CAPITULO SEIS PROBABILIDAD

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1 CAPITULO SEIS PROBABILIDAD E la toma de decsoes para cosegur u objetvo o sempre se cosgue u resultado E la actvdad dara alcazar ua meta va acompañado de u resgo El resgo tee varas formas de epresó Ua de ellas es, que el esfuerzo que se realce puede ser vao Otra que el esfuerzo pueda coducr, por descoocmeto de los dferetes mpactos, a u resultado adverso Ua forma de medr el resgo es a través del estudo de las probabldades Por ejemplo, se desea ua catdad de dero para stalar ua clíca para pacetes que sufre de problemas reales y por cada 000 uevos soles que se gaste se gaará 300 uevos soles al año La preguta ecesara, es que ta probable es que se gae los 300 uevos soles Aalcemos este tema DEFINICIÓN La probabldad puede descrbrse como la ceca de formular aseveracoes acerca de lo que ocurrrá cuado se tome muestras de poblacoes coocdas El empleo de la probabldad permte a que toma decsoes, aalzar los resgos y mmzar el azar herete, co formacó lmtada, por ejemplo, al lazar u uevo producto o aceptar u embarque recé llegado que cotega partes defectuosas Ua probabldad es u valor que está etre 0 y que represeta la posbldad de lo que sucederá e u eveto e partcular EXPERIMENTO: Observacó de algua actvdad o la accó de efectuar ua medcó EXPERIMENTO ALEATORIO (ε) Es aquel que, al ser observado o se puede predecr co eacttud cuál será el resultado de la observacó y puede dvdrse e dos clases: determístco y o determístco Se dce determístco cuado los resultados del epermeto está completamete determados y puede descrbrse medate ua fórmula matemátca, metras el o determístco o puede predecrse co eacttud ates de realzar el epermeto RESULTADO: U acotecmeto fal de u epermeto EVENTO: Cojuto de uo o más resultados de u epermeto Ejemplo: Epermeto: lazar dos dados y observar lo que cae Resultados posbles: (,),(,),(,3),(,4),(,5),(,6) (,),(,),(,3),(,4),(,5),(,6) (3,),(3,),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,),(4,),(4,3),(4,4),(4,5(,(4,6) (5,),(5,),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,),(6,),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6) Mag RENAN QUISPE LLANOS Pág 79

2 Sea los evetos: A: El úmero del segudo dado sea par B: El úmero del prmer dado sea mayor que el del segudo ENFOQUES DE LA PROBABILIDAD So la Objetva y Subjetva La probabldad objetva puede subdvdrse e: probabldad clásca o a pror, probabldad como frecueca relatva o probabldad a posteror DEFINICION CLASICA DE PROBABILIDAD La defcó clásca se basa e el supuesto de que todos los resultados posbles de u epermeto aleatoro so gualmete probables, es decr, cada uo de los elemetos del espaco muestral tee la msma probabldad de ocurreca Además sostee que so mutuamete ecluyetes, es decr, que o so comues e resultado, debdo a que o puede aparecer más de u par e forma smultáea, y s A de estos resultados tee u atrbuto A, la probabldad de A es la proporcó de A co respecto a (total de resultados posbles) Se puede represetar medate la sguete fórmula: Probabld ad de u eveto Número de resultados favorables Número total de observacoes Ejemplo: Ua lotería costa de 000 blletes U bllete se prema S/ 0000, 4 blletes de S/ 5000, 0 blletes de S/ 000, 0 blletes de S/ 000, 65 blletes co S/ 500 y 400 blletes co S/ 00 cada uo Los demás blletes o se prema Se compra u bllete, Cuál es la probabldad de gaar por lo meos S/ 000? Solucó: El epermeto aleatoro es elegr u bllete S {B,B,,B 000 }, dode B represeta el bllete úmero # total de observacoes (S) 000 Sea el eveto A: gaar por lo meos S/ 000 Gaar al meos S/ 000, sgfca que se puede gaar S/000, ó S/000 ó S/ 5000 ó S/0000 Es decr: (A) (A) 35 P(A) (S) 000 La probabldad de gaar más de S/ 000 es Ejemplo: Las estmacoes poblacoales del INEI para el año 000 determaro que la poblacó peruaa era de 5 66,690, de los cuales acero e el departameto de Lma Calcular la probabldad de que ua persoa que emgre al eteror acó e Lma Solucó: El epermeto aleatoro es persoa que emgre al eteror S {P, P,, P 5` 66,690 }, dode P represeta la Persoa # Total de observacoes (S) 5 66,690 Sea el eveto A: Persoa que emgre al eteror acó e Lma Mag RENAN QUISPE LLANOS Pág 80

3 (A) ( total de persoas que acero e Lma) (A) 7'466,90 P(A) 09 (S) 5'66,690 Luego, la probabldad de que la persoa que emgre al eteror sea del departameto de Lma, para el año 000, es de 09 DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD COMO FRECUENCIA RELATIVA S u epermeto se repte veces bajo las msmas codcoes y B de los resultados so favorables a u atrbuto B, el límte de B coforme se vuelve grade, se defe como la probabldad del atrbuto B Por ejemplo, e ua fábrca mayormete se observa productos de mejor caldad metras que los productos defectuosos se observa muy pocas veces, etoces la probabldad de defectuosos se determará e proporcó al total de artículos producdos e dcha fábrca E térmos de fórmula: Número de veces que el eveto ocurró e el Probabld ad de que suceda u eveto Número total de observacoes pasado Ejemplo: Ua muestra aleatora de 0 fábrcas que emplea u total de 0,000 persoas, demostró que ocurrero 500 accdetes de trabajo durate u período recete de meses Hallar la probabldad de u accdete de trabajo e ua dustra determada Solucó: N 0,000 persoas que equvale al úmero de veces que se repte el epermeto Sea el eveto A: u persoa que sufró u accdete de trabajo e la dustra determada Etoces (A) 500 y (A) 500 P(A) 005 0,000 Por defcó de frecueca relatva, ya que este valor de la probabldad, se basa e ua muestra, por la tato es ua estmacó del valor real descoocdo Observe, aquí se supoe mplíctamete que las formas de segurdad o ha cambado desde que se realzó el muestreo La probabldad que ua persoa sufra u accdete de trabajo, e el año, e la dustra, es 005 S se etrevsta a 00 persoas e forma aleatora es probable que 5 sufrero u accdete de trabajo Ejemplo: Segú la ecuesta de hogares de Lma Metropoltaa del año 000 se ha obtedo el sguete resultado E 3 meses de observacó a ua muestra de 6,684 persoas etrevstadas, 4,955 sufrero ua efermedad o accdete Hallar la probabldad de elegr ua persoa haya sufrdo ua efermedad o accdete Mag RENAN QUISPE LLANOS Pág 8

4 Solucó: N 6,684, úmero de persoas etrevstadas Sea el eveto A: elegr ua persoa que halla sufrdo ua efermedad o accdete (A) 4,955 (total de persoas que sufrero algua efermedad o accdete e la muestra) (A) 4,955 P(A) 097 (S) 6,684 La probabldad de elegr ua persoa que haya sufrdo algua efermedad o accdete es de PROBABILIDAD SUBJETIVA Ua probabldad subjetva se basa e cualquer formacó dspoble Se aplca sólo cuado o este sufcete formacó para que sea utlzable otro método Ejemplo: La posbldad de que u alumo obtega ua calfcacó de 0 e el curso de estadístca 3 DEFINICION AXIOMATICA DE PROBABILIDAD ESPACIO MUESTRAL (Ω) Es el cojuto de todos los posbles resultados de u epermeto aleatoro y podemos descrbrlos co precsó, puede ser fto, fto umerable o fto o umerable Espaco Muestral Fto Se dce que u espaco muestral es fto cuado el resultado de u epermeto aleatoro es cotable, es decr, fto Ejemplo: El úmero de persoal admstratvo cotratado e u hosptal para 999 costtuye u espaco muestral fto, dado que el úmero uca ecederá a la catdad programada para este año Ejemplo: Sea: ε : la produccó de u artículo por ua determada máqua Ω {bueo, defectuoso} Sea: ε : el crecmeto de u ño y aotar su seo Ω {varó, mujer} Sea: ε 3: la eleccó de u cudadao y aotar su grado de struccó Ω 3 {prmara, secudara superor} Sea: ε 4 : Lazameto de u dado sobre ua superfce lsa y observar el úmero que aparece e la cara superor Ω 4 {,, 3, 4, 5, 6} Mag RENAN QUISPE LLANOS Pág 8

5 Sea: ε 5 : se lazo ua moeda 3 veces y se cueta el # de caras Ω 5 {0,,, 3} Sea ε 6 : se laza u dado hasta obteer por prmera vez el 6 Ω 6 {E, E E, E E E, E E E E,} Dode: E: Sale 6 e u tro del dado E : No sale 6 e u tro del dado Sea ε 7 : medr la ressteca a la tesó de ua barra de acero Ω 7 {s / s 0} Segú su aturaleza u espaco muestral puede ser umérco (como: Ω 4, Ω 5, Ω 7 ) o o umérco (como: Ω, Ω, Ω 3 ) Segú el úmero de elemetos, puede ser fto (como: Ω, Ω, Ω 3, Ω 4, Ω 5 ) Ifto umerable (como: Ω 6 ) e fto o umerable (como: Ω 7 ) 4 REGLAS BASICAS DE PROBABILIDAD 4 REGLA DE ADICION Para aplcar la regla especal de adcó, los evetos debe ser mutuamete ecluyetes Esta regla se epresa co la fórmula sguete: P (A B) P(A) + P(B) Ejemplo: E el cuadro sguete, se tee formacó acerca de la poblacó de mujeres e edad fértl para el año 000 S se escoge a ua mujer para ser cesada, hallar la probabldad de que ua mujer se ecuetre e el grupo de 5 a 9 años de edad o e el grupo de 35 a 39 años de edad PERÚ: MUJERES EN EDAD FÉRTIL- 000 Grupos de Edad Mujeres 000 Probabldad de que ua mujer se ecuetre e u grupo de edad TOTAL 6,874, ,33, ,68, ,6, , , , , FUENTE: INEI-Perú: Estmacoes y Proyeccoes de la Poblacó por Años Caledaros Mag RENAN QUISPE LLANOS Pág 83

6 Solucó: # Total de observacoes: (s) 6 874,93, total de mujeres e edad fértl Sea el eveto A: la mujer seleccoada tega etre 5 y 9 años de edad Sea el eveto B: la mujer seleccoada tega etre 35 y 39 años de edad Sea el eveto A U B: la mujer seleccoada se ecuetre e el grupo de 5 a 9 años de edad o e el de 35 a 39 años de edad Como se puede observar, se trata de evetos mutuamete ecluyetes Por ello se usará la sguete fórmula P ( A B ) P ( A ) + P ( B ) Reemplazado datos: '33, , 97 P ( A B ) '874,93 6 '874, La probabldad de que al escoger a ua mujer e edad fértl para ser cesada, se ecuetre e el grupo de 5-9 años de edad o e el de 35-39, es 039 La terpretacó e térmos de la frecueca relatva es: De cada 00 mujeres e edad fértl, 3 se ecuetra e el grupo de 5 a 9 años de edad o e el de 35 a 39 años de edad REGLA GENERAL DE LA ADICIÓN La regla geeral de la adcó se utlza para combar evetos que o so mutuamete ecluyetes: P(A B) P(A) + P(B) P(A B) Ejemplo: E el sguete cuadro se preseta datos para el año 000, se cueta co las probabldades referdas a los dsttos veles de pobreza S elge ua persoa al azar, calcular la probabldad de que esa persoa tega u greso que se ecuetra por debajo de la líea de pobreza o que tega al meos ua ecesdad básca satsfecha INDICADORES DE NBI: Co vvedas de característcas físcas adecuadas (estera, qucha, madera, pso de terra, mprovsada, etc) Co vvedas hacadas (más de 3 por habtacó) S servcos hgécos Co ños que o asste a la escuela Co alta depedeca ecoómca (jefe del hogar co º de prmara y 3 persoas por ocupado) Mag RENAN QUISPE LLANOS Pág 84

7 NIVELES DE POBREZA, 000 ABSOLUTO Poblacó total 5,66,690 PROBABILIDAD Poblacó o pobre P co gresos meores a la líea de pobreza,958,347 9,700, P co al meos ua ecesdad básca satsfecha (NBI) 0,033,7 039 P co gresos meores a la líea de pobreza y co al meos ua NBI 6,030, Solucó: # Total de observacoes: (s) 5 66,690, total de la poblacó Sea el eveto A: la persoa se ecuetre por debajo de la líea de pobreza Sea el eveto B: la persoa se ecuetre co al meos ua ecesdad básca satsfecha Sea el eveto ( A I B) : persoa se ecuetre por debajo de la líea de pobreza y que tega ecesdades báscas satsfechas Como se puede observar, se trata de evetos que o so mutuamete ecluyetes Por ello se usará la sguete fórmula P(A B) P(A) + P(B) P(A B) Reemplazado se tee: 9,700,9 0,033,7 6,030,497 P (A B) '66,690 5'66,690 5'66,690 De cada 00 persoas e el país para el año 000, 53 persoas era pobres porque teía ua ecesdad básca satsfecha o porque teía u greso muy bajo E térmos de probabldades sgfca que: _ la probabldad de que ua persoa percba gresos muy bajos o que tega por lo meos ua ecesdad básca satsfecha es 0534 La regla del complemeto srve para determar la probabldad de que ocurra u acotecmeto, restado del úmero uo, la probabldad de que o suceda el acotecmeto: Ω P { A, A, KA } ó Ω { A, A' } ( Ω) P( A) + P( A' ) P ( A ) P ( A ') Mag RENAN QUISPE LLANOS Pág 85

8 Ejemplo: E la sguete tabla se muestra la poblacó urbaa y rural La probabldad de que ua persoa vva e el área urbaa es de 073 A partr de este dato calcular la probabldad de que ua persoa vva e el área rural PERÚ: POBLACION URBANA-RURAL,000 ABSOLUTO PROBABILIDAD Perú 5,66,690 Urbaa 8,553, Rural 7,08,88 Solucó: # Total de observacoes: (s) 5 66,690, total de la poblacó Sea el eveto A: la persoa vva e el área rural Sea el eveto A : la persoa o vva e el área rural, es decr que vva e el área urbaa Teemos etoces 8,553,40 P (A ) P(A' ) ,66,690 La probabldad de que ua persoa resda e el área rural es de 077 Por cada 00 peruaos 7 resde e el área rural Probabldad cojuta: Probabldad que mde la posbldad de que dos o más evetos ocurra e forma smultáea 4 INDEPENDENCIA DE EVENTOS Dos o más evetos so depedetes cuado la ocurreca de uo o tee efecto e la probabldad de ocurreca de cualquer otro 43 REGLA DE MULTIPLICACION Se usa para combar evetos La regla especal de multplcacó requere que los dos evetos A y B sea depedetes Se epresa de la forma sguete: P (A B) P(A)* P(B) REGLA GENERAL DE LA MULTIPLICACION (Teorema) Se utlza para determar la probabldad cojuta formada por todos los resultados comues tato e A como e B que ocurre al msmo tempo, los cuales se asume como evetos o depedetes y se deota por P( AI B) P( B / A) P( A) Este teorema permte clur cualquer úmero de evetos que se ecuetra e el espaco muestral 5 PROBABILIDAD CONDICIONAL Es la probabldad de que ocurra u eveto partcular, dado que ocurró otro eveto Es la dfereca que este etre elegr al azar u artículo de u lote co o s susttucó Mag RENAN QUISPE LLANOS Pág 86

9 Ejemplo: cuado se elge u tpo de producto e u lote dode este productos saos y defectuosos La probabldad codcoal de obteer u producto defectuoso (B) dado que e el lote por lo geeral este productos saos (A), se deota así: P (B/A) B: El producto seleccoado sea defectuoso A: El producto seleccoado sea o defectuoso o sao P(B / A) P(A B) P(A) Ejemplo: La poblacó ecoómcamete actva PEA (5 y más años) del Perú, para el año 000 es de 0 387,5 persoas, de los cuales 3 748,36 so mujeres y 866,953 resde e el área urbaa Calcular la probabldad de que se escoja a ua persoa de la PEA que resda e el área urbaa, dado que la persoa escogda fue PEA mujer Solucó: Se trata de calcular ua probabldad codcoal La poblacó ecoómcamete actva es de: 0 387,5 La poblacó femea ecoómcamete actva es de: 3 748,36 (A) La poblacó femea ecoómcamete actva del área urbaa es de: 866,953 Sea A: La persoa escogda sea mujer de 5 y más años B: La persoa escogda sea mujer del área urbaa (A) 3748,36 0'387,5 La probabldad que la PEA sea mujer es: P (A) 0 36 A B: La persoa escogda sea mujer de 5 y más años y que perteezca al área urbaa La probabldad de (A B) P (A B) '866,953 0'387,5 Dado que ha sdo PEA mujer la persoa elegda, la probabldad de que resda e el área urbaa es: '866,953 P(A B) 0'387,5 '866,953 P (B / A) 0765 P(A) 3'748,36 3'748,36 0'387,5 6 TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL Segú la teoría de la probabldad total, u eveto está e fucó de u cojuto de partcoes totalmete depedetes, por lo tato se puede decr que es la sumatora de todas las partcoes y se represeta así: A AIBUAIB U UAIBk Mag RENAN QUISPE LLANOS Pág 87

10 Lo mportate es que todos los evetos AIB,, AIBk so parejas mutuamete ecluyetes Por lo tato podemos aplcar la propedad adtva para este tpo de evetos P(A) P(A I B ) + P(A I B) + + P(A I B k ) S embargo cada térmo P( AI Bj) se puede epresar como P( A / Bj) P( Bj), co lo cual obteemos falmete el teorema de la probabldad total: P( A) P( A / B) P( B) + P( A / B) P( B ) + + P( A / Bk) P( Bk) 7 DIAGRAMA DE ARBOL (O ARBORIGRAMAS) Este dagrama es muy útl para represetar probabldades codcoales y cojutas U dagrama de árbol es partcularmete útl para aalzar decsoes de egocos, dode este varas etapas para el problema Ejemplo: EFICIENCIA Y AÑOS DE SERVICIOS DEL PERSONAL DE LA EMPRESA POLYSISTEMAS AÑOS DE SERVICIO EFICIENCIA Meos de año a 5 años 6 a 0 años Más de 0 años TOTAL DEMOSTRADA NO DEMOSTRADA Mag RENAN QUISPE LLANOS Pág 88

11 Dagrama de árbol que dca la efceca y los años de servco Efceca Servco Probabldades codcoales 5/60 Meos de u año Probabldades cojutas 60/00*5/ /60-5 años 60/00*5/6005 Demostrada 60/00*5/ /00 60/00*35/ /40 Meos de u año 40/00*5/4005 5/40-5 años 40/00*5/ / años 40/00*0/4000 0/40 Más de0 años 40/00*0/4000 Mag RENAN QUISPE LLANOS Pág 89

12 EJERCICIOS - Cuál es la dfereca etre u epermeto y u eveto? Epermeto: observacó de los resultados de ua actvdad que se realza Resultado: acotecmeto fal de u epermeto - Es posble que ua probabldad asuma u valor de cero? S es posble, por ejemplo: la probabldad que u reloj marque la hora 5, la probabldad de que la terra se coverta e agua, la probabldad de que u pez came, etc Se sabe por regla geeral que 0 P() ; sedo u eveto cualquera 3- El drector geeral de ua clíca epresará mañaa a los accostas su cosderacó de que la clíca debe fusoarse co otra sttucó del msmo ramo Ha recbdo ses cartas acerca de esa cuestó y está teresado e el úmero de persoas que esté de 5/ años OTRO (58%) 40/00 No Demostrada acuerdo co él a Cuál es el epermeto? b Cuáles so alguos de los evetos posbles? c Eprese dos posbles resultado a) E: cartas de accostas que está de acuerdo co la fusó de la clíca co otra sttucó b) - De acuerdo u umero de 3 cartas - De acuerdo u umero de cartas - De acuerdo u umero mayor a 4 cartas c) - persoas de acuerdo co la fusó de la clíca - 3 persoas de acuerdo co la fusó de la clíca 4- Defa la epresó mutuamete ecluyete co sus propas palabras Se dce evetos mutuamete ecluyetes cuado dchos evetos o puede suceder e forma smultáea, es decr, la ocurreca de uo ecluye la ocurreca de otro Mag RENAN QUISPE LLANOS Pág 90

13 5- Segú el II Ceso de fraestructura Satara y Recursos del Sector Salud, e el Perú estía 9,658 médcos del Mstero de Salud, de los cuales 733 trabaja e el área rural E el departameto de Amazoas trabajaba 93 médcos, de los cuales 0 era del área rural Calcular la probabldad de elegr u médco que trabaje e el departameto de Amazoas y que sea del área rural Solucó: # total de observacoes: (s) 9,658 médcos # total de médcos rurales 733 médcos # total de médcos e el departameto de Amazoas Sea el eveto A: el médco trabaje e el departameto de Amazoas Sea el eveto B: el médco trabaje e el área rural Sea el eveto (A B): el médco trabaje e el departameto de Amazoas y que sea del área rural La eleccó de u médco que trabaje e el departameto de Amazoas es depedete de elegr u médco que trabaje e el área rural detro del departameto, etoces se aplca la sguete fórmula: 93 0 P ( A B ) P ( A ) P ( B ) * 9, De cada,000 médcos del Mstero de Salud trabajaba e el área rural del departameto de Amazoas La probabldad de que u médco esté e el departametote Amazoas y que trabaje e el área rural es U estudate está tomado dos cursos, estadístca y matemátca básca La probabldad de que sea aprobada e el curso de estadístca es 060, y que pase el curso de matemátca básca es 070 La probabldad de que apruebe e ambas es 050 Cuál es la probabldad de que pase por lo meos e ua? 7- Qué es ua tabla de cotgeca? Qué dca? Supoga que P(A)040 y P (B/A)030 Cuál es la probabldad cojuta de A y B? 9- U hosptal tee cuatro proveedores de matera prma E la tabla que sgue se muestra las catdades adqurdas de cada proveedor y el porcetaje de matera prma defectuosa que cada uo proporcoa Proveedor % Adqurdo % Defectuoso Martez Asocados Asmat Mgf Mlloes SA Garca Ltda El materal empleado esta mañaa resultó defectuoso Cuál es la probabldad de que se haya adqurdo de la compañía Asmat Mgf? 0 E el dagrama sguete se muestra alguos datos de la Ecuesta Nacoal de Hogares - IV trmestre 000, éstos está referdos al estado de salud de la poblacó Mag RENAN QUISPE LLANOS Pág 9

14 E base a estos datos, determar: a Calcular la probabldad de que ua persoa este saa b La probabldad de que ua persoa o buscó atecó s se sabe que sufró ua efermedad o accdete c Calcular la probabldad que ua persoa haya respoddo que o busco atecó debdo a que teía dfcultades ecoómcas y por que tuvo algú otro motvo d Se sabe que la probabldad de que ua persoa o accedó a u servco de Salud por que éste o queda cerca de su domclo es de 0049 calcular el total de persoas que o accedero a u servco de salud por este motvo, s se sabe que el total de razoes del por que o buscaro atecó sumaba 80 mles e La probabldad de que ua persoa eferma se atedera e u establecmeto de salud es Calcular la probabldad de que ua persoa se atedera e otro tpo de establecmeto Mag RENAN QUISPE LLANOS Pág 9

15 POBLACIÓN TOTAL (5,66 ml persoas) POBLACIÓN QUE SUFRIÓ ALGUNA ENFERMEDAD O ACCIDENTE (7,6 ml p) POBLACIÓN SANA (8,040 ml p) BUSCO ATENCIÓN (6,585) NO BUSCO ATENCIÓN (,037) ESTABLECIMIENTO SALUD (5,86) DE SE AUTORRECETO (56) OTRO TIPO DE ESTABLECIMIENTO (74) NO BUSCO ATENCIÓN (5) LUGARES DE CONSULTA (6,3) RAZONES POR QUE NO BUSCO ATENCIÓN (,80) Puesto, cetro de salud MINSA (308%) Dfcultades (53%) ecoómcas Hosptal MINSA (5%) Establecmeto de ESSALUD (%) Cosultoro médco partcular (76%) Clíca partcular (39%) Falta de credbldad e la medca (383%) No cosulto por que o fue ecesaro (07%) No este servco de salud cercao (49%) Farmaca botca (67%) Otros motvos (70%) Domclo del pacete (%) OTRO (58%) Mag RENAN QUISPE LLANOS Pág 93

16 Solucó: a Las observacoes totales (S) 5 66 (poblacó total) Sea el eveto A: escoger ua persoa saa (A) 8 04 (A) 8 '04 P(A) (S) 5 ' La probabldad de que se escoja a ua persoa saa es de 0703 Es decr que de cada 00 persoas, 70 persoas está saas b La poblacó total es 5 66 ml habtates Sea el eveto A: la persoa haya sufrdo u accdete (A) 7 6 Sea el eveto B: la persoa o buscó atecó (B) 037 Sea el eveto C: la persoa escogda o buscó atecó, dado que sufró ua efermedad o u accdete Sea A B : Sufre accdete y busca atecó (A) 76 P (A) 566 La probabldad que la persoa haya sufrdo u accdete: 0 97 (A B) 037 La probabldad: P (A B) La probabldad de que ua persoa o busco atecó médca, s se sabe que ésta sufró u accdete es: 037 P(A B) P (C) P(B / A) 036 P(A) La probabldad de que ua persoa o buscó atecó dada que tuvo algua efermedad o sufró u accdete es de 036 De cada 00 persoas que sufrero de algú accdete 3 o buscaro atecó médca c Del dagrama podemos ver el porcetaje de las razoes del por que las persoas o accedero a u servco de salud El total o suma 00% debdo a que alguas persoas más de ua respuesta S dvdmos las razoes e dos categorías, se tee: A: # de persoas que cotestaro teer dfcultades ecoómcas P(R) 0530 B: # de persoas que cotestaro teer otros motvos P(R) 0609 El total de persoas que o accedero a u servco de salud represeta el 00% (de los que sufrero ua efermedad o u accdete) Se trata de evetos que o so mutuamete ecluyetes; aplcado la propedad se tee: Mag RENAN QUISPE LLANOS Pág 94

17 P(A B) P(A) + P(B) P(A B) P(A B) P(A) + P(B) P(A B) Reemplazado datos, teemos: P (A B) P(A) + P(B) P(A B) La probabldad de que ua persoa respodera haber tedo más de u motvo para o buscar atecó es de 039 Segú estudos del Mstero de Salud, para el año 999 se reportaro 49,393 casos de Malara e el departameto de Loreto Los ños meores a año que sufrero de esta efermedad sumaba 67 casos y los 5 a 4 años de edad sumaba,763 casos Determar la probabldad de que u ño escogdo al azar tega Malara y que sea meor de u año o que tega etre 5 a 4 años de edad Segú la ecuesta Nacoal de Hogares ENAHO 99-IV Trmestre, para ua poblacó de 5 97,78 hogares, 3 57,9 estaba e el área urbaa Además se sabe que la probabldad de que ua casa sea depedete y que se ecuetre e el área urbaa es 08, la probabldad de que ua casa urbaa sea de vecdad es 0068 y para el caso del área rural se tee las probabldades de 09 y 00 respectvamete Calcular la probabldad de que el hogar ecuestado sea del área rural, dado que fue ua casa depedete EJERCICIOS APLICATIVOS AL TEMA DE LA MORTALIDAD La probabldad de morr (tasa bruta de mortaldad: d t ) para el año 999, fue de La poblacó total para ese msmo año ascedó a 5 3,6 Calcular el úmero de defucoes ocurrdas e ese año Sea P(A): Probabldad de morr : poblacó total 5 3,6 P(A) d 999 # Defucoes 5'3, # Defucoes 5'3,6 * ,500 Para el año 999 se regstraro 58,500 defucoes Para el año 997 se tee que el úmero de sobrevvetes de ua muestra que alcazaro los 5 años ascedó a 88,545 persoas, y el úmero de muertes etre los 5 y 30 años de edad es de,68 Hallar la probabldad de morr etre las 5 y 30 años de edad Sea: P(A): Probabldad de morr etre lo 5 y 30 años de edad ( 5 q 5 ) (A):,68 Mag RENAN QUISPE LLANOS Pág 95

18 : 88,545 Se parte del supuesto que las,68 defucoes correspodería a la poblacó de 88,545 Luego, la probabldad de morr de ua persoa de edad detro de los años sguetes, se calcula medate la sguete fórmula: q d l,68 P (A) ,545 Etoces, la probabldad de que ua persoa o llegue vva a los 30 años es Se sabe que la probabldad de sobrevvr hasta la edad eacta de 0 años es de 09978, y el úmero de ños que alcazaro la edad de 5 años fue de 9,049 Hallar el úmero de sobrevvetes a la edad de 0 años Lo que se desea calcular es de los 9,049 ños, cuatos llega a cumplr la edad de 0 años (sobrevvetes) Sea: P(A): Probabldad de sobrevvr hasta la edad eacta de 0 años de los sobrevvetes a la edad de 0 años (09978) ( 5 p 5 ) (A): ños que alcazaro la edad de 0 años : 9,049 La probabldad de sobrevvr a ua determada edad se calcula así: l + p l (A) P(A) ,049 (A) 09978* 9,049 9,0 Etoces el úmero de ños de 5 años (de ua muestra de 9,049) que alcaza vvos la edad de 0 años es de 9,0 4 Completar el sguete cuadro Dode: : represeta la edad eacta l(): umero de sobrevvetes que alcaza la edad eacta d(,): úmeros de muertes etre las edades y + años ( 5) q : probabldad de morr que tee ua persoa de edad detro de los años ( 5) p : probabldad de sobrevvr que tee ua persoa de edad eacta llegue a la edad + ( 5) Además se sabe que q(,) + p(,) Mag RENAN QUISPE LLANOS Pág 96

19 X l() d(,) q p 35 85,575, , , Coocdas las probabldades de morr etre las edades eactas de 65 a 70 años de edad es de 00463, y etre las edades de 75 a 80 años de edad es de 0795, calcular el úmero de sobrevvetes a la edad eacta de 80 años Se sabe que las defucoes regstradas etre las persoas que teía 70 años y que o llegaro a cumplr los 75 años ascedero a 7,8 6 El úmero de defucoes regstradas etre las edades de 5 a 9 años es 7, Además la poblacó etre los 0 y 4 años de edad es de 8,096 y las defucoes e esa edad suma 3,35 Hallar la probabldad de morr a la edad de 5 a 9 años o de 0 a 4 años de edad 7 Para el año 999, la probabldad de morr por causa matera e el departameto de Ucayal fue de Además, el total de mujeres e edad fértl e ese departameto co respecto al país es de 6% Sabedo que la poblacó peruaa de mujeres e edad fértl es de 86,868 mujeres, calcular el úmero de muertes debdo a ua causa matera 8 Para el año 000 se regstraro el acmeto de 607,800 ños La probabldad de muerte fatl (detro del prmer año de vda) es de 0039, además se sabe que la probabldad de morr detro de los 8 días o u mes de acdo es de 00 Hallar el úmero de acdos que sobrevvero al prmer año de vda 9 E el Perú para el año 996 se regstraro 6,97 muertes de ños meores a año El total de acmetos para ese año fue de 6,600 A partr de estos datos calcular la probabldad de que u ño o muera detro del prmer año de acdo 0 La probabldad de morr para el año 000 fue de y la poblacó estmada para ese msmo año fue de 5 66,690 Calcular el total de persoas que murero e ese año Mag RENAN QUISPE LLANOS Pág 97

20 CAPITULO SIETE TEOREMA DE BAYES E este caso s B, B,, B so evetos mutuamete ecluyetes de los cuales por lo meos uo debe ocurrr Y se deota de la sguete maera: P P( A/ B ) P( B ) j j ( Bj / A), j,, j P( A/ Bj) P( Bj) Ejemplo: E ua líea de produccó hay dos procesos, A y B E el proceso A hay u 0% de defectos y e B hay 5% E ua muestra de 300 productos hay 00 del proceso A y 00 del proceso B (a) S se etrae u producto al azar, hallar la probabldad que sea defectuoso (b) S al etraer el producto resultó defectuoso, halle la probabldad de que sea del proceso A Solucó: Sea los sguetes evetos: A: el producto es del proceso A B: el producto es del proceso B D: el producto es defectuoso D: el producto es o defectuoso Ω A U B Es decr, A y B forma ua partcó de Ω (a) Debemos calcular P[D] Este eveto se escrbe D AD U BD y por el teorema de probabldad total es: P[D] P[AD] + P[BD] P[A] P[D\A] + P[B]P[D\B] 65 (00) + (05) (b) Por el teorema de Bayes se tee: P[A\D] [ ] [ A] P[ D] P A P D\ (/3)(00 ) /300 Ejemplo: Segú u estudo realzado, para ua muestra de,357 persoas, se obtuvo los sguetes: las persoas que fuma era 350, las persoas que fuma y tee cácer pulmoar era 33 y las persoas que o fuma y tee cácer pulmoar era 3 Calcular la probabldad de que ua persoa fume s se sabe que tee cácer pulmoar Solucó: Se tee los sguetes datos: Mag RENAN QUISPE LLANOS Pág 98

21 El total de observacoes es,357 A: persoa fumadora (A) 350 B: persoa o fumadora (B) 7 Realzado el dagrama de árbol, teemos: 33/350 Tee Cácer 350/357 Fuma 7/357 No Fuma 70/350 No Tee Cácer 3/7 Tee Cácer 4/7 No Tee Cácer Lo que se desea calcular es la probabldad de que la persoa escogda sea fumadora, s se sabe que padece de cácer pulmoar Aplcado el teorema de Bayes, teemos: P(B / A) P(A / B j)p(b j) P(A / B j)p(b j) * * + * j j 095 La probabldad de que ua persoa sea fumadora, s se sabe que tee cácer pulmoar es 095 Ejercco : Se tee los sguetes datos: La poblacó peruaa e el año 000 ascedó a 5 66,690, la poblacó mascula ascedía a 76,385, por otro lado la PEA total era de 0 387,5 y la PEA femea era de 3 748,36 Cuál es la probabldad de que ua persoa escogda al azar sea varó, s se sabe que o perteece a la PEA? Aalzar el resultado APLICACION DE LAS PROBABILIDADES MEDIDA DE ASOCIACIÓN ENTRE EL FACTOR DE RIESGO Y LA MORTALIDAD INFANTIL La asocacó etre el factor de resgo y la varable depedete se mde a través del ODDS Rato, que es ua medda del grado de asocacó etre dos varables categórcas Detro de u modelo de regresó logístca dca el factor de resgo sempre que su valor sea mayor que Su cálculo se basa e la comparacó del producto de las frecuecas e la dagoal prcpal de ua tabla de doble etrada como la sguete: Mag RENAN QUISPE LLANOS Pág 99

22 Años de estudo (Categorzado) Mortaldad < 50% 000 > 50% ODDS RATIO (OR) (09)/ (56) 3 E este caso los años de estudo (meos de 5 años) ofrece u resgo 3 veces mayor respecto a la tasa de mortaldad mayor al 50% ANÁLISIS DE UN FACTOR DE RIESGO Ilustremos esto co u ejemplo, tomado el departameto de Huacavelca, que es uo de los que preseta mayor vel de mortaldad fatl Ua muestra hpotétca de dvduos estudada aalza el Factor de Resgo, vel de educacó de la madre y su efecto e la Mortaldad Ifatl El msmo, se recoge e ua tabla de la forma: A C B D Factor de Resgo (F) Mortaldad Ifatl (M) Sí No Sí No De esta observacó se deduce que este 75 casos de Mortaldad de ños meores de u año, (mortaldad fatl) por cada 380 dvduos que preseta el factor de resgo (ser aalfabeto), metras que este 4 casos de Mortaldad Ifatl por cada 60 dvduos que o lo preseta S estas frecuecas relatvas puede ser asmladas a probabldades por tratarse de ua gra muestra, la probabldad de morr de u ño meor de u año e u hogar, presetado el factor madre aalfabeta, será: 75 P (M / F) 380 0,97 Metras que la probabldad de serlo, o presetado el factor, será: Mag RENAN QUISPE LLANOS Pág 00

23 4 P 60 ( M F ) 0 0 Por cosguete, se puede decr que habrá más de ocho veces el úmero de casos de mortaldad fatl cuado este el factor de resgo, que cuado o Pues be, a esta relacó: P(M / F) 0, 97 RR P(M / F) 0, 0 Se deoma resgo relatvo (RR) del factor 895 APLICANDO EL ODDS RATIO EN EL EJEMPLO DE HUANCAVELICA E el caso del ejemplo de Huacavelca podemos obteer el ODDS Rato de la sguete forma: Co resgo, este 75 casos de mortaldad fatl por cada 305 ños que o fallece (75/3050,45 mortaldad / o mortaldad) S resgo, este 4 casos de mortaldad fatl por cada 606 ños que o fallece (4/6060,03) mortaldad/ o mortaldad) 75 / 305 Por tato, co resgo, habrá 4 / veces más ños muertos meores de u año, que s resgo Es decr, se observa que el ODDS Rato es ua razó de proporcoes de preseca de mortaldad fatl por o mortaldad fatl, etre los que preseta el factor y los que o lo preseta Puesto que gualmete puede epresarse e la forma (75 606)/ (4 305)064 la odds rato també se deoma razó de productos cruzados Otra forma de epresar el resgo relatvo y el Odds rato es co la sguete tabla: ANALFABETISMO (Preseta factor de resgo) Casos Mortaldad Ifatl 75 Casos de No Mortaldad Ifatl 305 Persoasaño Resgo 380 Tasa 000 Persoas-Año 097 (75/ 380) Resgo Relatvo ODDS RATIO ALFABETISMO (No preseta factor de resgo) Total (4 / 60) Referete Referete Mag RENAN QUISPE LLANOS Pág 0

24 097 represeta los casos de mortaldad fatl co respecto al aalfabetsmo 00 represeta los casos de mortaldad fatl co respecto al alfabetsmo E este cuadro el alfabetsmo se toma como base de comparacó, por eso se le deoma REFERENTE Es decr, se está comparado la mortaldad fatl cuado se preseta el factor de resgo (aalfabetsmo) respecto al alfabetsmo ALGUNOS PRINCIPIOS DE CONTEO Este tres reglas de coteo que so útles para determar el úmero total de modos o formas e que puede ocurrr evetos La regla de la multplcacó establece que s este m formas que u eveto pueda ocurrr, y formas e que otro pueda ocurrr, també estrá etoces m modos e el cual los dos evetos pueda suceder Ua permutacó es u arreglo e el cual el orde de los objetos es mportate 3 r Pr! ( r)! 3 Ua combacó es u arreglo dode el orde de los objetos o es mportate 3 r Cr r! r!( r)! DIFERENCIA ENTRE UNA PERMUTACION Y UNA COMBINACION E ua permutacó el orde de los objetos para cada posble resultado es dferete, metras e ua combacó o mporta el orde de los objetos VARIABLES ALEATORIA UNIDIMENSIONALES Habedo cosderado las dstrbucoes de frecuecas de cojutos de datos y los fudametos de la probabldad, ya podemos combar estas deas para elaborar Dstrbucoes de Probabldad, las cuales de asemeja a las dstrbucoes de frecuecas Mag RENAN QUISPE LLANOS Pág 0

25 relatvas La dfereca básca etre estos dos tpos de dstrbucoes es el uso de la varable aleatora La varable aleatora de ua dstrbucó de probabldad correspode a la varable respuesta de ua dstrbucó de frecuecas 3 QUÉ ES UNA DISTRIBUCION PROBABILISTICA? Es la eumeracó de todos los resultados de u epermeto juto co la probabldad asocada a cada uo 4 VARIABLE ALEATORIA Es u valor umérco determado por el resultado de u epermeto aleatoro al azar y puede tomar dsttos valores Sea ε u epermeto y sea Ω el espaco muestral asocado a él Ua fucó X que asga a cada puto muestral w es u úmero real X(w) y se llama varable aleatora Smbólcamete: X: Ω R X R, R X φ Ejemplos: - Sea la varable aleatora X el úmero de llamadas telefócas recbdas daramete por ua compañía, la cual puede tomar valores etre 0 y algú úmero grade - E u estudo sobre la composcó famlar, sea la va X el úmero de hjos por famla, la cual puede tomar valores etre 0 y 3- Al hacer dsparos a u blaco, sea la va X que dca el úmero de acertos E geeral os teresamos e los posbles valores de X Ejemplo: Al lazar dos moedas se tee Ω {CC, CS, SC, SS} Defmos la va X como el úmero de caras obtedas e los dos lazametos Por lo tato, X(CC), X(CS) X(SC), X(SS) 0 Así, R X {0,, } es el recorrdo de la va X Nota: al referros a las varables aleatoras usaremos letras mayúsculas como X,Y,Z, etc Cuado hablemos del valor de esas varables aleatoras emplearemos letras músculas como,y,z Esta varable aleatora puede ser dscreta o cotua 4 VARIABLE ALEATORIA DISCRETA Es la varable que sólo puede tomar certos valores claramete defdos y dstates, que es el resultado de cotar algú elemeto de terés Se dce també que ua varable aleatora X es dscreta s el cojuto de valores de X, R X, es fto o fto umerable, es decr, R X {,,}, co cada resultado posble de asocamos u úmero p( ) P(X ), llamado probabldad de La fucó p( ),,, debe de cumplr las sguetes codcoes: Mag RENAN QUISPE LLANOS Pág 03

26 () p( ) 0, sedo u eveto cualquera () p( ) La fucó p( ) se llama fucó de probabldad de la va X La coleccó de pares (, p( )),,,, se llama dstrbucó de probabldad de X La dstrbucó de probabldad de ua va dscreta X permte estudar completamete a la varable aleatora y se puede represetar por ua fórmula, ua tabla o ua gráfca que dque las probabldades p( ) correspodetes a cada uo de los valores de X Ejemplo: U capataz e ua fábrca tee 3 hombres y 3 mujeres laborado para él Desea elegr dos trabajadores para ua labor especal y decde seleccoarlos al azar para o troducr algú sesgo e su seleccó Sea X el úmero de mujeres seleccoadas Ecuetre la dstrbucó de probabldad de X Solucó: El capataz puede escoger dos de ses trabajadores de 6 5 maeras Por lo tato, Ω cotee 5 putos muestrales, e forma de pares, gualmete probables, los valores de X so: 0,, La fucó de probabldad e cada valor de X es: p(0) P(X0) p() P(X) p() P(X) / / /5 5 5 La dstrbucó de probabldad de X se da e la tabla sguete: 0 p() /5 3/5 /5 y la represetacó gráfca es como aparece a cotuacó: Mag RENAN QUISPE LLANOS Pág 04

27 p() 3/5 / La dstrbucó de probabldad de X també se puede represetar por medo de ua fórmula E este caso sería como sgue: P() 3 3-6, 0,, Las dstrbucoes de probabldad so modelos que se utlza dstrbucoes empírcas para represetar Etre las varables aleatoras dscretas teemos: Bomal, Beroll, Geométrca, Hpergeométrca, Posso 4 VARIABLE ALEATORIA CONTINUA Se dce que ua varable aleatora es cotua, s se puede tomar cualquera de los valores de u tervalo Ejemplo: La edad, el peso de ua persoa, el tempo que dura ua bujía, la ressteca a la rotura de ua tela de algodó Formalmete, ua va X es cotua s es posble ecotrar ua fucó f() o egatva que cumple las sguetes propedades: () f() 0 () f()d (3) P(a X b) b f()d, dode a,b R, a<b a La fucó f descrbe la maera como se comporta la varable se llama fucó de desdad de la va X El cojuto {R X, f()} se llama Dstrbucó de probabldad de la va X, y cotee toda la formacó ecesara para estudar completamete a la va X Como cosecueca de la propedad (3), la probabldad de ua varable alatora cotua o o f()d tome u valor o es cero, puesto que P(X o ) 0 Mag RENAN QUISPE LLANOS Pág 05

28 Nota: f() o represeta la probabldad de ada Sólo cuado la fucó se tegra etre dos límtes produce ua probabldad Las varables aleatoras cotuas so: La Uforme, La Normal, La Epoecal, La J- Cuadrado Ejemplos: - Sea la va cotíua X co fucó de desdad f dada por: Claramete, f() 0 y f()d f(), 0 < < 0, e otro lugar o d / / Para calcular P(X ½), debemos evaluar la tegral d Cy, 0 < y < - Dada f(y), ecotrar el valor de C 0, e otro lugar Para que f(y) sea ua fucó de desdad válda buscaremos el valor de C tal que: 0 Cy dy, segú la propedad () de f Itegrado: y Cy dy C C Etoces: C Por lo tato: C[8/3 + 0] Despejado: C 3/8 Podemos evaluar P( Y ) 3 y 8 dy 3 8 y * 8 y U vededor de kerosee tee u taque de 50 galoes que se llea al prcpo de cada semaa Su demada semaal tee ua frecueca relatva que crece costatemete desde 0 hasta 00 galoes y permaece costate etre 00 y 50 galoes S Y deota la demada semaal e certos galoes, la frecueca relatva de la demada se puede represetar por: Calcular: P(0 y 05), P(0 y ) y, 0 y f(y), y 5 0, e otro lugar Mag RENAN QUISPE LLANOS Pág 06

29 Solucó: P(0 y 05) 05 y 05 ydy P(0 y ) ydy ydy 5 MEDIA Y VARIANCIA DE UNA VARIABLE ALEATORIA 5 MEDIA Sea X ua varable aleatora dscreta co fucó de probabldad p( ) Etoces, el valor esperado de X (meda o esperaza matemátca de X), E(X), está defdo por: E(X) S p( ) es ua caracterzacó eacta de la dstrbucó de frecuecas de la poblacó, etoces E(X)μ, que es la meda de la poblacó Ejemplo: Cosderemos ua varable aleatora dscreta X, que puede tomar los valores 0,, co dstrbucó de probabldad dada por: p( ) 0 p() ¼ ½ ¼ Etoces: μ E() (0*/4) + (*/) + (*/4) Es el valor alrededor del cual se stúa los valores de Propedades de E(X) ) Sea c ua costate Etoces E(c)c ) E(cX) ce(), sedo c ua costate 3) Sea X e Y dos varables aleatoras cualesquera Etoces: E(X+Y) E(X) +E(Y) 4) E(X± c) E(X) ± c, dode c es ua costate 5)E[(-u) ] E[ - u + u ] E( ) ue() + E(u ) E( ) u Ejemplo: Utlzado la propedad 5, calcular Var(Y) del ejemplo ateror Del el ejemplo ateror se teía que la meda μ y por tato: 3 E(y ) y p(y) (0) (/4) + () (/) + () (/4) 75 y 0 Luego: σ E(Y ) u 75 () 075 Mag RENAN QUISPE LLANOS Pág 07

30 5 VARIANCIA Y DESVIACION ESTANDAR La varaza de ua varable aleatora X está defda como el valor esperado de (u ) Es decr: ) Var(X) E[(X u) ] [( X μ ) p( ] La desvacó estádar de X es la raíz cuadrada postva de Var(X) S p( ) es ua caracterzacó eacta de la dstrbucó de frecuecas de ua poblacó, etoces E(X)μ, VAR()σ es la varaza de la poblacó y σ es la desvacó estádar de la poblacó Los pasos de cálculo so: Restar la meda de cada valor y elevar el cuadrado la dfereca Multplcar cada dfereca al cuadrado por su probabldad 3 Sumar los productos resultates para llegar a la varaca Ejemplo: Ecotrar la meda, la varaza y la desvacó estádar de la varable aleatora Y, cuya dstrbucó de probabldad es: Etoces: 3 y 0 3 p(y) /8 /4 3/8 /4 μ E(Y) yp(y) (0*/8) + (*/4) + (*3/8) + (3*/4) 75 y 0 3 σ E[(X u) ] (y - μ)p(y) y 0 (0-75) (/8)+ (-75) (/4)+(-75) (3/8)+(3-75) (/4) σ σ Mag RENAN QUISPE LLANOS Pág 08

31 EJERCICIOS Resuelva lo sguete: a 40!/35! b 7P 4 c 5C E ua ecuesta médca, aleatoramete se seleccoaro 4 de 0 persoas dspobles Cuátos grupos de dferetes de 4 so posbles? 3 Ua empresa de mesajería co vajes durate la oche, debe clur cco cudades e su recorrdo Cuátas rutas dferetes posbles supoedo que o mporta el orde e que las cudades se cluye e el recorrdo? 4 Ua orgazacó acoal de ecuestas ha elaborado 5 pregutas destadas a evaluar la efceca de u Hosptal estatal El etrevstador seleccoará 0 de tales pregutas Cuátos dferetes arreglos este para el orde de las 0 pregutas seleccoadas? 5 Descrba las característcas de ua dstrbucó probablístca dscreta 6 Determe la meda y la varaca de la sguete dstrbucó probablístca dscreta P(X) El drector de admsoes de la uversdad de Igeería, estmó como sgue la admsó de estudates para el semestre de otoño co base e pasadas eperecas Admsó Probabldad Cuál es el úmero esperado de alumos admtdos para el semestre de otoño? Evalúe la varaca y la desvacó estádar 8 La produccó de u aalgésco, e uf está dstrbuda segú ua fucó cotúa: F () 5*( - ) dode 0 Calcular: a La produccó meda b La desvacó Típca c El coefcete de varacó d La moda Mag RENAN QUISPE LLANOS Pág 09

32 CAPITULO OCHO DISTRIBUCION PROBABILISTICA BINOMIAL Es ua dstrbucó de probabldades dscreta y tee las sguetes característcas: U resultado de u epermeto se clasfca e ua de dos categorías mutuamete ecluyetes que so éto o fracaso Los datos recoplados so resultados de coteos 3 La probabldad de u éto permaece gual para cada esayo Lo msmo sucede co la probabldad de fracaso 4 Los esayos so depedetes, lo cual sgfca que el resultado de u esayo o afecta al resultado de algú otro 5 Ua probabldad bomal se determa como sgue: P( r ) C r p r q r 6 La meda se calcula como sgue: μ p 7 La varaca es: σ p( p) Nota: Cuado la dstrbucó bomal correspode a la dstrbucó Beroull co parámetro p Ejemplo: Todos los días se seleccoa, de maera aleatora, 5 udades de u proceso de maufactura co el propósto de verfcar el porcetaje de udades defectuosas e la produccó Co base e formacó pasada, la probabldad de teer ua udad defectuosa es de 005 La gereca ha decddo deteer la produccó cada vez que ua muestra de 5 udades tega dos o más defectuosas Cuál es la probabldad de que, e cualquer día, la produccó se detega? Solucó: S el modelo apropado para esta stuacó es la dstrbucó bomal, se puede supoer que las 5 udades que se seleccoa al día, costtuye u cojuto de esayos depedetes de maera tal que la probabldad de teer ua udad defectuosa es 005 etre esayos Sea X el úmero de udades defectuosas que se ecuetra etre las 5 Para 5 y p 005, la probabldad de que la produccó se detega es gual a la probabldad de que X sea gual o mayor que dos De esta maera: P (X ) P(X ) P(X < ) [P(X 0) + P(X ) 0709 Mag RENAN QUISPE LLANOS Pág 0

33 DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD NORMAL LA DISTRIBUCION NORMAL Se dce que la varable X tee ua dstrbucó ormal co parámetros μ y σ, y se escrbe X ~ N(μ,σ ), s su fucó de desdad es: f ( ) e πσ μ / σ, co - <μ<, σ>0, R Cada par (μ,σ ), da lugar a ua dstrbucó dferete y cuado se tee valores dados de μ y σ se determa completamete a la dstrbucó ormal de terés La curva ormal es smétrca Co dos mtades détcas Etremdad (o cola) Etremdad (o cola) E teoría, la curva se etede hasta - Este modelo que vamos a emplear para represetar la dstrbucó de certos varables cotuas, e poblacoes mesamete grades tee las sguetes característcas: - Es acampaada y la meda, la medaa y la moda so guales - La dstrbucó probablístca es smétrca co respecto a la meda 3- La curva ormal decrece uformemete e ambas dreccoes a partr del valor cetral Es astótca, lo que sgfca que la curva se acerca cada vez más al eje, pero e realdad uca llega a tocarlo 4- Es descrta completamete por la meda y la desvacó estádar 5- Este ua famla de dstrbucoes ormales Cada vez que camba la meda o la desvacó estádar, se orga ua ueva dstrbucó ormal 6- La varable asume todos los valores reales, es decr va de - a Mag RENAN QUISPE LLANOS Pág

34 DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD NORMAL ESTANDAR La dstrbucó ormal estádar es u caso especal de la dstrbucó ormal Sea Z ua va co meda 0 y desvacó estádar de, es decr, Z ~ N (0,), etoces Z es ua varable co dstrbucó Normal Estádar Cualquer dstrbucó ormal puede covertrse a ua dstrbucó ormal estádar medate la sguete fórmula: z μ, dode X ~ N (μ,σ ) σ Z ~ N (0,) Dode: : es el valor de cualquer observacó específca de la dstrbucó N μ: es la meda de la dstrbucó N σ: es la desvacó estádar de la dstrbucó N Estadarzado ua dstrbucó ormal podemos aprecar la dstaca de la meda e udades de la desvacó estádar La fucó de desdad de la dstrbucó de probabldad ormal estádar será: f ( ) πσ e, R; La fucó de dstrbucó Acumulada es: Φ () P X πσ [ ] f (t)dt e dt t Gráfcamete: φ () 0 Mag RENAN QUISPE LLANOS Pág

35 AREAS BAJO LA CURVA Las áreas bajo la curva ormal geeralmete se utlza e tres áreas que so: - Apromadamete 68% del área bajo la curva ormal está detro de más ua y meos ua desvacó estádar respecto de la meda Esto puede epresarse como μ ± σ - Apromadamete 95% del área bajo la curva ormal está detro de más dos y meos dos desvacoes estádares respecto a la meda, lo que se epresa μ ± σ 3- Práctcamete toda el área (9974%) bajo la curva ormal está detro de tres desvacoes estádares respecto de la meda (a uo y otro lado), lo cual se escrbe μ ± 3σ μ - 3σ μ -σ μ -σ μ μ -σ μ - σ μ - 3σ Otras Propedades: - S tee dstrbucó N(0,), etoces para todo real postvo se cumple: φ(-)-φ() φ(-) -φ() -X 0 X Mag RENAN QUISPE LLANOS Pág 3

36 - S la varable X tee dstrbucó N(μ,σ ), etoces la varable Z, defda por Z μ, tee dstrbucó N(0,) esta propedad dca lo sguete: cualquera σ que sea los valores de los parámetros de la dstrbucó N(μ,σ ), ella puede ser trasformada a ua N(0,) Segú la trasformacó Z ateror, las dstrbucoes probabldades correspodetes a X puede ser calculados a partr de la dstrbucó de la varable z μ, a la que se deoma varable ormal σ estadarzada Al proceso de trasformacó aplcado se le deoma estadarzacó 3- E() μ y Var()σ 4- S la var X tee dstrbucó N(μ,σ ), etoces la varable Y a + b tee dstrbucó N(aμ+b, a σ ) TABLA DE LA DISTRIBUCION NORMAL Para valores de, que varía a tervalos de u cetésmo, geeralmete desde 0 hasta 349, el cuerpo de la tabla preseta valores de φ() Esta tabla se usa de dos maeras : Uso drecto: dado se halla φ() Uso verso: dado φ(), hallar X φ(0) φ(09) 036 φ(3) φ(34) Dode: φ(0)05438, φ(09)086, φ(3)08708, φ(34)09997 Mag RENAN QUISPE LLANOS Pág 4

37 A 086 z 09 φ(09) 086 Ejemplos: sea X N(0) dado, hallar φ() - Para -85, φ(-85) - φ(85) Gráfcamete: Para, P(X ) φ() P(0 X ) φ() - φ(0) OTRA FORMA DE VER LA TABLA: X φ(0) φ(09) 036 φ(3) φ(34) Dode: φ(0)00438, φ(09)036, φ(3)03708, φ(34)04997 Mag RENAN QUISPE LLANOS Pág 5

38 A 036 z 09 φ(09) 036 APLICACIONES DE LA DISTRIBUCION NORMAL Ejemplo : Se sabe que el dámetro de certos rodametos producdos por ua máqua, sgue ua dstrbucó ormal co meda μ5 cm Y σ00 cm para que el rodameto sea cosderado como o defectuoso, su dámetro debe varar etre 498 y 50 cm a Cuál es la probabldad de que u rodameto escogdo al azar sea defectuoso? b Qué probabldad este de que e u ua caja de 50 rodametos producdos haya eactamete tres rodametos defectuosos? Solucó: Sea la varable aleatora X que dca la logtud de los dámetros a La probabldad de que cada rodameto sea o defectuoso es: P [ 4 98 X 50] P[ Z ] Luego la probabldad de que u rodameto sea defectuoso es: b Sea la varable aleatora Y que deota el úmero de rodametos defectuosos e ua caja de 50 udades Etoces, Y tee dstrbucó bomal co parámetros 50 y p0374 P Y 50 3 Luego, [ 3] ( 0374) ( 0686) Ejemplo : El tempo de duracó de u foco de luz está ormalmete dstrbudo, co ua duracó meda de 800 horas y ua desvacó estádar de 00 horas Se compra 500 de Mag RENAN QUISPE LLANOS Pág 6

39 estos focos Cuál es la dstrbucó de probabldad del úmero de focos que estará e servco después de 000 horas? Solucó: Sea la varable X: Tempo de duracó de los focos, X N(800,00 ) Que el foco esté e servco después de 000 horas, sgfca que el tempo de duracó X, sea mayor que 000 horas X P Etoces, ( ) P ( X > 000) P X 000 ( Z ) ( ) P φ De otro lado, s la produccó de focos es muy grade, los 500 focos que se compra costtuye esayos depedetes de Bemoull, co probabldad de éto gual P(>000) Etoces, el úmero de focos que dura más de 000 horas es ua ueva varable aleatora, Y, co dstrbucó bomal cuyos parámetros so 500 y p0587 Mag RENAN QUISPE LLANOS Pág 7

40 EJERCICIOS RESUELTOS Ejercco : El tempo empleado de r de u Cetro de Salud al Hosptal por la ruta A se dstrbuye ormalmete co meda gual a 7 y desvacó típca gual a 5; metras que por la ruta B, la dstrbucó es ormal co meda gual a 30 y desvacó típca gual a Qué ruta covee utlzar s se dspoe de: a 30 mutos? b 34 mutos? c E cuál de las rutas se tee la mayor probabldad de llegar ates de 30 mutos? Solucó: Ruta A: μ 7 σ 5 Ruta B: μ 30 σ a Qué ruta covee utlzar s se dspoe de 30 mutos? z A P(<30) P(z<06) A(06) P(<30) 758% A z z B 0 06 P(<30) P(z<0) 050 B z Como teresa el porcetaje favorable mayor para P(<30) que sgfca llegar temprao, e este caso covee elegr la ruta A que da u valor para P (<30) % Mag RENAN QUISPE LLANOS Pág 8