de asas del sistea (su asa seía ucho ayo que la del esto de los planetas) y su oviiento ucho ás pequeño que el de los planetas. Constituiía, po tanto, con bastante apoxiación, un sistea inecial. El astónoo y ateático aleán J. Keple ( ), basándose en los datos del tabién astónoo danés ycho ahe ( ) y de lo anteioente popuesto po Copénico, enunció sus tes leyes que suponen una descipción bastante coecta del oviiento de los planetas. 1ª LEY: Los planetas desciben elipses alededo del Sol, estando éste en uno de sus focos. unque la excenticidad de las óbitas es pequeña, no se podían explica con óbitas elípticas, las posiciones obsevadas de los planetas. ª LEY: Las áeas baidas po los adio vectoes (vectoes de posición) que deliitan las posiciones de los planetas especto del Sol, son iguales en tiepos iguales. Dicho de oto odo: la velocidad aeola (velocidad de baido de áea) es constante. Paa entendelo de foa adecuada debeos estudia antes que es el oento cinético o angula de un cuepo y su consevación. L i MOMENO CINÉICO O NGUL DE UN SÓLIDO. v i i i Heos definido el oento cinético de una patícula coo el oento de su cantidad de oviiento: Li i ivi [15] Si suponeos un sólido ígido coo un sistea de asas puntuales: L L v Cada vecto L i es pependicula al plano deteinado po i y v i, po lo que tendá la diección del eje, quedando deteinado su sentido po el sentido de gio. Paece fácil deduci que todos los vectoes L i tendán el iso sentido y la diección del eje. Po tanto vaos a calcula solaente el ódulo. i i i i

12 FÍSIC. º DE CHILLEO. I.E.L. CUSO Si en [15] calculaos el ódulo del poducto vectoial y sustituios la velocidad lineal po la angula, pues es la isa paa todas las patículas del sólido: o Li i ivisen90 i i. i. ii Extendiéndolo a todo el sólido: L Li. ii ii I Luego el oento cinético o angula de un sólido en otación seá un vecto de diección la del eje, sentido ascendente o descendente según sea el gio y ódulo: L I [16] CONSEVCIÓN DEL MOMENO CINÉICO. Coo ya vios en su oento, la deivada del oento cinético ea el oento de la fueza aplicada a la patícula y la deivada del oento cinético de un sistea de patículas ea la sua de los oentos de las fuezas exteioes aplicadas al sistea ([9] del tea anteio): dl d( v) d d( v) v v v F 0 M dt dt dt dt Y si teneos en cuenta que los oentos de las fuezas inteioes, po se de acción-eacción, se anulan: dl M ext dt Po tanto si un sólido no tiene aplicados oentos exteioes, la deivada del oento cinético seía 0 y el oento cinético constante: dl Si M ext 0 0 L cte I cte o I Io 0 dt Expesión de gan utilidad paa la explicación de algunos fenóenos físicos. Po ejeplo: los bailaines ciean sus bazos cuando quieen gia ás depisa y los aben cuando quieen paase. Ello se debe a que al no tene aplicados oentos exteioes, si el bailaín abe los bazos auenta su oento de inecia y, po tanto, disinuye su velocidad. Si los ciea disinuye su oento de inecia y auenta su velocidad. Esto iplica que la velocidad con la que se ueven los planetas alededo del Sol no es constante, pues, si el áea baida po sus vectoes de posición debe se constante, se deben ove ás ápido cuanto ás cecanos estén al Sol. S 1 S o l F S v Paa tiepos iguales las áeas S 1 y S deben se iguales. Coo se puede obseva en la figua, el oento de las fuezas aplicadas a un planeta deteinado () es 0, luego el oento cinético debe se constante:

13 FÍSIC. º DE CHILLEO. I.E.L. CUSO M dl ext 0; y coo M ext; L v cte dt y según la intepetación geoética del poducto vectoial: 1 ds 1 d 1 ds d ; v; Si ultiplicaos dt dt ds 1 L y dividios po : v cte dt Po tanto se deducen dos consecuencias: 1. l se constante el oento cinético L que esulta del poducto vectoial de v, debe se tabién constante el plano deteinado po estos dos últios vectoes ( y v ), po lo que la óbita debe encontase siepe en el iso plano, es deci. las óbitas de los planetas son planas.. La velocidad de baido de los vectoes de posición de los planetas o velocidad aeola es constante: ds dt cte 3ª LEY: Los cuadados de los peíodos de evolución de los planetas alededo del Sol son popocionales a los cubos de los seiejes ayoes de las espectivas óbitas pati de las conclusiones de Galileo sobe la coposición de oviientos, del sistea heliocéntico de Copénico, de las obsevaciones de ycho ahe y las leyes de Keple sobe el oviiento de los planetas, Isaac Newton llegó, po inducción, a sus tes leyes siples del oviiento (pincipios fundaentales de la Dináica) y a su ayo genealización fundaental: la Ley de Gavitación Univesal. Puede deducise de foa sencilla patiendo de que la fuea de atacción ente los planetas es cental, es deci, siepe tiene diección adial y sentido hacia el Sol, po lo que al se una fueza centípeta, debe coesponde a la foula: v F si la poneos en función de la velocidad angula, coo v ( ) 4 F y coo f F Si ahoa teneos en cuenta la tecea Ley de Keple que dice que el cuadado del peiodo de las obitas de los planetas es popocional al cubo del seieje ayo o al adio si las consideaos ciculaes: 3 K F 3 K K K Puesto que el teino 4 /K es una constante y Newton estableció que la fueza de atacción ente el Sol y los planetas debia se popocional a la asa del Sol 4 G M S K M queda la ecuación de la foa F G unque la foa coecta de la isa es:

14 FÍSIC. º DE CHILLEO. I.E.L. CUSO MM ' Nw F G ; donde G 6,67.10 y el signo indica que la F es contaia a, es deci, es una fueza de atacción. INENSIDD DEL CMPO GVIOIO. Suponeos una egión del espacio vacía. Situaos en ella una asa M. Se llaa capo gavitatoio a la petubación que ésta asa cea en el espacio que la odea. Es deci, ese espacio no peanece ipasible ante la pesencia de la asa, sino que pesenta nuevas popiedades, ya que en cada punto apaecen los valoes de dos nuevas agnitudes: una vectoial, la intensidad de capo ( g ) y ota escala el potencial (V). Inicialente ese nuevo capo no se anifiesta, peo si intoducios una segunda asa en un punto cualquiea del espacio que odea a la piea asa M, se vea soetida a una fueza que vendá dada po la Ley de Newton (1). La ecuación que vios en la teoía geneal de capos coo F e. se conviete en el capo gavitatoio en F. g, donde g es la intensidad de capo gavitatoio que siepe heos conocido coo aceleación de la gavedad pues coincide en unidades con las de una aceleación. Kg F g N Kg Kg. s Kg s La intensidad del capo gavitatoio en un punto se define coo la fueza que sufe la unidad de asa (Kg) situada en ese punto del capo. Si F. g M. F G 3 M g G y queda Po tanto, según veos en (3) la intensidad de capo gavitatoio depende de: - La asa que cea el capo M. - La distancia a la que esteos de M, es deci, del punto del capo en el que nos enconteos. Nos encontaos entonces ante un capo vectoial bien definido, pues a cada punto del espacio que odea a la asa M le coesponde un único valo de g, ientas que puede tene infinitos valoes de la fueza, tantos coo asas podaos situa en ese punto. Coo ya vios en la eoía de Capos, la epesentación del iso se lleva a cabo ediante las Líneas de Fueza, que indican en cada punto la diección y sentido de la Intensidad de Capo. M CMPO CEDO PO UN MS

15 FÍSIC. º DE CHILLEO. I.E.L. CUSO PINCIPIO DE SUPEPOSICIÓN: Si en una zona del espacio teneos vaias asas, cada una de ellas poduciendo su popio capo gavitatoio, la fueza total sobe ota asa situada en un punto P cualquiea de esa zona seá: F g. g. g... g g g.... g Donde g g g 1,, 3,... son los capos poducidos po cada asa en el punto P. Podeos enuncia, entonces, el pincipio de supeposición: si en un punto del espacio coinciden a la vez ás de un capo gavitatoio, sus efectos (intensidades) se suan. g g g g g i ENEGÍ POENCIL GVIOI: Coo ya se ha visto, el capo gavitatoio ceado po una caga puntual, es un capo cental y, po lo tanto, consevativo. Se puede defini, entonces, una enegía potencial gavitatoia coo el tabajo necesaio paa tae una asa desde el oigen hasta un punto P. Paece lógico que el oigen (el 0 de enegías) lo situeos fuea del capo, es deci, en el infinito. p p p M p d 1 GM U p F. d G d GM GM p Puesto que el tabajo de tae una asa desde el infinito hasta P lo hace el popio capo, ya que la fueza es de atacción, tendeos una enegía potencial negativa. Luego solo acuulaeos enegía cuando alejeos la asa, es deci, cuando la ovaos en conta de la fueza del capo. POENCIL GVIOIO: Mediante la enegía potencial heos definido un capo escala pues en cada punto que odea a una asa existen valoes de la enegía potencial, peo no solaente uno en cada punto, pues tendeos tantos valoes coo asas podaos coloca en dicho punto, es deci, infinitos. eneos po tanto un capo escala de enegías al definido. Paa coegi este hecho contaos con el potencial que se define coo la enegía potencial po unidad de asa, es deci, seía el tabajo necesaio paa tae 1 Kg de asa desde el infinito hasta el punto P. V U GM y coo U V G M p queda p p p Coo veos el potencial solaente depende de la asa que cea el capo M y del punto del espacio en que nos situeos, luego en cada punto que odea a una asa existe un único valo del potencial. Po tanto llaaos capo gavitatoio a la petubación que una asa cea en el espacio que la odea. Esa petubación consiste en que en cada punto de ese espacio existe dos popiedades que dependen únicaente del punto en cuestión: la intensidad de capo g y el potencial V.

16 FÍSIC. º DE CHILLEO. I.E.L. CUSO Si en ese punto P situaos ota asa el capo ejeceá sobe ella una fueza F. g p y tendá una enegía U V. p. Si en un punto del espacio coinciden los capos ceados po vaias asas tendeos que aplica el pincipio de supeposición que heos visto con anteioidad, suando sus efectos: g g y V V. Po ota pate, coo ya se deostó en la teoía de capos: g gav y V g. d i Que nos uesta la elación ente la intensidad de capo y el potencial gavitatoio. i CMPO GVIOIO EESE. Mientas que en el capo eléctico pueden existi infinitas posibilidades de cagas, ya sean puntuales u hoogéneas, y po tanto infinitos tipos de capo, en el gavitatoio solaente existe uno que nos pueda inteesa: el de la iea. Si teneos en cuenta los siguientes valoes: 11 N. 4 6 G 6, ; M Kg g iea 5, y o 6, queda o 9, 8 Kg s VICIÓN DE L GVEDD CON L LU. o O eniendo en cuenta que, según se ha deducido de la aplicación del eoea de Gauss, se puede calcula el capo gavitatoio de la iea coo el de una asa puntual equivalente situada en su cento: G M G M go. y g p. o dividiendo abas ecuaciones queda: g g p o o Ecuación uy util paa calcula la intensidad del capo gavitatoio a difeentes altuas de la iea.

17 FÍSIC. º DE CHILLEO. I.E.L. CUSO ENEGÍ POENCIL GVIOI EESE: plicando la definición de enegía potencial al capo gavitatoio teeste: U F. d g. d si nos oveos ente lugaes uy cecanos a la supeficie de la iea, donde podeos considea que g es constante: sen U g. d.cos g. d U g.sen. s g. h s d Ecuación bien conocida y que heos venido utilizando con fecuencia, peo que solaente es válida en zonas cecanas a la supeficie. Si nos oveos en zonas as alejadas de la supeficie, no podeos considea que g g es constante. Si se desea ove una asa desde la supeficie ( o ) hasta un punto cuya distancia al cento de la iea es : U o o. g d o M G d GM 1 1 o GM 1 o 1 Luego esta seía la enegía necesaia paa anda un satélite de asa desde la supeficie hasta una óbita de adio. Peo, adeás, una vez en óbita el satélite necesita una velocidad tal que: v M M F centífuga P ; g G luego queda v = G velocidad que necesita lleva un satélite paa antenese en óbita. 1 M Coo habá que dásela en foa de enegía cinética: Eanteniiento Ec G Luego la enegía necesaia paa pone en óbita un satélite seía la sua de la potencial paa llevalo hasta la óbita as la cinética de anteniiento paa que no se caiga. VELOCIDD DE ESCPE: Se tata de la velocidad inicial que hay que dale a una asa paa que abandone el capo gavitatoio teeste o de cualquie oto planeta. Po tanto debeos dale toda la enegía coo una enegía cinética inicial. v M.. G. M Luego: Ec U P ; G luego queda v = h

18 FÍSIC. º DE CHILLEO. I.E.L. CUSO SÉLIES GEOESCIONIOS: Son aquellos satélites, pincipalente de telecounicaciones, que se desea que no se uevan de la vetical de un luga de la supeficie, es deci, que gien a la vez que la iea. La velocidad angula debe se de una vuelta al día: M G. M v.. y adeás v = G luego queda lo que nos da un adio paa la óbita de 400 K, es deci, una altua sobe la supeficie de K. deás la óbita debe se ecuatoial, pues cualquie ota haía que aunque no se oviea de un deteinado eidiano, lo ecoiea de Note a Su. Po tanto la óbita esulta se única, lo que hace que el situa un satélite en ella esté bastante solicitado. PEIODO DE EVOLUCIÓN DE UN SÉLIE: Puesto que la fueza centífuga que sopota debe se constante e igual al peso, la velocidad del satélite tabien debe se constante. Po tanto: v s t y coo el peiodo es el tiepo que tada en da una vuelta copleta, si t= s=. Luego queda: M siendo v = G v