ANOVA para más de un factor

Transcripción

1 0 ANOVA pr más de un fctor El modelo de ANOVA encjdo estudi un sol fuente de vrición como fctor de nálisis, el cuál se sudivide en sugrupos de tipo jerárquico pr su nálisis como fuentes de vrición seprds. Es decir, fuentes o fctores encjdos dentro de un clsificción superior. En el presente cpítulo se verán fuentes de vrición de igul rngo, desrrollndo modelos pr nlizr los csos de más de un fctor. Pr comenzr se trtrá el cso más común: ANOVA de dos fctores, y el cso de ANOVA multifctoril (tres o más fctores) se dej l inquietud pr el lector interesdo en vnzr un poco más que los límites plntedos pr l presente or. Por ejemplo, se pueden usr estos modelos en Control de Clidd, sí se puede investigr el efecto que tiene en l técnic ioquímic empled el fctor humno y ls diferentes mrcs de kits comerciles en el mercdo, pr el cso de dos fctores. O ien, incluir diferentes espectrofotómetros como un tercer fctor de nálisis. El cálculo del modelo de ANOVA de dos fctores se puede clsificr en dos csos ásicos: el primero, sin repetición, es cundo hy un solo dto por cd cominción posile de los dos fctores y el segundo, con repetición, cundo hy más de un dto pr cd cso o cominción de fctores posiles. En el modelo de ANOVA de dos fctores con repetición prece un nuevo concepto estdístico de grn utilidd pr el investigdor: l intercción de mos fctores nlizdos. Cundo el efecto de mos fctores ctundo en conjunto es myor que el que tienen por seprdo, se dice que hy sinergi, un especie de intercción positiv. En cmio, si el efecto conjunto es menor, se hl de interferenci. Esto greg un nuev hipótesis de trjo ls cutro vists pr los modelos de ANOVA: Normlidd, Aletoriedd, Independenci y Homoscedsticidd. Este quinto supuesto ásico es: No hy intercción. Por su prte, si no se reliz más de un medición por cd cominción de los dos fctores, no se puede detectr l intercción y no se requiere del quinto supuesto. Al finl se muestrn lgunos csos especiles de uso difundido en l práctic y se explic l mner de generlizr los modelos de ANOVA cundo hy más de dos fctores en estudio. En form prlel se vn muestr el modelo no prmétrico de Friedmn, pr poder trjr en cso que no se pued (o no se quier) verificr los supuestos ásicos.

2 Bioestdístic plicd Bioquímic y Frmci Azzimonti Renzo, JC - rroi_pss@ciudd.com.r 0-0. ANOVA de dos fctores con repetición Antes de comenzr el estudio de este modelo conviene repsr l diferenci conceptul entre un modelo de ANOVA encjdo de dos niveles y un ANOVA de dos fctores, porque menudo se los confunde. L mner de diferencirlos es ver si existe correspondenci entre los grupos o clses. Cundo existe tl correspondenci, entonces el modelo propido es el de dos fctores. En cmio, cundo no hy correspondenci entre ls clses y tl fctor represent solmente sudivisiones letoris de ls clses dentro de otro fctor, se trt de un modelo encjdo. Pr clrr mejor ests ides se present el Gráfico 0. siguiente: Gráfico 0.: ANOVA de dos fctores versus ANOVA encjdo de dos niveles. ANOVA encjdo de dos niveles ANOVA de dos fctores Edd Niños Jóvenes Adultos Edd Niños Jóvenes Adultos Sexo * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Sexo * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * En este cso se hicieron 6 mediciones pr cd cominción de edd y sexo. En el cso de un modelo de ANOVA de fctores, uno serí l edd, clsificd en 3 grupos: niños, jóvenes y dultos y el segundo fctor el sexo. Esto es clrmente un modelo I pr mos csos, porque no tendrí sentido pensr que se hizo un sorteo pr el sexo, entre todos los sexos posiles. Por lo tnto, no puede ser un modelo encjdo porque el segundo nivel dee ser un Modelo II. Se podrí diujr l tl de mner tl de tener l sexo en el primer nivel, y encjdo dentro del mismo ls eddes como segundo nivel. Entonces hrí que pensr que se hizo un sorteo entre tods ls eddes posiles, lo que no tiene sentido. Se puede ver sí que en este cso solo se puede trtr de un modelo de dos fctores. Otr form de verlo es considerndo que el sugrupo de niños, es por sorteo uno de los posiles, y que no tiene nd que ver con el sugrupo de jóvenes y el sugrupo de dultos, pr que se un modelo encjdo. En cmio, pr el cso de dos fctores, el sugrupo es lo mismo pr ls tres clses de eddes plnteds. Se pueden generlizr ests ides, pensndo que en un ANOVA de dos fctores donde cd grupo que se tome dee ser el mismo tipo en todos los grupos del otro. Por ejemplo, el grupo Sexo, es igul pr los tres grupos de eddes. En cmio, en el encjdo, puede ser culquier que slg por sorteo. Antes de plnter el modelo teórico conviene ilustrr el procedimiento de cálculo en el modelo de ANOVA de dos fctores. Pr ello, se eligió un ejemplo con repetición. Se trt de un estudio sore el tiempo de cur de un dolor de cez de cuerdo dos fctores: El fctor A es l ingest d e spirins pr livir el dolor y el otro fctor B es l ingest de cfé con el mismo ojetivo. Se tomron 3 pcientes pr cd un de ls 4 cominciones posiles, elegidos l zr, de los fctores estudir y se le midió el tiempo que tomó el livio del dolor medido en hors. Los dtos se muestrn en l l 0. siguiente:

3 Bioestdístic plicd Bioquímic y Frmci Azzimonti Renzo, JC - rroi_pss@ciudd.com.r 0-3 l 0.: ANOVA de dos fctores con repetición Fctor A: Aspirin SI No Σ,6 4,3 Fctor B: SI,9 4,,8 3,6 Cfé Σ 5,3 7,3 3,6 4,3 No 3, 5, 3,8 4,9 Σ 0,6 4,3 4,9 ΣΣ 5,9 6,3 4, Pso ) Se clcul l sum totl de dtos = n X ijk = jk = c = 4, Pso ) Se clcul l sum del cudrdo de todos los dtos: x = n X ijk = (,6) + (,9) (4,9) = 63,8 Pso 3) Se clcul l sum de los cudrdos de los totles de ls cominciones de fctores, dividido por el tmño muestrl respectivo. En este cso todos los tmños son igules 3, hy tres mediciones repetids por cd celd, cominción de los dos fctores. Y hy cutro celds en totl, cd un con un sum de los dtos que contiene, entonces: = c jk / n =(/n) jk =(/3)[(5,3) +() +(0,6) +(4,3) ] = 6,98 Pso 4) Se clcul el término de corrección / N = (4,) / = 48,4 Pso 5) Se clcul l sum de los cudrdos de los totles del grupo B (cfé) y se divide por su tmño muestrl respectivo. En este cso hy 6 dtos pr cd cso y dos sutotles, luego: = n ik /.n = (/6)[(7,3) +(4,9) ] = 53, Pso 6) Se clcul l sum de los cudrdos de los totles del grupo A (spirins) y se divide por su tmño muestrl respectivo. En este cso hy 6 dtos por cd cso y dos sutotles, luego: = n ik /.n = (/6)[(5,9) +(6,3) ] = 57,4

4 Bioestdístic plicd Bioquímic y Frmci Azzimonti Renzo, JC - rroi_pss@ciudd.com.r 0-4 Pso 7) Se clculn ls sums de cudrdos necesris SS totl = x - / N = Pso - Pso 4 = 5,4 SS dentro = x - = Pso Pso 3 = 0,84 SS fils = SS columns = SS intercción = c - / N = Pso 5 - Pso 4 = 4,8 (cfé) - / N = Pso 6 - Pso 4 = 9,0 (spirins) c + ( / N) - - = (Pso 3 - Pso 4) - SS fils - SS columns = 0,74 L sum de cudrdos totl sigue siendo l sum de ls sums de cudrdo entre y dentro de los grupos. Aquí, l sum de cudrdos entre se descompone en tres términos: un deid l grupo A, otr l grupo B y l últim deid l intercción. Entonces: SS totl = (SS fils + SS columns + SS intercción ) + SS dentro Pso 8) Se clcul el cudro de ANOVA como sigue: l 0.: Cudro de ANOVA pr los dtos de l 0. Fuente de Sum de Grdos de Cudrdos Vrición cudrdos Liertd Medios F Entre Fils (cfé) 4,8 (-)= 4,8 45,9*** Entre colum ns(spirins) 9,0 (-)= 9,0 85,9*** Intercción 0,74 (-)(-)= 0,74 7,05* Dentro grupos (error) 0,84.(n-)=8 0,05 otl 5,4 Los tres estdígrfos de comprción F se otienen dividiendo cd MS encontrdo por el MSerror, diferenci del modelo encjdo donde los cocientes se hcín en cscd. Los vlores de tls son : F 0,95; ; 8 = 5,3 ; F 0,99; ; 8 =,6 y F 0,999; ; 8 = 5,4. Comprndo con los tres estdígrfos se deduce que los tres son significtivos. L ingest tnto de spirins como de cfé livin el dolor de cez con resultdos ltmente significtivos. Sin emrgo se detectó un efecto de intercción entre mos fctores F = 7,05 *, lo que signific que el efecto de mos fctores ctundo en form simultáne, tiene un efecto myor que si ctusen por seprdo. Esto invlid el quinto supuesto de Anov, y lo que dee hcerse es usr métodos no prmétricos pr completr el estudio. En este prolem l intercción resultó significtiv y se dee recordr que represent l influenci de un fctor sore el otro. Los efectos de mos fctores ctundo en conjunto no son simplemente ditivos, sino que culquier cominción de ellos puede rrojr un contriución

5 Bioestdístic plicd Bioquímic y Frmci Azzimonti Renzo, JC - rroi_pss@ciudd.com.r 0-5 conjunt tnto positiv (sinergi) como negtiv (interferenci). L conclusión del ejemplo nterior, es que hy sinergi l tomr un cfé y un spirin en form simultáne pr livir el dolor de cez. El livio prece más rápido que si se tomsen por seprdo. 0. Supuestos ásicos y modelos teóricos Los supuestos ásicos pr los modelos de ANOVA con repetición de dos o más fctores son: ) Ls muestrs deen ser letoris. ) Ls muestrs deen provenir de polciones normles o gussins. c) Ls muestrs deen ser independientes. d) Ls vrinz de ls muestrs son igules (homoscedsticidd). e) No dee existir intercción. Pueden drse tres csos:. Amos fctores fueron diseñdos como Modelo I (Modelo I puro).. Amos fctores fueron diseñdos como Modelo II (Modelo II puro). c. Uno de ellos como Modelo I y el otro como Modelo II (Modelo Mixto). Est clsificción permite plnter los modelos teóricos respectivos con: X ijk = µ + α i + β j + (αβ) ij + ε ijk Modelo I de ANOVA de dos fctores puro Donde: X ijk : es el k-ésimo dto medido, del grupo j de un fctor, del grupo i del otro. µ : es l medi Prmétric de l polción. α i : es l contriución fij del efecto del grupo i. β j : es l contriución fij del efecto del grupo j. (αβ) ij : es el efecto de l intercción de los fctores A y B. ε ijk : es el error de l medición k, en grupo i y en grupo j. En este cso, el ε ijk tiene un distriución norml de prámetros (0 ; σ ). Pr el ejemplo nterior result que mos términos fueron significtivos. En el cso del fctor A (spirins) el tiempo de livio del dolor es menor entre los que l tomn respecto de los que no lo hcen. Luego, l contriución fij ( α i ) del efecto del fctor A es significtiv y constnte pr cd grupo. Por su prte los que tomn cfé (fctor B) se livin más rápido que quellos que no lo hcen. El hecho que el tiempo de livio es myor pr los que no tomn no es por zr, pues hy diferencis significtivs entre los grupos sore l se de los dtos medidos en este experimento. Por lo tnto, l contriución fij ( β j ) del fctor B es importnte. Como hy intercción., o se (αβ) ij es significtiv pr el nálisis de los hechos, denot que l cominción de mos fctores produce un livio más rápido, y es un hecho que dee tomrse muy en cuent. Como est intercción es significtiv no se cumple el quinto supuesto de los modelos de ANOVA, y pr efectur el nálisis no qued más remedio que recurrir modelos no prmétricos equivlentes.

6 Bioestdístic plicd Bioquímic y Frmci Azzimonti Renzo, JC - rroi_pss@ciudd.com.r 0-6 Si se trt de un modelo II en mos grupos l expresión nterior result hor: X ijk = µ + A i + B jk + (Α.Β) ij + ε ijk Modelo II de ANOVA de dos fctores puro Donde: X ijk : es el k-ésimo dto medido, del grupo j de un fctor, del grupo i del otro. µ : es l medi Prmétric de l polción. A i : es l contriución letori del efecto del grupo i B j : es l contriución letori del efecto del grupo j. (Α.Β) ij : es el efecto de l intercción de los fctores i y j. ε ijk : es el error de l medición k, en grupo j y en grupo i. El término ε ijk tiene un distriución norml de prámetros (0 ; σ ); el término A i tiene un distriución norml de prámetros (0 ; σ ); el término B j tiene un distriución norml de prámetros (0 ; σ ) y el término de l intercción (ΑΒ) ij tiene un distriución norml de prámetros (0 ; σ x). Pr el tercer cso, de modelo mixto, se trt de un modelo nálogo los dos de más rri, donde uno de los efectos será un constnte pr todo el grupo y el otro letorio. Por su prte, si no hy repetición sólo se necesitn los cutro primeros supuestos, y vistos pr el cso de ANOVA de un fctor, pues no es posile detectr l intercción cundo hy un solo vlor, pr cd cso de cominción de fctores como se trt en el siguiente punto. 0.3 ANOVA de dos fctores sin repetición A menudo result demsido cro o difícil medir más de un dto por lugr, o ien, ls mediciones rrojn vlores tn precidos, que result innecesrio repetirls. Ahor l sum de cudrdos entre los grupos, se prticion en dos términos, uno pr cd grupo, pues no hy intercción. L diferenci entre ests dos sums y l totl corresponde l sum de cudrdos remnente o error (dentro de los grupos). En los modelos teóricos no prece el término deido l intercción y lo demás es similr. Se necesitn los primeros cutro supuestos ásicos y los cálculos mtemáticos pr hllr l tl de ANOVA son similres. Entonces, prece más práctico tomr directmente un ejemplo pr ilustrr estos modelos, como se muestr continución: l 0.3: Modelo Mixto de ANOVA ifctoril sin repetición. FACOR B Dosis FACOR A Mrc Mrc Mrc 3 Mrc 4 Σ 7,4 7,0 73,8 74,4 9,6 67,8 67, 68,7 69,6 73,3 3 66,6 66,3 66,3 66,6 65,8 4 63,6 65,4 63,0 63,6 55,6 5 55, 57,9 57,0 56,4 6,5 6 40,5 43, 4,6 4,4 67,7 7 9,4 9,7 3, 8,8 9, 8 8,0 8,0 8,9 8,9 73,8 9 7,4 7,7 8,0 7,4 70,5 0 6,8 6,8 6,5 6,8 66,9 Σ 446,7 454, 456,0 453,9 80,8

7 Bioestdístic plicd Bioquímic y Frmci Azzimonti Renzo, JC - rroi_pss@ciudd.com.r 0-7 En l l 0.3 se muestrn los dtos de un experimento donde se pruen 4 tipos de mrcs comerciles existentes en el mercdo, elegids l zr entre los 5 ntiióticos del mismo estilo disponiles pr el púlico. Se plnificn 0 dosis diferentes ser dministrds, de menor myor concentrción, pcientes de ciert infección. Y se mide el tiempo que trdn en curr. Como ls mrcs (fctor A) fueron elegids letorimente, pero no ls dosis (fctor B), se tiene un Modelo Mixto de Anov de fctores sin repetición. El cul se resuelve como sigue: Pso ) Se clcul l sum totl de dtos = X ij =.80,8 Pso ) Se clcul l sum del cudrdo de todos los dtos: x = X ij = (7,4) + (67,8) (6,8) = 0.077,0 Pso 3) Se clcul l sum de los cudrdos de ls columns, dividido por el tmño muestrl respectivo (en este cso = 0 ): = i / =(/) i =(/0)[(446,7) + (454,) + (456) + (453,9) ] = 8.979,97 Pso 4) Se clcul l sum de los cudrdos de ls fils, dividido por el tmño muestrl respectivo (en este cso = 4): = j / =(/) j =(/4)[(9,6) + (73,3) (66,9) ] = 0.05,78 Pso 5) Se clcul el término de corrección / N = (.80,8) / 40 = 8.974,9 Pso 6) Se clcul l sum de cudrdos totl con: SSt = x ( / N) = Pso Pso 5 = 0.077, ,9 = 9.0, Pso 7) Se clcul l sum de cudrdos entre columns (fctor A) con: SS A = ( / N) = Pso 3 Pso 5 = 8.979, ,9 = 5,05 Pso 8) Se clcul l sum de cudrdos entre fils (fctor B) con: SS B = ( / N) = Pso 4 Pso 5 = 0.05, ,9 = 9.076,86 Pso 9) Se clcul l sum de cudrdos residul (error) con: SS error = SSt - SS A - SS = = Pso 6 Pso 7 Pso 8 SS error = 9.0, 5, ,86 = 0,9

8 Bioestdístic plicd Bioquímic y Frmci Azzimonti Renzo, JC - rroi_pss@ciudd.com.r 0-8 Pso 0) Se rm l l de ANOVA como clculndo el estdígrfo F como cociente entre los dos MS respecto del MSerror o remnente. Por su prte los grdos de liertd son = 3 pr los dís, - = 9 pr ls profundiddes y. = 7 pr el error. Los vlores de SS se scn de los psos nteriores y sí: ABLA DE ANOVA Fuente de Sum de Grdos de Cudrdos Vrición cudrdos Liertd Medios F Entre columns (A) 5,05 (-)=3,68,5 (ns) Entre fils (B) 9.076,86 (-)=9.9,65.833,8*** Dentro grupos (error) 0,9 (N+--) =7 0,748 otl 9.0, 39 El cálculo de los grdos de liertd es sencillo. Se rest de l cntidd de grupos y pr poder otener los grdos de liertd respectivos, en este cso resultn ser 3 y 9 respectivmente. El número totl de grdos de liertd es N- = 39. Y si se le restn los dos nteriores se otienen los grdos de liertd dentro de ls muestrs o error: = 7 o = 7. Hy diferencis ltmente significtivs entre fils, es decir, el tiempo de cur disminuye medid que ument l dosis. No se detectn diferencis entre ls diferentes mrcs comerciles porque usn similres componentes ctivos, por lo que no hce flt clculr l componente ñdid de vrinz. Un plicción frecuente de este modelo sin repetición es el test repetido de los mismos individuos, en el cul nliz en form repetid l mismo grupo de individuos lo lrgo de un período de tiempo. Ests persons se escogen en form letori y sirven como repetición, por eso este fctor se lo diseñ como Modelo II. En cmio, el fctor tiempo se lo consider como efecto fijo del trtmiento y se lo diseñ como Modelo I. Este tipo de test consider que ls respuests de los diferentes individuos son prlels en el tiempo, se supone entonces que no hy intercción entre el tiempo y los individuos, cundo se trt de hllr l componente ñdid de vrinz deid l fctor letorio. Por ejemplo, si se trt de medir el crecimiento de los individuos en períodos fijos de tiempo, o cundo se estudi l prición de lgun respuest posterior un trtmiento plicdo l mismo grupo de persons en experimentos fisiológicos o psicológicos. Otros usos muy difundidos son: el estudio del crecimiento en términos de inmunidd, después de l plicción de ntígenos, l lterción de respuests consecuenci de un trtmiento y ls medids de prendizje luego de un cierto número de experimentos. L ide ásic en los modelos de más de un fctor es poder seprr l vriilidd entre grupos, en tntos términos como fctores de nálisis se usen. De est form, se puede tener un pnorm más completo y simplificr los experimentos, reduciendo el costo y el tiempo de mner conveniente. Un vnce grnde, si se piens en el clásico modelo Student de dos muestrs.

9 Bioestdístic plicd Bioquímic y Frmci Azzimonti Renzo, JC - rroi_pss@ciudd.com.r Modelo de loques letorizdos Este tipo de modelos de dos fctores se plic frecuentemente en l investigción grícol, pero tmién en otros cmpos iológicos y en experimentos de lortorio. Por ejemplo, cundo se plic un fertiliznte un prcel, se otiene un medid expresd como el producto de l cosech, o ien, el semrr en diferentes tipos de suelo. Análogmente, se puede medir el umento de peso si se suministr los nimles de crí diferentes tipos de limento lncedo, o ien, si se considern diferentes rzs pr determinr su rendimiento. Pr ilustrr el uso de este modelo se eligió su plicción más frecuente ilustrd en l Figur 0. siguiente: Figur 0.: Bloques letorizdos en un cmpo. B A E D C Bloque B C E D A Bloque D B E A C Bloque 3 C B A E D Bloque 4 Un terreno h sido sudividido en cutro prcels (loques) de similres crcterístics dentro de cd un de ells como por ejemplo, el tipo de suelos, l inclinción del terreno, etc. A cd prcel se le plicn cinco trtmientos diferentes como ser, diferentes fertilizntes, trtmientos con insecticids, etc. L ide es compror si se detectn diferencis significtivs por el efecto de los fertilizntes (trtmiento) y pr ello se necesitn por lo menos cinco terrenos útiles. Sin emrgo, ls cinco lecturs de ls cosechs levntds no dn un ide de ls diferencis entre los fertilizntes. Por lo tnto, se necesitn repeticiones pr poder otener un término de error. En el ejemplo grficdo se escogieron pr ello cutro prcels. Entonces cd prcel se l divide en cinco prtes, un pr cd fertiliznte, y se sorte el lugr donde será colocdo cd uno de ellos. Los resultdos se muestrn rri. Como regl generl los terrenos dentro de cd prcel deen ser muy semejntes. Entonces, se puede investigr tmién ls diferencis entre loques pr detectr cul tipo de terreno es el más conveniente. Así, el efecto del fertiliznte se consider como fijo (Modelo I) y el de los terrenos como letorio (Modelo II). Luego, el modelo teórico pr este tipo de diseño será: X ij = µ + α i + B j + ε ij Modelo de ANOVA pr los loques letorizdos Donde: X ij : es el i-ésimo dto medido, del grupo j. µ : es l medi Prmétric de l polción. α i : es l contriución fij del efecto del grupo i (fertilizntes) B j : es l contriución letori del efecto del grupo j. (terrenos) ε ij : es el error de l medición i-ésim del grupo j. Los cálculos y l de ANOVA son semejntes los vistos más rri, cundo no hy intercción. En el ejemplo siguiente se ilustr el uso de este modelo. En l Figur 0.3 se mues-

10 Bioestdístic plicd Bioquímic y Frmci Azzimonti Renzo, JC - rroi_pss@ciudd.com.r 0-0 trn los dtos de un cosech de soj, medid en kilos, donde se hn empledo 3 fertilizntes en 4 tipos de prcels de terreno diferentes, crcterizds por tener distintos tipos de suelos, con diferentes pendientes. Cd prcel se escogió de l form más homogéne posile y se relizó un sorteo pr reprtir los fertilizntes dentro de cd un. Figur 0.3: Bloques letorizdos en un cmpo. 95(C) 958(A) 986(B) Bloque 97(A) 05(B) 95(C) Bloque 89(B) 89(C) 97(A) Bloque 3 955(C) 00(B) 97(A) Bloque 4 FACOR B FACOR A loques (terrenos) fertilizntes A B C Σ Σ ) Se clcul l sum totl de dtos = X =.46 ij Pso ) Se clcul l sum del cudrdo de todos los dtos: x = X ij = (958) + (97) (955) = Pso 3) Se clcul l sum de los cudrdos de ls columns, dividido por el tmño muestrl respectivo (en este cso = 4 ): = i / =(/) i = Pso 4) Se clcul l sum de los cudrdos de ls fils, dividido por el tmño muestrl respectivo (en este cso = 3): = j/ = (/) j Pso 5) Se clcul el término de corrección C = / N = (.46) / =

11 Bioestdístic plicd Bioquímic y Frmci Azzimonti Renzo, JC - rroi_pss@ciudd.com.r 0- Pso 6) Se clcul l sum de cudrdos totl con: SSt = x C = Pso Pso 5 = 35.9 Pso 7) Se clcul l sum de cudrdos entre columns (fctor A) con: SS A = ( / N) = Pso 3 Pso 5 = 9.77 Pso 8) Se clcul l sum de cudrdos entre fils (fctor B) con: SS B = ( / N) = Pso 4 Pso 5 =.39 Pso 9) Se clcul l sum de cudrdos residul (error) con: SS error = SSt - SS A - SS = = Pso 6 Pso 7 Pso 8 = 4.84 Pso 0) Se rm l l de ANOVA como sigue: ABLA DE ANOVA Fuente de Sum de Grdos de Cudrdos Vrición cudrdos Liertd Medios F Entre columns (A) 9.77 (A-)= ,97* Entre fils (B).39 (B-)= ,3** Dentro grupos (error) 4.84 (N-A-B+)=6 697 otl 35.9 Hy diferencis significtivs entre columns, esto es entre los diferentes tipos de fertilizntes prodos. Pr continur este nálisis hy que efectur ls comprciones múltiples con el método de ukey. Mientrs que entre ls fils existen diferencis muy significtivs, por lo que hy que clculr l componente ñdid de vrinz σ Β. σ Β = ( )MSerror + ( -) MS - B = (/) (8 x x 7.30) =.45,45 L eficienci reltiv de l vrinz error de los loques letorizdos completos σ Β, con respecto l vriilidd remnente o error MSerror, puede otenerse con l relción siguiente: σ Β% = σ MS B error. 00 = (.45 / 697 ). 00 = 35,6% Esto signific tener un vriilidd deid ls diferencis entre los tipos de terreno, donde se hizo el experimento, tres veces y medi myor que l inexplicd deid l error.

12 Bioestdístic plicd Bioquímic y Frmci Azzimonti Renzo, JC - rroi_pss@ciudd.com.r Modelo no prmétrico de Friedmn Este modelo es de tipo no prmétrico pr el cso de los loques letorizdos en un ANOVA de dos fctores sin repetición. Estos tests son pr diseños que si fuesen relizdos medinte un ANOVA serín Modelo I pr un fctor, mientrs que el otro represent los loques en el experimento. Pr un test que se s en mgnitudes ordinles no serí propido un diseño del tipo Modelo II que clcule ls componentes ñdids de vrinz, pues solo interes l loclizción de ls diverss muestrs, dentro de l ordención totl. Pr ver el procedimiento del Modelo de Friedmn, se usrn los mismos dtos de l medición de cutro mrcs de ntiióticos elegids l zr de entre ls disponiles en el mercdo, vistos en l l 0.3 nterior: Pso ) Se ordenn los dtos dentro de cd loque (mrcs) y se clculn los rngos: FACOR B Dosis FACOR A Mrc A Mrc B Mrc C Mrc D Σ Rij Como se puede ver, l regulridd de los rngos hlldos se dee l vrición uniforme del tiempo de cur, medid que l dosis ument. Pso ) Pr cd fil se sumn los rngos respectivos, y los totles Rij se colocn en l últim column. Pso 3) Se clcul el estdígrfo χ con: χ = ( ) + i j Rij - 3(+) = ( ) 0(4)(0 + ) 3(4)(0+) χ = (/440) = 36 *** Este vlor hy que comprrlo con el de tls χ 0.00 ; 9 = 7,877 resultndo ser ltmente significtivo, como er de esperr de cuerdo l nálisis nteriormente relizdo.

13 Bioestdístic plicd Bioquímic y Frmci Azzimonti Renzo, JC - rroi_pss@ciudd.com.r Sensiilidd de los modelos de ANOVA Otr de ls regls de oro en el diseño de los experimentos dice: Cunto más fctores se tomen en cuent en el nálisis de los dtos, myor será l sensiilidd lcnzd pr detectr ls diferencis uscds. L estrtegi de los modelos de Anov es trtr de descomponer l vriilidd dentro de ls muestrs (error) lo más posile. Así, cundo se tom un solo fctor se tiene l vriilidd totl descompuest en dos términos: entre ls muestrs y dentro de ls misms. Pero si se tom en cuent un segundo fctor con los mismos dtos, hor l vriilidd dentro de ls muestrs se descompone en dos términos: un deid l nuevo fctor y un nuevo remnente l que se lo denomin error. Esto hce que el error se hg más chico y por lo tnto l sensiilidd del modelo ument. Aún más, si el segundo fctor se tom con repetición el error se chic todví más porque hy que descomponerlo en otros dos términos: uno pr l intercción y el nuevo remnente (error) que será menor que el nterior. Análogmente, si se tomn más de dos fctores y con repetición el error seguirá disminuyendo. Pr ilustrr lo nterior se pueden usr los dtos de mediciones de ntiiogrms vistos en el punto 7.3.3, donde se dese verigur si el fctor humno tení influenci en los resultdos otenidos. Ahor, se vn empler dos fctores, el fctor A: los 4 tipos de ntiióticos usdos en los 6 pcientes (columns) y el fctor B: los 3 operdores del lortorio (fils). Lo que se hce hor es tomr los tipos de ntiióticos como el segundo fctor. No es necesrio hcer ningún estudio estdístico pr ser que hrá diferencis significtivs entre los diámetros del hlo de inhiición de los ntiióticos. Crí preguntrse entonces: Cuál es el motivo pr incluir el segundo fctor si y se se el resultdo? L respuest es seguir l regl de oro y tomr en cuent todos los fctores posiles pr disminuir el error remnente y tener sí un myor sensiilidd pr estudir lo que relmente interes que es el fctor humno. En l primer resolución de este prolem no se pudieron detectr diferencis entre los tres operdores, pero hor, ls coss cmin como se verá continución: El estudio se hce sore cultivos de E.Coli usndo 6 ceps distints y se mide es el diámetro del hlo de inhiición de cutro ntiióticos: CX : cefotxim AKN : miccin CAZ: ceftzidim GEN : gentmicin Los 4 diámetros usdos fueron medidos por tres operdores diferentes quienes usron l mner usul que tienen de hcer l tre. L ide es que si se llegn detectr diferencis significtivs entre ellos (como ocurrió) entonces, se deerá uscr l mner de estndrizr el procedimiento de lectur escriiendo un protocolo específico pr ello. De es form, se evitrá l incidenci del fctor humno en los resultdos informdos por el lortorio pr los ntiiogrms. Los vlores que siguen son reles y fueron otenidos por tres ioquímicos del curso de postgrdo: Pso ) Se clcul l sum totl de dtos = Pso ) Se clcul l sum del cudrdo de todos los dtos: n X ijk = jk = c =.875 x = n X ijk =

14 Bioestdístic plicd Bioquímic y Frmci Azzimonti Renzo, JC - rroi_pss@ciudd.com.r 0-4 l 0.3: 6 Antiiogrms medidos por 3 operdores con 4 ntiióticos distintos CX CAZ AKN GEN Σ Σ Σ Σ Σ Σ Fuente: Drs. Cech N.; Coschiz M. y Lodeiro N. Σ Σ Pso 3) Se clcul l sum de los cudrdos de los totles de ls cominciones de fctores, dividido por el tmño muestrl respectivo (n = 6). = c jk / n =(/n) jk = 50. Pso 4) Se clcul el término de corrección / N = (.875) / 7 = Pso 5) Se clcul l sum de los cudrdos de los totles del grupo B (operdores) y se divide por su tmño muestrl respectivo, con = 4 y n = 6. = n ik/.n = Pso 6) Se clcul l sum de los cudrdos de los totles del grupo A (ntiióticos) y se divide por su tmño muestrl respectivo, con = 3 y n = 6.

15 Bioestdístic plicd Bioquímic y Frmci Azzimonti Renzo, JC - rroi_pss@ciudd.com.r 0-5 = n ik /.n = 50.6 Pso 7) Se clculn ls sums de cudrdos necesris SS totl = x - / N = Pso - Pso 4 =.63 SS dentro = x - = Pso Pso 3 = 37 SS fils = SS columns = SS intercción = c - / N = Pso 5 - Pso 4 = 6 (operdores) - / N = Pso 6 - Pso 4 =.33 (ntiióticos) c + ( / N) - - = (Pso 3 - Pso 4) - SS fils - SS columns = 36 L sum de cudrdos totl, sigue siendo l sum de ls sums de cudrdo entre y dentro de los grupos. Aquí, l sum de cudrdos entre se descompone en tres términos: un deid l grupo A, otr l grupo B y l últim deid l intercción. Entonces: SS totl = (SS fils + SS columns + SS intercción ) + SS dentro Pso 8) Se clcul el cudro de ANOVA como sigue: Fuente de Sum de Grdos de Cudrdos Vrición cudrdos Liertd Medios F Entre Fils (operdores) 6 (-)= 3 3,3* Entre columns(ntiióticos).33 (-)=3 444,4*** Intercción 36 (-)(-)=6 6,5 (ns) Dentro grupos (error) 37.(n-)=60 3,95 otl.63 7 Notr que hor se descuren diferencis significtivs entre los 3 operdores, cos que no se podí detectr con el modelo de un fctor usdo ntes. El vlor del SS =.63 es el mismo pr los dos modelos empledos. En el de un fctor se descompone en dos términos SSentre los operdores que vle 6 y el remnente por el error es SSdentro =.605. En cmio, en el de dos fctores el remnente se reduce 37, lo que le d myor sensiilidd l modelo. Lo que ocurre es que l tomr un segundo fctor en cuent, hor se tiene un mejor explicción del fenómeno. Lo que ntes er el remnente de.605, hor se descompone en tres términos: uno deido l efecto de los ntiióticos empledos SS =.33, otro deido l intercción entre mos fctores SSi = 36 y el nuevo remnente de 37 (.605 = ). Por su prte, tmién se descomponen los grdos de liertd: 69 = ; pero el vlor relevnte pr el error no j tnto como el vlor SS y por eso el MSerror j de 3,3 3,95. Entonces, l efec-

16 Bioestdístic plicd Bioquímic y Frmci Azzimonti Renzo, JC - rroi_pss@ciudd.com.r 0-6 tur el cociente pr determinr el vlor del estdígrfo F como el denomindor sigue igul, pero el denomindor se chic en csi seis veces hor resultó ser significtivo. Esto es, hor puede detectr ls pequeñs diferencis existentes entre los tres operdores. Si se continú el nálisis usndo comprciones múltiples con el modelo de ukey se otienen los resultdos siguientes: Operdor Operdor Operdor 3 LI i 4,536 5,5 5,994 Promedio 5,5 6, 6,7 LS i 5,964 9,9 7,43 Se descure que no hy diferencis entre el operdor y el, ni entre el operdor y el 3. Ls diferencis, se encuentrn entre los operdores y 3. Investigdo el sunto, se descurió que mientrs el primero medí rdios usndo un punto imginrio en el centro del disco con el ntiiótico, los otros dos medín siempre los diámetros directmente. Como conclusión, se modificó el protocolo de l técnic de l mner siguiente: Se deen medir los diámetros siempre que se pued. Sólo cundo l superposición entre los hlos se muy grnde y los vlores estén cerc de los críticos, se usrá l medición de los rdios, pero repitiendo esto por lo menos 3 veces y en diferentes posiciones promedindo los resultdos. Como conclusión finl se puede ver l prcticidd de tomr todos los fctores posiles en cuent, ún cundo lguno pued precer inútil. L reducción de l vriilidd remnente (error) puede hcer detectr diferencis que de otr mner permnecerín ocults como en el ejemplo visto. No siempre ocurrirá esto, pero el grndr un poco los cálculos con l mism inversión efectud pr relizr ls mediciones, siempre justific el umento de sensiilidd de los modelos de ANOVA. 0.7 Prolems propuestos ) Mrcr l respuest correct cd un de ls firmciones siguientes, o completr l frse: ) El ANOVA de dos fctores puede ser con o sin repetición V F ) Los modelos con repetición permiten nlizr mejor los dtos. V F 3) Los 5 supuestos ásicos pr estos modelos son: ) Los modelos con repetición permiten detectr el fenómeno de intercción. V F 5) Explicr l diferenci entre modelos encjdos de dos niveles y estos: ) Pr reconocer un encjdo se dee mirr si hy o no repetición. V F 7) Hy tres modelos posiles que son: ) El modelo teórico puro o mixto se puede plnter con: ) El primer pso pr clculr este ANOVA es clculr l sum de cudrdos. V F 0) Se requiere del vlor promedio grupl pr poder comprrlos entre sí. V F ) El término cudrático pr cd fctor, se clcul sumndo el cudrdo del totl. V F ) Explicr como se otienen ls SS necesris pr l l de ANOVA: ) L SS entre ls muestrs se descompone en dos términos, uno por fctor. V F 4) L SS totl es l sum de ls SS dentro y entre ls muestrs. V F

17 Bioestdístic plicd Bioquímic y Frmci Azzimonti Renzo, JC - rroi_pss@ciudd.com.r 0-7 5) Cd MS se clcul dividiendo los SS por sus respectivos grdos de liertd. V F 6) Presentr un l de ANOVA en form genéric: ) Los estdígrfos F pr cd fctor son el cociente de sus MS respecto de MSerror V F 8) Cundo se detect intercción significtiv, se deje de cumplir un supuesto ásico. V F 9) Un sinergi es un intercción de tipo negtiv. V F 0) Explicr el concepto de interferenci y sinergi: ) Un modelo I puro tiene en mos fctores un diseño del tipo Modelo I. V F ) Un modelo mixto dee tener el segundo fctor como modelo II. V F 3) Explicr como se diseñ un experimento con los modelos teóricos posiles: ) L ide ásic de estos modelos es descomponer l vrición totl en prtes. V F 5) Explicr un diseño experimentl con loques letorizdos: ) En los loques letorizdos se puede detectr l intercción. V F 7) El modelo no prmétrico equivlente los loques es el de Kruskl-Wllis. V F 8) El modelo de Friedmn se puede usr en csos con repetición. V F 9) El diseño con un Modelo II es el más propido pr el modelo de Friedmn. V F 30) Explicr resumidmente el modelo no prmétrico de Friedmn: ) Hcer un esquem que muestre un resumen de todos los modelos vistos hst hor, pr un, dos y más muestrs; con uno o más fctores en el cso prmétrico. 3) Agregr l esquem nterior los modelos no prmétricos equivlentes. 4) Discutir cerc de ls ventjs y desventjs de cd uno de los modelos vistos, sus supuestos ásicos y su cmpo de plicción. 5) Armr un cudro sinóptico que muestre en form simplificd como se deen usr todos los modelos estdísticos vistos hst hor, pr el cso de tener que trjr con un sol mgnitud clínic, y gregndo los comentrios pertinentes un costdo. 6) En un lortorio de nálisis se desen comprr entre sí tres técnics pr l determinción de Glucos, elegids expresmente pr ello. Así se otiene suero de tres pcientes escogidos l zr entre los concurrentes dirios. El suero de cd pciente se frccion en 9 lícuots igules. Pr pror cd técnic se eligen l zr tres muestrs de suero de cd uno. Los veintisiete vlores medidos se vuelcn en l tl siguiente. écnic Pciente 3 0,98 0,99,3 A,0 0,95,07 0,98,0,07 0,9 0,9,03 B 0,86 0,9,07 0,9,0,0 0,84 0,86 0,98 C 0,79 0,79,0 0,8 0,8,0

18 Bioestdístic plicd Bioquímic y Frmci Azzimonti Renzo, JC - rroi_pss@ciudd.com.r 0-8 Se dese verigur: ) Si hy diferencis entre ls 3 técnics nlizds. ) En cso de encontrrls usr un modelo propido pr ls comprciones múltiples. c) Interes determinr l componente ñdid de vrinz entre los pcientes. 7) Un frmcéutico crgo de un cden comercil con seis sucursles, escoge l zr tres dís de un imestre, y usc el totl de vents del dí pr cd cso selecciondo. Los dtos los vuelc en un tl como l siguiente. FACOR B FACOR A (Sucursl) (dís) 05/06/00 5/07/00 3/06/00l Se pide clculr: ) Si hy diferenci significtiv entre ls sucursles. ) Si hy diferenci significtiv entre los dís. c) Como no se si se cumplen demás de el modelo de ANOVA de dos fctores decudos, volver resolver el prolem con un modelo no prmétrico.