sen h b, y h b sen. Por consulta al triángulo rectángulo BDC, vemos que sen h a, y h a sen.

Transcripción

1 570 PÍTULO 8 PLIIONES DE TRIGONOMETRÍ Figur L g y h D c x Un triángulo olicuo es quel que no contiene un ángulo recto. Usremos ls letrs,,,,, c,, y g pr prtes de triángulos, como lo hicimos en el cpítulo 6. Ddo el triángulo, pongmos el ángulo en posición estándr pr que quede en el eje x positivo. El cso pr otuso se ilustr en l figur 1, pero l siguiente exposición tmién es válid si es gudo. onsidere l rect que ps por prlel l eje y y que cruz el eje x en el punto D. Si hcemos d(, D) h, entonces l coordend y de es h. De l definición de ls funciones trigonométrics de culquier ángulo sen h, y h sen. Por consult l triángulo rectángulo D, vemos que sen h, y h sen. Igulndo ls dos expresiones pr h nos drá sen sen, sen que podemos escriir como sen. Si ponemos en posición estándr con en el eje x positivo, entonces por el mismo rzonmiento sen sen. c Ls dos igulddes finles nos dn el siguiente resultdo. L Si es un triángulo olicuo en l form usul (como en l figur 1), entonces sen sen sen. c Oserve que l está formd por ls siguientes tres fórmuls: sen sen (1) (2) sen sen (3) c sen sen c Pr plicr culquier de ests fórmuls un triángulo específico, deemos conocer los vlores de tres de ls cutro vriles. Si sustituimos estos tres vlores en l fórmul propid, podemos entonces despejr el vlor de l curt vrile. Se deduce que l se puede usr pr hllr ls prtes restntes de un triángulo olicuo, siempre que conozcmos culquier de lo siguiente (ls tres letrs en préntesis se usn pr denotr ls prtes conocids, con L representndo un ldo y un ángulo):

2 8.1 L 571 (1) dos ldos y un ángulo opuesto uno de ellos (LL) (2) dos ángulos y culquier ldo (L o L) En l siguiente sección estudiremos l ley de los cosenos y demostrremos cómo se puede usr pr hllr ls prtes restntes de un triángulo olicuo cundo se d lo siguiente: (1) dos ldos y el ángulo entre ellos (LL) (2) tres ldos (LLL) L ley de senos no se puede plicr directmente los últimos dos csos. L ley de senos tmién se puede escriir en l siguiente form sen sen c. sen En lugr de memorizr ls tres fórmuls socids con l ley de senos, puede ser mejor recordr el siguiente enuncido que ls tom en cuent tods. L ley de senos (form generl) En culquier triángulo, l rzón entre el seno de un ángulo y el ldo opuesto ese ángulo es igul l rzón entre el seno de otro ángulo y el ldo opuesto ese ángulo. Figur 2 En ejemplos y ejercicios referentes triángulos, supondremos que ls longitudes conocids de ldos, sí como de ángulos, se hn otenido por mediciones y por tnto son proximciones vlores exctos. menos que se indique de otro modo, cundo hllemos prtes de triángulos redonderemos respuests de cuerdo l regl siguiente: Si los ángulos o ldos conocidos se expresn ciert precisión, entonces los ángulos o ldos desconocidos deen clculrse l mism precisión. Pr ilustrr, si los ldos conocidos se expresn l 0.1 más cercno, entonces los ldos desconocidos deen clculrse l 0.1 más cercno. Si los ángulos conocidos se expresn los 10 más cercnos, entonces los ángulos desconocidos deen clculrse los 10 más cercnos. Oservciones similres se cumplen tmién pr precisión l más cercno 0.01, 0.1, y sí sucesivmente. c EJEMPLO 1 Usr l (L) 48, 57 Resuelv, ddos, y SOLUIÓN El triángulo está trzdo en l figur 2. omo l sum de los ángulos de un triángulo es 180, (continú)

3 572 PÍTULO 8 PLIIONES DE TRIGONOMETRÍ omo el ldo y los tres ángulos se conocen, podemos hllr usndo un form de l que conteng,, y : sen sen sen sen sen 48 sen 75 despeje sustituy por, clcule l entero más cercno c Pr hllr c, simplemente sustituimos con en l solución precedente pr, sen sen oteniendo y Figur 3 y x c sen 47 sen sen sen 75 Dtos como los del ejemplo 1 llevn exctmente un triángulo, pero si se dn dos ldos y un ángulo opuesto uno de ellos, no siempre se determin un triángulo único. Pr ilustrr, supong que y hn de ser ls longitudes de ldos del triángulo y que un ángulo ddo h de ser opuesto l ldo de longitud. Exminemos el cso pr gudo. Pong en posición estándr y considere el segmento de rect de longitud en el ldo terminl de, como se ve en l figur 3. El tercer vértice,, dee estr en lgún punto en el eje x. omo nos dn l longitud del ldo opuesto, podemos hllr l trzr un rco circulr de longitud con centro en. Los cutro posiles resultdos se ilustrn en l figur 4 (sin los ejes de coordends). L Figur 4 () () (c) (d) Ls cutro posiiliddes en l figur se pueden descriir como sigue: () El rco no intersec l eje x y no se form triángulo. () El rco es tngente l eje x, y se form un triángulo rectángulo. (c) El rco intersec el eje x positivo en dos puntos distintos, y se formn dos triángulos. (d) El rco intersec ls prtes positivs y no positivs del eje x, y se form un triángulo.

4 8.1 L 573 Figur 5 () El cso prticulr que ocurre en un prolem ddo se hrá evidente cundo trtemos de hllr l solución. Por ejemplo, si resolvemos l ecución () sen sen y otenemos sen > 1, entonces no existe triángulo y tenemos el cso (). Si otenemos sen 1, entonces 90 y por tnto ocurrirá (). Si sen 1, entonces hy dos posiles opciones pr el ángulo. l compror ms posiiliddes, podemos determinr si ocurre (c) o (d). Si l medid de es myor 90, entonces existe un triángulo si y sólo si > (ve figur 5). omo podemos tener más de un posiilidd cundo se dn dos ldos y un ángulo opuesto uno de ellos, est situción en ocsiones recie el nomre de cso miguo. EJEMPLO 2 Usr l (LL) Resuelv, ddos 67, 100 y c 125. SOLUIÓN En vist que conocemos, y c, podemos hllr g l empler un form de l ley de senos que conteng,, c y g. sen sen c ley de senos sen c sen despeje sen 125 sen sustituy por c, clcule, y omo sen g no puede ser myor 1, no se puede construir un triángulo con ls prtes dds. L EJEMPLO 3 Usr l (LL) Resuelv, dds 12.4, 8.7 y SOLUIÓN Pr hllr, procedemos como sigue: sen sen sen sen 12.4 sen despeje sen sustituy por, clcule, y (continú)

5 574 PÍTULO 8 PLIIONES DE TRIGONOMETRÍ Hy dos posiles ángulos entre 0 y 180 tles que sen es proximdmente El ángulo de referenci R es R sen 1 (0.8518) En consecuenci, ls dos posiiliddes pr son Figur y g 2 g El ángulo nos d un triángulo 1 en l figur 6 y nos d el triángulo 2. Si con g 1 y g 2 denotmos los terceros ángulos de los triángulos 1 y 2 correspondientes los ángulos 1 y 2, respectivmente, entonces Si c 1 1 es el ldo opuesto g 1 en el triángulo 1, entonces c 1 sen 1 sen 1 c 1 sen 1 sen sen 84.9 sen despeje c 1 sustituy y clcule Figur 7 9 Entonces, ls prtes restntes del triángulo 1 son , Del mismo modo, si c 2 2 es el ldo opuesto g 2 en 2, entonces c 2 sen 2 sen 2 y ls prtes restntes del triángulo 2 son , y c sen 21.7 sen , , g , y c L EJEMPLO 4 Usr un ángulo de elevción undo el ángulo de elevción del Sol es 64, un poste de teléfono que está inclindo un ángulo de 9 directmente lejándose del Sol proyect un somr de 21 pies de lrgo en un terreno niveldo. lcule l longitud del poste.

6 8.1 L 575 Figur SOLUIÓN El prolem está ilustrdo en l figur 7. El triángulo de l figur 8 tmién muestr los dtos ddos. Nótese que en l figur 8 hemos clculdo los ángulos siguientes: Pr hllr l longitud del poste, es decir, el ldo del triángulo, procedemos como sigue: 21 sen 64 sen sen 64 sen despeje y clcule sí, el poste de teléfono mide proximdmente 33 pies de lrgo. L Figur 9 R EJEMPLO 5 Usr rumos Un punto P nivel del suelo está 3.0 kilómetros l norte de un punto Q. Un corredor vnz en l dirección N25 E de Q l punto R y luego de R P en l dirección S70 W. lcule l distnci recorrid. P 3.0 km S SOLUIÓN L notción empled pr especificr direcciones se presentó en l sección 6.7. Ls flechs de l figur 9 muestrn l tryectori del corredor, junto con un rect de norte sur (interrumpid) de R otro punto S. omo ls rects que psn por PQ y RS son prlels, se deduce de geometrí que los ángulos lternos internos PQR y QRS tienen medid de 25 cd uno. Por lo tnto, PRQ PRS QRS Q Ests oservciones nos dn el triángulo PQR de l figur 10 con QPR Figur 10 plicmos l pr hllr q y p: P 3.0 q p R q 3.0 sen 25 sen 45 q 3.0 sen 25 sen 45 y p 3.0 sen 110 sen y p 3.0 sen 110 sen L distnci recorrid, p q, es proximdmente km. L 25 EJEMPLO 6 Loclizr un nco (o crdumen) de peces Q Un ote pesquero mercnte utiliz un equipo de sonr pr detectr un nco de peces 2 mills l este del ote y que se desplz en l dirección N51 W rzón de 8 mi/h (ve l figur 11 en l págin siguiente).

7 576 PÍTULO 8 PLIIONES DE TRIGONOMETRÍ Figur mi () Si el ote nveg 20 mi/h, clcule, l 0.1 más cercno, l dirección l que dee dirigirse pr interceptr el nco de peces. () Encuentre, l minuto más cercno, el tiempo que trdrá el ote en llegr los peces. SOLUIÓN Figur 12 2 g 39 () El prolem está ilustrdo por el triángulo de l figur 12, con el nco de peces en, el ote en y el punto de intercepción en. Oserve que el ángulo Pr otener, empezmos como sigue: sen sen 39 sen sen 39 despeje sen (*) continución hllmos, con t denotndo el tiempo necesrio pr que el ote y los peces se encuentren en : 20t, 8t (distnci) (velocidd)(tiempo) 8t 20t 2 5 divid entre sen 2 5 sen 39 sustituy por en (*) sen proximr sen omo , el ote dee vnzr en l dirección (proximd) de N75.4 E. () Podemos hllr t usndo l relción 20t. Encontrremos primero l distnci de. omo el único ldo conocido es 2, necesitmos hllr el ángulo g opuesto l ldo de longitud 2 pr usr l. Empezmos por oservr que

8 8.1 L 577 Pr hllr el ldo, tenemos c sen sen c sen despeje sen 2 sen mi. sustituy y clcule sen Usndo 20t, encontrmos el tiempo t pr que el ote llegue : t h 5 min L 8.1 Ejercicios Ejer. 1-16: Resuelv el. 41 1,, 62, 14.1, c ,, 129, 477, c ,, 10010, 55.1, c ,, 5840, 487, ,, 7630, 13.6, c ,, 49.36, 49.78, c , c 11, No tringle exists. 8, c 574.3, No tringle exists. 9, 140, , 4910, 108; 10230, 2410, , c 52.8, , , , 5.01, 55.09, 82.74, c 7.40; , 12.92, c , 21.3, 5340, 6110, c , 248, 2030, 4620, , 0.283, , , , 17.31, , 52.11, c c c c 195 c c Topogrfí Pr hllr l distnci entre dos puntos y que se encuentrn en márgenes opuests de un río, un topógrfo trz un segmento de rect de 240 yrds de longitud lo lrgo de un de ls márgenes y determin que ls medids del y son 6320 y 5410, respectivmente (ve l figur). lcule l distnci entre y. Ejercicio Topogrfí Pr determinr l distnci entre dos puntos y, un topógrfo seleccion un punto que está 375 yrds de y 530 yrds de. Si tiene medid de 4930, clcule l distnci entre y. 19 Rut de un funiculr omo se ilustr en l figur de l págin siguiente, un funiculr llev psjeros de un punto, que está 1.2 mills de un punto en l se de un montñ, un punto P en l cim de l montñ. Los ángulos de elevción de P de y son 21 y 65, respectivmente. () lcule l distnci entre y P. () lcule l ltur de l montñ. 5410

9 578 PÍTULO 8 PLIIONES DE TRIGONOMETRÍ Ejercicio 19 P longitud d del puntl que es necesrio pr que el pnel forme un ángulo de 45 con l horizontl. Ejercicio d 1.2 mi 20 Longitud de un somr Un cmino recto form un ángulo de 15 con l horizontl. undo el ángulo de elevción del Sol es 57, un poste verticl l ldo del cmino proyect un somr de 75 pies de lrgo directmente en el cmino, como se muestr en l figur. lcule l longitud del poste. Ejercicio 20 Poste Distnci un vión Un cmino recto form un ángulo de 22 con l horizontl. De un cierto punto P en el cmino, el ángulo de elevción de un vión en el punto es 57. En el mismo instnte, desde otro punto Q, 100 metros más rri en el cmino, el ángulo de elevción es 63. omo se indic en l figur, los puntos P, Q y se encuentrn en el mismo plno verticl. lcule l distnci de P l vión. Ejercicio mino 15 mino 21 ltur de un gloo de ire cliente Los ángulos de elevción de un gloo desde dos puntos y l nivel del suelo son 2410 y 4740, respectivmente. omo se muestr en l figur, los puntos y están 8.4 mills entre sí, y el gloo está entre los puntos, en el mismo plno verticl. lcule l ltur del gloo sore el suelo. Ejercicio mi Instlción de un pnel solr En l figur se muestr un pnel solr de 10 pies de ncho, que se v unir un techo que form un ángulo de 25 con l horizontl. lcule l P Q Topogrfí Un topógrfo oserv que l dirección del punto l es S63 W y l dirección de es S38 W. L distnci de es 239 yrds y l distnci de es 374 yrds. lcule l distnci de. 25 vistr un incendio forestl Un gurdosque que se encuentr en un punto de oservción vist un incendio en l dirección N2710E. Otro gurdosque que está en un punto de oservción, 6.0 mills l este de vist el mismo incendio en N5240W. lcule l distnci de cd uno de los puntos de oservción l incendio. 26 L torre inclind de Pis L torre inclind de Pis originlmente est perpendiculr l suelo y tení 179 pies de ltur. Deido l hundimiento de l tierr, hor está inclind un cierto ángulo u con respecto l perpendiculr, como se ve en l figur. undo l cim de l torre se ve desde un punto 150 pies del centro de su se, el ángulo de elevción es 53.

10 8.1 L 579 () lcule el ángulo u. () lcule l distnci de pico pico. () lcule l distnci d que el centro de l cim de l torre se h movido de l perpendiculr. Ejercicio 26 d u () lcule l ltitud del pico más lto. Ejercicio ltur de un ctedrl Un ctedrl está situd en un colin, como se ve en l figur. undo l cim de l torre se ve desde l se de l colin, el ángulo de elevción es 48 ; cundo se ve un distnci de 200 pies de l se de l colin, el ángulo de elevción es 41. L colin sue un ángulo de 32. lcule l ltur de l ctedrl. Ejercicio El volumen V del prism tringulr recto que se muestr en 1 l figur es 3 h, donde es el áre de l se y h es l ltur del prism. () lcule h () lcule V. 814 Ejercicio 29 h Diseño de un vión cz rección En l figur se muestr, en l págin siguiente, un plno pr l prte superior del l de un vión cz rección. 28 vistmiento desde un helicóptero Un helicóptero permnece en posición fij un ltitud que es de 1000 pies sore el pico de un montñ de 5210 pies, como se ve en l figur; un segundo pico más lto se ve desde l cim de l montñ y el helicóptero. De este último, el ángulo de depresión es 43 y desde l cim de l montñ el ángulo de elevción es 18. () lcule el ángulo () Si el fuselje es de 4.80 pies de ncho, clcule l envergdur del l ft (c) lcule el áre del triángulo ft 2