APLICACIÓN DEL MODELO CÓNICO SEGMENTADO A LOS TIPOS DENDROMÉTRICOS CLÁSICOS COMO FUNCIÓN DEL NÚMERO DE SEGMENTOS

Transcripción

1 UNIERIDAD MICOACANA DE AN NICOLÁ DE IDALGO FACULTAD DE INGENIERÍA EN TECNOLOGÍA DE LA MADERA APLICACIÓN DEL MODELO CÓNICO EGMENTADO A LO TIPO DENDROMÉTRICO CLÁICO COMO FUNCIÓN DEL NÚMERO DE EGMENTO TEI QUE PARA OBTENER EL TITULO DE: MAETRO EN CIENCIA Y TECNOLOGÍA DE LA MADERA PREENTA: LUIA PATRICIA URANGA ALENCIA DIRECTOR DE TEI: DR. GILDARDO CRUZ DE LEÓN MORELIA, MIC., EPTIEMBRE DE 8

2 ÍNDICE. INTRODUCCIÓN. CONCEPTO GENERALE Métodos aproxmados para determar el área bajo ua curva e u tervalo. Métodos aproxmados para determar el volume de u sóldo de revolucó. Tpos dedrométrcos cláscos. Fucoes de volume y de perfl. Métodos estádar de cubcacó. La Regla del Trapeco. El Modelo Cóco egmetado (MC). Aplcacó del MC a las medcoes forestales. Dámetros Dedrométrcos. Dámetros medos para ua altura del pecho rregular.. METODOLOGÍA Estmacó de volúmees. Estmacó del volume de ua esfera de rado utaro. Estmacó del volume de u parabolode. Estmacó del volume de u coo. Estmacó del volume de u elode. Cálculo aalítco del volume para los casos de = y =. Cálculo umérco para cualquer fta. Cálculo del lmte cuado. Defcó de otacó.. REULTADO Aplcacó del MC a ua esfera de rado utaro como fucó del úmero de segmetos Obtecó de fórmulas geerales para la aplcacó de MC a ua esfera de rado utaro. Obtecó de la fórmula geeral para el volume exacto de segmeto e la esfera de rado utaro. Resultados de la aplcacó aalítca de MC a ua esfera de rado utaro co 6 segmetos. Resultados para ua esfera de rado utaro co 6 segmetos medate la fórmula geeral del volume exacto. Resultados de la aplcacó aalítca de MC a ua esfera de rado utaro co segmetos

3 Resultados obtedos al aplcar MC a ua esfera de rado utaro para 6,,,, y segmetos respectvamete medate Excel. Cálculo aalítco del límte cuado para el volume total de la esfera de rado utaro aplcado MC. Fórmula geeral del volume de segmeto para ua esfera de rado utaro, como fucó del úmero de segmetos, utlzado el método de mala. Fórmula geeral del volume de segmeto para ua esfera de rado utaro, como fucó del úmero de segmetos, utlzado el método de uber. Fórmula geeral del volume de segmeto para ua esfera de rado utaro, como fucó del úmero de segmetos, utlzado el método de Newto. Estmacó del volume de ua esfera de rado utaro co 6 segmetos utlzado los métodos estádar de cubcacó. Estmacó del volume de ua esfera de rado utaro co segmetos utlzado los métodos estádar de cubcacó. Estmacó del volume de ua esfera de rado utaro co 6,,,, y segmetos utlzado los métodos estádar de cubcacó medate Excel. Resume de resultados para ua esfera de rado utaro Aplcacó del MC a u parabolode como fucó del úmero de segmetos Obtecó de la fórmula geeral al aplcar MC a u parabolode. Obtecó de la fórmula geeral para el volume exacto, como fucó del úmero de segmetos para u parabolode. Resultados de la aplcacó aalítca de MC a u parabolode co segmetos. Resultados para u parabolode co segmetos medate el método exacto. Resume de resultados para u parabolode co segmetos. Estmacó del volume de u parabolode co segmetos utlzado MC y el método exacto. Resultados de los cálculos obtedos medate la aplcacó de MC a u parabolode co,,, y segmetos respectvamete por medo de Excel. Cálculo aalítco del límte cuado para el volume total de u parabolode aplcado MC. Resume de fórmulas geerales para u parabolode. Aplcacó del MC a u coo como fucó del úmero de segmetos

4 Obtecó de fórmulas geerales al aplcar MC a u coo. Resultados de la aplcacó aalítca de MC para u coo co segmetos. Resultados para u coo co segmetos medate el método de mala. Resultados para u coo co segmetos medate la fórmula geeral de uber. Resultados para u coo co segmetos medate la fórmula geeral de Newto. Estmacó del volume para u coo co segmetos utlzado MC y los métodos estádar de cubcacó. Resultados de los cálculos obtedos medate la aplcacó de MC para u coo co,,, y segmetos respectvamete por medo de Excel. Resume de fórmulas geerales para u coo. Aplcacó del MC a u elode como fucó del úmero de segmetos Obtecó de fórmulas geerales al aplcar MC a u elode. Resultados de la aplcacó aalítca de MC a u elode co segmetos. Resultados para u elode co segmetos medate el método exacto. Resultados para u elode co segmetos medate la fórmula geeral de mala. Resultados para u elode co segmetos medate la fórmula geeral de uber. Resultados para u elode co segmetos medate la fórmula geeral de Newto. Estmacó del volume de u elode co segmetos utlzado los métodos de cubcacó. Resultados de los cálculos obtedos medate la aplcacó del MC a u elode co,,, y segmetos respectvamete por medo de Excel. Calculo aalítco del límte cuado. Resume de fórmulas geerales para u elode.. ANÁLII Y DICUIÓN APÉNDICE A. Cálculos de volume e esfera,. APÉNDICE B. Cálculos de volume e parabolode,. APÉNDICE C. Cálculos de volume e coo,. APÉNDICE D. Cálculos de volume e elode, BIBLIOGRAFÍA 9 6 8

5 ÍNDICE DE FIGURA Fgura.. Partes geerales de u árbol de latífolada y coífera. (Déguez- Arada et al., ). Fgura... Método de aproxmacó medate rectágulos para determar el área bajo ua curva, medate la aproxmacó de rectágulos; cuado y = f(x) e u tervalo. Fgura... óldo de revolucó geerado al realzar ua rotacó de de la curva f x x y el área bajo ella, alrededor del eje x (tewart, ). Fgura... Aproxmacó al volume de ua esfera co r=, medate u úmero de cldros, para los casos de =, y respectvamete (tewart, ). Fgura.. Tpos dedrométrcos cláscos. ) cldro; ) parabolode; ) coo y ) elode (Fgura tomada de Chapma, 9). Fgura.. Formas geométrcas que se asoca a las dferetes seccoes de u troco de árbol. Izquerda) Romah de la ega et al., 99; Derecha) Chapma ad Meyer, 99. La geometría de la fgura a la derecha está asocada co las geometrías de la fgura.. Fgura.6. Modelo para coíferas. (Plak ad Cahll, 98). Fgura.7. Dfereca etre ua fucó de perfl (líea cotua) y medate tpos dedrométrcos (líea puteada) para Eucalyptus plulars, (West, ). Fgura..8. Aproxmacó al área bajo ua curva e u tervalo medate la regla del trapeco. Fgura.9. El Modelo Cóco egmetado (MC). E geeral, el modelo aproxma cualquer geometría de u troco de árbol medate segmetos e la forma de coos trucados, cldros y u coo e la puta. E esta fgura e partcular, o se utlzaro cldros. Fgura.. Aplcacó de MC a ua esfera. e muestra cortes trasversales que pasa por su cetro, para los casos de, y segmetos. Fgura.. Curva geeratrz de u parabolode de altura y dvsó e segmetos de gual logtud. Fgura.. Parabolode y su oretacó típca e u sstema coordeado trdmesoal para propósto de cálculo Fgura.. Curva geeratrz de u coo de altura, dvsó e segmetos de gual logtud y aplcacó de la regla del trapeco. Fgura.. Coo y su oretacó típca e u sstema coordeado trdmesoal para propósto de cálculo Fgura.6. Curva geeratrz de u elode de altura, dvsó e segmetos de gual logtud y aplcacó de la regla del trapeco. Fgura.7. Nelode y su oretacó típca e u sstema coordeado trdmesoal para propósto de cálculo 9 7 v

6 Fgura... Aplcacó geeral del modelo cóco segmetado a ua esfera de rado utaro para u úmero par de segmetos. El eje z es perpedcular a la pága. Fgura... Aplcacó del modelo cóco segmetado a ua esfera de rado utaro co 6 segmetos. e aproxma el volume medate coos trucados y dos coos e los extremos. La fgura muestra u corte trasversal que pasa por el cetro de la esfera. Fgura... Aproxmacó de volume a ua esfera de rado utaro co segmetos medate la aplcacó del MC. Cortes trasversales e el cetro de ua esfera. Fgura... Aplcacó geeral del modelo cóco segmetado a u parabolode para u úmero de segmetos Fgura... Aplcacó del modelo cóco segmetado a u parabolode co segmetos. Fgura... Aplcacó del modelo cóco segmetado a u parabolode co segmetos. Fgura... Aplcacó geeral del modelo cóco segmetado a u coo para u úmero de segmetos. Fgura... Aplcacó del modelo cóco segmetado a coo co segmetos. Fgura... Aplcacó de MC a u coo co segmetos. Fgura... Dagrama geeral de MC a u elode para segmetos Fgura... Aplcacó del modelo cóco segmetado a u elode co segmetos. Fgura... Aplcacó del modelo cóco segmetado a u elode co segmetos. Fgura A.. Corte trasversal que muestra la aproxmacó al volume de ua esfera de rado utaro co segmetos medate la aplcacó de MC. Fgura A.. Image de patalla de la hoja de cálculo de Excel, para ua esfera de rado utaro co segmetos. Fgura B.. Aplcacó del modelo cóco segmetado a u parabolode co segmetos. Fgura. B.. Muestra de la hoja de cálculo, para el caso de u parabolode co segmetos. Fgura C.. Aplcacó del modelo cóco segmetado a u coo de segmetos. Fgura. C.. Muestra de la hoja de calculo para el caso de u coo co segmetos. Fgura D.. Aplcacó del modelo cóco segmetado a u elode co segmetos. Fgura. D.. Muestra de la hoja de calculo para el caso de u coo co segmetos v

7 ÍNDICE DE TABLA Tabla.. Tpos dedrométrcos cláscos asocados co la fucó geeratrz de acuerdo al valor p de la poteca. Tabla... alores de los rados de las seccoes trasversales de los extremos de segmetos e la esfera de rado utaro. Tabla... olúmees de segmeto para la semesfera y volume total de la esfera de rado utaro co 6 segmetos. Tabla... olúmees por segmeto para la sem-esfera co segmetos y volume total de la esfera. Tabla... olume total de ua esfera de rado utaro como fucó del úmero de segmetos utlzado las fórmulas geerales de MC e Excel. Tabla... olúmees de segmeto y totales e la esfera de rado utaro para 6 segmetos. Tabla..6. olúmees de segmeto y totales, resultates de los métodos de cubcacó estádar para ua esfera de rado utaro co segmetos. e cluye los resultados del volume exacto y MC, obtedos e el capítulo prevo, para efectos de comparacó. Tabla..7. Resultados del volume total calculados medate Excel para todos los métodos utlzados y co dferetes valores del úmero de segmetos,, a partr de las fórmulas geerales. Tabla..8. Fórmulas geerales para el volume de segmeto obtedas para cada método de cubcacó para ua esfera de rado utaro. Tabla... alores asgados a la varable x para los cortes trasversales del sóldo de revolucó de la fgura y sus respectvos valores y dados por la ecuacó [..], así como su raíz cuadrada, y, que represeta los rados de dchas seccoes trasversales. Tabla... olúmees por segmeto y totales de parabolode co segmetos segú fórmulas geerales obtedas para el MC y el método exacto. Tabla... olúmees de segmeto y totales obtedos medate MC y el método exacto para u parabolode co segmetos. Tabla... olúmees totales como fucó del úmero de segmetos para el método exacto y MC. Tabla... Fórmulas geerales para el volume de segmeto de parabolode, obtedas para cada método de cubcacó. Tabla... alores asgados a la varable x por cortes trasversales del coo. Tabla... Fórmulas geerales obtedas para cada método de cubcacó e u coo. Tabla... olume total y por segmeto medate los métodos de cubcacó para u coo co segmetos v

8 Tabla... olume por segmeto y volume total de cada método de cubcacó. Tabla... olúmees totales para los dferetes métodos como fucó del úmero de segmetos. Tabla..6. Fórmulas geerales para el volume de segmetos obtedas para cada método de cubcacó para u coo. Tabla... alores asgados a la varable x de la fucó geeratrz del elode. Tabla... Fórmulas geerales obtedas para cada método de cubcacó para u elode. Tabla... alores dados a la ecuacó geeratrz de u elode. Tabla... olume de cada segmeto y de cada método de cubcacó segú fórmulas geerales obtedas para u elode co segmetos. Tabla... olume por segmeto y por método de cubcacó para u elode co segmetos. Tabla..6. olúmees totales obtedos e Excel para cualquer a partr de las formulas geerales. Tabla..7. Fórmulas geerales obtedas para cada método de cubcacó de u elode. Tabla.. Resume de fórmulas geerales para el volume de segmeto como fucó del úmero de segmeto y del úmero total de segmetos, para los métodos MC, mala, uber y Newto. Tabla A.. Resultados para volume de segmeto y volume total obtedos medate Excel para ua sem-esfera co 6 segmetos, o be, ua esfera co segmetos. Tabla A.. Resultados para volume de segmeto y volume total obtedos medate Excel para ua sem-esfera co segmetos, o be, ua esfera co segmetos. Tabla A.. Resultados para volume de segmeto y volume total obtedos medate Excel para ua sem-esfera co segmetos, o be, ua esfera co segmetos. Tabla B.. Resultados para volume de segmeto y volume total obtedos medate Excel para u parabolode co segmetos. Tabla B.. Resultados para volume de segmeto y volume total obtedos medate Excel para u parabolode co segmetos Tabla C.. Resultados para volume de segmeto y volume total obtedos medate Excel para u coo co segmetos. Tabla C.. Resultados para volume de segmeto y volume total obtedos medate Excel para u coo co segmetos. Tabla D.. Resultados para volume de segmeto y volume total obtedos medate Excel para u elode co segmetos. Tabla D.. Resultados para volume de segmeto y volume total obtedos medate Excel para u elode co segmetos v

9 . INTRODUCCIÓN A pesar de los otables avaces e el desarrollo de uevos materales, el materal madera, por sus característcas, físcas, químcas, mecácas, estétcas, etc., cotúa sedo u materal susttuble co gra demada para usos dversos de la socedad. La madera, es uo de los prcpales productos de u bosque. E partcular, el troco cotee la mayor parte de la madera e u árbol. Los vetaros forestales para estmar la catdad de madera aprovechable de u determado bosque se realza medate estudos estadístcos que volucra estmacoes de volume de los trocos de muestras de árboles. La estmacó de las dmesoes de u troco como fucó del tempo represeta el parámetro de refereca e vestgacoes sobre el crecmeto de los árboles e u bosque. La estmacó de la capacdad de u bosque para capturar bóxdo de carboo se realza e fucó de su bomasa, gra parte de la cual está costtuda por los trocos de los árboles. E este tpo de vestgacoes, també tervee la determacó del volume de dchos trocos. Falmete, los trocos y trozas se comercalza por su volume. De esta forma, e relacó co u bosque, tato el aspecto de vestgacó como el ecoómco depede e gra medda de la estmacó del volume de los trocos de sus árboles. La determacó del volume de madera, de u troco o troza, es u proceso que requere extremo cudado. E el sector forestal la veta de productos de prmera trasformacó esta basada e meddas estádar de cubcacó, etre las que se puede mecoar el m y pt, las cuales tee u valor e el mercado. No se determaría la catdad justa por el producto a causa de ua mala estmacó de volume. Exste ua cadea de volucrados, desde el poseedor del bosque, el dueño del aserradero, el comercate de la madera aserrada, sus trabajadores y el usuaro fal. El error e la estmacó del volume de madera puede ser por exceso o por defecto, de maera que tato a vededores como a compradores les covee la mejor estmacó posble. Exste dferetes métodos para llevar acabo dcha tarea, uos más exactos que otros, los cuales se dscutrá posterormete. El coocmeto de dchos métodos

10 y sus característcas es ua codcó ecesara para toda persoa volucrada. Es comú escuchar e este campo, que hay quees busca aprovecharse de la stuacó y quere comprar madera e base a la estmacó por algú método y quere veder e base a otro, segú les covega. abe muy be cual método sub-estma y cual sobre-estma el volume de los trocos de madera que comercalza. A pesar de que el térmo troco de árbol es de uso comú, su sgfcado preseta u poco de ambgüedad e la lteratura. E este trabajo, de coformdad co (Déguez-Arada et al., ), se etederá como troco a la parte de u árbol que está por ecma del cuello de la raíz ua vez descotadas las ramas, y como fuste, a la parte del troco compredda por ecma del cuello de la raíz y hasta u dámetro determado por u terés comercal partcular. E el caso de las coíferas el troco y el fuste so dferetes, pero para las latífoladas cocde (Fgura.). Fgura.. Partes geerales de u árbol de latífolada y coífera. (Déguez-Arada et al., ). La forma de los trocos está sujeta a ua gra catdad de factores como los clmátcos, característcas y tpo de terreo, etre otros, y varía o solo e las dferetes seccoes de u msmo troco, so també detro de la msma espece y de espece a espece. La

11 determacó de la geometría de u troco de árbol costtuye u problema fudametal para varas dscplas. Represeta práctcamete u campo de vestgacó e s msmo. embargo, después de más de u sglo de vestgacó, todavía o se tee respuestas uversalmete aceptadas. e ha propuesto teorías de dferete aturaleza, etre las que destaca la teoría mecáca, que cosdera a la forma de u troco como respuesta a los vetos para ua determada codcó de aclaje al suelo. La teoría predce que la forma de u troco sería la de u parabolode cúbco ó cuadrátco, segú fuera el tpo de aclaje al suelo, rígdo ó sem-rígdo (Larso, 96). Ua de las tareas prortaras e ceca y tecología forestal correspode a la estmacó de las dmesoes de los árboles, e partcular, de trocos y trozas para determar los volúmees comercales de madera. Por smplcdad, a lo ateror se le deomará aquí cubcacó, aú cuado el térmo es mucho más amplo y se refere a cualquer determacó de volume de madera, e rollo o tabla (Alfaro-Trujllo, 8). La rama que se ecarga de ese estudo se llama Dedrometría e volucra procedmetos de medcó y cálculo. El volume de u troco o fuste, depede prcpalmete de su altura, área basal y forma. Es uo de los parámetros más dfícles de medr porque cualquer varacó e las varables aterores se reflejará e la estmacó del volume (Brack, 999). Para compreder los fudametos de la cubcacó habrá que remotarse uos años atrás. us orígees comeza co los atguos gregos quees, aplcado el método de agotameto, hallaba el área exacta de cualquer polígoo al dvdrlo e trágulos y sumar el área de estos. Para aproxmar el área de fguras curvas scrbía polígoos e ellas, observado que al aumetar el úmero de lados del polígoo se cremetaba el grado de aproxmacó (tewart, ). Co el trascurso del tempo, se desarrollaro dferetes métodos de aproxmacó para estmar áreas bajo curvas los cuales dero orge al cálculo. Uo de tales métodos se cooce como regla del trapeco al cual esta vculado drectamete el trabajo de la presete tess. De gual forma, se desarrollaro métodos de aproxmacó para estmar volúmees de sóldos, e partcular, de sóldos de revolucó.

12 e debe señalar la mportaca de las medcoes, especalmete la del dámetro. Por lo regular, su medcó es smple y co ella se puede calcular el área de la seccó trasversal correspodete. E ocasoes el cotoro de la seccó trasversal, de la troza o troco, dfere de la forma crcular y esa excetrcdad debe ser cosderada. E Dedrometría se defe dferetes tpos de dámetros como so: el dámetro medo, el dámetro medo cuadrátco y el dámetro medo geométrco, los cuales so de gra utldad e los casos e que las seccoes preseta rregulardades (Déguez-Arada et al., ; Romah de la ega, et al., 99; Bruce ad chumacher, 96). la forma de los trocos o es ta rregular y se aproxma a u sóldo de revolucó, es posble modelar de maera relatvamete fácl su geometría, por seccoes. E la lteratura forestal tradcoal, a dchas seccoes se les relacoa co las formas geométrcas smples: cldro, parabolode, coo y elode, a las que se les deoma, tpos dedrométrcos. E este caso, parabolode y elode correspodería al parabolode cuadrátco y al parabolode cúbco, respectvamete, mecoados e el párrafo precedete e relacó co la teoría mecáca. Naturalmete, los trocos y trozas reales o tee la forma de u cuerpo geométrco perfecto pero, a pesar de ello, por mucho tempo se recurró a los tpos dedrométrcos para estmar su volume (Romah de la ega, et al., 99; Bruce y humacher, 96; Chapma, 9). Actualmete, se desarrolla tpos dedrométrcos más complejos e base a fucoes de perfl o ahusameto para dferetes especes, cuya dscusó queda fuera del alcace del presete trabajo (Déguez-Arada et al., ; West, ). Para dstgur los tpos dedrométrcos tradcoales de estos últmos, se les deomará aquí tpos dedrométrcos cláscos de coformdad co (Déguez-Arada et al., ). Exste dferetes formas para llevar a cabo la cubcacó o aproxmacó al volume de u sóldo de revolucó. e dstgue dos tpos de métodos: los métodos drectos y los métodos drectos (Brack, 999). Etre los métodos drectos se puede mecoar el coocdo método de desplazameto de fludo o xylometría (Fgueredo-Flho et al., ), el método gráfco, e el cual se grafca la seccó trasversal como fucó de la altura y el área bajo la curva correspode al volume, y los métodos por seccoes que cluye a los coocdos métodos de

13 uber, de mala y de Newto. Estos tres últmos métodos so los más referdos e la lteratura por lo que se les deomará aquí smplemete como métodos estádar de cubcacó. Por otro lado, se ecuetra los métodos drectos etre los cuales se cluye las ecuacoes o fucoes de volume y las de perfl, mecoadas e el párrafo precedete. Éstos dos últmos, represeta métodos sofstcados de alta precsó que se desarrolla e la vestgacó de frotera sobre el tema y se aplca e estudos de aprovechameto de bosques (Déguez-Arada et al., ; West, ; erádez y oto-oto, ; Cruz- Cobos et al., ). Etre los métodos por seccoes, puede clurse u modelo geeral desarrollado recetemete, e base a la aplcacó de la regla del trapeco, deomado Modelo Cóco egmetado (MC), el cual propoe la aproxmacó a la forma de cualquer sóldo de revolucó medate ua secueca de coos trucados (Cruz de Leó y Cruz de Leó, 6). E dcho trabajo se sugere, como caso partcular, la posble aplcacó de dcho modelo al caso de las medcoes forestales co la faldad de cubcar, de maera aproxmada, trocos o trozas de árbol. Es comú e la práctca, determar el volume de ua troza de coífera medate la ecuacó de u coo trucado. Recetemete, se ecotró que ua aplcacó smlar ya había sdo realzada, a vel de vestgacó, para estmar el volume del troco e u par de coíferas. E partcular, se compararo los resultados de los métodos de mala, uber y Bruce, co los que proporcoó la estmacó de volume cosderado a los segmetos de terés como ua secueca de coos trucados (Plak ad Cahll, 98). El método de Bruce represeta ua pequeña varacó al método de mala y de acuerdo a su partcular dervacó, es u método aplcable a las trozas que tee como extremo a la zoa de corte e dode se derrba el árbol, que so las de mayor terés comercal (Bruce, 98). Por otro lado, e la msma refereca ateror, se mecoa que la ecuacó del coo trucado ya estaba aceptada e el Pacfco Noroeste de UA para dferetes especes, co el f de compesar la sobre-estmacó y subestmacó de volume, que ocasoaría el uso de cualquera de los otros dos métodos de uso comú e la práctca, mala ó uber, e las dferetes seccoes de u msmo troco. El MC fue desarrollado de maera depedete a los trabajos aterores. embargo,

14 coglomera todas las característcas dscutdas y establece formalmete las bases de u método geeral aplcable a cualquer geometría de sóldo de revolucó y por lo tato a cualquer espece de troco de árbol co ua geometría smétrca. El MC, o ha sdo aplcado de maera formal a gú sóldo de revolucó. Úcamete se estudó, a maera de ejemplo, el caso de ua esfera de rado utaro dvdda e segmetos (Cruz de Leó y Cruz de Leó, 6) y se comparó co el resultado de otro método de aproxmacó medate cldros que reporta la lteratura (tewart, ). Como prmer caso de aplcacó geeral del modelo se preseta, e este trabajo, la determacó del volume de ua esfera de rado utaro como fucó del úmero de segmetos y el cálculo aalítco de dcho volume e el límte cuado el úmero de segmetos tede a fto. El prcpal objetvo de la presete tess cosstó e llevar a cabo la prmera aplcacó formal del MC a la cubcacó forestal. Para este propósto, se requere sstemas de refereca coocdos, e dode se pueda establecer ua comparacó co los métodos estádar de cubcacó. e elgó como sstemas de prueba a los tpos dedrométrcos cláscos para los cuales ya se cooce de maera exacta tato su volume total como por seccoes. Falmete, se preseta el cálculo aalítco del volume e el límte cuado el úmero de segmetos tede a fto e el cual el MC recupera los volúmees exactos ya coocdos para dchas fguras. Como materal adcoal, se llevó a cabo també, la determacó del volume de los tpos dedrométrcos cláscos como fucó del úmero de segmetos medate los métodos estádar de cubcacó. asta dode se sabe, tampoco este tpo de trabajo había sdo realzado prevamete. e compararo los resultados co los obtedos a través del MC Cabe mecoar, que la propuesta y desarrollo de uevos métodos por seccoes cotúa sedo u campo actvo a vel de vestgacó avazada, de maera paralela al de las ecuacoes de volume y de perfl. Lo ateror o se sabía ates de la revsó de lteratura realzada para el presete trabajo, se creía que ese tpo de vestgacó ya o estaba vgete a ese vel. Tal observacó fue u alcete durate el trascurso de este trabajo. Exste ua 6

15 extesa catdad de publcacoes al respecto, cuya dscusó o es posble abarcar aquí. e puede ctar como ejemplos, ua propuesta recete de geeralzacó del método de Bruce y ua aplcacó de la msma (Doruska y Patterso, ; Patterso et al., 7). 7

16 . CONCEPTO GENERALE.. Métodos aproxmados para determar el área bajo ua curva e u tervalo El prcpo fudametal del cálculo tegral para determar el área bajo ua curva y f x, e u tervalo a, b de la varable x, es usualmete explcado como sgue: se dvde el tervalo e u úmero de segmetos o subtervalos, x, x, de gual logtud, x ( b a) /, e dode =,,,; x a y b. A esos subtervalos, se les asoca x rectágulos de alturas f x ) e dode ( * * x puede ser cualquer puto detro de los msmos. Los putos * x se llama putos muestra. Los más utlzados so: los extremos zquerdos, los extremos derechos y los putos medos de los subtervalos. El área bajo la curva se aproxma medate la suma de áreas de los rectágulos, como se lustra e la fgura.. [.] A f * x x Coforme el úmero de subtervalos se cremeta, la aproxmacó es mejor y e el límte cuado ese úmero tede a fto, se obtee el área exacta. E ese límte, la suma se defe como ua tegral partcular deomada tegral defda y se escrbe como [.] A lm f x * x b a f x dx. 8

17 Fgura... Método de aproxmacó medate rectágulos para determar el área bajo ua curva, cuado y = f(x) e u tervalo a, b. De hecho, los segmetos e la fgura., puede teer dferete logtud y la codcó sería que e el límte, cuado su úmero tede a fto, la logtud del segmeto mayor teda a cero (tewart, ; Courat ad Joh, 96). Este hecho es relevate e la propuesta geeral de aplcacó del Modelo Cóco egmetado al campo forestal (Cruz de Leó y Cruz de Leó, 6).. Métodos aproxmados para determar el volume de u sóldo de revolucó U sóldo de revolucó se geera por ua rotacó de alrededor del eje x, de la curva y f x, cosderado també el área bajo ella, como puede verse e la fgura. para el caso de la fucó f x x. 9

18 Fgura.. óldo de revolucó geerado al realzar ua rotacó de de la curva f x x y el área bajo ella, alrededor del eje x (tewart, ). La msma rotacó de los rectágulos utlzados e la aproxmacó del área, orga ua aproxmacó al volume del sóldo de revolucó medate cldros. E la fgura., se lustra dcha aproxmacó para el caso de ua esfera de rado utaro, medate, y cldros, respectvamete. El volume exacto se obtee cuado tede a fto (tewart, ). Fgura.. Aproxmacó al volume de ua esfera co rado utaro (r=), medate u úmero de cldros, para los casos de =, y, respectvamete (tewart, )... Tpos dedrométrcos cláscos Los trocos de los árboles que por causas aturales o ha sdo perturbados, tede a tomar ua forma smétrca, que se asemeja a u sóldo de revolucó. Los trocos o tee ua forma geométrca predetermada. Para estmar su volume se recurre a modelarlos medate

19 los tpos dedrométrcos, como se muestra e la fgura.. Los tpos dedrométrcos que tradcoalmete se asoca a ellos so los tpos dedrométrcos cláscos: cldro, coo, parabolode y elode como se muestra e la fgura.. (Chapma, 9; Bruce y humacher, 96; Romah de la ega et al., 99). Fgura.. Tpos dedrométrcos cláscos. ) cldro; ) parabolode; ) coo y ) elode (Fgura tomada de Chapma, 9). Las geometrías de los tpos dedrométrcos cláscos so geeradas por la fucó p y Ax, e dode p es u úmero etero postvo que defe la forma del cuerpo de que se trata, A es ua costate deomada el parámetro de forma, x y y so las coordeadas e u sstema cartesao bdmesoal. E resume, dchas geometrías se geera de acuerdo co la tabla.. Tabla.. Tpos dedrométrcos cláscos asocados co la fucó geeratrz de acuerdo al valor p de la poteca. alor de p óldo de revolucó cldro parabolode coo elode Exste varas formas de modelar u árbol co base e estas geometrías. embargo, o se apreca uformdad e la lteratura al respecto como puede verse e las dos formas de modelos que se muestra e la fgura. (Chapma y Meyer, 99; Romah de la ega et al.,

20 99). Icluso, se ecuetra otras versoes como es el caso de las coíferas, que se muestra e la fgura.6, (Plak y Cahll, 98). Fgura.. Formas geométrcas que se asoca a las dferetes seccoes de u troco de árbol. Izquerda) Romah de la ega et al., 99; Derecha) Chapma ad Meyer, 99. La geometría de la fgura a la derecha esta asocada co las geometrías de la fgura.. Fgura.6. Modelo para coíferas. Fgura tomada de (Plak y Cahll, 98).

21 Medate téccas estádar de cálculo tegral, es posble calcular el volume exacto para los tpos dedrométrcos cláscos así como para segmetos de los msmos... Fucoes de volume y de perfl Actualmete, ya o se busca geometrías geerales para trocos de cualquer árbol. Las vestgacoes está drgdas haca la determacó de fucoes de volume y fucoes de perfl (o ahusameto) para cada espece de terés. De esta forma, se ha geerado ua extesa lsta de dchas fucoes (Déguez-Arada et al., ; West, ; Cruz-Cobos et al., ; erádez y oto-oto, ). La fucó de volume del troco, proporcoa el volume total como fucó de los dos parámetros característcos e medcoes forestales que so el dámetro a la altura del pecho (D p ) y la altura total (), metras que ua fucó de perfl es ua fucó que proporcoa el dámetro como fucó de los dos parámetros aterores y de la altura h (Déguez-Arada et al., ; West, ). Las fucoes de perfl so fucoes cotuas de varacó suave que proporcoa la forma del troco para cualquer zoa. No está presetes los cambos abruptos de forma que estaba volucrados al usar los tpos dedrométrcos cláscos, e dode además o es posble determar co precsó e dode terma ua geometría e ca otra. Los tpos dedrométrcos cláscos so casos partculares muy smples de fucoes de perfl, represeta formas muy báscas para determacó de volume que cotúa sedo de uso comú e la práctca. E la fgura.7, se muestra la dfereca etre el modelo de troco para Eucalyptus plulars, medate ua fucó de perfl (líea cotua), y medate los tpos dedrométrcos, elode, parabolode y coo (líea puteada) (West, ).

22 Fgura.7. Dfereca etre ua fucó de perfl (líea cotua) y medate tpos dedrométrcos (líea puteada) para Eucalyptus plulars, (West, )... Métodos estádar de cubcacó Los métodos de cubcacó más coocdos so: el método de uber, de mala y de Newto, que se defe a través de sus fórmulas de cubcacó. El método de Newto es el más exacto, tee la partculardad de reproducr de maera exacta el volume para todos los tpos dedrométrcos cláscos, los cuales será los valores de refereca. se deota a y como las áreas de las seccoes trasversales de los extremos de u segmeto de troco o troza de logtud L, / al área de la seccó trasversal correspodete a la mtad, L/, dchas fórmulas so, respectvamete, (Chapma y Meyer, 99; Castro, 9; Bruce y chumacher, 96; Romah de la ega, et al., 99; Avery y Burkhart, ). [.] / L [.] ' L / [.] N ' / 6 L /,

23 .6. La Regla del Trapeco Exste ua forma partcular de seleccoar los rectágulos e la aproxmacó del área bajo ua curva. e relacoa a cada subtervalo o segmeto co u rectágulo cuya área es el promedo de los rectágulos co alturas f ) y f x ) las cuales correspode a las alturas ( x e sus extremos. La aproxmacó resultate es equvalete a ua aproxmacó medate trapecos e dode ua líea recta coecta a los putos ( x, f ( x ) ) y ( x, f ( x ) ) de cada segmeto como se muestra e la fgura.8, a la que se deoma regla del trapeco (tewart, ). ( Y Y = f(x) X Fgura.8. Aproxmacó al área bajo ua curva e u tervalo medate la regla del trapeco..7. El Modelo Cóco egmetado (MC) se gra la curva de la fgura.8, y el área bajo ella, u águlo alrededor del eje x, se geera u sóldo de revolucó. se aplca la msma rotacó a los trapecos, resulta ua aproxmacó al volume de dcho sóldo medate coos trucados. El volume total se estma obteedo prmero el volume de cada uos de los trapecos y posterormete se suma. Ya sea que se utlce coos trucados de la msma o dferete logtud, el modelo de aproxmacó descrto, es a lo que se deoma Modelo Cóco egmetado (MC) (Cruz de Leó y Cruz de Leó, 6). El modelo esta soportado e la ecuacó de volume de coo trucado.

24 [.6] v l ( d ( d d' ) d') e dode d y d so los dámetros mayor y meor de u coo trucado de logtud l. Realzado u poco de algebra, la ecuacó ateror també se puede expresar de la sguete maera, [.7] v l [ d d' dd'] o be, [.8] v l ' ' que es su forma más coocda. El coo y el cldro so casos partculares de esta ecuacó e los lmtes cuado d tede a cero y cuado d tede a d, respectvamete..8. Aplcacó del MC a las medcoes forestales Los métodos de aproxmacó utlza comúmete segmetos de gual logtud por smplcdad pero los prcpos del cálculo so geerales y vale para el caso de segmetos de dferete logtud (Courat y Joh, 96; tewart, ). E base a lo ateror, la aplcacó geeral del modelo cóco segmetado al campo de las medcoes forestales que se sugere e la refereca Cruz de Leó y Cruz de Leó (6) se lustra e la fgura.9. 6

25 Fgura.9. El Modelo Cóco egmetado (MC). E geeral, el modelo aproxma cualquer geometría de u troco de árbol medate segmetos e la forma de coos trucados, cldros y u coo e la puta. E esta fgura e partcular, o se utlzaro cldros. E dcha refereca, també se muestra que el método de Newto queda e fucó de los métodos de uber y mala medate la sguete expresó. [.9] N. La ecuacó [.9] es geeral y puede verfcarse fáclmete a partr de la ecuacó [.]. 7

26 .9. Dámetros Dedrométrcos Cuado ua seccó trasversal de u troco o troza es asmétrca respecto a su eje, e dedrometría se defe: el dámetro medo artmétco (d a ), el dámetro medo cuadrátco (d c ) y el dámetro medo geométrco (d g ), basados e los dámetros extremos de la troza o troco que correspode al dámetro mayor y dámetro meor (d m y d M ), medate las sguetes expresoes. [.] d a d m d M d c d m d M d g d m d M.. Dámetros medos para ua altura de pecho rregular Es muy comú que, e ocasoes, la zoa de terés para la medcó de dámetro o solo sea asmétrca, so també muy rregular o co deformacoes. E partcular, cuado se requere medr el dámetro característco e medcoes forestales que es el dámetro a la altura del pecho, deomado así porque se le cosdera a la altura de. metros y se ecuetra exactamete e la zoa mecoada, se mde el dámetro a ua dstaca determada por ecma de la altura del pecho y el dámetro a esa msma dstaca por debajo de la msma; obteedo de esta maera u dámetro promedo. E base a estos dos dámetros, se defe los msmos tpos de dámetros que e la seccó precedete. (Déguez-Arada et al., ). 8

27 . METODOLOGÍA La metodología utlzada e el presete trabajo se basa, e geeral, e los métodos de aproxmacó del cálculo y e partcular, e el MC, de coformdad co el materal mostrado e el capítulo ateror. e utlza además, álgebra elemetal para dervar las ecuacoes y aplcar el límte cuado el úmero de segmetos tede a fto. E el presete capítulo se descrbe, de maera esquemátca la forma e que se aplcará dcho modelo a ua esfera de rado utaro, u parabolode, u coo y u elode, como fucó del úmero de segmetos. Cruz de Leó y Cruz de Leó (6), propoe al MC como u método geeral de aproxmacó para cualquer soldo de revolucó, que tee su fudameto matemátco e el aálogo trdmesoal de la regla del trapeco, del cálculo y la ecuacó de coo trucado [.8]. Alfaro Trujllo (8), muestra que los métodos estádar de cubcacó també correspode a métodos partculares de aproxmacó del cálculo, que puede ser defdos e base a dferetes relacoes matemátcas y hacedo uso de la defcó de los dámetros dedrométrcos, geeralzada a cualquer segmeto o troza. Por lo tato, dchos métodos puede també ser aplcados a cualquer sóldo de revolucó, o solo a trocos y trozas. Esa tarea se lleva acabo aquí, por vez prmera, para el caso de la esfera de rado utaro como fucó del úmero de segmetos, de maera smlar al MC... Estmacó de olúmees Para estmar el área debajo de ua curva es ecesaro estmar por separado el área del rectágulo correspodete a cada segmeto cosderado y posterormete sumar las áreas de todos los segmetos. Por facldad, se utlza segmetos de gual logtud. De coformdad co lo mecoado e la seccó.6, para ua fucó dada f x, la altura del -ésmo segmeto será f x, e dode x es el puto muestra correspodete a dcho segmeto. se deota por l a la logtud de cada segmeto, el área para cada segmeto se defe como: 9

28 [.] A lf x ), ( y el área total como, [.] A T A. E forma smlar, para el caso del volume de u sóldo de revolucó, al dvdr el eje x e tervalos de gual logtud, l, y cosderar el volume asocado a ellos, se tedrá ua espece de seccoes o rebaadas. E geeral, al utlzar métodos de aproxmacó para estmar el volume de cada rebaada, se aproxma su geometría a la de u cldro co ua seccó trasversal promedo por cada método. e defe el volume del -ésmo segmeto como, l, [.] e dode es la seccó trasversal promedo del -ésmo segmeto. Al sumar el volume de los cldros, se tedrá ua estmacó del volume total del sóldo de revolucó, que se defe como:. [.] E partcular, al aplcar el MC se aproxma cada rebaada del sóldo de revolucó medate u coo trucado. Este procedmeto se aplcará a las geometrías de terés como se descrbe a cotuacó.

29 .. Estmacó del volume de ua esfera de rado utaro Cruz de Leó y Cruz de Leó (6), obtuvero el volume para ua esfera de rado utaro dvdda e dez segmetos medate el MC. E este trabajo se derva ua fórmula geeral válda para cualquer úmero de segmetos. E la fgura., se lustra la forma como se aplca el MC a ua esfera. La aproxmacó al volume se realza medate coos trucados y dos coos e los extremos. La fgura muestra cortes trasversales de la esfera, que pasa por su cetro, para los casos de, y segmetos, respectvamete. = = = Fgura.. Aplcacó del MC a ua esfera. e muestra cortes trasversales que pasa por su cetro, para los casos de, y segmetos... Estmacó del volume de u parabolode De acuerdo co el materal de la seccó.6, uo de los métodos para aproxmar el área bajo ua curva es utlzado la regla del trapeco para u determado úmero de segmetos. El prmer tpo dedrométrco de terés para este trabajo es el parabolode. La aplcacó de la regla del trapeco para estmar el área bajo la curva geeratrz de u parabolode, de altura, se lustra e la fgura.. e muestra como ejemplo el caso para segmetos, de logtud /.

30 Fgura.. Curva geeratrz de u parabolode de altura y dvsó e segmetos de gual logtud. se gra la curva de la fgura., juto co el área total bajo ella, u águlo de π alrededor del eje x, se geerará etoces u parabolode. se aplca el msmo gro a los trapecos, se geerara coos trucados. El resultado fal, será ua aproxmacó al volume del parabolode medate coos trucados, que correspode precsamete a la aplcacó del MC, como se muestra e la fgura.. Fgura.. Parabolode y su oretacó típca e u sstema coordeado trdmesoal para propósto de cálculo.

31 .. Estmacó del volume de u coo Al gual que e el caso ateror, e la fgura., se muestra la líea geeratrz de u coo de altura, co la dvsó e dez segmetos de gual logtud y la correspodete aplcacó de la regla del trapeco. E este caso la regla del trapeco proporcoa el área exacta bajo la curva. Fgura.. Curva geeratrz de u coo de altura, dvsó e segmetos de gual logtud y aplcacó de la regla del trapeco. se gra la curva de la fgura., juto co el área bajo ella, e u águlo de π alrededor del eje x, se geerará u coo. Al aplcar el msmo gro a los trapecos, se geera coos trucados que o es otra cosa que la aplcacó del MC a u coo. Lo ateror se lustra e la fgura..

32 Fgura.. Coo y su oretacó típca e u sstema coordeado trdmesoal para propósto de cálculo. Como puede verse, este es u caso trval e dode el MC proporcoa el volume exacto... Estmacó del volume de u elode De forma smlar a los casos aterores, e la fgura.6, se muestra la curva geeratrz de u elode de altura, la dvsó e dez segmetos de gual logtud y la correspodete aplcacó de la regla del trapeco para estmar de maera aproxmada el área bajo ella. Fgura.6. Curva geeratrz de u elode de altura, dvsó e segmetos de gual logtud y aplcacó de la regla del trapeco.

33 E la fgura.7, se muestra el sóldo de revolucó geerado al grar la curva de la fgura.6, juto co el área bajo ella, e u águlo de π alrededor del eje x, deomado elode. També se muestra los coos trucados obtedos al grar de gual maera a los trapecos de la fgura.6, lo que correspode a la aplcacó del MC a u elode. Fgura.7. Nelode y su oretacó típca e u sstema coordeado trdmesoal para propósto de cálculo..6. Cálculo aalítco del volume para los casos de = y = e realzaro los cálculos aalítcamete por seccoes, para el parabolode, coo y elode medate la aplcacó del MC y també medate cada método de cubcacó estádar para y segmetos. Algo smlar se hzo e el caso de la esfera, excepto que se realzaro los cálculos para 6 y segmetos, debdo a que la fórmula geeral se dervó úcamete para segmetos pares.

34 .7. Cálculo umérco para cualquer fta e aalzó el modelo e geeral para u úmero de segmetos y se determaro aalítcamete las fórmulas de volume como fucó tato del úmero de segmetos como del segmeto e partcular. acedo ua excepcó e la fórmula geeral de la esfera, e dode, para facltar el calculo de su volume total, solo se realzara los cálculos para la mtad de los segmetos e los que fue dvdda y se multplcó por dos. e aplcaro las fórmulas geerales e Excel, para varos úmeros de segmetos. E partcular, para u úmero de segmetos mayor de, e dode ya es muy dfícl o mposble realzar los cálculos aalítcamete, así como las correspodetes a los métodos estádar de cubcacó y se realzó su comparacó. E geeral para cualquer fta, el procedmeto del cálculo se puede realzar medate Excel de acuerdo al procedmeto de ua hoja de cálculo. e troduce las varables dscretas, e, e las prmeras dos columas, y la correspodete fórmula geeral, que es fucó de aquellas, se serta e la tercera columa. El úmero de segmeto se asga maualmete. e realzaro los cálculos para =,,, y. Auque se puede hacer el cálculo para cualquer úmero de segmetos, se cosderó sufcete hasta para los tpos dedrométrcos cláscos. E el caso de la esfera, se calculó aalítcamete el volume para 6 y segmetos; metras que e Excel se calculó para 6,,,, y segmetos, debdo a que se requere segmetos pares. Los cálculos aalítcos realzados para úmeros pequeños de segmetos, srvero como datos de refereca para probar que las fórmulas troducdas e Excel estaba escrtas correctamete. El software de Excel es muy sesble a errores mímos e la escrtura de las fórmulas matemátcas. Ua vez que e Excel se reprodujero exactamete todos los datos mecoados, se tuvo la segurdad de que las fórmulas estaba be escrtas y que podía realzarse el cálculo para cualquer úmero de segmetos. 6

35 .8. Cálculo del lmte cuado Falmete, para cada caso, se determó aalítcamete por métodos algebracos estádar, el límte cuado el úmero de segmetos tede a fto, a partr de las fórmulas geerales proporcoadas por el modelo, verfcádose que se obtuvera los volúmees exactos respectvos..9. Defcó de otacó E lo que resta del trabajo, se utlzará la otacó Met k, Geo para el volume del segmeto, e dode Met represeta al método correspodete, Geo a la forma geométrca, k es el úmero de segmeto (k=,,,, ) y el úmero total de segmetos. Para los volúmees totales, co segmetos, se utlzará smplemete la otacó Met Geo. La termología para las Geo volucradas será: E, E, P, C y N, para esfera, sem-esfera, parabolode, coo y elode, respectvamete. La termología para Met, será: MC, Ex,, y Nw, para los métodos, Modelo Cóco egmetado, Exacto, de mala, de uber y de Newto, respectvamete. Por ejemplo, Nw N, sgfca el volume del tercer segmeto de u elode que ha sdo dvddo e segmetos, estmado medate el método de Newto. mlarmete, Nw N sgfca el volume total estmado para u elode dvddo e segmetos, utlzado el método de Newto, que o es otra cosa que la suma de los volúmees de los segmetos dvduales, Nw N k,, e dode k=,,,,. 7

36 . REULTADO Los resultados y detalles precsos de cálculo para cada ua de las aplcacoes mecoadas e el capítulo prevo, para cada ua de las geometrías de terés mecoadas: esfera, parabolode, coo y elode, forma el materal del presete capítulo... Aplcacó del MC a ua esfera de rado utaro como fucó del úmero de segmetos Como se ha señalado prevamete, el presete trabajo represeta la prmera aplcacó del MC. Dcho modelo es geeral y puede aplcarse para la estmacó de volume de cualquer sóldo de revolucó. Ates de llevar el modelo al campo de las medcoes forestales, como ejemplo de esta geeraldad, se aplca el modelo para estmar el volume de ua esfera de rado utaro como fucó del úmero de segmetos. Los resultados se compara co el volume exacto para dcha esfera ( / ). El proceso es smlar a la aproxmacó al volume de la msma esfera, medate cldros, que preseta tewart (). Los métodos de cubcacó estádar mala, uber y Newto, represeta métodos de estmacó de volume de trozas o segmetos de troco de árbol. Estos últmos, se modela como sóldos de revolucó, lo que sugere que los métodos señalados podría cosderarse como métodos de aproxmacó para otros sóldos de revolucó. De maera smlar al MC, se aplcaro dchos métodos para la estmacó de volume por segmetos e la esfera de rado utaro. E este caso, també se determaro las fórmulas geerales del volume correspodete a los métodos de cubcacó estádar, para los segmetos de la esfera. asta dode se tee coocmeto, dchos métodos o se ha aplcado explíctamete fuera del campo forestal, por lo que el materal correspodete també represeta ua aportacó orgal de esta tess. La dea ateror, es ua de las bases que propcaro u trabajo de ufcacó etre los métodos aproxmados del cálculo y los métodos de cubcacó forestal (Alfaro-Trujllo, 8). 8

37 ... Obtecó de fórmulas geerales para la aplcacó de MC a ua esfera de rado utaro Para dar u efoque de lo que mplca la obtecó de fórmulas geerales para la aplcacó de MC a ua esfera, es ecesaro hacer u dagrama e el cual se lustre el seccoameto e fucó del úmero de segmetos. Por smetría, es sufcete hacer el aálss para meda esfera y posterormete duplcar el resultado. Esto, mplca que se cosderará úcamete el caso de u úmero par de segmetos. E u sstema cartesao trdmesoal e dode el eje z es perpedcular al plao de la pága, el seccoameto para meda esfera, se observaría como se muestra e la fgura.., Fgura... Corte trasversal que lustra la aplcacó geeral del MC a ua esfera de rado utaro para u úmero par de segmetos. El eje z es perpedcular a la pága. Para obteer las fórmulas geerales que se requere, se parte de la ecuacó de u círculo de rado utaro para el plao x-y de la fgura.., la cual es: [..] x y. 9

38 despejado y, su expresó queda de la sguete maera: [..] y x r. Co la ecuacó ateror, se obtee los rados de las seccoes trasversales e los extremos de cada segmeto para la esfera. E térmos de las varables, y, dchos rados queda como muestra la tabla... Tabla... alores de los rados de las seccoes trasversales de los extremos de segmetos e la esfera de rado utaro. x y x r / x (/ ) y x (/ ) / x (/ ) x (/ ) y y / / y x ( ) y x ( / ) y El modelo cóco segmetado está basado e la ecuacó de volume de coo trucado, la cual puede ser expresada de dsttas maeras (Cruz de Leó y Cruz de Leó, 6), sedo su forma más coocda: l v [ d d' dd'] [..] para u segmeto de logtud l co dámetros d y d e sus extremos.

39 De acuerdo co la otacó defda e la seccó.9 y la ecuacó [..], el volume del k- ésmo segmeto, co k=+, para el MC queda expresado e fucó de los rados respectvos como: [..] Geo MC r r r r l,. La logtud de segmeto es, l /. De la tabla.., puede verse que los valores correspodetes a los rados, para la esfera de rado utaro, está dados por [..] r y [..6] r. Por lo tato, la fórmula geeral del MC, para el segmeto de sem-esfera queda expresada de la sguete maera: [..7], E MC.

40 ... Obtecó de la fórmula geeral para el volume exacto de segmeto e la esfera de rado utaro Los volúmees exactos e fucó de y para los segmetos de la sem-esfera se obtee medate téccas estádar del cálculo tegral: [..8] E Ex dx y, De la ecuacó [..] al despejar y, se tee que [..9] x y usttuyedo [..9] e la ecuacó [..8] resulta, [.] E Ex dx x, dx x dx x x. La expresó para el volume exacto de segmeto de la sem-esfera, queda falmete como [..], E Ex.

41 El volume total exacto de la sem-esfera Ex E es la suma de los volúmees dvduales de ExE la ecuacó [..], y el volume total exacto de la esfera esta dado por ExE Los volúmees totales de sem-esfera y esfera de rado utaro está dados por ( / ) y ( / ). No depede de s se cosdera segmetos co volúmees exactos. El ejercco tee como objetvo proporcoar los valores exactos por segmeto, como refereca, para posterormete comparar co los proporcoados por los métodos aproxmados.... Resultados de la aplcacó aalítca de MC a ua esfera de rado utaro co 6 segmetos E la fgura.., se lustra la geometría a cosderar, e la aplcacó del MC a ua esfera co 6 segmetos. e muestra cortes trasversales que pasa por su cetro. De coformdad co el aálss mostrado e la sub-seccó.., debdo a que es ua fgura smétrca, solo se requere realzar los cálculos para la mtad de la esfera. Para obteer su volume total, se multplca por dos el resultado obtedo. Fgura... Aplcacó del modelo cóco segmetado a ua esfera de rado utaro co 6 segmetos. e aproxma el volume medate coos trucados y dos coos e los extremos. La fgura muestra u corte trasversal que pasa por el cetro de la esfera. La fórmula geeral del MC para cada segmeto, e ua sem-esfera co tres segmetos, esta dada por

42 MC E, () [..] Para el prmer segmeto, =, k=, el volume esta dado por. MC E, Para el segudo segmeto, =, k=, MC E, Para el tercer segmeto, =, k=, MC E, e suma los resultados del volume de cada ua de las regoes y posterormete se multplca por, para obteer el volume total de la esfera co 6 segmetos MC E MC E MC E MC E 6 (,,, ) MC E ( ) (.9879) Total Del msmo modo fuero realzados los cálculos para segmetos respectvamete; los cuales se muestra de forma completa e el apédce A.

43 ... Resultados para ua esfera de rado utaro co 6 segmetos medate la fórmula geeral del volume exacto Para este caso, basta aplcar la fórmula geeral del volume exacto de segmeto para ua sem-esfera co tres segmetos, [..]. E Ex Para el prmer segmeto, =, k=, el volume esta dado por, E Ex.87 Para el segudo segmeto, =, k=,, E Ex

44 Para el tercer segmeto, =, k=, ExE, El volume total exacto para la esfera co 6 segmetos, hasta el oveo dígto, es ExE EE EE EE 6 (,,, ) (.99) El valor ateror o es otra cosa que u valor redodeado de ( / ). Los resultados para el volume de segmeto de la sem-esfera y el volume total, co 6 segmetos, para el caso exacto y para el MC, se muestra e la tabla... Tabla... olúmees de segmeto para la semesfera y volume total de la esfera de rado utaro co 6 segmetos. No. de segmeto k Ex E k, MC E k, olume de esfera = k o ExE k, = = k o MC E k, =

45 ... Resultados de la aplcacó aalítca del MC a ua esfera de rado utaro co segmetos Como e el caso ateror, para segmetos, se comeza co la aplcacó del modelo de acuerdo co la lustracó geométrca que se muestra e la fgura... Fgura... Aproxmacó de volume a ua esfera de rado utaro co segmetos medate la aplcacó del MC. Cortes trasversales e el cetro de ua esfera. E este caso, basta aplcar la fórmula geeral para el volume de segmeto para ua semesfera de cco segmetos, [..] MC E, () El procedmeto de cálculo de volume por segmeto es smlar al mostrado e la subseccó... E la tabla.., se muestra los resultados para cada segmeto de sem-esfera y el volume total de la esfera para el caso exacto y para el MC. Los cálculos aalítcos para segmetos se muestra e el apédce A. 7

46 Tabla... olúmees por segmeto para la sem-esfera co segmetos y volume total de la esfera. No. de segmeto k Ex E k, MC E k olume de esfera = k ExE k, = = k MC E k, = Resultados obtedos al aplcar el MC a ua esfera de rado utaro para 6,,,, y segmetos, respectvamete, medate Excel Después de haber obtedo las fórmulas geerales para calcular cualquer, tato del volume exacto de la esfera como del MC, estas fórmulas fuero troducdas e Excel para hacer los cálculos correspodetes para 6,,,, y segmetos respectvamete. e verfcó que los resultados arrojados medate Excel para 6 y segmetos, reprodujera exactamete a los obtedos aalítcamete. E la tabla.., se muestra los resultados obtedos e Excel como fucó del úmero de segmetos para el caso exacto y para el MC. 8

47 Tabla... olume total de ua esfera de rado utaro como fucó del úmero de segmetos utlzado las fórmulas geerales de MC e Excel Número de segmetos Ex E MC E Cálculo aalítco del límte cuado para el volume total de la esfera de rado utaro aplcado el MC A partr de la fórmula geeral obteda al aplcar el MC, se procedó a la realzacó del cálculo aalítco del límte cuado se muestra a cotuacó. para el volume total de la esfera. Dchos cálculos La fórmula geeral para el volume del (+)-ésmo segmeto medate el MC, també puede expresarse como MC E,. [..] El volume total esta dado por: MC E MC E, [..6] 9

48 Aproxmacó de úmeros grades. Para mucho mayor que, ( ), para la raíz de la ecuacó ateror, se obtee la sguete aproxmacó, para el térmo co raíz, e fucó de y : [..7] E esta aproxmacó, el volume total de la sem-esfera e fucó de y esta dado por, MC E, [..8] E el volume total esta volucrado el térmo, que esta dado por tewart () como 6 6 [..9] Etoces, el volume total de la sem-esfera, e la aproxmacó de úmeros grades, queda como

49 [..] MC E MC E, 6. 6 Falmete, al aplcar el límte matemátco cuado últmos térmos a la derecha de la ecuacó, resultado que: MC E lm, se aula dcho límte para los dos MC E, [..] Ex E Por lo tato, MC E MC E ExE De esta forma, e el límte cuado tede a fto el MC recupera el volume total exacto de la esfera de rado utaro, de coformdad co lo que exge las reglas formales del cálculo, para cualquer método de aproxmacó que se utlce...8. Fórmula geeral del volume de segmeto para ua esfera de rado utaro, como fucó del úmero de segmetos, utlzado el método de mala Por defcó, el volume de mala para el -ésmo segmeto, esta dado por / E ( ) /, l [..]

50 e dode, el área de las seccoes trasversales e los extremos de la troza a medr so dámetros represetados por (), las cuales está e fucó de las varables dscretas y. La logtud de la seccó es l. [..], E r r l r r. usttuyedo los valores para los rados dados por las ecuacoes [..] y [..6], resulta [..], E...9. Fórmula geeral del volume de segmeto para ua esfera de rado utaro, como fucó del úmero de segmetos, utlzado el método de uber Para el volume de segmeto por el método de uber, també a partr de su defcó, esta dado por [..]. E l l l.

51 E térmos de los rados de las seccoes trasversales e los extremos del segmeto, el volume del msmo se expresa como: E, lr. [..6] usttuyedo la expresó para el rado correspodete, la fórmula geeral para el volume de segmeto e el caso de uber es, [..7] E,.... Fórmula geeral del volume de segmeto para ua esfera de rado utaro, como fucó del úmero de segmetos, utlzado el método de Newto Falmete, para la obtecó de la fórmula geeral para el volume de Newto, se hzo uso de la relacó que tee co los volúmees de uber y de mala, la cual esta dada por la ecuacó [.9]. De esta forma, el volume de segmeto e el caso de Newto es: [..8] NwE, E E,,.

52 ... Estmacó del volume de ua esfera de rado utaro co 6 segmetos utlzado los métodos estádar de cubcacó Método de mala. La fórmula para el volume de segmeto para ua sem-esfera co tres segmetos utlzado el método de mala, está dada por: [..9], () E. El volume para el prmer segmeto, =, k=, es:, () E El volume para el segudo segmeto, =, k=, es:, E

53 El volume para el tercer segmeto, =, k=, es: E, El volume total de la esfera co 6 segmetos co el método de mala esta dado por: E E E E 6 (,,, ) (.676). 79 Método de uber. La fórmula para el volume de segmeto de la sem-esfera co tres segmetos por el método de uber, es: [..], E. ()

54 6 El volume para el prmer segmeto, =, k=, es:, E El volume para el segudo segmeto, =, k=, es:, E El volume para el tercer segmeto, =, k=, es:, E

55 El volume total para la semesfera co 6 segmetos para el método de uber es E E E E 6 (,, ) (.89) Método de Newto. La fórmula para el volume de segmeto de ua sem-esfera co segmetos, utlzado el método de Newto, es: [..] NwE, E E,, El volume para el prmer segmeto, =, k=, es: NwE, El volume para el segudo segmeto, =, k=, es: NwE,

56 El volume para el tercer segmeto, =, k=, es: NwE, El volume para la esfera, co 6 segmetos, segú el método de Newto, es: NwE NwE NwE NwE 6 (,,, ) (.99).8879 E la tabla.., se resume los resultados de los volúmees totales, así como los resultados obtedos para cada uo de los segmetos e partcular. Tabla... olúmees de segmeto y totales e la esfera de rado utaro para 6 segmetos para cada uo de los métodos de cubcacó. No. de segmeto k Ex E k, MC E E k, E k, k, Nw E k, olume de esfera 8

57 ... Estmacó del volume de ua esfera de rado utaro co segmetos utlzado los métodos estádar de cubcacó E forma smlar al caso de la esfera co ses segmetos, se realzaro los cálculos aalítcos para segmetos, los cuales se preseta e el apédce A. E la tabla..6 se resume los resultados obtedos. Tabla..6. olúmees de segmeto y totales, resultates de los métodos de cubcacó estádar para ua esfera de rado utaro co segmetos. e cluye los resultados del volume exacto y el MC, obtedos e el captulo prevo, para efectos de comparacó. egmeto k Ex E k, MC E k, E k, E k, Nw E k, olume de esfera Obsérvese que el método de Newto proporcoa los resultados exactos para la esfera de rado utaro de maera smlar a como ocurre co los tpos dedrométrcos cláscos.... Estmacó del volume de ua esfera de rado utaro co 6,,,, y segmetos utlzado los métodos estádar de cubcacó medate Excel Al gual que e el caso del MC, las fórmulas geerales para los métodos estádar de cubcacó, fuero troducdas e Excel para hacer los cálculos correspodetes para 6,,,, y segmetos, respectvamete. Los resultados obtedos medate Excel, para 9

58 6 y segmetos, se compararo co los resultados obtedos aalítcamete. e verfcó que fuera exactamete los msmos. E la tabla..7, se muestra los resultados obtedos medate los métodos estádar para ua esfera de rado utaro utlzado Excel, para los dferetes valores del úmero de segmetos,, a partr de las fórmulas geerales. e cluye també los resultados del método exacto y del MC para efectos de comparar y resumr los resultados. Tabla..7. Resultados del volume total para la esfera de rado utaro calculados medate Excel para todos los métodos utlzados y co dferetes valores del úmero de segmetos,, a partr de las fórmulas geerales. Número de egmetos Ex E MC E E E Nw E , Obsérvese que el método de Newto proporcoa resultados exactos para la esfera de maera smlar a como ocurre e el caso de los tpos dedrométrcos cláscos.

59 ... Resume de resultados para ua esfera de rado utaro E la tabla..8, se muestra todas las fórmulas geerales para estmar el volume de segmeto e ua semesfera de rado utaro, como fucó del úmero de segmetos, que fuero obtedas e este trabajo. Tabla..8. Fórmulas geerales para el volume de segmeto obtedas para cada método de cubcacó para ua semesfera de rado utaro. Método E Met, Exacto MC mala uber Newto E E,,

60 .. Aplcacó del MC a u parabolode como fucó del úmero de segmetos E esta ocasó, se cosderará la aplcacó del MC a u parabolode, al cual se le aplcará los msmos métodos y procedmetos para la obtecó de resultados que se aplcaro a la esfera. Como se mecoó e la seccó., las geometrías de los tpos dedrométrcos cláscos so geeradas por la fucó y P Ax, e dode p es u úmero etero postvo que defe la forma del cuerpo de que se trata, A es ua costate deomada el parámetro de forma, x y y so las coordeadas e u sstema cartesao bdmesoal (Deguez-Arada et al, ; Castro, 9; Romah de la ega, 99; West, ). E forma smlar al caso de la esfera, para llevar a cabo la aplcacó del modelo, se obtuvero las fórmulas geerales del MC y del volume exacto e fucó del segmeto de terés y el úmero de segmetos, respectvamete. El modelo se aplcó de maera aalítca a u parabolode co y segmetos respectvamete. També se hcero los cálculos correspodetes para,,, y segmetos medate el software Excel, hacedo uso de las fórmulas geerales prevamete obtedas. Los resultados para y segmetos medate cálculo aalítco, fuero utlzados como datos de refereca para verfcar que se reproducía de maera exacta medate Excel y de esa forma asegurarse que las fórmulas matemátcas estuvera escrtas correctamete y podía utlzarse para cualquer úmero de segmetos. Al gual que e el captulo prevo, etre mayor sea el umero de segmetos la aproxmacó al volume total del parabolode será mejor. Falmete, se realzó el cálculo aalítco del límte cuado.

61 E éste y los sguetes dos capítulos, se aalzará las geometrías de parabolode, coo y elode e la forma covecoal e que se oreta e sstema cartesao trdmesoal e Dedrometría. Esto se hace e forma vertda al caso de la sem-esfera como se verá más adelate. e dervaro fórmulas geerales para el volume de segmeto como fucó del úmero de segmeto y del úmero total de segmetos, pero se usaro sólo e los cálculos co Excel. E los cálculos aalítcos para y segmetos, se trabajaro las ecuacoes de volume como fucó de las áreas de las seccoes trasversales, por cosderarse que smplfca el trabajo maual y es el procedmeto usual e Dedrometría.... Obtecó de fórmula geeral al aplcar el MC a u parabolode Para mostrar lo que mplca la obtecó de fórmulas geerales e la aplcacó del MC a u parabolode, es ecesaro hacer u esquema e el cual se lustre el seccoameto como fucó del úmero de segmetos. Dcho seccoameto se observa e la fgura... Esta fgura, lustra u parabolode mostrado cortes trasversales a su eje prcpal. Dchos cortes defe segmetos. A cada segmeto se le aproxma por u coo trucado, se estma su volume y posterormete se suma, para obteer así el volume total del parabolode aplcado el MC. Fgura... Aplcacó geeral del modelo cóco segmetado a u parabolode para u úmero de segmetos.

62 Para obteer las fórmulas geerales, se partó de la ecuacó de parabolode obteda de la fucó geeratrz [..] y Ax E la cual, a la varable x se le asga los valores deseados para los cortes trasversales e los que fue dvddo el sóldo de revolucó, dchos valores posterormete se susttuye e la ecuacó [..], tal y como se lustra e la tabla... Tabla... alores asgados a la varable x para los cortes trasversales del sóldo de revolucó de la fgura.. y sus respectvos valores y dados por la ecuacó [..], así como su raíz cuadrada, y, que represeta los rados de dchas seccoes trasversales.. x y Ax y x / x / x (/ ) y y y A y / / r A y / / r A y r x / y A y r x / y A y r x / y A y r

63 El modelo cóco segmetado esta basado e la ecuacó de volume de coo trucado, cuya forma más coocda es la que se muestra e la ecuacó [..]. De acuerdo co dcha ecuacó y co la otacó defda e la seccó.9, el volume del k-ésmo segmeto, co k=+, para el MC queda expresado e fucó de los rados respectvos como MC Geo, r r r r [..] e dode, =,,,, (-). De la tabla.., puede verse que los valores correspodetes a los rados, para el parabolode, está dados por: [..] r y [..] r Por lo tato, la fórmula geeral del MC, para el segmeto de u parabolode queda expresada de la sguete maera, [..] MC, P A

64 6 Reacomodado u poco la ecuacó ateror queda como, [.6], P MC... Obtecó de fórmula geeral para el volume exacto, como fucó del úmero de segmetos para u parabolode El volume exacto para el segmeto, +, de u parabolode, esta dado por la ecuacó [..7] s s P Ex, que o es otra cosa que la ecuacó de mala para el segmeto, e dode s y s + represeta las seccoes de cada uo de los extremos del segmeto. La fórmula ateror també puede ser expresada de la sguete maera [..8] r r P Ex,

65 usttuyedo [..8] co los valores de [..] y [..] resulta, [..9] Ex P, / / Quedado como expresó fal la sguete: [..] Ex P,.... Resultados de la aplcacó aalítca del MC a u parabolode co segmetos E la fgura.., se lustra u parabolode co la correspodete aproxmacó a su volume medate el MC cosderado segmetos. Como se mecoó aterormete, por motvos de afdad co la lteratura sobre el tema, e este caso el aálss se hará e forma vertda. El prmer tervalo será el de la extrema derecha de la fgura y el últmo el de la extrema zquerda. Co la salvedad ateror, se segurá utlzado la otacó del capítulo prevo. 7

66 Fgura... Aplcacó del modelo cóco segmetado a u parabolode co segmetos. usttuyedo los valores de y dados e la tabla.., e la ecuacó [..], se obtee r los sguetes resultados. Para el prmer segmeto de la fgura.., =, k=, MC, P A / 9 / 9 9 =.69 = ( ) 8

67 Para el segudo segmeto, =, k=, MC, P ( ) Para el tercer segmeto, =, k=, MC, P ( ) 9

68 Para el cuarto segmeto, =, k=, MC, P ( ) Para el quto segmeto, =, k=, MC, P = (. ) 6

69 El volume total estmado co el MC para cco segmetos esta dado por, MC P MC P MC P MC P MC P MC (,,,, P ) = Resultados para u parabolode co segmetos medate el método exacto La fórmula geeral del volume exacto para cada segmeto, e u parabolode co cco segmetos, esta dada por la fórmula [..7] Para el prmer segmeto, =, k=, Ex, P

70 Para el segudo segmeto, =, k=, Ex, P Para el tercer segmeto, =, k=, Ex, P.96. 6

71 Para el cuarto segmeto, =, k=, Ex, P Para el quto segmeto, =, k=, Ex P, = Ah.68(. ) El volume exacto total de parabolode esta dado por: Ex P Ex P Ex P Ex P Ex P Ex (,,,,, P ). 6

72 e sabe que para u trucado de parabolode, cualquera de los métodos estádar, mala, uber o Newto, proporcoa el volume exacto (Deguez-Arada et al, ; Castro, 9; Romah de la ega, 99). Co la otacó de este trabajo, sgfca que Ex P P P N P,,,,. Lo ateror se verfcó realzado los cálculos respectvos para cada uo de los cco segmetos aterores pero el materal o se cluye por cosderarse rrelevate.... Resume de resultados para u parabolode co segmetos E la tabla.., se resume los resultados de los volúmees totales, así como los resultados obtedos para cada uo de los segmetos e partcular para cada ua de las fórmulas obtedas. Tabla... olúmees por segmeto y totales de parabolode co segmetos segú fórmulas geerales obtedas para el MC y el método exacto. No. de egmetos k Ex k, P (udades ) MC k, P (udades ) ol. Total Recuérdese que para parabolode, Ex P P P N P,,,,. 6

73 ..6. Estmacó del volume de u parabolode co segmetos utlzado el MC y el método exacto E forma smlar al caso de u parabolode co cco segmetos, se realzaro los cálculos aalítcos co segmetos, medate las fórmulas geerales del MC y el método exacto, los cuales se preseta e el apédce B. Para aplcar MC, se realza u seccoameto del sóldo de revolucó tal y como se lustra e la fgura.., e dode se observa los segmetos co los cuales se estmará el volume de dcho sóldo. Fgura... Aplcacó del modelo cóco segmetado a u parabolode co segmetos. E la tabla.. se resume los resultados obtedos para el volume total de parabolode medate cada uo de los métodos, cosderado que l /. 6

74 Tabla... olúmees de segmeto y totales obtedos medate el MC y el método exacto para u parabolode co segmetos. egmeto k Ex P k, (udades ) MC k, (udades P ) ol.total També e este caso se verfcó para cada uo de los segmetos, Ex P P P N P,,,,, pero o se cluye el materal...7. Resultados de los cálculos obtedos medate la aplcacó del MC a u parabolode co,,, y segmetos respectvamete por medo de Excel Las fórmulas geerales para el volume de segmeto de parabolode, tato para el MC como para el método exacto, [..6] y [..], fuero troducdas e Excel para hacer los cálculos 66

75 correspodetes a,,, y segmetos, respectvamete. Los resultados arrojados medate Excel, para y segmetos, fuero exactamete los msmos que los resultados aalítcos de las sub-seccoes Los cálculos aalítcos, srvero como datos de refereca para probar que las fórmulas troducdas e Excel estuvera escrtas correctamete. E la tabla.., se muestra los resultados obtedos e el programa de Excel, para cada úmero de segmetos y para cada uo de los métodos utlzados. Tabla... olúmees totales como fucó del úmero de segmetos para el método exacto y el MC. Número de egmetos Ex (udades P ) MC (udades P ) P P P P Recuérdese que para u parabolode, = = =. Ex Nw..8. Cálculo aalítco del límte cuado para el volume total de u parabolode aplcado el MC Falmete habedo obtedo los resultados calculados para cualquer a partr de las fórmulas geerales e Excel, se procedó a la realzacó del cálculo aalítco del límte cuado para el volume total de u parabolode. Dchos cálculos se muestra a cotuacó: 67

76 La fórmula geeral para el volume del -ésmo segmeto, co segmetos, estmado medate MC, esta dada por la sguete ecuacó [..] MC, P De esta forma, el volume total esta dado por: MC P MC, P e dode s se susttuye la ecuacó [..6], la fórmula del volume total queda expresada como MC P [..] MC P Al térmo co raíz se le llamará g, para aalzarlo por separado, es decr, g g ( ) g 68

77 69 es mucho mayor a, lo cual se expresa de maera estádar como >>, y se deoma aproxmacó de úmeros grades, se tee que g usttuyedo la expresó ateror de g e la ecuacó [..] se tee que [..], P MC El térmo, esta dado por (tewart, ) como, [..]. Por lo tato,, P MC

78 6. De esta forma, se obtee la sguete expresó [..] MC, P 6 Falmete, aplcado el límte matemátco cuado tede a fto e la expresó [..], se ecuetra que el volume exacto queda como [..6] MC P lm 6 que es el volume exacto coocdo para el parabolode, de altura, geerado por la ecuacó... 7

79 ..9. Resume de fórmulas geerales para u parabolode E la tabla.., se muestra las fórmulas geerales para estmar el volume de segmeto e u parabolode, como fucó del úmero de segmetos. Tabla... Fórmulas geerales para el volume de segmeto de parabolode, obtedas para cada método de cubcacó. Método Fórmula Exacto Ex P, MC MC, P mala=uber=newto =Exacto 7

80 .. Aplcacó del MC a u coo como fucó del úmero de segmetos guedo la msma metodología de los dos capítulos prevos, e esta ocasó, se aplca MC a u coo. E este caso, o es ecesaro realzar el cálculo aalítco del límte cuado, ya que MC es exacto para u coo depedetemete del úmero de segmetos. E forma aáloga al parabolode, el ejercco aparetemete obvo de seccoar u coo e coos trucados y determar el volume de los msmos, se realza para obteer los volúmees exactos de los msmos, que servrá de refereca al compararlos co los volúmees de segmeto obtedos medate los métodos estádar de cubcacó. E este caso, MC al gual que el método de Newto so exactos metras que los métodos de mala y uber, que so los más utlzados e la práctca, so aproxmados.... Obtecó de fórmulas geerales al aplcar el MC a u coo E la fgura.., se muestra el seccoameto para u coo e fucó del úmero de segmetos, cosderado u sstema cartesao trdmesoal. Fgura... Aplcacó geeral del modelo cóco segmetado a u coo para u úmero segmetos. 7

81 La fucó geeratrz correspodete al coo esta dada por, [..] y Ax para las coordeadas x, y de la fgura... E la tabla.., se muestra los valores de y y y, evaluados e las coordeadas x, e los extremos de los segmetos. Nuevamete, los valores y de la tabla.. correspode a los rados de las seccoes trasversales. Tabla... alores asgados a la varable x por cortes trasversales del coo. x y Ax y Ax x y A y A x y A y A x y A y A : : : x x y A y A y A y A x y A y La dervacó de las fórmulas geerales se obtee de la susttucó e la ecuacó de coo trucado [..] de los valores de los rados dados e la tabla... 7

82 [..] MC, C Co esta fórmula se obtee los resultados aalítcos para cada segmeto e partcular para y segmetos respectvamete. E forma smlar, se obtee las fórmulas geerales de volume de segmeto para los métodos de mala y uber. El método de Newto queda e fucó de los aterores medate la ecuacó [.9]. E la tabla.., se ecuetra las fórmulas geerales obtedas para cada uo de los métodos de aproxmacó. Tabla... Fórmulas geerales obtedas para cada método de cubcacó e u coo. Método Fórmula MC MC C, mala C, uber C, Newto Nw C C C,,, 7

83 ... Resultados de la aplcacó aalítca del MC para u coo co segmetos Aplcado el MC a u coo co cco segmetos, se lustra la geometría a cosderar e la fgura.., dode se muestra los cortes trasversales que pasa por su cetro, los cuales so calculados para la obtecó del volume total. Fgura... Aplcacó del modelo cóco segmetado a coo co segmetos. Para el cálculo aalítco, resulta más smple trabajar drectamete co la ecuacó de coo trucado correspodete a cada segmeto. Basta etoces, co susttur los valores de y dados e la tabla.., e la ecuacó [.8]. Prmer segmeto, =, k=, esta dado por MC, C 7

84 egudo segmeto, =, k=, esta dado por MC, C

85 Tercer segmeto, =, k=, esta dado por MC, C Cuarto segmeto, =, k=, esta dado por MC, C

86 Quto segmeto, =, k=, esta dado por MC, C e realza la sumatora del volume de cada regó, MC C MC C MC C MC C MC C MC,,,,, C =.... Resultados para u coo co segmetos medate el método de mala La fórmula geeral de mala para cada segmeto, e fucó de las varables dscretas,, queda como se muestra a cotuacó 78

87 [..] C, Para el cálculo aalítco, resulta más fácl utlzar drectamete la ecuacó mala para cada segmeto. A cotuacó se muestra los resultados para segmetos. Para el prmer segmeto, =, k=, C,.6 Para el segudo segmeto, =, k=, C,. 79

88 Para el tercer segmeto, =, k=, C,. Para el cuarto segmeto, =, k=, C,. 8

89 Para el quto segmeto, =, k=, C,. umado el volume de cada ua de los segmetos se obtee el volume total, C C C C C C,,,,, =.... Resultados para u coo co segmetos medate la fórmula geeral de uber La fórmula geeral de uber [..] y los resultados para cada segmeto se preseta a cotuacó. [..] C, 8

90 Para el cálculo aalítco, resulta más fácl utlzar drectamete la ecuacó uber para cada segmeto. A cotuacó se muestra los resultados. Prmer segmeto, =, k=, esta dado por 9 C, 9.6 egudo segmeto, =, k=, esta dado por 7 C, 7.98 Tercer segmeto, =, k=, esta dado por C,. 8

91 Cuarto segmeto, =, k=, esta dado por C, =.8 Quto segmeto, =, k=, esta dado por C,. La suma del volume de cada uo de los segmetos es la sguete: C C C C C C,,,,, =.... Resultados para u coo co segmetos medate la fórmula geeral de Newto La fórmula geeral de Newto y los resultados para cada segmeto se muestra a cotuacó. [..] Nw C C C,,, 8

92 Prmer segmeto, =, k=, esta dado por Nw C, egudo segmeto, =, k=, esta dado por Nw C, Tercer segmeto, =, k=, esta dado por Nw C, Cuarto segmeto, =, k=, esta dado por Nw C, Quto segmeto, =, k=, esta dado por Nw C, El volume total obtedo de la suma de cada uo de los segmetos es el sguete, Nw C Nw C Nw C Nw C Nw C Nw,,,,, C =. 8

93 E esta ocasó se realzaro los cálculos aalítcos medate la fórmula geeral de Newto, para comprobar la relacó que se ha vedo mecoado e capítulos prevos, etre el volume de uber y mala. E la tabla.., se resume los resultados obtedos medate cada método de cubcacó para u coo co segmetos. Del msmo modo fuero realzados los cálculos para segmetos; los cuales se muestra de forma completa e el apédce C. Tabla... olume total y por segmeto medate los métodos de cubcacó para u coo co segmetos. No. de egmetos k MC k, C (udades ) C k, (udades ) C k, (udades ) Nw C k, (udades ) ol. Total.... Obsérvese que los resultados del MC y el método de ewto so guales...6. Estmacó del volume para u coo co segmetos utlzado el MC y los métodos estádar de cubcacó Como e el caso ateror, se realza la aplcacó del MC para segmetos. E la fgura.., se muestra la geométrca a cosderar, dode se observa los segmetos co los que se obtedrá el volume total del sóldo de revolucó. 8

94 Fgura... Aplcacó del MC a u coo co segmetos. E la tabla.., se muestra los resultados obtedos para u coo, medate cada uo de los métodos de cubcacó. El proceso completo de cálculo para segmetos se muestra e el apédce C. Tabla... olume por segmeto y volume total de cada método de cubcacó. No. de egmetos k MC k, (udades C ) C k, (udades ) C k, (udades ) Nw C k, (udades ) ol. Total

95 ..7. Resultados de los cálculos obtedos medate la aplcacó del MC para u coo co,,, y segmetos respectvamete por medo de Excel Las fórmulas que se mostraro e la tabla.., fuero troducdas e Excel para obteer los resultados para,,, y segmetos respectvamete; dchos resultados se muestra e la tabla... Tabla... olúmees totales para los dferetes métodos como fucó del úmero de segmetos. Número de egmetos MC C (udades ) C (udades ) C (udades ) Nw C (udades )

96 ..8. Resume de fórmulas geerales para u coo E la tabla..6, se muestra las fórmulas geerales para estmar el volume de segmetos para u coo, que fuero obtedas e este trabajo. Tabla..6. Fórmulas geerales para el volume de segmetos obtedas medate cada método de cubcacó para u coo. Método Fórmula MC MC C, mala C, uber C, Newto Nw C C C,,, 88

97 .. Aplcacó del MC a u elode como fucó del úmero de segmetos E este capítulo se lleva a cabo la obtecó de volume medate el MC para u elode, aplcado el msmo procedmeto que e las seccoes prevas.... Obtecó de fórmulas geerales al aplcar el MC a u elode E la fgura.., se muestra el seccoameto e fucó del úmero de segmetos de u elode aplcado el MC. Fgura... Dagrama geeral del MC a u elode para segmetos 89

98 La ecuacó geeratrz del elode es, y Ax, [..] E la tabla.., se muestra los valores de y y y, evaluados e las coordeadas x, e los extremos de los segmetos. Los valores y de esta tabla correspode a los rados de las seccoes trasversales. Tabla... alores asgados a la varable x de la fucó geeratrz del elode. x y Ax y x y A y A x y A y x y A y : : : x x y A y y A y x y A y 9

99 Co base e la ecuacó del volume de coo trucado [.8], debdo a la susttucó de los rados respectvos para el caso de u elode, la fórmula geeral para el volume de segmeto, e fucó de las varables y queda expresada como, [..] MC N, ( ) mlarmete, la fórmula para obteer el volume exacto de u elode e fucó del úmero de segmetos queda expresada como [..] Ex N, Las fórmulas [..] y [..] se utlza para los cálculos co Excel. Por smplcdad, los cálculos aalítcos para y segmetos se realza utlzado las áreas de las seccoes trasversales e las ecuacoes respectvas de cada método. E la tabla.., se ecuetra las fórmulas geerales obtedas para cada método de aproxmacó. 9

100 Tabla... Fórmulas geerales obtedas para cada método de cubcacó para u elode. Método Fórmula Exacto Ex N, MC MC N, mala N, uber Newto N, 8 Nw N N N,,,... Resultados de la aplcacó aalítca del MC a u elode co segmetos La geometría a cosderar para u elode dvddo e segmetos, aplcado el MC, se muestra e la fgura... Fgura... Aplcacó del modelo cóco segmetado a u elode co segmetos. 9

101 Los parámetros requerdos para la estmacó del volume para segmetos, se muestra e la tabla... Tabla... alores dados a la ecuacó geeratrz de u elode. x y Ax y x x x x x y A y A y A y y A y y A y y A Para el cálculo aalítco, resulta más smple trabajar drectamete co la ecuacó de coo trucado correspodete a cada segmeto. Basta etoces, co susttur los valores de y dados e la tabla.., e la ecuacó [.8]. Para el prmer segmeto, =, k=, el volume esta dado por MC, N. 9

102 9.878 Para el segudo segmeto, =, k=,, N MC Para el tercer segmeto, =, k=,, N MC

103 Para el cuarto segmeto, =, k=, MC, N Para el quto segmeto, =, k=, MC, N...8. El volume total estmado, co segmetos, para u elode medate el MC es, MC N MC N MC N MC N MC N MC,,,,, N =.9 9

104 ... Resultados para u elode co segmetos medate el método exacto Los cálculos aalítcos para u segmeto de elode, se obtee de maera smple realzado ua dfereca etre los volúmees de los dos elodes completos asocados a cada extremo del segmeto de terés. Eseguda se resuelve el problema para segmetos. Para el prmer segmeto, =, k=, el volume esta dado por Ex, N e dode, ; A Por lo tato, Ex, N Para el segudo segmeto, =, k=, Ex, N e dode, 96

105 97 A Por lo tato,, N Ex Para el tercer segmeto, =, k=,, N Ex e dode, A, Por lo tato,, N Ex

106 Para el cuarto segmeto, =, k=, Ex, N e dode, Por lo tato, A, Ex, N Para el quto segmeto, =, k=, Ex, N A 98

107 .6. El volume total exacto del elode estmado co segmetos es, Ex N Ex N Ex N Ex N Ex N Ex,,,,, N =.... Resultados para u elode co segmetos medate la fórmula geeral de mala La fórmula geeral de mala para el segmeto de u elode como fucó del úmero de segmetos es, [..] N, Para el cálculo aalítco, resulta más fácl utlzar drectamete la ecuacó mala para cada segmeto. A cotuacó se muestra los resultados. 99

108 Para el prmer segmeto, =, k=, el volume está dado por N,.. Para el segudo segmeto, =, k=, N, Para el tercer segmeto, =, k=, N,

109 Para el cuarto segmeto, =, k=, N, Para el quto segmeto, =, k=, N, El volume total del elode, co segmetos, estmado co el método de mala es, N N N N N N,,,,, =.6... Resultados para u elode co segmetos medate la fórmula geeral de uber La fórmula geeral de uber para cada segmeto, se muestra a cotuacó

110 [..]. N, 8 Para el cálculo aalítco, resulta más fácl utlzar drectamete la ecuacó uber para cada segmeto. A cotuacó se muestra los resultados. Para el prmer segmeto, =, k=, 9,.79.8 Para el segudo segmeto, =, k=, 7,..686 Para el tercer segmeto, =, k=,,..

111 Para el cuarto segmeto, =, k=,,.7. Para el quto segmeto, =, k=,,.. El volume total de elode, co segmetos, estmado co el método de uber es, N N N N N,,,,, N =...6. Resultados para u elode co segmetos medate la fórmula geeral de Newto La fórmula geeral de Newto para cada segmeto, es la sguete Nw N N N,,, [..6].

112 Para el prmer segmeto, =, k=, Nw N, Para el segudo segmeto, =, k=, Nw N, Para el tercer segmeto, =, k=, Nw N, Para el cuarto segmeto, =, k=, Nw N, Para el quto segmeto, =, k=, Nw N, ).99999

113 El volume total de elode, co segmetos, estmado co el método de Newto es, Nw N Nw N Nw N Nw N Nw N Nw N,,,,, = E la tabla.., se resume los valores obtedos para cada segmeto y para cada método utlzado. Del msmo modo fuero realzados los cálculos para segmetos; los cuales se muestra de forma completa e el apédce D. Tabla... olume de cada segmeto y volume total de cada método de cubcacó segú fórmulas geerales obtedas para u elode co segmetos, e udades de. No. de egmetos k ( Ex k, N ) MC k, ( N ) ( N k, ) ( N k, ) ( Nw k, N olume Total )

114 ..7. Estmacó del volume de u elode co segmetos utlzado los dferetes métodos de cubcacó Como e el caso ateror, para la aplcacó del modelo co segmetos, se comeza por la geometría que lustra los segmetos co los cuales se obtedrá el volume del sóldo de revolucó, tal y como se observa e la fgura... Fgura... Aplcacó del modelo cóco segmetado a u elode co segmetos. E la tabla.. se resume los resultados obtedos para el volume total de u elode medate cada uo de los métodos de cubcacó estádar, cosderado que l /. 6

115 Tabla... olume por segmeto y por método de cubcacó para u elode co segmetos. No. de Ex N MC N N N Nw N egmetos k ( k, ) k, ( ) ( k, ) ( k, ) ( k, olume Total )..8. Resultados de los cálculos obtedos medate la aplcacó del MC a u elode co,,, y segmetos respectvamete por medo de Excel Co las fórmulas mostradas e la tabla.., las cuales fuero troducdas e Excel, se obtuvero los resultados que se muestra e la tabla..6. Tabla..6. olúmees totales obtedos e Excel para cualquer a partr de las fórmulas geerales. Número de egmetos ( Ex N ) MC ( N ) ( N ) ( N ) Nw ( N ) 7

116 ..9. Calculo aalítco del límte cuado Falmete habedo obtedo los resultados calculados para cualquer a partr de las fórmulas geerales e Excel, se procedó a la realzacó del cálculo aalítco del límte cuado para el volume total de u elode. Dchos cálculos se muestra a cotuacó: La fórmula geeral para el volume de segmeto, como fucó del úmero de segmetos, estmado medate el MC, esta dada por la sguete ecuacó [..7] MC N, El volume total esta dado por MC N MC, N se susttuye la ecuacó [..7] e [..8], el volume total queda expresado como [..8] MC N. E la aproxmacó de úmeros grades, >>, se tee que MC N, ( ) [..9] ( ) 8

117 ( ) El térmo,, dado por (tewart, ) como [..] ( ). usttuyedo [..9], [..] y [..], e [..9] y realzado el algebra correspodete, se obtee la expresó MC N, [..] Falmete, aplcado el límte matemátco cuado tede a fto e la expresó [..], se ecuetra que, [..] MC N lm MC, N que o es otra cosa que el volume exacto de u elode. De esta maera, queda probado que la aproxmacó medate el MC para u elode reproduce el volume exacto e el límte cuado el úmero de segmetos tede a fto, como lo requere los prcpos del cálculo. 9

118 ... Resume de fórmulas geerales para u elode E la tabla..7, se muestra las fórmulas geerales para estmar el volume de segmeto e fucó de las varables y para u elode. Tabla..7. Fórmulas geerales obtedas para cada método de cubcacó aplcado a u elode. Método Fórmula (udades ) Exacto E N, MC MC N, mala N, uber Newto N, 8 Nw N N N,,,

119 . ANÁLII Y CONCLUIONE e ha llevado a cabo extosamete la prmera aplcacó formal del MC a u sóldo de revolucó específco como fucó del úmero de segmetos. La geometría elegda como prueba fue ua esfera de rado utaro. Los resultados correspodetes, que se preseta e el capítulo., demuestra que el MC cumple co los requstos que exge el cálculo a los métodos de aproxmacó de volúmees. e realzaro cálculos aalítcos para 6 y segmetos. Aalzado el problema de maera geeral, se logró determar la fórmula para estmar el volume de cualquer segmeto como fucó del úmero de segmetos. Utlzado dcha fórmula, medate Excel, se estmaro los volúmees correspodetes a 6,,,, y segmetos. E los casos de 6 y segmetos se reprodujero exactamete los msmos resultados que se había obtedo prevamete medate cálculos aalítcos, lo que srvó como refereca para verfcar la escrtura correcta de la fórmula geeral e Excel. e observa claramete que coforme aumeta el úmero de segmetos, el resultado estmado se aproxma mejor al valor exacto del volume. La fuete de error más otora del método se orga porque e los segmetos extremos de la esfera el volume se aproxma medate coos. Falmete, a partr de la fórmula geeral para el volume total como fucó del úmero de segmetos, se realzó aalítcamete el cálculo del volume cuado dcho úmero tede a fto, recuperádose el volume exacto de la esfera de rado utaro, como lo exge el cálculo para cualquer método de aproxmacó. e añadó u gredete mportate al estudo ateror. Observado que los métodos estádar de cubcacó, mala, uber y Newto, o so otra cosa que métodos partculares de aproxmacó del cálculo, como se verfcó e Alfaro-Trujllo (8), també se aplcaro dchos métodos al caso de la esfera de rado utaro como fucó del úmero de segmetos. asta dode se tee coocmeto, esta es la prmera ocasó e que se cosdera tal aplcacó fuera del campo de las medcoes forestales. Los resultados muestra que para esta geometría, el método de Newto proporcoa los valores exactos del volume para cualquer úmero de segmetos. El método de mala sub-estma el volume metras que el método de uber lo sobre-estma. El MC sub-estma el volume u poco más que mala, hasta segmetos. Cosderado u redodeo hasta la

120 seguda cfra decmal, de segmetos e adelate, las dferecas etre métodos ya o so aprecables. El ejercco de la esfera dca claramete la factbldad de aplcacó del MC a cualquer sóldo de revolucó y muestra co detalle el método para llevarlo a cabo. De esta forma, se estuvo ya e codcoes de realzar la prmera aplcacó al campo de las medcoes forestales. e decdó por abordar ua fase teórca cal, elgedo como sóldos de revolucó a los tpos dedrométrcos cláscos, cldro, parabolode, coo y elode. De gual forma al caso de la esfera, la aplcacó formal del MC al caso de los tpos dedrométcos cláscos como fucó del úmero de segmetos fue llevada a cabo co éxto. e obtuvero resultados aalítcos para y segmetos. e dervaro fórmulas geerales para el volume de segmeto como fucó del úmero de segmetos y medate Excel se realzaro los cálculos para,,, y segmetos. e calculó aalítcamete el límte cuado el úmero de segmetos tede a fto para cada geometría y se comprobó e cada caso que el MC reproduce el volume total exacto. També se realzaro los estudos correspodetes aplcado los métodos de cubcacó estádar a los tpos dedrométrcos cláscos como fucó del úmero de segmetos. Nuevamete, cabe señalar aquí que o se tee coocmeto de que este tpo de estudos formales haya sdo realzado prevamete. E la tabla.., se resume las fórmulas geerales obtedas para el volume de segmeto como fucó del úmero de segmeto y del úmero total de segmetos, para los tpos dedrométrcos cláscos y para los métodos de cubcacó del MC, mala, uber y Newto. Dchas fórmulas costtuye la base fudametal del cálculo para llevar a cabo la tarea que se propuso e el presete trabajo.

121 . Resume de fórmulas geerales para el volume de segmeto como fucó del úmero de segmeto y del úmero total de segmetos, para los métodos MC, mala, uber y Newto. Met Geo, Parabolode (udades Met P, Ex P Ex Geo,, MC Geo MC P,, ) Coo (udades Met C, ) Ex C, Nelode (udades Met N, Ex N, ) MC N, Geo, Geo, Ex P, C, C, N, N, 8 Nw Geo, Ex C MC,, C Ex N,

122 Llevaría demasado espaco aalzar y dscutr co detalle todos los resultados obtedos para los tpos dedrométrcos cláscos. A cotuacó, se hace u breve aálss geeral que teta rescatar las característcas más sobresaletes que se observa e tales resultados. Para el cldro, todos los métodos, mala, uber, Newto y MC, proporcoa el volume exacto, de maera que los casos de mayor terés so parabolode, coo y elode. Los resultados para estas geometrías se preseta e las seccoes.,. y., respectvamete. E el parabolode, los métodos de mala, uber y Newto so exactos, metras que el MC sub-estma el volume, pero es próxmo al valor exacto cluso para u úmero pequeño, y, de segmetos. al gual que e la esfera, se cosdera u redodeo e dode se matega hasta la seguda cfra decmal, de segmetos e adelate la dfereca etre el volume total estmado por el MC y el valor exacto o es cosderable. Para el coo, el método de Newto y MC, proporcoa el volume total exacto, metras que el de mala lo sobre-estma y el de uber lo sub-estma. De gual forma, hasta la seguda cfra decmal, la dfereca etre ambos métodos, y co respecto al valor exacto, o es cosderable de segmetos e adelate. E el elode, el método de Newto proporcoa el volume exacto, el de mala sobreestma y el de uber sub-estma el volume, metras que el MC sobre-estma el volume, pero proporcoa u valor termedo muy próxmo al valor exacto. A partr de segmetos e adelate el MC cocde co el valor exacto al redodear hasta la seguda cfra decmal. De segmetos e adelate, hasta la msma cfra decmal, ya o hay dferecas aprecables etre los valores de volume proporcoados por los dsttos métodos. supoemos que las dferetes regoes de u troco de árbol puede modelarse aproxmadamete medate los tpos dedrométrcos cláscos como muestra las fguras. y.6, etoces, la mejor aproxmacó al volume real se obtedrá co el método de Newto para todas las geometrías volucradas y el problema estaría satsfactoramete resuelto.

123 embargo, aú cuado el método de Newto proporcoaría las mejores estmacoes, e la práctca, o se utlza porque los estudos de campo e vetaros volucra u gra úmero de medcoes. Requere de u trabajo cosderablemete mayor que los métodos de mala y uber. e requere medr los dámetros e los extremos y e el cetro, de cada segmeto o troza. De acuerdo co la ecuacó [.9], el método de Newto equvale al uso smultáeo de los métodos de mala y uber. Los métodos utlzados e la práctca so mala y uber. Ua vez descartado el método de Newto, la solucó medata sería elegr para cada regó, de acuerdo a su geometría, el mejor método. embargo esta solucó tampoco es práctca y se utlza uo solo de ellos para estmar el volume total de u troco por seccoes. E geeral, se cooce que s uo sobre-estma, el otro sub-estma el volume. Lo ateror se puede determar cuattatvamete co detalle a partr de los resultados de este trabajo, al aplcar los métodos de mala y uber a los tpos dedrométrcos cláscos como fucó del úmero de segmetos. E la lteratura tradcoal se mecoa que al aumetar el úmero de seccoes o segmetos mejora la aproxmacó al estmar u volume, medate cualquer método estádar de cubcacó, pero o se realza estudos para cuatfcar dcha mejora se propoe crteros para el seccoameto. El presete trabajo resuelve co detalle este problema para el caso de los tpos dedrométrcos cláscos, como ejemplo, hasta segmetos, pero se puede llevar a cabo para cualquer úmero de ellos. embargo, u úmero grade de seccoametos esta fuera de la realdad e el sector forestal, carece de terés práctco y solo tee u valor académco. Bajo la suposcó de que las dferetes regoes de u troco de árbol puede modelarse aproxmadamete medate los tpos dedrométrcos cláscos, el aálss de resultados e los párrafos prevos sugere u prmer crtero de seccoameto. Cosderado ua dvsó para cada regó e segmetos de gual logtud, se garatza ua precsó hasta la seguda cfra decmal, co respecto al valor exacto, cualquera que sea el método utlzado. embargo, ello requere todavía de u cosderable úmero de seccoametos.

124 El terés real de cubcacó radca e el seccoameto de u troco e u úmero pequeño de segmetos. e requere etoces, de ua solucó smple, de u úco método que se desempeñe be para todas las geometrías y es aquí dode adquere setdo la propuesta de MC. Los resultados de este trabajo dca que el MC podría represetar u método alteratvo termedo. E la úca geometría que el MC preseta desvetaja co respecto a mala y uber es e el parabolode y o es ta aprecable aú para u úmero pequeño de segmetos. Lo ateror es cogruete co la refereca (Bruce, 98) e dode se mecoa que, e ua regó de UA, ofcalmete se cubca medate la ecuacó de coo trucado para compesar el error, ya que cualquera de los otros métodos sobre-estma e uas zoas del troco y subestma e otras. Cabe mecoar que la refereca ateror se ecotró e la fase fal de este trabajo de maera que o fluecó el desarrollo del msmo y solo cofrmó sus resultados. E forma smlar al caso de la semesfera, el mayor error del MC puede ocurrr e la estmacó del volume e la puta de u troco debdo a su aproxmacó medate u coo. De acuerdo co las fguras.-.7, la puta de u troco puede ser aproxmadamete cóca o parabolode. E geeral el error al utlzar el MC sería pequeño. Por otro lado, aú cuado la puta del troco tuvera cualquer otra geometría, regularmete se trata de ua zoa del troco s terés comercal. Por lo tato, el MC aputa como u método coveete de cubcacó para estmar el volume comercal de cualquer troco de árbol, segmeto o troza, e aplcacoes reales. Al gual que el método de mala, solo volucra la medcó de los dámetros e los extremos del segmeto o troza de terés. El problema sobre s el MC podría o o represetar u método geeral aceptable e medcoes forestales reales, se recomeda para futuras vestgacoes. El desempeño del MC se podría comparar tato co el de los métodos de cubcacó estádar como co los de otros métodos más sofstcados, como so los que se basa e ecuacoes de volume, fucoes de perfl y el de refereca, xylometría. 6

125 E la refereca Cruz de Leó y Cruz de Leó (6) se cojetura que MC es aplcable a cualquer troco de árbol cuya geometría esté dada por u sóldo de revolucó. E este trabajo, se ha probado formalmete dcha cojetura para el caso cocreto de los tpos dedrométrcos cláscos. La cosderacó de los dámetros dedrométrcos defdos e las seccoes.9 y., para seccoes trasversales asmétrcas y zoas rregulares a la altura del pecho, juega u papel muy relevate. se toma e cueta la defcó dchos dámetros medos para el caso e que u troco tee ua zoa muy rregular exactamete a la altura del pecho, como se dca e la seccó., y se extede esa msma defcó para cualquer troza o segmeto de troco, la aplcacó del MC puede també extederse a cualquer troco de árbol, aú co geometrías rregulares. Tal geeralzacó e la defcó de los dámetros dedrométrcos permte ua terpretacó de la ecuacó de volume de u coo trucado que o se había detfcado co aterordad y que se preseta aquí por vez prmera. E la ecuacó de volume de coo trucado, [.8], que queda e térmos de las áreas de las seccoes trasversales y, correspodetes a los dámetros extremos d y d, tervee també el térmo '. Este térmo, o es otra cosa que el área de la seccó trasversal correspodete al dámetro medo geométrco dd '. La ecuacó de coo trucado, queda etoces expresada como la suma de las áreas de las seccoes trasversales de los extremos y el área meda geométrca, dvda etre tres y multplcada por la logtud del coo trucado. La suma de esas tres áreas dvdda etre tres, represeta el promedo artmétco de las áreas de las seccoes trasversales extremas y el área meda geométrca. Co esto, el MC cumple co la afrmacó de la refereca Avery y Burkhart (), de que cualquer método de cubcacó por seccoes o segmetos puede expresarse como el producto del área de ua seccó trasversal promedo y la logtud del segmeto o seccó. La observacó del mportate papel que desempeña los dámetros dedrométrcos geeralzados para el MC e el trascurso de este trabajo, fue ua de las causas prcpales que motvaro y dero lugar a u trabajo depedete de ufcacó etre los métodos de 7

126 aproxmacó del cálculo y los métodos de cubcacó forestal (Alfaro-Trujllo, 8), e dode se extedó y se etedó su mportaca para otros métodos. La refereca ateror, a su vez, retroalmetó a este trabajo. 8

127 Apédce A. Cálculos de volume e esfera, A.. Resultados de la aplcacó aalítca del MC a ua esfera de rado utaro co segmetos Utlzado la msma secueca matemátca co la que se obtuvo el volume total para ua esfera de rado utaro co 6 segmetos, aplcado el MC, se calculó el volume de la esfera para segmetos. E la fgura A. se lustra la maera e la que la esfera es seccoada e partes. Fgura A.. Corte trasversal que muestra la aproxmacó al volume de ua esfera de rado utaro co segmetos medate la aplcacó de MC. La fórmula geeral del MC para cada segmeto, e la sem-esfera co segmetos, está dada por la ecuacó [..7] co la cual, se obtuvero los sguetes resultados: 9

128 , E MC , E MC , E MC , E MC

129 MC, E e suma los resultados del volume de cada uo de los segmetos, posterormete se multplca por, y se obtee el volume total estmado co el MC para la esfera co segmetos, el cual es: MC E MC E MC E MC E MC E MC (,,,,, E ) MC E (.9679).99 A.. Resultados para ua esfera de rado utaro co segmetos medate el método exacto La fórmula geeral del volume exacto para segmetos de sem-esfera, está dada por la ecuacó [..], co la que se obtee los sguetes resultados. Ex, E.6999

130 , E Ex , E Ex..69, E Ex.96.88

131 Ex, E El volume total exacto para la esfera es etoces, Ex E Ex E Ex E Ex E Ex E Ex (,,,,, E ) (.9999) A.. Resultados para ua esfera de rado utaro co segmetos medate el método de mala Para ua esfera de rado utaro, co segmetos, la fórmula para el volume de segmeto como fucó del úmero de segmetos, para el método de mala, está dada por la ecuacó [..]. Los volúmees de segmeto so los sguetes: E, ()

132 , E , E , E

133 E, El volume total medate el método de mala para la esfera co segmetos, es E E E E E E (,,,,, ) (.79).6998 A.. Resultados para ua esfera de rado utaro co segmetos medate el método de uber Para la obtecó de resultados para ua esfera de rado utaro co segmetos, medate el método de uber, se utlzó la fórmula [..7]. Dchos resultados se muestra a cotuacó., E..99.6

134 6, E , E , E.9..

135 , E El volume total medate el método de uber para la esfera co segmetos, es E E E E E (,,,,, E ) (.86777).97 A.. Resultados para ua esfera de rado utaro co segmetos medate el método de Newto Para la obtecó de resultados para ua esfera de rado utaro co segmetos, medate el método de Newto, se utlzó la fórmula [..8]. Dchos resultados se muestra a cotuacó. Nw E, Nw, E

136 Nw, E Nw, E Nw, E El volume total medate el método de Newto para la esfera co segmetos, es Nw E Nw E Nw E Nw E Nw E Nw (,,,,, E ) (.9998) E la tabla..6 se resume los resultados para la esfera co segmetos co todos los métodos utlzados. E la mage de patalla que se muestra e la fgura A., se lustra la forma e que se trabajó medate Excel. La columa A correspode al úmero de segmeto. El úmero total de segmetos se determó maualmete. Y las columas sucesvas correspode a las fórmulas geerales obtedas e la seccó.. E la columa B, se tee la fórmula geeral del volume exacto (E. Exacto); e C, la del MC (E. Coos); e D se cluye la razó etre las dos aterores; e E la de mala (), e F la de uber (), y e G la de Newto (N). 8

137 Fg. A.. Image de patalla de la hoja de cálculo de Excel, para ua esfera de rado utaro co segmetos. E la tablas A., A. y A., se muestra cálculos realzados medate Excel para ua semesfera co 6, y segmetos, o be, para ua esfera co, y segmetos, respectvamete. Por motvos de espaco, o se preseta e este trabajo los resultados por segmeto para el caso de segmetos para gua de las geometrías e estudo. Por uformdad, se matee la otacó smple de la hoja de Excel mostrada e la fgura A., excepto que se camba E. Coos por MC y E. Exacto smplemete por Exacto. 9

138 Tabla A.. Resultados para volume de segmeto y volume total obtedos medate Excel para ua sem-esfera co 6 segmetos, o be, ua esfera co segmetos. egmeto Exacto MC MC/Exacto N umatora umatora X Tabla A.. Resultados para volume de segmeto y volume total obtedos medate Excel para ua sem-esfera co segmetos, o be, ua esfera co segmetos. egmeto Exacto MC MC/Exacto N umatora umatora x

139 Tabla A.. Resultados para volume de segmeto y volume total obtedos medate Excel para ua sem-esfera co segmetos, o be, ua esfera co segmetos. egmeto Exacto MC MC/Exacto mala uber Newto umatora umatorax La otacó smple utlzada e las tablas A.-A., se utlzará també e los apédces restates.

140 Apédce B. Cálculos de volume parabolode, B.. Cálculo aalítco de la aplcacó del MC a u parabolode co segmetos E la fgura B., se lustra u parabolode dvddo e segmetos. Fgura B.. Aplcacó del modelo cóco segmetado a u parabolode co segmetos. Calculado el volume de cada uo de los segmetos y sumádolos, se obtedrá el volume total del parabolode aplcado el MC; segú la fórmula [..]. Los resultados so: MC, P =.9969

141 , P MC =.8997, P MC =.798, P MC =.698

142 , P MC 6 6 = , P MC 9 = , P MC 7 =.888

143 MC 8 P =.86 MC 9, P =.7 MC, P 9 =. El volume total de parabolode estmado co el MC, para segmetos es, MC P MC P MC P MC P MC P MC (,,,,, P MC 6, P MC 7, P MC 8, P MC 9, P MC, P ) =

144 B.. Cálculo aalítco completo medate el método exacto para u parabolode co segmetos La fórmula geeral de volume exacto para cada segmeto, esta dada por la fórmula [..7]. Los resultados so: Ex P, Ex P,

145 7 P Ex, P Ex, 6 7 =.6 P Ex, 6 =.

146 8 P Ex 6, =. P Ex 7 6, =. P Ex 8 7, 8 =.

147 Ex P 9, 8 9 =. Ex P, 9 =. El volume total exacto para el parabolode es, Ex P Ex P Ex P Ex P Ex P Ex P (,,,,, Ex P 6, Ex P 7, Ex P 8, Ex P 9, Ex P, ) =.. E la tabla.., se resume los resultados de los volúmees por segmeto y totales, para el método exacto y el MC. 9

148 E la fgura B., se muestra la forma e que se trabajo e ua hoja de Excel. La columa A correspode al úmero de segmeto. El úmero total de segmetos se determa maualmete. La columa B, correspode a la fórmula geeral del volume exacto, y C, a la del MC. Como ya se mecoó, los cálculos para los métodos estádar de cubcacó so los msmos resultados que los obtedos por la fórmula del volume exacto. E la columa D (se repte e E por error) se muestra la razó de los resultados etre el MC y el volume exacto. Fg. B.. Muestra de la hoja de cálculo, para el caso de u parabolode co segmetos. E las tablas B. y B., se muestra los cálculos obtedos medate Excel para u parabolode co y segmetos, respectvamete. e matee la otacó smple del apédce A.

149 Tabla B.. Resultados para volume de segmeto y volume total obtedos medate Excel para u parabolode co segmetos. egmetos Exacto MC MC/Exacto umatora..997 Tabla B.. Resultados para volume de segmeto y volume total obtedos medate Excel para u parabolode co segmetos. egmetos Exacto MC MC/Exacto

150

151 E umatora

152 Apédce C. Cálculos de volume e coo, C.. Resultados de la aplcacó aalítca del MC a u coo co segmetos E la fgura C., e lustra u coo dvddo e segmetos. Fgura C.. Aplcacó del modelo cóco segmetado a u coo de segmetos. El cálculo aalítco de volume co el MC para cada segmeto, se realza de maera más smple, utlzado drectamete la ecuacó de coo trucado correspodete. Los resultados para u coo co segmetos so:

153 C MC, C MC, C MC,

154 6 C MC, C MC, C MC 6 6,

155 7 C MC , C MC , C MC ,

156 MC, C El volume total del coo, calculado co el MC, es MC C MC C, MC 6, C MC C, MC 7, C MC C, MC 8, C MC C, MC 9, C MC C, MC, C =.7 C.. Resultados para u coo co segmetos medate el método de mala Para el cálculo aalítco, resulta más fácl utlzar drectamete la ecuacó mala para cada segmeto. A cotuacó se muestra los resultados 8

157 9 C, C, C,

158 C, C,. 6 6 C 6, 6.

159 C 7 6, 7. C 8 7, 8.6 C 9 8, 9.

160 C 9 9,. El volume total del coo, estmado medate el método de mala co segmetos es, C C C C C C C C C C C,,,,, 6, 7, 8, 9,, =. C.. Resultados para u coo co segmetos medate el método de uber Para el cálculo aalítco, resulta más fácl utlzar drectamete la ecuacó uber para cada segmeto. A cotuacó se muestra los resultados 9 C, 9.9

161 C 7,.7 7 C,.6 C,. C,. C 9, 6. 9

162 7 C 7, 7. C 8,.6 C 9,. C,. El volume total del coo, estmado medate el método de uber, co segmetos, es, C C, C 6, C, C 7, C, C 8, C, C 9, C, C, =.

163 C.. Resultados para u coo co segmetos medate el método de Newto Co la fórmula geeral de Newto [..] se obtuvero los sguetes resultados para cada segmetos uo de los segmetos. Nw C, Nw C, Nw C, Nw C,... Nw C,... Nw C 6,...

164 Nw C 7,... Nw C 8, Nw C 9,... Nw C,... El volume total del coo, estmado medate el método de Newto co segmetos es, Nw C Nw C, Nw 6, C Nw C, Nw C 7, Nw C, Nw 8, C Nw C, Nw 9, C Nw C, Nw C, =.7. E la tabla.., se muestra los resultados obtedos para el volume total de u coo medate cada uo de los métodos de cubcacó y para cada uo de los segmetos. E la fgura C., se muestra como ejemplo ua mpresó de patalla de la hoja de Excel para el cálculo del coo co segmetos. 6

165 Fg. C.. Muestra de la hoja de calculo para el caso de u coo co segmetos. E las tablas C. y C., se muestra los cálculos obtedos medate Excel para u coo dvddo e y segmetos, respectvamete para cada uo de los métodos de cubcacó por seccoes. Recuérdese que para este caso el MC y Newto so exactos. e matee la otacó smple del apédce A. 7

166 Tabla C.. Resultados para volume de segmeto y volume total obtedos medate Excel para u coo co segmetos. egmeto MC mala uber Newto.667E E umatora..7.. Tabla C.. Resultados para volume de segmeto y volume total obtedos medate Excel para u coo co segmetos. egmeto MC mala uber Newto.E-7...E-7.E-6...E-6 6.E E-6.E-...E-.E-...E-.E-...E- 6.E-...E- 7.6E E- 8 7.E E- 9 9.E E

167

168 umatora.... 6

169 Apédce D. Cálculos de volume e elode, D.. Resultados de la aplcacó aalítca del MC a u parabolode co segmetos E la fgura D., se lustra u elode dvddo e segmetos. Fgura D.. Aplcacó del modelo cóco segmetado a u elode co segmetos. El cálculo aalítco de volume co el MC para cada segmeto, se realza de maera más smple, utlzado drectamete la ecuacó de coo trucado correspodete. Los resultados para u elode co segmetos so: 6

170 6, N MC , N MC

171 6, N MC , N MC

172 6, N MC , N MC

173 , N MC , N MC

174 MC 9, N MC, N.... El volume total de elode, estmado medate el MC co segmetos, es, MC N MC N MC N MC N MC N MC (,,,,, N MC 6, N MC 7, N MC 8, N MC 9, N MC, N ) =

175 D.. Resultados para u elode co segmetos medate el método exacto Los cálculos aalítcos para u segmeto de elode, se obtee realzado ua dfereca etre los volúmees de los dos elodes completos asocados a cada extremo del segmeto de terés. Para el caso de segmetos, los resultados so: Ex N, 9 e dode, 9 9 ; A Por lo tato, Ex N, Ex N, 9 8 e dode, A

176 68 Por lo tato, , N Ex , N Ex e dode: 7 7 A Por lo tato, , N Ex

177 , N Ex e dode, 6 6 A Por lo tato, , N Ex , N Ex e dode, A

178 7 Por lo tato, 6 6, N Ex , N Ex e dode, 6 A Por lo tato, 6, N Ex

179 , N Ex e dode: 7 A Por lo tato, 7, N Ex , N Ex e dode: 8 A Por lo tato, 8, N Ex

180 , N Ex e dode, 9 A Por lo tato, 9, N Ex 6..7

181 Ex N, 9 A Ah.. El volume total exacto para el elode es, Ex N Ex N Ex N Ex N Ex N Ex N Ex N Ex N Ex N Ex N Ex N,,,,, 6, 7, 8, 9,, =. D.. Resultados para u elode co segmetos medate el método de mala La fórmula geeral de mala [..] para cada segmeto, es la ya coocda e la lteratura forestal, co la cual se obtee los sguetes volúmees. N 9,

182 7 N 8 9, N 7 8, N 6 7, N 6,.7...6

183 7 N, N, N, N,

184 N,... El volume total de elode estmado medate el método de mala, co segmetos, es, N N N N N N N N N N N,,,,, 6, 7, 8, 9,, =. D.. Resultados para u elode co segmetos medate el método de uber Co la fórmula geeral de uber [..], fuero obtedos los sguetes volúmees para cada uo de los segmetos. 9 N,

185 77 N 7, N, N, N, N 9, 6.9.9

186 7 N 7, N 8,.6.6 N 9,.7.7 N,.. El volume total de elode estmado medate el método de uber, co segmetos, es, N N N N N N N N N N N,,,,, 6, 7, 8, 9,, =

187 D.. Resultados para u elode co segmetos medate el método de Newto Co la fórmula geeral de Newto [..6], fuero obtedos los sguetes volúmees para cada uo de los segmetos. Nw N, Nw N, Nw N, Nw N, Nw N,

188 Nw N 6, Nw N 7, Nw N 8, Nw N 9, Nw N, El volume total de elode estmado medate el método de Newto, co segmetos, es, Nw N Nw N Nw N Nw N Nw N Nw N Nw N Nw N Nw N Nw N Nw N,,,,, 6, 7, 8, 9,, =

189 E la tabla.., se muestra los resultados obtedos para el volume total de u elode medate cada uo de los métodos de cubcacó y para cada uo de los segmetos. E la fgura D., al gual que e los apédces prevos, se muestra como ejemplo ua mpresó de patalla de ua hoja de Excel para el caso de u elode dvddo e segmetos. Fg. D.. Muestra de la hoja de calculo para el caso de u coo co segmetos. E las tablas D. y D., se muestra los cálculos realzados e Excel para u elode co y segmetos, respectvamete, para cada uo de los métodos de cubcacó por seccoes. e matee la otacó smple del apédce A. 8