4. Sucesiones de números reales

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1 4. Sucesioes de úmeros reales Aálisis de Variable Real Resume Estudiamos e este tema las sucesioes, cuyo idea ituitiva es el de listas ifiitas de úmeros. A cotiuació, estudiamos el cocepto de límite de ua sucesió. E el caso de sucesioes moótoas, vemos que la existecia de tal límite es equivalete a que la sucesió sea acotada. Se estudia las diferetes operacioes que se puede realizar co las sucesioes, y vemos cómo se relacioa esto co los límites. Estudiamos a cotiuació el cocepto de subsucesió, y desembocamos e el importatísimo Teorema de Bolzao-Weierstrass. Tambié destacamos la equivalecia etre sucesioes covergetes y sucesioes de Cauchy. Tambié estudiamos las sucesioes divergetes. Por último geeralizamos el cocepto de límite a los dos coceptos de límite superior y límite iferior. Ídice. Sucesioes y límites. Coceptos básicos 3.. Defiició de sucesió Sucesioes covergetes Sucesioes acotadas Sucesioes moótoas Técicas de cálculo de límites Operacioes co sucesioes Desigualdades y límites Subsucesioes Sucesioes de Cauchy Límites ifiitos Sucesioes divergetes La recta ampliada Dos criterios prácticos... 43

2 4. Límites superior e iferior. Límites subsecueciales Límites superior e iferior Límites subsecueciales Propiedades de los límites superior e iferior Apédice: Límites de sucesioes y fucioes elemetales Fucioes que comuta co el límite Sucesioes equivaletes

3 . Sucesioes y límites. Coceptos básicos.. Defiició de sucesió Cocepto iformal de sucesió Iformalmete, ua sucesió de úmeros reales es ua lista ilimitada de úmeros ps,s 2,s 3,s 4,...,s,...q ( idica el lugar que ocupa el úmero s e la lista). Puesto e forma de tabla, lugar valor s s 2 s 3 s 4 s 5... s... es obvio que se trata de ua fució real co domiio N. Defiició de sucesió Lo que acabamos de ver motiva la siguiete defiició formal: Defiició 4.. (I) Ua sucesió de elemetos de u cojuto es ua aplicació co domiio N y codomiio dicho cojuto. (II) E particular, ua sucesió de úmeros reales es ua fució real co domiio N, o sea, ua aplicació s: N Ñ R. (III) El valor que ua sucesió s toma e cada P N se suele deotar s e lugar de spq y recibe el ombre de térmio -ésimo de la sucesió. Hagamos dos observacioes: No debe perderse de vista que cada térmio s lleva ua doble iformació: su valor y el lugar que ocupa. Por tato, ua sucesió tiee siempre ifiitos térmios, icluso auque tome u solo valor, como es el caso de las sucesioes costates. Como el domiio N es comú a todas las sucesioes, e lugar de utilizar la otació s: N Ñ R, es más frecuete utilizar otacioes como ps q PN, ps q 8, o, más secillamete, ps q. 3

4 Ejemplos. (Sucesió costate) s a, dode a es u úmero real. La sucesió costa de los térmios a, a, a,..., a,.... (Sucesió de los úmeros aturales) s. Costa de los térmios, 2, 3, 4, 5,...,,... s. Costa de los térmios, 2, 3, 4, 5,...,,... s pq. Costa de los térmios,,,,,,...,pq,... Las fórmulas o tiee por qué referirse solo a operacioes algebraicas secillas. Por ejemplo, cosidérese la sucesió p3,; 3,4; 3,4; 3,45; 3,459; 3,4592; 3,45926; 3,459265; 3, ;...q formada por las aproximacioes decimales de. (El térmio -ésimo sería la aproximació decimal co cifras decimales exactas.) Auque o supiéramos escribir co todas sus cifras el térmio ésimo, sabemos que ese térmio está perfectamete defiido, y lo mismo podemos decir de cualquier otro. E este caso podemos dar ua fórmula explícita para el térmio -ésimo co ayuda de la fució parte etera: cocretamete, para cada P N, s 3 ` a 0 ` a2 ak a ` ` ` ` 02 0k 0, dode a k r0 k s0r0 k s ( k ). El hecho de que esta fórmula o proporcioe u algoritmo de cálculo para los a k o obsta para que estos esté defiidos si ambigüedad y si excepció algua. (Sucesió de Fiboacci) s, s 2, s `2 s ` ` s ( P N). Sus primeros térmios so,, 2, 3, 5, 8, 3, 2, 34, 55, 89, 44,... 4

5 Este tipo de sucesioes cuyos térmios se defie e fució de los ateriores se deomia sucesioes recurretes o recursivas. Las sucesioes defiidas por recurrecia aparece co frecuecia e cálculos co ordeadores. (Ver cometario e [, pág. 85].) Auque hemos defiido esta sucesió e forma recurrete, se puede dar ua expresió para el térmio geeral, coocida como Fórmula de Biet: f `?5 2?5 2? 5. Los siguietes ejemplos tambié correspode a sucesioes recurretes. (Sucesioes aritméticas) Se llama sucesió aritmética de primer térmio x y diferecia d a la sucesió ps q defiida recursivamete por Se prueba que s x `p qd. s x, s ` s ` d. (Sucesioes geométricas) Se llama sucesió geométrica de primer térmio x y razó r, a la dada por s x, s ` s r. Se prueba fácilmete que s x r. La regla que defie ua sucesió o tiee por qué ser de carácter estrictamete matemático. Por ejemplo, puede defiirse ua sucesió poiedo $ & 0 7 {3, si el ombre e castellao del úmero s cotiee la letra d, %?, e caso cotrario ( cuáles sería sus primeros térmios?), o mediate cualquier otra codició que permita asegurar que a cada P N si excepció se le asocia iequívocamete u úmero real perfectamete defiido. Si calculamos los primeros térmios de esta sucesió, obteemos?, 0 7 3,?,?,?,?,?,?,?, 07 3,?, 07 3,?,... Existe sucesioes cuya image es exactamete Z. Más difícil: existe sucesioes cuya image es exactamete Q (la eumeració diagoal de Cator). La demostració puede verse e [, págs ] o e [5, pág. 609]. 5

6 Queda defiida ua sucesió si para cada P N poemos s máxt x P R x 2 ` 2x 0 u? Y si poemos s máxt x P R x 2 ` 2x 0 u? E caso afirmativo, puede darse ua expresió más directa para s?.2. Sucesioes covergetes Sucesioes covergetes Defiició 4.2. (I) Ua sucesió ps q es covergete si existe u úmero real l tal que para todo " 0 se puede ecotrar u úmero atural 0 de modo que siempre que 0 se verifique s l ". (II) Se dice etoces que el úmero l es límite de la sucesió ps q, y se escribe l lím Ñ8 s o l lím s. (III) Tambié decimos que ps q coverge al úmero l, y lo deotaremos s Ñ Ñ8 l, s Ñ l, o, secillamete, s Ñ l. Recuérdese que la desigualdad s l " es equivalete a las dos desigualdades " s l ", que equivale a su vez a las desigualdades l " s l ` ". E la siguiete figura, podemos ver que s 6 " para 7. l " l l ` " s 6 s 3 s 8 s s s 7 s 0 s 9 s 2 s 4 s 5 Ejemplos. La sucesió costate s c (c P R) coverge al úmero c. 6

7 La sucesió p{q coverge a 0. E efecto, dado " 0, por la Propiedad Arquimediaa existe u 0 P N tal que { 0 ". Si 0, será La sucesió p{ 2 q coverge a 0. s 0 0 ". Dado " 0, de uevo la Propiedad Arquimediaa os asegura la existecia de u 0 P N tal que { 0 ". Si 0, será etoces ". Si a 0, etoces lím {p ` aq 0. Como a 0, se ifiere que 0 a ` a. Se cocluye por cosiguiete que 0 {p ` aq {paq, lo cual implica que ` a 0 a para todo P N. Si escogemos u 0 P N tal que { 0 a", etoces para todo 0 será ` a 0 a a a" ". 0 a La sucesió p 423 q coverge a 4{ Necesitamos poder mayorar por algo más maejable la expresió p5 2 2q, cuado es suficietemete grade. Para ello, ecesitaremos mayorar superiormete el umerador e iferiormete el deomiador. El umerador es fácil, ya que para todo. Para el deomiador querremos hacer k 2 para algú k 0. Si probamos co k 4, etoces si 2 2, o sea, si 2. Por tato, si 2, será p5 2 2q Sea " 0. Si ahora escogemos P N de maera que 5" y defiimos 2 0 máxt, 2u, se tedrá para " ". 7

8 Si c 0, la sucesió pc { q coverge a. E efecto, el caso c es trivial, ya que etoces pc { q es la sucesió costatemete. Si c, etoces c { ` d, dode d 0. Por la Desigualdad de Beroulli, c p ` d q ` d, P N. Se tiee por tato c d, de modo que d pc q{. Por cosiguiete, se tiee c { d pc q, P N. Dado " 0, escogiedo 0 P N tal que { 0 ", obteemos que, si c 0, es c { ". Supógase ahora que 0 c. Etoces c { {p ` h q co h 0. Por tato, por la Desigualdad de Beroulli, se sigue que c p ` h q, ` h h de dode se sigue que 0 h {c si P N. Por tato se tiee de modo que 0 c { ` h h ` h h c, c { c, P N. Sea " 0. Escogiedo ahora 0 P N tal que { 0 c", resulta imediato que si 0 es c { ". La sucesió p { q coverge a. Puesto que { para 2, se puede escribir { ` k, co k 0 cuado 2. Por tato, p ` k q para 2. Por la fórmula del Biomio de Newto, si 2 se tiee de dode ` k ` 2 p qk2 ` ` 2 p qk2, 2 p qk2. 8

9 Ejemplos. Así, k 2 2{ para 2. Ahora bie, si se da u " 0, por la Propiedad Arquimediaa existe u P N tal que 2{ " 2. De dode, si 0 máxt2, u,y 0, etoces 2{ " 2, y se sigue así que { k p2{q {2 ". La sucesió s pq o es covergete. E efecto, si tuviese límite l, o puede ser l puesto que etoces, eligiedo " 2 0, cualquiera que fuese 0 bastaría tomar 2 0 ` 0 para coseguir que s l 2, que o es meor que "; si l, eligiedo ahora " l 0, cualquiera que fuese 0 bastaría tomar para lograr que s l l, que de uevo o es meor que " l. La sucesió pq o puede ser covergete. Si tuviese límite l, tomado " e la defiició de covergecia, para algú 0 habría de ser l` siempre que 0, lo cual es imposible (cosecuecia de uevo de la Propiedad Arquimediaa). Caracterizació del límite Proposició 4.3. Sea l P R. Dada ua sucesió ps q, so equivaletes: (I) ps q es covergete co límite l. (II) Se cumple simultáeamete: Si a l, existe u a P N tal que para todo a es a s,y si l b, existe u b P N tal que para todo b es s b. (III) Si a, b so úmeros reales tales que l Ppa, bq, existe u úmero atural 0 P N, tal que para todo 0 es s Ppa, bq. Demostració. (I) ñ (II). Dado a l, tomado " l a 0 existirá por hipótesis u a tal que si a etoces s l " l pl aq a. Para l b se razoa de forma similar. (II) ñ (III). Basta observar que x Ppa, bq sigifica que a x b. Por cosiguiete, si l Ppa, bq existe a y b tales que para todo a es s a y para todo b es s b. Tomado ahora 0 máxt a, b u, siempre que 0 es simultáeamete a y b, luego para todo 0 será a s b o, equivaletemete, s Ppa, bq. 9

10 (III) ñ (I). Si " 0, se tedrá l Ppl ", l ` "q, por lo que debe existir u 0 tal que para todo 0 es s Ppl ", l ` "q, o lo que es lo mismo, s l ". Corolario 4.4. Sea s ua sucesió covergete co límite l y sea c P R. Se tiee: (I) Si existe 0 P N tal que para todo 0 es c s, etoces c l. (II) Si existe 0 P N tal que para todo 0 es s c, etoces l c. Demostració. Se prueba por reducció al absurdo aplicado la proposició aterior. Ejemplo. Hay que observar, y es u hecho co el que hay que teer especial cuidado, que el corolario aterior o es cierto si se utiliza desigualdades estrictas. E efecto, sea s. Etoces s 0 para todo P N. Pero lím s 0 (que evidetemete o es mayor que 0). Uicidad del límite El siguiete resultado os dice que el límite de ua sucesió puede quizá o existir. Pero si existe, solo puede haber u límite. Corolario 4.5. Sea ps q ua sucesió covergete y sea l y l dos límites de la sucesió ps q. Etoces l l. Demostració. Si o, sea, por ejemplo, l l. Tomado c tal que l c l, puesto que c l y l es límite de ps q, debe existir u l P N tal que para todo l es s c. Igualmete, puesto que l c y l es límite de ps q, debe existir u l P N tal que para todo l es s c. Tomado máxt l, l u llegamos a ua cotradicció: se tedría que cumplir que c s c..3. Sucesioes acotadas Qué es ua sucesió acotada? Las defiicioes de acotació de sucesioes se obtiee particularizado a sucesioes las que dimos sobre acotació de fucioes. Defiició 4.6. (I) Ua sucesió ps q se dice que está acotada superiormete si existe algú úmero M P R tal que, para todo P N, es s M. (II) Se dice que está acotada iferiormete si existe algú úmero m P R tal que, para todo P N, es m s. 0

11 (III) Se dice que está acotada si lo está tato superior como iferiormete. (Esto equivale a que exista u úmero K 0 tal que para todo P N es s K.) Sucesioes covergetes y sucesioes acotadas Proposició 4.7. Toda sucesió covergete está acotada. Demostració. Sea ps q ua sucesió covergete a u úmero l P R. Tomamos, por ejemplo, " e la defiició de límite, y existirá algú úmero 0 P N tal que s l para todo 0. Si escribimos C máxt, s l, s 2 l,..., s 0 l u, se tiee que s l C, es decir, l C s l ` C, para todo P N. Luego la sucesió está acotada. Ejemplos. Lo aterior se podría utilizar para probar que ua sucesió o es covergete. La sucesió de térmio -ésimo s o es covergete. Dado x P R tal que x, la sucesió que tiee por térmio -ésimo x tampoco es covergete. E efecto: si poemos h x, etoces x x p ` hq ` h, segú la Desigualdad de Berouilli. De aquí se deduce que la sucesió o está acotada..4. Sucesioes moótoas Qué es ua sucesió moótoa? Las defiicioes sobre mootoía de sucesioes se obtiee particularizado a sucesioes las que ya dimos sobre mootoía de fucioes. Esto equivale a lo siguiete: Defiició 4.8. (I) Ua sucesió ps q es creciete si para todo P N se verifica s s `. (II) Ua sucesió ps q es decreciete si para todo P N se verifica s s `.

12 (III) Ua sucesió ps q es moótoa si es creciete o decreciete. (IV) Ua sucesió ps q es estrictamete creciete si para todo P N se verifica s s `. (V) Ua sucesió ps q es estrictamete decreciete si para todo P N se verifica s s `. (VI) Ua sucesió ps q es estrictamete moótoa si es estrictamete creciete o estrictamete decreciete. Sucesioes moótoas y covergecia Hemos visto que ua sucesió covergete siempre es acotada. El recíproco o es cierto, como se revela si cosideramos la sucesió s pq, que es acotada si ser covergete. La situació, si embargo, es bie distita si os restrigimos a las sucesioes moótoas. El resultado más importate que relacioa la mootoía de ua sucesió co la covergecia es el siguiete, que establece que para ua sucesió moótoa la acotació y la covergecia so coceptos equivaletes: Teorema 4.9 (de la Covergecia Moótoa, de Weierstrass). (I) Sea ps q ua sucesió creciete. Etoces ps q es covergete si, y solo si, está acotada superiormete, e cuyo caso lím s supt s P N u. (II) Sea ps q ua sucesió decreciete. Etoces ps q es covergete si, y solo si, está acotada iferiormete, e cuyo caso lím s íft s P N u. Demostració. Sea ps q ua sucesió creciete. Segú la proposició 4.7, si la sucesió coverge etoces está acotada (superiormete). Esto demuestra ua implicació del apartado (I). Supogamos ahora que la sucesió está acotada superiormete, sea el supremo de sus valores, y veamos que la sucesió coverge al puto. Dado " 0, existe 0 P N, tal que s 0 ". (Véase.40, la Caracterizació " del supremo) E cosecuecia, si 0, como ps q es creciete, obtedremos que " s 0 s 0` s 0`2 s, 2

13 y, por la defiició de supremo, s ` ". Por lo tato, " s ` ", o lo que es lo mismo, s ". Esto demuestra que la sucesió coverge al puto. La demostració del otro apartado es aáloga. Ejemplos. La sucesió px q es decreciete y acotada si x Pr0, s. Veremos más adelate que su límite es 0 si x Pr0, q y si x. Cuado x Pp, 8q, la sucesió px q es estrictamete creciete y o acotada. La sucesió h ` ` ` es estrictamete creciete y o acotada. 2 Que es estrictamete creciete es imediato: h ` ` 2 ` 3 ` ` ` ` h ` ` h. Veamos que o está acotada, cosiderado los térmios de la forma h 2 m: h 2 m ` 2 ` 3 ` ` 4 5 ` 6 ` 7 ` 8 ` 9 ` ` ` ` 6 2 m ` ` ` 2 m ` 2 ` 4 ` ` 4 8 ` 8 ` 8 ` 8 ` 6 ` ` ` ` 6 2 ` ` m 2 m ` 2 ` 2 4 ` 4 8 ` 8 ` `2m 6 2 ` m m 2. Por lo tato, h 2 m ` m y la sucesió ph 2 q o está acotada. Podemos deducir por tato que esta sucesió o coverge. La sucesió dada por s ` ` ` es estrictamete creciete ` `2 2 (puesto que s ` s ` 0) y acotada 2`2 2` ` 2` 2`2 superiormete. (Obsérvese que s ` ` pq.) Por tato, coverge. De su límite, por el mometo, solo podemos asegurar que está etre s 2 y (o etre s 2 ` y, o etre s ` ` y, etcétera). Más adelate podremos probar que su valor exacto es log 2. 3

14 El úmero e Los siguietes ejemplos resulta de particular importacia, pues os da acceso a ua de las costates más utilizadas e matemáticas. La sucesió dada por es estrictamete creciete. e ` Esto puede probarse mediate la Desigualdad de Berouilli, observado que e ` p ` q` ` e p ` p `2 q p ` rp ` 2qs` rp ` q 2 s ` ` ` ` p ` q 2 ` ` q` q` ` `p`q p ` q 2 De forma similar, la sucesió f ` es estrictamete decreciete. E efecto, f p ` q` f ` ` q`2 ` p ` p ` ` q`2 p `2 ` q`2 rp ` q2 s `2 rp ` 2qs `2 ` `2 ` ` p ` 2q `p`2q ` p ` 2q Obsérvese que, para todo P N, es ` 2 e e f f 4, `. ` `. lo que idica que las dos sucesioes so ambas acotadas y, por el Teorema de la Covergecia Moótoa 4.9, ambas so tambié covergetes. 4

15 El límite de la primera es el úmero e, base de los logaritmos eperiamos y de la fució expoecial ya presetada ateriormete. Defiició 4.0. Llamamos costate de Euler o úmero e al límite e lím `. Por otro lado, resulta que la sucesió pf q tambié coverge a e. E efecto, sea f lím f y veamos que f e. Se ve imediatamete que, dados dos aturales y m, es siempre e f m. (E efecto, si m, etoces e e m f m ; si m, etoces e f f m.) De aquí resulta que, fijado P N, es f lím m f m e. Como esto es cierto para todo P N, cocluimos que e lím e f. Supogamos ahora que e f. Como e supt e P N u y f íft f P N u, se tiee que 0 fe f e, para todo P N. Pero la Propiedad Arquimediaa os asegura la existecia de u úmero atural tal que fe, y para este e será f e ` ` ` ` ` ` e ef e f e, e lo cual es si duda ua cotradicció. Así, f debe ser forzosamete igual a e. Otro ejemplo es la sucesió y 0! `! ` 2! ` 3! ` `!. Es obvio que esta sucesió es estrictamete creciete. Veamos que está acotada superiormete. Como! 2 para todo (esto se puede ver por iducció), resulta que y `! ` 2! ` 3! ` `! ` 2 ` 0 2 ` 2 ` ` 2 2 ` {2 {2 ` {2 3. E cosecuecia, la sucesió py q tambié coverge. Veremos más adelate que esta sucesió tambié coverge al úmero e. 5

16 La costate de Euler-Mascheroi Segú hemos visto al estudiar el úmero e, la sucesió e p`{q es estrictamete creciete y la sucesió f p`{q ` es estrictamete decreciete. Además, ambas coverge a e. Esto os permite establecer las siguietes desigualdades: ` e ` `. Tomado logaritmos e todos los miembros, y teiedo e cueta que el logaritmo es ua fució estrictamete creciete, teemos log ` p`qlog que, escrito de otra forma, os da log ` `. Cosideremos ahora la sucesió ` ` 2 ` 3 ` 4 ` ` log. Como ` ` 2 ` 3 ` 4 ` ` log ` 2 ` 3 ` 4 ` ` ` logp ` q ` logp ` qlog log ` ` ` 0, resulta que p q es estrictamete decreciete. Por otro lado, ` 2 ` 3 ` 4 ` ` log log ` ` log ` ` log ` ` log ` ` `log ` log log 2 ` log 3 2 ` log 4 3 ` log 5 4 ` `log ` log log 2 ` log 3 log 2 ` log 4 log 3 ` log 5 log 4 ` `logp ` qlog log logp ` qlog log ` 0, 6,

17 y así p q está acotada iferiormete. El Teorema de la Covergecia Moótoa 4.9 os permite cocluir que la sucesió p q es covergete. El límite de esta sucesió se deomia Costate de Euler o de Euler-Mascheroi y se deota por. Su valor es aproximadamete 0, Este úmero apareció por primera vez e u escrito de Leohard Euler e 734, e el cual le daba el ombre de C, y calculaba sus seis primeros dígitos. E 78 pudo calcular diez decimales más. E 790, Lorezo Mascheroi dio el valor de dieciueve de sus decimales. E la actualidad, se deota debido a su viculació co la fució (tambié itroducida por Euler), y se ha calculado (por supuesto co ayuda de ordeadores) u total de 9 milloes de sus decimales. La costate está ligada a ua de las pregutas abiertas durate u mayor lapso de tiempo, ya que hasta ahora o se ha podido averiguar siquiera si es u úmero racioal o irracioal. (Se ha probado recietemete que, si es racioal, su deomiador tiee que ser mayor que ) Esta cuestió es importate, porque este úmero aparece relacioado co muchos coceptos de Teoría de Números, etre ellos, co la famosa Fució Zeta de Riema (la que aparece e la aú si resolver Hipótesis de Riema, y que está muy relacioada a su vez co la distribució de los úmeros primos). 2. Técicas de cálculo de límites 2.. Operacioes co sucesioes Límites de la suma y el producto Proposició 4.. Sea ps q, pt q dos sucesioes covergetes co límites y sea c P R. Etoces l lím s, l lím t, (I) ps ` t q es covergete y tiee límite l ` l ; (II) pc s q es covergete y tiee límite c l; (III) ps t q es covergete y tiee límite l l. Demostració. (I) Sea " 0. Usado la defiició de covergecia de ps q, obteemos que existe P N tal que si etoces s l "{2. De igual maera existe 2 P N tal que si 2 etoces t l "{2. Escribimos 0 máxt, 2 u. 7

18 Se tiee etoces que si 0 se verifica las dos desigualdades a la vez y, así, ps ` t qpl ` l q s l ` t l "{2 ` "{2 ". (II) Usamos la defiició de covergecia de ps q y, así, existe 0 P N tal que si 0, etoces s l "{p c ` q. (El del deomiador se itroduce solamete para evitar que dicho deomiador pueda ser 0.) Por tato, " cs cl c s l c c ` ". (III) Como ps q es covergete, está acotada por la Proposició 4.7 y por tato existe K 0 tal que s K para todo P N. Sea " 0. Como ps q es covergete, existe P N tal que si etoces s l ". Por otra parte, como pt 2 l ` q coverge, existe 2 P N tal que si 2 etoces t l ". 2K Fialmete, si 0 máxt, 2 u y 0, se tiee Ejemplos. s t ll s t s l ` s l ll s t l ` l s l K " 2K ` " l 2 l ` " 2 ` " 2 ". La sucesió coverge a 0. E geeral, aplicado reiteradamete 2 el mismo argumeto, coverge a 0, cualquiera que sea p P N. p La sucesió p 2` q coverge a 2. Si escribimos 2 ` etoces vemos que lím 2 ` 2 `, lím 2 ` lím 2 ` 0 2. Ya vimos que las sucesioes e ` y f ` ` coverge al mismo límite (el úmero e) siguiedo u método ciertamete complicado. Probemos ahora este mismo hecho de otra forma más secilla. E efecto, lím f lím ` Ñ8 Ñ8 ` lím ` Ñ8 ` e ` lím ep ` 0q e. Ñ8 8

19 Sucesió covergetes a cero por acotadas A veces se puede obteer el límite del producto de dos sucesioes auque uo de los factores o coverja. Proposició 4.2. Si ps q es ua sucesió acotada y pt q ua sucesió covergete a 0, la sucesió ps t q coverge a 0. Demostració. Sea " 0. Sea K 0 tal que s K, para todo P N. Usado la defiició de covergecia de pt q para "{K, se tiee que existe 0 P N tal que si 0 etoces t "{K. Por tato, s t K"{K ". Ejemplos. La sucesió de térmio -ésimo pq coverge a 0. (Tómese s pq, t e la proposició aterior.) La sucesió se coverge a 0. Límite del cociete Proposició 4.3. Sea ps q ua sucesió covergete co límite l y pt q ua sucesió covergete co límite l 0. Si pu q es ua sucesió tal que u s t siempre que t 0, etoces pu q es covergete co límite l{l. Demostració. E primer lugar, probamos que t 0 a partir de u determiado térmio (y, por tato, a partir de ese térmio, será u s {t ). E efecto, cogiedo " l {2 e la defiició de sucesió covergete, vemos que existe P N tal que si etoces t l l {2. Por tato, utilizado la Desigualdad Triagular Iversa, será t l t l l 2. De aquí deducimos que, si, se tiee t l l {2, o sea, t l {2. Como cosecuecia, se tiee t 0 si. 9

20 Sea ahora " 0. Si teemos etoces u l l s t l l s l t l l t s l ` s t s t t l l t s t l ` t s l l t 2 l 2 p s t l ` t s l q. Por otra parte, como ps q y pt q so covergetes, tambié so acotadas, y existe costates K,K 2 0 tales que s K y t K 2 para todo P N. Por otra parte, aplicamos la defiició de límite de ps q, y así, existe 2 P N tal que si 2 etoces s l " l 2 4K 2. Aálogamete para pt q, existe 3 P N tal que si 3 etoces t l " l 2 4K. Fialmete, defiiedo 0 máxt, 2, 3 u, etoces si 0 todas las acotacioes se verifica y u l 2 l l p s t 2 l ` t s l q 2 " l ˆK 2 " l 2 l 2 ` K 2 ". 4K 4K 2 Corolario 4.4. Sea ps q ua sucesió covergete co límite l y pt q ua sucesió covergete si térmios ulos y co límite l 0. Etoces la sucesió s {t es covergete y s lím l t l. Ejemplos. La sucesió p 423 q coverge a 4{ E efecto, dividiedo umerador y deomiador por 2, Por tato, lím lím lím lím lím p4 3 2 q lím p5 2 q

21 La sucesió de térmio -ésimo coverge a {2. Basta observar que ` 2 ` ` 2 La sucesió de térmio -ésimo a ` 2 ` a ` 2 ` 2 ` ` 2 p`q ` ` coverge al úmero a 2 ` a `. ( Por qué?) 3 `. a ` Si ps q es ua sucesió cuyos térmios so todos o egativos, covergete y co límite l, etoces la sucesió p? s q coverge a? l. E el caso l 0, esto se deduce imediatamete de la defiició de límite; e el caso l 0, se deduce de? s?l s l? s `?l 2ı y de que ps lq coverge a 0, mietras que {p? s `?lq está acotada: 0? s `?l? l. La sucesió de térmio -ésimo? ` coverge a 0.( Por qué?) La sucesió de térmio -ésimo? `? coverge. ( A qué límite? Por qué?) La sucesió de térmio -ésimo? 2 ` `? coverge. ( A qué límite? Por qué?) 4? 3 ` 2

22 La sucesió ps q co s 2 ` 2 3 ` 3 4 ` ` p ` q coverge a. E efecto,, de dode s kpk`q k k`, que ` coverge a Desigualdades y límites Relació etre límites y desigualdades Acabamos de ver que el límite de sucesioes se comporta bie co respecto a la suma y el producto. Veremos a cotiuació que tambié tiee bue comportamieto co respecto al orde; es decir, sucesioes más pequeñas da límites más pequeños, y sucesioes más grades da límites más grades. Proposició 4.5. Si ps q y pt q so dos sucesioes covergetes y existe u 0 P N tal que s t, para todo 0, etoces lím s lím t. Demostració. La sucesió pt s q cumple la desigualdad t s 0 para todo 0 y coverge a lím t lím s. Por el Corolario 4.4, lím t lím s 0, es decir, lím s lím t. El Teorema del Bocadillo Co ayuda de la Proposició 4.5 podemos calcular alguos límites de forma idirecta. Supogamos que teemos tres sucesioes ps q, pt q y pu q, de forma que s t u. Supogamos además que las dos sucesioes exteriores, es decir, ps q y pu q, coverge al mismo límite l. Etoces, si la sucesió iterior pt q coverge, lo tiee que hacer tambié a l. El siguiete resultado mejora esto, pues poe de evidecia que o hace falta supoer la covergecia de pt q: si ps q y pu q coverge a l, la covergecia de pt q viee sola. Teorema 4.6 (del Bocadillo, o de Compresió). Sea ps q, pt q y pu q sucesioes tales que existe u 0 P N tal que s t u 22

23 para todo 0. Si ps q y pu q so sucesioes covergetes y co el mismo límite l, es decir, lím s lím u l, etoces pt q es tambié covergete y tiee el mismo límite l, es decir, lím t l. Demostració. Sea " 0. Por la defiició de límite existe P N tal que si etoces s l ", es decir, l " s l ` ". Aálogamete, existe 2 P N tal que si 2, etoces l " u l ` ". Etoces si 0 máxt, 2 u y 0, se tiee l " s t u l ` ", es decir, t l ". Ejemplos. La sucesió p se q coverge a 0. Sabemos que se. Por tato se. Como lím { lím p{q 0, el Teorema del Bocadillo 4.6 os da el resultado esperado. Se verifica? 2 ` `? 2 ` 2 ` `? 2 ` Ñ, pues podemos ecajar la sucesió etre? 2 ` y? 2 `. Comprobado que la sucesió de térmio -ésimo está ecajada etre ` 2 ` ` ` 2 2 ` ` ` ` 2 ` ` 2 ` ` ` 2 2 ` 2 ` ` ` 2 ` 23 `p`2` `q 2 ` 2 ` p ` q 2 2 ` 2 32 ` 2 `

24 y ` 2 ` ` ` 2 2 ` ` ` ` 2 ` se deduce que la sucesió dada coverge a 3{ Subsucesioes `p`2` `q 2 ` 2 ` p ` q 2 2 ` 2 32 ` 2 `, Qué es ua subsucesió? Elimiado térmios de ua sucesió podemos extraer de ella uevas sucesioes, cuyos térmios aparece e la sucesió origial e el mismo orde (tal vez o e el mismo lugar) que e la ueva: es decir, vamos tomado ifiitos térmios, saltádoos alguos quizá, pero si volver atrás. Por ejemplo, dada ua sucesió ps,s 2,s 3,s 4,s 5,s 6,s 7,s 8,s 9,...q, si os quedamos co los térmios que ocupa lugar impar (elimiado los que ocupa lugar par) obteemos ua ueva sucesió ps,s 3,s 5,s 7,s 9,...q, cuyo térmio -ésimo es s 2 ; si os quedamos co los térmios que ocupa lugar par (elimiado los que ocupa lugar impar), obteemos la ueva sucesió ps 2,s 4,s 6,s 8,s 0,...q, cuyo térmio -ésimo es s 2. Podemos imagiar fácilmete otras muchas maera de extraer sucesioes de la sucesió iicial co este procedimieto. Se obtiee así lo que se llama subsucesioes de la sucesió dada; como iremos viedo a lo largo del curso, el maejo de subsucesioes facilita habitualmete el estudio de la sucesió origial, y permite demostrar varias propiedades eseciales de la teoría de fucioes reales de variable real. Pasemos a formalizar este cocepto. Defiició formal Defiició 4.7. Dada ua sucesió ps q, se dice que otra sucesió pt q es ua subsucesió de ps q si existe ua sucesió estrictamete creciete de úmeros aturales pi q tal que para todo P N es t s i. Ejemplos. 24

25 Sea 0 P N. Tomado i ` 0 e la defiició aterior, se obtiee la subsucesió ps 0,s 0`,s 0`2,s 0`3,s 0`4,...q, que resulta de la origial suprimiedo los 0 primeros térmios. Este tipo de subsucesió se deomia cola 0 -ésima de la sucesió ps q. La sucesió dada por t 4 2 es ua subsucesió de la sucesió dada por s pq 2, como se ve tomado i 2. La sucesió p, 3, 2, 4, 5, 6, 7,...q o es ua subsucesió de p q. Tiee los mismos térmios, pero o e el mismo orde. La sucesió p, 0, 3, 0, 5, 0, 7 tampoco es ua subsucesió de p{q. `pq`, 0,...,,...q 2 Toda sucesió es ua subsucesió de sí misma (reflexividad). Tambié hay trasitividad: si pu q es ua subsucesió de pt q y pt q es ua subsucesió de ps q, a su vez pu q es ua subsucesió de ps q. Si embargo, esta relació o es de equivalecia (o verifica la propiedad simétrica), i tampoco es u orde (o verifica la propiedad atisimétrica: por ejemplo, las sucesioes s pq y t pq ` so subsucesioes la ua de la otra, auque so distitas).. Límites de las subsucesioes La pricipal utilidad de las subsucesioes se maifiesta e el siguiete resultado: Proposició 4.8. Toda subsucesió de ua sucesió covergete es tambié covergete y tiee el mismo límite. Demostració. Sea ps q ua sucesió tal que lím s l P R y sea ps i q ua de sus subsucesioes. Dado " 0, existe u 0 P N tal que si 0 etoces s l ". Si 0, etoces i 0. (Que i, puede probarse por iducció.) De aquí que s i l ". Por tato, lím s i l. 25

26 Ejemplos. Ya vimos, co cierto esfuerzo, que ppq q o es ua sucesió covergete. Co ayuda del resultado aterior, este hecho es imediato: la subsucesió de sus térmios de lugar par coverge a, la subsucesió de sus térmios de lugar impar coverge a. Para x Pr0, q, la sucesió px q coverge a 0. E efecto, puesto que es covergete (segú ya probamos), si lím x l, vemos que lím x ` lím px xq l x. Pero px ` q es ua subsucesió de px q (ua cola), luego tambié lím x ` l, de dode l x l. Como x, se obtiee fialmete que l 0. ( Por qué o podemos utilizar estos cálculos si x?) La eumeració diagoal de todos los úmeros racioales forma ua sucesió que o es covergete: tiee subsucesioes covergetes a cualquier úmero real (ver [3, págs ]). Covergecia de térmios pares e impares Proposició 4.9. Ua sucesió ps q es covergete si, y solo si, la subsucesió de térmios de lugar par ps 2 q y la subsucesió de térmios de lugar impar ps 2 q so ambas covergetes y tiee el mismo límite. Demostració. Por la proposició 4.8 basta co demostrar que si s 2 Ñ l P R y s 2 Ñ l etoces s Ñ l. Sea " 0. Por la defiició de límite existe, 2 P N tales que: (I) si es s 2 l "; (II) si 2 es s 2 l ". Ahora si 0 máxt2, 2 2 u y 0 se tiee, tato si es par como impar, que s l ". Se debe observar que este último resultado se puede aplicar de forma más geeral. Por ejemplo, si ua sucesió ps q cumple que las tres subsucesioes ps 3 q, ps 3 q y ps 32 q coverge al mismo límite l, ua demostració muy similar a la empleada hace u mometo os dice que la sucesió ps q coverge tambié a l. E geeral, si ua sucesió se puede descompoer e uió de ua catidad fiita de subsucesioes que coverge todas al mismo límite l, etoces la sucesió origial tambié debe coverger a l. 26

27 El Teorema de Bolzao-Weierstrass El siguiete teorema tiee muchísimas aplicacioes, segú iremos viedo a lo largo del curso. E muchas demostracioes, cuado tegamos ua sucesió acotada, este teorema os permitirá supoer que la sucesió es, de hecho, covergete. Teorema 4.20 (de Bolzao-Weierstrass, para sucesioes). Toda sucesió acotada tiee ua subsucesió covergete. Para probarlo, realizaremos dos demostracioes diferetes. E la primera de ellas os apoyaremos e el Teorema de los Itervalos Ecajados de Cator. Demostració. Sea ps q ua sucesió acotada y K 0 de forma que K s K para todo P N. Vamos costruyedo la subsucesió de la siguiete forma: bie e r0,ks, bie e rk, 0s, habrá ifiitos térmios de la sucesió (quizá icluso e los dos). Supogamos que I es uo de estos itervalo e el cual hay ifiitos térmios y elijamos cualquier elemeto s i P I. De uevo repetimos la idea: partimos I por la mitad y o bie e ua mitad, o e la otra, habrá ifiitos térmios de la sucesió. Nos quedamos ua de las mitades que cotega ifiitos s y la llamamos I 2. Elegimos u elemeto s i2 P I 2 que además cumpla i 2 i. Observemos que I 2 Ä I. El siguiete paso es de uevo subdividir I 2 e dos mitades, elegir ua mitad I 3 que cotega ifiitos térmios de la sucesió y seleccioar u uevo s i3 P I 3 co i 3 i 2. Costruimos de esa forma ua sucesió de itervalos cerrados y acotados ecajados I Å I 2 Å I 3 Å ÅI Å yua subsucesió ps i q de ps q co s i P I para todo P N. El Teorema de los Itervalos Ecajados asegura la existecia de u puto l P ì 8 I. Por comodidad escribimos I ra,b s co lo que a s i b, a l b para todo P N y, además, como la logitud de cada I es K{2, se tiee 0 s i l b a K Ñ 0, 2 de dode, por el Teorema del Bocadillo 4.6, s i l Ñ 0, o, lo que es lo mismo, s i Ñ l. El Lema de la Subsucesió Moótoa Para la seguda demostració, utilizaremos u lema que tiee bastate iterés e sí mismo. Lema 4.2 (de la Subsucesió Moótoa). Toda sucesió posee ua subsucesió moótoa. Demostració. Sea ps q ua sucesió. Diremos que u ídice m P N es de coteció para esta sucesió, si s m s para todo atural m. Obsérvese que, 27

28 fijado m, si este es de coteció, ello sigifica que el úmero s m es ua cota iferior para todos los térmios de la sucesió cuyos ídices so superiores a m. Esto se visualiza otado que s m se ecuetra a la izquierda de todos aquellos elemetos de la sucesió cuyos ídices so mayores que m. (Así, por ejemplo, si 7 fuese de coteció para la sucesió, podemos asegurar que s 8, s 9,..., está a la derecha de s 7. Por otra parte, ada podemos asegurar sobre la ubicació relativa de los primeros seis térmios de la sucesió.) Obsérvese tambié que u ídice m fracasa e ser de coteció, cuado para algú ídice m es s m s. Ahora bie, e cuato a la catidad de ídices de coteció, puede ocurrir dos cosas: O bie hay ifiitos ídices de coteció, o bie solamete hay ua catidad fiita de ellos. Supogamos que hay ifiitos ídices de coteció. E este caso podemos ecotrar uos ídices de coteció i i 2 i 3 i. Fijado P N, Como i es de coteció, y como i ` i, la defiició os asegura que s i s i`. Esto prueba que la subsucesió ps i q es creciete. Ahora examiamos el caso e que solamete hay ua catidad fiita de ídices de coteció. Ya que hay fiitos, si avazamos lo suficiete habremos abadoado estos ídices de coteció, y se tedrá la seguridad etoces de que a la derecha ya o hay más de tales ídices. Para precisar, supogamos que hay u ídice 0 tal que si 0, etoces o es de coteció. Tomemos i 0. Como i o es de coteció, ello sigifica que hay algú ídice i 2, co i 2 i, tal que s i s i2. Pero, aálogamete, como i 2 o es de coteció, esto os idica que tiee que existir u ídice mayor, digamos i 3 i 2, tal que s i2 s i3. Y así sucesivamete. Obteemos así ua sucesió estrictamete creciete de ídices de modo tal que i i 2 i 3 i, s i s i2 s i3 s i Así que la subsucesió ps i q es estrictamete decreciete. Utilizado este lema, la (seguda) demostració del Teorema de Bolzao- Weierstrass es ahora imediata. Demostració 2. Sea ps q ua sucesió acotada. Por el Lema de la Subsucesió Moótoa 4.2, esta sucesió tiee ua subsucesió moótoa ps i q. Como ps q es acotada, tambié lo será ps i q, de dode, por el Teorema de la Covergecia Moótoa 4.9, resulta que ps i q es covergete. 28

29 2.4. Sucesioes de Cauchy Sucesioes de Cauchy Cosideremos ua sucesió ps q. Si esta sucesió coverge a u úmero l, este hecho asegura que, cuato mayor sea, más cerca va a estar s de l. Por tato, si cogemos dos térmios de la sucesió, s y s m, cuato mayores sea y m, más cerca va a estar s y s, ambos, de l y, por tato, más cerca va a estar s y s m etre sí. Esto motiva la siguiete defiició. Defiició Ua sucesió ps q se dice que es de Cauchy si para todo " 0 existe algú 0 P N (que puede depeder de ") de modo que si m, P N so tales que m, 0, etoces s m s ". Sucesioes covergetes y de Cauchy A cotiuació vemos que el cocepto de sucesió de Cauchy coicide e realidad co el de sucesió covergete. Para ello, probaremos u resultado previo. Lema Toda sucesió de Cauchy está acotada. Demostració. La defiició, usada para ", asegura la existecia de 0 P N de modo que, si m, 0 etoces s s m. E particular, si 0 etoces s s 0, es decir, s 0 s s 0 `. Resulta así que la sucesió ps q está acotada iferiormete por y superiormete por m míts,s 2,...,s 0,s 0 u M máxts,s 2,...,s 0,s 0 ` u. Teorema 4.24 (Criterio de Cauchy). Ua sucesió es covergete si, y solo si, es de Cauchy. Demostració. Sea s Ñ l P R. Sea " 0. Por defiició de límite, existe 0 P N de modo que, si 0, etoces s l "{2. Por tato, si m, 0, es s m s s l ` l s m s m l ` s l " 2 ` " 2 ", así que ps q es de Cauchy. Recíprocamete, sea ps q ua sucesió de Cauchy. Puesto que, por el Lema 4.23, está acotada, el Teorema de Bolzao-Weierstrass 4.20 asegura la existecia de ua subsucesió ps i q covergete a u cierto l P R. Bastará ver que la sucesió de partida ps q tambié coverge a l. 29

30 Dado " 0, existe 0 P N de modo que si m, 0, etoces s s m ". E particular, si 0, como i 0, se tiee s s i ". Hemos probado de esta maera que lím ps s i q 0, de modo que lím s lím s i ` lím ps s i q l ` 0 l. Así pues, las sucesioes de Cauchy y las covergetes so exactamete las mismas. Esto quiere decir que, para probar que ua sucesió es covergete, podremos utilizar directamete la defiició de sucesió covergete, o bie, podemos probar que la sucesió es de Cauchy. Qué vetajas os ofrece cada uo de los dos métodos? Si utilizamos la defiició de sucesió covergete, y queremos probar que ua sucesió tiede a u determiado límite, debemos coocer previamete cuál es el valor de este, puesto que este valor aparece e la defiició. Si por el cotrario utilizamos la defiició de sucesió de Cauchy, o ecesitamos coocer cuáto vale el límite, puesto que lo úico que aparece e la defiició es la distacia etre dos térmios de la sucesió, que so coocidos ya previamete. No obstate, esto, que es si duda ua vetaja, es a la vez la debilidad de este método. Al probar que ua sucesió es de Cauchy, sabremos que coverge, pero o qué valor tiee el límite (e pricipio; a veces, este valor se podrá deducir de forma idirecta). Ejemplos. La sucesió s o coverge. E efecto, veremos que esta sucesió o es de Cauchy. Sea ". Dado cualquier 0 P N, escogiedo 0 y m 0 `, se obtiee que m, 0, pero s m s 0 ` 0 ". La sucesió h ` 2 ` 3 ` ` o es covergete. De uevo, basta ver que o es de Cauchy. Sea " 2,y sea 0 P N. Escojamos 0 y m 2 0. Etoces m, 0, pero h m h 0 ` ` 0 ` 2 ` 0 ` 3 ` ` 2 0 ` ` ` ` ". La sucesió y 0! `! ` 2! ` 3! ` `! coverge. Esto ya lo vimos mediate el Teorema de la Covergecia Moótoa 4.9, pero tambié se puede probar viedo que es ua sucesió de 30

31 Cauchy. E efecto, sea " 0. Si m, etoces 0 y y m pm ` q! ` pm ` q! pm ` 2q! ` ` m ` 2 ` pm ` 3q! ` ` p q! `! pm ` 2qpm ` 3q ` ` pm ` 2qpm ` 3q p q ` pm ` 2qpm ` 3q p q ` pm ` q! m ` ` pm ` q ` 2 ` pm ` q ` m2 pm ` q m {pm ` qm pm ` q! {pm ` q pm ` q! {pm ` q m!m. Por tato, si escogemos 0 P N tal que { 0 ", resultará que, si m 0, etoces y m y m!m m 0 ". Así que uestra sucesió es de Cauchy, y por tato covergete. Obsérvese que e este caso hemos deducido que la sucesió coverge, auque o sabemos a quié. Vamos a ver a cotiuació que esta sucesió coverge al úmero e. Sea y lím y, y sea e p ` {q que, como sabemos, coverge a e. Veremos que y e. Desarrollado mediate el Biomio de Newto, e ` ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ` 0 ` 2 ` 2 3 ` ` 3 ` p q p qp 2q ` ` 2! 2 3! ` 3 p qp 2q 2 `! 3

32 ` ` ` 2 ` 2! 3! ` 2 2! ` ` 2! ` 3! ` `! y De aquí se ifiere que e y. % Para probar la desigualdad opuesta, fijemos k P N, y defiamos ua ueva sucesió pt q dode t es el desarrollo biomial de e trucado e el sumado correspodiete a k!, es decir, $ e, k, & ` ` ` 2 ` t 2! 3! ` k! 2 k, k. Evidetemete, t e para todo P N. Esto quiere decir que el límite de la sucesió pt q es meor o igual que e. Pero es imediato comprobar que el límite de la sucesió pt q es precisamete y k, así que y k e. Como esto es cierto para todo k P N, resulta etoces que el límite de la sucesió py k q kpn es meor o igual que e; es decir y e. e es irracioal Estamos ahora listos para probar ua importate propiedad del úmero e. Teorema e es irracioal. Demostració. Defiiedo la sucesió py q como e el ejemplo aterior, si y m so dos aturales, co m, hemos probado más arriba que etoces 0 y y m {pm!mq. Fijado m y tomado límite e, obteemos que 0 e y m {pm!mq para todo m P N. (La primera de las dos desigualdades es estricta ya que y m y m` e.) Supogamos que e es racioal, es decir, existe p, q P N tales que e p{q. Como 2 e 3, resulta que q. Además teemos 0 p q y q q!q. Si multiplicamos ambos miembros de la desigualdad aterior por q!, obteemos 0 ppq q! q!y q q. 32

33 Por la defiició de y q, resulta fácil comprobar que q!y q es u úmero atural, por lo que si defiimos r ppq q! q!y q, resulta que r P Z, pero 0 r {q, lo que claramete costituye ua cotradicció. Sucesioes cotractivas U caso importate de sucesioes de Cauchy es el de las sucesioes cotractivas. Defiició Se dice que ua sucesió ps q es cotractiva si existe ua costate C, co 0 C, tal que s `2 s ` C s ` s para todo P N. El úmero C se llama costate de cotracció de ps q. Teorema Toda sucesió cotractiva es de Cauchy, y, e cosecuecia, es covergete. Demostració. Sea ps q ua sucesió cotractiva. Aplicado varias veces la defiició de sucesió cotractiva, obteemos que para todo P N es s `2 s ` C s ` s C 2 s s C 3 s s 2 C s 2 s. Si m, aplicado la Desigualdad Triagular, se tiee s m s s m s m ` s m s m ` ` s ` s pc m2 ` C m3 ` `C q s 2 s C p ` C ` C 2 ` `C m2 ` C m q s 2 s C Cm C s 2 s C s 2 s C. Como 0 C, sabemos que lím C s 2 s 0. C Por tato, dado " 0, existe u 0 P N tal que si 0 es C s 2s C ". Así que, si m 0, será Por tato ps q es de Cauchy. s m s C s 2 s C ". 33

34 Ejemplos. (I) La sucesió x { es covergete, pero o cotractiva. E efecto, x `2 x ` x ` x ` `2 ` p`2qp`q p`q ` 2 Ñ. Esto implica que para todo K, 0 K, existe 0 P N tal que si 0 etoces x `2 x ` { x ` x K, es decir, x `2 x ` K x ` x. Por tato, px q o es cotractiva. (II) La sucesió y ` ` ` ` es covergete. 0!! 2!! Esta sucesió es cotractiva, ya que si P N es y `2 y ` p ` 2q! ` 2 p ` q! ` 2 y ` y 3 y ` y (III) Mostrar que la ecuació x 3 7x ` 2 0 tiee ua solució etre 0 y. Esto se puede lograr mediate u procedimieto iterativo de la siguiete maera. Escribimos la solució e la forma x px 3 ` yq{7 y la usamos para defiir ua sucesió. A x se le asiga u valor arbitrario etre 0 y,y después se defie x ` : 7 px3 ` 2q, para todo P N. Como 0 x, se prueba fácilmete por iducció que 0 x para todo P N. Además se tiee x `2 x ` 7 px3 ` ` 2q 7 px3 ` 2q 7 x3 ` x 3 7 x2 ` ` x ` x ` x 2 x ` x 3 7 x ` x. Por cosiguiete, px q es ua sucesió cotractiva, de dode coverge a u límite l P R. Al pasar al límite e ambos miembros de la igualdad x ` px 3 ` 2q{7 se obtiee l pl 3 ` 2q{7, de dode l 3 7l ` 2 0. Por tato, l es ua solució de la ecuació. 34

35 3. Límites ifiitos 3.. Sucesioes divergetes Qué es ua sucesió divergete? Defiició (I) Decimos que ua sucesió ps q diverge a 8, y escribimos lím s 8, si para todo M P R existe algú 0 P N tal que si 0 etoces s M. (II) Decimos que ua sucesió ps q diverge a 8, y escribimos lím s 8, si para todo M P R existe algú 0 P N tal que si 0 etoces s M. (III) Ua sucesió divergete es ua sucesió que diverge a 8 oa8. (IV) Las sucesioes que o so covergetes i divergetes se deomia sucesioes oscilates. Observacioes. Ejemplos. Se sigue imediatamete de la defiició que ua sucesió ps q diverge a 8 si, y solo si, su opuesta diverge a 8. E la defiició de sucesió que diverge a 8, e lugar de M P R se puede poer M 0; y e la defiició de sucesió que diverge a 8 se puede poer M 0. E lo sucesivo, diremos que ua sucesió tiee límite si es covergete o divergete, es decir, si o es oscilate. A veces os referiremos a las sucesioes covergetes como sucesioes co límite fiito y a las divergetes como sucesioes co límite ifiito. Si ua sucesió diverge, o está acotada. Pero hay sucesioes o acotadas que oscila, es decir, o so divergetes. La sucesió s diverge a 8. E efecto, si M P R, la Propiedad Arquimediaa os proporcioa u 0 P N tal que 0 M. Por tato, si 0, será s 0 M. La sucesió s 2 diverge a 8. Si M P R, existe 0 P N tal que 0 M. Por tato, si 0, será s 2 0 M. 35

36 Si c, la sucesió s c diverge a 8. Sea M P R. Como c, podemos escribir c `b, co b 0. Escojamos 0 P N de forma que 0 b M. Por la Desigualdad de Beroulli, s c p ` bq ` b b 0 b M. La sucesió s pq es oscilate y acotada. E efecto, sabemos que esta sucesió o es covergete. Como es acotada, tampoco puede ser divergete. E cosecuecia, solo puede ser oscilate. Si c la sucesió s c es oscilate y o acotada. Para ver que s o es acotada, basta observar que s c y aplicar el caso c. De aquí que ps q o coverge. Además, esta sucesió o diverge, porque toma alterativamete valores positivos y egativos, y por tato o puede verificar la defiició de sucesió divergete (a 8 o 8). Sucesioes moótoas o acotadas Proposició (I) Sea ps q ua sucesió creciete. Si o está acotada superiormete, ps q diverge a 8. (II) Sea ps q ua sucesió decreciete. Si o está acotada iferiormete, ps q diverge a 8. Demostració. Es cosecuecia directa de las defiicioes. Como cosecuecia, obteemos la siguiete geeralizació del Teorema de la Covergecia Moótoa 4.9. Corolario Toda sucesió moótoa tiee límite (fiito si está acotada, ifiito e caso cotrario). Ejemplo. Ya vimos que la sucesió h ` 2 ` 3 ` ` es estrictamete creciete y o está acotada superiormete. Luego diverge a 8. 36

37 Subsucesioes de sucesioes divergetes Ya vimos que si ua sucesió tiee límite fiito todas sus subsucesioes tambié coverge a este mismo límite. Qué pasa cuado cosideramos sucesioes divergetes? Proposició 4.3. (I) Toda subsucesió de ua sucesió divergete a 8 diverge a 8. (II) Toda subsucesió de ua sucesió divergete a 8 diverge a 8. Demostració. Cosecuecia directa de la defiició de sucesió divergete. Proposició (I) Ua sucesió posee ua subsucesió divergete a 8 si, y solo si, o está acotada superiormete. (II) Ua sucesió posee ua subsucesió divergete a 8 si, y solo si, o está acotada iferiormete. (III) Ua sucesió posee ua subsucesió divergete si, y solo si, o está acotada. Demostració. Cosecuecia directa de las defiicioes. Obteemos como cosecuecia imediata ua geeralizació del Teorema de Bolzao-Weierstrass Corolario Toda sucesió cotiee ua subsucesió co límite. Suma co ua sucesió divergete Proposició (I) Si ps q es ua sucesió divergete a 8 y pt q es ua sucesió acotada iferiormete, la sucesió ps ` t q diverge a 8. (II) Si ps q es ua sucesió divergete a 8 y pt q es ua sucesió acotada superiormete, la sucesió ps ` t q diverge a 8. Demostració. (I) Por la defiició de acotació iferior existe m P N tal que t m para todo P N. Ahora sea M P R. Por defiició de divergecia existe 0 P N tal que si 0 se tiee s M m. Por tato, si 0 será s ` t M m ` m M. (II) Aálogo. 37

38 Ejemplo. s `pq diverge a 8 ya que la sucesió pq diverge a 8 y la sucesió ppq q está acotada iferiormete por. Corolario (I) Si ps q es ua sucesió divergete a 8 y pt q es ua sucesió covergete o divergete a 8, la sucesió ps ` t q diverge a 8. (Esto se expresa simbólicamete diciedo que 8`a 8, si a P R, y que 8`8 8.) (II) Si ps q es ua sucesió divergete a 8 y pt q es ua sucesió covergete o divergete a 8, la sucesió ps ` t q diverge a 8. (Esto se expresa simbólicamete diciedo que 8 ` a 8, si a P R, y que ) Ejemplo. s 2 ` 3 ` diverge a 8. 3 ` 2 Ejemplos. La suma de ua sucesió divergete a 8 co ua sucesió divergete a 8 puede resultar covergete, como e `pq Ñ0 o p ` q`pq Ñ, puede resultar divergete a 8, como e 2 `pq Ñ8, puede resultar divergete a 8, como e `p2q Ñ8, y puede resultar oscilate, como e p `pq q`pq. Normalmete, esto lo expresaremos diciedo que 88es ua idetermiació. Producto por ua sucesió divergete Proposició (I) Si ps q es ua sucesió divergete a 8 y pt q es ua sucesió para la que existe r 0 y 0 P N tales que t r siempre que 0, etoces la sucesió ps t q diverge a 8. (II) Si ps q es ua sucesió divergete a 8 y pt q es ua sucesió para la que existe r 0 y 0 P N tales que t r siempre que 0, etoces la sucesió ps t q diverge a 8. (III) Si ps q es ua sucesió divergete a 8 y pt q es ua sucesió para la que existe r 0 y 0 P N tales que t r siempre que 0, etoces la sucesió ps t q diverge a 8. 38

39 (IV) Si ps q es ua sucesió divergete a 8 y pt q es ua sucesió para la que existe r 0 y 0 P N tales que t r siempre que 0, etoces la sucesió ps t q diverge a 8. Demostració. (I) Sea M 0. Como s Ñ8, existe P N tal que si es s M{r. Por tato, si máxt 0, u, se tiee s t M{r r M. Los demás apartados se prueba de maera completamete aáloga. Corolario (I) Si ps q es ua sucesió divergete a 8 y pt q es ua sucesió covergete co límite positivo o divergete a 8, la sucesió ps t q diverge a 8. (Simbólicamete, esto se expresa diciedo que 8 a 8si a 0.) (II) Si ps q es ua sucesió divergete a 8 y pt q es ua sucesió covergete co límite positivo o divergete a 8, la sucesió ps t q diverge a 8. (Simbólicamete, esto se expresa diciedo que 8 a 8si a 0.) (III) Si ps q es ua sucesió divergete a 8 y pt q es ua sucesió covergete co límite egativo o divergete a 8, la sucesió ps t q diverge a 8. (Simbólicamete, esto se expresa diciedo que 8 a 8si a 0.) (IV) Si ps q es ua sucesió divergete a 8 y pt q es ua sucesió covergete co límite egativo o divergete a 8, la sucesió ps t q diverge a 8. (Simbólicamete, esto se expresa diciedo que 8 a 8si a 0.) Demostració. Cosecuecia directa de 4.36 y 4.3. El producto de ua sucesió divergete a 8 oa8 por ua sucesió covergete a 0 puede resultar covergete, divergete a 8, divergete a 8 u oscilate. Ejemplos. No se puede predecir el comportamieto del producto de ua sucesió que coverge a 0 por otra divergete: 2 coverge a 0. coverge a. ` coverge a. 2 diverge a 8. 2 ` diverge a8. pq es oscilate. Esto se expresará diciedo que 0 8es ua idetermiació. 39

40 Iversas de sucesioes divergetes Proposició (I) Ua sucesió ps q diverge a 8 si, y solo si, tiee como mucho u úmero fiito de térmios o positivos y su iversa coverge a 0. (Esto se expresa simbólicamete diciedo que {8 0` y que {0` 8.) (II) Ua sucesió ps q diverge a 8 si, y solo si, tiee como mucho u úmero fiito de térmios o egativos y su iversa coverge a 0. (Esto se expresa simbólicamete diciedo que {p8q 0 y que {0 8.) (III) La sucesió de valores absolutos de ua sucesió ps q diverge a 8 si, y solo si, tiee como mucho u úmero fiito de térmios ulos y su iversa coverge a 0. Demostració. (I) Supoemos primeramete que s Ñ8. Por defiició de sucesió divergete, existe P N tal que si es s 0, es decir, tiee como mucho u úmero fiito de térmios o positivos. Ahora, para ver que {s Ñ 0, fijemos " 0. De uevo por hipótesis, existe 2 P N tal que si 2 es s {". Luego si 0 máxt, 2 u y 0 se tiee 0 {s ". Recíprocamete, supogamos que s 0 si y que {s Ñ 0. Para ver que s Ñ8fijamos M 0. Por defiició de límite, existe 2 P N tal que si 2 es {s {M. Luego si 0 máxt, 2 u y 0, se tiee s M. Los otros apartados se prueba aálogamete. Ejemplos. Debemos cosiderar {0 como ua idetermiació. Para ver esto, basta cosiderar los siguietes ejemplos: Si s {, {s diverge a 8. Si s {, {s diverge a 8. Si s pq {, {s es oscilate. Es fácil comprobar que ua sucesió ps q coverge a 0 si, y solo si, la sucesió p s q de sus valores absolutos coverge a 0. E efecto, ambas propiedades equivale a que para todo " 0 exista u 0 P N tal que s " para 0. E geeral, si embargo, solo puede afirmarse que si ps q es covergete co límite l, etoces p s q es covergete co límite l ; el recíproco o siempre es cierto si l 0. De esto se deduce: Corolario Ua sucesió ps q si térmios ulos coverge a 0 si, y solo si, la sucesió { s de los valores absolutos de los iversos diverge a 8. 40