APLICACIONES DEL MÉTODO DE MONTE CARLO A LA SOLUCIÓN DE ALGUNOS PROBLEMAS FINANCIEROS

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1 INTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ECUELA UPERIOR DE FÍICA Y MATEMÁTICA APLICACIONE DEL MÉTODO DE MONTE CARLO A LA OLUCIÓN DE ALGUNO PROBLEMA FINANCIERO TEI QUE PARA OBTENER EL TITULO DE INGENIERO MATEMÁTICO PREENTA. KARLA GONZÁLEZ JUÁREZ Direcor de Tesis: Robero. Acosa Abreu México D.F., diciembre de 8

2 ÍNDICE INTRODUCCIÒN... CAPÍTULO : MERCADO FINANCIERO Y CONCEPTO BÁICO DE PROBABILIDAD. Mercados financieros...3. Opciones...3. Descripción de las opciones Facores que deerminan el valor de una opción Opciones de compra (call opions opciones de vena (pu opions....6 ensibilidad del precio de una opción...4. Concepos básicos de probabilidad...7 CAPÍTULO : MOVIMIENTO BROWNIANO Y LA INTEGRAL ETOCÁTICA.. Movimieno browniano.... El movimieno browniano geomérico como límie de modelos más simples....3 La inegral esocásica Fórmula de Iô...4 CAPÍTULO 3: EL MODELO BINOMIAL PARA LA VALUACIÓN DE OPCIONE Y LA FÓRMULA DE BLACK CHOLE 3. Modelo de un período Modelo de dos períodos Modelo de N períodos La Fórmula de Black-choles Valuación de una opción americana...33 CAPÍTULO 4: EL MÉTODO DE MONTE CARLO 4. Inroducción Méodo de Mone Carlo Inegración por el méodo de Mone Carlo...4 i

3 4.4 Técnicas de reducción de varianza Variables aniéicas Reducción de varianza mediane variables de conrol Muesreo esraificado Muesreo por imporancia...47 CAPÍTULO 5: OPCIONE EXÓTICA 5. Inroducción Opciones que dependen de su rayecoria Valor de una opción barrera de vena de ipo pu-down-and-ou Precio de una down-and-ou pu Opciones asiáicas Opciones Asiáicas con precio de la acción promedio ariméico Opciones Lookback...66 CAPÍTULO 6: VALUACIÓN DE OPCIONE EXÓTICA MEDIANTE IMULACIÓN 6. Inroducción Valuación de opciones asiáicas mediane simulación Reducción de varianza mediane variables de conrol en la valuación de opciones asiáicas Eemplo Cálculo de dela mediane simulación...7 CONCLUIONE...74 APÉNDICE...76 BIBLIOGRAFÍA...8 ii

4 AGRADECIMIENTO A MI FAMILIA Por el gran apoyo brindado y el esfuerzo hecho durane mi carrera, para lograr la conclusión de mis esudios. Pero, sobre odo, por siempre esar a mi lado en los momenos más imporanes de mi vida y ener siempre una palabra de alieno en los momenos difíciles que en la vida se presenan. Muchas gracias por dearme omar mis propias decisiones. A DIO Por esar siempre en mi vida, por ayudarme a aprender de los errores y a no darme por vencida cuando se presena algún obsáculo. Muchas Gracias. AL PROFEOR ROBERTO. ACOTA Por su paciencia y apoyo en el proyeco, así como, por su gran compromiso y el iempo que brindo para la elaboración de ese rabao.

5 INTRODUCCIÓN En los mercados financieros modernos, es imporane el de insrumenos financieros derivados conocidos como las opciones. Una opción es un conrao que da derecho a quien lo posee (pero no la obligación a comprar o vender un acivo a un precio preesablecido durane un periodo o una fecha deerminada. El primer mercado de opciones moderno surge en Chicago el 6 de abril de 973, llamado Chicago Board Opions Exchange (CBOE, el cual en su inicio sólo admiía opciones de compra. En Europa, el mercado de opciones londinense abre sus pueras en 978, al igual que Ámserdam. También, en España exise un mercado de opciones financieras desde 989, nombrado MEFF (Mercado Español de Fuuros Financieros siuado en Madrid y Barcelona. Las opciones que se encuenran fuera del Mercado Oficial se les denomina over he couner (OTC, creadas a ravés de inermediarios financieros, por lo general son enidades bancarias. El fenómeno de las opciones exóicas iene su origen en la década de los novena, aunque se sabe que algunas de sus modalidades ya aparecían en mercados Over The Couner (OTC a finales de la década de los sesena. in embargo, no es hasa la década de los novena cuando su negociación comienza a ener auge. Las opciones exóicas surgen con la inención, de abaraar el coso de las primas de las opciones radicionalmene negociadas, o bien, para ausarse más adecuadamene a deerminadas siuaciones. A las opciones exóicas ambién se les conoce como opciones de segunda generación, ya que lo que raan es de superar los límies de las operaciones esándar, las cuáles, presenan en la mayoría de los casos ines de rigidez. La aparición de esas opciones, y su creciene uilización, esá significando un gran impaco en los diversos mercados de capiales a nivel inernacional, implanándose como un insrumeno muy úil ano para la gesión de riesgos,

6 como para la especulación. No obsane, su volumen de negociación no es odavía lo suficienemene grande, pero se prevé, que con su esudio y uso, experimenen un auge mayor. Acualmene, su uilización comienza a exenderse y podría darse el salo de los mercados OTC s, a los mercados organizados, debido a la gran liberalización que los subyacenes esán experimenando. El principal obeivo del presene rabao es realizar la valoración de las opciones exóicas (opciones de segunda generación. En el problema de valuación de opciones exóicas, a menudo nos enconramos con el problema de que no exisen fórmulas cerradas o analíicas para su cálculo. En paricular, en la valuación de opciones asiáicas, el valor de la opción depende de la rayecoria seguida por el proceso de precios. Para resolver el problema de valuación uilizaremos el méodo de Mone Carlo. La imporancia acual del méodo Mone-Carlo se basa en la exisencia de problemas de difícil solución por méodos analíicos o numéricos, pero que dependen de facores aleaorios o se asocian a un modelo deerminísico. En el caso de la valuación de opciones veremos que el problema se reduce al cálculo numérico de una esperanza maemáica. Ese cálculo lo realizaremos mediane simulación probabilísica, es decir, generando valores de variables aleaorias que esán relacionadas con el problema bao consideración. Gracias a la velocidad de cómpuo en la acualidad, el cálculo de Mone-Carlo es sumamene uilizado. Las écnicas de reducción de varianza aplicadas por el méodo de Mone Carlo son muy imporanes porque nos permien usar muesras aleaorias de amaño más pequeño, y aumenar al mismo iempo la precisión del cálculo. En ese caso, el uso de las écnicas de Mone Carlo es sumamene úil.

7 CAPITULO MERCADO FINANCIERO Y CONCEPTO BÁICO DE PROBABILIDAD. MERCADO FINANCIERO Un mercado financiero se define como el lugar o mecanismo en el cual se compran y venden acivos financieros. En los mercados financieros los paricipanes realizan operaciones de inversión, financiamieno y coberura, a ravés de inermediarios, mediane diversos insrumenos financieros.. Tipo europeo: es aquella pare formada por deerminadas insiuciones o lugares donde asisen los oferenes y demandanes a horas deerminadas para realizar sus ransacciones; o. Tipo americano: a diferencia del anerior funciona las 4 horas del día en odo el mundo. Esa formado por la red de insiuciones financieras de odo el mundo y realiza sus ransacciones en cualquier momeno a ravés de cualquier medio de comunicación.. Opciones Una opción es un conrao que da derecho a quien lo posee a comprar o vender un acivo a un precio preesablecido durane un periodo o una fecha deerminada. El poseedor de una opción no ienen relación alguna con la empresa sobre cuyos íulos posee un derecho de compra o de vena, sólo iene un acuerdo con ora pare, el vendedor de la opción (wrier o emisor. Ni el emisor de la opción, ni el posible comprador de la misma, ienen efeco alguno sobre la compañía o sobre sus posibilidades de emiir acciones. 3

8 Las opciones le dan al inversor la posibilidad de variar el riesgo de las acciones, el inversor puede aumenar o disminuir el rendimieno y riesgo esperados. El emisor(vendedor y el comprador de la opción no se conocen, acuando como inermediarios la Casa de compensación (Clearing house, los brokers y los creadores de mercado. Cámara de Inversor Inermediario Compensación Inermediario Inversor Fig.. El papel de la Cámara de Compensación Exisen dos modalidades de opciones: Las opciones europeas pueden ser eercidas sólo al iempo de expiración, mienras que, las opciones americanas se eercen en cualquier insane hasa la expiración. Hay dos ipos de opciones:. Opciones de compra (Call: son opciones que solo dan derecho de comprar acciones de un deerminado acivo en el fuuro. En ese conrao se esablece el precio de eercicio X y el iempo de expiración T. En ese ipo de opciones el emisor recibe una prima y se ve obligado a enregar el acivo subyacene, si así lo exige el comprador. Mienras que, el comprador paga una prima y iene el derecho a soliciar el acivo subyacene al emisor.. Opciones de vena (Pu: son opciones que dan derecho de vender acciones de un acivo a un precio fio X en una fecha fuura predeerminada o anes de esa. 4

9 . Descripción de las opciones Un conrao de opciones coniene la siguiene información:. Precio del subyacene (: es decir, el precio del acivo sobre el cual se eerce la opción.. Tiempo de expiración (T: ese se refiere a la fecha de vencimieno de la opción. El poseedor de una opción de compra o vena puede eercer su derecho, no eercerla deando pasar la fecha de vencimieno o venderla anes del iempo de expiración de la opción. 3. Precio de eercicio (X: ese precio se esablece en el conrao de compra o vena del acivo subyacene. Cuando el precio de eercicio de la opción es inferior al precio de mercado de la acción al momeno de emiirla se denomina in he money, en caso conrario ou of he money. i el precio de eercicio de la opción es igual o muy cercano a el precio de mercado de la acción lo denominamos a he money..3 Facores que deerminan el valor de una opción El precio de una opción (es decir la prima o Premium se deermina por los siguienes facores principalmene:. El valor inrínseco y el exrínseco de la acción subyacene. El valor de una opción se puede descomponer en la suma de dos pares una llamada inrínseca y ora exrínseca. La primera puede definirse como el valor que endría una opción en un momeno deerminado al eercerla inmediaamene. Para una opción Call se iene que [, X ] V c máx ( 5

10 y para una opción Pu V p [,X ] máx ( donde es el precio del subyacene y X el precio de eercicio. La pare exrínseca es lo que agrega el vendedor para cubrirse de las aleraciones de los precios que puedan ocasionarle una pérdida mayor cuando la eerce el comprador. Cuando (el precio del subyacene aumena, el valor inrínseco de las opciones de compra aumena, mienras que el valor de la opción de vena disminuye.. La volailidad del mercado (σ La volailidad es ora variable imporane. Las oscilaciones diarias del precio del íulo subyacene, influye de manera direca en el precio de la opción call o pu. La volailidad es proporcional a la desviación esándar de los precios del subyacene cuano mayor sea se iene la oporunidad de eercer la opción, aumenando el valor de la Call y de la Pu, pueso que para los vendedores implica un mayor riesgo. 3. Los dividendos. El pago de dividendos ambién afeca el valor de la opción, pues cuano mayores sean lo dividendos hace que disminuya el precio de mercado del subyacene, afecando posiivamene a las opciones Pu y negaivamene a las Call. 4. Tipo de inerés sin riesgo ( r. Cuano más alo sea el ipo de inerés sin riesgo mayor es la prima de la opción Call, efeco conrario a una Pu. 6

11 5. Plazo de Expiración (T Cuano menos iempo de vida le quede a la opción, su prima ambién será menor, pueso que al acercarse su fecha de expiración aumena la inceridumbre en cuano al valor final de (recio de mercado de superar a X (el precio de eercicio, por lo que los riesgos para el vendedor son mayores, por lo ano aumena el valor inrínseco de la opción. 6. Precio de Eercicio X ( Por úlimo, oro facor imporane que inerviene en el valor de la opción es el precio de eercicio. Cuando el precio de eercicio es menor, el valor de la opción Call aumenará, lo conrario ocurre con las opciones Pu. Como vemos, el valor o prima de una opción de compra (Call depende de seis facores principales:,r,d,x,, ( f V c σ con las siguienes relaciones, < > > > < > D V ; r V ; V ; V ; X V ; V c c c c c c δ δ δ δ δσ δ δ δ δ δ δ δ Las relaciones para una opción de vena son: > < > > > < D V ; r V ; V ; V ; X V ; V c c c c c c δ δ δ δ δσ δ δ δ δ δ δ δ 7

12 .4 Opciones de compra (call opions Puno de Visa del Comprador upongamos que un inversor adquiere una opción de compra (call sobre una acción de una empresa. Al adquirirla ese se beneficia de un aumeno en el precio del acivo subyacene sin haberlo comprado. Por eemplo, un inversor al adquirir una opción de compra sobre una acción de Repsol con un precio de eercicio de peseas. EL precio de mercado de dicha opción en ese momeno es de 5 peseas. El poseedor de la opción de compra sobre Repsol que iene una posición larga en opciones y una cora en acciones, podrá decidir si eerce o no la opción. La cual eercerá cuando la coización supere el precio de eercicio. i llegada la fecha de vencimieno de la opción y el precio de eercicio sigue siendo superior a la coización la opción no será eercida. i la opción no se eerce la pérdida máxima será de 5 peseas. La máxima pérdida de la esraegia consisene en adquirir una opción de compra, queda limiada al pago de la prima ( V c. Mienras que el beneficio puede ser ilimiado, en eoría. Ese se calculará resándole al precio de mercado el precio de eercicio en la fecha de vencimieno y la prima. [ X ] V ( máx. Véase la figura ; c 8

13 Beneficio 45 [ X ] + V c X X + V c V c 5 Coización ( Perdida Figura Gráfica del Perfil del beneficio sobre una call. Las diferencias básicas enre eercer o no la opción de compra de la acción son: i El desembolso inicial requerido de la inversión, a ravés de la compra de opciones, es inferior al de la compra de acciones. ii iii El riesgo en érminos monearios absoluos es más pequeño en el caso de la opción. El porcenae de ganancia o pérdida, dado por el rendimieno del periodo es mayor en el caso de la opción de compra que en el de la adquisición de la acción. Por lo que la inversión en opciones es más arriesgada que si fuese direcamene en el acivo subyacene. Puno de visa del emisor El inversor que emie una opción de compra espera que la coización de la acción subyacene se va a manener esable, o enderá a la baa, durane los próximos meses. u único beneficio es el valor de la prima. 9

14 El emisor de una opción de compra se encuenra en una posición cora en opciones, y puede esar en una posición larga o cora en acciones, según, disponga o no de ellas. i posee la acción subyacene y es reclamada por el propieario de la opción, endrá que enregarla. Pero si no la posee(posición cora deberá adquirirla en el mercado y venderla a un precio inferior al comprador de la opción; cuando se emie una opción de compra sin esar respaldada por el acivo subyacene se denomina opción de compra al descubiero (naked call opion. El emisor de una call (wrier no puede deerminar si será eercida o no. El recibe una prima que meora su rendimieno. Como se puede apreciar en la figura, la máxima ganancia del emisor vendrá dada por la prima de la opción ( V c. Mienras que la pérdida dependerá de la diferencia enre el precio de mercado el día de su vencimieno y el precio de eercicio ( máx[ X ;] siempre que dicha diferencia no sea negaiva, pues si V c así fuese, se omaría un valor nulo, dado que el beneficio máximo para el emisor de la opción es el valor de la prima.

15 Beneficio V c 5 X X + V c 9 5 [ X + Vc ] 5 Coización ( 45 Perdida Figura Gráfica del Perfil del beneficio sobre una Call (Puno de visa del emisor..5 opciones de vena (pu opions Puno de visa del comprador Cuando se espera una baa en los precios de las acciones, la adquisición de una opción de vena (pu puede aporar ingresos con un riesgo limiado. La compra de dicha opción asegura conra una caída inesperada de los precios de las acciones, aunque puede ser uilizada con fines especulaivos, como puede ser la obención de ingresos con un mercado a la baa. La máxima pérdida para el comprador de la opción de vena vendrá deerminada por el coso de la misma. Los resulados de su posición irán meorando cuando más descienda el precio de mercado de la acción subyacene ( V p ( máx[ X ] V ;, hasa llegar a la máxima ganancia que se obiene cuando la coización sea nula (E. Vea la figura 3. p V p

16 Beneficio 96 6 [ ] X + V p X + V p X V p Coización ( Perdida Figura 3 Gráfica del resulado sobre una opción pu(según el comprador. Puno de visa del emisor El emisor de una opción de vena cree que la endencia del precio de la acción subyacene será neura o ligeramene alcisa y la emisor de ese ipo de opción ofrece la oporunidad de obener un ingreso en forma de prima. La máxima ganancia para el vendedor de la opción de vena vendrá deerminada por el coso de la misma ( V p. Y los resulados de su posición empeoraran conforme descienda el precio de mercado de la acción subyacene ( máx[ X ] ;, hasa llegar a la máxima pérdida que se obendrá en el caso V p de que la coización sea nula. Vea la figura 4.

17 Beneficio V p 4 X + V p X [ ] X + V p Coización ( 96 Perdida Figura 4 Gráfica del resulado sobre una opción Pu (según el emisor. En la figura 5, observamos que cuando se espera un fuere ascenso del valor del acivo subyacene se beben adquirir opciones de compra y si lo que se espera es un fuere descenso del acivo se deberían adquirir opciones de vena. i El valor del acivo subyacene permanece esable o ligeramene a la baa, se venderán opciones de compra; y si hay una ligera alza se venden opciones de vena. 3

18 Comprar CALL Expecaivas sobre el precio del acivo subyacene. Vender PUT Vender CALL Tiempo Comprar PUT Figura 5.6 ensibilidad del precio de una opción Cieras variables exógenas afecan el precio de las opciones, por lo que debemos analizarlas con coeficienes represenaivos de dichas relaciones, los cuales nos permiirán esablecer una coberura de riesgo en careras con opciones. Coeficiene Dela Ese coeficiene se define como la variación producida en el precio de la opción por unidad de cambio en el precio de la acción subyacene. El coeficiene dela en su forma discrea se expresa como Δ precio de la opción Dela Δ precio de la acción Δv Δs y en forma coninua, V c Vp Δ c N( d Δ p N( d V c 4

19 Las delas (conocidas ambién cono raios de coberura indican el número de acciones necesario para cubrir una posición en opciones. i medimos el porcenae de variación del precio de la opción, cuando el precio del acivo subyacene varía un %, obenemos la elasicidad de la misma, Elasicidad Vc Vc La elasicidad es una medida del apalancamieno obenido con una opción. Con relación a la elasicidad surge el concepo de bea de la opción, que es una medida del riesgo. Maemáicamene se expresa de la siguiene manera: β de la opción β de la acción Elasicidad de la opción Coeficiene GAMMA La gamma de una opción mide la asa de cambio de la dela cuando el precio de la acción varía una unidad. En forma maemáica se define como: ΔDela Gamma γ Δ. d 5 e V c N' ( d π σ σ Ese coeficiene se ve afecado ano por la volailidad como por el plazo hasa el vencimieno de la opción. Coeficiene THETA abemos que el precio de la opción depende direcamene del iempo que resa para el vencimieno de la misma. Cuano más iempo le quede más vale, así que 5

20 la prima de la opción descenderá con el paso del iempo debido a la proximidad de su fecha de vencimieno. El Coeficiene Thea es una medida del deerioro emporal, pues nos muesra la variación en el precio de una opción como consecuencia de una variación en el iempo que resa para su vencimieno. e define maemáicamene como, ΔV Thea c ΔT θ Vc T σ N' ( d Xe rt + rn( d Coeficiene RHO Ese coeficiene indica la sensibilidad del precio de la opción debida a los cambios del ipo de inerés libre de riesgo. Rho es posiivo para opciones sobre acciones, mienras que es negaivo para oro ipo de acivos como es el caso de las opciones sobre fuuros. Calculamos rho obeniendo la derivada parcial del precio de la opción con relación al ipo de inerés: ΔV Rho c ρ Δr Vc r TXe rt N( d Coeficiene VEGA El coeficiene vega (ambién denominado como kappa u omega,indica el cambio en el precio de una opción con respeco a una variación producida en la volailidad de la acción. La vega la expresamos maemáicamene de la forma que sigue ΔV V Vega c υ c Δσ σ T N' ( d e dice que un inversor iene una posición larga en volailidad cuando iene una posición vega posiiva, pues si la volailidad de la acción aumena, lo hará el valor de su posición. Y endrá una posición cora cuando el valor del coeficiene es negaivo. 6

21 . Concepos básicos de probabilidad Esperanza Condicional y varianza condicional, Teorema Cenral de Límie, Ley de los grandes números Esperanza Condicional y varianza condicional. i X y Y son variables aleaorias conunamene discreas, definimos E [ X l Y y] xp{ X x l Y y} x x xp { X x, Y y} { y} La esperanza condicional de X dado que Y y, se define como anes, como un promedio ponderado de odos los valores posibles de X, pero el peso dado al valor x es igual a la probabilidad condicional de que X sea igual a x dado que Y es igual a y. De manera similar, si X y Y son conunamene coninuas con una función de densidad conuna f ( x, y, definimos la esperanza condicional de X, dado que P Y Y y, como E [ X Y y] ( x, y ( x, y xf dx l. f dx ea F [ X l Y ] la función de la variable aleaoria Y cuyo valor en Y y es E [ X l Y y] ; observe que E [ X l Y ] es en sí una variable aleaoria. La siguiene proposición es basane úil. Proposición. [ E[ X Y ] E[ X ] E l (3 i Y es una variable aleaoria discrea, enonces la ecuación (3, esablece que E [ X ] E[ X l Y y] P{ Y y} y 7

22 mienras que si Y es coninua con densidad g, enonces (3 esablece que [ X ] E[ X l Y y] E g( y dy A coninuación se mosrará la demosración de la proposición anerior cuando X y Y son discreas: E [ X l Y y] P{ Y y} xp{ X x l Y y} P{ Y y} y y x y x P y x E x x xp [ X ] xp { X x l Y y} { X x l Y y} { X x} También podemos definir la varianza condicional de X, dado el valor de Y, como sigue: Var ( X l Y E[ ( X E[ X l Y ] l Y ] Es decir, Var ( X l Y es una función de Y, que en Y y es igual a la varianza de X dado que Y y. Mediane el mismo razonamieno que nos conduo a la idenidad [ X ] ( Var ( X E E[ X ] enemos que Var ( X l Y E[ X ] l Y E[ X l Y ] ( Al calcular las esperanzas de ambos lados de la ecuación enemos [ ] ] [ ( X l Y ] E[ E[ X l Y ] E ( E[ X l Y ] E X E ( E X l Y E Var [ [ ] [ ] (4 Además, como E [ E[ X l Y ] E[ X ] Var, enemos que [ ] E[ X ] ( E[ X Y ] E ( E[ X l Y ] ( l (5 Al sumar las ecuaciones (4 y (5, obenemos la siguiene idenidad, conocida como la fórmula de la varianza condicional. 8

23 La fórmula de la varianza condicional Var ( X E Var [ ( X l Y ] + Var( E[ X l Y ] Teorema cenral del límie. i las variables aleaorias X,..., X n consiuyen una muesra aleaoria de amaño n de una disribución con media μ y varianza σ ( < σ <, y n X + X X n, enonces para cualquier número fio x, x ( / n μ Φ n lím P x ( x e d n σ n π Ley de los grandes números. i X, X,... son variables aleaorias independienes idénicamene disribuidas (IID con esperanza finia μ, y n X + X Xn, enonces n / n μ ; P lím n n n μ. 9

24 CAPITULO MOVIMIENTO BROWNIANO Y LA INTEGRAL ETOCÁTICA. Movimieno browniano Definición de un proceso del movimieno browniano. Un proceso esocásico { } se llama un proceso de movimieno browniano si W iene las siguienes propiedades: a W con probabilidad b La disribución de W es normal con media cero y varianza, para oda. c Todos los incremenos Δ W : W W sobre inervalos que no se raslapan son +Δ independienes: es decir, los desplazamienos W W y W W son 4 3 independienes para odo < <. 3 4 d W depende coninuamene de. Definición de un movimieno browniano geomérico. Un proceso esocásico { } se llama un proceso de movimieno browniano geomérico con parámero de endencia μ y parámero de volailidad σ si para odos los valores no negaivos de y y, la variable aleaoria + y y es

25 independiene de u para odo u y y además la variable aleaoria log es una variable aleaoria normal con media μ y varianza σ. Un movimieno browniano geomérico se puede obener como l{imie de modelos más simples que son los de caminaa aleaoria que definimos a coninuación. + y y. El movimieno browniano geomérico como límie de modelos más simples ea Δ un incremeno pequeño en el iempo y supongamos que cada Δ unidades de iempo la variable aleaoria crece por un facor u con probabilidad p o bien decrece por un facor d con probabilidad p, donde σ u e, d e Δ σ Δ μ p + Δ. σ Es decir, esamos suponiendo que cambia sólo en los valores de que son múliplos eneros de Δ ; en esos valores, crece por el facor u o decrece por el facor d. i omamos Δ más y más pequeño, de modo que los cambios ocurren más y más frecuenemene (aunque los facores se acercan más y más a uno la colección se aproxima a un movimieno browniano geomérico. Como consecuencia el movimieno browniano geomérico se puede aproximar por un proceso relaivamene simple que aumena o disminuye por facores fios en punos de espaciados regularmene. Verifiquemos que el modelo anerior iende al movimieno browniano geomérico cuando Δ iende a cero. ea Y igual a uno si sube para el valor de igual a i iδ, y sea cero si baa. El número de veces que sube en los primeros n

26 incremenos es n i Y se puede escribir como i y el número de veces que baa es n n Yi. Por lo ano n i Δ o, i escribimos n / Δ nδ n n Yi n Yi i i u d nδ n Yi n u i d. d la ecuación anerior se puede expresar en la forma Tomando logarimos obenemos n Yi / u Δ i d d. u log log( d + log Δ d / Δ σ + σ Δ Yi Δ donde en ( se han usado las definiciones de u y d. Ahora cuando Δ iende a i / Δ i Y i ( cero hay más y más érminos en la suma / Δ Yi. Por el eorema cenral del límie, i esa suma se aproxima a la normal, lo cual por ( implica que una variable normal. Además de ( obenemos lo g iende a / Δ σ E log + σ Δ E i Δ i σ + σ Δ p Δ Δ σ σ μ + + Δ Δ Δ σ μ ( Y

27 Además, la ecuación ( da que: porque para Var Δ pequeño p /. Δ p p σ, / Δ log 4 σ Var( Yi i 4 σ ( Así vemos que cuando Δ se hace pequeño, log (y por el mismo razonamieno log + y y iende a la variable aleaoria con media σ. Además, debido a que los cambios sucesivos en μ y varianza son independienes y cada uno iene la misma probabilidad de aumenar, se sigue que / + y y es independiene de los cambios en para odo y. Por lo ano cuando Δ iende a cero, se cumplen las condiciones para un movimieno browniano geomérico, lo cual demuesra que el modelo en efeco iende a un movimieno browniano geomérico..3 La inegral esocásica La eoría del cálculo esocásico comienza con Iô. El primer paso en el cálculo esocásico es la inegración. e necesia darle senido a I ( ρ( s db( s, o donde B es un movimieno browniano y ρ es un proceso esocásico cuyo valor al insane s depende sólo de los valores del movimieno browniano hasa el insane s. El problema es que las rayecorias de B no son de variación acoada. in embargo ienen variación cuadráica finia, y eso permie la siguiene consrucción. e oma una parición del inervalo [,] por punos (... k y aproximamos ( por la suma 3

28 k ρ ( ( B( B(. En la suma de (3 es imporane que el inegrando ( izquierdo del inervalo [, ] (3 ρ se evalúe en el exremo sobre el que se oman los incremenos. i ρ fuera un porafolio y B el precio de una acción, eso corresponde a escoger el porafolio anes de ver el incremeno en el precio de la acción. Con esa resricción sobre la forma de las sumas aproximanes se puede demosrar que conforme la parición se hace más fina, las sumas aproximanes convergen en media cuadráica a una variable aleaoria que denoamos por ρ( s db( s. o Las inegrales esocásicas de la forma ( se pueden considerar como procesos esocásicos como funciones del límie superior de inegración. Esas inegrales esocásicas ienen la propiedad de maringala porque el inegrando ( suma (3 se escoge de manera que no dependa del incremeno ( B( ρ en la B que lo muliplica. Condicionando a la información disponible al insane, ese incremeno iene media condicional cero. Una consecuencia imporane de la propiedad de maringala para la inegral esocásica I ( es que E o ρ ( s db( s. (4.4 Fórmula de Iô La Fórmula de Iô es la regla de la cadena para Procesos esocásicos. Ahora veamos la fórmula de Iô para una función del iempo de res variables reales f (,x,y, con sus derivadas parciales f, fx y f y y sus segundas derivadas parciales denoadas por fxy, f yy y f xx. Y de dos procesos esocásicos X( y Y(, la fórmula general es aparene a parir de ese caso. Considerando lo anerior, la fórmula de Iô es 4

29 df (,X(,Y( f (,X(,Y( d + fx(,x(,y( + f (,X(,Y( y fxy fxx (,X(,Y( (,X(,Y( f yy dx( dy( dx( dx( dx( dy( (,X(,Y( dy( dy( Ese resulado se obiene fiando primeramene < <... < k del inervalo [,], y de (5 >, omando la parición f k (,X(,Y( f (,X(,Y( [ f (,X(,Y( f (,X(,Y( ] Usando la erie de Taylor de la diferencia f (,X (,Y( f (,X(,Y(, pasamos al límie conforme la parición se hace más fina, llegando así a la fórmula de Iô. El érmino dx( Y( de ( resula al pasar al límie en el érmino k ( X( X(, el érmino dx( Y( resula al pasar el límie en el érmino k ( X( X( ( Y( Y(, por úlimo dy( Y( resula del límie del érmino ( Y( Y( k. Cuando los procesos X y Y se pueden escribir como inegrales, los érminos como dx( Y( ienen fórmulas más sencillas. upongamos X( X( + μ ( s ds + ( ρ s db( s (6 5

30 Y( Y( + μ ( s ds + ( s db( s ρ (7 de ese modo dx ( μ ( d + ρ ( db(, (8 dy ( μ ( d + ρ ( db(, (9 dx ( dx ( ρ ( d, ( dxdy ( ( ρ ( dρ ( d, ( dydy ( ( ρ ( d, ( Aquí no se esán definiendo érminos como dx( Y(, ni el érmino ( df,x (,Y(. Esos érminos sólo ienen significado cuando inegramos (5 y el lado izquierdo queda en la su forma f (,X (,Y( f (,X(,Y( y el lado derecho queda como una suma de inegrales de Lebesgue y de Iô, obenidas al susiuir (8 y (. 6

31 CAPITULO 3 EL MODELO BINOMIAL PARA LA VALUACIÓN DE OPCIONE Y LA FÓRMULA DE BLACK CHOLE 3. Modelo de un período Consideremos una opción europea de ipo call sobre un acivo financiero cuyo precio sigue un movimieno browniano geomérico. ea el valor inicial conocido del acivo. ea f el valor de la opción al iempo inicial, el cual queremos deerminar. uponemos que la opción iene un iempo de vencimieno T que su precio de eercicio es X y que durane la vida de la opción el precio del acivo puede subir a parir de hasa el nivel u o puede baar de hasa d donde u > y d <. i el precio del acivo sube a u el valor de la opción en T f es T f T f u máx( u X,; si el precio del acivo baa a d el valo r de la opción es f T f máx( d X,. d Consideremos un porafolio formado por Δ unidades del acivo y la vena en coro (o sea la vena de una opción que endremos que redimir a su vencimieno de una opción. El valor de Δ que hace que el porafolio no enga riesgo esá dado por: fu fd Δ. ud ( Un porafolio sin riesgo debe ener una ganancia dada por la asa de inerés libre rt d e riesgo. El valor presene del porafolio es ( uδ f e. El coso de formar el r rt porafolio es Δ f. e sigue que Δ f ( uδ fu e, de donde u usiuyendo f Δ( uδ f u rt e Δ de la ecuación ( resula que el valor de la opción esá dado por. 7

32 donde rt f e [ p f + p f ], ( u u d d p p u u rt e d, u d + p. d (3 3. Modelo de dos períodos Consideremos ahora un modelo binomial de dos pasos cada uno con una longiud d e T / años. El precio inicial del acivo es. Durane cada paso ese se mueve hacia arriba u veces su valor inicial o se mueve hacia abao d veces su valor inicial. Por eemplo después de dos movimienos hacia arriba el valor de la opción e s f T f máx( u,; upongamos que la asa de inerés libre de riesgo es uu opción es X r. Aplicando la fórmula (3. en cada período obenemos que el precio de la T r f e [ p f + p p f + p f (4 ]. u uu u d ud d dd Vemos que el precio de la opción es la ganancia esperada desconada usando las probabilidades de riesgo neuro y la asa de inerés libre de riesgo. Los parámeros u, d y p u en un modelo binomial para cualquier valor de T pe ríodos iguales, cada uno d e longiud δ se escogen de modo que se ome N en cuena la media y la varianza del acivo durane cualquier inervalo. Igualando las varianzas del acivo en el modelo discreo y en el modelo coninuo y omando en cuena la siguiene condición N 8

33 obenemos que, u d p u u e d e rδ e d, u d, σ δ σ δ cuando se ignoran érminos de orden supe rior a δ., (5 3.3 Modelo de N períodos Consideremos un modelo binomial (árbol con N pasos. Al insane inicial el recio del acivo es conocido; enemos una opción europea de ipo call con p precio de eercicio K y con valor f que queremos deerminar, y Nδ T es el iempo de vencimieno de la opción. Para evaluar la opción suponemos lo siguiene:. La ganancia esperada de los acivos considerados es la asa de inerés libre de riesgo.. Un fluo financiero en el fuuro se puede valuar desconando (o acualizando su valor esperado a la asa de inerés libre de riesgo. El modelo binomial que obenemos de esa forma represena los movimienos de precio del acivo de una forma llamada de riesgo neuro, o que no iene oporunidades de arbirae. i En el periodo iδ, i N hay i + valores posibles del acivo que son ud,, K, i. ea f i el valor de la opción en el nodo (, i donde i se refiere al 9

34 periodo iδ, ( i, K, N y es el nodo en el periodo iδ para, K, i (el número del nodo crece al subir en el árbol binomial. El precio del acivo en el nodo (, i es i ud. En el periodo de vencimieno enemos f N i máx( u d X,,, K, N. (6 Podemos como en el caso de dos periodos ir ahora hacia arás en el iempo (con decreciendo y obenemos i r δ f e [ p f + p f i N, N, K,,, K, i. i u i+, + d i +, ], (7 De e sa forma obenemos el v alor de la opción al insane inicial. Esa forma de ev aluar la opción es muy conveniene desde el puno de visa compuacional. Usando la fórmula anerior podemos expresar f en érminos de los valores de la opción al iempo de vencimieno en la forma siguiene: N Nrδ N N N Nrδ N N f e [ pu f N, N+ Npu pd fn. N + L + pd fn. ] e fn, Npu pd. (8 Veamos ahora ora forma de expresar el valor de la opción al insane cero. El N valor del acivo al periodo Nδ es N u d,,,k, N. Ese valor se Y N Y puede escribir en la forma u d, donde Y es una variable aleaoria N binomial con parámeros N y p. El valor de la opción en el periodo Nδ es f máx ( X, máx ( u Y d N Y X,. El valor acual de poseer la opción es T N f Nδ e f T y el valor esperado presene de la opción es e N N Y N [ f ] e E [ máx( u d. ] δ Y X δ E, p T p Por ano, como en los casos N, y N obenemos que el valor de la opción se puede escribir en la forma c f Nδ Y N Y [ f ] e E [ máx u d,.] Nδ e E p T p ( X (9 3

35 3.4 La Fórmula de Black-choles Consideremos una opción call con precio de eercicio X y iempo de eercicio.. Es decir, la opción nos permie comprar una unidad del bien subyacene en el iempo por el precio X. upongamos además que la asa nominal de inerés es r, compueso en forma coninua y que el precio del bien sigue un movimieno browniano geomérico con parámero de varianza σ. Bao esas hipóesis enconraremos el coso único de la opción que no da oporunidad de arbirae. Usamos que las primeras unidades de iempo de un movimieno browniano geomérico con parámero de varianza σ se puede aproximar por un proceso, que en los punos de iempo / n, / n, K, n/ n, o bien sube por un facor σ / n σ u e + σ / n+ ( n o bien baa por un facor σ / n σ d e σ / n +, ( n donde n es un enero posiivo grande, como consecuencia, vemos que las primeras unidades de iempo de cada movimieno browniano geomérico con parámero de varianza σ, sin imporar cual es el valor del oro parámero μ, se puede aproximar por un modelo binomial de n periodos cuyos facores hacia arriba y hacia abao esán dados por las ecuaciones ( y (. De la sección anerior sabemos que hay un único coso que no permie arbirae c para ese modelo de aproximación. El modelo de n periodos converge al movimieno browniano geomérico cuando la n crece. Usando en cada periodo la asa de inerés r / n, c será convergene al coso de no arbirae cuando la n iende a infinio. ean u y d dadas por ( y ( y sea Y una variable aleaoria binomial con parámeros n y p donde 3

36 + r / n d p u d r / n + σ / n σ / n σ / n r / n σ / n +. σ 4 e sigue de los resulados de la sección anerior que el precio único de no arbirae de la opción para el modelo de n periodos es donde n ( / Y ny ( ( C + r n E u d X + Y n u n ( + r / n E ( d X d n σ ny / σ n ( r / n E ( ( e e X / (, n W ( r n E ( e X + + ( W σ / ny σ n Como Y es una variable aleaoria binomial con parámeros n y p se sigue que, cuando n crece Y se aproxima a una variable aleaoria normal. De aquí obenemos que es una variable aleaoria normal. Además, como W E [ Y] np, [ ] σ [ ] EW / ney σ n/ ( σ / nnpσ n/ ( r σ ( p σ n / r / n σ / n σ n σ 4 /. Además, Var( Y np p y p / para n grande, así enemos que (3 3

37 ( σ Var( W / n Var( Y σ ( p 4 p σ. Como odas las aproximaciones son exacas cuando n (4 iende a infinio, de las ecuaciones ( (4 vemos que c, el coso único de la opción que no resula en oporunidad de arbirae cuando el precio del bien subyacene sigue un movimieno browniano geomérico con parámero de volailidad σ, es W ( r C e E ( e X +, Donde W es una variable aleaoria normal con media ( r σ / y varianza (5 σ, Usando las fórmulas para probabilidades normales se puede evaluar la expresión anerior para C para obener la siguiene fórmula, que se conoce como la fórmula de Black-choles para el precio de una opción r ( ω ( ω, C ( Φ Xe Φ σ (6 donde y donde Φ( x ( r + σ /log X / ( ω σ es la función de disribución de la normal esándar. 3.5 Valuación de una opción americana Como hemos mencionado aneriormene una opción americana se puede eercer en cualquier momeno anes de su fecha de vencimieno. En esa sección veremos como se esablece el precio de una opción de vena americana. upongamos que X r. 5 u. d. 9 p

38 La opción vence en Tiempo 3 Figura Árbol de precios de acciones. 34

39 Figura Árbol de valor de una opción de vena americana.9 V 7. Figura 3 ubárbol del árbol de opciones 35

40 Valor de la ieración.9 Valor del eercicio inmediao Máximo de enradas arriba 7. Figura 4 nodo Noación de valores alernaivos en cada Figura 5 Nodo compleado del árbol de la opción de vena Las probabilidades de precios de arbirae son: e q y q Por comodidad, reproducimos el árbol de precios de las acciones (figura. Como vemos (en la figura, sólo llenamos en la úlima columna, el valor del precio de la opción de vena. En la figura 3 vemos el subárbol de opciones. Para valuar opciones enemos dos alernaivas. Podemos eercer la opción ( o conservarle un periodo más ( 3. La esraegia será asignar valores a cada alernaiva y, luego, escoger el 36

41 máximo para V. Para regisrar los valores posibles y su máximo, uilizamos la anoación que se muesra en la figura.9.4, ese valor de ieración es Valor de la Ieración e. 5 [. 9( (. 436 ] 4. como podemos ver en figura 5. Noe que no desconamos el valor, 9, porque recibimos los fondos de inmediao. No hay iempo de espera. Los cálculos de ieración subsecuenes usando ese nodo se realizan por medio de la enrada del cuadro Máximo. En la figura 6 se muesra el árbol compleo que se obiene de la misma manera. En consecuencia, nuesra opción de vena vale hoy.74 dólares. i no fuera por el privilegio de eercicio premauro valdría considerablemene menos Figura 6 Árbol compleo para una opción de vena americana. 37

42 CAPÌTULO 4 EL MÉTODO DE MONTE CARLO 4. Inroducción La simulación por Mone Carlo es una herramiena compuacional imporane para las finanzas, pues, podemos evaluar un porafolio, el precio de opciones y esimar el valor del riesgo. El méodo Mone-Carlo fue bauizado así por su analogía con los uegos de rulea de los casinos, el más célebre de los cuales es el de Mone- Carlo, casino cuya consrucción fue propuesa en 856 por el príncipe Carlos III de Mónaco, inaugurado en 86. El méodo Mone-Carlo es un méodo numérico que permie resolver problemas físicos y maemáicos mediane la simulación de variables aleaorias. La imporancia acual del méodo Mone-Carlo se basa en la exisencia de problemas de difícil solución por méodos analíicos o numéricos, pero que dependen de facores aleaorios o se asocian a un modelo deerminísico; como el cálculo de inegrales de muchas variables, minimización de funciones, ec. Gracias a la velocidad de cómpuo en la acualidad, el cálculo de Mone-Carlo es sumamene uilizado para la solución de cieros problemas. En las Finanzas, podemos uilizar las simulaciones de Mone-Carlo para: enconrar el rango de resulados esperados represenado por una lisa de operaciones hisóricas; saber lo que nos espera en un fuuro, sabiendo las operaciones hisóricas; para conocer hasa donde puede caer nuesra inversión inicial; así como, saber la racha de operaciones posiivas y negaivas consecuivas que se pueden esperar; enre oras anas. 38

43 La simulación de Mone-Carlo nos permie ener información más precisa de los riesgos a los que esamos expuesos en una inversión, de las necesidades de capial, ec. Con el MMC se logra ener una visión más real de lo que podemos esperar. 4. Méodo de Mone Carlo upongamos que Y es una variable aleaoria, y queremos esimar el valor esperado, enonces θ E[ Y ] [ + ] como en el caso de una opción call europea C( s,t,k e rt E ( (T K upongamos que podemos generar valores de variables aleaorias independienes con la misma disribución de Y. Al generar un nuevo valor se complea una corrida. Enonces hacemos k corridas independienes de simulación, es decir, generamos los valores Y,Y,..., Y k. i denoamos por. Y k Y i k i al promedio ariméico de los valores generados, enonces por la Ley fuere de los grandes números, enemos que, k Yi k i E[ Y ] 39

44 casi seguramene cuando k, y se puede usar a Y como esimador de θ. u valor esperado y varianza esán dados como sigue: y k E Y i k i [ ] [ ] E Y Var [ ] [ Y ] Y Var k θ Por el eorema cenral del límie obenemos inervalos de confianza asinóicos. Al esimar E[ Y ] por Y y definimos enonces para k grande Y k ( Yi Y / ( k i, ( Y z ( / k,y z ( / k α / Y + α / Y es un inervalo de ( α % de confianza para [ Y ] E donde z α / es el cuanil de α / de la disribución normal esándar. Por lo que cuando k es grande, iende a ser un buen esimador de θ. Y Ese enfoque para esimar un valor esimado se conoce como simulación de Mone Carlo. La asa de convergencia de ( k / O se basa en que Y i es una sucesión de variables aleaorias independienes con la misma disribución, lo cual es aproximadamene correco si se generan variables aleaorias usando un generador de números pseudo aleaorios. 4

45 4.3 Inegración por el méodo de Mone Carlo i X, X,... son variables aleaorias independienes idénicamene disribuidas (IID con esperanza finia μ, y n X + X Xn, enonces por la ley de los grandes números, n / n μ ; P lím n n n μ. upongamos que las variables aleaorias X, X,... densidad de probabilidad f ( x. Definimos a G, ienen la misma función de G N gn ( Xn N n ( donde cada una de las gn puede ser una función diferene de las Xn. La esperanza de G es N N μ G n μgn( X ( N N n n [ ] E( g ( X E G i las X n son independienes, la varianza de G es ean odas las Var( G N N Var( n gn ( X g n g, enonces la esperanza de G queda como (3 4

46 N E ( G E( g( X E( g( X, (4 N n en ese caso, G es un esimador insesgado de Aquí, la varianza de G es, + E g( x f ( x dx (5 [ g( X ] Var N N i N i N ( G Var g( X Var( g( X n Var( g( X N (6 c onforme crece N (el amaño de muesra, la varianza de G decrece como / N. Todo eso nos lleva al méodo de Mone Carlo para evaluar inegrales; E + N g( X n N i [ g( X ] g( x f ( x dx E Es decir, se obiene una sucesión de variables aleaorias X n (7 con función de probabilidad f ( x, luego evaluamos g( Xn para cada X n. El promedio ariméico de los valores de g es un esimador de la inegral. Por la Ley fuere de los grandes números ese promedio converge al valor de la inegral, y la varianza del esimador decrece conforme el número de érminos va creciendo. Para el esimador G exise su media μ G y su varianza Var(G. La desigualdad de Chebyshev nos dice que / Var(G P G μg δ δ (8 Var( g( x para cualquier δ >. upongamos que δ / y usemos (6: Var( G N P ( G μ G Var( g N 4

47 Tomando N suficienemene grande podemos hacer que la varianza de G sea an pequeña como queramos. La probabilidad de obener una desviación grande relaiva a δ enre el esimador de la inegral y el valor verdadero, es muy pequeña. 4.4 Técnicas de reducción de varianza 4.4. Variables aniéicas La idea es inducir alguna correlación. Consideremos la idea de generar sucesiones de réplicas pares (, X i X, i,..., n : i X X,, X X,,...,..., X n X n Esas variables son independienes horizonalmene en el senido que X i y k i X son independienes si i ( X X / X + fia i X i y i i i, para cualquier y k. Los promedios por pareas i son independienes, y se puede consruir un inervalo de confianza basados en ellos. Pero no se pide independencia verical, porque para i X pueden ser independienes. i consruimos la media muesral Y con base a las X, enemos i ( X Var i ( Y [ Var( X + Var( X + Cov( X, X ] Var i i i i n 4n De aquí vemos que para reducir la varianza muesral, debemos de omar réplicas que esén negaivamene correlacionadas denro de cada parea, de modo que Cov ( X i, X i <. e puede inducir correlación negaiva si se usa la sucesión aleaoria { U k } para la primera réplica en cada parea, y luego { U k } en la segunda. Como las sucesiones de enrada esán negaivamene correlacionadas esperamos que las sucesiones de salida ambién lo esén. Ahora el inervalo de confianza es más pequeño y la esimación más confiable. Pero el méodo de variables aniéicas no siempre funciona. Cuando una simulación se usan variables aleaorias normales parea aniéica. Z i se pueden usar Z i para la 43

48 4.4. Reducción de varianza mediane variables de conrol Consideremos una siuación general en la que se quiere calcular θ E[ Y ] upongamos que se iene una variable aleaoria V cuya media es μ v E(V se conoce. En lugar de usar el valor de Y como el esimador, podemos usar uno de la forma ( V Y + c μ, donde c es una consane por especificarse Enonces E( Y c( V μ θ V + V meor esimador de ese ipo se obiene escogiendo c de modo que se minimice Var ( Y c( V μ +. e iene V ( Y c( V Var( Y + c Var( V ccov( Y, V. El Var + μ V + (9 Derivando (9 con respeco a Var ( Y c( V μ + es V c, obenemos que el valor de c que minimiza c Cov( Y, Var( V * V usiuyendo ese valor en (9 y dividiendo enre Var(Y se obiene Var * ( Y + c V μ Var(Y donde ( V Corr ( Y, V Corr ( Y, V Cov( Y, V Var( Y Var( V es el coeficiene de correlación enre Y y V. Por ano, la reducción de varianza obenida usando la variable de conrol V es Corr ( Y, V %. El valor de c * se puede esimar mediane * ς k Y i i k ( Y ( Vi V i 44

49 y ese valor da el siguiene esimador de θ mediane simulación k * ( Y + ( V i V k i ς. Veamos como usar variables de conrol al simular opciones asiáicas. upongamos que la ganancia de la opción es máx N N i ( X, i donde la opción madura en T años, i iδ y δ T / N. e iene que la ganancia esá posiivamene correlacionada con V N i ( i Usamos V como variable de conrol. Así, enemos que N N r ( N + δ riδ ( ( e ( rδ i i e ( E( iδ E V e Muesreo esraificado upongamos que nosoros esamos ineresados en esimar depende de una variable aleaoria Y E[ X ] omando valores finios de y que p robabilidades conocidas. Enonces, Y iene una disribución de probabilidad discrea con una función de probabilidad masa conocida: Usando condicionales, enemos que P { Y y } p m E i,..., m [ X ] E[ X Y ] l y i p. X y i con 45

50 Aquí, nosoros seleccionamos el valor de Y y enonces X, dado que Y ; ese eveno es un esrao. En la reducción de varianza condicionada, se iene Y, no X. y En resumen, i queremos esimar E [ X ] en una siuación en la que X depende de una variable aleaoria que oma alguno de los valores,..., k con probabilidades conocidas, enonces la écnica de esraificación de las eecuciones de simulación en k grupos, donde el i ésimo grupo saisface i, donde X i es el valor promedio de X en las eecuciones ales que i, para luego esimar k k E[ X ] i E[ X l i] P{ i} mediane i X, P{ i}, se llama muesreo esraificado. Es ineresane noar que la demosración de que el muesreo esraificado conduce a una reducción de varianza se vale de la fórmula de varianza condicional para afirmar que Var ( X E[ Var( X l Y ] mienras que la demosración de que el condicionamieno siempre reduce la varianza de un esimador uiliza la fórmula de varianza condicional, Var ( X Var( E[ X l Y ] Como ora ilusración del muesreo esraificado, suponga que queremos realizar n eecuciones de simulación para esimar θ E [ h U ] ( h( x dx 46

51 i hacemos si U <,,..., n n n enonces θ n n n E n E h [ h( U l ] [ ( U ] donde U es uniforme en (( / n, / n. Así, más que generar U i,..., U n y luego emplear uilizando n h( U / n para esimar θ, obenemos un meor esimador n U + θ h n n Muesreo por imporancia Oro méodo de reducción de varianza, es el muesreo por imporancia, el cual esá basado en la idea de disorsión de la probabilidad fundamenal de la medida. ea X ( X,..., X n un vecor de variable aleaorias con una función de densidad conuna (o función de masa conuna en el caso discreo f x f ( x,..., suponga que esamos ineresados en esimar ( x n, y [ h( X ] θ E h( x f ( x dx 47

52 donde lo anerior es una inegral n - dimensional (si las X i son discreas, la inegral se inerprea como una suma con n índices. uponga que una simulación direca del vecor aleaorio X valores de, así como el calculo de h(x, es ineficaz, pues es difícil simular un vecor aleaorio con función de dens idad f ( x, o la varianza de h(x es grande, o una combinación de ambas. Ora forma en la cual se puede uilizar la simulación para esimar θ es observar h( x f ( x que si es ora densidad de probabilidad al que f ( x siempre que g( x g ( x, enonces podemos expresar θ como h( x f ( x θ g( x dx g( x h( X f ( X E g g( X ( d onde hemos escrio Eg para desacar que el vecor aleaorio X iene densidad conuna g (x. La ecuación ( implica que θ se puede esimar mediane la generación sucesiva de valores de un vecor aleaorio X con función de densidad g(x y luego uilizar como esimador el promedio de los valores de h ( X f ( X / g( X. i se puede elegir una función de densidad g (x de modo que la variable aleaoria h( X f ( X / g( X enga una varianza pequeña, enonces ese méodo, conocido como muesreo de imporancia, puede producir un esimador eficiene de θ. 48