ÁLGEBRA II CM 214. Basado en el Manual Sucesiones y Series de: Ángela Corbo Lioi, Mercedes Fernández Miranda y María Soledad Romo López

Transcripción

1 ÁLGEBRA II CM 24 Módulo II Basado e el Maual Sucesioes y Series de: Ágela Corbo Lioi, Mercedes Ferádez Mirada y María Soledad Romo López

2 Ídice geeral ( ). SÍMBOLOS Σ, Π y k 3.. LA SUMATORIA Propiedades Ejercicios Resueltos EL SÍMBOLO DEL PRODUCTO Propiedades Ejercicios resueltos.... (..) EL NÚMERO COMBINATORIO k.3.. El símbolo factorial Propiedades del factorial (..) El úmero combiatorio ( ) k.3.4. Propiedades de k.3.5. Ejercicios resueltos EL PRINCIPIO DE INDUCCIÓN 2.. INTRODUCCIÓN EL PRINCIPIO DE INDUCCIÓN EJERCICIOS RESUELTOS DESARROLLO DE (a + b), N TEOREMA DEL BINOMIO DE NEWTON EJERCICIOS RESUELTOS ANÁLISIS COMBINATORIO PERMUTACIONES PERMUTACIONES DE OBJETOS DISTINTOS TOMADOS DE k EN k COMBINACIONES PROBLEMAS RESUELTOS

3 5. PROGRESIONES NOCIÓN DE SUCESIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS Térmio geeral de orde k y suma de k térmios PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Térmio geeral de orde k y suma de k térmios EJERCICIOS RESUELTOS EJERCICIOS PROPUESTOS SUCESIONES PROPIEDADES SERIES SERIES CONVERGENTES Y DIVERGENTES ALGUNAS SERIES TÍPICAS Series Telescópicas Series Geométricas Series p SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS. CRITERIOS DE CONVERGENCIA Criterio de comparació Criterio de comparació por límite Criterio de la razó Criterio de la raíz Criterio de la itegral SERIES ALTERNANTES. CRITERIO DE LEIBNITZ CONVERGENCIA ABSOLUTA Y CONDICIONAL Criterio de Raabe SERIES DE POTENCIAS Criterio de Covergecia para Series de Potecias SERIES DE TAYLOR 85 0.EJERCICIOS PROPUESTOS 9 2

4 Capítulo SÍMBOLOS Σ, Π y ( ) k.. LA SUMATORIA Defiició.. E muchas situacioes es coveiete abreviar la otació de ua suma de térmios que admite ua ley comú. Así, para expresar la suma de los elemetos de u cojuto de térmios uméricos ordeados a, a 2,..., a escribimos: a i = a + a a, N i= El símbolo Σ se llama sumatoria y... Propiedades a i = a i= a i = i= a j = j= k= a k c = c, co c ua costate i= ca i = c i= a i + i= a i se lee suma de los a i desde i = hasta. i= a i, co c ua costate i= b i = i= (a i + b i ) i= 3

5 6. a i = i= k a i + a i, co < k < i= i=k a i = a j = i= j=2 k=0 a k+ 8. (a i a i ) = a 0 a, i= (a i a i ) = a a 0 i=..2. Ejercicios Resueltos Ejemplo.. Ecotrar el valor umérico de las siguietes sumas: (i) Solució 3 i= i i (ii) 5 k= k (k + ). (i) (ii) 3 i i = = 32. i= 5 k= k (k + ) = = 5 6. Ejemplo.2. Expresar la suma de los primeros térmios usado el símbolo de sumatoria: i) ii) iii) iv) v) a + aq + aq Solucioes + i) ( + ) = ( 2) + ( 3) + ( 4) + + ( ( + )) = ( i), otra forma de resolver el problema es: ( + ) = ( ) + ( 2) + ( 3) + + ( ) = ( i). i= i=2 4

6 ii) (+3) = ( + 3 0)+( + 3 )+( + 3 2)+ +(+3 ) = iii) iv) + otra alterativa: ( + 3 ) = [ + 3 (i )] ( + ) = = i= i= i (i + ). + i i= [+3i], i=0 v) a + aq + aq aq = aq 0 + aq + aq aq = Ejemplo.3. Utilice propiedades para verificar: i) ii) (2k ) = 2 k= k= k = aq i = aq i i= i=0 iii) +2 (j ) 4 k 4 = ( + ) 4 j= k= Solucioes: i) (2k ) = k= [ k 2 (k ) 2] = 2 0 2, por propiedad 8 k= ii) = 2 k = [(2k ) k + ] k= k = k= (2k ) k + k= k= k= k= Luego: 2 k = (2k ) + i= k= k= 5

7 2 k = 2 +, por i) y Prop. 3 i= i= k = iii) +2 (j ) 4 j= = = = k= (j ) 4 + j= k 4 +2 j=+ (j ) 4 k 4 por propiedad 6 k= (j ) 4 + ( + ) 4 + ( + 2 ) 4 j= j 4 por propiedad 2 j= [(j ) 4 j 4 ] ( + ) 4 por propiedad 5 j= = [0 4 4 ] ( + ) 4 por propiedad 8 = ( + ) 4.2. EL SÍMBOLO DEL PRODUCTO Defiició.2. Aálogamete al caso de la suma, el producto de térmios uméricos ordeadas a, a 2,..., a lo expresamos abreviadamete. = a a 2 a 3 a.2.. Propiedades a i = a i= a i = i= a j = j= k= a k c = c, co c costate i= ca i = c i= i= i= a i, co c costate 6

8 ( ) ( ) 5. a i b i = 6. i= a i = i= i= ( (a i b i ) i= ) ( ) a i a = a a i i= i= Ejercicios resueltos Ejemplo.4. Verifique la fórmula: si se sabe que i = i= Solució: Sea ( e i+ e i) = i= ( + ) 2 i= e i (e ) i= ( e i+ e i) = (e ) e (+) 2, = (e ) e i, por propiedad (4) i= = (e ) e = (e ) e i= i Ejemplo.5. Verifique la fórmula: = (e ) e (+) 2, por hipótesis. ( i + ) = i= i. i= Solució: ( i + ) = ( ) ( 2) i= =... ( 2) ( ), por comutatividad = i i= 7

9 .3. EL NÚMERO COMBINATORIO ( ) k.3.. El símbolo factorial Defiició.3. Si N, etoces al producto de los primeros úmeros aturales se deomia factorial y se deota por!, o sea! = i, N. Por defiició 0! =.3.2. Propiedades del factorial.! = ( )!, N {0}. 2. ( + k)!! i= = ( + ) ( + 2)... ( + k),, k N {0} El úmero combiatorio ( ) k Defiició.4. Si, k N {0} tal que k, etoces se defie ( )! = k ( k)!k!, ( ) llamado úmero combiatorio k Observació.. ( ) a) se lee sobre k. k b) Como 0! =, es posible tomar k = 0 o = k e Ejemplos: ( ) 5 5!. = 3 (5 3)!3! = 5! 2!3! = 3!20 3!2 = 0 ( ) 3 3! 2. = 0 (3 0)!0! = 3! 3! = ( ) 7 7! 3. = 7 (7 7)!7! = 0! = 8 ( ). k

10 .3.4. Propiedades de ( ) k ( ). es u úmero atural para todo, k N {0} tal que k. k ( ) ( ) 2. = =, N {0} 0 ( ) ( ) 3. =,, k N {0}, tales que k. E particular k k N. ( ) ( ) ( ) =,, k N {0} tales que k +. k k + k + ( ) ( ) ( 2)... ( (k )) 5. =. k k (k ).3.5. Ejercicios resueltos ( 8 )! ( 3)! Ejemplo.6. Calcular a) j /9!, b) ( + )! ( 4)! Solució: ( 8 ) a) j /9! = j=3 j= = 8. ( ) ( ) = =, b)! ( 3)! ( + )! ( 4)! =! ( 4)! ( 3), por propiedad.3.2! ( + ) ( 4)! = 3 + Ejemplo.7. Verifique las propiedades 3 y 4. Solució: ( ) ( ) a) Debemos verificar que: =. k k ( ) = k!, por defiició ( ( k))! ( k)! ( )! = k! ( k)! =! ( k)!k! =, por defiició. k 9

11 ( ) ( ) b) Debemos verificar + = k k + ( ) ( ) ( ) + + = = k k + k + ( ) +. k +! ( k)!k! +!, por defiició ( k )! (k + )!! = ( k )! ( k) k! +!, por propiedad.3.2 ( k )!k! (k + ) [! = ( k )!k! k + ] k + [ ]! k + + k = ( k )!k! ( k) (k + )! ( + ) = ( k )! ( k) k! (k + ) ( + )! =, por propiedad.3.2 ( k)! (k + )! = ( + ) k+, por defiició. Ejemplo.8. Utilice sólo propiedades para calcular Solució: ( ) ( ) =, por propiedad =, por propiedad 5 2 = = ( )

12 Capítulo 2 EL PRINCIPIO DE INDUCCIÓN 2.. INTRODUCCIÓN La iducció al cotrario de la deducció cosiste e obteer ua proposició geeral a partir de proposicioes particulares. Por ejemplo si se cosidera la proposició particular: el úmero 639 es u múltiplo de 3, se podría cocluir que: a) Todo úmero atural termiado e 9 es u múltiplo de 3 b) Si e u úmero la suma de sus cifras es múltiplo de 3, el úmero es múltiplo de 3. Es claro que a) es ua coclusió falsa y se puede ver que b) es verdadera. Ambas so proposicioes que depede de úmero aturales. Surge etoces el problema siguiete: Cómo demostrar que proposició (por ejemplo ua fórmula) que depeda de u úmero atural, es válida para todo úmero atural? Ejemplo 2.. Suma de los primeros úmeros aturales impares. Los úmeros aturales impares so:, 3, 5,..., 2,... Luego las sumas de los primeros úmeros aturales impares para =, 2, 3, 4, etc. sería: = = = 4 = = 9 = = 6 2, etc. Etoces es claro que uo puede cojeturar:

13 (2 ) = 2, o sea (2i ) = 2 Cómo demostrar que esta fórmula es válida para todo N?. Pues aquí solo se ha verificado para =, = 2, = 3, = 4. Nada asegura que la fórmula sea válida para = Ejemplo 2.2. Cosideremos la expresió f () = Si =, f () = 43. Si = 2, f (2) = 47. Si = 3, f (3) = 53. Si = 4, f (4) = 6, etc. Luego se puede cojeturar: f () = es u úmero primo. Es esto válido para todo úmero atural? E este caso la respuesta es NO!, pues claramete f (4) = = 4 (4 + + ) = 4 43 f (4) o es u úmero primo, mas aú se puede ver que f () es u úmero primo para =, 2,..., 39 pero falla para = EL PRINCIPIO DE INDUCCIÓN Teorema 2.. (Pricipio de iducció) Sea p () ua fució proposicioal e N que satisface las siguietes propiedades: i) p () es verdadera. ii) Para cada N se tiee p () p ( + ), es verdadera. Etoces: p () es verdadera para todo úmero atural. Existe proposicioes que o so válidas para todo úmero atural, pero si lo so para todos los aturales mayores o iguales que cierto 0 N. E este caso el teorema se eucia de la siguiete maera Teorema 2.2. Sea 0 u úmero atural fijo y sea p () ua fució proposicioal e N que satisface las siguietes propiedades: i) p ( 0 ) es verdadera. ii) Para cada N tal que 0 se tiee p () p ( + ), es verdadera. Etoces: p () es verdadera para todo úmero atural 0. i= 2

14 Observació 2.. Otra forma de redactar los teoremas ateriores es la siguiete: Dada ua proposició que depede de u úmero atural, si se cumple que: i) = 0 la proposició es válida. ii) Si para cada = k la proposició es válida, implica que para = k + la proposició tambié es válida. Etoces la proposició es válida para todo 0. E ii) se llama hipótesis de iducció al atecedete de la implicació y tesis de iducció al cosecuete EJERCICIOS RESUELTOS Ejemplo 2.3. Demuestre que la suma de los primeros úmeros impares es 2. Solució: Para demostrar: (2i ) = 2, N i= Utilizado el pricipio de iducció: i) Si = 0 =, (2i ) = 2 =, 2 = i= Luego la proposició es válida para =. ii) Para = k; Hipótesis de Iducció: Para = k + ; Tesis de Iducció: k (2i ) = k 2. i= k+ (2i ) = (k + ) 2. i= Demostració de la tesis de iducció: k+ k (2i ) = (2i ) + (2 (k + ) ) i= i= = k 2 + 2k + 2, por la hipótesis de iducció = k 2 + 2k + = (k + ) 2 luego de i) y ii) se tiee: (2i ) = 2 es válida para todo N. i= 3

15 Ejemplo 2.4. Determiar todos los úmeros aturales para los cuales! > 2 Solució: Si =, 2, 3 resulta ua proposició falsa. Por demostrar la proposició es verdadera para todo N, tal que 4. i) Si = 4; se tiee 4! = 24, 2 4 = 6. Luego 24 > 6, o sea la proposició es válida. ii) Para = k; Hipótesis de iducció: Para = k + ; Tesis de iducció: Demostració de la tesis de iducció: k! > 2 k (k + )! > 2 k+ (k + )! = k! (k + ) > 2 k (k + ) por hipótesis de iducció Luego (k + )! > 2 k+. > 2 k 2, pues k 4 k + 5 > 2 = 2 k+ Así por i), ii) la proposició! > 2 es válida N, 4. 4

16 Capítulo 3 DESARROLLO DE (a + b), N 3.. TEOREMA DEL BINOMIO DE NEWTON Usaremos el pricipio de iducció y las propiedades de sumatoria presetadas e el Capítulo, para demostrar u teorema previo que os permitirá obteer ua fórmula para el desarrollo de la potecia -ésima de u biomio (teorema del biomio de Newto). Observació 3.. Cualquiera que sea x R, se tiee: ( + x) 0 = ( + x) = + x ( + x) 2 = + 2x + x 2 ( + x) 3 = + 3x + 3x 2 + x 3 ( + x) 4 = + 4x + 6x 2 + 4x 3 + x 4 Usado el úmero combiatorio podemos escribir las expresioes ateriores como: ( ) 0 ( + x) 0 = x 0 0 ( ) ( ) ( + x) = x 0 + x 0 ( ) ( ) ( ) ( + x) 2 = x 0 + x + x ( ) ( ) ( ) ( ) ( + x) 3 = x 0 + x + x 2 + x

17 ( + x) 4 = ( ) 4 x ( ) 4 x + Esto iduce el siguiete teorema. ( ) 4 x ( ) 4 x ( ) 4 x 4 4 Teorema 3.. Sea x R {0}; etoces ( + x) = i=0 ( ) x i, N. i Demostració: i) Para = es válido, pues: ( ) ( ) ( ) ( + x) = x i = x 0 + x = + x i 0 i=0 ii) Para = k, hipótesis de iducció: Para = k +, tesis de iducció: Demostració de la tesis de iducció: ( + x) k = k i=0 ( ) k x i i k+ ( ) k + ( + x) k+ = x i i i=0 6

18 ( + x) k+ = ( + x) ( + x) k k ( k = ( + x) i i=0 k ( k ) x i, por hipótesis de iducció ) k ( ) k = x i + x x i i i i=0 i=0 k ( ) k k ( ) k = x i + x i+ i i i=0 i=0 ( ) k k ( ) k k+ ( ) k = x 0 + x i + x j 0 i j i= j= ( ) k k ( ) k k ( ) ( ) k k = x 0 + x i + x j + x k+ 0 i j k i= j= ( ) k k ( ) k k ( ) ( ) k k = x 0 + x i + x i + x k+ 0 i i k i= i= ( ) k k [( ) ( )] ( ) k k k = x x i + x k+ 0 i i k i= ( ) k + k ( ) ( ) k + k + k+ ( k + = x 0 + x i + x k+ = 0 i k + i i= i=0 ( ) Luego de i), ii) teemos que ( + x) = x i es válido N. i Teorema 3.2. (Biomio de Newto) Sea a, b R. Etoces: (a + b) = Demostració: Si a = b = 0, el teorema es evidete. Supogamos a 0. Etoces N: ( (a + b) = a + b ) a = a = i=0 i=0 ( i ) ( b a ( )a bi i a = i i=0 i=0 ) i, tomado x = b a i=0 ( ) a i b i, N i ( ) a i b i i Observació 3.2. E el desarrollo de (a + b) se tiee: 7 e el teorema aterior ) x i

19 . Hay + térmios o sumados 2. El térmio que ocupa el lugar k + esta dado por: ( ) T k+ = a k b k, k = 0,, 2,...,. k ( ) 3. Los ceoficietes se distribuye simétricamete, es decir so iguales si equidista de k ( ) ( ) los extremos, debido a que =. k k 8

20 4. Por último hay ua iteresate disposició triagular de los úmeros combiatorios que se llama Triágulo de Pascal. ( ) 4 = 0 ( ) 3 = 0 ( ) 2 = 0 ( ) 4 = 4 ( ) = 0 ( ) 3 = 3 ( ) 0 = 0 ( ) 2 = 2 ( ) 4 = etc. 2 ( ) = ( ) 3 = etc. ( ) 2 = 2 ( ) 4 = 4 3 ( ) 3 = 3 ( ) 4 = 4 ( ) k 9

21 3.2. EJERCICIOS RESUELTOS Ejemplo 3.. Hallar el coeficiete de x 4 e el desarrollo de ( + x 4 ) (x 2 + x ) 4 2 Solució: ( ) ( + x 4 x 2 + ) 4 = (x 2 + x ) 4 + x (x x ) 4 x E el desarrollo de ( x 2 + x 2 ) 4 el térmio geeral es: ( ) 4 (x ) ( ) k 2 4 k = k x 2 ( ) 4 x 28 4k k Si 28 4k = 4, o sea k = 6, obteemos el coeficiete de x 4 que es ( ) 4. 6 Aálogamete e el desarrollo de x 4 (x 2 + x 2 ) 4 el térmio geeral es: ( ) 4 (x x ) ( ) k k = k x 2 ( ) 4 x 32 4k k Si 32 4k = 4, o sea k = 7, obteemos el coeficiete de x 4 que es ( ) ( ) 4 4 coeficiete de x 4 pedido es ( ) 4. Fialmete el 7 Ejemplo 3.2. Demuestre que el coeficiete del térmio cetral de ( + x) 2 es igual a la suma de los coeficietes de los dos térmios cetrales de ( + x) 2, dode N. Solució: El térmio cetral de ( + x) 2 es el térmio que ocupa el lugar cetral e el desarrollo de este biomio. Como el desarrollo de ( + x) 2 tiee 2 + ( térmios, ) 2 + impar, hay u úico 2 térmio cetral ubicado e el lugar +, que es T + = x Aálogamete e el desarrollo de ( + x) 2 hay dos térmios cetrales que ocupa los lugares y +, que so T y T +. Luego debemos verificar la siguiete igualdad: ( 2 ) = la cual es verdadera por propiedad ( 2 20 ) ( ) 2 +

22 Ejemplo 3.3. Verifique que Solució: k=0 ( ) = 2. k 2 = ( + ) = k=0 ( ) k k = k k=0 ( ). k 2

23 Capítulo 4 ANÁLISIS COMBINATORIO El objetivo de este capítulo es el de proporcioar u coocimieto básico para el estudio de la Estadística y el Cálculo de Probabilidades. El aálisis combiatorio está fudametado e dos pricipios básicos que se apoya e los siguietes teoremas de la Teoría de Cojutos. Teorema 4.. Si X, Y so dos cojutos fiitos. Etoces # (X Y ) = (#X) (#Y ) Nota: #X sigifica el úmero de elemetos de X. Teorema 4.2. Si X, Y cojutos fiitos tales que X Y =. Etoces # (X Y ) = #X + #Y Cosideremos dos sucesos (acotecimietos) A, B. Si deotamos por X A el cojuto de todas las formas e que se puede presetar el suceso A y X B el cojuto de todas las formas e que se preseta B, etoces u elemeto de X A X B correspode a la ocurrecia de u suceso del tipo A y u suceso del tipo B. Luego teemos por el Teorema 4.: Pricipio Básico Multiplicativo: Si u suceso A puede presetarse de p formas distitas y si cuado esto ha ocurrido, otro suceso B puede presetarse de q formas distitas, etoces el úmero de formas e que ambos sucesos puede presetarse a la vez es p q. Ahora por el Teorema 4.2 Pricipio Básico Aditivo: Si A y B so los sucesos tales que: a) A puede efectuarse de p maeras diferetes, b) B puede efectuarse de q maeras diferetes, 22

24 c) A y B o puede efectuarse simultaeamete, y si S es el suceso que cosiste e efectuar A ó B, etoces S se puede realizar de p + q maeras diferetes. Ejemplo 4.. U comité de seis persoas formados por Alicia, Bejami, Clara, Adolfo, Edgardo y Fracisco debe escoger u presidete, u secretario y u tesorero. a) De cúatas maeras se puede realizar la elecció? b) De cúatas formas se puede realizar si el presidete debe ser Alicia o Bejami? Solució: a) Usamos el Pricipio Básico Multiplicativo. El presidete puede ser elegido de 6 maeras diferetes. Ua vez seleccioado el presidete, el secretario puede ser elegido de 5 formas diferetes. Tambié ua vez seleccioado el presidete y el secretario, el tesorero puede ser elegido de 4 maeras diferetes. Por lo tato, el úmero total de posibilidades es = 20. b) Co u razoamieto semejate al utilizado e a), si Alicia es presidete hay 5 4 = 20 formas para seleccioar los cargos restates. Ahora si Bejami es presidete hay 20 modos para escoger los cargos restates. Como estos casos so disjutos, por el Pricipio Básico Aditivo existe = 40 posibilidades. 4.. PERMUTACIONES Defiició 4.. Ua permutació de elemetos diferetes x, x 2, x 3,..., x es u ordeamieto de los elemetos x, x 2, x 3,..., x. Ejemplo 4.2. Si teemos los elemetos a, b y c etoces existe 6 permutacioes las cuales so: abc, acb, bac, bca, cab, cba a b c a c b b a c b c a c a b c b a 23

25 Este ejemplo ilustra el siguiete teorema Teorema 4.3. El úmero total de permutacioes de objetos diferetes tomados a la vez es!. Notació: p =! Demostració: Se usa el pricipio de multiplicació. Ua permutació de elemetos se cotruye e pasos sucesivos: se elige el primer elemeto; se elige el segudo;... ; se elige el último elemeto. El primer elemeto se puede seleccioar de maeras. Ua vez elegido, el segudo elemeto se puede seleccioar de maeras. Ua vez elegido, el tercer elemeto se puede seleccioar de 2 maeras, y así sucesivamete. Por el pricipio de la multiplicació existe Observació 4.. a) De acuerdo al ejemplo 4.2. ( ) ( 2)... 2 =! El primer casillero (o primer lugar), se puede ocupar de 3 maeras diferetes Ua vez ocupado el primer casillero queda 2 objetos dispoibles. Luego el segudo casillero puede ser ocupado de 2 maeras diferetes. Cuado ya está ocupado el primer y el segudo casillero, el tercer casillero se ocupa de ua úica maera. Por el pricipio multiplicativo los 3 casilleros a la vez puede ser lleados de 3 2 = 3! maeras. 24

26 b) Tambié podemos ecotrar todas las permutacioes por medio del diagrama del árbol (ver figura 4.) Figura: 4. Ejercicio: De cúatas maeras se puede ordear 6 libros e u estate? Solució: P 6 = 6! = 720, luego se puede ordear 6 libros de 720 formas distitas. Nota: Si o todos los objetos dados so diferetes, se calcula su úmero de premutacioes a través del siguiete teorema. Teorema 4.4. (Permutacioes co repeticioes) Si objetos dados puede dividirse e r clases tales que hay: objetos idéticos de tipo 2 objetos idéticos de tipo 2 3 objetos idéticos de tipo 3 r objetos idéticos de tipo r Etoces, el úmero de permutacioes de estos objetos tomados todos a la vez está dada por P, 2,..., r =!! 2! r! Ejemplo 4.3. De cuátas maeras puede colocarse e líea 9 bolitas de las cuales 4 so blacas, 3 amarillas y 2 azules? Solució: P 4,3,2 9 = 9! 4!3!2! = 4! !3!2! = = 260 maeras de ordear las bolitas. 25

27 4.2. PERMUTACIONES DE OBJETOS DISTINTOS TOMADOS DE k EN k Teorema 4.5. El úmero de permutacioes (o secuecias) de objetos que se seleccioa etre k elemetos dispoibles (si reemplazo) es: co k P k =! ( k)! = ( ) ( 2)... ( k + ) Demostració: Debe cotarse el úmero de maeras de ordear k elemetos seleccioados de u cojuto de elemetos. El primer elemeto se puede elegir de maeras. Ua vez que se elige el primer elemeto, el segudo se puede seleccioar de maeras. Cotiuamos eligiedo elemetos hasta que, habiedo elegido el elemeto k, pasamos al elemeto k que se puede seleccioar de k + maeras. Por el pricipio de la multiplicació, el úmero de permutacioes k de u cojuto de objetos distito es ( ) ( 2) ( k + ) Ejemplo 4.4. Cuátas palabras de 3 letras se puede formar usado las letras a, b, c, d? Solució: P3 4 4! = = 24, luego se puede formar 24 palabras de 3 letras usado las letras a, b, c y (4 3)! d. Ahora sí teemos co repetició teemos la siguiete regla: k, co k o < k. Ejemplo 4.5. Cuátos úmeros de tres cifras co repetició se puede formar usado los siguietes dígitos 7, 4, 8, 5, 3? Solució: Como se puede repetir los dígitos y so 5 de ellos, podemos colocar e la posició de las ceteas cualquiera de los cico y e la posició de las deceas tambié 5 dígitos al igual que e la posició de las uidades, por lo tato, el resultado es 5 3, es decir 4.3. COMBINACIONES P 5 3 (repetició)=5 3 =25 úmeros Defiició 4.2. Sea X = {x, x 2, x 3,....x } u cojuto co elemetos (diferetes). Ua combiació k de X es ua selecció o ordeada de k elemetos de X (es decir, u subcojuto de X de k elemetos). ( ) Al úmero total de combiacioes de orde de k lo deotamos Ck o tambié. k 26

28 Teorema 4.6. El úmero total de combiacioes de k objetos que se seleccioaro de etre objetos diferetes es C k =! k! ( k)! Demostració: Cada ua de las combiacioes de los objetos, tomados de k elemetos puede ordearse de P k = k! maeras diferetes (Teorema 4.3), por lo tato por el pricipio multiplicativo el úmero total de permutacioes de objetos tomados de k elemetos Luego C k = P k P k =! ( k)! k! =! ( k)!k! P k = C k P k Ejemplo 4.6. Para cotestar u exame u alumo debe cotestar 4 de 7 pregutas. Cuátas maeras tiee el alumo de seleccioar las 4 pregutas? Solució: Como el orde de las respuestas o iteresa, el úmero pedido es C4 7 7! = 4! (7 4)! = 7! 4!3! = 35 formas de seleccioar las 4 pregutas. Ejemplo 4.7. E u grupo de 6 iños y iñas, de cuátas maeras puede formarse u grupo compuesto por 4 iños y 3 iñas? Solució: Como o iteresa el orde para formar los grupos, los 4 iños puede seleccioarse etre los 6 dispoibles de C4 6 formas, por otro lado las 3 iñas puede seleccioarse de etre las iñas de C3. Usado el pricipio Multiplicativo cocluimos que, C 6 4 C 3 = 6!! 4! (6 4!) 3! ( 3)! = = maeras puede formarse los grupos. Ejemplo 4.8. Ua señora desea ivitar a cear a 5 de amigos que tiee, a) Cuátas maeras tiee de ivitarlos? b) Cuátas maeras tiee si etre ellos esta ua pareja de recié casados y o asiste el uo si el otro? c) Cuátas maeras tiee de ivitarlos si Rafael y Arturo o se lleva bie y o va jutos? Solució: a) C5 =! = 462 maeras de ivitarlos. Es decir, se puede formar 462 grupos de 5 persoas 5!6! para ser ivitadas. b) La señora tiee dos alterativas para hacer la ivitació: 27

29 i) No ivitar a la pareja C0 2 C5 9 2! 9! = = 26 = 26 0! (2 0)! 5! (9 5)! ii) Ivitar a la pareja C 2 2 C 9 3 = 2! 9! 2!(2 2)! 3!(9 3)! = 84 = 84 Luego, usado pricipio de adició teemos = 20 formas de ivitarlos. c) Al igual que la letra b) la señora tiee dos alterativas para hacer la ivitació: i) No ivitar a Rafael y i Arturo C 2 0 C 9 5 = 2! 9! 0! (2 0)! 5! (9 5)! = 26 = 26 ii) Qué ivite solo a uo de ellos C 2 C 9 5 = 2! 9!! (2 )! 5! (9 5)! = 2 26 = 252 Así hay = 378 maeras de hacer la ivitació 4.4. PROBLEMAS RESUELTOS Ejemplo 4.9. Se tiee 2 probetas e u laboratorio: 7 co solucioes ácidas y las restates co solucioes alcalias. a) De cuátas maeras se puede ordear 5 de ellas de modo que las solucioes ácidas y alcalias quede alteradas? b) Para u experimeto se debe escoger 9 del total de solucioes de modo que a lo más haya 3 alcalias. De cuátas maeras se puede escoger? Solució: a) Al ordear las solucioes de la maera pedida la primera puede ser ácida o alcalia i) Si la primera es ácida teemos: Ac. Alc. Ac. Alc. Ac. El primer lugar se puede ocupar de 7 maeras. El tercer lugar se puede ocupar de 6 maeras. El quito lugar se puede ocupar de 5 maeras 28

30 Luego las solucioes ácidas se puede ubicar de maeras. O sea de P3 7 = 20 maeras. Aálogamete las solucioes alcalias se puede ubicar e el 2 0 y 4 0 lugar de P2 5 = 5! = 20 3! maeras. Luego todas las solucioes se puede ubicar e los 5 lugares de = 4200 maeras. ii) Si la primera solució que se ubica es alcalia, se tiee: Alc. Ac. Alc. Ac. Alc. y e forma aáloga al caso aterior las solucioes alcalias se puede ubicar de P3 5 = 5! 2! = 60 maeras, y las solucioes ácidas de P2 7 = 7! = 42 maeras. 5! iii) Aplicado el pricipio aditivo, el úmero de maeras e que se puede ordear e forma alterada las cico solucioes es: = 6720, maeras b) El úmero de solucioes alcalias a cosiderar puede ser 2 o 3, tomados e cueta que hay sólo 7 solucioes ácidas. i) Si se toma 2 alcalias, debe tomarse 7 ácidas. E este caso las 9 solucioes se puede escoger de C 5 2 C 7 7 = 0 maeras. ii) Si se toma 3 alcalias, las 9 solucioes se escoge de: C 5 3 C 7 6 = 70 maeras. Aplicado el pricipio aditivo, resulta que el úmero total de maeras de escoger las 9 solucioes e las codicioes pedidas es: = 80 maeras. 29

31 Ejemplo 4.0. De cúatas maeras puede guardarse 2 herramietas distitas usado 2 cajas? Solució: E cada caja debe guardarse a lo meos herramieta y a lo más. Basta determiar el úmero de maeras e que las herramietas se puede guardar e ua de las cajas solamete. Por combiacioes y pricipio aditivo se tiee: C 2 + C C 2 = 2 k=0 C 2 k C 2 0 C 2 2 = = Ejemplo 4.. De cúatas maeras u estudiate puede distribuir los días de ua semaa de modo que dedique cuatro de ellos para matemáticas, dos para física y uo para descasar? Solució: Es u problema de permutacioes co repetició, ya que o podemos difereciar los días e que se estudia u ramo determiado. Luego el úmero de maeras e que el estudiate puede distribuir los días es: 7! 4!2!! = 05 maeras Ejemplo 4.2. De cúatas maeras se puede setar 7 persoas alrededor de ua mesa redoda? De cúatas maeras si 3 de ellas debe quedar jutas? Solució: E ua mesa redoda o hay u lugar de preferecia. Ubicamos ua de las persoas e u lugar fijo A de la mesa. Luego os queda 6 persoas para ubicar e los 6 lugares restates. Así las 7 persoas se puede ubicar de: P 6 = 6! maeras Ahora si 3 de las persoas debe quedar jutas, se cosidera como u bloque. Luego es lo mismo que ubicar 5 persoas e ua mesa redoda. Por lo aterior estas se puede ubicar de 4! maeras, y como las 3 persoas que va e bloque se puede ordear de 3! maeras por el pricipio multiplicativo las 7 persoas se ubica de 4! 3! = 44 maeras. 30

32 Capítulo 5 PROGRESIONES 5.. NOCIÓN DE SUCESIÓN Defiició 5.. Dado u cojuto S, se llama sucesió e S a ua fució a : N S Si S = R, etoces a : N R se dice ua sucesió real. Si se tiee ua sucesió a : N S llamamos térmio de la sucesió a las imágees a (), a (2),..., a (),... y se deota por a, a 2,..., a,... E geeral ua sucesió a : N S se deotará por {a } = {a } N o bie por {a } simplemete. Observemos que {a } = {a, a 2,..., a,... } es solo ua otació y o u cojuto ya que puede haber térmios repetidos. Por ejemplo: La sucesió a : N S tal que { si es par a = si es impar tiee por térmios,,,,.... Esta sucesió se deota: {a } = {,,,,... } Defiició 5.2. Dada ua sucesió {a }, térmios a k, k N, se dice térmio de lugar k de ella, o bie el k-ésimo térmio. Así a : 0 térmio a 2 : 2 0 térmio, etc 3

33 5.2. PROGRESIONES ARITMÉTICAS Defiició 5.3. Sea {a } ua sucesió real. Se dice que {a } es ua progresió aritmética si existe u úmero real d, llamado diferecia, tal que Observació 5.. a k+ a k = d, k N a) U úmero fiito de térmios reales se dice e progresió aritmética si ellas forma parte de ua progresió aritmética. b) Dados dos úmeros reales a, b distitos, se dice que x, x 2,..., x r so medios aritméticos etre a y b si a, x, x 2,..., x r, b esta e la progresió aritmética. c) Si a, b R, se llama el medio aritmético etre a y b al úmero x R tal que a, x, b está e la progresió aritmética Térmio geeral de orde k y suma de k térmios Sea {a } ua progresió aritmética co diferecia d. Teorema 5.. El térmio geeral de orde k es a k = a + (k ) d, k N. Teorema 5.2. La suma de los primeros k térmios de ua P.A. está dada por: S k = k a i, i= etoces Corolario 5.. S k = k 2 [a + a k ], k N. S k = k 2 [2a + (k ) d], k N Observació 5.2. Los teoremas 5., 5.2 se demuestra por iducció. 32

34 5.3. PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Defiició 5.4. Sea {a } ua sucesió real co sus térmios o ulos. Se dice que {a } es ua progresió geométrica si existe u úmero real r, llamado razó, tal que: a k+ a k = r, k N. Observació 5.3. Al igual que e las progresioes aritméticas, u úmero fiito de térmios está e progresió geométrica si ellos forma parte de ua progresió geométrica. Además x,..., x p so medios geométricos etre dos úmeros reales o ulos a y b si a, x,..., x p, b está e progresió geométrica Térmio geeral de orde k y suma de k térmios Sea {a } ua progresió geométrica de razó r Teorema 5.3. El térmio geeral de orde k es: a k = a r k, k N. Teorema 5.4. La suma de los primeros k térmios de ua P.G. está dada por: r k S k = a, k N. r 5.4. EJERCICIOS RESUELTOS Ejemplo 5.. E ua progresió aritmética cuyo primer térmio es a, si la suma de los p primeros térmios es cero, demuestre que la suma de los siguietes q térmios es igual a: a (p + q) q p Solució: S p = p (2a 2 + (p ) d) = 0 como p 0, 2a + (p ) d = 0 de dode d = 2a. Además p S = S p+q S p, siedo S la suma de los q térmios que sigue a los p primeros. Como S p = 0, S = S p+q, por lo tato S = p + q [ 2 a + (p + q ) 2 a ] 2 p = p + q 2 a p 2 a 2a p 2 a q + 2 a 2 p = p + q 2 2 a q p = a (p + q) q p 33

35 Ejemplo kg de papas almaceadas pierde peso hasta llegar a 380 kg e la primera semaa. E cada ua de las semaas siguietes la pérdida del peso es la mitad del peso perdido e la semaa aterior. Después de 9 semaas el propietario determia veder el lote de papas compesará la pérdida de peso vedido a $240 el kg de papa, cuyo precio origial era $200 e kg? Solució: Sea a = 20kg (pérdida de peso e la primera semaa), luego r = 2. Así S q = 20 ( ) = 39,92875kg. Es la pérdida de peso e las 9 semaas, quedado kg para la veta. Precio de costo de las papas: $80.000, Precio de veta: $ Luego hay gaacia, y se compesa la pérdida de peso. 34

36 Capítulo 6 EJERCICIOS PROPUESTOS. Obtega ua fórmula para las siguietes sumas: +2 a) S = (j ) 4 b) S = k= k 4. k= a k, si a >. k= Idicació: x = ( x) ( + x + x x ) ( ) c) S = log +. k (k + 2) d) S = e) S = k= k!k. k= 2 k= ( ) k (2k + ), si se sabe que (4k ) = 2 2 +, k= (4k + ) = Use iducció matemática para demostrar las siguietes proposicioes: ( + ) a) La suma de los primeros úmeros aturales es. 2 b) La suma de los primeros úmeros aturales impares es 2 ( + ) ( + ) ( + 2) c) =, N. 2 6 ( + ) (2 + 7) d) ( + 2) =, N. 6 e) 2 +, N. 35 k=

37 f) 2!, N. g) es divisible por 9, N. h) ( ) + es divisible por 5, N. i) 2 + es divisible por 3, si es cualquier úmero atural impar. j) (2i ) 2 = (2 + ) (2 ), N. 3 i= k) Si a = y a k+ = 3a k, dode k N y k >. Etoces a < a +, N 3. Cosidere la fórmula siguiete: (2i ) = , dode N. i= a) Demuestre que si esta fórmula es válida para = k, etoces lo es tambié para = k +. b) Es posible cocluir que la fórmula es válida para todo úmero atural? Justifique. 4. Decida si las siguietes igualdades so verdaderas o falsas: a) b) c) d) 00 =0 00 i=0 00 k=0 i= i= 00 4 = 4. 2 = (2 + k) = 2 + k k=0 i (i + ) = ( + ), N 5. Evalúe: 5 ( a) + ) i i= ( 3 ) ( 6 ) b) it i c) ( x) i=4 3 ( ) + x 2k k= 36

38 6. Simplifique y calcule: 6 j j=3 a) 5! +3 b) ( )! i c) i=! (2 )! ( 2)! (2)! (2 + )! ( + )! d) ( 2)! (2 + 3)! ( ) 43 e) 4 ( ) + 2 f) ( ) 2 g) [( )!] 2 7. Calcule e cada caso: a) 6! = 9! ( ) b) = 0 2 ( ) ( ) 2 c) = 3 3 ( 28 ) d) ( 24 ) = 4 8. Demuestre que: 2700 ( 3) ( 2) a) e (+) 2 (e ) = b) c) i= ( e i+ e i), N. i= (2i ) = (2)!, N. 2! + ( + q 2i ) = + q2, N. q i= 9. Demuestre por iducció matemática: 37

39 i) ( + ) (2 + ) =. 6 [ ] 2 ( + ) ii) = 2 iii) Utilice i), ii) para obteer fórmulas para: a) b) + (2i ) 2. i= + (2i) 3 i= 0. Escriba el desarrollo de: ( x ) 4 a) (x + 4) 5 b) 2 2y c) ( ) 6 x 2 x. Ecuetre y simplifique: ( a) El séptimo térmio del desarrollo de x + 3 ) 0. 2x 3 ( b) El térmio idepediete de x e el desarrollo de 2x 2 x) 2. c) El térmio cetral e el desarrollo de ( y 2 x 2y ) 8. ( d) El coeficiete de x 8 e el desarrollo de x 2 30 x ( e) El térmio que cotiee a x 2 e el desarrollo de ) 5. ) x. x 2 f) El coeficiete de x 4 e el desarrollo de ( x) ( + x) 5. g) El coeficiete de x 25 e el desarrollo de ( + x) 50 ( + x + x2 ). h) El valor de k, si los coeficietes x k y de x k+ so iguales e el desarrollo de (3x + 2) 9. i) El térmio costate y los térmios cetrales e el desarrollo de (x 2 + 2x ) E 5 butacas de la primera fila de u teatro de debe ubicar a 5 persoas, 3 hombres y 2 mujeres. a) De cuátas maeras se les puede ubicar? b) De cuátas maeras si los hombres se sieta jutos y las mujeres tambié? c) De cuátas maeras si solo las mujeres se sieta jutas? 38

40 d) De cuátas maeras si debe ir alterados? e) De cuátas maeras si hay ua pareja que quiere quedar juta? 3. Co los dígitos 2,3,5,6,7 y 9 se formará úmeros de tres dígitos distitos. a) Cuátos so? b) Cuátos de ellos so meores que 400? c) Cuátos de ellos so pares? d) Cuátos de ellos so mútiplos de 5? 4. Cosidere las letras de la palabra CRISTAL. a) Cuátas palabras de 4 letras distitas se puede formar? b) Cuátas de ellas cotiee solo cosoates? c) Cuátas de ellas comieza por vocal y termia e cosoate? d) Cuátas cotiee la letra L? e) Cuátas comieza por T y termia e vocal? f) Cuátas comieza por T y cotiee la letra S? g) Cuátas cotiee dos vocales? 5. Ua delegació de 4 estudiates de u colegio se seleccioa todos los años para asistir a la Asociació de Estudiates. Si la delegació se escogerá de u total de 2 estudiates: a) De cuátas maeras se puede escoger la delegació? b) De cuátas maeras si 2 de los estudiates o puede ir jutos? c) De cuátas maeras si hay 2 estudiates que solo va si so ambos escogidos? 6. U alumos debe cotesttar 8 a 0 pregutas de u exame. a) De cuátas maeras puede cotestar el exame? b) De cuátas maeras si las 3 primeras pregutas so obligatorias? c) De cuátas maeras si se debe cotestar por lo meos 4 de las 5 primeras pregutas? 7. a) De cuátas maeras puede elegirse u comité de 5 técicos de u total de 7 mecáicos y 5 eléctricos, si el comité debe coteer al meos mecáico y al meos eléctrico? b) Cuátas señales diferetes, cada ua de 6 baderas colgado e líea, puede formarse co 4 baderas rojas idéticas y dos azules idéticas? 39

41 c) E ua reuió social cada ua de las persoas saluda, dádole la mao, a cada ua de las restates. E total se hace 45 saludos. Cuátas persoas había e la reuió? d) De cuátas maeras puede repartirse 2 objetos distitos etre 4 persoas? e) De cuátas maeras se puede repartir 5 regalos distitos a dos iños si uo de ellos recibirá 3 y el otro 2 regalos? f) Cuátos úmeros múltiplos de 5, co 4 dígitos, so mayores que 2000 y meores que 8000? Cuátos de ellos tiee los 4 dígitos distitos? 8. Ecuetre los valores que falta: a, d, a, S e las Progresioes Aritméticas (P.A.) siguietes a) a = 0, d = 2, = 7. b) a = 3, a = 56, = 24. c) S = 792, a = 7, = 72. d) S = 89, a = 7, d = i) Determie el primer térmio y la diferecia de ua P.A cuyo décimo térmio es 25 y el térmio del lugar 45 es 9. ii) La suma de los primeros 50 térmios de ua P.A es 200, y la suma de los 50 térmios siguietes es Ecuetre la P.A. iii) Iterpole 4 medios aritméticos etre -9 y 26. iv) La suma de tres térmios cosecutivos de ua P.A. es 30 y la suma de sus cuadrados es 38 Cuáles so los úmeros e P.A.? v) La suma de los 5 primeros térmios de ua P.A. es 270. Determie la P.A. si sabe que el térmio de lugar 5 es a) Ua persoa acepta u empleo co u sueldo de 3000 dólares por el primer mes y co u aumeto de 00 dólares por cada mes que sigue Cuátos años deberá trabajar para que su etrada mesual sea de 9000 dólares? Cuáto habrá gaado, e total, al cabo de u año y medio? b) U reloj marca solamete las horas co úmero de tañidos correspodiete Cuátos tañidos da, e total, etre las 2h.5mi. y las h.20mi.? c) Calcule las suma de térmios de la P.A. 2a 2 a, 4a 3 a, 6a2 5. a d) Determie el valor de k, si 8k + 4, 6k 2, 2k 7 está e progresió aritmética. 2. Determie los valores que falta: a, r, a, S, de las siguietes Progresioes Geométricas (P.G.): 40

42 a) a = 2, r = 2, = 7. b) a = 5, r = 3, a = c) S = 765, a = 3, a = 384. d) S = 765, a = 503, r = a) Iterpole cuatro medios geométricos etre 60 y 5. b) Halle tres úmeros e P.G cuya suma sea 9 y cuyo producto sea 26. c) Halle la suma de los primeros térmios de la P. G. + x, 2 ( + x 2 ) 2, ( + x 2 ) 3,..., i) Ecuetre la suma de todos los úmeros etre 4 y 84, ambos iclusive, que o sea múltiplos de 3. ii) Sea f : R R, f (x) = e x. Si a, a 2, a 3 está e P.A., demuestre que f (a ), f (a 2 ), f (a 3 ) está e progresió geométrica iii) Demuestre que: a, b, c está e P.A. es equivalete a b a, 2b, b c esta e P.G. 24. a) U cuerpo e caída libre recorre aproximadamete 4.9m e el primer segudo, 4.7m e el segudo siguiete; 24.5m e el tercer segudo; etc. Cuátos metros recorre el cuerpo al cabo de 5 bombeadas? b) Ua bomba de vacío extrae la cuarta parte del aire coteido e u recipiete e cada bombeada. Qué porcetaje de aire, del que orgialmete coteía el recipiete, queda después de 5 segudos? c) U químico tiee u precipitado compuesto de gr. de ua sustacia y gr. de impureza. E cada lavado logra reducir la impureza a la mitad Cuátos lavados so ecesarios para que la impureza sea meor que 0.000gr? d) Ua pelota es lazada desde m. de altura. Si cada vez que rebota alcaza la mitad de la altura que ates alcazó, calcule la distacia que recorre ates de deteerse. e) E u estaque cae agua a razó de dos galoes por miuto e el primer miuto, 4 galoes por miuto e el segudo miuto, 6 galoes por miuto e el tercer miuto, etc. Cuáta agua habrá e el estaque después de trascurrida hora? Supoga que el estaque estaba iicialmete vacío. f) U cierto cultivo de bacterias, se duplica cada 20 miutos. E cuáto aumeta (o dismiuye) el úmero origial de bacterias e el cultivo al cabo de 2 horas, supoiedo que igua desaparece? 4

43 Capítulo 7 SUCESIONES Defiició 7.. Ua sucesió (real) es ua fució para el cual aotamos: a : N R a () = a, N. El gráfico de ua sucesió a será etoces el cojuto de los pares ordeados (, a ), N. E adelate: {a } N o bie (a ) N o bie {a : N} o bie {a, a 2,..., a... } deotará la sucesió a : N R, a Dada la sucesió {a } N, llamamos térmio de orde k o bie k-ésimo térmio o bie térmio de lugar k, al elemeto a k. Ejemplo 7.. { }. deota la sucesió a : R dode a =, a 2 = N 2, a 3 = 3,..., a =,... { } O sea = {, 2, 3,..., },... N 2. {3} N es la sucesió costate 3, dode a = 3, N. La sucesió costate 0 se llama sucesió ula. { } 3. es la sucesió cuyo -ésimo térmio es a = +, o sea + N { } = { 2 +, 2, 3,...,,... } { si es impar, N 4. a = si es par, N N. 42

44 Etoces {a } N es la sucesió: {, 2,, 3,, 4,... } Observació 7.. Las sucesioes de los ejemplos y 4 tiee los mismos elemetos como cojutos pero so sucesioes diferetes. Esto se aprecia al cofeccioar sus gráficos: Figura: Gráfico de { } Figura: Gráfico de {a } N Álgebra de Sucesioes Como las sucesioes reales so fucioes reales, co ellas se puede efectuar todas las operacioes que se hace co fucioes reales, y se tiee: Dadas las sucesioes {a } y {b }, etoces: a) {a } + {b } = {a + b }: suma de sucesioes b) {a } {b } = {a b }: producto de sucesioes c) {a } {b } = { a b }, si b 0, N: cuociete de sucesioes d) α R, α {a } = {αa }: multiplicació de ua sucesió por u escalar 43

45 Sucesioes Covergetes Sea {a } ua sucesió. Si {a } tiee límite e ifiito (como fució), diremos que la sucesió {a } es covergete. O sea {a } es covergete l = lím a. E este caso diremos que {a } coverge a l y que l es el límite de la sucesió. Si el límite o existe, la sucesió es divergete. Observació 7.2. La sucesió {a } es la fució a : a. Para estudiar el límite de la fució a, esta se extiede a cualquier real x, pues Por ejemplo: para covergete. 7.. PROPIEDADES lím a = lím a () = lím a (x). x { }, se tiee que lím N = lím x x = 0. Luego { } N es ua sucesió. El límite de ua sucesió es úica. 2. So válidos para sucesioes, todos los teoremas de límites de fucioes. Así teemos: a) α R y {a } coverge a l, etoces α{a } coverge a αl. b) Si {a } coverge a l y {b } coverge a l etoces: {a } ± {b } coverge a l ± l {a } {b } coverge a l l { a b } coverge a l l, siempre que b 0, N, y que l 0 Ejemplo Toda sucesió costate es covergete. {C} N coverge a C, si C es costate. { } 2. es covergete a, ya que lím + + = lím x x x + =. N 3. {} N es divergete. { } N 2 es divergete, ya que lím 2 + = lím x 44 x 2 2x + = lím 2x x 2 =.

46 { 5. Veamos la covergecia de si π } N lím si π = lím x si π x x = lím si π x x x π cos π x = lím 2 x x x 2 = π = π = π lím x cos π x 6. Sea {a } tal que a = ( ) + { + si es par como a = + resulta que los térmios pares tiee como límite y si es impar los impares límite -. Luego lím a y así {a } es divergete. { 2 si π } 7. La sucesió es covergete ya que: 2 + N Sea a = 2 + y b = si π. Etoces claramete la sucesió dada es {a } {b }. ( Como las sucesió {a } coverge a pues lím = ) y la sucesió {b } coverge 2 a π, la sucesió dada coverge a π. O sea 2 { 2 si π } 2 + N coverge a π 2 Proposició 7.. Se tiee los siguietes casos especiales: { } i) Si p > 0, coverge a 0. p N ii) Si p > 0, { p} N coverge a. iii) { } N coverge a. Demostració: ii) lím p = lím p = p 0 =. 45

47 iii) Sea l = lím, luego [ ] l l = l lím ( ) = lím l = lím l l = lím = lím = 0 O sea l l = 0 y así l =, por L Hopital Sucesioes Moótoas Defiició 7.2. Sea {a } ua sucesió. Cosiderado que las sucesioes so fucioes reales, teemos que: a) {a } es creciete a a + N {a } es decreciete a a + N {a } es moótoa {a } es creciete o {a } es decreciete. b) x R, x es cota iferior de {a } x a, N y R, x es cota superior de {a } y a, N c) {a } es acotada superiormete ssi tiee al meos ua cota superior. {a } es acotada iferiormete si, y sólo si tiee al meos ua cota iferior. {a } es acotada si, y sólo si es acotada superior e iferiormete. NOTA. {a } es acotada ssi M R + tal que a M, N. NOTA 2. {a } es creciete (o decreciete) ssi f (x) = a x, x real positivo, es fució real creciete, esto es f (x) > 0 (o decreciete f (x) < 0). Teorema 7.. (codicioes de covergecia). Toda sucesió creciete y acotada superiormete es covergete. 2. Toda sucesió decreciete y acotada iferiormete es covergete. 3. Toda sucesió covergete es acotada. 4. Si {a } es moótoa, etoces : {a } es covergete {a } es acotada. Observació 7.3. a) De () y (2) del teorema se deduce que: 46

48 {a } moótoa y acotada {a } covergete b) De (3) teemos, por la cotrapositiva de la implicació, que: {a } o esta acotada {a } es divergete. Si embargo, { si {a } es acotada, o ecesariamete es covergete. Por ejemplo la sucesió ( ) es ua sucesió acotada, pues: + ( ) N +, pero o es covergete (los térmios pares tiee límite y los impares -). { } c) Ua sucesió covergete o ecesariamete es moótoa. Por ejemplo ( ) N coverge a 0 y o es creciete i decreciete, o sea o es moótoa. Este ejemplo sirve tambié para comprobar que: ua sucesió acotada o ecesariamete es moótoa. Ejemplo 7.3. Estudiar la mootoía, cotas y covergecia de las sucesioes a) {2 / } N { } b) + 2 { } 2 + c) Solució: N N a) Mootoía: Sea f (x) = 2 x, x R +. Como f (x) = 2 x l 2 < 0, resulta que f (x) es decreciete, luego {2 / } x 2 N es moótoa decreciete. Cotas: 2 = 2 2, N (2 es cota superior y -2 es cota iferior), la sucesió es acotada. Covergecia: como es moótoa y acotada, es covergete. b) Mootoía: f (x) = x + x 2, x R f (x) = ( + x2 ) 00000x 2x ( + x 2 ) 2 f x2 (x) = ( + x 2 ) 2 < 0 la sucesió dada es moótoa decreciete. 47

49 Cotas: < 00000, N Luego es cota superior y cota iferior. Covergecia: como es moótoa y acotada, es covergete. c) Mootoía: f (x) = x2 + x f (x) = 2x x (x2 + ) = x2 0, x R + x 2 x 2 la sucesió es moótoa creciete. Cotas: la sucesió dada es { 2, 5 2, 0 3, 7 4,..., 2 +,... o hay cota superior. la sucesió solo es acotada iferiormete. No es etoces acotada. }. Luego 2 es cota iferior y Covergecia: como o es acotada superiormete, es divergete. O bie: como 2 + lím resulta que la sucesió es divergete. = lím x x 2 + x Ejemplo 7.4. Toda sucesió costate es covergete, pues es moótoa (es creciete y decreciete a la vez) y es acotada. { si impar Ejemplo 7.5. La sucesió {a } dode a = 2 si par +2 o es creciete i decreciete, luego o es moótoa por el gráfico de esta sucesió (ejemplo 7.) se ve claramete que está acotada superiormete por e iferiormete por 0. Luego o es covergete. = 48

50 Capítulo 8 SERIES Defiició 8.. Si {a } es ua sucesió y S = a + + a = {S } N se llama serie ifiita o simplemete ua serie. Así teemos etoces que la serie {S }, dode S = S = a S 2 = a + a 2 = S + a 2 S = a + a a = a i = S + a + S + = a + a a + a + = a i = S + a + i= i= O sea ua serie es ua sucesió de la forma: Por esto, habitualmete se usa la otació: a i, etoces la sucesió i= a i es tal que: i= {a, a + a 2,..., a + a a,... } y llamamos a para la serie {a, a + a 2,..., a + a a,... } a) Térmios de la serie a los térmios de la sucesió {a }. b) Sumas parciales de la serie a los térmios de la sucesió {S }, dode S = a i, N. i= 49

51 Ejemplo 8... Los térmios de la serie sumas parciales: 3 so 3, 3, 2 3,...,,.... Esta serie es la sucesió de 3 3 S = 3 S 2 = S = Como S es la suma de los primeros térmios de la progresió geométrica de razó y co 3 primer térmio, se tiee que 3 S = 3 ( 3 3 ) = [ 3 ] N Dada la serie halle los 4 primeros térmios y las 4 primeras sumas parciales. ( + ) Además determie ua fórmula para S, la -ésima suma parcial. Solució: Si a =, los 4 primeros térmios de la serie so: (+) y las 4 primeras sumas parciales : a = 2 = 2 a 2 = 2 3 = 6 a 3 = 3 4 = 2 a 4 = 4 5 = 20 50

52 S = 2 S 2 = S + a 2 = = 4 6 = 2 3 = S 3 = S 2 + a 3 = = 9 2 = 3 4 = S 4 = S 3 + a 4 = = 6 20 = 4 5 = Ahora: S = i= i (i + ) =, lo cual se puede comprobar fácilmete por iducció + NOTA: E estos ejemplos fue posible ecotrar ua fórmula para S. E geeral o siempre esto es posible. 8.. SERIES CONVERGENTES Y DIVERGENTES Defiició 8.2. La serie parciales es covergete. Luego: Si ua serie a Si S = S = es ua serie covergete si, y sólo si la sucesió de sumas a i, etoces: i= a es covergete S = lím S. a es covergete, el límite S de la sucesió de sumas parciales se llama la suma de la serie y e este caso aotamos: a = S Si ua serie o es covergete, se dice serie divergete. Ejemplo Por lo visto e los ejemplos ateriores se tiee 5

53 a) b) es ua serie covergete pues 3 Luego 2 es la suma de la serie, o sea ( + ) lím S = lím [ 3 ] = 2 2 es ua serie covergete pues: Luego es la suma de la serie y se tiee 3 = 2 lím S = lím + = 2. La serie 2 tiee por sumas parciales: S = 2 S 2 = = 4 S 3 = = 6 S = } 2 + {{ + 2 } = 2 veces ( + ) = Luego lím S = + o sea lím S e R y así la serie es divergete y o tiee suma. 3. La serie ( ) es divergete, ya que: S = S 2 = ( ) + ( ) 2 = 0 S 3 = 0 + ( ) 3 = S 4 = + ( ) 4 = 0 S 2t =, t N S 2t = 0, t N Luego lím S y la serie es divergete. 52

54 Teorema 8.. Si la serie a es covergete, etoces lím a = 0 Demostració: Como la serie es covergete, S R, S = S = a i, N. Luego: i= a = S S a y S = lím S, dode = S S + S S S S + S S ( ) Si tomamos u muy grade, como S = lím S, resulta que S y S se aproxima a S. De este modo podemos hacer ( ) ta pequeño como se quiera. Así teemos que lím a = 0. Cosecuecia Tomado e cueta la cotrarecíproca del Teorema 8. se obtiee: lím a 0 lím a a es divergete, que llamaremos CRITERIO DE LA DIVERGENCIA. Ejemplo Si C 0 es ua costate, etoces 2. La serie 2 es divergete, pues C es ua serie divergete, pues lím C = C 0 2 lím = lím 2 x x x = lím x 2 x l 2 = por L Hopital 53

55 3. Para la serie lím o se tiee iformació co el criterio de la divergecia, pues = 0. Más adelate podremos estudiar esta serie co otros criterios. Observació 8.. Dadas las series a y b. Cada ua de estas series es ua sucesió de sumas parciales y la suma de estas sucesioes se llamará la Serie Suma. Se tiee así que: a + b = (a + b ) tambié podemos obteer la multiplicació de ua serie por u escalar: Además: Ejemplo 8.4. α a = αa a b = a + ( ) b + = + ( ) + [ ] = + ( ) + [ = ] + = ( + ) Teorema Si dos series difiere e u úmero fiito de térmios, etoces ambas coverge o ambas diverge. 2. Dadas dos series covergetes, la suma y la resta de las series es covergete. Si ua serie es covergete y otra divergete, etoces la suma de ellas es divergete. 54

56 3. Si la serie a es covergete a la suma S, etoces α a coverge a la suma αs, α R {0}. Ejemplo Cosidere la serie ( ) Esta serie difiere e 4 térmios co la serie y como esta última es ua serie divergete (ejemplo 8.3), resulta que la serie dada e ( ) es divergete. 2. La serie es ua serie divergete pues es igual a y la serie 2 es divergete (por criterio de la divergecia) = Como la serie ( + 53 ) = + 5 es divergete y la serie 3. es covergete, se tiee que es divergete (teorema 8.2) ALGUNAS SERIES TÍPICAS Series Telescópicas Defiició 8.3 (Series Telescópicas). Ua serie posible ecotrar ua sucesió {b } tal que: a es ua serie telescópica si, y sólo si es a = b b +, N o bie a = b + b, N 55

57 Ejemplo 8.6. ( + ) = ( ) + luego se trata de ua serie telescópica dode b =. (Ejemplo 8.4) Teorema 8.3. Sea a ua serie telescópica co a = b b +. Etoces: i) a diverge {b } diverge ii) a coverge {b } coverge. E el caso ii) la suma de la serie Demostració: Como a = a es S = b lím b (b b + ), las sumas parciales de esta serie so: Luego si S = b b +, se tiee: S = a = b b 2 S 2 = a + a 2 = (b b 2 ) + (b 2 b 3 ) = b b 3 S 3 = S 2 + a 3 = (b b 3 ) + (b 3 b 4 ) = b b 4 S + = S + a + = (b b + ) + (b + + b +2 ) = b b +2 O sea S = b b +, N. Luego la sucesió de las sumas parciales depede directamete de la sucesió {b }. De este modo se tiee el Teorema y lím S = b lím b +, dode lím b + = lím b e el caso que haya covergecia. NOTA: Si la serie telescópica a es tal que a = b + b, etoces a = (b + b ) = (b b + ). 56