Densidad espectral de potencia de una señal digital PAM multinivel

Transcripción

1 Desidad espectral de potecia de ua señal digital PAM multiivel Mayo de 017 Apellidos, Nombre: Departameto: Cetro: Flores Asejo, Satiago J. Dep. de Comuicacioes EPS de Gadia

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3 Resume E este artículo se va a presetar la metodología geeral para el cálculo de la Desidad Espectral de Potecia de ua señal digital PAM (Pulse Amplitude Modulatio o Modulació de Pulsos e Amplitud) si memoria, es decir, cada ua de las amplitudes represetará la iformació de u símbolo trasmitido y será idepediete del resto de símbolos. El cálculo se hará cosiderado que la señal es multiivel. Es decir, habrá M símbolos a trasmitir, y cada uo de ellos tedrá ua amplitud distita que represetará iformació digital correspodiete a log M bits. Se evaluará tato el caso polar (las amplitudes puede tomar valores positivos y egativos) como el uipolar (todas las amplitudes so positivas o ula), y se particularizará para el caso de pulsos coformadores rectagulares, de duració igual al periodo de símbolo T, es decir, si retoro a cero o NRZ (No Retur to Zero). Objetivos y coocimietos previos Los objetivos de apredizaje este artículo docete se preseta de forma esquemática e la tabla 1. Como coocimietos previos, el alumo deberá teer ocioes básicas de trasmisió digital bada base mediate pulsos PAM (Pulse Amplitude Modulatio), así como de los códigos de líea más utilizados (polar, uipolar,...). Tambié es iteresate que coozca los fudametos para el cálculo de las desidades espectrales de potecia de este tipo de señales digitales, auque se hará u repaso e la siguiete secció. Se hará referecia a la bibliografía presetada al fial del artículo para aquellas demostracioes que quede fuera del ámbito de iterés pricipal. 3

4 Tabla 1: Objetivos de apredizaje 1. Se aprederá a calcular de forma aalítica la desidad espectral de potecia de de ua señal digital PAM multiivel. Se trabajará co codificació polar (amplitudes de símbolos simétricamete distribuidas e valores positivos y egativos) y uipolar (todas las amplitudes positivas o ula) 3. Se comprobará que, e ambos casos, los achos de bada que ocupará so iguales e idepedietes del úmero de símbolos 4. E el caso uipolar, se observará claramete el térmio de compoete cotiua 5. Se propodrá como tareas adicioales la simulació de los distitos casos para verificar los resultados aalíticos obteidos, la particularizació para casos secillos de alguas expresioes y la extesió para códigos de líea co retoro a cero (RZ) 1 Itroducció Ua señal digital PAM (Pulse Amplitude Modulatio o Modulació de Pulsos e Amplitud) o es más que ua sucesió de pulsos g(t), eviados cada T segudos, y modulados e amplitud cada uo de ellos por ua valor a k, que es dode realmete reside la iformació digital (Ziemer 010): s PAM (t) = k a k g(t kt ) (1) Al o idicar los límites del sumatorio, queremos dar a eteder que la sucesió es idefiida, auque, a efectos de cálculo, se cosiderará que el ídice k variará desde hasta. Cada amplitud a k represetará iformació de u símbolo formado por uo o más bits, y a T se le llamará periodo de símbolo. Depediedo de qué amplitudes se asige y e qué casos, se tedrá u código de líea u otro. Al pulso g(t) se le llama pulso coformador y, auque o sirve más que de trasporte de la iformació coteida e a k, determiará e gra parte las características de la señal digital. 4

5 Fució de autocorrelació de las amplitudes Por tato, la señal digital s PAM (t) tedrá ua parte determiista referida al pulso coformador g(t) utilizado, pero tambié ua parte o determiista, ya que los valores de las amplitudes a k será descoocidas a priori por el receptor. Para coocer las características espectrales de este tipo de señales, habrá que recurrir a la Desidad Espectral de Potecia, que puede calcularse de la siguiete forma (Ziemer 010): S s (f) = G(f) 1 T R a ()e jπt f () dode G(f) es el espectro del pulso coformador g(t) utilizado, y R a () es la Fució de Autocorrelació de las amplitudes a k, que se presetará e la siguiete secció. Fució de autocorrelació de las amplitudes La fució de autocorrelació de las amplitudes se defie como el valor medio del producto de dos amplitudes correspodietes a dos símbolos separados posicioes (es decir, periodos de símbolo e la señal digital) (Couch 008): R a () = E[a k a k+ ] (3) Es imediato comprobar que se trata de ua fució par, es decir, R a () = R a ( ). Además, para cualquier código de líea se cumple que: R a ( = 0) = E[a k a k ] = E[a k ] = a k (4) Es decir, e = 0 la fució de autocorrelació es igual al valor medio de los cuadrados de las amplitudes del código de líea utilizado. 5

6 3 Códigos de líea si memoria Se dice que u código de líea es si memoria, cuado para seleccioar la amplitud asociada a cada símbolo o se tiee e cueta los símbolos ateriores i posteriores. Por tato, cada amplitud a k es idepediete de las demás. Como cosecuecia de ello, e estos casos se tedrá que la fució de autocorrelació para 0 se podrá calcular de la siguiete forma: R a ( 0) = E[a k a k ] = E[a k ]E[a k ] = E[a k ] = a k (5) Es decir, para códigos si memoria se cumple que la fució de autocorrelació para 0 es igual al cuadrado del valor medio de las amplitudes. 4 Cálculo de la desidad espectral de potecia para ua señal PAM polar multiivel Para aplicar lo apredido hasta el mometo, se va a proceder a calcular la desidad espectral de potecia para el caso de ua señal PAM cuyas amplitudes pueda tomar M valores simétricamete distribuidos e polaridad positiva y egativa. Por tato, se va a cosiderar las siguietes M amplitudes: ±A, ±3A,..., ±(M 1)A. Recordemos que M ha de ser potecia de para que cada amplitud represete u úmero etero de bits igual a log M. Esto sigifica que cada uo de los símbolos que se trasmita podrá ser uo de los M siguietes: 6

7 4 Cálculo de la desidad espectral de potecia para ua señal PAM polar multiivel s 1 (t) = (M 1)Ag(t) s (t) = (M 3)Ag(t)... s M (t) = Ag(t) s M +1 (t) = Ag(t)... s M 1 (t) = (M 3)Ag(t) s M (t) = (M 1)Ag(t) Al estar las M amplitudes simétricamete distribuidas respecto a 0, es evidete que su valor medio es ulo. Por tato, teiedo e cueta la Ecuació 4 y la Ecuació 5, se tiee que, e este caso, la fució de autocorrelació será: R a () = { ak si = 0 0 si 0 (6) Sólo queda, por tato, calcular el valor medio de los cuadrados de las amplitudes, a k. Dejamos para el alumo que haga el cálculo para u valor cocreto de M o que obtega la expresió geeral para cualquier M (mucho más complejo y fuera del ámbito de este artículo). Sustituyedo la fució de autocorrelació obteida, e la Ecuació, se tiee: S s (f) = G(f) 1 T R a ()e jπt f = G(f) a k T (7) Como se puede apreciar, e este caso, la desidad espectral de potecia o es más que ua versió escalada del módulo al cuadrado del espectro del pulso utilizado, por lo que ocupará exactamete su acho de bada, co idepedecia del úmero de símbolos M que se utilice (Lathi y Dig 009). E el caso particular de trabajar co pulsos rectagulares de duració T (es decir, g(t) = ( ) t T ), cuyo espectro sea G(f) = T sic(ft ), se obtedrá la siguiete desidad espectral de potecia: S s (f) = a k T sic (ft ) (8) 7

8 Esta desidad espectral de potecia preseta ulos e frecuecias múltiplos de 1/T, excepto e f = 0. Como ejercicio, es iteresate que el alumo haga ua simulació e Simulik R de este tipo de codificació, para comprobar que la desidad espectral de potecia que se obtiee es la calculada. 5 Cálculo de la desidad espectral de potecia para ua señal PAM uipolar multiivel Ahora vamos a calcular la desidad espectral de potecia de ua señal digital PAM cuyas amplitudes pueda tomar los siguietes M valores: 0, A, A,..., (M 1)A. Teiedo e cueta lo visto e la secció y e la secció 3, la fució de autocorrelació de las amplitudes será: R a () = { ak si = 0 a k si 0 (9) Ahora el valor medio a k o será ulo, por lo que e el sumatorio de la Ecuació habrá ifiitos sumados o ulos. Teiedo e cueta la Relació de Parseval (Wikipedia 017) y que a k y a k las podemos relacioar co la variaza mediate σa k = a k a k, fialmete quedará la desidad espectral de potecia para el caso uipolar de la siguiete forma: S s (f) = G(f) 1 T R a ()e jπt f = [ = G(f) 1 a k a k + ] a k e jπt f = T = G(f) 1 [ σ a T k + a 1 ( k δ f ) ] = T T = G(f) σ a k T + a ( k ) ( G δ f ) T T T (10) 8

9 6 Versioes RZ Observamos que aparece multitud de deltas e frecuecia cada 1/T, icluyedo ua e f = 0 que represeta el térmio e cotiua que claramete tiee este tipo de señales digitales. No es difícil obteer el valor medio y la variaza de las amplitudes para este caso de codificació uipolar co M símbolos: a k = M 1 A σ a k = M 1 A 1 Fialmete, al igual que e el caso polar, podemos obteer la desidad espectral de potecia al utilizar pulsos rectagulares de duració T para el caso uipolar: S s (f) = M 1 A T sic (ft ) + 1 (M 1) A δ(f) (11) 4 Vemos que la mayor parte de las deltas desaparece al coicidir co los ulos de la sic, permaeciedo el térmio de cotiua. Dejamos como ejercicio para el alumo que particularice para los casos más secillos: M = y M = 4, así como la implemetació de las simulacioes e Simulik R que compruebe los resultados obteidos. 6 Versioes RZ Todo lo visto e este artículo se refiere a códigos si retoro a cero (NRZ: No Retur to Zero). Para obteer las versioes RZ (co retoro a cero), bastaría co sustituir los espectros de los pulsos g(t) por sus versioes cuya duració temporal sea la mitad (lo cual repercutirá e u mayor acho de bada). Así, e el caso de pulsos rectagulares, ahora se trabajaría co g(t) = ( ) t, T/ cuyo espectro es G(f) = T sic ( ) f T. Dejamos para el alumo la obteció de las desidades espectrales de las versioes RZ co pulsos rectagulares, tato para el caso polar como el uipolar, su simulació y la verificació de la posició de los ulos. 9

10 Bibliografía Coclusioes Se ha presetado e este artículo cómo calcular la desidad espectral de potecia de ua señal digital PAM multiivel, tato para el caso polar como el uipolar. Ambas preseta características espectrales similares (su acho de bada es idepediete del úmero de símbolos utilizado), salvo que e el caso uipolar aparece adicioalmete compoetes discretas e frecuecia (deltas), la más sigificativa de las cuales está situada e f = 0 (compoete cotiua). Al utilizar pulsos rectagulares de duració igual al periodo de símbolo T, se observa e ambos casos ulos e la desidad espectral de potecia cada 1/T, salvo e f = 0. Se ha dejado al lector como trabajo adicioal, la particularizació para valores de M secillos, la implemetació de simulacioes que corrobore lo calculado, y la ampliació al caso RZ (códigos de líea co retoro a cero). Bibliografía Couch, Leo W. (008). Sistemas de comuicació digitales y aalógicos. Pearso Educació. isb: (vid. pág. 5). Lathi, B. P. y Zhi Dig (009). Moder Digital ad Aalog Commuicatios Systems. Oxford Uiversity Press Ic. isb: (vid. pág. 7). Wikipedia, Colaboradores de (017). Relació de Parseval. Wikipedia, La eciclopedia libre. [Iteret; descargado 1-juio-017]. url: es. wikipedia.org/wiki/relaci%c3%b3_de_parseval (vid. pág. 8). Ziemer, Rodger E. (010). Priciples of Commuicatios: systems, modulatio, ad oise. Joh Wiley & Sos Ltd. isb: (vid. págs. 4, 5). 10