PRÁCTICAS DE ANÁLISIS DE VARIAS VARIABLES (INTEGRACIÓN MÚLTIPLE)

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1 PRÁCTICS DE NÁLISIS DE VRIS VRIBLES (INTEGRCIÓN MÚLTIPLE Departameto de álisis Matemático Curso 2/22 Profesores resposables aamat/pod.htm Práctica Itegral Impropia De Riema. Criterios De Covergecia Práctica 2 Itegral de Lebesgue. Teoremas de covergecia. Coexio co la itegral de Riema Práctica 3 Itegrales iteradas. Teorema de Fubii. Itegrales de fucioes de varias variables Práctica 4 Cambios de variable. Cálculo de Áreas y Volúmees

2 Curso 2/22 Práctica Itegral Impropia De Riema. Criterios De Covergecia El objeto de esta práctica es exteder la oció de itegral a fucioes o acotadas o a fucioes que está defiidas e u itervalo o acotado. Defiicioes Sea I R u itervalo (acotado o o cuyos extremos represetamos por a y b, y que puede ser fiitos o o y sea f ua fució itegrable e cualquier subitervalo L = [u, v] I cerrado y acotado. Se defie itegral impropia de f, v f(tdt = f(tdt. I v b u a + u Cuado dicho ite existe, se dice que la itegral (impropia de f es covergete o que existe. Si la itegral impropia de f es covergete, se dice que la itegral (impropia de f es absolutamete covergete. E el caso de que exista ua partició {I,, I } de I, de maera que exista la itegral impropia de f e cada uo de los subitervalos I i de la partició, se defie la itegral impropia de f e I como I f(tdt = i= I i f(tdt. He aquí uos ejemplos: Ejemplo. Si f(x = x 2 e I = (, +, se tiee que f es ua fució itegrable e cualquier subitervalo L = [u, v] I ya que es cotiua y + x 2 dx = v + u + v u x 2 dx = v + u + [ x ]v u = v + u + [ v u ] =. De maera que Ejemplo.2 + dx existe ( o es covergete y vale. x2 Si f(x = x 2 e I = (,, se tiee que f es ua fució itegrable e cualquier subitervalo L = [u, v] I ya que es cotiua y x 2 dx = v u + v u x 2 dx = v u + [ x ]v u = v u + [ v u ] que o existe. álisis de Varias Variables (Itegració Múltiple

3 práctica : Itegral Impropia De Riema. Criterios De Covergecia 2 Ejemplo.3 Cuado I sea u itervalo cerrado y acotado y f sea ua fució itegrable (e el setido de Riema e I, desde luego que existe la itegral impropia de f y coicide co la itegral de Riema de f. sí como la itegral de Riema permite medir áreas de porcioes del plao acotadas, la oció de itegral impropia permite calcular áreas de porcioes del plao que o so acotadas. El criterio básico para decidir que u itegral impropia es covergete es el siguiete. Teorema. (i Si I f(t dt es covergete, etoces f(tdt, tambié es covergete. I (iisi existe M > tal que v u f(t dt < M para cada [u, v] I, etoces f(tdt es absolutamete I covergete. De éste, se deduce de maera imediata el siguiete corolario. Corolario.2 Si f(x g(x para cada x, a < x < b, y existe g(tdt, etoces tambie existe I I f(tdt. 2 Criterios para fucioes defiidas e itervalos o acotados Teorema.3 Sea f itegrable e cada itervalo cerrado y acotado de [a, +, (a >. Si existe α > y K > tales que f(xx α < K x > a, etoces f(tdt es absolutamete covergete. Si existe α y K > tales que f(xx α > K x > b(> a, etoces f(tdt o es covergete. Naturalmete criterios aálogos a estos se puede formular para itervalos de la forma (, a]. Teorema.4 (Citerio de bel-dirichlet Sea f, g : [a, + R tales que g es derivable, existe + g (t dt, a x + g(x = y f tiee ua primitiva acotada. Etoces existe + f(tg(tdt. a Tambié merece la pea el siguiete criterio que relacioa la covergecia de la itegral impropia co la de ua cierta serie umérica. Teorema.5 (Criterio de Cauchy-MacLauri Sea f : [a, + R + decreciete ( y por tato, itegrable Riema e todo subitervalo cerrado y acotado. Se tiee que f(tdt es covergete si, I y solo si, la serie f(a + es covergete. 3 Criterios para fucioes o acotadas defiidas e itervalos acotados Teorema.6 Sea f itegrable e cada itervalo cerrado y acotado de I = (a, b]. (i Si existe α < y K > tales que f(x(x a α < K x > a, x b, etoces f(tdt es I absolutamete covergete. (ii Si existe α y K > tales que f(x(x a α > K x > a x b, etoces f(tdt o es I covergete. Naturalmete criterios aálogos a estos se puede formular para itervalos de la forma [b, a. I I álisis de Varias Variables (Itegració Múltiple

4 práctica : Itegral Impropia De Riema. Criterios De Covergecia 3 PROBLEMS PROPUESTOS: Ejercicio. + dx Demostrar que coverge si, y sólo si, p > (se supoe a > a xp Ejercicio.2 Utilizado el problema aterior probar el Teorema.3 Ejercicio.3 Hallar la covergecia o divergecia de las siguietes itegrales: (a (b (c (d (e (f (g xcosxdx dx + x 2 lx ( + x 2 2 dx dx x 4 + x 2 + dx (x + (x se2x x 2 + 3x 3 dx xse(x 4 dx Ejercicio.4 Estudiar la itegrabilidad (impropia de las siguietes fucioes e los itervalos señalados: (a exp( x e R. (b x p log q x e [2, + cuado p < y cuado p = q <. (c si 2 e [, +. x (d x p exp( x q co p, q > e [, +. (e exp( x log(cos 2 x e [, +. Ejercicio.5 Si p >, etoces si x x p tiee itegral impropia absolutamete covergete y si p =, o es absolutamete covergete y, e cambio, sí es covergete. Sea f R([x, x ] para todo x, x R, x < x, se llama valor pricipal de + f(xdx al siguiete valor: + x V P f(xdx := f(xdx. x + x El valor pricipal de ua itegral puede existir si que por ello la itegral de la fució sea covergete: Ejercicio.6 + Demuestra que Ejercicio.7 Demostrar que si + + x t dx o existe como itegral impropia y si embargo, + x2 t + t f(xdx es covergete, etoces coicide co su valor pricipal. + x dx = π. + x2 álisis de Varias Variables (Itegració Múltiple

5 práctica : Itegral Impropia De Riema. Criterios De Covergecia 4 Ejercicio.8 Demostrar que si p > se tiee los siguietes hechos: b dx (a es covergete si, y sólo si, p <. a (x a p b dx (b es covergete si, y sólo si, p <. (b x p a Ejercicio.9 Utilizar el problema aterior para demostrar el Teorema 3. Ejercicio. Estudiar la covergecia o divergecia de las siguietes itegrales. sex (a x dx dx (b x 2 dx dx (c (sex 2 dx se x (d 3 2 dx x (f (g + xarctagx dx x 2 lx ( + x 2 2 dx álisis de Varias Variables (Itegració Múltiple

6 Curso 2/22 5 Práctica 2 Itegral de Lebesgue. Teoremas de covergecia. Coexio co la itegral de Riema Cojutos ulos Si a i < b i para i =, 2,...,, se dice que el cojuto I = {(x, x 2,..., x R : a i < x i < b i } es u itervalo abierto acotado de R y se defie su medida como m(i = (b a (b 2 a 2 (b a. U cojuto R se dice que es ulo si para cada ɛ > existe ua sucesió fiita o ifiita de itervalos abiertos acotados I que cumple (a = I (b = m(i < ɛ. El hecho de que se pueda cosiderar ua catidad ifiita de itervalos e vez de limitarse a ua catidad fiita es esecial: existe cojutos ulos que o puede ser recubiertos por ua catidad fiita de itervalos abiertos acotados como se ilustra e el problema 3. Es importate observar que el cocepto de cojuto ulo depede de la dimesió del espacio R. Por ejemplo, como cosecuecia de los ejercicios 2, 3 y 4 se sigue que toda recta e R 2 es u cojuto ulo. Las propiedades de los cojutos ulos so similares a las de los cojutos umerables..- Si para cada N, el cojuto es ulo, etoces la uió N es u cojuto ulo. 2.- Todo subcojuto de u cojuto ulo es ulo. La estrategia geeral para demostrar que u cojuto es ulo es utilizar estas dos propiedades; por ejemplo, poiédolo como uió umerable de cojutos de modo que sea fácil demostrar que cada es ulo.. Propiedades que se cumple casi por todas partes Sea P (x ua propiedad que depede de x R. Diremos que la propiedad P (x se verifica casi por todas partes o para casi todo x, cuado existe u cojuto ulo tal que si x /, etoces se cumple la propiedad; e otras palabras, cuado el cojuto {x R : P (x o se cumple} es ulo. Por ejemplo, decir que dos fucioes f y g so iguales casi por todas partes sigifica que existe ulo tal que si x /, etoces f(x = g(x. Ejemplo 2. Vamos a probar que si f (x = g (x (c.p.p. y f 2 (x = g 2 (x (c.p.p., etoces f (x + f 2 (x = g (x + g 2 (x (c.p.p. Como f (x = g (x (c.p.p., existe cojuto ulo tal que si x /, etoces f (x = g (x. álogamete existe u cojuto ulo 2 tal que si x / 2, etoces f 2 (x = g 2 (x. Sea = 2, que es u cojuto ulo. Si x /, etoces f (x = g (x y f 2 (x = g 2 (x co lo cual f (x + f 2 (x = g (x + g 2 (x; es decir, f (x + f 2 (x = g (x + g 2 (x (c.p.p. PROBLEMS PROPUESTOS: Ejercicio 2. Sea ( f (x y ( g = (x dos sucesioes tales que f = f (c.p.p. y g g (c.p.p. Si f (x = g (x (c.p.p. para cada N, demostrar que f(x = g(x (c.p.p. álisis de Varias Variables (Itegració Múltiple

7 práctica 2: Itegral de Lebesgue. Teoremas de covergecia. Coexio co la itegral de Riema 6 Ejercicio 2.2 Si para cada N, la propiedad P (x es cierta (c.p.p., demostrar que etoces P (x es cierta para todo N, (c.p.p. 2 Itegrabilidad: cálculo directo de la itegral E este apartado veremos cómo ciertas fucioes so itegrables y se puede calcular sus itegrales directamete. Segú sabemos Ua fució real f e R que sea cotiua (c.p.p., acotada y que se aule fuera de u itervalo acotado es ua fució superior y por lo tato itegrable; e particular, ua fució cotiua e u itervalo compacto I es itegrable e él. Para calcular su itegral la propia prueba del resultado os dice que hay que dividir el itervalo e subitervalos iguales y tomado e cada uo de ellos el ífimo de la fució se costruye ua fució escaloada. Tomado cada vez subdivisioes más pequeñas se obtiee ua sucesió creciete de fucioes escaloadas que coverge (c.p.p. a f. El ite de sus itegrales os dará la de f. Ejemplo 2.2 Sea f(x = x 2. Demostraremos que es itegrable e el itervalo [, ] y calcularemos su itegral. Dividimos el itervalo [, ] e 2 m partes iguales segú los putos {, 2 m, 2 2 m,..., 2m 2 m, }, y defiimos etoces φ m := i=2 m i= φ m = f m ( i 2 m 2 χ [ i 2 m, i 2 m ] c.p.p. l ser la sucesió creciete la fució f es superior y como φ m = ( 2 m ( 2 m 2 + ( 2 2 m ( 2m 2 m 2 etoces m (2 m (k 2 φ m = m (2 m 3 = k k 3 = (Stolz = 3. Por lo que la itegral de f e [, ] es 3 Podríamos haber dividido el itervalo de otra forma, por ejemplo e 2 m subitervalos, y el resultado sería aálogo (compruébese. PROBLEMS PROPUESTOS: Ejercicio 2.3 Demostrar que f(x, y = xy es itegrable e [, ] [, ] y calcular su itegral. Ejercicio 2.4 Demostrar que f(x = x es itegrable e [, 2] y calcular la itegral. Ejercicio 2.5 Demostrar que f(x, y = x 2 + y 2 es itegrable e [, ] [, ] y calcular su itegral. Ejercicio 2.6 Comprobar los resultados ateriores e ua variable usado el teorema de Lebesgue-Vitali. álisis de Varias Variables (Itegració Múltiple

8 práctica 2: Itegral de Lebesgue. Teoremas de covergecia. Coexio co la itegral de Riema 7 3 Teoremas de covergecia E geeral o se puede pasar al ite bajo el sigo de itegral como muestra el siguiete ejemplo. Ejemplo 2.3 Sea la sucesió de fucioes escaloadas f : [, ] R defiida por {, si x [ f (x = 2, ];, resto. Veamos que esta sucesió coverge putualmete a la fució e [, ]. Dado x (, ] existe N tal que < x, por cosiguiete para todo se cumple que f (x =. Calculemos ahora el ite de las itegrales f = ( 2 = 2. La superioridad de la itegral de Lebesgue respecto a la itegral de Riema se maifiesta, sobre todo, e los teoremas de covergecia, que permite pasar al ite bajo el sigo itegral e codicioes muy geerales. Los dos fudametales so: Teorema 2. (Teorema de la covergecia moótoa de Lebesgue-Levi Sea (f = ua sucesió moótoa de fucioes itegrables que coverge casi por todas partes a la fució f. Si la sucesió de itegrales ( f es acotada, etoces la fució f es itegrable y se cumple = f = f. Teorema 2.2 (Teorema de la covergecia domiada de Lebesgue Sea (f = ua sucesió de fucioes itegrables que coverge casi por todas partes a la fució f. Si existe ua fució g itegrable tal que f (x g(x para casi todo x y todo N, etoces la fució f es itegrable y se cumple f = f Veamos ahora uos ejemplos e los que se aplica los teoremas ateriores. Ejemplo 2.4 Vamos a ver que la fució f(x = x vamos a calcular su itegral. si x (, ], f( = es itegrable Lebesgue e [, ] y Cosideremos la sucesió de fucioes f : [, ] R defiida por { x, si x [ f (x =, ];, resto. Puesto que f está acotada y es cotiua e [, ] salvo e el puto, Lebesgue-Vitali es itegrable Riema e [, ], itegrable Lebesgue e [, ] y f (xdx = f [,] por el teorema de La sucesió {f } = coverge putualmete a la fució f e [, ], ya que si x (, ], existe N tal que < x y por cosiguiete para todo se cumple que f (x = x. Es fácil ver que f f +. Comprobemos fialmete que la sucesió de itegrales está acotada superiormete. álisis de Varias Variables (Itegració Múltiple

9 práctica 2: Itegral de Lebesgue. Teoremas de covergecia. Coexio co la itegral de Riema 8 [,] f = dx = x plicado el T.C.M. se tiee que f es itegrable Lebesgue e [, ] y f = f = 2 2 = 2. Ejemplo 2.5 Probemos que [,] [,] log( + x e x cos x dx =. Cosideremos la sucesió de fucioes f : [, ] R defiida por f (x = log(+x e x cos x. Como para cada x [, ] se tiee que log( + x e x cos xdx =, resulta que la sucesió {f } = coverge putualmete a e [, ]. Las fucioes f so cotiuas, por lo tato so itegrables Lebesgue e [, ] por lo que el resultado que es cosecuecia del T.C.D. Para aplicarlo, úicamete queda ecotrar ua fució itegrable que mayore a los módulos de todas las fucioes de la sucesió. De las desigualdades log( + x log( + = log( para todo x [, ], se deduce que la fució g(x = 2e x verifica f g para todo N. 4 Criterios de itegrabilidad Como cosecuecia del T.C.M. se tiee el siguiete criterio de itegrabilidad para fucioes de varias variables. 4. (C Sea {I m } = ua sucesió creciete de itervalos e R y sea S = m=i m. Si f L(I m para todo m N y la sucesió { I m f } m= está acotada, etoces f L(S y S f = I m f. Si f, etoces el recíproco es cierto. Como cosecuecia de este criterio obteemos el siguiete resultado: 4.2 (C2 Sea f : [a, + R tal que f L(a, b para todo b a y supogamos que existe M > tal que f M para todo b a. Etoces f L(a, + y [a,b] f = f. b + [a,b] [a,+ 2 álisis de Varias Variables (Itegració Múltiple

10 práctica 2: Itegral de Lebesgue. Teoremas de covergecia. Coexio co la itegral de Riema 9 plicado C a la sucesió de itervalos I = [a, a + ], N, a f f L(a, + y que f = f. I Dado ɛ > sea N tal que [a,+ [a,+ f f < ɛ. I y a f obteemos que Sea b a +, etoces [a,+ f f = f f [a,b] [b,+ ] [b,+ ] f = f [a,+ f < ɛ I [a+,+ ] Ejercicio 2.7 Probar que la fució f(x = e x es itegrable Lebesgue e R y calcular su itegral. Ejemplo 2.6 Probemos que para todo y > la fució f(x = e x x y es itegrable Lebesgue e [, ]. Para y la fució es cotiua e [, ]. Supogamos ahora que y <. E ese caso la fució x y o está acotada cuado x tiede a +. Si I = [, ], etoces f es cotiua e I y I f = e x x y dx x y dx y ( y < y para todo N. plicado C se tiee que f(x es itegrable Lebesgue e [, ]. 5 Relació co la itegral impropia de Riema 5. (C3 Sea f : [a, + R tal que f R[a, b] para todo b a. b etoces f es itegrable Lebesgue e [a, + y a f(x dx M para todo b a, [a,+ f = + a f(xdx. Si existe M > tal que E efecto, de las hipótesis se deduce que f L[a, b] y [a,b] f = b f(xdx para todo b a. Por a lo tato f M para todo b a. [a,b] plicado C2 se deduce que f es itegrable Lebesgue e [a, + y [a,+ f = f = b + [a,b] b + b a f(xdx = + a f(xdx álisis de Varias Variables (Itegració Múltiple

11 práctica 2: Itegral de Lebesgue. Teoremas de covergecia. Coexio co la itegral de Riema Como cosecuecia del criterio aterior se tiee que toda fució f itegrable Lebesgue e [a, + es itegrable Riema impropia e [a, +. E efecto, dada f : [a, + R tal que f R[a, b] para todo b a, se tiee que b a f(x dx = [a,b] f [a,+ f = M El recíproco es cierto si la fució es positiva, pero e geeral o lo es como lo prueba el siguiete ejemplo. Ejemplo 2.7 E la práctica se ha visto que existe la itegral de Riema impropia de la fució f(x = se x x, x >, f( = e [, +. Si embargo f o es itegrable Lebesgue e [, + [, pues si lo fuera tambié lo sería f y etoces, para cada k N, de dode kπ (k π kπ se x x dx kπ se x dx = 2 kπ (k π kπ se x x dx 2 π ( k lo que cotradice la itegrabilidad de f por la o acotació de la sucesió kπ 5.2 (C4 se x x Sea f : [a, + R tal que f L(a, b para todo b a. Si existe g L(a, + tal que f g etoces f L(a, +. Cosecuecia de C2 ya que f g g para todo b a. 5.3 (C5 [a,b] [a,b] [a,+ ] dx. Sea f : [a, + R tal que f L(a, b para todo b a. Si existe h L(a, + tal que etoces f L(a, +. E efecto, por hipótesis existe α > a tal que f(x x + h(x =, f(x h(x para todo x α, luego fχ [α,+ gχ [α,+ pero puesto que g es itegrable e [a, +, tambie lo es e [α, + y aplicado C3 resulta que f es itegrable e [α, +. Como, por hipótesis, f L(a, α, se tiee que f L(a, +. Ejemplo 2.8 Probemos que para todo y > la fució f(x = e x x y es itegrable Lebesgue e [, +. Por u ejemplo aterior sabemos que la fució e x 2 es itegrable e [, + y como e x x y x + e = x 2 x + e x 2 x y = álisis de Varias Variables (Itegració Múltiple

12 práctica 2: Itegral de Lebesgue. Teoremas de covergecia. Coexio co la itegral de Riema la tesis se sigue de C4. NOT: De los ejemplos ateriores se deduce que para cada y > la fució f(x = e x x y es itegrable Lebesgue e [, +. Se llama fució Gamma a la fució Γ :], + [ R defiida por PROBLEMS PROPUESTOS: Γ(y = + e x x y dx. Ejercicio 2.8 E cada uo de los siguietes apartados ecotrar el cojuto de putos x [, ] tales que la sucesió ( f (x = coverge. Se cumple que f (c.p.p.? Se cumple que f? (a f (x = 2 2 xe 2 x 2 { se πx, si x Q; (b f (x = {, resto., si x [, /]; (c f (x =, resto. (d f (x = { k cos 2k (!πx, si x = r, r (e f (x = 2,..., r ; dode (r, resto; = es ua eumeració de Q. { /q, si x = p (f f (x = q, p Z, q N, q ;, resto. Ejercicio 2.9 Probar que la fució f(x = x p, itegral. x > ; f( = es itegrable e [, ] si p >, y calcular su Ejercicio 2. Determiar la itegrabilidad de f(x = e x2 e [, + [. Ejercicio 2. Sea f(x = +x 2. Demostrar que es itegrable e R y calcular su itegral. Ejercicio 2.2 Discutir segú los valores de p la itegrabilidad de la fució f(x = se x x p e el itervalo [, + [. Para qué valores se cumple que existe x x se x x p dx? Ejercicio 2.3 Si f(x = x 2 se x 2, si < x ; f( = demostrar que su derivada o es itegrable. Ejercicio 2.4 Probar que la fució f(x = se x x 2, si x π ; f(x =, si x < π es itegrable e la recta real. Ejercicio 2.5 Demostrar que la fució f(x = +x, si x ; f(x = 2 x, si < x ; f(x =, si x, es itegrable y calcular su itegral. álisis de Varias Variables (Itegració Múltiple

13 práctica 2: Itegral de Lebesgue. Teoremas de covergecia. Coexio co la itegral de Riema2 Ejercicio 2.6 Comprobar que si I := [, + [, y f m (x = e mx 2e 2mx etoces se tiee Ejercicio 2.7 Calcular x x 2 e x cosxdx. f m ( f m. m= I I m= Ejercicio 2.8 Idem para Ejercicio 2.9 Idem para se(x/ x e x dx. se( π 2x 2 + x 2 dx. Ejercicio 2.2 (a Sea f m fucioes itegrables e R. Probar que si la serie + coverge (c.p.p. a ua fució f itegrable e R obteiedose f = + m= f m. m= fm coverge, la serie + m= f m (b partir del desarrollo de Taylor de log ( x obteer razoadamete la igualdad log dx =. x Ejercicio 2.2 {, si x = r, r Sea f : R R R defiidas por f (x, y = 2,..., r ;, resto; eumeració de Q. Demostrar que f. Ejercicio 2.22 Sea f : [, ] R defiidas por dode (r = es ua {, si x [j/2 f (x = k, (j + /2 k ] = 2 k + j, j =,,..., 2 k ; k =,, 2,..., resto. Es decir, f = χ [j/2 k,(j+/2 k ] dode = 2 k + j, j =,,..., 2 k ; k =,, 2,.... Las primeras fucioes de la sucesió so: f = χ [,], f 2 = χ [,/2], f 3 = χ [/2,], f 4 = χ [,/4], f 5 = χ [/4,/2],.... (a Por qué la sucesió ( f (x o coverge para igú x [, ]? = (b Demostrar { que la subsucesió defiida por, si x [(2 g (x = /2, ];, resto. coverge a (c.p.p. (c Comprobar que, a pesar de o poderse utilizar iguo de los teoremas de covergecia vistos, f =. álisis de Varias Variables (Itegració Múltiple

14 Curso 2/22 3 Práctica 3 Itegrales iteradas. Teorema de Fubii. Itegrales de fucioes de varias variables Teorema de Fubii para itegrales dobles Sea f ua fució itegrable Lebesgue e R 2. Etoces: (a La itegral f(x, ydy existe para casi todo x R, R (b La fució defiida casi por todas partes por F (x = f(x, ydy es itegrable Lebesgue e R, R (c f(x, ydxdy = R 2 R ( f(x, ydydx. R Existe ua formulació aáloga del teorema que se traduce e la igualdad f(x, ydxdy = R 2 f(x, ydxdy. R ( R Ejemplo 3. Probemos que la fució f(x, y := x y o es itegrable e = [, ] [, ]. (x + y 3 Si f es itegrable etoces, e virtud del teorema de Fubii, las dos itegrales iteradas de f debe coicidir, es decir, ( ( f(x, ydx dy = f(x, ydy dx. Pero ( (x y (x + y 3 dx dy = y procediedo similarmete Por tato f o es itegrable e. Ejemplo 3.2 Calculemos e x2 que la fució es itegrable. ( = = ( +y ( y (t 2y t 3 t + y t 2 t=+y t=y dt ( + y 2 dy = 2 (x y (x + y 3 dy dx = 2. dx siedo el triágulo de vértices (,, (,, (,, probado previamete La fució f(x, y = e x2 es itegrable e el cojuto porque f es cotiua y el cojuto es compacto. Puesto que = {(x, y : x, y } el teorema de Fubii permite calcular e x2 dx = ( x e x2 dy dx = dy dy xe x2 dx = (e. 2 Obsérvese que la otra itegral iterada o se puede calcular utilizado el teorema fudametal del cálculo por carecer la fució g(x = e x2 de primitiva elemetal. álisis de Varias Variables (Itegració Múltiple

15 práctica 3: Itegrales iteradas. Teorema de Fubii. Itegrales de fucioes de varias variables 4 Ejemplo 3.3 verigua si la fució f(x, y = xy es itegrable e el cojuto = [, ] [, ] y, e su caso, calcula la itegral. La fució f o está acotada e el cojuto ], ] ], ] y por tato o es posible razoar como e el ejercicio aterior para deducir que f es itegrable. plicaremos el teorema de la covergecia moótoa. Tomamos := [, ] [, ] y f := fχ. Puesto que f es cotiua e el itervalo compacto se sigue que f es itegrable y además, aplicado el teorema de Fubii, obteemos que f = ( 2 ( dx = 4 2 x Puesto que la sucesió (f es creciete y coverge c.p.p. a la fució fχ, el teorema de la covergecia moótoa permite cocluir que f es itegrable e y f = f = 4 Ejemplo 3.4 Calcular xe( + x + ydxdy, siedo := [, ] [, ] y dode E(t deota la parte etera de t, discutiedo previamete la itegrabilidad de la fució. Observamos que f está acotada e y los putos de discotiuidad de la fució f(x, y = xe(+x+y e esta coteidos e el cojuto {(x, y : x + y = }, que es ulo y por tato f es itegrable Lebesgue e (teorema de Lebesgue-Vitali. Para calcular la itegral descompoemos como = B C {(, }, siedo B := {(x, y : x + y < }, C := {(x, y D : x + y < 2}. Etoces la igualdad fχ = fχ B + fχ C secumple e todo R 2 excepto e el puto (, y por tato f(x, ydxdy = f(x, ydxdy + f(x, ydxdy Pero y tambié De dode B C B f(x, ydxdy = 5 6. C f(x, ydxdy = f(x, ydxdy = 2 Teorema de Toelli-Hobso C B xdxdy = 2xdxdy = x Sea f ua fució medible e R 2. Si existe la itegral iterada ( f(x, y dydx etoces f es itegrable Lebesgue. R R ( xdydx = 6 ( 2xdydx = 2 x 3. Ejemplo 3.5 veriguemos si la fució f(x, y = xy es itegrable e el cojuto = [, ] [, ] y, e su caso, calcula la itegral. Comprobaremos que f es itegrable aplicado el Teorema de Toelli-Hobso. La fució f es medible por ser cotiua c.p.p. demás, la fució de ua variable ϕ(t = es itegrable e el itervalo t álisis de Varias Variables (Itegració Múltiple

16 práctica 3: Itegrales iteradas. Teorema de Fubii. Itegrales de fucioes de varias variables 5 [, ] co itegral t dt = 2 y por tato existe la itegral iterada ( f(x, y dy ( dx = ( dx x dy = 4. y Queda probado que f es itegrable e y además el teorema de Fubii os permite cocluir EJERCICIOS PROPUESTOS: verigua si la fució f es itegrable e el cojuto y, e caso afirmativo, calcula la itegral correspodiete. p Ejercicio 3. f(x, y := e x+y ; = triágulo de vértices (,, (2, 2 y (4,. Ejercicio 3.2 f(x, y := se x x ; = regió del primer cuadrate ecerrada por su bisectriz y la parábola y = x 2. Ejercicio 3.3 f(x, y := y, 2 si < x y < ; f(x, y := x, 2 si < y < x <. Ejercicio 3.4 f(x, y := (x + y 2 e la parte del itervalo [, 2] [, 4] compredida etre las rectas y = x e y = 2x. Ejercicio 3.5 f(x, y := x+y e la parte del itervalo [, ] [, ] compredida etre las parábolas y = x 2 e y = 2x 2. Ejercicio 3.6 f(x, y = cos(x + y ; := [, π] [, π]. Ejercicio 3.7 f(x, y = xye(y 2 x ; := [, ] [, 2]. Ejercicio 3.8 f(x, y, z = (x + y + z 3 ; := {(x, y, z R 3 : x + y + z ; x, y, z }. Ejercicio 3.9 f(x, y = e x+y ; := {(x, y R 2 : x + y }. Ejercicio 3. f(x, y = xy se(x 2 + y 2 ; := [, π] [, 2π]. Ejercicio 3. f(x, y = max(y, x 2 ; := [, ] [, ]. Ejercicio 3.2 f(x, y = x α y β ; := [, ] [, ]. Ejercicio 3.3 f(x, y = e xy ; := {(x, y : x, xy 2}. Ejercicio 3.4 f(x, y = e xy 2e 2xy ; := [, ] [, [. Ejercicio 3.5 verigua si f(x, y = xye (x2 +y 2 es itegrable e el cojuto descrito por las desigualdades x 2y. f(x, ydxdy = 4. álisis de Varias Variables (Itegració Múltiple

17 Curso 2/22 6 Práctica 4 Cambios de variable. Cálculo de Áreas y Volúmees Fórmula de cambio de variables Sea D u subcojuto abierto de R, T ua trasformació de coordeadas e D y K u subcojuto medible de D. Sea f ua fució real defiida e la image K = T (K y supogamos que existe la itegral de Lebesgue f(t (y J T (y dy. Etoces tambié existe la itegral de Lebesgue K f(xdx y se tiee K f(xdx = K K f(t (y J T (y dy. Ejemplo 4. Vamos a calcular R 2 e x2 y 2 dxdy. Como cosecuecia tedremos que e x2 dx = π. Sea D :=], [ ], 2π[ y T : D R 2 el cambio a coordeadas polares T (ρ, θ := (ρcosθ, ρseθ. Etoces D = T (D = R 2 \ [, [, J T (ρ, θ = ρ y la fució g(ρ, θ := f(ρcosθ, ρseθ J T (ρ, θ viee dada por g(ρ, θ = ρe ρ2. La fució g es medible e el rectágulo D por ser cotiua y además 2π ( g(ρ, θ dρdθ = 2π ρe ρ2 dρ = π. Por aplicació de los teoremas de Toelli-Hobso y R Fubii cocluimos que g es itegrable e D y además g(ρ, θdρdθ = π. Por la fórmula de cambio D de variables se sigue que f es itegrable e D y f(x, ydxdy = π. Puesto que fχ D = f c.p.p. D cocluimos que f es itegrable e R 2 y f(x, ydxdy = π. Por último, se sigue del teorema de R 2 Fubii que f(x, ydxdy = ( e x2 dx 2. R 2 E el problema aterior, la fórmula de cambio de variables permite trasformar ua fució difícil de itegrar e otra más secilla. E el ejemplo siguiete lo que se pretede modificar es el recito de itegració. Ejemplo 4.2 Calculemos x2 y 2 dxdy, siedo la regió acotada del primer cuadrate limitada por las hipérbolas xy =, xy = 2 y las rectas y = x, y = 4x. := {(x, y R 2 : x >, y >, xy 2, x y 4x}. Itegraremos mediate el cambio de variables { xy = u y x = v Co más precisió, sea D :=], [ ], [ y R : D R 2 la trasformació de coordeadas R(x, y = (xy, y x. Se comprueba fácilmete que R(D = D. Poemos T := R, que es tambié ua trasformació de coordeadas. Deotamos R(x, y = (u, v, T (u, v = (x, y. Sea B = {(u, v R 2 : u álisis de Varias Variables (Itegració Múltiple

18 práctica 4: Cambios de variable. Cálculo de Áreas y Volúmees 7 2, v 4} de modo que T (B =. Puesto que J R (x, y = 2 y se sigue del teorema de derivació x de fucioes iversas que J T (u, v =. Etoces, por la fórmula de cambio de variables obteemos 2v x 2 y 2 u 2 dxdy = 2v dudv. Esta última itegral se resuelve fácilmete como aplicació del teorema de Fubii. Ejemplo 4.3 Comprobemos que la fució f(x, y = x y es itegrable e el triágulo de vértices (,, (,, (, (x + y 2 y calculemos la itegral correspodiete. La fució f o está acotada e. Para deducir la itegrabilidad de f utilizaremos el criterio de comparació y co el objeto de mayorar la fució pasamos a coordeadas polares, obteiedo La fució g(x, y = f(x, y = cosθ seθ ρ cosθ + seθ 2 ρ = x2 + y. 2 x2 + y 2 B es itegrable e el disco uidad D (lo que se comprueba efectuado u cambio a coordeadas polares! y puesto que fχ es medible y fχ gχ D se cocluye que f es itegrable e el cojuto. Para calcular la itegral efectuamos el cambio de variables { x + y = u x y = v Es decir, cosideramos la trasformació de coordeadas T (u, v = ( u + v, u v y,teiedo e 2 2 cueta que = T (B siedo B := {(u, v : u, u v u} y el jacobiao de la trasformació vale JT (u, v = se obtiee 2 f(x, ydxdy = PROBLEMS PROPUESTOS: Ejercicio 4. Calcular B v 2u 2 =. log(x 2 + y 2 dxdy siedo la regió e el primer cuadrate compredida etre las circuferecias x 2 + y 2 = a 2, x 2 + y 2 = b 2 ( < a < b. Ejercicio 4.2 Calcula Ejercicio 4.3 xdxdy, := {(x, y R 2 : x 2 + y 2 2x}. Calcula, mediate cambio a coordeadas esféricas (x 2 + y 2 + z 2 dxdydz, siedo la bola uidad e R 3. álisis de Varias Variables (Itegració Múltiple

19 práctica 4: Cambios de variable. Cálculo de Áreas y Volúmees 8 Ejercicio 4.4 Discute la itegrabilidad de f(x, y, z = Ejercicio 4.5 Calcular (x 2 + y 2 + z 2 e la bola uidad segú los valores de α. α (x 2 + 3y 2 (x 2 + y 2 4xy 2 dxdy, siedo el recito compredido etre las curvas x 2 +y 2 4x =, x 2 + y 2 2x =, y = x 2, y = x2 2. Ejercicio x 3 dxdydz, siedo la regió e R 3 descrita por las desigualdades x 2 2y 4x 2, x y 2 z 3y 2, xy 2. Ejercicio 4.7 Ejercicio 4.8 R (x 2 + y dxdy. 2 Calcular polares es ρ = + cosθ. Ejercicio 4.9 Ejercicio 4. xdxdy siedo el recito limitado por ua curva cuya ecuació e coordeadas xy dxdy, := {(x, y R2 : x 3 y 3 x 3, x y3 3x, y }. Calcular (x 2 + y 2 2 dxdy, siedo el recito compredido etre las 4 curvas x2 +y 2 6x =, x 2 + y 2 8x =, x 2 + y 2 4y =, x 2 + y 2 2y =. Ejercicio 4. Calcula (x 2 + y 2 + z 2 dxdydz, siedo := {(x, y, z R 3 : x2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 }. Ejercicio 4.2 Estudia la itegrabilidad de f(x, y = e x y x+y cumple x + y. e el cojuto de putos del primer cuadrate que álisis de Varias Variables (Itegració Múltiple

20 práctica 4: Cambios de variable. Cálculo de Áreas y Volúmees 9 2 Cálculo de áreas y volúmees Dado u subcojuto medible de R 2 se defie su área como rea( = dxdy, que será fiita supoiedo que la fució característica χ de sea itegrable Lebesgue e R 2. álogamete el volume de u subcojuto medible de R 3 viee dado por V olume( = dxdydz. Si es la regió limitada superiormete por ua superficie de ecuació z = f(x, y e iferiormete por ua regió del plao XY, es decir, = {(x, y, z R 3 : (x, y D, z f(x, y} siedo D u subcojuto medible de R 2 y f ua fució positiva e itegrable Lebesgue e D etoces, el teorema de Fubii permite cocluir que V olume( = f(x, ydxdy. Dado u subcojuto medible y co volume fiito de R 3 deotamos por z la secció z := {(x, y R 2 : (x, y, z }. Se sigue del teorema de Fubii que z es medible e R 2 para casi todo z R y se cumple V olume( = rea( z dz. La fórmula aterior expresa el pricipio de Cavalieri, segú el cual el volume de u sólido queda determiado si se cooce el área de toda secció trasversal plaa que sea perpedicular a ua recta defiida (e este caso el eje Z. Ejemplo 4.4 Hallemos el volume del sólido limitado superiormete por la superficie esférica x 2 + y 2 + z 2 = 4, iferiormete por el plao XY y lateralmete por el cilidro x 2 + y 2 =. Sea D := {(x, y R 2 : x 2 + y 2 } y f(x, y = (4 x 2 y 2 2. El volume pedido viee dado por f(x, ydxdy. D Ejemplo 4.5 Calculemos el volume de la regió compredida etre los dos cilidros perpediculares etre sí x y2 x2 =, z2 9 =. := {(x, y, z R 3 : x2 4 + y2 9 R D, x2 4 + z2 9 }. Para cada x [ 2, 2] la secció x := {(y, z R 2 : (x, y, z } viee dada por x = [ f(x, f(x] [ f(x, f(x], siedo f(x = 3( x Por otra parte x = si x > 2. Por el pricipio de Cavalieri V olume( = PROBLEMS PROPUESTOS: 2 2 rea( x dx = 2 2 4(f(x 2 dx. Ejercicio 4.3 Hallar el área de la regió limitada por las rectas y = x, y = 4x, x + 4y =, x + 4y = 4. Ejercicio 4.4 Hallar el área limitada por u bucle de lemiscata de ecuació (e coordeadas polares ρ 2 = a 2 cos2θ. álisis de Varias Variables (Itegració Múltiple

21 práctica 4: Cambios de variable. Cálculo de Áreas y Volúmees 2 Ejercicio 4.5 Hallar el volume del sólido descrito por las desigualdades x 2 + y 2 + z 2 a 2, x 2 + y 2 ay. Este es el volume iterceptado e u cilidro de radio R = a 2 por ua esfera de radio doble cuyo cetro está e la superficie del cilidro (problema de la bóveda de Viviai. Ejercicio 4.6 Calcular el volume del sólido limitado por el elipsoide x2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 =. Ejercicio 4.7 través de ua esfera de radio 2 se perfora u túel cil!drico de diametro. Supoiedo que el eje del cilidro pase por el cetro de la esfera, hallar el volume del sólido que queda. Ejercicio 4.8 Calcular el volume del toro obteido por rotació alrededor del eje Z, de la circuferecia (e el plao YZ z 2 + (y a 2 = b 2 ( < a < b. Ejercicio 4.9 Hallar el volume del sólido limitado superiormete por la superficie de ecuació z = x 3 y e iferiormete por el triágulo de vértices (,, (2,, (,. Ejercicio 4.2 Ecotrar el volume de la meor de las dos porcioes e las que ua esfera de radio r es dividida por u plao cuya distacia al cetro es h (h < r. Ejercicio 4.2 Calcular el volume del sector esférico de la esfera de radio cuyo coo forma e el vértice u águlo que mide π 6. Ejercicio 4.22 Calcula el volume del sólido descrito por la desigualdad x y z 2 3 a 2 3. álisis de Varias Variables (Itegració Múltiple