TEMAS DE MATEMÁTICAS (Oposiciones de Secundaria)

Transcripción

1 TEMAS DE MATEMÁTICAS Oposiciones de Secundri TEMA 8 ESTUDIO GLOBAL DE FUNCIONES. APLICACIONES A LA REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES.. Introducción.. Dominio. 3. Continuidd. 4. Puntos de Corte con los Ejes. 5. Simetrís. 6. Periodicidd. 7. Asíntots. 7.. Asíntots Horizontles. 7.. Asíntots Verticles Asíntots Olicus. 8. Regionmiento. 9. Crecimiento y Decrecimiento. Etremos. 9.. Teorem del Vlor Medio. 9.. Crecimiento y Decrecimiento de un unción Crcterizción de los Máimos y Mínimos Locles.. Curvtur. Puntos de Inleión.. Representción Gráic. Biliogrí Recomendd. /8

2 TEMA 8 ESTUDIO GLOBAL DE FUNCIONES. APLICACIONES A LA REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES.. INTRODUCCIÓN. En los dos tems nteriores emos estudido propieddes de ls unciones como l continuidd, derivilidd, crecimiento, decrecimiento, curvtur, etc, tods ells nivel locl. En este tem trtmos ess misms propieddes pero nivel glol de l unción. El desrrollo que vmos relizr del tem será similr l que sigue cundo queremos relizr el estudio y representción de un unción.. DOMINIO DEF Se : A un unción rel de vrile rel. Llmemos gro de, y se denot por G, l conjunto de pres de l orm,. Es decir: G = {, } L deinición nterior nos olig tener en cuent pr que vlores A eiste su imgen medinte. Ello es deido que no se veriic que pr todo elemento de A eiste. Por tnto nos vemos oligdos deinir un conjunto ormdo por quellos elementos de A pr los cules eist. DEF Se : A un unción rel de vrile rel y A. Llmmos dominio de, y lo representmos por Dom l conjunto ormdo por los elementos de A pr los cules eiste.es decir: Dom = { A / } Teniendo en cuent est deinición podemos redeinir el conjunto gro de como: G = {, / Dom} PROP Sen,g: A dos unciones reles de vriles rel y A. Se veriicn ls siguientes propieddes: Dom ± g = Dom I Dom g Dom g = Dom I Dom g 3 Dom / g = Dom I Dom g { Dom g / g = } 4 Dom g o = { Dom / Dom g} Inmedit. /8

3 3. CONTINUIDAD DEF Un unción : A rel de vrile rel es continu en A si se veriic: Dom lim los limites lterles eisten y son igules 3 lim = DEF Diremos que l unción : A rel de vrile rel es continu en todo su dominio si es continu en, Dom. A l vist de ls dos deiniciones nteriores nos podemos plnter l siguiente pregunt: Cuándo un unción no es continu en un punto? L respuest serí cundo no se veriique lgun de ls tres condiciones de l primer deinición. Se : A un unción rel de vrile rel y A. DEF Diremos que present un discontinuidd evitle en = si eiste lim pero no eiste. OBS Recie el nomre de discontinuidd evitle y que se podrí evitr si deinimos como = lim DEF Diremos que present un discontinuidd inevitle de slto inito en = si eisten lim y lim y son initos pero distintos. DEF Diremos que present un discontinuidd inevitle de slto ininito en = si lguno de los limites lterles no eiste o es ininito. 4. PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES. Se : A un unción rel de vrile rel. Semos que el eje de ciss tiene por ecución y=, por tnto, los puntos de l unción que cortn l dico eje son quellos que veriicn l ecución: =. Si Dom entonces l unción tmién intersectrá con el eje de ordends, siendo, el punto de corte. 3/8

4 5. SIMETRIAS DEF Se : A un unción rel de vrile rel. Diremos que es un unción simétric respecto de un cierto eje verticl = si se veriic: = - dom. Si = entonces es simétric respecto del eje de ordends y recie el nomre de unción simétric pr, veriicándose: = - dom. Ser simétric respecto de un eje verticl =, geométricmente signiic que si dolmos el plno respecto de dico eje mos trozos de l gráic se superponen coinciden. DEF Se : A un unción rel de vrile rel. Diremos que tiene simetrí impr si se veriic: - = - dom. Geométricmente, que l unción teng simetrí impr signiic que si dolmos el plno respecto del eje de ordends y continución respecto del eje de ciss, ls gráics se superponen. Tmién se conoce como ser simétric respecto del origen de coordends. En generl, pr que un unción : A IR se simétric, pr o impr, dee cumplirse como condición necesri que el conjunto Dom se simétrico respecto del punto =. OBS Nunc vmos encontrr un unción que teng un gráic que se simétric respecto de un eje orizontl, y que en ese cso eistirín vlores de pertenecientes l dominio de que tendrín ms de un imgen, lo que entr en conlicto con l propi deinición de unción. Este es el cso que nos encontrmos con ls gráics de l circunerenci, l elipse, l ipérole, etc, que no se pueden epresr como unciones. 6. PERIOCIDAD DEF Se : A un unción rel de vrile rel. Diremos que es un unción periódic si eiste un constnte T> tl que T = dom. Llmremos periodo de l unción l menor de dics constntes. Si un unción es periódic de periodo T, pr representrl gráicmente sólo es necesrio cerlo en un intervlo de l orm [, T], y que el resto de l gráic consiste en repetir l representción nterior lo lrgo del dominio. 4/8

5 Ejemplo Ls unciones =Sen, =Cos y =Tg son periódics de periodo ð, ð, ð respectivmente. L unción =Sen es periódic de periodo ð y que: 7. ASÍNTOTAS ð = Sen ð = Sen ð = Sen ð = DEF Diremos que un punto se lej ininitmente sore un curv cundo su cis o su ordend o ms coordends crecen ininitmente. Podemos irmr que el punto recorre un rm ininit. DEF Si l recorrer un punto P un rm ininit l rect OP tiende un posición límite, entonces es rect límite y sus prlels deinen un dirección síntot. DEF Llmremos l rect r síntot de l curv y = si su dirección es un dirección síntot de l curv y l distnci de un punto P l rect r tiende cero cundo P se lej ininitmente. 7.. Asíntots Horizontles. DEF Llmremos Asíntot Horizontl de l rect y = K = cte. que veriic un de ls dos condiciones siguientes: lim = K lim = K El estudio de ls síntots orizontles cundo es independiente de cundo, por tnto no tiene porque eistir síntot por mos ldos simultánemente ni tiene porque ser l mism en los dos ldos. PROP Se : un unción rel de vrile rel. Cundo tiende l síntot orizontl, en cso de eistir, es únic. Supongmos que present dos síntots orizontles en y = K e y = K, con K K, cundo tiende. Entonces, por deinición lim = K y lim = K Pero otenemos un contrdicción y que el límite, l eistir, es único. Por tnto, K = K y l síntot orizontl es únic. 5/8

6 PROP Se : un unción rel de vrile rel. Cundo tiende - l síntot orizontl, en cso de eistir, es únic. Análog l nterior. Ejemplos = rctg π π lim rctg = Present A.H. en y= π lim rctg = Present A.H. en y= π = ln ln / lim = lim = Present A.H. en y = ln lim No tiene A.H. 3 = 3 e lim e = Present A.H. en y= 3 lim e 3 = No present A.H. 7.. Asíntots Verticles. DEF Se : un unción rel de vrile rel. Llmmos Asíntot Verticl de l rect = si se veriic lgun de ls condiciones siguientes: lim = 3 lim = lim = 4 lim = Tmién podrímos er ddo como deinición de síntot verticl l siguiente: Un unción tiene como síntot verticl l rect = si present en el punto = un discontinuidd inevitle de slto ininito. Es prole, unque no oligtorio, encontrr síntots verticles en los puntos de derenci del conjunto dom que no pertenecen l interior de dom. 6/8

7 Igulmente, si l unción está deinid trozos, tmién emos de uscr posiles síntots verticles en los puntos de cmio de trozo. Ejemplos = ln si si > lim lim = lim = lim = No present A.V. ln = Present A.V. en = = ln Dom =, Sólo podemos estudir l eistenci de síntot verticl l derec de = ln lim = lim = Present A.V. l derec de = 3 = e Dom = {} lim = lim e = e lim = lim e = e = = Por tnto no eiste síntot verticl por ninguno de los ldos. 7.3 Asíntots Olicus. DEF Se : un unción rel de vrile rel. Diremos que present un Asíntot de ecución y = mn con m,n m, llmd síntot olicu, si veriic un de ls dos condiciones siguientes: lim = m y lim m = n lim = m y lim m = n 7/8

8 El estudio de l eistenci de síntot olicu cundo tiende es independiente del que se reliz cundo tiende -, y no tienen por qué eistir síntots por mos ldos ni ser igules. PROP Se : un unción rel de vrile rel. L síntot olicu de cundo tiende, en cso de eistir, es únic. L demostrción se reliz de orm nálog l que vimos con síntots orizontles, sándonos en l unicidd del límite. PROP Se : un unción rel de vrile rel. L síntot olicu de cundo tiende -, en cso de eistir, es únic. Igul que l nterior. Otr consecuenci que podemos deducir de l unicidd del límite es que ls síntots orizontles y olicus de por el mismo ldo ó son mutumente ecluyentes. L eistenci de un de ells impide l eistenci de l otr. Ejemplo. 3 = 3 3 lim = lim = lim = m = lim = lim = lim = lim = n = Eiste síntot olicu cundo en y = 8. REGIONAMIENTO Utilizndo todos los dtos otenidos st este momento, en este pso se trt de loclizr ls regiones del plno en ls que se v situr l gráic de l unción, de mner que podmos clrr ún más su orm. Por tnto, estudindo el regionmiento podemos ser, por ejemplo si nos justmos por rri o por jo un síntot orizontl. Pr clrr más el estudio del regionmiento, utilizremos l inormción que nos puede orecer l primer derivd de. 8/8

9 9. CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO. EXTREMOS El estudio de máimos y mínimos de un unción consiste en encontrr puntos que veriiquen lgun de ls siguientes propieddes: Algún punto = Dom tl que eiste un entorno centrdo en dico punto, E,r, de mner que E,r. El punto = recie el nomre de máimo reltivo de. Algún punto = Dom tl que eiste un entorno centrdo en dico punto, E,r, de mner que E,r. El punto = recie el nomre de mínimo reltivo de. 3 Un punto = tl que Dom. Este punto recie el nomre de máimo soluto de y no tiene por que ser único. 4 Un punto = tl que Dom. Este punto recie el nomre de mínimo soluto de y no tiene por que ser único. Los puntos del dominio de que y que considerr l or de uscr máimos y mínimos, y sen reltivos o solutos, deen cumplir lgun de ls siguientes condiciones: Sen puntos críticos de, es decir, sen solución de l ecución =. Si Dom = [,], entonces los puntos = y =. 3 Los puntos del Dom en los que l unción no se derivle. 9.. Teorem Del Vlor Medio. TEOREMA. TEOREMA DE ROLLE. Se :[,] un unción continu en [,] derivle en, y =. Entonces eiste l menos un punto c, tl que c=. Dem Semos por el teorem de Weierstrss que tod unción continu deinid en un cerrdo lcnz un vlor máimo y mínimo en el intervlo. Según donde podmos loclizr ese máimo y ese mínimo vmos distinguir dos csos: Tnto el máimo como el mínimo está en los etremos. Como = m=min es cte. Si el máimo y el mínimo de son igules, necesrimente tiene que ser constnte. Si es constnte su derivd es cero y entonces c es culquier punto de,. Recordemos que y no pueden ser y que no es derivle en ellos. Al menos uno de ellos se lcnz en el interior. En un teorem nterior vimos que "si lcnz un etremo reltivo en y eiste entonces =". Al loclizrse el etremo soluto en el interior tmién es reltivo y como en ese punto l ser interior es derivle, su derivd es cero. Llmremos ese punto =c y se veriic que: c, y c=. 9/8

10 OBS L interpretción geométric del teorem de Rolle es que un unción continu es derivle e igul en sus etremos dee tener un punto cuy rect tngente se orizontl. El siguiente teorem ver es el del Vlor medio o Lgrnge. Supone un generlizción del nterior, pues en éste eliminmos l ipótesis de que coincid en los etremos del intervlo. Lo que vmos conseguir or es un punto =c que v tener tngente prlel l rect que une los puntos, y,. TEOREMA. TEOREMA DE LAGRANGE. Se :[,] continu en [,] y derivle en,. Entonces c, tl que ' c = Deinimos ϕ:[,] ϕ=m, donde m=- pr que ϕ = ϕ [, ] ϕ es continu en ϕ es derivle en, c, ϕ = ϕ / ϕ c = ϕ = m ϕ c = cm = c = c- = -. Geométricmente eiste l menos un punto de l gráic de, distinto de sus etremos Ay B en el que l tngente de l gráic es prlel l cuerd AB. PROP Si =, =cte. Dem,, con, consideremos [, ],. Como = es /8

11 derivle en, es continu en, es continu en [, ] y derivle en,. Aplicndo el teorem del vlor medio: c, / c = = = c Entonces =,, Por tnto es un unción constnte. PROP Si y g son dos unciones que tienen l mism derivd entonces se dierencin en un constnte. Dem Sen ls unciones,g:a R con =g A siendo A un intervlo ierto. Consideremos l unción -g. Su derivd: -g = -g = -g=cte. 9.. Crecimiento y Decrecimiento de un unción. DEF Diremos que un unción : rel de vrile rel creciente en un intervlo [,] Dom. Si, [,] con se veriic que. DEF Diremos que un unción : R R rel de vrile rel decreciente en un intervlo [,] Dom. Si, [,] con se veriic que. TEOREMA. Si > I es estrictmente creciente en I. Dem Tomemos un punto culquier I. Semos que l unción es derivle y que l derivd es positiv, luego >. Como = lim o si > > > si Por tnto es creciente cerc de, tnto ntes como después. Y como eso ocurre pr culquier punto I, entonces l unción es creciente en I. /8

12 TEOREMA. Si I es estrictmente decreciente en I. Dem L demostrción es igul que l nterior. Se I un punto culquier. Semos que >. Como = lim o si > si > Vemos que l unción es decreciente en lo es en todo I. El recíproco de ls dos proposiciones nteriores es lso. Por ejemplo, si es creciente es ácil compror que = por ejemplo pr = 3. Vmos or dr un método generl pr poder irmr si un punto singulr es un máimo o mínimo locl, o ningun de ms coss. Pr ello tengmos en cuent ls siguientes gráics: > > > > Si > en lgún intervlo l izquierd de y en lgún intervlo l derec de entonces es un máimo reltivo. Si en lgún intervlo l izquierd de y > en lgún intervlo l derec de entonces es un mínimo reltivo. Si tiene el mismo signo en lgún intervlo tnto l derec como l izquierd de entonces no es un etremo reltivo Crcterizción de los Máimos y Mínimos locles. PROP Se un unción : que eiste y. Se =, se veriic rel de vrile rel, y Dom Si > entonces tiene un mínimo reltivo en =. Si entonces tiene un máimo reltivo en = Por deinición tenemos que, un punto en el /8

13 ' ' '' = lim y como = ' '' = lim ' Por ipótesis '' > > pr suicientemente pequeño. Si ' > crece l derec de. Si ' crece l izquierd de. Luego present en = un mínimo reltivo Análog. PROP Se un unción : rel de vrile rel. Se Dom eiste y. Si tiene un mínimo reltivo en = entonces. Si tiene un máimo reltivo en = entonces. tl que Supongmos que tiene un mínimo reltivo en = si entonces, plicndo el teorem nterior, tendrí un máimo locl en =. Pero si present en = un máimo y un mínimo entonces serí constnte y, por tnto, = lo cul es un contrdicción. Por tnto. Análog l nterior..curvatura. PUNTOS DE INFLEXIÓN. DEF Diremos que un unción es conve en un intervlo si pr todo pr de puntos, de ese intervlo, el segmento rectilíneo que une, con, qued por encim de l gráic de. L condición geométric en l que smos l deinición podemos epresrl nlíticmente. L rect que une, con, es 3/8

14 4/8 g = L rect g quedrá por encim de siempre que se veriique g>, y es: > oteniendo un deinición equivlente. Por tnto: DEF Un unción : rel de vrile rel es conve en un intervlo si pr, y con se veriic > Análogmente vmos deinir unción cóncv. DEF Diremos que un unción es cóncv en un intervlo si pr todo pr de puntos, de ese intervlo, el segmento rectilíneo que une, con, qued por dejo de l gráic de. DEF Un unción : rel de vrile rel es cóncv en un intervlo si pr, y con se veriic PROP Se : un unción rel de vrile rel y conve. Se. dom Si es derivle en = entonces l gráic de qued por encim de l tngente en, ecepto en, Si y es derivle en y en, entonces Se y consideremos los puntos. Como es conve se veriic

15 5/8 Si tommos límites cundo ' lim lim llegmos que l pendiente de l rect tngente es menor que l pendiente de l secnte que ps por, y, lo cul implic que el punto, qued por encim de l rect tngente. De orm nálog, si y considermos como es conve se veriic: Si tommos límites cundo ' lim lim > > y esto nos indic que l pendiente de l rect tngente es myor que l pendiente de l secnte que ps por, y, lo cul implic que el punto, qued por encim de l rect tngente en =. 3 Se. Entonces = - ' por ser > ' > ' por ser > ' luego, ' ' LEMA Supongmos que : un unción rel de vrile rel es derivle y creciente. Si y = entonces = pr. Supongmos que > = pr lgún, Entonces el máimo de sore [,] se present en lgún punto, con > y por supuesto =. Por otr prte, plicndo el teorem del vlor medio l intervlo [, ] encontrmos que eiste un punto ci y ' > = y eso está en contrdicción con que se creciente y que ' ' = > y >.

16 Luego emos demostrdo que = pr y solo nos qued por ver que = pr lgún,. Semos que no es constnte sore [,] y que si lo uese no serí creciente, de modo que eiste lgún con y. Aplicndo el teorem del vlor medio [,] deducimos que eiste un punto con y ' = > Por otr prte, =, puesto que y un máimo reltivo en. De nuevo llegmos un contrdicción por ser creciente. TEOREMA Se : un unción rel de vrile rel. Si es derivle y creciente, entonces es conve. Se. Deinimos un unción g como g = Es ácil ver que g es un unción creciente, y como g=g=, plicmos el Lem nterior g y g si Que g signiic que Por lo tnto es conve. DEF Llmremos punto de inleión de = si l tngente l gric de en, cruz l gráic. PROP Se : un unción rel de vrile rel. Si es derivle de orden dos en y >, entonces es conve en. 6/8

17 Inmdit PROP Se : un unción rel de vrile rel. Si es derivle de orden dos en y, entonces es cóncv en. Inmedit PROP Se : un unción rel de vrile rel. Si es derivle de orden dos en y es un punto de inleión entonces =. Inmedit. REPRESENTACIÓN GRÁFICA. ln =. Dominio: Dom =,. Puntos de corte con los ejes: OY: = ; no eiste ln OX: y = = = ln = = P, 3. Simetrís: No y 4. Periodicidd: No y 5. Asíntots Horizontl: ln lim = = { L' Hopitl} = lim = y = Verticl: ln lim = = = c Olicu: No y porque y orizontl 6. Crecimiento y decrecimiento. Etremos. ln ' = ' = ln = ln = = e P e, e Máimo Se cumple que ' >, e ' e, 7. Curvtur. Puntos de inleión. 7/8

18 3 ln '' = 3 3 '' = 3 ln = = e 3/ P e 3/, 3/ e 3/ '', e Se cumple que 3/ '' > e, 8. Gráic: Biliogrí Recomendd. Análisis Mtemático I. Aut. J.A. Fernández Viñ. Ed. Tecnos Lecciones de Cálculo Ininitesiml I. Aut. R. Molin Legz, M. Frnco. Ed. Universidd de Murci. Principios de Análisis Mtemático. Aut. W. Rudin. Ed. McGrw-Hill Curso de Análisis Mtemático I. Aut. E.L. Lun. Ed. Eduns, 99. Clculus. Aut. M. Spivk. Ed. Reverté. Análisis Mtemático. Aut. M. de Guzmán, B. Ruio. Ed. Pirámide. Análisis Mtemático ª Edición. Aut. T. M. Apostol. Ed. Reverté Introducción l Análisis Mtemático. Aut. J.M. Orteg. Ed. Lor 8/8