4 Identificación mediante mínimos cuadrados

Transcripción

1 CAPÍTULO 4 4 Idetificació mediate míimos cuadrados E este capítulo describe el uso del método de los míimos cuadrados para la determiació de los parámetros del modelo de circuito del motor de iducció. Posteriormete, se aplicará el algoritmo a u cierto úmero de motores para comprobar su comportamieto y poder verificar su capacidad de ecotrar el cojuto de parámetros óptimo para motores de diferetes características. Como se cometó e el capítulo aterior, los algoritmos para resolver u sistema de ecuacioes o lieal mediate míimos cuadrados preseta ciertos problemas e la localizació del óptimo global y de covergecia cuado la solució iicial proporcioada se ecuetra lejos de la solució óptima. Si embargo es el método que tradicioalmete se ha utilizado para este propósito [5], [15]-[18]. 4.1 Determiació de los parámetros del modelo de circuito del motor de iducció El problema de la determiació de los parámetros de u modelo de circuito del motor de iducció puede resolverse de diferetes formas. Por ua parte, es posible la determiació de los parámetros del modelo de circuito mediate esayos sobre la máquia e estudio. Como ya se ha cometado, esto requiere de persoal cualificado, istrumetos especiales y teer la máquia fuera de fucioamieto durate el esayo. Por tato, o es u método viable e muchos casos. Por ello, a meudo se ecesita u método que haga uso de la iformació que puede ser obteida de otras fuetes como puede ser la placa de características o u catálogo del fabricate del motor. Esta última fuete de iformació proporcioa datos sobre las características de los motores e los putos más importates de su fucioamieto como so el arraque, el puto de par máximo y el puto de par omial. Utilizado esta iformació es posible modelar u circuito que reproduzca las características del motor. Para ello se hace uso de las ecuacioes eléctricas del motor de iducció para calcular las mismas magitudes que proporcioa el catálogo y poder extraer los parámetros que hace que la

2 CAPÍTULO 4. Idetificació mediate míimos cuadrados 33 diferecia etre las magitudes del catálogo y las calculadas sea la meor posible. Depediedo de la iformació proporcioada por el catálogo y del modelo de circuito utilizado, el sistema de ecuacioes a resolver será más o meos complicado. Además de los catálogos dispoibles, otra fuete de iformació puede ser la placa de características del motor. Por orma [19], todas las máquias debe estar provistas de ua o varias placas de características, (Figura 4.1 y Figura 4.2). Las placas debe ser realizadas co materiales duraderos y teer ua posició segura. La o las placas de características debe fijarse preferetemete sobre la carcasa de la máquia y, estar situadas de forma que sea fácilmete legibles e la posició de utilizació determiada por la forma de costrucció y la disposició de motaje de la máquia. Figura 4.1: Placa de características de u motor tipo NEMA Figura 4.2: Placa de características de u motor tipo IEC

3 CAPÍTULO 4. Idetificació mediate míimos cuadrados 34 Las máquias de iducció de potecias asigadas iguales superiores a 3 kw, (o kva), debe ser marcadas como míimo co la siguiete iformació: 1) Nombre o marca del fabricate. 2) Número de serie del fabricate, o marca de idetificació. 3) Año de fabricació. 4) El código del fabricate para la máquia. 5) Número de fases. 6) Norma aplicable para las características asigadas. 7) Grado de protecció proporcioada por el diseño global de las evolvetes de las máquias eléctricas rotativas, (código IP). 8) Clase térmica y límite de temperatura o de caletamieto. 9) Potecia asigada. 10) Tesió asigada. 11) Frecuecia asigada. 12) Itesidad asigada. 13) Velocidad asigada. 14) Factor de potecia asigado. 15) Temperatura máxima del aire ambiete si es diferete de 40º. 16) Altitud para la que ha sido diseñado (si es mayor de 1000 m). 17) Masa aproximada total de la máquia (si es superior a 30 kg) 18) Diagrama de coexió Si el fabricate proporcioa más iformacioes, o es ecesario que éstas se marque e la placa de características. El orde e el que aparece los datos e las placas o está ormalizado Modelo de circuito de jaula simple co parámetros ajustados co el deslizamieto Como se aalizó e el capítulo dos, el problema de la determiació de los parámetros del modelo de jaula simple co parámetros ajustados co el deslizamieto, (Figura 4.3), de u motor de iducció cosiste e la determiació de cico parámetros: (X 1, R 20, X 20, X m ) y las pérdidas fijas P cost. Estos parámetros se determiará a partir de los siguietes datos de catálogo: Potecia útil omial, Par máximo, M max Par de arraque, M arr P u Potecia activa omial cosumida, P i Potecia reactiva omial cosumida, Q i

4 CAPÍTULO 4. Idetificació mediate míimos cuadrados 35 Figura 4.3: Modelo de circuito de jaula simple co parámetros ajustados co el deslizamieto Los primeros tres datos está directamete especificados e el catálogo y los dos últimos puede ser fácilmete extraídos a partir del redimieto omial, (η ), y del factor de potecia omial, (cosφ ), que tambié está especificados e el catálogo. P i P u (4.1) Q P ta i i (4.2) E el puto omial, la itesidad estatórica, I, y el par itero desarrollado, M, puede expresarse como: I M P u 3V cos 60( Pu Pmec ) 2 (4.3) (4.4) Aquí, V es la tesió de líea omial y es la velocidad del motor e el puto omial, e revolucioes por miuto (rev./mi). Por lo tato, las cico variables idepedietes (X 1, R 20, X 20, X m y P cost ) puede determiarse a partir de los datos de catálogo ( P u, M max, M arr, P i, Q i ). Para ello es ecesario resolver el siguiete sistema de ecuacioes o lieales: ( ) f ( ) 0 1 x Pu Pu s ( ) f ( ) 0 2 x Pi Pi s ( ) f ( ) 0 3 x Qi Qi s f ( x) M M ( s ) 0 4 max max (4.5) (4.6) (4.7) (4.8)

5 CAPÍTULO 4. Idetificació mediate míimos cuadrados 36 f ( ) (1) 0 5 x M arr M (4.9) Este sistema puede escribirse de la forma F(x) = 0 siedo F = (f 1, f 2, f 3, f 4, f 5 ) T y x = (X 1, R 20, X 20, X m, P cost ) T. Como se explicó e el capítulo dos, para el cálculo de la resistecia estatórica, R 1, se ha utilizado: R1 rr 20 (4.10) Para la separació de pérdidas se ha cosiderado: PFe cpcost Pmec (1 c ) P cost (4.11) E las ecuacioes (4.10) y (4.11) se ha tomado α c = 1.5 y α r = 0.5. Diferetes valores de α r proporcioa distitos valores de R 1, y por tato, diferetes pérdidas e el estator. Esto se compesa e el valor de P cost. Altos valores de α r implica bajos valores de P cost. El uso de diferetes valores de α c, (0 < α c < 1), simplemete trasfiere ua parte de las pérdidas de u tipo a otra y por tato o tiee igú efecto sobre el resto de las características del motor. Se ha calculado los parámetros directamete e uidades del S.I.. No ha existido diferecias e los resultados de la idetificació etre el cálculo e uidades del S.I. y e por uidad, (o ormalizados), usado míimos cuadrados. Hay que resaltar que el fabricate suele proporcioar más iformació e el catálogo. Segú la formulació, los parámetros del circuito deberá ser tales que se miimice las diferecias etre los valores calculados del las magitudes y los valores dados por el catálogo, e cada ua de las ecuacioes. Si embargo, los datos que o ha sido usados e la formulació del problema y por tato o ha sido teidos e cueta para la determiació de los parámetros, presetará mayores errores. Por tato, la formulació del problema o la determiació de los parámetros del modelo de circuito de u motor depede del objetivo del estudio. E este proyecto se le ha dado prioridad a la característica par-velocidad ya que es ampliamete utilizada e el estudio del comportamieto del motor. La selecció de los valores iiciales es muy importate e todos los métodos iterativos, ya que codicioa tato el grado de covergecia como la velocidad de ejecució. La resistecia rotórica puede estimarse a partir de la potecia omial del motor, despreciado el cojuto de pérdidas fijas (pérdidas mecáicas y pérdidas e el hierro). Co ello: P (1 s ) P ( P P ) P P P (4.12) a mi Fe pmec mi cost u 3R P s I s P 20 2 a (1 ) 1(1 ) u s (4.13) R 20 sp u 2 3 I1(1 s) (4.14)

6 CAPÍTULO 4. Idetificació mediate míimos cuadrados 37 Los valores de las reactacias estatórica y rotórica puede obteerse a partir de la itesidad de arraque. Para ello basta despreciar el efecto de la rama de magetizació (Y m 0), cosiderar que los valores de las resistecias estatórica y rotórica so despreciables frete a sus respectivas reactacias (R 1 << X 1, R 20 << X 20 ) y que los valores de las ambas reactacias so aproximadamete iguales (X 1 X 20 ). I arr V1 V1 U1N V1 Z( s 1) R jx R jx R jx X X RB RB (4.15) La itesidad de arraque suele ser de etre 6 y 10 veces la itesidad omial, por tato, cosiderado el valor iferior: I arr V1 V1 X X X X X X X RB 1 20 RB 1 20 X 1 20 V 6I 1 1 6I 1 X RB V1 V I 12I 1 1 De igual forma, para las itesidades de arraque más elevadas resulta: I arr V1 V1 X X X X X X X RB 1 20 RB 1 20 X 1 20 E cosecuecia: V1 10I 1 10I 1 X RB V1 V I 20I V1 V1 X1 X20 12I 20I X 1 X V V V, I 12I I (4.16) (4.17) (4.18) (4.19) (4.20) (4.21) (4.22) (4.23) El valor de la reactacia de magetizació puede obteerse a partir del factor de la potecia reactiva absorbida e el puto omial: E( s) 2 3V 1 2 i 3 RB 1 3 RB 1 Xm Xm Q X I X I X 3V 3V 3V m Qi 3X RBI1 Qi 3( X1 X 20 ) I1 Qi 6X1I1 (4.24) (4.25)

7 CAPÍTULO 4. Idetificació mediate míimos cuadrados 38 El cojuto de pérdidas fijas puede estimarse a partir del redimieto: P u u 2 Pu Pp Pu ( PFe Ppmec 3 RRBI1 ) P (4.26) 1 1 P P P P 1 3R I P 1 3( R R ) I (4.27) 2 2 cost Fe pmec u RB 1 u Se podría hacer ahora ua separació de pérdidas cosiderado que las pérdidas e el hierro so iguales que las mecáicas: Pcost PFe P pmec (4.28) 2 Para evaluar el método propuesto de determiar los parámetros del modelo de circuito de u motor se ha calculado varias magitudes exteras del motor a través de su modelo de circuito y se ha comparado co los valores reales proporcioados por el fabricate, que se ha cosiderado como exactos. El error e los valores calculados se ha cosiderado como: error valor calculado valor real valor real Se defie el error rms para los casos estudiados como: error rms i 1 error 2 (4.29) (4.30) E este trabajo se ha aplicado dos métodos distitos para resolver el sistema de ecuacioes, (4.5)-(4.9), sistema de ecuacioes que, al o teer ua solució aalítica, debe resolverse de forma umérica por ordeador. Por ello los resultados obteidos so siempre aproximados. Otra fuete de error que hace imposible la determiació exacta de los parámetros es que los valores de las magitudes que aparece e los catálogos está afectados por uas toleracias. La orma UNE-EN [19] defie las características asigadas y las características de fucioamieto que debe reuir las máquias eléctricas rotativas. La Tabla 4.1 da la relació de toleracias sobre los valores declarados de las magitudes que debe teer los datos proporcioados por el fabricate, segú la citada orma. Tambié hay que teer e cueta que los datos del catálogo o correspode a ua máquia cocreta, sio a valores promedio, por lo que estos valores o so exactos.

8 CAPÍTULO 4. Idetificació mediate míimos cuadrados 39 Tabla 4.1: Relació de toleracias sobre los valores de las magitudes segú UNE-EN Puto Magitud Toleracia 1 Redimieto η Por suma de pérdidas: P N 150 kw o S N 150 kva -15% de (1 - η) P N > 150 kw o S N > 150 kva 2 Pérdidas totales (aplicable a las máquias de potecia asigada superior a 150 kw (o kva) 3 Factor de potecia, cosφ, para las máquias de iducció 4 Deslizamieto de los motores de iducció (a plea carga y a la temperatura de fucioamieto) P N < 1 kw -10% de (1 η) +10% de las pérdidas totales -1/6(1 - cosφ) Valor absoluto míimo 0,02 Valor absoluto máximo 0,07 ± 30% del deslizamieto garatizado P N 1 kw ± 20% del deslizamieto garatizado 5 Itesidad co rotor bloqueado de los motores de iducció co rotor de jaula, co cualquier dispositivo de arraque especificado 6 Par co rotor bloqueado de los motores de iducció de jaula 7 Par míimo durate el arraque de los motores de iducció de jaula + 20% de la itesidad garatizada +25% / -15% del par garatizado -15% del par garatizado 8 Par máximo de los motores de iducció -10% del par garatizado, pero co la reserva de que después de aplicar dicha toleracia, el par debe ser igual o superior a 1,6 ó 1,5 veces el par asigado 9 Mometo de iercia ± 20% del valor garatizado

9 CAPÍTULO 4. Idetificació mediate míimos cuadrados Modelo de circuito de doble jaula El problema de la determiació de los parámetros del modelo de doble jaula de u motor de iducció, (Figura 4.4), cosiste e la determiació de siete parámetros (R s, R 1, R 2, X m, X sd, X 1d, X 2d ) valiédose de las restriccioes de igualdad Rs krr 1 y X 2d kx X sd así como de las iecuacioes R k 0, X k 0, R2 R 1 y X1 d X 2d. El valor de s max será obteido resolviedo el problema de u modelo de circuito de jaula simple, ya que, como se cometó e el capítulo dos, el modelo de circuito de doble jaula o tiee ua expresió secilla para ese parámetro. La determiació de los parámetros del modelo de circuito de jaula simple es iteresate porque los valores calculados so u bue puto de partida para la determiació de los parámetros del modelo de circuito de doble jaula. Figura 4.4: Modelo de circuito de doble jaula La formulació del problema del modelo de circuito de jaula simple, (Figura 4.5), utiliza los siguietes datos de catálogo para la determiació de los cico parámetros (R s, R r, X m, X sd, X rd ): Potecia útil omial, P u Potecia reactiva omial cosumida, Par máximo, M max Q i

10 CAPÍTULO 4. Idetificació mediate míimos cuadrados 41 Figura 4.5: Modelo de circuito de jaula simple Para ello se resuelve el sistema de ecuacioes o lieales de la forma F(x) = 0: ( ) f ( ) 0 1 x Pu Pu s ( ) f ( ) 0 2 x Qi Qi s f ( x) M M ( s ) 0 3 max max dode F = (f 1, f 2, f 3 ) T y x = (R r, X m, X sd ) T, co las restriccioes de igualdad: (4.31) (4.32) (4.33) Rs krr r (4.34) X rd kx X sd (4.35) Estas restriccioes de igualdad so ecesarias ya que el modelo de circuito de jaula simple costa de cico parámetros de los cuales cuatro so idepedietes y además este modelo de jaula simple o reproduce de forma correcta el comportamieto del motor durate el arraque por lo que o debe usarse los datos del catálogo referetes a la itesidad de arraque y par de arraque. Geeralmete, se supoe X rd y X sd relacioadas mediate ua costate. R s es el parámetro que tiee meor ifluecia sobre las magitudes del motor por lo que tambié se le relacioa mediate ua costate co R r. E [17] se da alguos valores típicos de las costates k R y k X que ha sido usadas e este trabajo. E (4.34) y (4.35) se ha tomado k R = 1.5 y k X = 0.5. Como valores iiciales de R r, X sd y X m se ha utilizado (4.14), (4.18) y (4.25) respectivamete. La formulació del problema de doble jaula utiliza los siguietes datos de catálogo para la determiació de los siete parámetros R s, R 1, R 2, X m, X sd, X 1d, X 2d : Potecia útil omial, P u

11 CAPÍTULO 4. Idetificació mediate míimos cuadrados 42 Potecia reactiva omial cosumida, Par máximo, M max Par de arraque, M Itesidad estatórica de arraque, I 1arr arr Para ello se resuelve el sistema de ecuacioes o lieales de la forma F(x) = 0: ( ) f ( ) 0 1 x Pu Pu s ( ) f ( ) 0 2 x Qi Qi s f ( x) M M ( s ) 0 3 max max f ( x) I I (1) 0 4 1arr 1 f ( ) (1) 0 5 x M arr M Q i (4.36) (4.37) (4.38) (4.39) (4.40) dode F = (f 1, f 2, f 3, f 4, f 5 ) T y x = (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) T, co las restriccioes de igualdad R s = k R R 1 y X 2d = k X X sd. s max es el valor calculado ateriormete para el modelo de jaula simple. El flujo de dispersió de la jaula itera siempre es mayor que el de la jaula extera. Por tato, debe cumplirse que X 1d > X 2d. Cuado el motor arraca, (rotor bloqueado), la impedacia de la rama extera, (R 2 y X 2d ), prevalece sobre la impedacia de la jaula itera, (R 1 y X 1d ). Esto impoe la codició sobre la resistecia, R 2 > R 1, dode R 2 puede ser hasta diez veces R 1. Para icluir las iecuacioes R 2 > R 1 y X 1d > X 2d se hace el siguiete cambio de variables uido a x i > 0: x R x R R x x X X m sd x X X X k X 5 1d 2d 1d X sd R m sd x R x x X X x 3 x 4 X k x x 1d X 4 5 (4.41) Las codicioes x i > 0 se aplica utilizado como fució de etrada el valor absoluto de las variables F ( x, x, x, x, x ) 0 (4.42)

12 CAPÍTULO 4. Idetificació mediate míimos cuadrados 43 Los valores iiciales para la estimació de los parámetros del modelo de doble jaula so los valores estimados para el modelo de jaula simple, (R 1 = R r, X m y X sd ), más los valores iiciales para R 2 y X 1d : R 2 = 5R 1 y X 1d =1.2X sd. 4.2 Adquisició de datos Para validar el método, el algoritmo se ha probado e ua gra catidad de motores. E los catálogos de los fabricates figura gra catidad de iformació de motores que supoe miles de datos a procesar. Se ha buscado automatizar e cierta medida el proceso de cálculo haciedo que el programa calcule los parámetros de forma automática para todos los motores. Para ello, el programa adquiere los datos de ua hoja de Excel que previamete ha sido itroducidos a partir de los catálogos. Por dar u orde de magitud, uo de los catálogos utilizados coteía 20 características de cada uo de los 356 motores que coteía, lo que da u total de más de 7000 datos. Los catálogos utilizados para las pruebas se obtuviero de las págias web de los fabricates [3], [4]. Depediedo del modelo de circuito, se ha probado motores tato de alta como de baja tesió así como de tipo NEMA e IEC. La tesió omial de los motores aalizados va desde 400 V a 10 kv. La potecia varía desde 4 kw a 4000 kw (Figura 4.6). E total se ha probado más de 700 motores. Figura 4.6: Ragos de potecia de los motores examiados La mayoría de los fabricates ofrece sus catálogos e formato PDF (portable documet format), ideado para documetos susceptibles de ser impresos, ya que

13 CAPÍTULO 4. Idetificació mediate míimos cuadrados 44 especifica toda la iformació ecesaria para la presetació fial del documeto, determiado todos los detalles de cómo va a quedar, o requiriédose procesos ateriores de ajuste i de maquetació ( Figura 4.7 y Figura 4.8). Si embargo, este formato o permite ser leído por Matlab para poder utilizar los datos. Por tato, para el procesamieto de la iformació y su coversió al formato Excel, compatible co Matlab, se ha recurrido a u programa de recoocimieto óptico de caracteres (OCR) [20]. E geeral, este tipo de programas so aplicacioes dirigidas a la digitalizació de textos de documetos escaeados o de fotografías. Idetifica automáticamete símbolos o caracteres que perteece a u determiado alfabeto, a partir de ua image para almacearla e forma de datos co los que podremos iteractuar mediate u programa de edició de texto o similar. Ua vez que los datos se tiee e ua hoja de Excel se uiformiza el formato para permitir a Matlab recoocer los valores. Mediate la fució xlsread, icluida e el toolbox de Matlab [21], los datos e formato Excel so covertidos e ua matriz. La ordeació de datos por columas es importate ya que Matlab actúa sistemáticamete creado ua matriz e la que cada columa correspode a u parámetro distito. Los valores se almacea e ua matriz llamada DATOS que es la fuete de iformació del algoritmo. Figura 4.7: Fragmeto de catálogo de motores de iducció tipo NEMA

14 CAPÍTULO 4. Idetificació mediate míimos cuadrados Algoritmo Figura 4.8: Fragmeto de catálogo de motores de iducció tipo IEC E este trabajo los sistemas de ecuacioes o lieales F(x) = 0 ( , y ) se ha resuelto, e primer lugar, utilizado la herramieta fsolve proporcioada e el Optimizatio Toolbox de Matlab [21]. Esta herramieta utiliza u algoritmo basado e los míimos cuadrados que emplea los métodos de Newto-Gauss, de Leveberg-Marquardt o basados e la regió de cofiaza (Trust Regio Algorithm). Como puede observarse e la literatura [5], [15]-[18], los métodos basados e el método de Newto proporcioa resultados satisfactorios siempre que la solució de partida sea cercaa al óptimo. E caso de que la solució de partida o sea lo suficietemete cercaa al óptimo, el algoritmo puede coverger a ua solució icorrecta o icluso puede o coverger. La vetaja de los métodos basados e los míimos cuadrados es que si

15 CAPÍTULO 4. Idetificació mediate míimos cuadrados 46 el sistema de ecuacioes o tiee u cero, el método coverge a u puto dode el residuo es pequeño. El residuo, (ε), e el puto de covergecia puede cosiderarse como: La cofiguració usada fue la siguiete: i f (4.43) 2 i Algoritmo de Leveberg-Marquardt Criterios de parada: o Máximo úmero de iteracioes: 10 3 o Máximo úmero de evaluacioes de la fució: 10 4 o Toleracia: E la mayoría de los casos el algoritmo se detiee debido a que o es capaz de mejorar durate u úmero determiado de iteracioes debido, a su vez, a que ya se ha alcazado u error muy pequeño y es difícil seguir mejorado. E los casos e que el algoritmo o coverge, la parada se suele producir por haberse alcazado el úmero máximo de iteracioes permitido. Normalmete so ecesarias uas 20 iteracioes y si se llega a las 1000, (el límite fijado), es u idicador de que el algoritmo o ha sido capaz de coverger, o de que lo ha hecho a ua solució que está lejos de ser la óptima. El criterio de la toleracia se ha icluido co u valor muy elevado para que el algoritmo alcace la solució co la máxima precisió posible. A partir de u valor de 10-17, Matlab idetifica el úmero como u cero por lo que, de forma práctica, el límite estaría e ese valor. 4.4 Resultados El método de los míimos ha sido probado e motores de diferetes características utilizado los dos modelos de circuito propuestos. A cotiuació se aalizará su fucioamieto y resultados Modelo de circuito de jaula simple co parámetros ajustados co el deslizamieto Idetificado los parámetros de los motores de catálogos de motores de tipo NEMA e IEC de alta tesió, el método ha covergido e casi todos los casos. A pesar de que el ajuste empírico utilizado para el ajuste de los parámetros e fució del deslizamieto es adecuado para motores NEMA tipo B de alta tesió, el método fucioa tambié para la mayoría de los motores IEC de alta tesió ya que su costrucció es similar. Si embargo, el úmero de motores de baja tesió que el método o es capaz de idetificar correctamete es bastate mayor que el de motores de alta tesió. E los casos e los que el algoritmo coverge el máximo residuo fue de E alguos motores o se produjo la covergecia y alguos de sus parámetros resultaro egativos, lo que o es factible. Varias puede ser las razoes de la falta de covergecia e esos casos.

16 CAPÍTULO 4. Idetificació mediate míimos cuadrados 47 Como se cometó e el segudo capítulo, los datos del fabricate está sujetos a toleracias y además o se correspode co ua máquia e cocreto, sio que so valores medios que proviee de esayos que a su vez está sometidos a toleracias. Debido a esta razó, es posible que el algoritmo o sea capaz de cuadrar todos los datos co las ecuacioes. E los datos de los motores de baja tesió se permite mayores toleracias que e los de alta tesió, como muestra la Tabla 4.1, por lo que es más probable que pueda producirse ua mayor tasa de falta de covergecia o iveles más elevados de error e motores de baja tesió. Otra razó para los errores de covergecia es el método utilizado. Como se cometó ateriormete, los métodos basados e los míimos cuadrados so sesibles a la solució iicial proporcioada. Por ser sólo ua pequeña catidad los motores que o coverge, o se cosideraro represetativos y se elimiaro de la estimació para o desvirtuar al cojuto de los resultados. El error rms crece eormemete apeas uo de los motores presete u error elevado. Los parámetros obteidos por el algoritmo de míimos cuadrados se ha utilizado para calcular alguas magitudes exteras de los motores y así poder compararlas co las sumiistradas por el fabricate. La Tabla 4.2 muestra los errores rms de alguas magitudes. Hay que decir que esas magitudes se ha utilizado e la determiació de los parámetros lo que hace posible su correcta estimació. Los resultados de la Tabla 4.2 muestra que los errores de M arr, P u, η y cosφ so isigificates (del orde de ). Si embargo, el error e M max fue del orde de 10-2, lo que idica que (2.21) o represeta el valor real del par máximo y ecesita ser modificada. Tabla 4.2: Errores rms de alguas magitudes E el puto omial M arr M max P u η cos φ La Figura 4.9 muestra la distribució del error de M max respecto la potecia de los motores para el catálogo de motores de tipo NEMA utilizado, y puede apreciarse que el error es siempre positivo. Esto sugiere que los valores calculados so más altos que los correspodietes valores reales.

17 CAPÍTULO 4. Idetificació mediate míimos cuadrados 48 Figura 4.9: Distribució del error e fució de la potecia E la Figura 4.10 se muestra el par ormalizado (M/M ) frete al deslizamieto de u motor NEMA de 186 kw, 2.3 kv y 6 polos. La líea cotiua represeta la característica obteida cosiderado los parámetros del rotor depedietes del deslizamieto, segú (2.1) y (2.2), mietras que la líea discotiua represeta la característica obteida mateiedo los parámetros del rotor costates. La Figura 4.11 muestra e detalle la característica par-deslizamieto e las cercaías del puto de par máximo. Se aprecia que e ambos casos el motor tiee la misma característica de par para deslizamietos pequeños (s s max ) o a partir del puto a. El puto a represeta el puto de par máximo (s max, M max ) cuado los parámetros del rotor se matiee costates y e ese puto dm/ds = 0. Si embargo, cuado se permite a los parámetros variar a deslizamietos altos (s > s max ) segú (2.1) y (2.2), el valor de par máximo se obtiee e el puto b (deslizamieto s max ). E el puto de trasició (cuado los parámetros comieza a cambiar), la característica par-deslizamieto cambia su curso y su derivada (dm/ds) se icremeta repetiamete. Su derivada pasa por cero e el puto b. El par ormalizado e el puto a es 1.81 (Figura 4.11) y es exactamete el especificado por el fabricate. E este caso, el error e M max es la diferecia etre los pares ormalizados etre los putos a y b. Para miimizar el error e M max, es preciso revisar la ecuació (2.21) para represetar el par e el puto b.

18 CAPÍTULO 4. Idetificació mediate míimos cuadrados 49 Figura 4.10: Característica par ormalizado-deslizamieto Figura 4.11: Detalle de la característica par ormalizado-deslizamieto

19 CAPÍTULO 4. Idetificació mediate míimos cuadrados 50 De la Figura 4.12 se deduce que el error e M max depede de la desviació de s max de s max o de la relació s r = (s max / s max ). La Figura 4.13 muestra la distribució del error de M max e fució de s r de todos los motores, y se aprecia claramete que el error está relacioado casi liealmete co s r. Si embargo, el valor de s r o es coocido co aterioridad por lo que o es posible utilizarlo durate el proceso iterativo de fsolve. El parámetro que más relació guarda co s r resulta ser la relació X r = X 1 /X 20 como puede verse e la Figura La relació etre s r y X r puede ajustarse de la siguiete maera [5]: s a X a X s s s max r r r max max smax b X r b X r (4.44) Figura 4.12: Distribució del error de par máximo frete a deslizamieto relativo Usado ua técica de ajuste por míimos cuadrados, los valores de a y b resultaro ser a = y b = La líea cotiua mostrada e la Figura 4.13 se obtiee de (4.44) y muestra u excelete ajuste a los valores reales. Estos valores ateriores de a y b, se ha utilizado para todos los motores estudiados. s max es evaluada detro de la rutia fsolve a través de (4.44). La ecuació revisada del par máximo puede escribirse, (utilizado el equivalete Thévei, Figura 4.14), como:

20 CAPÍTULO 4. Idetificació mediate míimos cuadrados 51 2 P ( s ) 3 I ( s ) f ( s ) R a max 2 max r max 20 M( smax ) s dode: I ( s ) 2 2 max s s max V ( R f ( s ) R / s ) ( X f ( s ) X ) 2 th 2 2 th r max 20 max th x max 20 (4.45) (4.46) Figura 4.13: Relació etre s r y X r Figura 4.14: Equivalete Thévei

21 CAPÍTULO 4. Idetificació mediate míimos cuadrados 52 De este modo, la ecuació del par máximo resulta: f ( ) ( ) 0 6 x M max M smax (4.47) que represeta la codició revisada de par máximo y debe sustituir a la origial (4.8). Los parámetros de todos los motores se ha recalculado después de reemplazar (4.8) por (4.47) y el algoritmo coverge e todos los casos co u valor máximo de residuo de Ahora, los parámetros de todos los motores resulta positivos. Co la ecuació del par máximo corregida, el error rms e M max se reduce a , ua buea mejora frete al valor aterior de La distribució del error de M max se muestra e la Figura 4.15 y puede verse que el mayor error es meor de Los errores e las demás magitudes cotiúa siedo despreciables (del orde de ). Figura 4.15: Distribució del error e el par máximo usado la ecuació del par máximo corregida La Tabla 4.3 muestra los valores de los parámetros del circuito equivalete de alguos de los motores estudiados. El tiempo total utilizado por la rutia fsolve para el cálculo de los parámetros del modelo de circuito de los motores de tipo NEMA de alta tesió (356 motores) fue de 16.4 segudos y el tiempo total utilizado icluyedo la toma de datos y otros cálculos auxiliares fue de 19.7 segudos. El cálculo de los parámetros del modelo de circuito de cada motor

22 CAPÍTULO 4. Idetificació mediate míimos cuadrados 53 ecesitó, de media, segudos. El tiempo utilizado por este método es despreciable y puede cosiderarse prácticamete istatáeo siempre que el algoritmo coverge. Tabla 4.3: Parámetros y errores de alguos motores seleccioados Motor Tipo NEMA NEMA NEMA NEMA NEMA NEMA Potecia [kw] Tesió [V] Frecuecia [Hz] Nº Polos R 1 [Ω] R 1 [pu] X 1 [Ω] X 1 [pu] R 20 [Ω] R 20 [pu] X 20 [Ω] X 20 [pu] R Fe [Ω] R Fe [pu] X m [Ω] X m [pu] P cost [W] P cost [pu] Error M arr Error M max Error P u Error η Error cosφ Error I arr La Tabla 4.4 muestra la evolució del algoritmo iterativo para u motor. Aproximadamete ha sido ecesarias 20 iteracioes por térmio medio y uas 100 evaluacioes de la fució. El algoritmo coverge rápidamete adaptado el tamaño del paso e cada iteració. Para cada iteració se muestra el úmero de iteració, el úmero de evaluacioes de la fució objetivo, el residuo del puto actual etre otros datos. El dato de optimalidad de primer orde es ua medida de cómo de cerca está la solució del óptimo. Lambda es el térmio que determia la magitud y la direcció de búsqueda e el método de Leveberg-Marquardt. La orma del paso idica el tamaño del desplazamieto e ua iteració.

23 CAPÍTULO 4. Idetificació mediate míimos cuadrados 54 Tabla 4.4: Iteracioes del algoritmo Iteració Cotador Optimalidad de Residuo de fucioes primer orde Lambda Norma del paso E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E-13 E las figuras 4.16 a 4.20 se compara los valores de los parámetros obteidos, (x), frete a los valores iiciales de los parámetros, (x 0 ). Los putos idica el valor que ha tomado la solució calculada frete a la solució iicial para el cojuto de motores NEMA de alta tesió. La líea de color egro muestra la solució iicial que idealmete debería ser usada (x = x 0 ). La líea de color rojo preseta el ajuste lieal que existe etre los valores de la solució iicial y los calculados. Los ajustes de los diferetes parámetros ha sido: X 1 : x 0 = 0.17 x R 20 : x 0 = 0.70 x X 20 : x 0 = 0.21 x X m : x 0 = 1.73 x P cost : x 0 = 1.46 x 4179 Por tato, teiedo e cueta la proporció etre x y x 0 la solució iicial proporcioada podría mejorarse multiplicado x 0 por los siguietes factores: X 1 : x 0 = 5.8 x 0 R 20 : x 0 = 1.4 x 0 X 20 : x 0 = 4.8 x 0 X m : x 0 = 0.6 x 0 P cost : x 0 = 0.7 x 0

24 CAPÍTULO 4. Idetificació mediate míimos cuadrados 55 Figura 4.16: Relació etre los valores iiciales y los calculados del parámetro X 1 Figura 4.17: Relació etre los valores iiciales y los calculados del parámetro R 20

25 CAPÍTULO 4. Idetificació mediate míimos cuadrados 56 Figura 4.18: Relació etre los valores iiciales y los calculados del parámetro X 20 Figura 4.19: Relació etre los valores iiciales y los calculados del parámetro X m

26 CAPÍTULO 4. Idetificació mediate míimos cuadrados 57 Figura 4.20: Relació etre los valores iiciales y los calculados del parámetro P cost Esto equivale a decir, por ejemplo, que el valor iicial del parámetro X 1 utilizado es casi 6 veces iferior e la mayoría de los casos al que el algoritmo calcula. Por tato, es recomedable aumetar el valor iicial del parámetro X 1 para acercar la solució iicial al óptimo y ayudar a la covergecia del algoritmo. Tras recalcular los parámetros sólo se acusó ua ligera mejoría e los errores rms, que de por sí era bastate pequeños. Tambié parece idicar que la solució iicial utilizada o está detrás de los casos de falta de covergecia de alguos motores que se cometaro previamete ya que estos cotiúa presetado parámetros egativos. La Figura 4.21 muestra la distribució del parámetro R 20 e fució de la potecia omial del motor. Existe ua clara depedecia de este parámetro co respecto a la potecia omial de los motores. La distribució sigue ua forma aproximadamete hiperbólica y hay poca dispersió e sus valores. El máximo valor es 1.3 Ω para u motor de 400 kw y el míimo es 0.01 Ω para u motor de 3500 kw. Se aprecia tres grupos de valores, uo ecima del otro. Para ua misma potecia, los valores se agrupa depediedo de la tesió de los motores, siedo estas para el catálogo utilizado de 2300 V, 4000 V y 6600 V. La mayor resistecia correspode a los motores de mayor tesió, 6600 V y la míima para los de meor tesió, 2300 V.

27 CAPÍTULO 4. Idetificació mediate míimos cuadrados 58 La Figura 4.22 muestra la distribució del parámetro X 1 respecto a la potecia omial de los motores. La forma de la distribució es de uevo hiperbólica. El máximo valor es 22 Ω para u motor de 150 kw y el míimo, Ω para u motor de 2250 kw. Al igual que sucedía co el parámetro R 20, las reactacias se agrupa segú la tesió. Alguos autores ha aprovechado este hecho para ajustar los valores mediate ua curvas de regresió y poder posteriormete obteer de forma rápida y aproximada los valores típicos de los parámetros del modelo de circuito de u motor e fució de su potecia y su tesió [17], [22]. La Figura 4.23 muestra la distribució del parámetro X 20 e fució de la potecia. La distribució es decreciete pero para potecias pequeñas se vuelve más dispersa. Resultados similares se aprecia e la Figura 4.24 co el parámetro X m. Las pérdidas so aproximadamete proporcioales a la potecia como puede verse e la Figura Si embargo, si se observa la misma figura e valores referidos a por uidad, Figura 4.26, la tedecia es claramete decreciete co la potecia de los motores. Este hecho está relacioado co la mayor eficiecia de los motores grades e los que se tiee muy e cueta las pérdidas de potecia e su diseño y fabricació. Figura 4.21: Distribució del parámetro R 20 e fució de la potecia

28 CAPÍTULO 4. Idetificació mediate míimos cuadrados 59 Figura 4.22: Distribució de X 1 e fució de la potecia Figura 4.23: Distribució de X 20 e fució de la potecia

29 CAPÍTULO 4. Idetificació mediate míimos cuadrados 60 Figura 4.24: Distribució de X m e fució de la potecia Figura 4.25: Distribució de P cost e fució de la potecia

30 CAPÍTULO 4. Idetificació mediate míimos cuadrados 61 Figura 4.26: Distribució de P cost (e pu) e fució de la potecia Como se mecioó previamete, la elecció del circuito equivalete depede del objetivo del estudio. El ajuste de los parámetros del rotor (2.1) y (2.2) sirve para determiar el par de arraque usado u modelo de rotor de jaula simple. El mismo ajuste puede utilizarse para determiar la itesidad de arraque. Cuado esta debe ser determiada, es ecesario icluir el correspodiete criterio e la formulació del problema. El criterio de itesidad de arraque es: f ( x ) I I (1) 0 (4.48) 7 1arr 1 dode I1arr es la el valor de la itesidad estatórica de arraque sumiistrado por el fabricate. Reemplazado el criterio del par de arraque (4.9) por el de itesidad de arraque (4.48) se obtiee resultados similares a los ateriores. Si embargo, cuado o se usa ua iformació e la formulació, esta o puede ser determiada correctamete. Así, e la Tabla 4.5 se observa que cuado se utiliza el criterio del par de arraque, el error rms del par de arraque es isigificate pero e cambio el de la itesidad de arraque toma valores mucho mayores (del orde de 10-1 ). Lo mismo sucede al itercambiar los criterios. Los resultados de las simulacioes idica que u modelo de circuito de jaula simple co parámetros depedietes del deslizamieto puede predecir sólo ua de las características del arraque (M arr, I arr ) aparte de las otras características de la regió ormal de operació.

31 CAPÍTULO 4. Idetificació mediate míimos cuadrados 62 Tabla 4.5: Errores rms cuado se usa diversos criterios Criterio Errores rms I arr M arr M max P u η cos φ M arr I arr Modelo de circuito de doble jaula Los motores de alta tesió, tato NEMA como IEC, se adapta perfectamete al modelo de circuito de doble jaula y para todos el algoritmo coverge co errores del orde de Si embargo, e alguos motores de baja tesió o se cosiguió la covergecia. E los que sí se alcazó la covergecia la mayoría de los errores fuero de uevo del orde de auque e alguos fuero del orde de 10-2, lo que hizo desceder el error rms hasta valores del orde de Se probó u catálogo de motores de baja tesió, (400 V), y alta eficiecia, (Eficiecia Premium, IE3), y e todos el algoritmo alcazó la covergecia, (Tabla 4.6). Co este modelo de circuito o es posible calcular correctamete el redimieto i el factor de potecia al haber despreciado la resistecia de la rama de magetizació. Por tato sólo se ha calculado los errores del par de arraque, el par máximo, la potecia omial y de la itesidad de arraque. Este modelo de circuito, a diferecia del modelo de jaula simple, es capaz de predecir la itesidad de arraque y el par de arraque simultáeamete además del par máximo. Tabla 4.6: Errores rms de alguas magitudes M arr M max P u I arr Alta tesió Baja tesió IE Baja tesió IE La Figura 4.27 muestra las clases de redimieto de la orma IEC :2008 [23] para motores de cuatro polos, efretado la potecia, e eje de abscisas, co el redimieto e el eje de ordeadas. Esta orma defie tres tipos de redimieto e fució de la potecia siedo la IE1 la de meor redimieto y la IE3 la de mayor redimieto.

32 CAPÍTULO 4. Idetificació mediate míimos cuadrados 63 Figura 4.27: Clases de redimieto segú orma IEC :2008 E la Tabla 4.7 se muestra los parámetros del modelo de circuito de doble jaula calculados e motores de alta tesió y e la Tabla 4.8 e motores de baja tesió. Se puede comprobar que se cumple las codicioes R 2 > R 1 y X 1d > X 2d. Los parámetros de partida utilizados so del mismo orde que los calculados por lo que se cosidera que so adecuados. Los tiempos utilizados por el algoritmo fuero del mismo orde de los utilizados por el modelo de circuito de jaula simple co parámetros depedietes del deslizamieto. Los datos del fabricate de u motor NEMA de 186 kw, 2.3 kv y 6 polos se ha utilizado para idetificar los parámetros del modelo de jaula simple co parámetros depedietes del deslizamieto y los parámetros del modelo de doble jaula para compararlos. La Figura 4.28 muestra la característica par-deslizamieto de dicho motor para ambos modelos de circuito. El diferete comportamieto etre el modelo de jaula simple (líea verde) y el modelo de doble jaula (líea azul) se observa claramete e esta figura. La Figura 4.28 tambié muestra el par máximo, el par de arraque y el par omial sumiistrados por el fabricate. Como puede observarse, ambas curvas pasa exactamete por los tres putos dados por el catálogo. El deslizamieto de par máximo difiere e u 1% etre las dos curvas. La Figura 4.29 muestra e detalle la zoa de par máximo de ambas curvas co los valores del puto de máximo par.

33 CAPÍTULO 4. Idetificació mediate míimos cuadrados 64 Tabla 4.7: Parámetros y errores de seis motores de alta tesió seleccioados Motor Tipo NEMA NEMA NEMA IEC IEC IEC Potecia [kw] Tesió [V] Frecuecia[Hz] Nº Polos R 1 [Ω] R 1 [pu] R 2 [Ω] R 2 [pu] X m [Ω] X m [pu] X sd [Ω] X sd [pu] X 1d [Ω] X 1d [pu] X 2d [Ω] X 2d [pu] R s [Ω] R s [pu] Error M arr Error M max Error P u Error I arr

34 CAPÍTULO 4. Idetificació mediate míimos cuadrados 65 Tabla 4.8: Parámetros y errores de seis motores de baja tesió seleccioados Motor Tipo IEC (IE2) IEC (IE2) IEC (IE2) IEC (IE3) IEC (IE3) IEC (IE3) Potecia [kw] Tesió [V] Frecuecia [Hz] Nº Polos R 1 [Ω] R 1 [pu] R 2 [Ω] R 2 [pu] X m [Ω] X m [pu] X sd [Ω] X sd [pu] X 1d [Ω] X 1d [pu] X 2d [Ω] X 2d [pu] R s [Ω] R s [pu] Error M arr Error M max Error P u Error I arr

35 CAPÍTULO 4. Idetificació mediate míimos cuadrados 66 Figura 4.28: Curvas de par Figura 4.29: Detalle de la zoa de par máximo

36 CAPÍTULO 4. Idetificació mediate míimos cuadrados 67 Como se cometó ateriormete, los motores de baja tesió, (400 V), de eficiecia IE2 so los que ha mostrado mayores problemas de covergecia. Los valores de los residuos de alguos de ellos tomaro valores e toro a Por ello se probará más deteidamete co distitas cofiguracioes de k R y k X. Para los motores de alta tesió, la pareja k R = 1.5 y k X = 0.5 ha fucioado correctamete. Para los de baja tesió se ha aalizado los siguietes casos: Caso A: k R = 1.5 y k X = 0; Caso B: k R = 1.5 y k X = 0.5; Caso C: k R = 1.5 y k X = 1; Caso D: k R = 0.5 y k X = 0.5; La Figura 4.30 muestra la distribució de los residuos e fució del úmero de motores aalizados para los casos A, B, C y D. Esta figura muestra que el caso D es el que preseta los mayores errores, mietras que los casos B y C tiee los meores. Además, el caso D es el que preseta u mayor úmero de motores co residuos altos. El residuo medio e el caso D es de y el máximo de Aú así, el residuo puede cosiderarse pequeño lo que sigifica que los datos del fabricate ha podido ser calculados a partir del modelo. Figura 4.30: Distribució del valor del residuo e fució del úmero aalizado de motores

37 CAPÍTULO 4. Idetificació mediate míimos cuadrados 68 Al ser los valores de k R y k X descoocidos, o se obtiee los parámetros del modelo exacto del motor sio los parámetros de u modelo que es capaz de reproducir el comportamieto del motor. 4.5 Comparació de resultados La validez del algoritmo utilizado ha sido probada utilizado los errores de las magitudes, calculadas mediate los parámetros obteidos. U error pequeño sigifica que la magitud calculada está cerca de la real proporcioada por el fabricate e su catálogo. La idetificació proporcioa los parámetros de u modelo que es capaz de reproducir el comportamieto de u motor co u determiado ivel de error. Ua primera comparació de los resultados puede hacerse etre los valores calculados y los valores iiciales utilizados. Estos últimos so ua primera estimació y por tato, los iveles de error que preseta so altos. La Tabla 4.9 muestra los datos del motor utilizado para la comparació. E la Tabla 4.10 se muestra los valores de los parámetros del modelo de circuito de doble jaula, calculados mediate el método de los míimos cuadrados, y la solució iicial utilizada para calcularlos, juto co los errores de las magitudes calculadas a partir de los parámetros. E esta comparació y las siguietes, se ha utilizado parámetros co cuatro cifras decimales para el cálculo de los errores. Tabla 4.9: Datos del motor utilizado e la comparació Datos del motor V [V] 380 Tipo IEC P u [kw] 110 f [Hz] 50 I [A] 184 η N [%] 95.8 [rev./mi] 2977 M [Nm] 353 cosφ [pu] 0.90 M arr /M 2.4 I arr /I 8.3 M max /M 3.1 Los resultados obteidos tambié se ha comparado co los publicados por otros autores. E [22], Pedra, obtuvo, a partir del aálisis de la idetificació de los parámetros de u grupo de motores, fórmulas empíricas para el cálculo e por uidad de los parámetros del modelo de circuito de doble jaula, e fució de la potecia omial: R P s R P X P sd X X 2d sd R P X P m X1 d P

38 CAPÍTULO 4. Idetificació mediate míimos cuadrados 69 Aplicado estas fórmulas al motor cuyas características se recoge e la Tabla 4.9 se puede obteer ua primera aproximació de los valores de los parámetros. La Tabla 4.11 muestra los valores de los parámetros del modelo de circuito de doble jaula obteidos mediate las fórmulas ateriores, así como los obteidos por el método de los míimos cuadrados. Los errores se ha calculado utilizado la misma fució e todos los casos. Tabla 4.10: Comparació etre la solució iicial y la calculada para u motor seleccioado Modelo Método Solució Iicial Doble jaula Míimos Cuadrados Diferecia [%] R 1 [pu] R 2 [pu] X m [pu] X sd [pu] X 1d [pu] X 2d [pu] R s [pu] Error M arr Error M max Error P u Error I arr Tabla 4.11: Valores de los parámetros por distitos métodos para u motor seleccioado, Caso 1 Modelo Doble jaula Método Pedra [22] Míimos Cuadrados Diferecia [%] R 1 [pu] R 2 [pu] X m [pu] X sd [pu] X 1d [pu] X 2d [pu] R s [pu] Error M arr Error M max Error P u Error I arr

39 CAPÍTULO 4. Idetificació mediate míimos cuadrados 70 La Tabla 4.12 muestra los parámetros idetificados del modelo de circuito de doble jaula del motor de la Tabla 4.9, obteidos por el método de los míimos cuadrados de este trabajo, así como por Pedra y Córcoles [17] utilizado ua idetificació similar por míimos cuadrados. Para realizar la comparació se ha utilizado la misma fució para calcular el error y el mismo úmero de decimales e todos los casos. Tabla 4.12: Valores de los parámetros por distitos métodos para u motor seleccioado, Caso 2 Modelo Método Pedra [17] Doble jaula Míimos Diferecia Cuadrados [%] R 1 [pu] R 2 [pu] X m [pu] X sd [pu] X 1d [pu] X 2d [pu] R s [pu] Error M arr Error M max Error P u Error I arr Como puede verse, los errores e las magitudes calculados a partir de los parámetros del modelo ha sido similares a los obteidos por [17].